MATEMÁTICA

Editora Exato 17

GEOMETRIA ESPACIAL 1. POLIEDROS

Define-se como poliedro a todo sólido forma-

do por uma superfície fechada, limitada somente por

polígonos e que satisfaça às duas condições abaixo.

� O ângulo formado entre dois polígonos é

diferente de um ângulo raso.

� Cada lado dos polígonos pertence somente

a dois polígonos.

Exemplos:

E.1) E.2)

E.3)

2. ELEMENTOS

Os polígonos que limitam o poliedro são cha-

mados de faces.

Os lados dos polígonos das faces são chama-

dos de arestas.

Exemplo: E.1)

face

aresta

vértice

Na figura, encontramos

Nº de faces 8

Nº de arestas 12

Nº de vértices 6

3. POLIEDRO CONVEXO

Um poliedro é denominado de convexo se a

região interna limitada pelas faces é uma região con-

vexa.

4. NOMENCLATURA

Os poliedros, convexos ou não, recebem no-

mes de acordo com o número de faces que possuem:

Número de faces Nome

4 tetraedro

5 pentaedro

6 hexaedro

7 heptaedro

8 octaedro

9 eneaedro

10 decaedro

11 undecaedro

12 dodecaedro

13 tridecaedro

:: ::

20 icosaedro

5. RELAÇÃO DE EULER

Existem poliedros que satisfazem a relação

V F A 2+ = + , em que V, F e A representam, respecti-

vamente, o número de vértices, faces e arestas do po-

liedro.

Todo poliedro que satisfaz à relação de Euler é

Euleriano.

Observação: � Todo poliedro convexo é Euleriano, ou se-

ja, satisfaz à relação de Euler.

Exemplo E.1) Verifique se o poliedro do E.1 do tópico 1

dessa unidade é Euleriano.

Resolução: 8 faces quadrangular

Nº de faces do poliedro :2 faces octogonais

Nº Arestas do poliedro: 8 4 2 8

A 242

⋅ + ⋅= = .

Nº vértices do poliedro: 16.

Substituindo, na relação, temos:

( ) { { {16 10 24

I V E A 2+ = + (Sentença verdadeira).

Como a sentença (I) é verdadeira, então o poli-

edro é Euleriano.

6. SOMA DOS ÂNGULOS DAS FACES DE

UM POLIEDRO CONVEXO

Para um poliedro convexo, com V vértices,

podemos determinar a soma dos ângulos de suas fa-

ces pela relação ( )FS V 2 360º= − ⋅ .

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7. POLIEDROS DE PLATÃO

7.1. Definição Define-se como poliedro de Platão a todo poli-

edro que obedece às três condições a seguir:

� Todas as faces possuem o mesmo número

de arestas.

� Em cada vértice concorrem os mesmos nú-

meros de arestas.

� Satisfaz à relação de Euler, ou seja, é Eule-

riano.

7.2. Classes Existem somente cinco classes de poliedros de

Platão. Suas propriedades são resumidas no quadro

dado a seguir.

Poliedros de Platão

Nome Número de

faces (F)

Número de

vértices (V)

Número de

arestas

(A)

Número de

arestas por

face (n)

Tetraedro 4 4 6 3

Hexaedro 6 8 12 4

Octaedro 8 6 12 3

Dodecaedro 12 20 30 5

Icosaedro 20 12 30 3

7.3. Poliedros Regulares São poliedros de Platão que possuem suas fa-

ces formadas por polígonos regulares, congruentes

entre si e seus ângulos poliédricos são congruentes.

� Figuras representativas

8. PRISMAS

Considere dois planos paralelos ( ) e α β , uma

reta (t) incidente nesses planos e uma região poligo-

nal pertencente a α . Observe a figura.

t

β

Define-se como prisma ao conjunto formado

por todos os segmentos, paralelos à reta t, que possui

um de seus extremos na região poligonal e o outro no

plano β .

Exemplo: E.1)

t

9. ELEMENTOS

base

aresta lateral

faces laterais(paralelogramos)

distânciaentre asbases éa altura

aresta da base

10. ÁREAS IMPORTANTES

10.1. Área da Base (Ab) Representa a área do polígono da base.

10.2. Área lateral (AL) Representa a soma das áreas das faces laterais.

10.3. Área total (At)

{ {t b L

area area da lateralbase

A 2 A A= +

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11. VOLUME (V)

O volume do prisma é determinado pelo pro-

duto da área da base e altura, em símbolos,

{ {balturaarea do daprismabase

V A H= ⋅

12. ALGUNS MODELOS ESPECIAIS

12.1. Paralelepípedo Prisma em que todas as suas faces são parale-

logramos.

Observação: � Quando todas as faces são retangulares, o

paralelepípedo será denominado de parale-

lepípedo reto-retângulo.

Propriedades Considere um paralelepípedo reto-retângulo de

dimensões a, b e c.

� A medida da diagonal é calculada pela rela-

ção 2 2 2D a b c= + + .

� O valor da área total é expresso por

( )ta 2 ab ac bc= + +

� O volume é obtido pelo produto das dimen-

sões, ou seja, V abc= .

12.2. Cubo O cubo representa o paralelepípedo reto-

retângulo cujas arestas são todas congruentes.

� Representação usual

Propriedades Considere um cubo de aresta.

� A medida de sua diagonal é a 3 .

� A área total é 6a2.

� O volume é a3.

13. PRISMA RETO

O prisma é chamado de reto quando suas ares-

tas laterais são perpendiculares ao plano da base.

Observação: Quando o prisma reto possui em sua base um

polígono regular, então será denominado de prisma

regular.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 Determine a área total do prisma abaixo.

4cm2cm

3cm

Resolução: Observamos que a figura é formada por pares

de retângulos.

t

2 4 4

t

2t

A 2x 3 2x 2 2 3

A 2.2.3 2.4.2 2.4.3

A 52c m

= + +

= + +

=

EXERCÍCIOS

1 (PMDF) Em uma escola, os alunos foram leva-

dos ao laboratório para a realização de uma expe-

riência, a de determinar o volume de uma pedra,

imergindo-a na água de um recipiente. A experi-

ência consistia em submergir completamente a

pedra e medir a variação da altura da água no re-

cipiente. Após a experiência, os alunos anotaram

que a variação da altura da água foi de 3 cm e que

o recipiente tinha a forma de um paralelepípedo

retângulo, medindo 80cmx50cmx40cm, mas não

anotaram qual dessas três medidas correspondia à

altura do recipiente. Mesmo sem essa informa-

ção, foi possível concluir que o volume máximo

da pedra, em litros, era de:

a) 23,2.

b) 20,4.

c) 17,6.

d) 14,8.

e) 12.

2 Um determinado bloco utilizado em construções

tem a forma de um paralelepípedo reto-retângulo,

cujas dimensões são 25cm, 15cm e 10cm. Pre-

tende-se transportar blocos desse tipo num cami-

nhão cuja carroceria tem, internamente, 4m de

comprimento por 2,5m de largura e 0,6m de pro-

fundidade. No máximo, quantos blocos podem

ser transportados numa viagem, de modo que a

carga não ultrapasse a altura da carroceria?

a) 1600.

b) 1500.

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c) 1400.

d) 1300.

e) 1200.

3 Um aquário tem a forma de um paralelepípedo

reto-retângulo e contém água até uma certa altu-

ra. As medidas internas da base do aquário são

40cm por 25cm. Uma pedra é colocada dentro do

aquário, ficando totalmente submersa e fazendo

com que o nível da água suba 0,8cm. Qual é o

volume dessa pedra?

0,8cm

a) 100cm3.

b) 800cm3.

c) 1200cm3.

d) 400cm3.

e) 600cm3.

4 Uma face de um cubo tem área 81cm2. Seu vo-

lume é:

a) 9cm3.

b) 81cm3.

c) 180cm3.

d) 243cm3.

e) 729cm3.

5 (MACK-SP) A área total do sólido abaixo é:

7

4

3

5

2

13

a) 204.

b) 206.

c) 222.

d) 244.

e) 262.

6 (UFMT) Em um paralelepípedo retângulo com

4cm de altura, a base tem comprimento cuja me-

dida é igual ao dobro da medida da largura. Se

esse sólido tem 64cm2 de área total, o seu volu-

me, em centímetros quadrados, é?

a) 24. b) 30.

c) 32. d) 40.

e) 48.

7 (FAFI-MG) As dimensões de uma piscina olím-

pica são: 50m de comprimento, 25m de largura e

3m de profundidade. O seu volume, em litros, é:

a) 3750. b) 37500.

c) 375000. d) 3750000.

e) 37500000.

8 (CESCEA-SP) Se a soma das arestas de um cu-

bo é igual a 72cm, então o volume do cubo é i-

gual a:

a) 100cm3.

b) 40cm3.

c) 144cm3.

d) 16cm3.

e) 216cm3.

9 (FUVEST-SP) Dois blocos de alumínio, em

forma de cubo, com arestas medindo 10cm e

6cm, são levados juntos à fusão e, em seguida, o

alumínio é moldado como um paralelepípedo re-

to-retângulo de arestas 8cm, 8cm e xcm. O valor

de x é:

a) 16. b) 17.

c) 18. d) 19.

e) 20.

GABARITO

1 E

2 A

3 B

4 E

5 D

6 C

7 D

8 E

9 D