√4a3,

cu D ={

(x, y) , x2 + y2 ≤ ax}. 7) I = 4π. 8) I = −πa2. 9) I = −π.

12.5 Integrala tripla

12.55 Sa se calculeze integralele triple:1) I =

∫∫∫Vx3y2z dxdydz, unde V = {(x, y, z) , 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ z ≤ xy}.

2) I =∫∫∫

Vx2dxdydz, unde V =

{(x, y, z) , x2

a2 + y2

b2 + z2

c2 ≤ 1}

.

3) I =∫∫∫

Vz dxdydz, unde V =

{(x, y, z) , x2

a2 + y2

b2 + z2

c2 ≤ 1, z ≥ 0}

.

R: 1) I =∫ 1

0dx∫ x

0dy∫ xy

0x3y2z dz = 1

110 . 2) Domeniul spatial V este simplu ınraport cu axa Oz, deci

V =

{(x, y, z) , −c

√1− x2

a2− y2

b2≤ z ≤ c

√1− x2

a2− y2

b2, (x, y) ∈ D,

}

unde D ={

(x, y) , x2

a2 + y2

b2 ≤ 1}

. Deci

I =∫ ∫

D

dxdy

∫ cq

1− x2

a2− y2

b2

−cq

1− x2

a2− y2

b2

x2dz = 2c∫ ∫

D

x2

√1− x2

a2− y2

b2dxdy.

1

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

CAPITOLUL 12. INTEGRALE MULTIPLE 162

Domeniul plan D este simplu ın raport cu axa Oy, deci

D =

{(x, y) , −b

√1− x2

a2≤ y ≤ b

√1− x2

a2, x ∈ [−a, a]

},

ıncat

I = 2c∫ a

−adx

∫ bq

1− x2

a2

−bq

1− x2

a2

x2

√1− x2

a2− y2

b2dy = πbc

∫ a

−ax2

(1− x2

a2

)dx =

415πa3bc.

3) I = 14πabc

2.

12.56 Sa se calculeze integralele triple:1) I =

∫∫∫V

dxdydz(1+x+y+z)3 , unde V este tetraedrul delimitat de planele de coordonate si

planul x+ y + x = 1.2) I =

∫∫∫V

xyz(1+x2+y2+z2)4 dxdydz, unde V = [0, 1]× [0, 1]× [0, 1].

3) I =∫∫∫

Vdxdydz√

(1+x2+y2−z)3, unde

V{

(x, y, z) , x2 + y2 ≥ z, x2 + y2 ≤ 1, z ≥ 0}

.4) I =

∫∫∫Vz dxdydz, unde

V ={

(x, y, z) , 0 ≤ x ≤ 12 , x ≤ y ≤ 2x, 0 ≤ z ≤

√1− x2 − y2

}.

5) I =∫∫∫

Vx2dxdydz, unde V =

{(x, y, z) , x2 + y2 + z2 ≤ R2

}.

6) I =∫∫∫

Vx

x2+y2+z2+a2 dxdydz, unde: V = {(x, y, z) | x2 + y2 + z2 ≤ R2, x ≥0, y ≥ 0, z ≥ 0}.

7) I =∫∫∫

Vz√x2 + y2 dxdydz, unde V este domeniul marginit de cilindrul x2 +y2 =

2x si planele y = 0, z = 0, z = a (a < 0).

R: 1) Domeniul V este simplu ın raport cu axa Oz:

I =∫ ∫

D

dxdy

∫ 1−x−y

0

dz

(1 + x+ y + z)3 =12

∫ ∫

D

[1

(1 + x+ y)2 −14

]dxdy,

unde D = {(x, y) , 0 ≤ y ≤ 1− x, x ∈ [0, 1]}, deci

I =12

∫ 1

0

(1

1 + x− 3− x

4

)dx = ln

√2− 5

16.

2) I =∫ 1

0dx∫ 1

0dy∫ 1

0xyz

(1+x2+y2+z2)4 dz = 1192 . 3) Domeniul V este simplu ın raport cu

axa Oz:

I =∫ ∫

D

dxdy

∫ x2+y2

0

dz

(1 + x2 + y2 − z) 32

= −2∫ ∫

D

[1− (1 + x2 + y2

)− 12]dxdy,

unde D ={

(x, y) , x2 + y2 ≤ 1}

. Trecand la coordonate polare, avem I = 2π(2√

2− 3).

2

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

CAPITOLUL 12. INTEGRALE MULTIPLE 163

4) I =∫ 1

20dx∫ 2x

x

∫√1−x2−y2

0z dz = 1

2

∫ 12

0

(x− 10

3 x3)dx = 7

192 . 5) Trecem la coordo-nate sferice:

x = r cosϕ sin θ,y = r sinϕ sin θ,z = r cos θ,

(r, ϕ, θ) ∈ [0, R]× [0, 2π]× [0, π] .

Deoarece J(r, ϕ, θ) = r2 sin θ, avem

I =

(∫ R

0

r4dr

)(∫ 2π

0

cos2 ϕdϕ

)(∫ π

0

sin3 θ dθ

)=

415πR5.

6) Trecem la coordonate sferice:

x = r cosϕ sin θ,y = r sinϕ sin θ,z = r cos θ,

(r, θ, ϕ) ∈ [0, R]×[0,π

2

]×[0,π

2

].

Deoarece dxdydz = r2 sin θ drdϕdθ, avem

I =∫ π

2

0

dθ

∫ π2

0

dϕ

∫ R

0

r3 sin2 θ cosϕr2 + a2

dr =π

8

(R2 + a2 ln

a2

a2 +R2

).

7) Trecem la coordonate cilindrice: x = r cos θ, y = r sin θ, z = z, (r, θ, z) ∈ V ′, undeV ′ =

{(r, θ, z) , 0 ≤ r ≤ 2 cos θ, 0 ≤ θ ≤ π

2 , 0 ≤ z ≤ a}. Deoarece J (r, θ, z) = r, avem

I =∫ ∫ ∫

V ′zr2drdθdz =

∫ ∫

D

drdθ

∫ a

0

zr2dz =a2

2

∫ ∫

D

r2drdθ,

unde D′ ={

(r, θ) , 0 ≤ r ≤ 2 cos θ, 0 ≤ θ ≤ π2

}, deci

I =a2

2

∫ π2

0

dθ

∫ 2 cos θ

0

r2dr =4a2

3

∫ π2

0

cos3 θ dθ =8a2

9.

12.57 Sa se calculeze urmatoarele integrale triple:1) I =

∫∫∫Vxyz dxdydz, unde V este domeniul spatial marginit de sfera x2+y2+z2 =

1, situat ın primul octant.2) I =

∫∫∫Vxy2z3dxdydz, unde V este domeniul spatial marginit de suprafetele z =

xy, y = x, x = 1, z = 0.3) I =

∫∫∫V

(2x+ 3y − z) dxdydz, unde V este prisma triunghiulara marginita deplanele x = 0, y = 0, z = 0, z = a, x+ y = b, cu a, b > 0.

4) I =∫∫∫

V

(x2 + y2 + z2

)3dxdydz, unde V este domeniul spatial marginit de cilin-

drul x2 + y2 = 1 si planele y = 0, y = 1.

5) I =∫∫∫

V

√1 + (x2 + y2 + z2)

32 dxdydz, unde V =

{(x, y, z) , x2 + y2 + z2 ≤ 1

}.

6) I =∫∫∫

V

(x2 + y2

)dxdydz, unde V este domeniul spatial marginit de suprafetele

2z = x2 + y2, z = 2.7) I =

∫∫∫V

(x2 + y2

)z dxdydz, unde V este domeniul spatial marginit de paraboloi-

dul z = x2 + y2 si sfera x2 + y2 + z2 = 6.8) I =

∫∫∫Vz dxdydz, unde V este domeniul spatial marginit de conul

z = aR

√x2 + y2 si planul z = a, cu a,R > 0.

3

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

CAPITOLUL 12. INTEGRALE MULTIPLE 164

R: 1) I = 148 . 2) I = 1

364 . 3) I = 112ab

2 (10b− 3a). 4) I = 32π. 5) I = 8

9π(2√

2− 1).

6) I = 163 π. 7) I = 8

3π. 8) I = 14πa

2R2.

12.58 Sa se calculeze urmatoarele integrale triple:1) I =

∫∫∫V

dxdydzx2+y2+z2 , unde V este domeniul spatial marginit de sferele x2 +y2 +z2 =

1, x2 + y2 + z2 = 4, z ≥ 0.2) I =

∫∫∫V

(x2

a2 + y2

b2 + z2

c2

)dxdydz, unde V =

{(x, y, z) , x2

a2 + y2

b2 + z2

c2 ≤ 1}

.

3) I =∫∫∫

V

(x2 + y2 + z2

)dxdydz, unde

V ={

(x, y, z) , x2 + y2 ≤ z2, x2 + y2 + z2 ≤ a2, z > 0}

.4) I =

∫∫∫V

(x2 + y2 + z2

)dxdydz, unde

V ={

(x, y, z) , x2 + y2 + z2 ≤ 2az, x2 + y2 + z2 ≤ 3a2}

, cu a > 0.5) I =

∫∫∫V

√x2 + y2 + z2 dxdydz, unde V =

{(x, y, z) , x2 + y2 + z2 ≤ x}.

6) I =∫∫∫

Vx2dxdydz, unde V este domeniul spatial marginit de suprafetele z = ay2,

z = by2 cu y > 0 si 0 < a < b si de suprafetele z = αx, z = βx, 0 < α < β si z = h,h > 0.

7) I =∫∫∫

Vx dxdydz

(x2+y+z+1)3 , undeV = {(x, y, z) , x+ y + z ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}.8) I =

∫∫∫V

z3dxdydz(y+z)(x+y+z) , unde

V = {(x, y, z) , x+ y + z ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}.9) I =

∫∫∫V

√1−

(x2

a2 + y2

b2 + z2

c2

)dxdydz, unde

V ={

(x, y, z) , x2

a2 + y2

b2 + z2

c2 ≤ 1}

.

10) I =∫∫∫

Vz dxdydz, unde V =

{(x, y, z) , x2 + y2 + z2 ≤ 8, x2 + y2 ≤ z2, z ≥ 0

}.

11) I =∫∫∫

V

√x2 + y2 + z2 dxdydz, unde V =

{(x, y, z) , x2 + y2 + z2 ≤ z}.

12) I =∫∫∫

Vdxdydz√x2+y2+z2

, unde

V ={

(x, y, z) , x2 + y2 + z2 ≥ 4, x2 + y2 + z2 ≤ 16}

.13) I =

∫∫∫V

(x2 + y2 + z2

)dxdydz, unde V este domeniul spatial marginit de sfera

x2 + y2 + z2 = 9 si conul z =√x2 + y2.

R: 1) Se trece la coordonate sferice. Avem V ′ = [1, 2] × [0, 2π] × [0, π2], I = 2π. 2)

Se trece la coordonate sferice generalizate:

x = ar cosϕ sin θ,y = br sinϕ sin θ,z = cr cos θ,

(r, ϕ, θ) ∈ [0, 1]× [0, 2π]× [0, π] .

Deoarece J(r, ϕ, θ) = abcr2 sin θ, rezulta I = 45πabc. 3) I = 1

5πa5(2−√2

). 4) I =

15πa

5(18√

3− 976

). 5) I = 1

10π. 6) I = 227

(1α3 − 1

β3

)(1√a− 1√

b

)h4√h. 7) I = 1

4 ln√

2+1√7arctg 1√

7+ 1

2√

3

(arctg

√3− arctg 1√

3

). 8) I = 1

64 . 9) I = 14π

2abc. 10) I = 8π. 11)

I = 110π. 12) I = 24π. 13) I = 243

5 π(2−√2

).

12.59 Sa se calculeze, cu ajutorul integralei triple, volumul domeniului spatial

V ={

(x, y, z) , x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, z ≤ 1− y2, x+ y ≤ 1}.

4

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

CAPITOLUL 12. INTEGRALE MULTIPLE 165

R: V =∫∫∫

Vdxdydz =

∫ 1

0dx∫ 1−x

0dy∫ 1−y2

0dz = 5

12 .

12.60 Sa se calculeze, cu ajutorul integralei triple, volumul domeniului spatial marginitde suprafetele

1) y2 = 4a2 − 3ax, y2 = ax, z = ±h.2) x2 + y2 + z2 = a2, x2 + y2 = ax.3) y = x2, y = 1, x+ y + z = 3, z = 0.

R: 1) V = 329 a

2h. 2) V = 19 (3π − 4) a3. 3) V =

∫ 1

−1dx∫ 1

x2 dy∫ 3−x−y

0dz = 16

5 .

12.61 Utilizand formula lui Gauss-Ostrogradski, sa se calculeze urmatoarele integralede suprafata pe suprafetele ınchise S ce marginesc domeniile spatiale V , n fiind versorulnormalei la fata exterioara:

1) I =∫∫S x

3y2dydz + x2y3dzdx+ 3z dxdy, unde S este frontiera domeniului spatialV marginit de paraboloizii z = x2 + y2, z = 6− x2 − y2, 0 ≤ z ≤ 6.

2) I =∫∫S x

2dydz + y2dzdx + z2dxdy, unde S este frontiera domeniului spatialV = [0, a]× [0, a]× [0, a], a > 0.

3) I =∫∫S x

3dydz + y3dzdx+ z3dxdy, unde S este sfera x2 + y2 + z2 = a2.4) I =

∫∫S 2x2yz dydz+ z2dzdx+xyz2dxdy, unde S este frontiera domeniului spatial

V ={

(x, y, z) , x2

a2 + y2

b2 + z2

c2 ≤ 1, z ≥ 0}

.

5) I =∫∫S x dydz + y dzdx + z dxdy, unde S este frontiera piramidei delimitata de

planele x = 0, y = 0, z = 0, x+ y + z = a.6) I =

∫∫S(x2 cosα+ y2 cosβ + z2 cos γ

)dS, unde S este frontiera domeniului spatial

V ={

(x, y, z) , x2

a2 + y2

a2 ≤ z2

b2 , 0 ≤ z ≤ b}

.

7) I =∫∫S yz dydz + zx dzdx + xy dxdy, unde S este frontiera unui domeniu spatial

V .8) I =

∫∫S xyz (x dydz + y dzdx+ z dxdy), unde S este frontiera domeniului spatial

V ={

(x, y, z) , x2 + y2 + z2 ≤ a2, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}.

9) I =∫∫S x

3dydz + x2y dzdx + x2z dxdy, unde S este frontiera domeniului spatialV =

{(x, y, z) , x2 + y2 ≤ R2, 0 ≤ z ≤ a}, a > 0.

10) I =∫∫S x

2dydz + y2dzdx + z2dxdy, unde S este sfera (x− a)2 + (y − b)2 +(z − c)2 = R2.

11) I =∫∫S x dydz+y dzdx+

√x2 + y2 dxdy, unde S este frontiera domeniului spatial

V ={

(x, y, z) , x2 + y2 + z ≤ 14 ,√x2 + y2 ≤ z ≤ 2

√x2 + y2

}.

12) I =∫∫S y

2z dydz + xz dzdx + x2 dxdy, unde S este frontiera domeniului spatialV marginit de paraboloidul z = x2 + y2, cilindrul x2 + y2 = 1, situat ın primul octant.

13) I =∫∫S x

2dydz + y2dzdx+ z2dxdy, nde S este frontiera tetraedrului cu varfurileın punctele O (0, 0, 0), A (1, 0, 0), B (0, 1, 0), C (0, 0, 1).

R: 1) Deoarece F (x, y, z) = x3y i+x2y3 j+3z k si div F = 3(2x2y2 + 1

), putem scrie

I =∫ ∫ ∫

V

(div F) dτ = 3∫ ∫ ∫

V

(2x2y2 + 1

)dxdydz =

5

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

CAPITOLUL 12. INTEGRALE MULTIPLE 166

=∫ ∫

D

dxdy

∫ 6−x2−y2

x2+y2

(2x2y2 + 1

)dz,

unde D ={

(x, y) , x2 + y2 ≤ 3}

. Se obtine I = 2978 π. 2) I = 3a4. 3) I = 12

5 πa5. 4)

I = 32πabc

2. 5) I = 12a

3. 6) I = 12πa

2b2. 7) I = 0. 8) I = 18a

6. 9) I = 54πaR

4. 10)

I = 83πR

3 (a+ b+ c). 11) I = 196π

(8

3+2√

2− 20

9+4√

5

). 12) I = 1

8π. 13) I = 112 .

12.62 Sa se calculeze masa cubului de densitate ρ (x, y, z) = x + y + z, care ocupadomeniul spatial V = [0, a]× [0, a]× [0, a], a > 0.

R: M = 32a

4.

12.63 Sa se calculeze masa corpului de densitate ρ (x, y, z) = x, care ocupa domeniulspatial V marginit de suprafetele x2 = 2y, y + z = 1, 2y + z = 2.

R: M = 835

√2.

12.64 Sa se calculeze coordonatele centrului de greutate ale corpului omogen care ocupadomeniul spatial

V ={

(x, y, z) ,x2

a2+y2

b2+z2

c2≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0

}.

R: G(

3a8 ,

3b8 ,

3c8

).

12.65 Sa se calculeze coordonatele centrului de greutate ale corpului omogen care ocupadomeniul spatial marginit de suprafetele x2 + y2 = z, x+ y + z = 0.

R: G(− 1

2 ,− 12 ,

56

).

12.66 Sa se calculeze coordonatele centrului de greutate ale corpului omogen care ocupadomeniul spatial

V ={

(x, y, z) , x2 + y2 ≤ 2z, x+ y ≥ z} .

R: G(1, 1, 5

3

).

12.67 Sa se calculeze coordonatele centrului de greutate ale corpului omogen care ocupadomeniul spatial

V ={

(x, y, z) , x2 + y2 ≤ a2, z ≥ by, z ≥ 0}, b > 0.

R: G(0, 3

16πa,332πab

).

12.68 Sa se calculeze momentul de inertie ın raport cu axa Oz al corpului omogen(ρ = 1), care ocupa domeniul spatial marginit de suprafetele x2+y2+z2 = 2, x2+y2 = z2,z ≥ 0.

R: Iz = 415π

(4√

2− 5).

6

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

CAPITOLUL 12. INTEGRALE MULTIPLE 167

12.69 Sa se calculeze momentul de inertie ın raport cu axele de coordonate si ın raportcu originea ale piramidei omogene (ρ = 1), marginita de planele de coordonate si deplanul x+ y + z = 1.

R: Ix = Iy = Iz = 130 , I0 = 1

20 .

12.70 Sa se calculeze momentele de inertie ın raport cu planele de coordonate ale cor-pului omogen (ρ = 1), care ocupa domeniul spatial marginit de suprafetele x2

a2 + y2

b2 = z2

c2 ,z = c, c > 0.

R: Iyz = 15πa

3bc, Izx = 15πab

3c, Ixy = 15πabc

3.

12.71 Sa se calculeze momentul de inertie ın raport cu axa Oz al corpului omogen(ρ = 1), care ocupa domeniul spatial

V ={

(x, y, z) ,x2

a2+y2

b2≤ z2

c2, 0 ≤ z ≤ h

}, h > 0.

R: Iz = 15π

abc2 h

5.

12.72 Sa se calculeze momentul de inertie ın raport cu planul Oxy al corpului avanddensitatea ρ (x, y, z) = z

(x2+y2+2z2+a2)2 , care ocupa domeniul spatial

V ={

(x, y, z) , x2 + y2 ≤ z2, 0 ≤ z ≤ a} , a > 0.

R: Ixy = 112πa

2 ln(

163

27 a4)

.

12.73 Sa se calculeze momentul de inertie ın raport cu originea al corpului omogenmarginit de sfera de raza 2 cu centrul ın origine.

R: I0 = 1285 π.

7

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS