(066~097)269확통지도서1-1 2014.7.14 11:45 AM 페이지68 ...viewpds.jihak.co.kr/tsoldb/교과서별/고_확률과...순열과조합 우리의일상생활에서는매순간에도

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순열과조합

우리의일상생활에서는매순간에도

다양한경우의수가존재한다.

1.`순

열과

조합

2.`분

할과

이항정리

한개의주사위를던질때, 다음을구하여라.

⑴홀수의눈이나오는경우의수　3

⑵ 4의배수의눈이나오는경우의수　1

⑶ 2보다큰수의눈이나오는경우의수　4

⑷소수의눈이나오는경우의수　3

경우의수 1

|준 |비 |학 |습 |

중②

가르기와

모으기2 a+b=10이되는자연수의순서쌍 (a, b)를구하여라. (단, aæb)

(9, 1), (8, 2), (7, 3), (6, 4), (5, 5)

초등

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1. 순열과조합

①유한집합을서로소인몇개의집합의합집합으로나타낼수있는방법의수를구할수있게한다.

②자연수를몇개의자연수의합으로나타낼수있는방법의수를구할수있게한다.

③이항정리를이해하게한다.

④이항정리를이용하여여러가지문제를해결할수있게한다.

2. 분할과이항정리

70 각론

①합의법칙과곱의법칙을이해하고, 이를이용하여경우의수를구할수있게한다.

②순열의뜻을알고, 순열의수를구할수있게한다.

③원순열, 중복순열, 같은것이있는순열을이해하고, 그순열의수를구할수있게한다.

④조합의뜻을알고, 조합의수를구할수있게한다.

⑤중복조합을이해하고, 그조합의수를구할수있게한다.

단원의지도목표

①합의법칙과곱의법칙은구체적인예를통해직접나열해보거나수형도를그려보는등의활동을

통해그의미를이해하고설명해보게한다.

② 경우의 수, 순열, 조합, 분할을 이용하여 실생활 문제를 해결해 봄으로써 그 유용성을 인식하게

한다.

③염주순열, 같은것이있는원순열은다루지않는다.

④분할의수를구하는식은예를통하여이해하고설명해보게한다.

교수·학습상의유의점

교수·학습의계열

본단원 후속학습

[확률과통계]

확률의뜻과활용

조건부확률

1. 순열과조합

경우의수

순열

조합

선수학습

[중1~3학년군]

경우의수와확률

[수학Ⅱ]

집합


분할

이항정리

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Ⅰ. 순열과조합 71

단원의차시별지도계획

소단원 차시중단원 교과서(쪽) 지도내용 용어와기호

1. 순열과조합


중단원도입 12

•조합

•중복조합

•중단원확인학습문제

•이항정리

•수행과제

•대단원학습내용정리

•대단원평가문제

•수학플러스

•중단원확인학습문제

•집합의분할

•자연수의분할

•사탕을나누어담아보자.

•염기의배열

•합의법칙

•곱의법칙

•순열

•원순열

•중복순열

•같은것이있는순열

•염기의배열

•합의법칙

•곱의법칙

10~11

1~3

•단원의개관

•준비학습단원의개관

01 경우의수 13~17합의법칙

곱의법칙

02 순열 18~274~11

순열

계승

원순열

중복순열

«P®, n!, «P®

01 분할 39~45

집합의분할

자연수의분할

S(n, k), P(n, k)

02 이항정리 46~4823~25

26

이항정리

이항계수

파스칼의삼각형

03 조합 28~34

조합

중복조합

«C®, «H®

수준별학습 35~37

12~17

수준별학습 49~51

중단원도입 38

19~22

18

52~59단원마무리 27~28

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72 각론

단원의이론적배경

1.순열과조합의역사오늘날우리가 배우고있는 수학의기원은 대부분이

서양에서비롯되었는데, 순열과조합은동양에서그기

원을찾을수있다. 순열에대한오래된기록은중국과

인도에서발견되었다. 중국에서는우주와인간의삶의

다양함을설명하기위하여두개의효( , )를 배열

하여 8괘와 64괘를 만들었는데, 두 개의 효의 다양한

배열은역(易)의기본구조가되었다. 특히배열에관하

여 흥미를 돋우는 소재인 마방진에 관한 기록은

1세기경중국의기록에서찾아볼수있다고한다.

인도에서는 6세기경에 브라마굽타(Brahmagupta ;

598~?665)가 n개의원소를가지는집합의원소를재

배열하는 순열의 수가 n(n-1)(n-2)y2¥1이라는

것을 알고 있었다. 그로부터 약 500년 후인 1150년경

에 바스카라(Bhaskara, A. ; 1114~1185(1193?))

는 n개의 원소를 가지는 집합에서 k개의 원소를 가지

는부분집합을만들수있는경우의수가

이라는것을알고있었던것으로여겨진다. 그는예술,

건축, 음악, 의학등에서순열의개념을발견하기위해

노력하였던것으로알려져있다.

한편고대 그리스나로마 시대에는순열을 본격적으

로 다루지 않은 것으로 추측된다. 다만 보이티우스

(Boethius A. M. S ; ?480~524)가 n개의 사건들

중에서 2개를조합하는경우의수가 이된다

는것을언급했을뿐이다.

중세시대에아라비아인들과유대인들은수학과천

문학에대하여많이연구했다. 예를들어랍비벤에즈

라(Ben Ezra, 1140년경)는태양계의행성들이한줄

로 합쳐지는 배열에 대하여 연구하였고, 토성이 다른

n(n-1)11112

n(n-1)(n-2)y(n-k+1)11112111111112k(k-1)y2¥1

행성들과 가질 수 있는 위치 관계의 경우의 수를 찾으

려고노력했다. 특히벤은서로다른 7개중에서 2개를

택하는조합의수가서로다른 7개중에서 5개를택하

는 조합의 수와 같다는 것을 알고 있었다. 즉, 조합의

성질인 «C®=«C«–®를알고있었던것이다. 그러나그는

이런내용들을발표하지는않았다.

거슨(Gerson, L. B.)은 1321년에“Maassei

Choscheb”라는 책에서 서로 다른 n개 중에서 r개를

택하는순열의수와조합의수에대한일반적인원리를

설명했다. 그로부터 몇 년 후 오렘(Oresme, N. ;

?1320~1382)은서로다른 6개중에서 1개, 2개, 3개,

4개, 5개를택하는조합의수들의합, 즉

§C¡+§C™+§C£+§C¢+§C∞를 계산하였으며 구체적으로

조합의수를 §C™=15, §C£=20으로계산하였다.

순열과 조합에 대한 보다 체계적인 연구는 1494년

파촐리(Pacioli, L.; 1445~1517)가 지은“Summa

de Arithmetica”에서찾아볼수있다. 이책에서 파

촐리는 몇 명의 사람들이 탁자에 앉는 경우의 수를 구

하는방법을설명했다.

또 1523년 이탈리아의 수학자인 타르탈리아

(Tartaglia, N. F.; 1499~1557)는 주사위를 던지

는경우에순열과조합의이론을처음으로적용하였고,

1540년 영국에서는 버클리(Buckley, W.)가 n개 중

에서 r개를 택하는 조합의 특별한 경우를 예로 들

었다.

16세기의 랍비 모세스 코르도베로(Moses

Cordovero ; 1522~1570)는“Pardes Rimmonim”

을저술하였는데, 여기서그는순열과조합에대한흥미

로운 사례와 몇 가지 일반적인 내용을 언급하고 있다.

비슷한시기에부테오(Buteo)는 4개의주사위를던질

때일어날수있는경우의수와오늘날번호열쇠와원

통형열쇠번호의가능한조합의수를예로들었다.

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오늘날과같은조합의수

«C®=

을일반적인방법으로기술한사람은 1634년프랑스의

수학자인해리건(Herigone, P.; 1580~1643)이다.

파스칼(Pascal, B. ; 1623~1662)

은‘파스칼의 삼각형’이라고 불리는

이항계수의배열에서이항계수와조

합 사이의 관계를 보여 주었는데, 이

러한 관계는 페르마(Fermat, P.

; 1601~1665)를 비롯하여 당시 다른 수학자들도 관

심을갖고있었던문제이다.

‘파스칼의삼각형’으로알려진“수삼각형론”은 1653

년에저술되었지만출판하지는않았다. 파스칼은산술

삼각형을다음그림과같이구성하였다.

여기서 둘째 또는 그 이후의 행에 나타나는 임의의

성분은, 그성분바로위에있는성분부터그행의왼쪽

끝까지의성분들을더한값과같다.

또위의그림에서와같이대각선을따라서놓여있는

수들은 이항 전개식에서 나타나는 연속적인 계수임을

알수있다.

베르누이(Bernoulli, J. ; 1654~1705)는 순열과

조합에대하여많은업적을남겼다.

n(n-1)(n-2)y(n-r+1)11112111111112r!

자신의 저서인“추론 예술(Ars

Conjectandi)”에서조합에대한중

요한 정리를 언급하고 있으며

‘Permutation’이라는 용어를 처음

으로 사용하였다. 이 개념은 라이프

니츠(Leibniz, G.W. ; 1646~1716)와 월리스

(Wallis, J.; 1616~1703)도 생각했던 것으로 서로

다른용어를사용하였다.

‘Combination’이라는 용어를 오늘날 조합의 의미

로사용한사람은파스칼과월리스이다. 반면라이프니

츠는 조합의 일반적인 의미로는‘complexiones’를

사용했고, 2개의 원소로 된 집합에 대해서는

‘combinationes’를, 3개의 원소로 된 집합에 대해서

는‘conternationes’를사용했다.

오일러(Euler, L. ; 1707~1783)는 쾨니히스베르

크의다리문제를풀면서그래프이론을시작하게되었

으며 드무아브르(de Moivre, A. ; 1667~1754)는

포함·배제의원리를개발하였다.

이들을 선구자로하여 많은수학자들이 다양한문제

들을 연구하고 그에 따른 이론을 개발해 나갔고, 20세

기말에이르러서순열과조합은조합론으로발전하며

현대 수학의 커다란 한 분야가 되었다. 오늘날 조합론

은 컴퓨터 과학의 이론적 바탕을 제공하고 게임 이론

등의 새로운 응용 분야를 개척하며 발전을 거듭하고

있다.

베르누이

2.파스칼의삼각형

파스칼

1 1 1 1 1 1 y

1 2 3 4 5 6 y

1 3 6 10 15 21 y

1 4 10 20 35 56 y

1 5 15 35 70 126 y

1 6 21 56 126 252 y


74 각론

교수·학습활동 교수·학습상의유의점

모둠 학습을 위한 소집

단을사전에편성한다.

차시별교수·학습과정안(예시)

대단원

소단원

학습목표

Ⅰ.순열과조합

1. 순열과조합 01 경우의수 1/28

단계 학습과정

도입

선수학습확인

동기유발

학습목표제시

준비 학습을 이용하여 이번 단원의 학습에 필요한 기초 개념을 간단히 확인, 점검

한다.

중단원도입글을읽고단원과제를발문하여이번중단원을학습하면서이과제를

해결할수있음을암시한다.

이번차시의학습목표를제시한다.

•합의법칙을이해하고, 이를이용하여경우의수를구할수있다.

전개

탐구활동

개념학습

문제해결

생각열기를읽고, 탐구활동을모둠별로해결하도록한다.

탐구활동결과를발표하게하고, 보충설명을한다.

학습내용설명

합의법칙

두사건 A, B가동시에일어나지않을때, 사건 A, B가일어나는경우의수가각

각m, n이면, 사건A 또는사건B가일어나는경우의수는

m+n

합의법칙 - 집합으로의표현

두사건A, B가일어나는경우의집합을각각A, B라하면, 두사건A, B가일어

나는경우의수는각각 n(A), n(B)와같다

두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때, 사건 A 또는 사건 B가 일어나는 경우

의수는

n(A'B)=n(A)+n(B)

이다.

예제01을설명한다.

문제 1, 2번을풀게한다.

정답을확인하고, 보충설명을한다.

정리

학습내용정리

차시예고

본시의학습내용을정리한다.

다음차시를예고한다.

•곱의법칙을이해하고, 이를이용하여경우의수를구할수있다.

합의법칙을이해하고, 이를이용하여경우의수를구할수있다.

합의법칙과곱의법칙은

구체적인예를통해직접

나열해 보거나 수형도를

그려 보는 등의 활동을

통해그의미를이해하고

설명해보게한다.

합의 법칙은 두 사건 A,

B가동시에일어나지않

을 때 이용하는 것임을

유의하게한다.

쪽수

차시

교과서 10~15쪽

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교수·학습활동 교수·학습상의유의점

차시별교수·학습과정안(예시)

대단원

소단원

학습목표

Ⅰ.순열과조합

1. 순열과조합 01 경우의수 2/28

단계 학습과정

도입

선수학습확인

동기유발

학습목표제시

이전차시에학습한내용을간단히확인, 점검한다.

학습동기유발을위한발문을한다.

예⃝집에서 공원까지 가는 방법이 2가지, 공원에서 학교까지 가는 방법이 3가지일

때, 집에서공원을거쳐학교까지가는방법의수를말하여보자.

이번차시의학습목표를제시한다.

•곱의법칙을이해하고, 이를이용하여경우의수를구할수있다.

전개

탐구활동

개념학습

문제해결

생각열기를읽고, 탐구활동을모둠별로해결하도록한다.

탐구활동결과를발표하게하고, 보충설명을한다.

학습내용설명

곱의법칙

사건 A가 일어나는 경우의 수가 m이고, 그 각각에 대하여 사건 B가 일어나는 경

우의수가 n일때, 두사건A, B가동시에일어나는경우의수는

m_n

곱의법칙 - 집합으로의표현

두사건A, B가동시에일어나는경우의수는

n(A)_n(B)

이다.

문제 3, 4번을풀게한다.

정답을확인하고, 보충설명을한다.

정리

학습내용정리

차시예고

본시의학습내용을정리한다.

다음차시를예고한다.

•곱의법칙을활용하여자연수의약수의개수를구할수있다.

곱의법칙을이해하고, 이를이용하여경우의수를구할수있다.

곱의 법칙은 두 사건 A,

B가 동시에 일어날 때

이용하는 것임을 유의하

게한다.

쪽수

차시

교과서 15~16쪽

모둠 학습을 위한 소집

단을사전에편성한다.

(066~097)269확통지도서1-1 2014.7.14 11:45 AM 페이지75 mac02 T

교과서 12 쪽

1염기의 배열

DNA(Deoxyribonucleic acid)는유전자의기본구성요소로아데닌(A), 구아닌(G), 사이

토신(C), 티민(T)의네가지염기가 2중나선구조로이루어져있는물질이다. DNA를구성하고

있는이염기들의배열에따라유전정보가정해지는데, 그염기배열에따라각개체가합성하는단

백질의아미노산순서와배열이결정된다.

이때RNA(Ribonucleic acid)는DNA로부터유전정보를받아단백질을합성하는역할을

한다. RNA를구성하는염기들은티민(T)이우라실(U)로대체되는것을제외하고는DNA를

구성하는염기와같다.

이와같은염기의배열을분석하는것은유전적요소를연구하는유전공학에서매우중요한일이

다. 염기의배열을분석하는과정에서순열과조합이중요한도구로쓰인다.

이단원을배우면서다음과제를해결하여보자. 34`쪽

4가지종류의염기중몇개를택하는경우의수를구할수있을까?

순열과조합

76 각론

1 순열과조합

이번 중단원에서는 다음 내용을 지도한다.

① 합의 법칙과 곱의 법칙을 이해하고, 이를 이

용하여 경우의 수를 구할 수 있게 한다.

② 순열의 뜻을 알고, 순열의 수를 구할 수 있게

한다.

③ 원순열, 중복순열, 같은 것이 있는 순열을 이

해하고, 그 순열의 수를 구할 수 있게 한다.

④ 조합의 뜻을 알고, 조합의 수를 구할 수 있게

한다.

⑤ 중복조합을 이해하고, 그 조합의 수를 구할

수 있게 한다.

중단원을 시작하며

중단원의 구성

소단원명 지도 내용

01 경우의수

02 순열

03 조합

수준별 학습

합의 법칙

곱의 법칙

순열

원순열

중복순열

같은 것이 있는 순열

조합

중복조합

중단원 확인 학습 문제

유한개의 대상을 서로 다르게 배열하는 방법

은 특정 조건에서 가능한 경우의 수, 조합의

수에대한추론과최적화를핵심내용으로한

다. 예를 들어 순열과 조합은 염기 서열을 분석하여 유

전적 요소를 연구하는 유전 공학, 여섯 개의 점을 이용

하여 시각장애인의 의사소통을 위해 고안된 점자, 기업

의 경영 혁신을 위한 구조 분석 및 인력 재배치, 다양한

분위기를 연출하기 위한 패션의 코디 등의 문제를 해결

하는데매우중요한도구가된다.

이 단원에서는 순열과 조합을 이용하여 확률의 기초가

되는 경우의 수를 빠짐없이 중복되지 않게 보다 합리적

으로구할수있게한다.

들어가면서

성취 기준과 성취 수준

1. 합의 법칙과

곱의법칙을이해

하고, 이를 이용

하여경우의수를

구할수있다.

2. 순열, 원순열,

중복순열, 같은

것이 있는 순열

을 이해하고, 그

순열의 수를 구

할수있다.

성취 기준

상

중

성취 수준

합의법칙과곱의법칙을적절히활용하

여경우의수를구하고, 그 과정을설명

할수있다.

합의 법칙과 곱의 법칙을 이해하고, 이

를이용하여경우의수를구할수있다.

직접경우를나열할수있거나수형도를

이용하여경우의수를구할수있다.

순열, 원순열, 중복순열, 같은것이있는

순열의 수를 구하고, 그 과정을 설명할

수있다.

순열, 원순열, 중복순열, 같은것이있는

순열의 뜻을 이해하고, 그 순열의 수를

구할수있다.

순열, 원순열, 중복순열, 같은 것이있는

순열의뜻을말할수있고, nPr, (n-1)!,

«P®의 n과 r, n!11115p!q!ys!

하

중

하

상

(066~097)269확통지도서1-1 2014.7.14 11:45 AM 페이지76 mac02 T


교과서 13 쪽

01●합의법칙과곱의법칙을이해하고, 이를이용하여경우의수를구할수있다.

경우의수

합의 법칙이란 무엇인가?

자동차산업

우리나라에 처음 들어온 자동차는 1903년

고종의 4기통짜리 캐딜락이었는데, 이

당시 자동차는 고가의 사치품으로서 부

의상징이었다. 그러나자동차가대중화

되면서, 자동차는생활의편익을가져다

주는소비재로서뿐만아니라구매자개인

의개성과욕구를충족시켜주는개성화상품으

로그개념이바뀌었다.

일반적으로개인이사용하는자동차는엔진배기량에따라경차, 소형차, 중형차, 대

형차로나눌수있다.

탐구 활동 어느 자동차 전시장에는 경차 5종류, 소형차 3종류, 중형차 2종류가 전시되어 있다. 다음

물음에답하여보자.

1. 전시된경차또는소형차중에서한대를택하는경우의수를구하여보자.

2. 전시된소형차또는중형차중에서한대를택하는경우의수를구하여보자.

3. 전시된 경차가 m대, 소형차가 n대일 때, 경차 또는 소형차 중에서 한 대를 택하는 경우의

수는어떻게구할수있는지말하여보자.

생각 열기

경차가A, B, C, D, E의 5종류, 소형차가 a, b, c의 3종류일때경차또는소형차

중에서한대를택하는경우를생각하여보자.

경차를택하는경우의수는A, B, C, D, E이므로　5

소형차를택하는경우의수는 a, b, c이므로　3

이다. 이들두가지의경우는동시에일어나지않으므로경차또는소형차를택하는

경우의수는

5+3=8

이다.

01 경우의수

① 합의 법칙과 곱의 법칙을 이해하게 한다.

② 합의 법칙과 곱의 법칙을 이용하여 경우의 수를 구할 수

있게 한다.

소단원 지도 목표

1. 합의 법칙과 곱의 법칙은 구체적인 예를

통해 직접 나열해 보거나 수형도를 그려

보는 등의 활동을 통해 그 의미를 이해하

고설명해보게한다.

2. 집합의 개념을 이용하여 합의 법칙과 곱

의법칙을이해하게한다.

3. 어떤사건을시행하였을때두사건 A, B

가 동시에 일어날 수 있는 경우와 동시에

일어날 수 없는 경우, 즉 A;B+Δ인 경

우와 A;B=Δ인 경우일 때를 구분하여

사건 A 또는 사건 B가 일어나는 경우의

수를구하는방법을알게한다.

4. 합의 법칙과 곱의 법칙은 세 가지 이상의

사건에 대해서도 성립한다는 것을 이해할

수있도록지도한다.

교수·학습상의 유의점

역사상 처음으로 기계의 힘에 의하여 주행한 차는 1770

년 프랑스의 퀴뇨(Cugnot, N. J.)가 제작한 증기자동

차이다. 이 증기자동차는 앞바퀴가 한 개인 삼륜차로,

중량이크고보일러의용량이작아그속도가겨우사람

이걷는정도인시속 5 km이었다고한다.

이 밖의 자동차의 역사, 상식 등의 보다 자세한 정보는

교통박물관 홈페이지(http://www.stm.or.kr)에서

찾아볼수있다.

활동 목표•전시된 자동차 중에서 한 대를 택하는 경우의

수를 구하는 과정을 통해 합의 법칙을 이해하게 하려는 것

이다.

탐구 활동의 이해

1. 8 2. 5

3. 두경우의수의합m+n으로구할수있다.

생각 열기 참/고/자/료성취 기준 성취 수준

•합의법칙(addition principle)

•곱의법칙(multiplication principle)

새로 나온 용어와 기호

3. 조합, 중복조

합을 이해하고,

그 조합의 수를

구할수있다.

중

상

(단, p+q+y+s=n)의 p, q, y, s를

쉽게적용하여해결할수있는상황에서

그순열의수를구할수있다.

조합, 중복조합의수를구하고, 그 과정

을설명할수있다.

조합, 중복조합의뜻을이해하고, 그 조

합의수를구할수있다.

조합, 중복조합의 뜻을 말할 수 있고,

«C®, «≠®–¡C®의 n과 r를 쉽게 적용하여

해결할 수 있는 상황에서 그 조합의 수

를구할수있다.

하

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교과서 14 쪽

반복할 수 있는 실험이나

관찰에 의하여 일어나는 결과

를사건이라고한다.

세 개이상의사건에서어느두사건도동시에일어나지않으면합의법칙이성립한다.참고

합의법칙

두사건 A, B가동시에일어나지않을때, 사건 A, B가일어나는경우의수가각각 m, n

이면, 사건 A 또는사건 B가일어나는경우의수는

m+n

3종류의과일과 4종류의쿠키가있다. 이때 한가지를골라먹을수있는경우의수를구하

여라.

1문제

이제집합의개념을이용하여합의법칙을생각하여보자.

두사건A, B가일어나는경우의집합을각각A, B라하면, 두사건A, B가일

어나는경우의수는각각 n(A), n(B)와같다. 이때사건A 또는사건B가일어나

는경우의집합은A'B이고, 두사건A, B가동시에일어나는경우의집합은

A;B로나타낼수있으므로사건A또는사건B가일어나는경우의수는

n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)

이다. 한편두사건A, B가동시에일어나지않을때에는A;B=Δ이므로

n(A;B)=0이다. 따라서두사건A, B가동시에일어나지않을때, 사건A 또는

사건B가일어나는경우의수는

n(A'B)=n(A)+n(B)

이다. 이것은두사건A, B에대한합의법칙을나타낸다.

예제 01큰주사위의눈의수를 x, 작은주사위의눈의수를 y라고할때, 두 개의주사위를

동시에던져서나오는눈의수를순서쌍 (x, y)로나타내어보자.

눈의수의합이 4인사건을A라고하면

A={(1, 3), (2, 2), (3, 1)}

눈의수의합이 8인사건을B라고하면

B={(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}

이때두사건A, B는동시에일어나지않으므로구하는경우의수는

n(A'B)=n(A)+n(B)=3+5=8 답 8

크기가 서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나온 눈의 수의 합이 4 또는 8이

되는경우의수를구하여라.

풀이

세사건 A, B, C에대하여

A;B=Δ, B;C=Δ, C;A=Δ일때,

n(A'B'C)

=n(A)+n(B)+n(C)

일반적으로경우의수에대하여다음과같은합의법칙이성립한다.

78 각론

목표| 합의 법칙을 이용하여 경우의 수를 구할

수 있게 한다.

풀이| 과일을 선택할 경우의 수는 3, 쿠키를

선택할 경우의 수는 4이므로 구하는 경우의

수는

3+4=7

1

❶사건은 집합으로 나타낼 수 있으며 이때

사건의 경우의 수는 집합의 원소의 개수

와같다.

사건 A 또는 사건 B가 일어나는 경우의

수는

n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)

로구할수있다.

여기서 n(A;B)=0일때합의법칙

n(A'B)=n(A)+n(B)

가성립한다.

❷세사건 A, B, C에대해서도합의법칙이성립한다.

n(A'B'C)

=n(A)+n(B)+n(C)-n(A;B)-n(B;C)

-n(C;A)+n(A;B;C)

로구할수있다.

여기서 세 사건 A, B, C 중 어느 두 사건도 동시에

일어나지않을때, 즉

n(A;B)=n(B;C)=n(C;A)=n(A;B;C)=0

일때, 합의법칙

n(A'B'C)=n(A)+n(B)+n(C)

가성립한다.

❸경우의수를구할때는빠짐없이중복되지않게모든

경우의 수를 생각한다. 이때 사건이 동시에 일어날

수있는사건인지아닌지를파악해야한다. 수형도나

표를만들어서그규칙성을찾으면경우의수를구하

기편리하다.

본문 해설

❷

❸

❶

‘사색문제’란 인접한 나라를 서로 다른 색으로 칠할 때, 임의의

지도 위의 나라들을 네 가지 색을 넘지 않고 칠할 수 있다는 가

설을 말한다. 이 문제는 1852년 영국의 대학원생인 구드리에 의

하여 처음 제기되어 그 스승인 드모르간(de Morgan)과 수학

자 해밀턴(Hamilton)을 거쳐 세상에 알려졌지만 결국 논리적

인 증명은 미해결 과제로 남게 되었다.

한 세기가 지난 1976년에 이 문제는 드디어 미국의 수학자 아펠

(Appel)과 하켄(Haken)이 컴퓨터를 이용하여 모든 경우를

확인하여 이 문제를 해결하였는데, 컴퓨터의 소요 시간이 무려

1200시간이나 되었다고 한다.

읽/기/자/료 사색문제

(066~097)269확통지도서1-1 2014.7.14 11:45 AM 페이지78 mac02 T


교과서 15 쪽

한개의주사위를두번던질때, 다음을구하여라.

⑴나온눈의수의합이 5의배수인경우의수

⑵나온눈의수의합이 10 이상인경우의수

2문제

곱의 법칙이란 무엇인가?

영화관

1907년서울종로 3가에단성사가세워졌을당

시영화관은주로전통연극을공연하는장소였

다. 그런데 1990년대 이후 관람 수요가 급증하

고영화시장이개방되면서영화관은다양한영

화를상영할뿐만이아니라식사와쇼핑등을즐

길수있는복합적인공간인멀티플렉스로거듭

나게되었고, 어느덧우리삶속의문화공간으로자리잡았다.

탐구 활동 어떤 영화관에서 현재 판타지 영화 3편, 코미디 영화 2편, 공포 영화 5편을 상영하고 있

다고한다. 이 영화관에서현주와원상이가영화를관람하려고할때, 다음 물음에답하여

보자.

1. 현주는판타지영화한편을먼저관람한뒤에코미디영화한편을관람하려고한다. 현주

가영화를관람하는경우의수를구하여보자.

2. 원상이는코미디영화한편을먼저관람한뒤에공포영화한편을관람하려고한다. 원상

이가영화를관람하는경우의수를구하여보자.

생각 열기

판타지영화 3편중에서한편을먼저보고, 코미디영화 2편중에서한편을보는

경우를생각하여보자.

판타지영화 3편중에서한편을보는경우의수

는 3이고, 코미디영화 2편중에서한편을보는경

우의수는 2이다. 따라서오른쪽그림에서알수있

듯이판타지영화를먼저보고, 코미디영화를보는

경우의수는

3_2=6

이다.

판타지 영화`1코미디 영화`1

코미디 영화`2


코미디 영화`2


코미디 영화`2

목표| 합의 법칙을 이용하여 경우의 수를 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴눈의수의합이 5인사건을 A라고하면

A={(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}

눈의수의합이 10인사건을 B라고하면

B={(4, 6), (5, 5), (6, 4)}

이때 두 사건 A, B는 동시에 일어나지 않으므로 구

하는경우의수는

n(A'B)=n(A)+n(B)

=4+3=7

⑵눈의수의합이 10인사건을 A라고하면

A={(4, 6), (5, 5), (6, 4)}

눈의수의합이 11인사건을 B라고하면

B={(5, 6), (6, 5)}

눈의수의합이 12인사건을 C라고하면

C={(6, 6)}

이때 세 사건 A, B, C는 동시에 일어나지 않으므로

구하는경우의수는

n(A'B'C)=n(A)+n(B)+n(C)

=3+2+1=6

2

단성사(團成社)는 1907년 서울 종로3가에 세

워진 한국 최초의 본격적인 상설 영화관이

다. 1919년 10월 한국 최초의 영화로 알려진

“의리적 구토”를 단성사에서 개봉했으며, 이

날을 영화의 날로 제정했다. 그리고 1926년

에는 나운규의 민족영화“아리랑”이 개봉되

었다.

생각 열기 참/고/자/료

활동 목표•상영하는 영화 중에서 한 편을 먼저 관람한 뒤

에 다른 한 편을 관람하는 경우의 수를 구하는 과정을 통해

곱의 법칙을 이해하게 하려는 것이다.


1. 판타지 영화를 고르는 경우의 수는 3이고, 그 각각에

대하여 코미디 영화를 고르는 경우의 수는 2이므로

구하는경우의수는

3_2=6

2. 코미디 영화를 고르는 경우의 수는 2이고, 그 각각에

대하여 공포 영화를 고르는 경우의 수는 5이므로 구


2_5=10


교과서 16 쪽

일반적으로경우의수에대하여다음과같은곱의법칙이성립한다.

세개이상의사건에서도곱의법칙이성립한다.참고

곱의법칙

사건 A가일어나는경우의수가m이고, 그 각각에대하여사건 B가일어나는경우의수가

n일때, 두 사건 A, B가동시에일어나는경우의수는

m_n

이제집합의개념을이용하여곱의법칙을생각하여보자.

사건A가일어나는경우의집합을A={a¡, a™, y, aμ}, 사건B가일어나는경우

의집합을B={b¡, b™, y, b«}이라고하자.

A의각원소에대하여 b¡, b™, y, b«이대응되므로두사건A, B가동시에일어나

는경우를순서쌍으로나타내면다음과같다.

(a¡, b¡), (a¡, b™), y, (a¡, b«)

(a™, b¡), (a™, b™), y, (a™, b«)

⋯ ⋯ ⋯

(aμ, b¡), (aμ, b™), y, (aμ, b«)

따라서두사건A, B가동시에일어나는경우의수는

n(A)_n(B)

이다. 이것은두사건A, B에대한곱의법칙을나타낸다.

다음을구하여라.

⑴십의자리숫자와일의자리숫자가모두홀수인두자리의자연수의개수

⑵백의자리숫자는홀수, 십의자리숫자와일의자리숫자는짝수인세자리의자

연수의개수

4문제

상우는 5종류의셔츠와 4종류의바지를가지고있다. 상우가자신의셔츠와바지를각각하

나씩골라입을수있는경우의수를구하여라.

3문제

( | | | { | | | 9

n가지

(|{|9

m가지

80 각론

목표| 곱의 법칙을 이용하여 경우의 수를 구할

수 있게 한다.

풀이| 상우가 자신의 셔츠를 하나 골라 입는

경우의 수는 5이고, 그 각각에 대하여 바지

를 하나 골라 입는 경우의 수는 4이므로 구


5_4=20

3


수 있게 한다.

풀이| ⑴ 0부터 9까지의 수 중에서 홀수인

경우의 수는 5이므로 구하는 두 자리의

자연수의개수는

5_5=25

⑵ 0부터 9까지의 수 중에서 홀수인 경우의

수는 5, 짝수인경우의수는 5이므로구하

는세자리의자연수의개수는

5_5_5=125

4

2. 수형도

점과 선으로 연결되어 있고 단일폐곡선이 없는 도형을 수

형도(tree)라고 한다.

수형도는 어떤 사건이 일어나는 모든 경우를 나무에서 가

지가 나누어지는 것과 같은 모양으로 나타낼 수 있다.

4

52

16

73

8

1. 곱집합

두사건 A, B가일어나는경우의집합을각각

A={a¡, a™, y, aμ},

B={b¡, b™, y, b«}

으로 나타내면 두 사건 A, B가 동시에 일어나는 모든 경

우의 집합은

A_B={(a‘, bΔ)|a‘<A, bΔ<B, i=1, 2, y m, j=1, 2,

y, n}

과 같이 나타낼 수 있다.

따라서 다음이 성립함을 알 수 있다.

n(A_B)=n(A)_n(B)

또 세 사건 A, B, C에 대해서도

n(A_B_C)=n(A)_n(B)_n(C)

가 성립한다.

지/도/자/료

(066~097)269확통지도서1-1 2014.7.14 11:45 AM 페이지80 mac02 T


교과서 17 쪽

다음수의약수의개수를구하여라.

⑴ 216 ⑵ 600

5문제

p, q, r가 서로 다른 소수이고, l, m, n이 음이 아닌 정수일 때, p¬ qμ r« 의 약수의 개수는

(l+1)(m+1)(n+1)개임을보여라.

6문제

예제 02144를소인수분해하면

144=2› _3¤

2›의약수의집합을 A, 3¤의약수의집합을 B라

고하면

A={1, 2, 2¤ , 2‹ , 2› }

B={1, 3, 3¤ }

이때 2›의 약수 각각에 대하여 3¤의 약수를 각각

곱하면 144의약수가되므로 144의약수의개수는

n(A)_n(B)=5_3=15

답 15

144의약수의개수를구하여라.

풀이 _

1

2

2¤

2‹

2›

1

1

2

2¤

2‹

2›

3

3

2_3

2¤ _3

2‹ _3

2› _3

3¤

3¤

2_3¤

2¤ _3¤

2‹ _3¤

2› _3¤소수 a, b에대하여

aμ b« (m, n은 음이 아닌 정수)

의약수의개수는

(m+1)(n+1)

이다.

특별한 언급이 없는 한 일

반적으로‘약수’는양의약수를

의미한다.

2006년부터 시행된‘자동차 전국 단일 번호판

제도’에 따라 발급되는 자동차 번호판은 오른

쪽 그림과 같이 두 자리 숫자와 한 글자의 한

글 및 네 자리 숫자로 표시된다. 이때 최대로

만들수있는자동차번호판의개수는곱의법

칙으로구할수있다. 이와같이주변에서곱의

법칙이적용되는경우를조사하여말하여보자.

사고력기르기▶추론

▶의사소통

▶문제 해결

발전

목표| 곱의 법칙을 이용하여 약수의 개수를 구

할 수 있게 한다.

풀이| p, `q, `r가서로다른소수이고,

l, `m, `n이 음이 아닌 정수일 때, plqmrn의 양

의약수는 paqbrc의꼴이다.

이때 a, b, c는정수이고, 0…a…l,

0…b…m, 0…c…n이다.

따라서 plqmrn의 양의 약수의 개수는 곱의

법칙에의하여 (l+1)(m+1)(n+1)이다.

6

자연수 N이 N=på q∫ rç과 같이 소인수분해될 때, N의 양의

약수는 p¬ qμ r« (l=0, 1, y, a, m=0, 1, y, b, n=0, 1,

y, c)의 꼴로 나타내어진다.

따라서 자연수 N의 양의 약수의 개수는

(a+1)(b+1)(c+1)(개)

이고, 양의 약수의 총합은

(1+p+y+på )(1+q+y+q∫ )(1+r+y+rç )

이다.

이때 2‹ 의 약수 각각에 대하여 3의 약수

와 5¤ 의 약수를 각각 곱하면 600의 약수

가되므로 600의약수의개수는

n(A)_n(B)_n(C)=4_2_3=24

지/도/자/료 양의 약수의 개수와 약수의 총합

목표| 곱의 법칙을 이용하여 약수의 개수를 구할 수 있게

한다.

풀이| ⑴ 216을소인수분해하면　216=2‹ _3‹

2‹ 의 약수의 집합을 A, 3‹ 의 약수의 집합을 B라고

하면

A={1, 2, 2¤ , 2‹ }

B={1, 3, 3¤ , 3‹ }

이때 2‹의약수각각에대하여 3‹의약수를각각곱하

면 216의약수가되므로 216의약수의개수는

n(A)_n(B)=4_4=16

⑵ 600을소인수분해하면　600=2‹ _3_5¤

2‹ 의 약수의 집합을 A, 3의 약수의 집합을 B, 5¤ 의

약수의집합을 C라고하면

A={1, 2, 2¤ , 2‹ }

B={1, 3}

C={1, 5, 5¤ }

5

출제 의도| 생활 주변에서 곱의 법칙이 적용되는

경우를 조사하여 봄으로써 곱의 법칙의 유용성을

알아보게 한다.

사고력 기르기 의사소통

풀이| 두 사람이 가위바위보를 할 때 나올 수 있는 모든

경우의 수, 전화번호의 개수, 컴퓨터의 암호설정, 지도

의 색칠, 운동 경기에서 대진표 작성 등에서 곱의 법칙

이적용이된다.

(066~097)269확통지도서1-1 2014.7.14 11:45 AM 페이지81 mac02 T

교과서 18 쪽

02●순열의뜻을알고, 순열의수를구할수있다.

●원순열, 중복순열, 같은것이있는순열을이해하고, 그순열의수를구할수있다.

순열

순열이란 무엇인가?

승부차기

승부차기는축구경기에서정규시간과연장전을

모두치렀음에도불구하고승부를가리지못했을

경우각팀의선수가한번씩번갈아가며 5회의

승부차기를해서승부를가리는일을말한다.

한국스포츠심리학회지에 따르면 선수들이 가장

싫어하는 승부차기 순서는 1번과 5번으로, 가장

먼저혹은가장마지막에차야한다는부담감때문이라고한다.

생각 열기

탐구 활동 어느축구시합에서승부차기를할 5명의키커 A, B, C, D, E를선발하였다. 선발된 5명

의키커에대하여다음물음에답하여보자.

1. 선발된 5명의 키커 중에서 1번과 5번 키커를 먼저 정하려고 한다. 이때 1번과 5번 키커를

정하는경우의수를구하여보자.

2. 선발된 5명의키커중에서 1번부터 5번까지 5명의순서를정하는경우의수를구하여보자.

탐구활동에서선발된 5명의키커에대하여 1번키커

를정하는경우의수는 5이고, 그각각의경우에대하여

5번키커를정하는경우의수는 4이므로 5명의키커중

에서 1번과 5번키커를정하는경우의수는

5_4=20

이다.

일반적으로서로다른 n개에서 r(r…n)개를택하여

일렬로나열하는것을 n개에서 r개를택하는순열이라

하고, 이순열의수를기호로

«P®

와같이나타낸다.

«P®에서 P는 Permutation

(순열)의첫글자이다.

A

…

B

C

D

E

E

A

B

C

D

5번 키커1번 키커

82 각론

02 순열

① 순열의 뜻을 알고, 순열의 수를 구할 수 있게

한다.

② 원순열의 뜻을 알고, 그 순열의 수를 구할 수

있게 한다.

③ 중복순열의 뜻을 알고, 그 순열의 수를 구할

수 있게 한다.

④ 같은 것이 있는 순열의 뜻을 알고, 그 순열의

수를 구할 수 있게 한다.


1. 순열과 순열의 수를 혼동하지 않게 한다.

순열이란 순서를 고려하여 나열하는 것을

말하고, 순열의 수는 모든 순열의 개수임

을이해하게한다.

2. 0!은 의미가 없으나 실제 순열의 계산에

서는 필요하므로 0!=1로 정한다는 것을

이해하게한다.

3. 원순열의 수를 계산할 때는 간단한 경우

만 다루고, 염주순열과 같은 것이 있는 원

순열은다루지않는다.

4. 같은 것이 있는 순열의 수는 먼저 같은 것들을 서로

구분한경우의수를구한다음, 같은것들끼리바꾸는

경우의수를나누어계산하는방법임을알게한다.

5. 순열의 수 «P®에서는 nær이지만 중복순열의 수 «P®에서는 n<r일수도있음을이해하게한다.


•순열(順列, permutation)

•계승(階乘, factorial)

•원순열(圓順列, circular permutation)

•중복순열(重複順列, repeated permutation)

•«P®, n!, «P®


축구규칙은축구경기에대한종합적인규칙으로, 국제

축구평의회(IFAB)에의하여쓰여지고관리된다.

대한축구협회(KFA)의 홈페이지(http://www.kfa.

or.kr)에 방문하면 축구에 관한 다양한 정보를 얻을 수

있다.


활동 목표•승부차기에서 키커의 순서를 정하는 경우의 수

를 구하는 과정을 통해 순열의 의미를 알게 하려는 것이다.


1. 1번 키커를 정하는 경우의 수는 5이고 5번 키커를 정

하는경우의수는 4이므로구하는경우의수는

5_4=20

2. 5명의순서를정하는경우의수는

5_4_3_2_1=120

(066~097)269확통지도서1-1 2014.7.14 11:45 AM 페이지82 mac02 T


목표| 순열의 공식을 활용할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ n(n-1)=56=8_7에서　n=8

⑵ ∞P®=60=5_4_3에서　r=3

⑶ §P®=360=6_5_4_3에서　r=4

⑷ n(n-1)(n-2)=120=6_5_4에서　n=6

2

목표| 순열의 수를 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ 6 ⑵ 4 ⑶ 720 ⑷ 1680

1

❶ «P®=n(n-1)(n-2)y(n-r+1)은 n에서 0, 1, 2,

y, r-1을 각각 뺀 r개의 수의 곱이다. 따라서 마지

막수는 n-(r-1)=n-r+1이되는것에주의한다.

본문 해설

교과서 19 쪽

이를테면선발된키커 5명중 2명의순서를정하는것과같이서로다른 5개에서

2개를택하는순열의수는 ∞P™이다.

이제순열의수 «P®를구하는방법을알아보자.

서로다른 n개에서 r개를택하여일렬로나열할때, 첫번째자리에올수있는경

우는 n가지이고, 두번째자리에올수있는경우는첫번째자리에놓인 1개를제외

한 (n-1)가지, 세번째자리에올수있는경우는앞의두자리에놓인 2개를제외

한 (n-2)가지이다. 이런방법으로계속해나가면 r번째자리에올수있는경우는

(n-r+1)가지이다.

따라서서로다른n개에서 r개를택하는순열의수는곱의법칙에의하여

«P®=n(n-1)(n-2)y(n-r+1) (단, 0<r…n)

이다.

이상을정리하면다음과같다.

«P®는 n부터 시작하여 1만

큼씩 작은 수를 차례로 r개 곱

한것이다.

첫 번째

n가지

두 번째 세 번째 y

y

r번째

(n-1)가지 (n-2)가지 (n-r+1)가지

순열의수 [1]

서로다른 n개에서 r개를택하는순열의수는

«P®=n(n-1)(n-2)y(n-r+1) (단, 0<r…n)r개

다음값을구하여라.

⑴ £P™ ⑵ ¢P¡

⑶ §P∞ ⑷ •P¢

1문제

⑴ ∞P™=5_4=20 ⑵ ¶P£=7_6_5=210보기

다음등식을만족시키는 n 또는 r의값을구하여라.

⑴ «P™=56 ⑵ ∞P®=60

⑶ §P®=360 ⑷ «P£=120

2문제

교과서 20 쪽

회원수가 12명인학생복지위원회에서회장, 부회장, 총무를각각 1명씩선출하는경우의

수를구하여라.

3문제

서로다른 n개에서 n개모두를택하는순열의수는 «P®에서 r=n인경우이므로

다음과같다.

«P«=n(n-1)(n-2)y3¥2¥1

이와같이 1부터 n까지의자연수를차례로곱한것을 n의계승이라고하며, 이것

을기호로

n!

과같이나타낸다. 즉,

n!=n(n-1)(n-2)y3¥2¥1

이다.

한편 r<n일때, 순열의수 «P®를계승을이용하여다음과같이나타낼수있다.

«P®=n(n-1)(n-2)y(n-r+1)

=

=

여기서 0!=1로정의하면위의식은 r=n일때에도성립한다.

또위의식에서 r=0이면 «Pº= =1이므로 «Pº=1로정의한다.


n!12n!

n!1551155(n-r)!

n(n-1)(n-2)y(n-r+1)(n-r)y3¥2¥1155155155155155155155155155155155155155155(n-r)y3¥2¥1

n!은

‘n 팩토리얼(factorial)’

이라고읽는다.

순열의수 [2]

⑴ «P®= (단, 0…r…n)

⑵ «P«=n!, 0!=1, «Pº=1

n!1111(n-r)!

⑴ §P™= = =30 ⑵ 3!=3_2_1=66_5_4_3_2_11111111144_3_2_1

6!11115(6-2)!

보기


⑴ 5! ⑵ 4!_0!

⑶ §P§ ⑷ ¶P¢_3!

4문제

❶

❷

❸

목표| 순열을 이용하여 경우의 수를 구할 수 있게 한다.

풀이| 서로다른 12개중에서 3개를택하는순열의수와

같으므로　¡™P£=12_11_10=1320

3

❷ n!은 n이 자연수인 경우에만 정의되었으나 0!=1로

정의하면등식 n!=n(n-1)!이 n=1일 때에도 성립

하고, 여러가지경우에편리하다.

❸ «P®의값을계산하는방법에는다음두가지가있다.

⁄ «P®=n(n-1)(n-2)y(n-r+1)

¤ «P®=

∞P™, §P£과 같이 n과 r의 값이 숫자로 주어질 때에는

⁄의 방법으로 계산하는 것이 간편하지만, n과 r의

값이 문자로 주어질 때에는 ¤의 방법으로 계산하는

것이편리하다.

n!13112(n-r)!

본문 해설

r개


교과서 21 쪽

6개의숫자 1, 2, 3, 4, 5, 6을한번씩사용하여여섯자리의자연수를만들때, 다음을구하

여라.

⑴짝수가되는경우의수

⑵홀수 3개가이웃하는경우의수

5문제

어른 3명과어린이 3명이한줄로서서사진을찍을때,

다음을구하여라.

⑴양쪽끝에어른이서는경우의수

⑵어른과어린이가교대로서는경우의수

6문제

A, B가이웃하는경우는A,

B를하나로묶어서생각한다.

예제 01

⑴홀수가되는경우는일의자리숫자가 1, 3, 5인세가

지가있다. 이때나머지 4개의숫자를나열하는경우의

수는 4개에서 4개를택하는순열의수이므로 ¢P¢이다.

따라서곱의법칙에의하여구하는경우의수는

3_¢P¢=3_4!=72

⑵이웃하는짝수를하나로묶어서생각하고 3개의홀수와

함께 숫자 4개를 일렬로 나열하는 순열의 수는 ¢P¢이

다. 이때 그 각각에 대하여 짝수 2개가 자리를 바꾸는

경우의수가 ™P™이다.

따라서곱의법칙에의하여구하는경우의수는

¢P¢_™P™=4!_2!=48

답 ⑴ 72 ⑵ 48

5개의숫자 1, 2, 3, 4, 5를한번씩사용하여다섯자리의자연수를만들때, 다음을구하

여라.

⑴홀수가되는경우의수

⑵짝수 2개가서로이웃하는경우의수

풀이

4!135

짝홀 홀 홀짝

오른쪽 그림은 5개의 도시 A, B, C, D, E를연결하는 도로를 나

타낸 것이다. 이 도로를 이용하여 5개의도시를 모두 여행하는 경

우의 수를 구하여라. (단, 한 번 여행한 도시는 다시 지나가지 않

는다.)

7문제 A B

C D E

발전

실생활

84 각론

목표| 순열을 이용하여 경우의 수를 구할 수 있

게 한다.

풀이| ⑴ 짝수가 되는 경우는 일의 자리 숫

자가 2, 4, 6인세가지가있다. 이때나머

지 5개의 숫자를 나열하는 순열의 수는

∞P∞이다.

따라서구하는경우의수는

∞P∞_3=5!_3=360

⑵이웃하는 홀수를 하나로 묶어서 생각하고

3개의 짝수와 함께 숫자 4개를 일렬로 나

열하는 순열의 수는 ¢P¢이다. 이때 그 각

각에대하여홀수 3개가자리를바꾸는경

우의수는 £P£이다.


¢P¢_£P£=4!_3!=144

5

목표| 순열을 이용하여 실생활 문제를 해결할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ 양쪽 끝에 어른 두 명이 서는 경우의 수는 £P™이고, 나머지네명이가운데에서는경우의수는 ¢P¢이다.


£P™_¢P¢=6_4!=144

⑵어른 3명이 한 줄로 서는 경우의 수는 £P£, 어린이 3

명이한줄로서는경우의수는 £P£, 어른과어린이가

교대로서는경우의수는 2이다.


£P£_£P£_2=3!_3!_2=72

6

목표| 순열을 활용하여 문제를 해결할 수 있게 한다.

풀이| 두 도시 A, B를 직접 연결하는 도로와 세 도시

C, D, E를 직접 연결하는 도로가 없으므로 5개의 도시

를 모두 여행하려면 C, D, E와 A, B를 교대로 지나가

야한다.

C, D, E를일렬로나열하는경우의수는　3P3=3!=6

A, B를일렬로나열하는경우의수는　2P2=2!=2

이때 일렬로 나열한 C, D, E 사이에 A, B를 넣어야 하

므로구하는경우의수는　6_2=12

7

목표| 순열의 수에 대한 공식을 증명할 수 있게 한다.

풀이| (가): n-r, (나): n

8

목표| 순열의 수를 계승을 이용하여 구할 수 있

게 한다.

풀이| ⑴ 5!=5_4_3_2_1=120

⑵ 4!_0!=(4_3_2_1)_1=24

⑶ §P§=6!=6_5_4_3_2_1=720

⑷ ¶P¢_3!= _3!=7!

⑷ ¶P¢_3!=7_6_5_4_3_2_1=5040

7!13112(7-4)!

4

(066~097)269확통지도서1-1 2014.7.14 11:45 AM 페이지84 mac02 T


교과서 22 쪽

예제 02n¥«–¡P®–¡=n¥

n¥«–¡P®–¡= =«P®

따라서 «P®=n¥«–¡P®–¡이성립한다.

n!11112(n-r)!

(n-1)!1111111124{(n-1)-(r-1)}!

1…r…n일때, 등식 «P®=n¥«–¡P®–¡이성립함을증명하여라.

증명

다음은 1…r<n일 때, 등식 «P®=«–¡P®+r¥«–¡P®–¡임을 증명하는 과정이다. ㈎, ㈏에 알맞

은식을써넣어라.

8문제

1…r…n일때, 등식 «P®=n¥«–¡P®–¡이성립함은다음과같이설명할수있다.

이와 같은 방법으로 1…r<n일때, 등식 «P®=«–¡P®+r¥«–¡P®–¡이성립함을설명하

여보자.


▶의사소통

▶문제 해결

«–¡P®+r¥«–¡P®–¡

= +

= +

=

= =«P®n!1111(n-r)!

``````````````¥(n-1)!111111114(n-r)!

r¥(n-1)!11111(n-r)!

(`````` ````````)¥(n-1)!1111111113(n-r)!

r¥(n-1)!111111112{(n-1)-(r-1)}!

(n-1)!111111{(n-1)-r}!

«P®는 n개에서 r개를택하여일렬로나열하는경우의수이다.

n개에서한개를택하는경우는 n가지이고, 그각각에대하여하나를택하

고 남은 (n-1)개에서 (r-1)개를 택하여 일렬로 나열하는 경우의 수는

«–¡P®–¡이다.

따라서 «P®=n¥«–¡P®–¡이성립한다.

㈎

㈏

교과서 23 쪽

원순열이란 무엇인가?

강강술래

강강술래는 1966년 중요무형문화재 제8호로

지정된민속놀이로, 주로남해안일대에서대보

름날이나한가윗날달밤에여러사람이함께손

을 잡고 둥글게 돌면서 노는 민속놀이이다. 임

진왜란때왜군의눈을속이기위하여이순신장

군이여자들을모아남장을하게하고옥매산을

돌도록한데서비롯되었다는설이있다.

A, B, C, D, E 다섯사람이강강술래를하려고할때, 다음물음에답하여보자.

1. 다섯사람이일렬로서는경우의수를구하여보자.

2. 다섯사람이일렬로설때, A, B, C, D, E의순서로서는것과 B, C, D, E, A의순서로

서는것은같은경우인가?

3. 다섯사람이손을잡고둥글게설때, A, B, C, D, E의순서로서는것과 B, C, D, E, A

의순서로서는것은같은경우인가?

생각 열기

A, B, C, D, E 다섯사람이손을잡고강강술래를할때, 둥글게서는경우의수

에대하여알아보자.

다섯사람이둥글게설때에는처음과끝의구별이없고, 회전하여도순서는바뀌

지않으므로다음 5가지경우는모두같은경우로생각할수있다.

즉, 다섯사람이한줄로서는경우의수는 ∞P∞이지만둥글게설때에는그림과같

이 5가지씩같은경우가생긴다. 따라서다섯사람이둥글게서는경우의수는

= =4!=24

이다.

5!145

∞P∞125

A

B E

DC

ABCDE

E

A D

CB

EABCD

D

E C

BA

DEABC

C

D B

AE

CDEAB

B

C A

ED

BCDEA

탐구 활동

출제 의도| 순열의 수에 대한 공식의 의미를 이해하게 한다.

사고력 기르기 추론

풀이| n개 중에서 A를 임의로 정하면 n개에서 r개를

택하여 일렬로 나열하는 경우는 다음과 같이 두 경우로

나누어생각할수있다.

⁄ r개중에 A가포함되는경우: A를제외한 (n-1)개

중에서 (r-1)개를 택하여 일렬로 나열한 후 A를

(r-1)개 사이에 배치하는 경우이므로 그 경우의 수

는　`r¥«–¡P®–¡¤ r개중에 A가포함되지않는경우: A를제외한

(n-1)개 중에서 r개를 택하여 일렬로 나열하는 경

우이므로그경우의수는　 «–¡P®⁄, ¤는 동시에 일어나지 않으므로 n개에서 r개를 택

하여일렬로배열하는경우의수는합의법칙에의하여

«P®=«–¡P®+`r¥«–¡P®–¡이성립함을알수있다.

강강술래는 1966년 중요무형문화재 제8호로 지정된 민

속놀이로 2009년 9월에는유네스코 인류구전 및무형유

산걸작으로선정되었다.

유래를 살펴보면 임진왜란 때 이순신 장군이 수병을 거

느리고 해남의 우수영에서 왜군과 대치할 때 부녀자들

을 남장을 하게 하고 옥매산(玉埋山)에 올라가 빙빙 돌

게 했다고 한다. 그러자 바다 위의 왜군들은 이순신의

군사의 수가 매우 많은 줄로 알고 겁을 먹고 달아나 버

렸다 한다. 싸움이 끝난 뒤 부근의 마을 부녀자들이 이

를기념하기위하여‘강강술래’라는노래를부르며즐기

던것이바로오늘날의강강술래라고한다.



교과서 24 쪽

이와같이서로다른것을원형으로나열하는순열을원순열이라하고, 일반적으로

원순열의수는다음과같다.

예제 03

⑴ 6명이식탁에앉는경우의수는원순열의수이므로

(6-1)!=5!=120

⑵오른쪽그림과같이부모를먼저자리에앉히고다른가족

4명이 나머지 자리에 앉으면 된다. 이때 다른 가족 4명

이나머지자리에앉는경우의수는 ¢P¢이므로구하는경

우의수는　¢P¢=4!=24

답 ⑴ 120 ⑵ 24

6명의가족이둥근식탁에둘러앉을때, 다음을구하여라.

⑴ 6명이식탁에앉는경우의수

⑵부모가서로마주보고앉는경우의수

풀이

남학생 3명과여학생 3명이원탁에둘러앉을때, 남학생과여학생이서로교대로앉는경우

의수를구하여라.

9문제

6명이 오른쪽 그림과 같은 직사각형 모양의 6인용 식탁에 둘

러앉는경우의수를구하여라.

10문제

부

모

원순열의수

서로다른 n개를원형으로나열하는원순열의수는

= =(n-1)!n!12n

«P«124n

발전

86 각론

❶서로 다른 n개를 원형으로 나열하는 원순

열의 수는 서로 다른 n개를 일렬로 배열

한수를 n으로나눈것과같다.

즉, =(n-1)!

왜냐하면 n개를 원형으로 나열할 때, 같

은 것이 n개씩 있기 때문이다. 이 원순열

의 수는 n개의 서로 다른 것 중의 하나를

고정시키고 나머지 (n-1)개를 일렬로

배열하는순열의수와같음을알수있다.

n!12n

본문 해설

목표| 원순열을이용하여경우의수를구할수있게한다.

풀이| 남학생 3명이원탁에둘러앉는경우의수는

(3-1)!=2!=2

남학생 사이사이 3개의 자리에 여학생 3명을 앉히는 경

우의수는　£P£=3!=6

따라서구하는경우의수는　2_6=12

9

목표| 원순열을 활용하여 문제를 해결할 수 있게 한다.

풀이| 어느 한 사람이 자리를

택하는 방법은 오른쪽 그림과

같이 ❶, ❷, ❸의 3가지이고,

나머지 5명이앉는방법은일렬

로 앉는 방법과 같으므로 5!가

지이다.

따라서구하는경우의수는　3_5!=360

10

❷ 서로 다른 n개에서 중복을 허락하여 r개를 택하는

순열의수를생각해보자.

먼저 r개를뽑아다음자리에일렬로배열한다고하자.

첫 번째 칸에 배열할 수 있는 것은 n가지이고, 중복

을 허락하므로 두 번째 칸에 배열할 수 있는 것도 n

가지이다. 마찬가지로 각각의 칸에 n가지가 들어갈

수있으므로이중복순열의수는

n_n_y_n=n®

이다.

❸ 중복순열의 기호 «P®는 P의 왼쪽에 표시한 수 n을

P의 오른쪽에 표시한 수만큼 거듭하여 곱하는 것을

나타낸다. 즉

«P®=n_n_y_n

본문 해설

❶

r개

y

r개

r개

활동 목표•강강술래를 이용하여 원순열의 의

미를 알게 하려는 것이다.


1. 5!=120

2. 처음에 서는 순서가 다르므로 다른 경우

이다.

3. 처음과 끝의 구별이 없고, 회전하여도 순

서는바뀌지않으므로같은경우이다.

❶❷

❸

❶ ❷

❸



교과서 25 쪽

중복순열이란 무엇인가?

5개의숫자 1, 2, 3, 4, 5를사용하여세자리의자연수를만들때, 같은숫자를중복

하여쓸수있다고하면세자리의자연수는모두몇개를만들수있는지알아보자.

백의자리숫자를택하는경우는 5가지이고, 그각각에대

하여십의자리숫자를택하는경우는 5가지이다. 또이들

각각에대하여일의자리숫자를택하는경우도 5가지이다.

따라서구하는자연수의개수는곱의법칙에의하여

5_5_5=5‹ =125

이다.

일반적으로서로다른 n개에서중복을허락하여 r개를택하는순열을중복순열이

라하고, 그수를기호로

«P®

와같이나타낸다. 이때서로다른 n개에서 r개를택하는중복순열은 r개의자리에

올수있는경우의수가모두n이므로곱의법칙에의하여

«P®=n_n_n_y_n=n®

임을알수있다.


P는 Product(곱)의 첫 글

자 P에 해당하는 그리스 문자

로‘파이’라고읽는다.

«P®에서는 중복을 허용하

므로 n<r인경우도있다.

중복순열의수

서로다른 n개에서 r개를택하는중복순열의수는

«P®=n®

예제 04오른쪽 그림과 같이 우체통에 편지를 넣는 경우의 수

는 A, B 두 우체통에서 3개를 택하는 중복순열의 수

와같다.

따라서구하는경우의수는　™P£=2‹ =8 답 8

서로다른 3통의편지를 A, B 두우체통에넣는경우의수를구하여라.

풀이 편지`1 편지`2

A`우체통 B`우체통

편지`3

백

5가지

십

5가지

일

5가지

( | { | 9

r개

4명의학생이가위바위보를한번할때, 나올수있는경우의수를구하여라.11문제

교과서 26 쪽

3개의숫자 1, 2, 3으로중복을허락하여만들수있는네자리의자연수중에서홀수의개

수를구하여라.

12문제

같은 것이 있는 순열이란 무엇인가?

탐구 활동 모양과크기가같은흰바둑돌 3개와검은바둑돌 1개에대하여다음물음에답하여보자.

1. 4개의바둑돌을일렬로나열하는경우의수를구하여보자.

2. 다음그림과같이번호를붙인흰바둑돌 3개와검은바둑돌 1개를일렬로나열하는경우의

수를구하여보자.

3. 1, 2를비교하여 2는 1의몇배인지구하여보자.

1 2 3 4

모양과크기가같은흰바둑돌 3개와검은바둑돌 2개를일렬로나열하는순열의

수를구하여보자.

구하는순열의수를 x라하고, 그중한가지순열

인 을생각하여보자.

에서 3개의흰바둑돌을구별하여

각각 , , 이라하고, 2개의검은바둑돌을

구별하여각각 , 라고하면 와

같이나열하는경우의수는 3!_2!이다.

마찬가지로 x가지의순열각각에대하여도 (3!_2!)가지의경우가있으므로 3개

의흰바둑돌과 2개의검은바둑돌을일렬로나열하는경우의수는

x_(3!_2!) yy`①

이다. 한편서로다른 5개의바둑돌을일렬로나열하는경우의수는 5!이고, 이것은

①과같으므로

x_(3!_2!)=5!

이다. 따라서구하는순열의수는

x= =10

이다.

5!11133!_2!

54

321

1 2 3 5 1 2 3 4

1 3 2 5 1 3 2 4

2 1 3 5 2 1 3 4

2 3 1 5 2 3 1 4

3 1 2 5 3 1 2 4

3 2

4

4

4

4

4

41 5 3 2

5

5

5

5

5

51 4

❸

❷

목표| 중복순열을 이용하여 경우의 수를 구할 수 있게 한다.

풀이| 서로 다른 3개에서 4개를 택하는 중복순열의 수

와같으므로구하는경우의수는

£P¢=3› =81

11

목표| 중복순열을 이용하여 문제를 해결할 수 있게 한다.

풀이| 천의자리, 백의 자리, 십의 자리에올수있는숫

자는 각각 3가지이므로 서로 다른 3개에서 3개를 택하

는중복순열의수, 즉 £P£과같다.

그각각에대하여일의자리에올수있는숫자는 1, 3이

므로구하는경우의수는　

£P£_2=3‹ _2=54

12

활동 목표•모양과 크기가 같은 바둑돌을 나열하는 경우

의 수를 구하는 과정을 통해 같은 것이 있는 순열을 이해하

게 하려는 것이다.


1. 4개의바둑돌을일렬로나열하는경우의수는

4!=24

2.

3. 의 6가지이다.

3. 2는 1의 ;4!;배이다.

1 2 3 4 1 3 2 4

2 1 3 4 2 3 1 4

3 1 2 4 3 2 41

(066~097)269확통지도서1-1 2014.7.14 11:45 AM 페이지87 mac02 T

목표| 같은 것이 있는 순열의 수를 구할 수 있게

한다.

풀이| 구하는순열의수는

=4207!1225122

1!1!2!3!

13

목표| 같은 것이 있는 순열을 이용하여 바둑판

모양의 도로에서 최단 거리로 가는 경우의 수를

구할 수 있게 한다.

풀이| ⁄ A 지점에서 P 지점까지 최단 거리

로가는경우의수는　 =10

¤ P 지점에서 B 지점까지최단거리로가는

경우의수는　 =6

⁄, ¤에의하여구하는경우의수는　10_6=60

4!12252!2!

5!12253!2!

14

출제 의도| 같은 것이 있는 순열을 이용하여 공간에서 최단

거리로 가는 경우의 수를 구할 수 있게 한다.

창의 UP

풀이| 오른쪽 그림과 같이 A 지

점에서 B 지점까지 최단 거리로

가는 경우의 수는 6개의 문자 a,

a, b, b, c, c를 일렬로 배열하는

경우의수와같으므로

=906!1211

2!2!2!

교과서 27 쪽

일반적으로같은것이있는순열의수는다음과같다.

오른쪽 그림은 선을 따라 수평과 수직으로 이동할 수 있는

놀이 기구이다. 이 놀이 기구의 A 지점에서 B 지점까지 최

단거리로가는경우의수를구하는방법을설명하여라.

창up의

B

A

예제 05

오른쪽그림과같이가로로한칸가는것을 a, 세로로한칸

가는것을 b로놓으면 A 지점에서 B 지점까지최단거리로

가는경우의수는 3개의 a와 4개의 b를일렬로나열하는순

열의수와같다.

따라서구하는경우의수는　 =35 답 357!113

3!4!

오른쪽 그림과 같은 도로가 있다. A 지점에서 B 지점까지 최단

거리로가는경우의수를구하여라.

풀이

영어단어‘success’의 7개알파벳을일렬로나열하는순열의수를구하여라.13문제

오른쪽 그림과 같은 도로가 있다. A 지점에서 출발하여

P 지점을 지나 B 지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수

를구하여라.

14문제

B

A

B

A a ba a b

bb

A

P

B

같은것이있는순열의수

n개 중에서 서로 같은 것이 각각 p개, q개, y, r개씩 있을 때, n개를 모두 일렬로 나열하

는순열의수는

(단, p+q+y+r=n)n!11114

p!q!yr!

영어단어‘coffee’의 6개알파벳을일렬로나열하는순열의수는　 =1806!11113

1!1!2!2!보기

최단 거리로 가는 방법은

오른쪽과 위쪽으로만 가는 방

법이다.

88 각론

❶같은것이있는순열의수

(단, p+q+y+r=n)

은 p=q=y=r=1일 때의 순열의 수

«P«=n!을일반화한것이다.

특히같은것이있는순열의수에서

p+q+y+r=n임에주의한다.

n!121125p!q!yr!

본문 해설

세 문자 a, b, c가 각각 p, q, r개씩 있고 p+q+r=n일 때, n

개를 모두 택하여 일렬로 배열하는 순열의 수를 구하여 보자.

먼저 n개의 자리에서 p개의 a를 배열할 자리를 선택하는 방

법의 수는　«Cπ=

이제 (n-p)개의 빈 자리 중에서 q개의 b를 배열할 자리를

선택하는 방법의 수는　«–πCœ=

마지막으로 n-p-q(=r)개의 빈 자리에 r개의 c를 배열할

자리를 선택하는 방법의 수는

«–π–œC®= = =1

따라서 구하는 경우의 수는

«Cπ_«–πCœ_«–π–œC®= _ _1

«Cπ_«–πCœ_«–π–œC®=

«Cπ_«–πCœ_«–π–œC®= n!5111p!q!r!

n!11511122222p!q!(n-p-q)!

(n-p)!115111222q!(n-p-q)!n!115111p!(n-p)!

r!115r!0!(n-p-q)!11511122212r!(n-p-q-r)!

(n-p)!11511112q!(n-p-q)!

n!115111p!(n-p)!

지/도/자/료 같은 것이 있는 순열

❶

B

A a ab

b

c

c



교과서 28 쪽

03●조합의뜻을알고, 조합의수를구할수있다.

●중복조합을이해하고, 그조합의수를구할수있다.

조합

조합이란 무엇인가?

얼음과자

얼음과자의역사는고대에음식물을냉장시키는것에서시

작하는데, 마르코 폴로의“동방견문록”에 의하면 중국에서

는기원전 3세기경부터얼음에소금과과일을넣어만든셔

벗형태의얼음과자를즐겼다고한다. 서양에서는알렉산더

대왕이높은산에서운반한눈에꿀, 과일, 우유 또는양의

젖을섞은것을즐겨먹었다고전해지며, 로마시대에는여

름에상점에서얼음음료를팔았다고한다.

탐구 활동 바닐라, 초콜릿, 딸기, 아몬드 아이스크림을 판매하는 어느 아이스크림 전문점에서 아이스

크림을주문하려고한다. 다음물음에답하여보자.

1. 두가지아이스크림을반씩섞어서주문할때, 그릇에담는순서를정하여택하는경우를구

하여보자.

2. 두가지아이스크림을반씩섞어서주문할때, 그릇에담는순서를정하지않고택하는경우

는 1과어떤차이가있는지말하여보자.

생각 열기

순열에서는서로다른 n개에서 r개를택하여순서를생각하고나열하는경우의수

를다루었다. 이제순서를생각하지않고택하는경우의수에대하여알아보자.

탐구활동에서네가지종류의아이스크림에서두가지를순서대로택하여그릇에

담는경우의수는 ¢P™=12이지만, 순서를생각하지않고두가지를택하여그릇에담

는경우는다음과같이 6가지가있다.

{`바닐라, 초콜릿}, {`바닐라, 딸기}, {`바닐라, 아몬드},

{`초콜릿, 딸기}, {`초콜릿, 아몬드}, {`딸기, 아몬드}

일반적으로서로다른 n개에서순서를생각하지않고 r (r…n)개를택하는것을

n개에서 r개를택하는조합이라고하며, 이조합의수를기호로

«C®


«C®에서 C는 Combination

(조합)의첫글자이다.

03 조합

① 조합의 뜻을 알고, 조합의 수를 구할 수 있게 한다.

② 중복조합을 이해하고, 그 조합의 수를 구할 수 있게 한다.


1. 조합의수 «C®와순열의수 «P® 사이의관계를적절한

예를통하여이해시킨다.

2. 중복조합의 뜻을 알게 하고, 중복조합을 조합으로 나

타내어여러가지경우의수를구하게한다.

3. 중복조합에서 순서를 고려하면 중복순열이 됨을 이

해하게한다.

4. 서로다른 n개에서 r개를택하는중복조합의수는서

로 다른 (n+r-1)개에서 r개를 택하는 조합의 수와

같음을이해하게한다.


•조합(組合, combination)

•중복조합(重複組合, repeated combination)

•«C®, «H®


얼음과자는 설탕물에 과일즙이나 우유 또는

향료 따위를 섞어 얼려서 만든 것이다. 얼음

과자의 대표적인 것은 아이스크림이다. 아이

스크림은 차가운 디저트로 보통 크림에 향료

와거품을낸흰자위를넣고얼린것이다.

아이스크림은 오랫동안 부유층의 전유물로

여겨져오다가 1851년미국에서농장을경영

하던 제이콥 푸셀이란 사람에 의하여 대중화

되기 시작하였다. 푸셀이 크림의 낭비를 줄

이기 위하여 얼려서 보관했던 것이 대중들에

게엄청난인기를끌게된것이다.


활동 목표•아이스크림을 주문할 때, 그릇에 담는 순서를

정하여 택하는 경우와 순서를 정하지 않고 택하는 경우를 구

하여 순열과 조합의 차이점을 생각해 보게 하기 위한 것이다.


1. 그릇에담는순서를정하여택하는경우는

{바닐라, 초콜릿}, {바닐라, 딸기}, {바닐라, 아몬드},

{초콜릿, 바닐라}, {초콜릿, 딸기}, {초콜릿, 아몬드},

{딸기, 바닐라}, {딸기, 초콜릿}, {딸기, 아몬드},

{아몬드, 바닐라}, {아몬드, 초콜릿}, {아몬드, 딸기}

의 12가지이다.

2. 그릇에담는순서를정하지않고택하는경우는

{바닐라, 초콜릿}, {바닐라, 딸기}, {바닐라, 아몬드},

{초콜릿, 딸기}, {초콜릿, 아몬드}, {딸기, 아몬드}

의 6가지이다.

이때 1과 2의 차이는 같은 종류의 두 아이스크림의

순서구분여부이다.


교과서 29 쪽

이제조합의수 «C®를구하는방법을알아보자.

서로다른n개에서 r개를택하는조합의수는 «C®이고, 그각각에대하여 r개를일

렬로나열하는경우의수는 r!이다.

따라서서로다른 n개에서 r개를택하여일렬로나열하는순열의수는 «C®_r!이

다. 이때n개에서 r개를택하는순열의수는 «P®이므로

«C®_r!=«P®

이다. 즉,

«C®= = =

이다.

위의식에서 r=0이면 0!=1이므로 «Cº= =1이다.

따라서 «Cº=1로정의하면위의식은 r=0일때에도성립한다.


n!1120!n!

n!111115r!(n-r)!n(n-1)(n-2)y(n-r+1)1111111111111r!

«P®11r!

무지개의 7가지색중에서 4가지를고르는경우의수를구하여라.3문제

조합의수

서로다른 n개에서 r개를택하는조합의수는

«C®= = = (단, 0…r…n)n!111115

r!(n-r)!n(n-1)y(n-r+1)11111111123

r!«P®124r!

다음등식을만족시키는자연수 n의값을구하여라.

⑴ n+2Cn=15 ⑵ 4C2+4C3=nC2

2문제


⑴ ¢C™ ⑵ ∞C∞

⑶ ªC§ ⑷ ¡ºCº

1문제

¡ºC¢= = =21010_9_8_711111244_3_2_1

¡ºP¢114!

보기

90 각론

목표| 조합의 수를 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ ¢C™= = =6

⑵ ∞C∞= =1

⑶ ªC§= = =84

⑷ ¡ºCº= =1¡ºPº2140!

9_8_7_6_5_421211111126_5_4_3_2_1

ªP§126!

∞P∞125!

4_321222_1

¢P™122!

1

❶

❶예를들어 5개의숫자 1, 2, 3, 4, 5 중에서

3개를선택하는경우는

{1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 5}, y,

{2, 4, 5}, {3, 4, 5}의 ∞C£이고 그 각각에

대하여 3!가지의 순열을 만들 수 있다.

즉, {1, 2, 3}은 123, 132, 213, 231, 312,

321과 같이 3!가지의 순열을 만들 수 있

다. 그런데 5개에서 3개를 택하는 순열의

수는 ∞P£이므로다음이성립한다.

∞C£_3!=∞P£

따라서 ∞C£= 이다.

이것을일반화하면 «C®= 를얻을수

있다.

«P®124r!

∞P£1243!

본문 해설

목표| 조합의 공식을 활용할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ n+2Cn= =15

n2+3n-28=0, (n-4)(n+7)=0

næ0이므로　n=4

⑵ 4C2+4C3=6+4=10

즉, nC2=10이므로　 =10

n2-n-20=0, (n-5)(n+4)=0

næ2이므로　n=5

n(n-1)121122_1

(n+2)(n+1)121111132_1

2

목표| 조합을 이용하여 경우의 수를 구할 수 있게 한다.

풀이| 서로 다른 7개에서 4개를 택하는 조합의 수와 같

으므로구하는경우의수는

¶C¢= = =357_6_5_422211114_3_2_1

¶P¢124!

3

고등학교 과정에서는 n개에서 r개를 선택하는 경우의 수를

«C®로만 나타내지만, 일반적으로는 ¶ •과 같이 괄호를 사용

하여 나타내기도 한다. 즉

«C®=¶ •=

이다.

«P®115r!n

r

n

r

지/도/자/료



교과서 30 쪽

키가모두다른 10명으로이루어진농구동호회에서 5명의대표를뽑을때, 다음을구하여라.

⑴키가가장큰선수와가장작은선수가함께뽑히는경우의수

⑵키가가장큰선수는뽑히고가장작은선수는뽑히지않는경우의수

4문제

예제 01

⑴ 4개의공중에 1, 2가적힌공이포함되어야하므로구하는경우의수는 1, 2가적

힌공을제외한 7개의공중에서 2개의공을꺼내는경우의수와같다. 따라서구

하는경우의수는　¶C™= =21

⑵ 4개의공중에 1, 2가적힌공이포함되지않아야하므로구하는경우의수는 1, 2

가적힌공을제외한 7개의공중에서 4개의공을꺼내는경우의수와같다. 따라서

구하는경우의수는 ¶C¢= =35

답 ⑴ 21 ⑵ 35

7_6_5_41111124_3_2_1

7_611252_1

1부터 9까지의 자연수가 하나씩 적힌 9개의 공이 들어 있는 주머니에서 4개의 공을 꺼

낼때, 다음을구하여라.

⑴ 1, 2가적힌공이모두포함되는경우의수

⑵ 1, 2가적힌공이모두포함되지않는경우의수

풀이

예제 02

⑴남자 4명 중에서 1명을 뽑는 경우의 수는 ¢C¡이고, 여자 5명 중에서 2명을 뽑는

경우의수는 ∞C™이다. 따라서구하는경우의수는　¢C¡_∞C™=4_ =40

⑵적어도 1명의남자가포함되는경우는 9명중에서 3명을뽑는전체경우에서남

자가한명도뽑히지않는경우를제외한것과같다. 9명중에서 3명을뽑는경우

의수는 ªC£이고, 이중에서 3명이모두여자인경우의수는 ∞C£이다. 따라서구하

는경우의수는　ªC£-∞C£= - =74

답 ⑴ 40 ⑵ 74

5_4_311113_2_1

9_8_7115551553_2_1

5_4115552_1

남자 4명과여자 5명중에서 3명의대표를뽑을때, 다음을구하여라.

⑴남자 1명, 여자 2명을뽑는경우의수

⑵적어도 1명의남자가포함되는경우의수

풀이

교과서 31 쪽

어느 학교의 기악 합주반에는 바이올린 연주자 6명, 첼로 연주자

4명이있다. 이 중에서 4명의연주자를뽑을때, 다음을구하여라.

⑴바이올린연주자 2명, 첼로연주자 2명을뽑는경우의수

⑵적어도 1명의바이올린연주자가포함되는경우의수

5문제

예제 03«C«–®= = =«C®

따라서 «C®=«C«–®가성립한다.

n!11555555551555(n-r)!r!

n!1111111111(n-r)!{n-(n-r)}!

0…r…n일때, 등식 «C®=«C«–®가성립함을증명하여라.

증명

다음은 1…r<n일 때, 등식 «C®=«–¡C®–¡+«–¡C®임을 증명하는 과정이다. ㈎, ㈏, ㈐에 알

맞은식을써넣어라.

6문제

«C®= 에서

r 대신에 n-r를대입한다.

n!11111r!(n-r)!

«–¡C®–¡+«–¡C®

= +

= +

=

= =«C®n!111122r!(n-r)!

``````````````¥(n-1)!111111114r!(n-r)!

(`````` ````````)¥(n-1)!111111111r!(n-r)!

``````````````¥(n-1)!1111111234r!(n-r)!

(n-1)!1111112r!(n-r-1)!

(n-1)!11111112(r-1)!(n-r)!

0…r…n일때, 등식 «C®=«C«–®가성립함은다음과같이설명할수있다.

이와 같은 방법으로 1…r<n일 때, 등식 «C®=«–¡C®–¡+«–¡C®가 성립함을 설명하여

보자.


▶의사소통

▶문제 해결n개에서 r개를택하는조합의수는 n개에서필요하지않은 (n-r)개를택

하여버리는조합의수와같으므로 «C®=«C«–®가성립한다.

㈎

㈐

㈏

목표| 조합을 이용하여 경우의 수를 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ 키가 가장 큰 선수와 가장 작은 선수가 함께

뽑히므로 두 명을 제외한 8명 중에서 3명의 대표를

뽑는경우의수와같다.


•C£= =56

⑵ 키가 가장 큰 선수는 뽑히고 가장 작은 선수는 뽑히

지 않으므로 두 명을 제외한 8명 중에서 4명의 대표

를뽑는경우의수와같다.


•C¢= =708_7_6_51225122124_3_2_1

8_7_612251223_2_1

4목표| 조합을 이용하여 경우의 수를 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ 바이올린 연주자 6명 중에서 2명을 뽑는 경우

의 수는 §C™이고, 첼로 연주자 4명 중에서 2명을 뽑

는경우의수는 ¢C™이다.


§C™_¢C™= _ =90

⑵전체 10명중에서 4명을뽑는경우의수는 ¡ºC¢이고, 첼

로연주자 4명중에서 4명을뽑는경우의수는 ¢C¢이다.


¡ºC¢-¢C¢= -1=210-1=20910_9_8_711211124_3_2_1

4_31122_1

6_5212252_1

5

목표| 조합의 수에 대한 공식을 증명할 수 있게 한다.

풀이| (가): r, (나): n-r, (다): n

6

(066~097)269확통지도서1-1 2014.7.14 11:45 AM 페이지91 mac02 T

교과서 32 쪽

중복조합이란 무엇인가?

탐구 활동

탐구활동에서흰색머그잔을 a, 빨간색머그잔을 b, 파란색머그잔을 c라고할때,

세종류의머그잔중에서 4개의머그잔을구입하는경우의수는서로다른세문자 a,

b, c에서중복을허락하여네문자를택하는조합의수로구할수있다.

서로다른세문자 a, b, c 중에서중복을허락하여 4개를택하는조합은

의 15가지이다.

이때각조합에서선택된네문자를 a, b, c 순으로나열한후문자를 로나타내

고서로다른세문자의경계에는 를사용하여나타내어보자.

즉, 왼쪽부터첫번째 의왼쪽의 는 a, 첫번째 와두번째 사이의 는 b,

두번째 의오른쪽의 는 c로나타내면

이다.

그러면세문자 a, b, c에서중복을허락하여네문자를택하는조합은 4개의 와

2개의 로이루어진순열로볼수있다.

따라서구하는조합의수는같은것이있는순열의수를구하는식에의하여

= =15

임을알수있다.

그리고이것은조합의수 4+(3-1)C4=6C4와같다.

6!1134!2!{4+(3-1)}!11111514!(3-1)!

a를 3개, c를 1개 택하는

조합인 aaac는

로 대응되고, b를 4개 택하는

조합인 bbbb는

로대응된다.

aaaa,

aacc,

bbbb,

aaab,

abbb,

bbbc,

aaac,

abbc,

bbcc,

aabb,

abcc,

bccc,

aabc,

accc,

cccc,

상일이는선물가게에서흰색, 빨간색, 파란색세종류의머그잔

중에서친구들에게선물할머그잔을구입하려고한다.

다음물음에답하여보자.

1. 머그잔 2개를서로다른색으로구입하는경우의수를구하여보자.

2. 머그잔 4개를구입하는경우의수는어떻게구할수있는지말하여보자.

92 각론

활동 목표•머그잔을 중복을 허락하여 구입하는 경우의

수를 구하는 과정을 통해 중복조합을 이해하게 하려는 것

이다.


1. 머그잔 2개를서로다른색으로구입하는경우는

{흰색, 빨간색}, {흰색, 파란색}, {빨간색, 파란색}의

3가지이다.

2. 머그잔 4개를 구입하는 경우의 수는 서로 다른 세 문

자에서 중복을 허락하여 네 문자를 택하는 조합의 수

로구할수있다.

고등학교에서는 순열, 중복순열, 조합, 중복조합을 모두 배운

다. 그러나 학생들이 실제로 이들 문제를 대하고 보면 그것이

어느 것에 관한 문제인지 구별하기란 쉽지 않다. 여기서 이들

의 구별을 좀 더 쉽고 편리하게 하기 위하여 다음과 같이 간

단히 표로 정리하였다.

지/도/자/료 순열, 중복순열, 조합, 중복조합의 구별법

n ⁄ r

(서로 다른 n개에서 r개를 뽑는다.)

뽑은 r개의 순서를 바꾸어 보면

서로 다르다.

(순열)

서로 같다.

(조합)

«P® «C®«P® «H®

뽑은것을

또뽑을수

없다.(보통)

있다.(중복)

rn

출제 의도| 조합의 수에 관한 여러 가지 공식을

증명하는 다양한 방법이 있음을 알게 한다.


풀이| n개중에서 A를임의로정하면 n개에

서 r개를 택하는 경우는 다음과 같이 두 경

우로나누어생각할수있다.

⁄ r개 중에 A가 포함되는 경우: A를 제외

한 (n-1)개 중에서 (r-1)개를 택하는

경우이므로그경우의수는 `

n-1Cr-1

¤ r개 중에 A가 포함되지 않는 경우: A를

제외한 (n-1)`개 중에서 r개를 택하는

경우이므로그경우의수는 `

n-1Cr

⁄, ¤는 동시에 일어나지 않으므로 n개에

서 r개를 택하는 경우의 수는 합의 법칙에

의하여 nCr=n-1Cr-1+n-1Cr가 성립함을 알

수있다.



교과서 33 쪽

«H®에서H는Homogeneous

의첫글자이다.

중복조합의수

서로다른 n개에서 r개를택하는중복조합의수는

«H®=«≠®–¡C®

예제 04(a+b+c)› 을전개할때생기는항들은

a› , a‹ b, a¤ bc, bc‹ , y

등으로모두 4차의꼴이다. 이것은

aaaa, aaab, aabc, bccc, y

등으로볼수있으므로서로다른항의개수는 a, b, c의세문자에서중복을허락하

여 4개를택하는중복조합의수와같다. 따라서구하는서로다른항의개수는

£H¢=£≠¢–¡C¢=§C¢=15

답 15

(a+b+c)›을전개할때생기는서로다른항의개수를구하여라.

풀이

(a+b+c+d)fl을전개할때생기는서로다른항의개수를구하여라.8문제

사탕, 초콜릿, 쿠키 3종류의간식에서중복을허락하여 2개를택하는경우의수를구하여라.7문제

이와같이서로다른 n개에서중복을허락하여 r개를택하는조합을중복조합이라

하고, 그수를기호로

«H®


중복조합의수 nHr는 r개의 와경계를나타내는 (n-1)개의 로이루어진같

은것이있는순열의수와같으므로다음등식이성립한다.

nHr= =r+(n-1)Cr=n+r-1Cr


{r+(n-1)}!1111151r!(n-1)!

«H®에서는중복을허용하므로 n<r인경우도있다.참고

❶서로 다른 n개에서 r개를 택하는 중복조합의 수는 r

개의 와 (n-1)개의 로 이루어진 같은 것이 있

는 순열의 수와 같다. 또 서로 다른 (n+r-1)개에

서 r개를택하는조합의수와같다.

❷ «H®=«≠®–¡C®는 다음과 같이 두 가지 방법으로 증명

할수있다.

[증명 1]

«H®는 r개의 와 (n-1)개의 를일렬로나열하는

경우의 수와 같고, 이 수는 (r+n-1)개의 자리 중

r개의 자리를 뽑아 를 배열하고 나머지 자리에

(n-1)개의 를배열하는경우의수이므로

«H®=«≠®–¡C®이다.

[증명 2]

n개의 수 1, 2, 3, y, n에서 중복을 허락하여 r개를

꺼낸수를

a¡, a™, a£, y, a®(1…a¡…a™…y…a®…n) yy`①

이라하고

b¡=a¡, b™=a™+1, b£=a£+2, y,

b®=a®+(r-1) yy`②

이라고하자. 그러면

1…b¡<b™<b£<y<b®…n+r-1

yy`③

위에서 ①의 조건을 만족하는 a¡, a™, a£,

y, a®가 주어지면 ②를 적용하여 ③의 조

건을 만족하는 b¡, b™, b£, y, b®가 결정되

고, 반대로 ③의 조건을 만족하는 b¡, b™,

b£, y, b®가주어지면①의조건을만족하

는 a¡, a™, a£, y, a®가결정된다.

따라서 ①의 조건을 만족하는 a¡, a™, a£,

y, a®를 뽑는 경우의 수는 ③의 조건을

만족하는 b¡, b™, b£, y, b®를 뽑는 경우의

수와같다.

한편③의조건을만족하는 b¡, b™, b£, y,

b®를뽑는방법의수는 (n+r-1)개의수

에서 r개를 뽑는 경우의 수이므로 «≠®–¡C®이므로 «H®=«≠®–¡C®이다.

본문 해설

목표| 중복조합을 이용하여 경우의 수를 구할 수 있게 한다.

풀이| 서로 다른 3개에서 2개를 택하는 중복조합의 수


£H™=£≠™–¡C™=¢C™=6

7

목표| 중복조합을 이용하여 다항식을 전개할 때 생기는 서로

다른 항의 개수를 구할 수 있게 한다.

풀이| 서로 다른 항의 개수는 a, b, c, d의 네 문자에서

중복을 허락하여 6개를 택하는 중복조합의 수와 같으므

로

¢H§=¢≠§–¡C§=ªC§=ªC£=84

8

❷

❶


교과서 34 쪽

앞의단원과제에대하여다음을해결하여보자.

4가지종류의염기중 7개를택하는경우의수를구하여보자.

음이 아닌 정수인 해이므로

0도 해가 될 수 있다. 즉, 어떤

문자는 하나도 뽑지 않아도 된

다.

양의정수인해는 x, y, z를

각각 하나씩 뽑고 나머지에서

음이 아닌 정수인 해를 구하는

것과같다.

예제 05방정식 x+y+z=6의한쌍의해 x=2, y=3, z=1을 x가 2개, y가 3개, z가 1개로

생각하면 xxyyyz로나타낼수있다.

음이아닌정수인해의개수는서로다른세문자 x, y, z에서중복을허락하여 6개

를택하는중복조합의수와같다.

따라서구하는해의개수는

£H§=£≠§–¡C§=•C§=28

답 28

방정식 x+y+z=6의음이아닌정수인해의개수를구하여라.

풀이

방정식 x+y+z=9의양의정수인해의개수를구하여라.9문제

빨간공, 노란공, 파란공이각각 10개씩들어있는주머니에서 7개의공을꺼낼때, 각

색깔의공이적어도한개씩은포함되도록하는경우의수를구하는방법을설명하여라.

창up의

94 각론

❶음이 아닌 정수인 해는 해가 0인 경우와

양의정수인해를말한다.

따라서 1을 라고 하면 x+y+z=6의

음이 아닌 정수인 해는 6개의 를 3개의

구역으로 나누어 나열하는 경우의 수와

같다. 즉, 구역을 구분하는 2개의 과 6

개의 를 다음 그림과 같이 나열하는 것

이다.

` ` ` ` ` ` `

` ` ` ` ` ` `

` ` ` ` ` ` `⋯

` ` ` ` ` ` ` `이것은 £H§=£≠§–¡C§=•C§=•C™와같다.

본문 해설

목표| 중복조합을 이용하여 일차방정식의 양의

정수인 해의 개수를 구할 수 있게 한다.

풀이| 서로 다른 3개의 문자 x, y, z에서 중

복을허락하여 9개를택해야한다.

이때 x, y, z는 양의 정수이므로 우선 x, y, z를 하나씩

택한후 x, y, z에서중복을허락하여 6개를택하는중복

조합의수와같다.


£H§=£≠§–¡C§=•C§=•C™=28

9

출제 의도| 각 색깔의 공이 적어도 한 개씩 포함된다는 것은

방정식 x+y+z=7에서 미리 하나씩 뽑고 나머지를 음이 아

닌 정수인 해를 구하는 것과 같은 방법으로 구할 수 있음을

알게 한다.

창의 UP

풀이| 주머니에서 꺼낸 빨간 공, 노란 공, 파란 공의 개

수를각각 a, b, c라고하면

a+b+c=7, aæ1, bæ1, cæ1

단원 과제

목표| 중복조합을 이용하여 문제를 해결할 수 있게 한다.

풀이| 4개에서 7개를택하는중복조합의수와같으므로

4H7=4+7-1C7=10C7=10C3=120

여기서각색깔의공이적어도한개씩은포함되도록하

는경우의수를구하는것은방정식 a+b+c=7의양의

정수인해의개수를구하는것과같다.

a-1=A, b-1=B, c-1=C라고 하면 A, B, C는 음

이아닌정수이다.

이것을주어진방정식에대입하여정리하면

A+B+C=4

따라서 a+b+c=7의 양의 정수인 해는 A+B+C=4

의음이아닌정수인해와같으므로구하는경우의수는

3H4=£≠¢–¡C4=6C4=6C2=15

❶



교과서 35 쪽

1 1부터 45까지의 자연수가 하나씩 적힌 45개의 공 중에서 1개의 공을 꺼낼

때, 7의배수또는 8의배수가적힌공이나오는경우의수를구하여라.

2 다음값을구하여라.

⑴ ∞P™_3! ⑵ ¢Pº_§P¢

⑶ §Cº_•C£ ⑷ ™ºC¡¶

5 모양과크기가같은 4개의태극기, 3개의오륜기, 2개의적십자기를도로에

일렬로세우는경우의수를구하여라.

4 서로다른5통의편지를서로다른2개의우체통에넣는경우의수를구하여라.

중단원 기초 수준별학습

3 오른쪽 그림과 같이 원의 둘레를 6등분한 점 위에 6개

의문자 a,`b,`c,`d,è,`f를모두써넣는경우의수를구

하여라.

01 경우의수

중복순열

02 순열

원순열

02 순열


02 순열

02 순열 03 조합

[해답 p.164 ]


풀이| 7의배수가적힌공이나오는집합을 A라고하면

A={7, 14, 21, 28, 35, 42}

8의배수가적힌공이나오는집합을 B라고하면

B={8, 16, 24, 32, 40}

이때 두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않으므로 구하

는경우의수는

n(A'B)=n(A)+n(B)=6+5=11

1

목표| 같은 것이 있는 순열을 이용하여 경우의 수를 구할 수

있게 한다.

풀이| 9개 중에서 서로 같은 것이 각각 4개, 3개, 2개가

있을때, 일렬로나열하는경우의수와같으므로

=12609!122124!3!2!

5

중/단/원 기초

목표| 순열과 조합의 수를 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ ∞P™_3!=(5_4)_(3_2_1)

=120

⑵ ¢Pº_§P¢=1_(6_5_4_3)

=360

⑶ §Cº_•C£=1_{ }

⑶ §Cº_•C£=56

⑷ ™ºC¡¶=™ºC£

⑷ ™ºC¡¶=

⑷ ™ºC¡¶=1140

20_19_1851221251553_2_1

8_7_651221253_2_1

2

목표| 원순열을 이용하여 경우의 수를 구할 수

있게 한다.

풀이| 서로다른 6개의문자를원형으로배

열하는원순열의수와같으므로

(6-1)!=5!=120

3

목표| 중복순열을 이용하여 경우의 수를 구할 수 있게 한다.

풀이| 서로다른 2개에서 5개를택하는중복순열의수


™P∞=2fi =32

4

(066~097)269확통지도서1-1 2014.7.14 11:45 AM 페이지95 mac02 T

교과서 36 쪽

2 3명의 여학생과 4명의 남학생이 한 줄로 설 때, 맨 앞과 맨 뒤에 남학생이

서는경우의수를구하여라.

1 오른쪽그림과같이네지점 A, B, C, D

를연결하는도로가있다. A에서 B를거

쳐 D로가는경우의수를 x, A에서 C를

거쳐 D로가는경우의수를 y라고할때,

x+y의값을구하여라.

4 오른쪽그림과같이원의둘레를 8등분한점중에서 4개

의점을연결하여만들수있는사각형의개수를구하

여라.

3 오른쪽 그림과 같은 정삼각형 모양의 탁자에 6명이 둘

러앉는경우의수를구하여라.

중단원 기본 수준별학습

5 (a+b+c)fl 을전개할때생기는서로다른항의개수를구하여라.

A

B

D

C

01 경우의수

02 순열

원순열

02 순열

03 조합

중복조합

03 조합

[해답 p.164 ]

96 각론


수 있게 한다.

풀이| A에서 B를 거쳐 D로 가는 경우의 수

는 2_3=6이므로　x=6

A에서 C를거쳐 D로가는경우의수는

4_2=8이므로　y=8

따라서　x+y=14

1


게 한다.

풀이| 맨 앞과 맨 뒤에 남학생이 서는 경우

의수는　¢P™

또 남은 남학생 2명과 여학생 3명이 일렬로

서는경우의수는　5!


¢P™_5!=1440

2

중/단/원 기본

목표| 원순열을 이용하여 경우의 수를 구할 수 있게 한다.

풀이| 6명을원형으로배열하는원순열의수는

(6-1)!=5!

이때 정삼각형 모양의 탁자에서는 원형으로 배열하는

한 가지 방법에 대하여 다음 그림과 같이 서로 다른 경

우가 2가지씩존재한다.

따라서구하는경우의수는　5!_2=240

F

A B

C

DE

A

B C

D

EF

3

목표| 조합을 이용하여 문제를 해결할 수 있게 한다.

풀이| 어느 네 점도 일직선 위에 있지 않은 8개의 점 중

에서 4개의점을연결하여만들수있는사각형의개수는

•C¢=70

4

풀이| 서로 다른 항의 개수는 a, b, c 세 문자에서 중복

을허락하여 6개를택하는중복조합의수와같으므로

£H§=£≠§–¡C§=•C§=•C™=28

목표| 중복조합을 이용하여 다항식을 전개할 때 생기는 서로

다른항의개수를구할수있게한다.

5

(066~097)269확통지도서1-1 2014.7.14 11:45 AM 페이지96 mac02 T


교과서 37 쪽

1 영주는서로다른 120개의블록을가지고있다. 블록은다음표와같이 2가

지재질과 3가지크기, 그리고 5가지색과 4가지모양으로되어있다. 그중

에서‘플라스틱으로된중간크기의초록색인원기둥모양의블록’과단두

가지만일치하는블록을선택하는경우의수를구하여라.

중단원 실력 수준별학습

3 어느건물에서는출입을통제하기위하여각자리가 0 또는 1로이루어진 8자

리문자열의보안카드를사용하고있는데, 보안카드의 8자리문자열에포

함된 1의개수가 5개이거나문자열의처음 4자리가 0110이면이건물에출

입할수있다. 이 건물에출입할수있는서로다른보안카드의개수를구

하여라.

2 오른쪽그림과같은원판에서로다른 8가지의색을모

두사용하여 8개의각영역을칠하는경우의수를구하

여라. (단, 두 원의중심은같고두선분은원의중심에

서수직으로만난다.)

4 방정식w+x+y+z=9의음이아닌정수인해의개수를구하여라.

(단, wæ0, xæ1, yæ2, zæ0)

재질

크기

색

모양

플라스틱, 나무

대, 중, 소

파랑, 빨강, 노랑, 초록, 보라

삼각기둥, 사각기둥, 육각기둥, 원기둥

01 경우의수

원순열

02 순열

중복조합

03 조합

02 순열 03 조합

[해답 p.164 ]

목표| 합의 법칙과 곱의 법칙을 이용하여 경우의 수를 구할

수 있게 한다.

풀이| ①재질②크기③색④모양이라고하면

①, ②만일치하는경우의수는　4_3=12

①, ③만일치하는경우의수는　2_3=6

①, ④만일치하는경우의수는　2_4=8

②, ③만일치하는경우의수는　1_3=3

②, ④만일치하는경우의수는　1_4=4

③, ④만일치하는경우의수는　1_2=2

따라서구하는경우의수는　

12+6+8+3+4+2=35

1중/단/원 실력

목표| 중복순열과 조합을 활용하여 문제를 해결


풀이| 1의개수가 5개인경우의수는

8C5=56

처음네자리가 0110인경우의수는

2P4=16

처음 네 자리가 0110이면서 1의 개수가 5개인 경우의

수는　4C3=4

따라서보안카드의개수는　

56+16-4=68

3

목표| 조합과 원순열을 활용하여 문제를 해결할

수 있게 한다.

풀이| 바깥쪽의 네 영역에 4가지 색을 칠하

는경우의수는

•C¢_ =420

이 경우 각각에 대하여 안쪽의 네 영역에 나

머지 4가지색을칠하는경우의수는

4!=24

따라서구하는경우의수는　

420_24=10080

4P41234

2

목표| 중복조합을 이용하여 일차방정식의 음이 아닌 정수인

해의 개수를 구할 수 있게 한다.

풀이| 구하는해는 w+x+y+z=6의음이아닌정수인

해의개수와같다.

이때 음이 아닌 정수인 해의 개수는 서로 다른 네 문자

w, x, y, z에서중복을허락하여 6개를택하는중복조합

의수와같다.


¢H§=¢≠§–¡C§=ªC§=ªC£=84

4

(066~097)269확통지도서1-1 2014.7.14 11:45 AM 페이지97 mac02 T

교과서 38 쪽

2사탕을나누어담아보자.

설탕이나엿을끓였다가식혀서만드는사탕은종류가매우다양

한데, 설탕을빛깔이변할때까지졸여서만든캐러멜(caramel),

먹을때아삭아삭부서지고이에달라붙지않는드롭스(drops), 과

즙이나브랜디, 위스키등이들어간봉봉(bonbon), 설탕반죽을탄산

가스로부풀린후견과류나과일조각을섞어서만든누가(nougat)등

이있다.

사탕은B.C. 2000년경이집트에서처음만들어졌는데, 그당시는과일

등을벌꿀에버무려서만든단과자였다. 그후사탕수수로만든가루설탕에아카시아의수액에서

얻은아라비아고무를섞어로젠지(lozenge, 마름모꼴의약용드롭스)라는것을만들었는데, 이것

이사탕의시조라고할수있다.

이단원을배우면서다음과제를해결하여보자. 45쪽

모양과 크기가 같은 사탕을 같은 종류의 봉지에 나누어 담는 경우의 수를 구할

수있을까?

분할과이항정리

98 각론

2 분할과이항정리

이번 중단원에서는 다음 내용을 지도한다.

① 유한집합을 서로소인 몇 개의 집합의 합집합으

로 나타낼 수 있는 방법의 수를 구할 수 있게

한다.

② 자연수를 몇 개의 자연수의 합으로 나타낼 수

있는 방법의 수를 구할 수 있게 한다.

③ 이항정리를 이해하게 한다.

④ 이항정리를 이용하여 여러 가지 문제를 해결


중단원을 시작하며

서로 다른 n개를 몇 개의 부분으

로 나누기만 하는 것을 분할이라

하고, 몇개의부분으로나누어각

사람에게주는것을분배라고한다. 분배는순열과조합

을이용하여다양한경우의수를구하였다.

이 단원에서는 모양과 크기가 같아 구분이 되지 않는 사

탕을 같은 봉지에 나누어 담는 경우를 생각하게 하여 분

할을자연스럽게이해할수있게한다.

들어가면서

중단원의 구성

소단원명 지도 내용

01 분할

02 이항정리

집합의 분할

자연수의 분할

이항정리

중단원 확인 학습 문제

2. 자연수를 몇

개의자연수의합

으로 나타낼 수

있는방법의수를

구할수있다.

3. 이항정리를

이해하고, 이를

이용하여 여러

가지 문제를 해

결할수있다.

상

중

하

상

중

하

자연수를몇개의자연수의합으로나타

낼수있는모든방법의수를구하고, 그

과정을설명할수있다.

자연수를몇개의자연수의합으로나타낼

수있는모든방법의수를구할수있다.

자연수를 두 개 또는 세 개의 자연수의

합으로나타낼수있다.

이항정리를 이용하여 여러 가지 문제를

해결할수있다.

이항정리를이용하여항이두개인식의

거듭제곱의 전개식에서 특정한 항의 계

수를구할수있다.

이항정리를말할수있다.

수준별 학습


1. 유한집합을서

로소인 몇 개의

집합의 합집합으

로 나타낼 수 있

는 방법의 수를

구할수있다.

성취 기준

상

중

하

성취 수준

유한집합을 서로소인 집합의 합집합으

로나타낼수있는방법의수를구하고,

그과정을설명할수있다.

유한집합을서로소인몇개의집합의합

집합으로 나타낼 수 있는 방법의 수를

구할수있다.

간단한 유한집합을 서로소인 집합의 합

집합으로나타낼수있다.


성취 기준 성취 수준

성취 기준 성취 수준성취 기준 성취 수준

(098~119)269확통지도서1-2 2014.7.14 11:47 AM 페이지98 mac02 T


교과서 39 쪽

01●유한집합을서로소인몇개의집합의합집합으로나타낼수있는경우의수를구할수있다.

●자연수를몇개의자연수의합으로나타낼수있는경우의수를구할수있다.

분할

집합의 분할이란 무엇인가?

자원봉사자

자원봉사자는 사회 또는 공공의 이익을 위한 일을

자기 의지로 행하는 사람으로 이들의 봉사 활동은

보통비영리단체를통하는경우가많다. 하지만이

와는 별도로 개인 또는 몇몇 사람들이 비교적 격식

을 차리지 않고 자유롭게 봉사 활동을 펼치는 경우

도있다.

탐구 활동 네 명의 학생 a, b, c, d가 여러 모둠으로 나뉘어 자원봉사를 하기로 하였다. 한 사람은

한 모둠에만 들어갈 수 있고 각 모둠에는 적어도 한 사람이 포함되어야 한다고 할 때, 다

음물음에답하여보자.

1. 네명을한모둠으로만드는경우의수를구하여보자.

2. 네명을세모둠으로나누는경우의수를구하여보자.

3. 네명을다섯모둠으로나누는경우의수를구하여보자.

생각 열기

탐구활동은네명의학생을원소로하는집합 { a, b, c, d }를

몇개의서로소인부분집합으로나누는것과같다.

예를들어 { a }'{ b }'{ c, d }는집합 { a, b, c, d }를서로소인

세부분집합으로나눈것이다.

이와같이주어진집합을몇개의공집합이아닌서로소인부분집합으로나누는것

을집합의분할이라고한다.

일반적으로 n개의원소를가지고있는집합을 k(k…n)개의공집합이아닌서로

소인부분집합으로나누는분할의수를기호

S(n, k)

로나타낸다.

ab

c,`d

집합의 분할의 수를 제2종

스털링수(Stirling numbers

of the second kind)라고도

한다. 또기호 S(n, k)에서 S는

스털링 수의 첫 글자에서 따온

것이다.

01 분할

① 집합의 분할의 뜻을 알게 한다.

② 유한집합을 서로소인 몇 개의 집합의 합집합으로 나타낼

수 있는 경우의 수를 구할 수 있게 한다.

③ 자연수의 분할의 뜻을 알게 한다.

④ 자연수를 몇 개의 자연수의 합으로 나타낼 수 있는 경우의



활동 목표•네 명의 자원봉사자를 여러 개의 모둠으로 나

누는 경우의 수를 구하는 과정을 통해 집합의 분할을 이해

하게 하려는 것이다.


1. 네 명을 한 모둠으로 만드는 경우는 {a, b, c, d}의

1가지이다.

2. 네명을세모둠으로나누는경우는

{a, b, (c, d)}, {a, c, (b, d)}, {a, d, (b, c)},

{b, c, (a, d)}, {b, d, (a, c)}, {c, d, (a, b)}

의 6가지이다.

3. 네명을다섯모둠으로만드는경우는없다.

자원봉사자는 사회 또는 공공의 이익을 위한

일을 자기 의지로 행하는 사람으로 이들은

비영리단체를 통해서나 개인 또는 몇몇 사람

들이자유롭게봉사활동을한다.

자원봉사자는 다양한 형태로 보상을 얻는다.

예를 들어 보람이나 경험 등의 정신적 보상

이나 교통비나 식사비, 소정의 활동비 등을

제공받는 금전적 보상이 있을 수 있다. 그 밖에도 취업

또는진학에도움이되는경력을쌓기위한목적에서자

원봉사를하기도한다.


1. 4명을 두 팀으로 나누는 방법은 1명과 3명으로 나누

는 경우와 2명과 2명으로 나누는 경우가 있다. 실제

학생의 이름을 예로 들어 나누는 모든 방법을 생각해

보도록유도한다.


•집합의분할(集合`— 分割, partition of a set)

•자연수의 분할(自然數`— 分割, partition of

natural number)

•S(n, k), P(n, k)

2. 모양과크기가같은사과 6개를나누는것

은순서를생각하지 않고 1 이상 6 이하의

자연수의 합으로 나타내는 경우와 같음을

이해할 수 있도록 지도한다. 이때 수학 교

구를 활용하면 더 좋은 효과를 얻을 수 있

다.


(098~119)269확통지도서1-2 2014.7.14 11:47 AM 페이지99 mac02 T

교과서 40 쪽

따라서n개의원소를가지고있는집합의분할의수는

S(n, 1)+S(n, 2)+y+S(n, n)

이다.

집합 X={ 1, 2, 3 }을 2개의 공집합이 아닌 서로소인 부분집합으로 나누는 분할의 수를

기호로나타내면 S(3, 2)이다.

보기

집합X={ w, x, y, z }에대하여집합X의분할의수를구하여라.2문제

집합 X={ a, b, c, d , e}를 3개의공집합이아닌서로소인부분집합으로나누는분할의수

를기호로나타내어라.

1문제

예제 01집합A를 1개의부분집합의합집합으로나타내면

A={ 1, 2, 3 }

이므로　S(3, 1)=1

집합A를 2개의부분집합의합집합으로나타내면

A= { 1 }'{ 2, 3 }={2 }'{ 1, 3 }={3 }'{ 1, 2 }

이므로　S(3, 2)=3

집합A를 3개의부분집합의합집합으로나타내면

A= { 1 }'{ 2 }'{ 3 }

이므로　S(3, 3)=1

따라서집합A의분할의수는

S(3, 1)+S(3, 2)+S(3, 3)=1+3+1=5

답 5

집합 A={ 1, 2, 3 }에대하여집합 A의분할의수를구하여라.

풀이

100 각론

n개의 원소를 갖는 집합 A가 다음

그림과 같이 부분집합으로 나누어

져 있다고 하자.

집합 A가

⁄ A=B¡'B™'y'B˚이고

¤ 모든 i=1, 2, y, k에 대하여 B‘+Δ이며‹ i+j인 모든 i, j에 대하여 B‘;BΔ=Δ이면

{B¡, B™, y, B˚}를 집합 A의 분할(set partition)이라

하고 각 B‘를 이 분할의 블록(block)이라고 한다.

n개의 원소와 k개의 블록을 가진 집합의 분할의 수를 제2종

스털링 수(Stirling numbers of the second kind)라 하

고 S(n, k)로 나타낸다. 특히 n개의 원소를 가진 집합의 모

든 분할의 수를 벨 수(Bell number)라 하고 B(n)으로 나

타낸다. 즉, 벨 수 B(n)은 다음과 같다.

B(n)=S(n, 1)+S(n, 2)+y+S(n, n)

지/도/자/료 S(n, k)의 정의

목표| 집합의 분할을 나타내는 기호 S(n, k)를

이해할 수 있게 한다.

풀이| 집합 X={a, b, c, d, e}를 3개의 공

집합이 아닌 서로소인 부분집합으로 나누는

분할의수를기호로나타내면 S(5, 3)이다.

1

목표| 집합의 분할의 수를 구할 수 있게 한다.

풀이| 집합 X를 1개의 부분집합의 합집합으

로나타내면X={w, x, y, z}이므로

S(4, 1)=1

집합 X를 2개의 부분집합의 합집합으로 나

타내면

X={w}'{x, y, z}

={x}'{w, y, z}

={y}'{w, x, z}

={z}'{w, x, y}

={w, x}'{y, z}

={w, y}'{x, z}

={w, z}'{x, y}

이므로　S(4, 2)=7

집합X를 3개의부분집합의합집합으로나타내면

X={w}'{x}'{y, z}

={w}'{y}'{x, z}

={w}'{z}'{x, y}

={x}'{y}'{w, z}

={x}'{z}'{w, y}

={y}'{z}'{w, x}

이므로　S(4, 3)=6

집합X를 4개의부분집합의합집합으로나타내면

X={w}'{x}'{y}'{z}이므로　S(4, 4)=1

따라서집합X의분할의수는

S(4, 1)+S(4, 2)+S(4, 3)+S(4, 4)

=1+7+6+1

=15

2

B¡

B£

B¢

B™B

…

(098~119)269확통지도서1-2 2014.7.14 11:47 AM 페이지100 mac02 T


교과서 41 쪽

예제 02⁄ 세 명의 학생 a, b, c를 한 모둠으로 나누는 경우의 수는 S(3, 1)=1이다. 이때

학생 d가홀로모둠을이루면네명의학생이두모둠을이루므로네명의학생이

두모둠을이루는경우의수는 1이다.

¤ 세명의학생 a, b, c를두모둠으로나누는경우의수는다음표와같이S(3, 2)=3

이다.

위의 표에서 각각의 경우에 학생 d가 들어갈 수 있는 경우는 2가지씩이므로 네

명의학생이두모둠을이루는경우의수는 3_2=6이다.

⁄, ¤에의하여네명의학생을두모둠으로나누는분할의수는

S(4, 2)=1+6=7

답 7

세 명의 학생 a, b, c를 한 모둠 또는 두 모둠으로 나누는 경우를 이용하여 네 명의 학

생 a, b, c, d를두모둠으로나누는분할의수 S(4, 2)를구하여라.

풀이

a b ca b dc

또는a a d b cb c a cb d

모둠나누기

a

b

c

b, c

a, c

a, b

네명의학생을두모둠또는세모둠으로나누는경우를이용하여다섯명의학생을세모

둠으로나누는분할의수 S(5, 3)을구하여라.

3문제

조합을이용하여 S(4, 2)를구하는방법을설명하여라.창up의

¤ 네 명의 학생 a, b, c, d를 세 모둠으로

나누는경우의수는다음표와같이

S(4, 3)=6

위의 표에서 각각의 경우에 학생 e가 들

어갈 수 있는 경우는 3가지씩이므로 다섯

명의 학생이 세 모둠을 이루는 경우의 수

는 6_3=18

⁄, ¤에 의하여 다섯 명의 학생을 세 모둠

으로나누는분할의수는

S(5, 3)=7+18=25

a`b ec`da`b c`d

a b c`d

aè c`db a bè c`d a b c`dè또는 또는

목표| 집합의 분할의 수를 이용하여 다른 집합의 분할의 수

를 구할 수 있게 한다.

풀이| 다섯명의학생을 a, b, c, d, e라고하자.

⁄ 네 명의 학생 a, b, c, d를 두 모둠으로 나누는 경우

의수는다음표와같이　S(4, 2)=7

위의 표에서 각각의 경우에학생 e가홀로모둠을 이

루면 다섯 명의 학생이 세 모둠을 이루므로 다섯 명

의학생이세모둠을이루는경우의수는 7이다.

3

모둠 나누기

a

b

c

d

a, b

a, c

a, d

b, c, d

a, c, d

a, b, d

a, b, c

c, d

b, d

b, c

모둠 나누기

a

a

a

b

b

c

b

c

d

c

d

d

c, d

b, d

b, c

a, d

a, c

a, b

출제 의도| 조합을 이용하여 집합의 분할의 수를 구할 수 있

게 한다.

창의 UP

풀이| 4=1+3=2+2이므로 네 명의 학생을 두 모둠으

로나누는경우는 2가지이다.

⁄ 두모둠의학생수가 1명, 3명인경우

¢C¡_£C£=4

¤ 두모둠의학생수가 2명, 2명인경우

¢C™_™C™_ =3

따라서네명의학생을두모둠으로나누는분할의수는

S(4, 2)=4+3=7

1122!


교과서 42 쪽

S(n, k)=S(n-1, k-1)

+kS(n-1, k)(1<k<n)

S(5, 1)=1, S(5, 2)=15임을이용하여다음을구하여라.

⑴ S(6, 2) ⑵ S(7, 2)

4문제

S(6, 3)=90임을이용하여 8명의여행객을 3개의호텔에나누어투숙하게하는경우의수

를구하여라. (단, 각각의호텔에적어도한명의여행객은반드시투숙한다.)

5문제

S(5, 2)=S(4, 1)+2S(4, 2)=1+2¥7=15보기

서로 다른 n개의 공을 같은 종류의 상자 3개에 빈 상자가 없도록 나누어 넣는 분할

의수를기호로나타내어보자.


▶의사소통

▶문제 해결

이제S(n, k)(1…k…n)를구하는방법에대하여알아보자.

예를들어n=3, k=2이면S(3, 2)는원소의개수가세개인집합A={1, 2, 3}을

2개의서로소인부분집합으로분할하는경우의수이다.

따라서A={1}'{2, 3}={2}'{1, 3}={3}'{1, 2}이므로S(3, 2)=3이다.

여기서원소 3이혼자서한개의모둠을이루는경우는 {3}'{1, 2}이고, 이경우분

할의수는 3을제외한 2개의원소를가진집합을 1개의모둠으로분할하는수와같으

므로S(2, 1)이다.

원소 3이다른원소와함께한개의모둠을이루는경우는 {1}'{2, 3}, {2}'{1, 3}

이고, 이경우분할의수는 3을제외한 2개의원소를가진집합을 2개의모둠으로분

할한후 3을둘중한모둠에포함시키는것과같으므로 2S(2, 2)이다.

따라서S(3, 2)=S(2, 1)+2S(2, 2)=1+2¥1=3이다.

즉, 다음과같은규칙이성립한다.

S(3, 2)=S(2, 1)+2S(2, 2)

실생활

-1-1

-1

102 각론

❶ n명의 사람 1, 2, y, n을 k개의 그룹으로

나누는방법은다음의두가지경우가있다.

[경우 1] n이혼자서 1개의그룹을이루는경우

이 경우는 1, 2, y, n-1을 (k-1)개의

그룹 X¡, X™, y, X˚–¡로 분할함으로써

k개의 그룹 X¡, X™, y, X˚–¡, {n}을 얻

을수있다. 이경우의분할의수는

S(n-1, k-1)이다.

[경우 2] n이 다른 사람과 함께 1개의 그룹을

이루는 경우

이 경우는 1, 2, y, n-1을 k개의 그룹

X¡, X™, y, X˚로 분할하고 n을 X¡,

X™, y, X˚ 중 어느 한 그룹에 포함시키

면 된다. 이때 포함시키는 방법의 수는 k

이므로이경우의분할의수는

kS(n-1, k)이다.

따라서다음을얻는다.

S(n, k)=S(n-1, k-1)+kS(n-1, k)

(단, 1<k<n)

본문 해설

목표| 집합의 분할의 수의 성질을 이용하여 다른 집합의 분

할의 수를 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ S(6, 2)=S(5, 1)+2S(5, 2)

=1+2_15=31

⑵ S(7, 2)=S(6, 1)+2S(6, 2)

=1+2_31=63

4

목표| 집합의 분할의 수의 성질을 활용하여 실생활 문제를

해결할 수 있게 한다.

풀이| 8명을 3개의 호텔에 나누어 투숙하게 하는 방법

은 8명을 세 모둠으로 나누고, 각 모둠을 세 호텔로 구

분해야하므로구하는경우의수는

3!_S(8, 3)=6_{S(7, 2)+3S(7, 3)}=5796

5

출제 의도| 집합의 분할의 수를 이해하게 한다.

사고력 기르기 문제 해결

풀이| 구하는 경우의 수는 n개의 원소를 가지는 집합을

3개의 공집합이 아닌 서로소인 부분집합으로 나누는 분

할의수와같으므로 S(n, 3)이다.

① n명을 k개의 서로 다른 방에 빈 방이 없게 배치하는 경우

의 수: S(n, k)k!

② n통의 서로 다른 편지를 k개의 서로 다른 우체통에 넣는

경우의 수: k«

③ 서로 다른 n명을 k개의 그룹으로 나누는 경우의 수:

S(n, k)

④ n명을 k개 이하의 그룹으로 나누는 경우의 수:

S(n, 1)+S(n, 2)+y+S(n, k)

지/도/자/료 집합의 분할

❶

(098~119)269확통지도서1-2 2014.7.14 11:47 AM 페이지102 mac02 T


교과서 43 쪽

자연수의 분할이란 무엇인가?

탐구 활동 모양과 크기가 같은 사과 6개를 빈 봉지가 없도록 같은 종류

의봉지에나누어담으려고할때, 다음물음에답하여보자.

1. 6개의사과를두개의봉지에나누어담는경우를모두나열

하여보자.

2. 6개의사과를세개의봉지에나누어담는경우를모두나열

하여보자.

P(n, k)에서 P는

Partition(분할)의첫글자이다.

6개의사과를빈봉지가없도록세개의봉지에나누는방법은자연수 6을순서를

무시하고세자연수의합으로나타내는방법과같다. 예를들어각각의봉지에 2개,

1개, 3개를넣었다면이는 6=2+1+3으로생각할수있다. 이때 1+2+3, 2+1+3,

3+1+2 등은모두같은것으로본다.

한편자연수 6을 6보다작은자연수의합으로나타내면다음과같다.

6=5+1=4+2=3+3

=4+1+1=3+2+1=2+2+2

=3+1+1+1=2+2+1+1

=2+1+1+1+1

=1+1+1+1+1+1

이와같이주어진자연수를몇개의자연수의합으로나타내는것을자연수의분할

이라고한다.

일반적으로자연수n을 k (k…n)개의자연수의합

n=n¡+n™+y+n˚ (단, n¡æn™æyæn˚>0)

로나타내는자연수의분할을기호

P(n, k)

로나타낸다.

따라서자연수n의분할의수는

P(n, 1)+P(n, 2)+y+P(n, n)

이다.

P(6, 1)=1, P(6, 2)=3, P(6, 3)=3, P(6, 4)=2, P(6, 5)=1, P(6, 6)=1이므로

자연수 6의분할의수는 1+3+3+2+1+1=11이다.

보기

자연수 5의분할의수를구하여라.6문제

❶자연수 n을 k개의자연수의합

n=n¡+n™+y+n˚(1…k…n, n¡æn™æyæn˚)로나타내었을때, 이 합을 n의분할, k를

분할의길이, n˚를분할의항이라고한다.

일반적으로 자연수 n의 서로 다른 k개의

분할의전체개수를 P(n, k)로나타낸다.

예를들어

6=4+1+1=3+2+1=2+2+2이므로

P(6, 3)=3이고

7=5+1+1=4+2+1=3+3+1

=3+2+2

이므로 P(7, 3)=4이다.

여기에서 조건 n¡æn™æyæn˚æ1은 분

할에서 순서를 고려하지 않는다는 것을

의미하며, 이를무순서분할이라고한다.

본문 해설

❶

활동 목표•모양과 크기가 같은 사과를 빈 봉지가 없도록

같은 종류의 봉지에 나누어 담는 경우를 통해 자연수의 분

할을 이해하게 하려는 것이다.


1. 6개의 사과를 두 개의 봉지에 나누어 담는 경우는 각

각의봉지에사과를

(5, 1), (4, 2), (3, 3)

개씩넣는다.

2. 6개의사과를세개의봉지에나누어담는경우는각

각의봉지에사과를

(4, 1, 1), (3, 2, 1), (2, 2, 2)

개씩넣는다.

목표| 자연수의 분할의 수를 구할 수 있게 한다.

풀이| P(5, 1)=1, P(5, 2)=2, P(5, 3)=2,

P(5, 4)=1, P(5, 5)=1이므로

자연수 5의분할의수는

1+2+2+1+1=7

6

자연수의 분할을 다음과 같이 정의할 수도 있다.

자연수 n에 대하여 다음 두 조건을 만족하는

k=(n¡, n™, y, n˚)를 n의 분할(partition)이라고 한다.

⁄ n¡æn™æyæn˚æ1 (단 n¡, n™,y, n˚는 자연수)

¤ n=n¡+n™+y+n˚

k=(n¡, n™, y, n˚)가 n의 분할이면 각각의 n‘를 분할 k의

부분(part)이라고 한다. 또 n의 모든 분할의 개수를 P(n),

k개의 부분을 가진 n의 분할의 수를 P(n, k)로 나타낸다.

따라서

P(n)=P(n, 1)+P(n, 2)+y+P(n, k)

이다.

지/도/자/료

(098~119)269확통지도서1-2 2014.7.14 11:47 AM 페이지103 mac02 T

교과서 44 쪽

분할을나타내는그림을

페러다이어그램(Ferrers

diagram)이라고한다.

자연수n에대하여

n=n¡+n™+y+n˚

를 n의분할이라고하면첫번째행에 n¡개, 두번째행에 n™개, y, k번째행에 n˚개

의정사각형그림을그릴수있다.

예를들어 6의한분할인 6=4+1+1은다음과같은그림으로나타낼수있다.

여기서 4, 1, 1은그림의각가로줄에있는정사각형의개수이다. 한편이그림의

각세로줄의정사각형의개수는각각 3, 1, 1, 1이므로 6은 6=3+1+1+1과같이분

할되기도한다. 이와같이주어진분할을그림으로나타내면분할을보다쉽게이해할

수있다.

예제 03

6=4+1+1=3+2+1=2+2+2이므로

P(6, 3)에해당하는그림은오른쪽그림

과같이 3가지이다.

각각의그림에정사각형한개를더그리면중복되는그림을제외하고다음과같이

모두 4가지임을알수있다.

자연수 6의한분할인 2+2+1+1을오른쪽그림과같이나타낼때, P(6, 3)

에해당하는그림에정사각형한개를더그려넣어 P(7, 3)=4임을확인하

여라.

풀이

3

4

11

1 1 1

분할의수 P(6, 4)를그림으로나타내고, 이를이용하여 P(7, 4)를구하여라.7문제

2010년 월드컵에서는 공인구로 자블라니를 사용하였다. 자블라니 8개

를같은종류의상자 3개에나누어담는경우의수를구하여라.

(단, 빈 상자는없도록한다.)

8문제

실생활

104 각론

❶ n=n¡+n™+y+n˚가 n의 분할이라고

할 때, 첫 번째 행에 n¡개, 두 번째 행에

n™개, y, k번째 행에 n˚개의 정사각형을

그린 그림을 페러 다이어그램(Ferrers

diagram)이라고한다.

예를들어다음그림은 6의분할인

(4, 2), (3, 2, 1)의 페러 다이어그램을

나타낸것이다.

3

2

1

3 2 12

4

2

2 1 1

본문 해설

목표| 분할의 수를 그림으로 나타내고, 이를 이용하여 자연

수의 분할의 수를 구할 수 있게 한다.

풀이| 6=3+1+1+1=2+2+1+1이므로 P(6, 4)를

그림으로나타내면다음과같다.

각각의 그림에 정사각형 한 개를 더 그려 넣어 그림을

그리면다음과같이 P(7, 4)를나타낼수있다.

따라서　P(7, 4)=3

7목표| 자연수의 분할의 수를 이용하여 실생활 문제를 해결할

수 있게 한다.

풀이| 똑같은 자블라니 8개를 같은 종류의 상자 3개에

나누어 담을 때, 빈 상자가 없도록 담는 경우의 수는 자

연수 8을 3개의자연수로분할하는것과같으므로

P(8, 3)이다.

이때자연수 8을 3개의자연수로분할하면

8=6+1+1=5+2+1=4+3+1

=4+2+2=3+3+2

이므로구하는경우의수는

P(8, 3)=5

8

❶

(098~119)269확통지도서1-2 2014.7.14 11:47 AM 페이지104 mac02 T


교과서 45 쪽

이제P(n, k)(1…k…n)를구하는방법에대하여알아보자.

예를들어n=6, k=3이면 4+1+1, 3+2+1, 2+2+2이므로P(6, 3)=3이다.

여기서 1이분할중하나인경우는 4+1+1, 3+2+1이고각각다음그림과같이

4+1, 3+2로대응된다. 이경우분할의수는P(5, 2)이다.

또 1이분할중하나가아닌경우는 2+2+2이므로다음그림과같이 1+1+1로

대응된다. 이경우분할의수는P(3, 3)이다.

따라서P(6, 3)=P(5, 2)+P(3, 3)=2+1=3이다.

즉, 다음과같은규칙이성립한다.

P(6, 3)=P(5, 2)+P(3, 3)

4+1+1 4+1 3+2+1 3+2

2+2+2 1+1+1

-1-1

6-3

P(n, k)=P(n-1, k-1)

+P(n-k, k)(1<k<n)

P(7, 5)=P(6, 4)+P(2, 5)이고 P(2, 5)=0이므로　P(7, 5)=P(6, 4)=2보기

분할의수 P(8, 5)를구하여라.9문제

같은 종류의 연필 11자루를 같은 종류의 필통 3개에 넣을 때, 각 필통에 2자루 이상의

연필이있도록넣는경우의수는같은종류의연필 5자루를같은종류의필통 3개에넣

는경우의수와같음을설명하여라.

창up의

앞의단원과제에대하여다음을해결하여보자.

모양과 크기가 같은 사탕을 같은 종류의 봉지에 나누어 담는 경

우의수는자연수의분할의수로구할수있다. 모양과 크기가같

은 7개의사탕을같은종류의봉지 3개에나누어담으려고할때,

빈봉지가없도록나누어담는경우의수를구하여보자.

❶일반적으로 P(n, k)=P(n-1, k-1)+P(n-k, k)

(1<k<n)를 이용하여 n=8까지 P(n, k)를 구하면

다음과같다.

본문 해설

n P(n, 1) P(n, 2) P(n, 3) P(n, 4) P(n, 5) P(n, 6) P(n, 7) P(n, 8)

1

2

3

4

5

6

7

8

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

1

2

2

3

3

4

0

0

1

1

2

3

4

5

0

0

0

1

1

2

3

5

0

0

0

0

1

1

2

3

0

0

0

0

0

1

1

2

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

1

목표| 자연수의 분할의 수의 성질을 이용하여

다른 자연수의 분할의 수를 구할 수 있게 한다.

풀이| P(8, 5)=P(7, 4)+P(3, 5)이고

P(3, 5)=0이므로 P(8, 5)=P(7, 4)

이때자연수 7을 4개의자연수로분할하면

7=4+1+1+1=3+2+1+1=2+2+2+1

이므로　P(8, 5)=P(7, 4)=3

9

단원 과제

목표| 자연수의 분할의 수를 이용하여 경우의 수를 구할 수

있게 한다.

풀이| 모양과크기가같은 7개의사탕을같은종류의봉

지 3개에나누어담는경우의수는 P(7, 3)과같다.

따라서　P(7, 3)=4

출제 의도| 자연수의 분할을 활용하여 주어진 두

경우의 수가 같음을 설명할 수 있게 한다.

창의 UP

풀이| 11자루의 연필을 3개의 필통에 넣을

때, 2개이상있어야하므로각필통에 2개씩

먼저 6개를넣으면 5개가남는다.

따라서 구하는 경우의 수는 5자루의 연필을

3개의필통에넣는경우의수와같으므로

P(5, 1)+P(5, 2)+P(5, 3)

=1+2+2=5

① n개의 바둑돌을 k개의 서로 다른 통에 빈 통이 없게 넣는

경우의 수: ˚H«–˚② n개의 바둑돌을 k개의 서로 다른 통에 넣는 경우의 수(빈

통 허용): ˚H«③ 같은 n개의 바둑돌을 k개의 그룹으로 나누는 경우의 수:

P(n, k)

④ 같은 n개의 바둑돌을 k개 이하의 그룹으로 나누는 경우의

수: P(n, 1)+P(n, 2)+y+P(n, k)

지/도/자/료 자연수의 분할

❶

(098~119)269확통지도서1-2 2014.7.14 11:47 AM 페이지105 mac02 T

교과서 46 쪽

02●이항정리를이해한다.

●이항정리를이용하여여러가지문제를해결할수있다.

이항정리

조합을이용하여다항식 (a+b)‹ 의전개식을나타내는방법에대하여알아보자.

다항식 (a+b)‹ =(a+b)(a+b)(a+b)의 전

개식에서 a¤ b는오른쪽그림과같이 (a+b)‹ 의세

인수 (a+b), (a+b), (a+b) 중 2개에서 a를택

하고, 남은 1개에서 b를 택하여 곱한 경우이므로

a¤ b의계수는세인수 (a+b) 중한인수에서 b를

택하는조합의수 £C¡=3과같다.

마찬가지방법으로 a‹ , ab¤ , b‹의계수는각각 £Cº, £C™, £C£이됨을알수있다.

따라서 (a+b)‹ 의전개식은조합을이용하여

(a+b)‹ =£Cº a‹ +£C¡ a¤ b+£C™ ab¤ +£C£ b‹

으로나타낼수있다.

일반적으로 (a+b)« 의전개식은자연수n에대하여

(a+b)« =(a+b)(a+b)y(a+b)

이고, 이때항 a« —® b®은n개의인수 (a+b) 중 r개에서 b를택하고나머지 (n-r)개

에서 a를택하여곱한것이다. 즉, n개에서 r개를택하는조합의수만큼나타나므로

a« —® b®의계수는 «C®이다.

이항정리란 무엇인가?

오른쪽 그림과 같은 개울을 건너려고 한다. 다음 물음에 답

하여 보자. (단, 첫째 돌과 둘째 돌, 셋째 돌과 넷째 돌, 다

섯째 돌과 여섯째돌을짝을지어서각각의짝지어진 2개의

돌중반드시하나만딛고간다.)

1. 흰돌 3개만딛고가는경우는몇가지인가?

2. 흰돌 2개와검은돌 1개를딛고가는경우는몇가지인가?

3. 흰돌 1개와검은돌 2개를딛고가는경우는몇가지인가?

탐구 활동

( | | { | | 9

n개

{a+b} {a+b} {a+b}

a a b

a b a

b a a

a@b

a@b

a@b

106 각론

02 이항정리

① 이항정리를 이해하게 한다.

② 이항정리를 이용하여 여러 가지 문제를 해결


③ 파스칼의 삼각형을 이해하고, 이를 활용할 수

있게 한다.


•이항정리(二項定理, binomial theorem)

•이항계수(二項係數, binomial coefficient)

•파스칼의삼각형(Pascal’s triangle)


1. 이항정리의 일반항을 이용하여 전개식의

특정한 항을 구할 수 있게 한다. 특히

(a+b)¤ , `(a+b)‹ 의 전개 과정을 통하여

전개식의 규칙성을 발견할 수 있도록 지

도한다.

2. 파스칼의 삼각형은 이항계수를 배열한 것

이라는 사실을 이해하고, 이를 활용할 수

있게한다.


활동 목표•흰돌과검은돌이있는개울을건너는방법의

수를 구해 (a+b)‹의 전개식에서 각 항의 계수를 구하는

원리를알게하려는것이다.


1. 흰 돌 3개만 딛고 가는 경우는 의 1가지

이다.

2. 흰돌 2개와검은돌 1개를딛고가는경우는

1. , , 의 3가지이다.

3. 흰돌 1개와검은돌 2개를딛고가는경우는

3. , , 의 3가지이다.

❶ (a+b)‹ 의 전개식에서 a¤ b가 되는 경우는 aab, aba,

baa의 세 가지가 있다. 이는 3개의 인수 중에서 b를

한개택하고, 나머지는 a를택하는경우의수이므로

£C¡이다. 이 수는 2개의 a와 1개의 b를 일렬로 배열

하는경우의수 과같다.

❷ (a+b)‹ 을전개하여보자.

(a+b¡)(a+b™)(a+b£)=a‹ +a¤ B¡+aB™+B£

라고하면

B¡=b¡+b™+b£, B™=b¡b™+b™b£+b£b¡, B£=b¡b™b£

이다. 이때 B¡, B™, B£은 b¡, b™, b£에서 각각 1개, 2

개, 3개씩을 택하여 만든 곱의 합이므로 그 항의 개

수는각각 £C¡, £C™, £C£이된다.

따라서 b¡=b™=b£=b로 놓으면 (a+b)‹ 의 전개식은

다음과같다.

(a+b)‹ =£Cºa‹ +£C¡a¤ b+£C™ab¤ +£C£b‹

3!1122!1!

본문 해설

❷

❶



교과서 47 쪽

따라서 (a+b)«의전개식은

(a+b)« =«Cº a« +«C¡ a« —⁄ b+«C™ a« —¤ b¤ +y+«C® a« —® b® +y+«C« b«

으로나타낼수있다. 이것을이항정리라고한다.

(a+b)« 의전개식에서각항의계수

«Cº, «C¡, «C™, y, «C®, y, «C«

을이항계수라하고, (r+1)번째항 «C® a« —® b®을일반항이라고한다.


이항정리

자연수 n에대하여

(a+b)« =«Cº a« +«C¡ a« —⁄ b+«C™ a« —¤ b¤ +y+«C® a« —® b® +y+«C« b«

= «C® a« —® b®n

;r=0

(a+b)› =¢Cº a› +¢C¡ a‹ b+¢C™ a¤ b¤ +¢C£ ab‹ +¢C¢ b› =a› +4a‹ b+6a¤ b¤ +4ab‹ +b›보기

«–¡C®–¡ «–¡C®

«C®

이항정리를이용하여다음식을전개하여라.

⑴ (x+3)fi ⑵ (a-2b)›

⑶ (2a-3b)› ⑷ {x+ }311x

1문제

등식 «–¡C®–¡+«–¡C®=«C®를이용하면 (a+b)« 의전개식의이항계수를다음과같

이삼각형모양으로나타낼수있다.

이와같이이항계수를배열한것을파스칼의삼각형이라고한다.

한편 «C®=«C«–®이므로파스칼의삼각형은좌우대칭임을알수있다.

¡Cº ¡C¡

™Cº

£Cº¢Cº ¢C¡ ¢C™ ¢C£ ¢C¢

£C¡ £C™ £C£

™C¡ ™C™

n=1n=0

n=4n=3

……

n=2

{a+b}!의 계수

{a+b}$의 계수{a+b}#의 계수

{a+b}@의 계수

1 1

1

11 4 6 4 1

3 3 1

2

1 1

1

…

(a+b)fi =afi +5a› b+10a‹ b¤ +10a¤ b‹ +5ab› +bfi보기

«C®=«C«–®이므로

(a+b)« 의 전개식에서 a® b« —®

과 a« —® b®의계수는같다.

P.`31

❶이항정리는 수학적 귀납법으로 다음과 같이 증명할

수있다.

⁄ n=1일때

(a+b)⁄ =¡Cºa+¡C¡ b=a+b

이므로이항정리가성립한다.

¤ n=k일때

(a+b) =˚Cº a +˚C¡ a —⁄ b+y+˚C˚b이성립한다고가정하면

(a+b)˚ ±⁄

=(a+b)(a+b)˚

=(a+b)(˚Cº a +˚C¡a˚ —⁄ b+y+˚C˚ b )=˚Cºa˚ ±⁄ +(˚Cº+˚C¡)a˚ b+(˚C¡+˚C™)a˚ —⁄ b¤+y+(˚C˚–¡+˚C˚)b˚ ±⁄

=˚≠¡Cº a ±⁄ +˚≠¡C¡a b+˚≠¡C™a —⁄ b¤ +y+˚≠¡C˚b ±⁄

따라서 n=k+1일때이항정리가성립한다.

그러므로 모든 자연수 n에 대하여 이항정

리가성립한다.

❷ n이자연수일때, 이항정리

(a+b)« =;Rn+) «C®a« —® b®에서

«C®= «C «–®이므로이항정리를

(a+b)« =;Rn+) «C«–®a« —® b®로도나타낼수있다.

본문 해설

목표| 이항정리를 이용하여 식을 전개할 수 있게

한다.

풀이| ⑴ 이항정리에 n=5, a 대신 x, b 대

신 3을대입한다.

(x+3)fi

=∞Cºxfi +∞C¡x› ¥3+∞C™x‹ ¥3¤ +∞C£x¤ ¥3‹+∞C¢x¥3› +∞C∞3fi

=xfi +15x› +90x‹ +270x¤ +405x+243

⑵이항정리에 n=4, b 대신 -2b를 대입한

다.

(a-2b)›

=¢Cºa› +¢C¡a‹ (-2b)+¢C™a¤ (-2b)¤

+¢C£a(-2b)‹ +¢C¢(-2b)›

=a› -8a‹ b+24a¤ b¤ -32ab‹ +16b›

⑶이항정리에 n=4, a 대신 2a, b 대신 -3b를 대입한

다.

(2a-3b)›

=¢Cº (2a)› +¢C¡(2a)‹ (-3b)+¢C™(2a)¤ (-3b)¤

+¢C£¥2a(-3b)‹ +¢C¢(-3b)›

=16a› -96a‹ b+216a¤ b¤ -216ab‹ +81b›

⑷이항정리에 n=3, a 대신 x, b 대신 ;[!;을대입한다.

{x+;[!;}‹ =£Cºx‹ +£C¡x¤ ¥;[!;+£C™x¥ +£C£

{x+;[!;}‹=x‹ +3x+ +11144x‹

31144x

114x‹

114x¤

1

❷

❶

(098~119)269확통지도서1-2 2014.7.14 11:47 AM 페이지107 mac02 T

풀이|

⑴ (a+b)fl

=afl +6afi b+15a› b¤ +20a‹ b‹ +15a¤ b›

+6abfi +bfl

⑵ (x-2)fi

=xfi +5x› ¥(-2)+10x‹ ¥ (-2)¤

+10x¤ ¥(-2)‹ +5x¥(-2)› +(-2)fi

=xfi -10x› +40x‹ -80x¤ +80x-32

n=1

n=0

n=4

n=3

n=2

n=6

n=5

…

1 1

1

11 4 6 4 1

3 3 1

2

1

1

1 5 10 10 5

…

11 6 15 20 15 6 1

목표| 이항정리를 이용하여 전개식의 항의 계수


풀이| {x¤ - } fl의전개식에서일반항은

§C® (x¤ )fl —® {- }®=§C®(-3)® x⁄ ¤ —‹ ®®

12-3r=6에서 r=2

따라서 xfl의계수는 §C™(-3)¤ =135

31x

31x

3

목표| 이항정리를 이용하여 조합의 수에 관한 등식을 증명할

수 있게 한다.

증명| ⑴이항정리에의하여

(1+x)« =«Cº+«C¡ x+«C™ x¤ +«C£ x‹ +y+«C« x«` 이 등식의양변에 x=-1을대입하면

(1-1)« =«Cº-«C¡+«C™-«C£+y+(-1)« «C«따라서　«Cº-«C¡+«C™-«C£+y+(-1)« «C«=0

⑵ 2« =«Cº+«C¡+«C™+y+«C«–¡+«C« yy`①⑴에의하여

0=«Cº-«C¡+«C™-y+«C«–¡-«C« yy`②

①+②: 2« =2(«Cº+«C™+y+«C«–¡)«Cº+«C™+y+«C«–¡=2« —⁄ yy`③①-③: 2« -2« —⁄ =«C¡+«C£+y+«C«2« —⁄ =«C¡+«C£+y+«C«따라서

«Cº+«C™+y+«C«–¡=«C¡+«C£+y+«C«=2« —⁄

4

교과서 48 쪽

파스칼의삼각형을이용하여다음식을전개하여라.

⑴ (a+b)fl ⑵ (x-2)fi

2문제

예제 01{x+ }

7

의전개식에서일반항은　¶C® x‡ —® { }r

=¶C® x‡ —® =¶C® 2® x‡ —¤ ®

7-2r=3, r=2이므로 x‹의계수는　¶C™2¤ =84

답 84

2®13x®

21x

21x

{x+ } 7의전개식에서 x‹의계수를구하여라.21x

풀이

(a+b)«의전개식에서 næ4

일때는각항의계수를파스칼

의 삼각형을 이용하여 구하는

것이편리하다.

예제 2의 결과를 이용하여 원소의 개수가 n개인 집합의 부분집합의 개수를 구하는

방법을설명하여보자.


▶의사소통

▶문제 해결

{x¤ - } 6의전개식에서 xfl의계수를구하여라.31x3문제

다음등식이성립함을증명하여라.

⑴ «Cº-«C¡+«C™-«C£+y+(-1)« «C«=0

⑵ n이홀수일때, «Cº+«C™+y+«C«–¡=«C¡+«C£+y+«C«=2« —⁄

4문제

예제 02이항정리에의하여　(1+x)« =«Cº+«C¡ x+«C™ x¤ +y+«C« x«

이때식의양변에 x=1을대입하면　2« =«Cº+«C¡+«C™+y+«C«

다음등식이성립함을증명하여라.

«Cº+«C¡+«C™+y+«C«=2«

증명

이항정리를이용하여여러가지문제를해결하여보자.

108 각론

출제 의도| 이항정리를 이용하여 부분집합의 개수를 구하는

방법을 설명할 수 있게 한다.


풀이| 원소의 개수가 n개인 집합에 대하여 원소의 개수

가 r개인 부분집합의 개수는 «C®개이므로 원소의 개수

가 n개인집합의부분집합의개수는　

«Cº+«C¡+«C™+y+«C«=2«

목표| 파스칼의 삼각형을 이용하여 식을 전개할

수 있게 한다.

2

(098~119)269확통지도서1-2 2014.7.14 11:47 AM 페이지108 mac02 T

풀이| 8을네개의자연수로분할하면

8=5+1+1+1

=4+2+1+1

=3+3+1+1

=3+2+2+1

=2+2+2+2

이므로　P(8, 4)=5


3

풀이| (x+y)·의전개식에서일반항은

ªC®x· —® y®이다.

r=5이므로 x› yfi의계수는

ªC∞=126

목표| 이항정리를 이용하여 전개식의 항의 계수


4

풀이|

⑴ (a-b)›

⑴=a› +4a‹ ¥(-b)+6a¤ ¥(-b)¤ +4a¥(-b)‹ +(-b)›

⑴=a› -4a‹ b+6a¤ b¤ -4ab‹ +b›

⑵ (x+2)fi

⑴=xfi + 5x› ¥2+10x‹ ¥2¤ +10x¤ ¥2‹ +5x¥2› +2fi

⑴=xfi +10x› +40x‹ +80x¤ +80x+32

n=1

n=0

n=4

n=3

n=2

n=5… …

1 1

1

11 4 6 4 1

3 3 1

2

1

1

1 5 10 10 5 1

목표| 파스칼의 삼각형을 이용하여 식을 전개할 수 있게 한다.

5


교과서 49 쪽

1 다음중에서집합X={1, 2, 3, 4, 5}의분할인것을모두찾아라.

3 자연수 8을네개의자연수의합으로나타내는분할의수 P(8, 4)를구하

여라.

5 파스칼의삼각형을이용하여다음식을전개하여라.

⑴ (a-b)› ⑵ (x+2)fi

2 원소가 5개인집합을두개의공집합이아닌서로소인부분집합으로나누는

분할의수 S(5, 2)를구하여라.

중단원 기초 수준별학습

4 다항식 (x+y)· 의전개식에서 x› yfi의계수를구하여라.

㉠ {1, 5}, {2}, {3} ㉡ {1, 2, 3}, {4, 5}

㉢ {1, 3, 4}, {2}, {5} ㉣ {1, 4}, {2, 3, 4}, {5}

집합의분할

01 분할

집합의분할

01 분할

자연수의분할

01 분할

02 이항정리

02 이항정리

[해답 p.165 ]

목표| 집합의 분할의 뜻을 알게 한다.

풀이| 집합 X를 공집합이 아닌 서로소인 부분집합으로

나눈것을찾으면㉡㉡, ㉢㉢이다.

풀이| 5=1+4=2+3이므로 다음의 두 가지 경우로 나

눌수있다.

⁄ 두집합의원소가각각 1개, 4개인경우:

∞C¡_¢C¢=5

¤ 두집합의원소가각각 2개, 3개인경우:

∞C™_£C£=10

⁄, ¤에서　S(5, 2)=5+10=15

1

목표| 집합의 분할의 수를 구할 수 있게 한다.

2

중/단/원 기초

(098~119)269확통지도서1-2 2014.7.14 11:47 AM 페이지109 mac02 T

풀이| ⑴구하는경우의수는 S(6, 3)이다.

6=4+1+1=3+2+1=2+2+2이므로

다음의세가지경우로나눌수있다.

⁄ 세집합의원소가각각 4개, 1개, 1개

인경우: §C¢_™C¡_¡C¡_ =15

¤ 세 집합의 원소가 각각 3개, 2개, 1개

인경우: §C£_£C™_¡C¡=60

‹ 세집합의원소가각각 2개, 2개, 2개

인경우: §C™_¢C™_™C™_ =15

⁄, ¤, ‹에서

S(6, 3)=15+60+15=90

⑵집합 X를각각두개의원소를가지고세

개의부분집합으로분할하는경우의수는

=15§C™_¢C™12113

3!

1123!

1122!

목표| 집합의 분할을 이해하고, 집합의 분할의


1중/단/원 기본

풀이| 7개의 귤을 3개 이하의 상자에 담는 경우의 수는

P(7, 1)+P(7, 2)+P(7, 3)이다.

이때자연수 7을분할하면

7=1+6=2+5=3+4

=5+1+1=4+2+1=3+3+1=3+2+2

에서　P(7, 1)+P(7, 2)+P(7, 3)=1+3+4=8

이므로　a=8

또 7개의 귤을 빈 상자가 없도록 3개의 상자에 나누어

담는경우의수는 P(7, 3)=4이므로　b=4

따라서　ab=32

목표| 자연수의 분할을 이해하고, 자연수의 분할

의 수를 구할 수 있게 한다.

2

교과서 50 쪽

중단원 기본 수준별학습

4 {ax¤ + }4의전개식에서x¤의계수가6일때, 양수a의값을구하여라.21x

5 nC0+nC1+nC2+y+nCn=512일때, 자연수 n의값을구하여라.

3 다항식 (x-a)fi 의전개식에서 x의계수와상수항의합이 0일때, 양수 a의

값을구하여라.

2 모양과 크기가 같은 7개의 귤을 같은 종류의 상자

3개에 나누어 담으려고 한다. 이때 3개 이하의

상자에담는경우의수를 a, 빈상자가없도록

3개의상자에담는경우의수를 b라고할때,

ab의값을구하여라.

1 집합X={1, 2, 3, 4, 5, 6}이라고할때, 다음을구하여라.

⑴집합X를공집합이아닌서로소인세개의부분집합으로분할하는경우

의수

⑵집합X를각각두개의원소를가지고있는세개의부분집합으로분할

하는경우의수

집합의분할

01 분할

자연수의분할

01 분할

02 이항정리

02 이항정리

02 이항정리

[해답 p.166 ]

110 각론

풀이| (x-a)fi 의전개식에서일반항은

∞C®xfi —® (-a)® =(-a)® ∞C®xfi —®x의계수는 r=4이므로　(-a)› ∞C¢=5a›

또상수항은 r=5이므로　(-a)fi =-afi

이때 x의계수와상수항의합이 0이므로

5a› -afi =-a› (a-5)=0

따라서 a는양수이므로　a=5

목표| 이항정리를이용하여항의계수를구할수있게한다.

3

풀이| {ax¤ + }›의전개식에서일반항은

¢C®(ax¤ )› —® { }® =¢C®a› —® ¥2® ¥x° —‹ ®

8-3r=2에서 r=2이므로 x¤의계수는　24a¤

24a¤ =6이고, a는양수이므로　a=;2!;

21x

21x

목표| 이항정리를 이용하여 항의 계수를 구할 수 있게 한다.

4

풀이| «Cº+«C¡+«C™+y+«C«=2« 이므로

2« =512=2· 에서　n=9

목표| 이항정리를 활용하여 문제를 해결할 수 있게 한다.

5

(098~119)269확통지도서1-2 2014.7.14 11:47 AM 페이지110 mac02 T


교과서 51 쪽

중단원 실력 수준별학습

4 an=nC0+ nC1+{ }2

nC2+y+{ }n

nCn일때, 을 n에대한식으

로나타내어라.

113ak

n;k=1

114

114

114

3 {x+ }2+{x+ }3+{x+ }4 +{x+ }5+{x+ }6의전개식에서x‹의

계수를구하여라.

11x

11x

11x

11x

11x

2 자연수 8에대하여다음을구하여라.

⑴ 3개이하의자연수의합으로나타내는분할의수

⑵ 3 이하의자연수의합으로나타내는분할의수

1 30030을 1보다큰세자연수의곱으로표현하는경우의수를구하여라.

(단, 곱하는순서는무시한다.)

5 서로다른색상의색연필 31자루중에서 16자루이상을택하여그림을색칠

하려고한다. 이때색연필을택하는경우의수를구하여라.

집합의분할

01 분할

자연수의분할

01 분할

02 이항정리

02 이항정리

02 이항정리

[해답 p.166 ]

=4+1+1+1+1

=3+2+1+1+1

=2+2+2+1+1

=3+1+1+1+1+1

=2+2+1+1+1+1

=2+1+1+1+1+1+1

=1+1+1+1+1+1+1+1

⑴ P(8, 1)+P(8, 2)+P(8, 3)

=1+4+5=10

⑵위에서 빨간색 동그라미 표시된 것과 같

으므로구하는분할의수는 10이다.

목표| 집합의 분할을 활용하여 문제를 해결할 수 있게 한다.

풀이| 30030=2_3_5_7_11_13

따라서 구하는 수는 집합 {2, 3, 5, 7, 11, 13}을 공집

합이 아닌 서로소인 3개의 부분집합으로 분할하는 방법

의수와같으므로　S(6, 3)=90

1중/단/원 실력

풀이| {x+;[!;}«의전개식에서일반항은

«C®x« —® {;[!;}® =«C®x« —¤ ®

n-2r=3(n=2, 3, 4, 5, 6)에서 n=2, 4,

6일때, x‹항은존재하지않는다.

n=3, 5일 때, n-2r=3을 만족시키는 r의

값은각각 0, 1이므로 x‹의계수는

£Cº+∞C¡=1+5=6

목표| 이항정리를 이용하여 항의 계수를 구할

수 있게 한다.

3

풀이| 서로다른색상의색연필 31자루에서 16자루이

상을선택하는경우의수는

£¡C¡§+£¡C¡¶+£¡C¡•+y+£¡C£¡

£¡Cº+£¡C¡+£¡C™+y+£¡C¡∞

=£¡C£¡+£¡C£º+£¡C™ª+y+£¡C¡§이고,

£¡Cº+£¡C¡+£¡C™+y+£¡C£¡=2‹ ⁄ 이므로

£¡C¡§+£¡C¡¶+£¡C¡•+y+£¡C£¡=;2!;¥2‹ ⁄ =2‹ ‚


5

풀이| a«={1+;4!;}« ={;4%;} «이므로

;Kn+! =;Kn+!{;5$;}˚ = =4[1-{;5$;} « ]

;5$;[1-{;5$;}« ]1111111-;5$;

115a˚


4

풀이| 8=7+1=6+2=5+3=4+4

=6+1+1=5+2+1=4+3+1=3+3+2

=4+2+2

=5+1+1+1=4+2+1+1=3+3+1+1

=3+2+2+1=2+2+2+2


2

(098~119)269확통지도서1-2 2014.7.14 11:47 AM 페이지111 mac02 T

112 각론

⁄ 세 번째 세로줄이 (1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 4) 중

하나인 경우네번째세로줄은 (1), (2), (3), (4)의

4가지가가능하고, 세번째세로줄이 (2, 3, 4)인경우

네번째세로줄은 (2), (3), (4)의 3가지가가능하다.

⁄ 따라서영타블로를완성하는경우의수는

⁄ 3_4+3=15

¤ 두번째세로줄을 (1, 2, 4)로채웠을때, 세 번째세

로줄은 (1, 2, 4), (1, 3, 4), (2, 3, 4) 중 하나로 채

워야한다. 세 번째세로줄이 (1, 2, 4), (1, 3, 4) 중

하나인 경우네번째세로줄은 (1), (2), (3), (4)의

4가지가 가능하고, 세 번째 세로줄이 (2, 3, 4)인 경

우 네 번째 세로줄은 (2), (3), (4)의 3가지가 가능

하다. 따라서영타블로를완성하는경우의수는

2_4+3=11

‹ 두 번째 세로줄을 (1, 3, 4)로 채웠을 때, 영 타블로

를 완성하는 경우의 수는 과제 2에서 구한 것과 같이

7이다.

수행 과제 의도

두 번째 세로줄을 채우는 경우를 나누어 영 타블로를 완성하

는 경우의 수를 구하기 위한 것이다.

수행 과제

과제 1 _풀이

(1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (2, 3, 4)

과제 2 _풀이

세번째세로줄은 (1, 3, 4) 또는 (2, 3, 4)로채워야한다.

세 번째 세로줄이 (1, 3, 4)인 경우 네 번째 세로줄은

(1), (2), (3), (4)의 4가지가 가능하고, 세 번째 세로

줄이 (2, 3, 4)인 경우 네 번째 세로줄은 (2), (3), (4)

의 3가지가가능하다. 따라서구하는경우의수는

4+3=7

과제 3 _풀이

⁄ 두 번째 세로줄을 (1, 2, 3)으로 채웠을 때, 세 번째

세로줄은 (1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (2, 3, 4)

중하나로채워야한다.

교과서 52 쪽

영다이어그램과영타블로

영다이어그램(Young diagram)이란위의가로줄의칸의수가아래의가로줄의칸

의수보다많거나같은도형을말한다. 영타블로(Young tableau)란영다이어그램에

서가로줄을따라오른쪽으로가면서숫자가커지거나같게, 세로줄을따라아래로가면

서숫자가커지게주어진자연수를채워넣은것을말한다.

다음그림의영다이어그램에숫자 1, 2, 3, 4를채워넣어영타블로를만들려고한다.

첫번째세로줄에는반드시 (1, 2, 3, 4)를채워넣어야한다고할때, 다음물음에답하

여보아라.

수행 과제

두번째세로줄을채우는경우를모두적어보아라.| 과 제 | 1

두번째세로줄을 (1, 3, 4)로채웠을때, 영 타블로를완성하는경우의수를구하여보아라.| 과 제 | 2

영타블로를완성하는모든경우의수를구하여보아라.| 과 제 | 3

<영 다이어그램> <영 타블로>

1 1 1 2

2 2 3

3 4 4

4

교과서 53 쪽

대단원 학습 내용 정리

순열과 조합

경우의 수

⑴합의법칙: 두사건A, B가동시에일어나지않을때, 사건

A, B가일어나는경우의수가각각m, n이면, 사건 A 또

는사건B가일어나는경우의수는　

m+n

⑵곱의 법칙: 사건 A가 일어나는 경우의 수가 m이고, 그 각

각에대하여사건B가일어나는경우의수가 n일때, 두사

건A, B가동시에일어나는경우의수는　

m_n

순열

서로다른 n개에서 r개를택하여일렬로나열하는순열의수는

«P®= (단, 0…r…n)

원순열

서로다른 n개를원형으로나열하는순열의수는

=(n-1)!

중복순열

서로다른 n개에서중복을허락하여 r개를택하는순열의수는

«P®=n ®


n개중에서서로같은것이각각 p개, q개, y, r개씩있을때,

n개를모두일렬로나열하는순열의수는

(단, p+q+y+r=n)n!11112

p!q!yr!

«P«11n

n!1111(n-r)!

1 조합

서로다른 n개에서 r개를택하는조합의수는

«C®= = (단, 0…r…n)

중복조합

서로다른 n개에서중복을허락하여 r개를택하는조합의수는

«H®=«≠®–¡C®

n!11111r!(n-r)!

«P®123r!

분할과 이항정리

집합의 분할

n개의원소를가지고있는집합을 k (k…n)개의공집합이아

닌서로소인부분집합으로나누는것을집합의분할이라하고,

이분할의수를기호로 S(n, k)와같이나타낸다.

S(n, k)=S(n-1, k-1)+kS(n-1, k)

자연수의 분할

자연수 n을 k (k…n)개의자연수의합

n=n¡+n™+y+n˚ (단, n¡æn™æyæn˚>0)와 같이나타내는것을자연수의분할이라하고, 이분할의수

를기호로P(n, k)와같이나타낸다.

P(n, k)=P(n-1, k-1)+P(n-k, k)

이항정리


(a+b)«

=«Cº a« +«C¡ a« —⁄ b+«C™ a« —¤ b¤ +y+«C® a« —® b® +y+«C« b«

= «C® a« —® b®n

¡r=0

2

용어와 기호 합의법칙, 곱의법칙, 순열, 계승, 원순열, 중복순열, 조합, 중복조합, 집합의분할, 자연수의분할, 이항정리, 이항계수,

파스칼의삼각형, «P®, n!, «P®, «C®, «H®, S(n, k), P(n, k)

(098~119)269확통지도서1-2 2014.7.14 11:47 AM 페이지112 mac02 T


게 한다.

풀이| 여학생까지 이웃하지 않도록 세우는

경우는 먼저 남자를 일렬로 세우고 남자 양

끝 및 사이사이에 여자 2명을 세우는 방법과

같다.

남학생 3명을 일렬로 세

우는경우의수 3!이고

남학생 양 끝과 사이사이의 4개의 자리 중 2

자리에여학생 2명을세우는경우의수는

¢P™이다.


3!_¢P™=72 답⃞④

2


교과서 54 쪽

대 /단 /원 평가 문제 Ⅰ. 순열과조합

선 택 형

원소가 5개인집합을 4개의공집합이아닌서로

소인 부분집합으로분할하는경우의수는?

① 6 ② 8 ③ 10

④ 12 ⑤ 24

8

세문자 a, b, c를각각 2번, 3번, 2번씩사용하

여 7개의문자로된문자열을만들려고한다. 만

들수있는서로다른문자열의개수는?

① 210 ② 420 ③ 840

④ 1680 ⑤ 3360

5

오른쪽 그림과 같이

3개의 평행선과 5개

의평행선이서로만

나고있다. 이들평행

선으로이루어지는모든평행사변형의개수는?

① 30 ② 40 ③ 50

④ 60 ⑤ 70

6

오른쪽 그림과 같이 앞면과

뒷면이서로다른단추가 4개

있다. 4개의단추를모두늘

어놓는 경우의 수는? (단, 모두 찡그린 표정인

경우는제외한다.)

① 13 ② 14 ③ 15

④ 16 ⑤ 17

4

남학생 3명과여학생 2명을일렬로세울때, 여

학생끼리이웃하지않도록세우는경우의수는?

① 60 ② 64 ③ 68

④ 72 ⑤ 76

2

3쌍의부부가 6인용원탁에둘러앉아식사를하

려고 한다. 이때 부부끼리 서로 이웃하여 앉는

경우의수는?

① 12 ② 14 ③ 16

④ 18 ⑤ 20

3

두 개의 주사위 A, B를 던질 때, 나온 눈의 수

의차가 3 이상인경우의수는?

① 6 ② 8 ③ 9

④ 10 ⑤ 12

1

부등식 x+y+z<5를 만족시키는 양의 정수인

해의개수는?

① 3 ② 4 ③ 5

④ 6 ⑤ 7

7

<앞> <뒤>

풀이| 각쌍을묶어서세사람으로생각하면 3명이원탁

에둘러앉는경우의수는

(3-1)!=2!이고

세쌍의부부가순서를바꾸는경우의수는

2_2_2=8이다.


2!_8=16 답⃞③대 /단 /원 평가 문제


풀이| 나온눈의수의차가 3 이상인경우는 3, 4, 5이다.

눈의수의차가 3인경우는

(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 1), (5, 2), (6, 3)의 6가지,

눈의수의차가 4인경우는 (1, 5), (2, 6), (5, 1), (6, 2)

의 4가지이다.

눈의 수의 차가 5인 경우는 (1, 6), (6, 1)의

2가지이다.


6+4+2=12 답⃞⑤

1

목표| 원순열을 이용하여 경우의 수를 구할 수 있게 한다.3

풀이| 구하는경우의수는

™P¢-1=2› -1=15 답⃞③

목표| 중복순열을 이용하여 경우의 수를 구할 수 있게 한다.4

남남남

› 두번째세로줄을 (2, 3, 4)로채웠을때, 세 번째세

로줄은 (2, 3, 4)로채워야한다.

이때 네 번째 세로줄은 (2), (3), (4)의 3가지가 가

능하므로영타블로를완성하는경우의수는 3이다.

따라서영타블로를완성하는모든경우의수는

15+11+7+3=36

V V VV

(098~119)269확통지도서1-2 2014.7.14 11:47 AM 페이지113 mac02 T

목표| 이항정리를 이용하여 항의 계수를 구할 수 있게 한다.

풀이| 두번째식은 x¤ , 세 번째식은 x‹을거듭제곱하여

더한 것이므로 x‡의 계수는 8이다. 즉, x의 차수를 고려

하여 7을 세 수로 분할하는 경우를 가진 수에서 순서쌍

으로나타내면다음과같이 8가지이다.

(7, 0, 0), (5, 2, 0), (4, 0, 3), (3, 4, 0),

(2, 2, 3), (1, 6, 0), (1, 0, 6), (0, 4, 3) 답⃞⑤

9

교과서 55 쪽

|서|술|형 |

|서|술|형 |

서 답 형

다항식

(1+x+y+x‡ )(1+x¤ +x› +xfl )(1+x‹ +xfl )

의전개식에서 x‡의계수는?

① 4 ② 5 ③ 6

④ 7 ⑤ 8

9

11⁄ ⁄을 100으로나눈나머지는?

① 10 ② 11 ③ 12

④ 13 ⑤ 14

10


f(n)= (™˚C¡+™˚C£+™˚C∞+y+™˚C™˚–¡)

일때, f(5)의값을구하는풀이과정과답을서

술하여라.

n¡k=1

16

nC3=2¥nP2를 만족시키는 자연수 n의 값을 구

하여라.

11

N=69fi +5¥69› +10¥69‹ +10¥69¤ +5¥69+1

의약수의개수를구하여라.

14

남학생 5명, 여학생 5명이원탁에둘러앉을때,

남학생과여학생이교대로앉는경우의수를구

하여라.

12

사과주스 10병을같은종류의상자 4개에나누

어 담아 포장하려고 한다. 빈 상자가 없도록 나

누어담는경우의수를구하여라.

13

현수는 MP3 플레이어에 5개의 곡 A, B, C,

D, E를 저장하려고 한다. 곡이 재생되는 순서

를정하려고할때, A가처음에오지않고, E가

마지막에오지않도록하는경우의수를구하는

풀이과정과답을서술하여라.

15

[해답 p.166 ]

114 각론


풀이| 11⁄ ⁄ =(1+10)⁄ ⁄

=¡¡Cº+¡¡C¡¥10+¡¡C™¥10¤ +y+¡¡C¡¡¥10⁄ ⁄셋째항이후로는 100으로나누어떨어진다.

¡¡Cº+¡¡C¡¥10=1+110=111

이므로 100으로나눈나머지는　11 답⃞②

10

풀이| 구하는경우의수는 S(5, 4)이다.

5=2+1+1+1이므로 원소 5개인 집합을 원소가 각각

2개, 1개, 1개, 1개로나누는경우의수는

∞C™_£C¡_™C¡_¡C¡_ =10 답⃞③1123!

목표| 집합의 분할의 수를 구할 수 있게 한다.8

목표| 조합을 이용하여 평행사변형의 개수를 구


풀이| 평행선으로이루어지는모든평행사변

형의개수는

£C™_∞C™=30 답⃞①

6

목표| 중복조합을 이용하여 부등식을 만족시키

는 양의 정수인 해의 개수를 구할 수 있게 한다.

풀이| x, y, z가양의정수인해이므로

x+y+zæ3

주어진조건에의하여 3…x+y+z<5이므로

x+y+z=3 또는 x+y+z=4에 대하여 양의 정수인

해의개수를구하면된다.

⁄ x+y+z=3에서양의정수인해의개수는

£Hº=1

¤ x+y+z=4에서양의정수인해의개수는

£H¡=£C¡=3

따라서해의개수는　1+3=4 답⃞②

7

풀이| 7개의 문자 중에서 같은 문자가 각각

2개, 3개, 2개씩 있을 때 7개를 모두 일렬로

나열하는순열의수와같으므로

=210 답⃞①7!1113

2!3!2!

목표| 같은 것이 있는 순열을 이용하여 경우의


5



목표| 자연수의 분할의 수를 이용하여 문제를 해결할 수 있

게 한다.

풀이| 사과 주스 10병을 같은 종류의 상자 4개에 빈 상

자가 없도록 나누어 담는 경우의 수는 자연수 10을 4개

의자연수로분할하는것과같으므로 P(10, 4)이다.

10=7+1+1+1=6+2+1+1

=5+3+1+1=5+2+2+1

=4+4+1+1=4+3+2+1

=4+2+2+2=3+3+3+1

=3+3+2+2

이므로구하는경우의수는　P(10, 4)=9 답⃞ 9

13

목표| 순열과 조합의 수를 구할 수 있게 한다.

풀이| «C£=2¥«P™에서

=2n(n-1)

=2이므로　n=14 답⃞ 14n-21126

n_(n-1)_(n-2)111211211123_2_1

11

목표| 원순열을 이용하여 경우의 수를 구할 수 있게 한다.

풀이| 남학생 5명이 원탁에 둘러앉는

경우의 수는 (5-1)!=4!이고, 남학

생 사이사이의 5개의 자리에 여학생

5명을앉히는경우의수는 ∞P∞이다.

따라서구하는방법의수는

4!_∞P∞=2880 답⃞ 2880

12


풀이| «C¡+«C£+«C∞+y+«C«=2« —⁄에서

™˚C¡+™˚C£+y+™˚C™˚–¡=2¤ ˚ —⁄이므로

f(n)=;Kn+!

`2¤ ˚ —⁄

따라서　f(5)=2⁄ +2‹ +2fi +2‡ +2· =682 답⃞ 682

16

목표| 순열을 활용하여 문제를 해결할 수 있게 한다.

풀이| 5개의곡의순서를정하는경우의수는　

5!=120

A가처음에오는경우의수는 A□□□□에서

4!=24

E가마지막에오는경우의수는□□□□E에서

4!=24

A가처음에오고, E가마지막에오는경우의수는

A□□□E에서　3!=6


120-(24+24-6)=78 답⃞ 78

15

영역 요소

해결과정

답구하기

채점요소

«C¡+«C£+«C∞+y+«C«=2« —⁄을이용하여

™˚C¡+™˚C£+y+™˚C™˚–¡의값구하기

f(n)을간단히나타내기

f(5)의값구하기

배점

50%

40%

10%

채점기준

목표| 이항정리와 곱의 법칙을 이용하여 약수의 개수를 구할

수 있게 한다.

풀이| N=69fi +5¥69› +10¥69‹ +10¥69¤ +5¥69+1

=(69+1)fi =70fi =2fi ¥5fi ¥7fi따라서구하는약수의개수는

(5+1)(5+1)(5+1)=6‹ =216 답⃞ 216

14

영역 요소

해결과정

답구하기

채점요소

5개의곡의순서를정하는경우의수구하기

A가처음에오는경우의수구하기

E가마지막에오는경우의수구하기

A가 처음에 오고, E가 마지막에 오는 경우의

수구하기

A가 처음에 오지 않고, E가 마지막에 오지

않는경우의수구하기

배점

20%

20%

20%

20%

20%

채점기준

남

남 남

남 남

V V

V VV


116 각론

교과서 56 쪽

집합의 분할과 자연수의 분할

개념 넓히기

[1] 일반적으로 S(n, k)(1…k…n)를구하는방법에대하여알아보자.

n개의원소를가지고있는집합을 k개의공집합이아닌서로소인부분집합으로나

누는것은n명을 k개의모둠으로나누는것과같다.

n명을 1개의모둠으로나누는경우는한가지이고, n명을 n개의모둠으로나누는

경우도한가지이므로

S(n, 1)=1, S(n, n)=1

이다.

1<k<n일때, n명의사람 l¡, l™, y, l«을 k개의모둠으로나누는경우는다음과

같이 l«이혼자서한개의모둠을이루는경우와 l«이다른사람과함께한개의모둠

을이루는경우의두가지로나누어생각할수있다.

⁄ l«이혼자서한개의모둠을이루는경우

l¡, l™, y, l«–¡을 (k-1)개의모둠G¡, G™, y, G˚–¡로분할함으로써 k개의모둠

G¡, G™, y, G˚–¡, {l«}을얻을수있으므로이경우집합의분할의수는

S(n-1, k-1)이다.

¤ l«이다른사람과함께한개의모둠을이루는경우

l¡, l™, y, l«–¡을 k개의 모둠 G¡, G™, y, G˚로 분할하면 집합의 분할의 수는

S(n-1, k)이다. 이제 l«을G¡, G™, y, G˚ 중어느한모둠에포함시킬수있으

므로이경우집합의분할의수는 kS(n-1, k)이다.

G¡ G™

S{n-1,`k} kS{n-1,`k}

… G¡ G™ Gk

ln

…Gk

G¡ G™

S{n-1,`k-1} S{n-1,`k-1}

… G¡ G™ Gk-1 {ln}…Gk-1

(098~119)269확통지도서1-2 2014.7.14 11:47 AM 페이지116 mac02 T


교과서 57 쪽

따라서⁄, ¤에의하여

S(n, k)=S(n-1, k-1)+kS(n-1, k)(1<k<n)

임을알수있다.

[2] 일반적으로 P(n, k)(1…k…n)를구하는방법에대하여알아보자.

자연수n을 1개의자연수의합으로나타내는경우는한가지이고, 자연수n을n개

의자연수의합으로나타내는경우도한가지이므로

P(n, 1)=1, P(n, n)=1

이다.

1<k<n일때, 자연수 n을 k개의자연수의합으로나타내는경우는다음과같이

1이분할n¡, n™, y, n˚ 중하나인경우와 1이분할 n¡, n™, y, n˚ 중하나가아닌경

우의두가지로나누어생각할수있다.

⁄ 1이분할n¡, n™, y, n˚ 중하나인경우

1을제외하면나머지는 (n-1)의 (k-1) 분할이되므로이경우 n의분할의수

는P(n-1, k-1)이다.

¤ 1이분할n¡, n™, y, n˚ 중하나가아닌경우

n의 k 분할n¡, n™, y, n˚의그림에서niæ2 (1…i…k)이므로첫번째열을제외

하면나머지는(n-k)의k 분할과같다. 따라서이경우n의분할의수는

P(n-k,k)이다.

따라서⁄, ¤에의하여

P(n, k)=P(n-1, k-1)+P(n-k, k)(1<k<n)

임을알수있다.

(098~119)269확통지도서1-2 2014.7.14 11:47 AM 페이지117 mac02 T

118 각론

교과서 58 쪽

서양장기인체스는7세기인도의‘차투랑가’라는게임에서유래되었다. 인도의차투랑

가는처음에페르시아로전해졌고, 페르시아로부터무역경로를따라러시아와콘스탄티

노플로전해졌다. 또바이킹이이것을스칸디나비아로가져왔으며, 무어(Moor)인들

이스페인을통해유럽에전해주었다. 이렇게여러나라를거치는동안이게임은나라

마다규칙이바뀌기도하고, 피스(piece)라고불리는말의이름과모양도다양하게

변했다.

오늘날의체스판은어두운색칸과밝은색칸

이엇갈려서64칸으로되어있는데, 파일(file)

이라고하는 8개의세로줄과랭크(rank)라

고하는8개의가로줄이있다.

두경기자는각각모두 16개의말을가

지고게임을하는데백은밝은색의말

을, 흑은어두운색의말을가지게되

며상대방을향하여말을배치한다. 첫번째줄에는생긴모양에따

라 5가지로 나뉜 킹(king), 퀸(queen), 룩(rook), 비숍

(bishop), 나이트(knight)의말을배치하고, 이5가지말

이놓인앞줄인두번째줄에는폰(pawn)의말을배치

한다.

Real Life

체스

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수 학 실 생 활

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교과서 59 쪽

각각의말을움직이는방법은다음과같다.

비숍: 대각선으로마음대로움직인

다.

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킹: 주위 8개의칸가운데어느곳

으로나 1번에 1칸씩만움직인다.

퀸: 룩과비숍의힘을모두지니고

있어 가로, 세로, 대각선으로 움직

인다.

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나이트: L자 모양으로 움직이는데

가로줄(또는 세로줄)로 2칸을움직

이고, 그와 직각을 이루는 세로줄

(또는 가로줄)로 1칸 이동한다. 나

이트가 움직일 때 그 중간에 어떤

말이 있더라도 이를 뛰어넘을 수

있다.

폰 : 원칙적으로 세로줄로 1번에

1칸씩전진할수있지만처음에는

2칸 이동하는 것도 가능하다. 만

일 폰이 체스 판에서 상대방 말이

놓인 처음 칸까지 이동하였다면

퀸, 룩, 나이트, 비숍중하나가될

수있다.

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룩: 우리나라장기에서차(車)와같

이움직이는말로가로줄과세로줄

을따라마음대로움직인다.

한편각경기자가각각단한번씩만말을움직여도체스에는총400가지의경우의수가생긴

다. 이는두번의말이동이끝난뒤에는 19만 7742가지, 세번씩움직인다음에는 1억 2100만

가지등게임이전개되는경우의수는빠른속도로늘어난다. 한연구에의하면게임이전개되

는총경우의수는약 10100000에이르고, 이중 10120가지가비교적일반적으로전개되는게임이

라고한다.

10120가지는얼마나많은것일까? 전세계인구의머리카락을다모은개수는약 1015개이

며전세계에있는모래알의숫자는약1023개라고한다. 또한광활한우주공간속에존재하

고있는원자의개수도약1081개로추정되고있다. 이들3가지를모두합쳐도일반적으로

행해지는체스게임의경우의수만큼도되지않는것이다. 말판위에늘어선 32개의체

스말이이토록천문학적인경우의수를지녔다는것이경이롭기까지하다.

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