068-091 Cap 3. Liniar Multiplu l,l

8/15/2019 068-091 Cap 3. Liniar Multiplu l,l

1/16

Capitolul 3.

MODELUL LINIAR MULTIPLU

3.1. Forma modelului

În general fenomenele economice pe care dorim să le modelăm prin econometrie sunt complexe şi pot fi reprezentate printr-un model liniar simplu. Modelul liniar multiplu corespunde mai bine acesnecesităţi, introducând mai multe variabile explicative.

t kt k t t t xa xa xaa y ε +++++= ...22! T t ,...,= "#. $

• t indexează observaţiile

• T numărul de observaţii

• t y variabila endogenă la momentult "sau observaţia cu rangult $

• t x

este realizarea variabilei explicative la momentult

"sau observaţia cu rangult $• t x 2 este realizarea variabilei explicative 2 la momentult "sau observaţia cu rangult $.......• kt x este realizarea variabilei explicativek la momentult "sau observaţia cu rangult $

• t ε este realizarea %nt a variabilei reziduale

• k aaaa ,...,,, 2! parametrii de estimat ai modelului.

&ub forma din ecuaţia #. modelul este greu de utilizatat, fapt pentru care vom prefera o formă m

condensată, matricială. 'acă rescriem modelul observaţie cu observaţie, obţinem(

T kT k T T T

t kt k t t t

k k

k k

xa xa xaa y

xa xa xaa y

xa xa xaa y

xa xa xaa y

ε

ε

ε

ε

+++++=

+++++=

+++++=+++++=

...

.......

...

.......

...

...

22!

22!

222222!2

22!

ceea ce sub formă matricială "%ntre paranteze numărul de linii şi respectiv de coloane$ devine(

$,"$,"$,"$," T k

a

k T

X

T

Y ε +

+

⋅

+

="#.2$

unde(

)*


2/16

=

T

t

y

y

y

y

Y

...

...2

=

kT T T

kt t t

k

k

x x x

x x x

x x x

x x x

X

...

...............

...

...............

...

...

2

2

222

2

=

k a

a

a

a

a

...2

!

=

T

t

ε

ε

ε

ε

ε

...

...2

+rima coloană a matricei X conţine doar valoarea , care corespunde coeficientului!a . stfel matricea X are

T linii şik coloane "k variabile explicative plus constanta$.

3.2. Estimarea parametrilor

onsiderăm modelul sub formă matricială, cuk variabile explicative şiT observaţii(ε +⋅= a X Y

+entru estimarea componentelor vectoruluia , având ca şi componente coeficienţii k aaaa ,...,,, 2!aplicăm ca şi la modelul liniar simplu metoda patratelor minime "M+M$, minimizând suma patrateerorilor.

/otăm( ∑=

=T

t t S 2

ε

$000020min"

$000000min" $"$0min"

$0min"min 2

Xa X aY X aY Y

Xa X aY X a XaY Y Y XaY XaY

T

t t

+−=+−−=

−−=

=∑=

ε ε ε

"#.#$

unde (0ε este vectorul transpus al luiε 10a este vectorul transpus al luia 10Y este vectorul transpus al luiY 10 X este transpusa matricii X .

+entru a minimiza expresia, derivăm %n raport cua (

!0202 =+−=∂∂ a X X Y X

aS "#.3$

⇒ Y X X X a 0$0" −= "#.4$

ceastă soluţie este realizabilă dacă matricea patratică X X 0 este inversabilă. Matricea este esteneinversabilă doar %n caz de coliniaritate perfectă %ntre oricare două variabile explicative.

3.3. Ipote e !u"dame"tale asupra modelului

+entru o analiză mai detaliată a importanţei lor, a se vedea 'ormont, 555, Maddala, 5*6 sau 7reen, 2!!6.• 8 ( !$" =t E ε 1 variabila reziduală este de medie nulă 1

• 8 2( t y şi t x reprezintă valori numerice observate fără erori)5


3/16

• 8 #( Modelul este liniar %n raport cut x sau o transformare a lui t x "logaritm, inversiune, etc.$ 1

• 8 3( t E t ∀= $" 22 σ ε "varianţa perturbaţiilor este constantă, indiferent det $

• 8 4( !$,cov" 0 =t t ε ε "erorile nu sunt corelate$ 1

• 8 ) ( !$,cov" =t it x ε k i ,...,2,=∀

perturbaţiile sunt independente %n raport cu variabilaele explicative 1• 8 6( t N t ∀≈ $,!" 2σ ε

+e lângă aceste ipoteze %ntâlnite şi la modelul liniar simplu, mai avem şi ipoteze structurale, care ţin de fmodelului(• 8 *( variabilele explicative nu sunt coliniare. ceasta implică existenţa matricei inverse a lui$0" X X ,

respectiv $0" − X X 1

• 8 5(T

X X $0" tinde spre o matrice finită nesingulară 1

• 8 ! ( +> k T , adică numărul de observaţii este mai mare decât numărul de variabile explicative pluconstanta.În cazul +> k T s-ar obţine un sistem de ecuaţii nedeterminat.În cazul += k T s-ar obţine un sistem deT ecuaţii cuT necunoscute perfect determinat.

3.#. Propriet$%ile estimatorilor

&ub formă matricială, modelul poate fi scris sub diferite forme(ε +⋅= a X Y

a X Y ⋅=9bţinem(

ε

ε

ε

0$0"

0$0"$"0$0"

$"0$0"

0$0"

X X X a

X X X Xa X X X

Xa X X X

Y X X X a

−

−−

−

−

+=+=

+==

"#.)$

'ar cunoaştem că !$" =ε E ,⇒ a E X X X aa E =+= − $"0$0"$" ε "#.6$

deci estimatorul este nedeplasat(aa E =$" "#.*$

alculăm matricea varianţelor şi covarianţelor coeficienţilor modeluluiaΩ (

:$$";" −−−=Ω aaaa E a "#.5$

'in #.) avem (ε 0$0" X X X aa −=−

şi deci(

6!


4/16

$0"0$0" −=− X X X aa ε

deoarece $0" − X X este o matrice simetrică.

$0"00$0"$0$"" −−=−− X X X X X X aaaa εε

de unde obţinem(

$0"$0"0$0"$0$"" −−=−−=Ω X X X E X X X aaaaa εε "#. !$

/otând cu( ε εε Ω=$0" E matricea varianţelor şi covarianţelor luiε şi ţinând cont de ipotezele de


5/16

$1"$"$0" −−+− ≈−Ω−+ k T k a Fisher aaaak

Teste re!eritoare la u" *oe!i*ie"t

>estăm egalitatea unui coeficient cu o valoare datăCa "utilizăm această notaţie, deoarece am notat cua

vectorul parametrilor.

C(

C(!aa H

aa H

i

i

≠=

Dtim din 2. 3 că $" −−≈−

k T a

ii Student aa

iσ

. &ub ipoteza ! H , rezultă(

$"C

−−≈=−

k T aa

ii Student t aa

i

iσ

"#. 4$

- dacăα

C −−> k T a t t i respingem ! H , deci ia este semnificativ diferit de Ca "cu un risc de Eα $- dacă α C −−≤ k T a t t i acceptăm ! H , deci ia nu este semnificativ diferit de Ca "cu un risc de Eα $În cele mai multe situaţii dorim să testăm nulitatea coeficienţilor pentru a şti dacă o variabilă explicativă e%ntr-adevăr semnificativă, ceea ce devine un caz particular al ipotezei de mai sus, pentru care!C =a . Felaţia#. 4 devine(

$"C

−−≈= k T aa

i Student t a

i

iσ

"#. )$

&e poate construi astfel un interval de %ncredere pentru coeficientulia (

α σ σ α α −=+≤≤− −−−− $"+rob ii ak T iiak T i t aat a "#. 6$

Test re!eritor la u" a"sam+lu de *oe!i*ie"%i

>estăm simultan egalitatea unui ansamblu de coeficienţi din modelul de regresie cu un ansamblu de valfixate.

C

C!

((

mm

mm

aa H aa H

≠=

Bfectuăm testul cu privire lam coeficienţi, deci ma şi respectiv Cma sunt vectori de dimensiunem (

$1"C$"$0" −−

− ≈=−Ω− k T mammamm Fisher F aaaam mm "#. *$

- dacă α $1"C −−≤ k T ma F F m acceptăm ! H , deci ma nu este semnificativ diferit deCma "cu un risc de Eα $

- dacă α $1"C −−≤ k T ma F F m respingem ! H , deci ma este semnificativ diferit deCma "cu un risc de Eα $.

'esigur şi pentru testul cu privire la un ansamblu de coeficienţi, dorim să testăm cel mai adesea nulitatea lo>estul devine(

62


6/16

mm

mm

a H

a H

!(

!(!≠=

unde m! este vectorul nul de dimensiunem (

$1"C0 −−

− ≈=Ω k T mamam Fisher F aam mm "#. 5$

3.,. A"ali a (aria"%ei

a şi %n cazul modelului liniar simplu, avem următoarele relaţii($ &uma reziduurilor este nulă(

∑=

=T

t t !ε .

2$ Media "suma$ seriei variabilei endogene este egală cu media "suma$ seriei aGustate(

∑∑==

=T

t t

T

t t y y

t t y y =

'in aceste două relaţii putem deduce ecuaţia de analiză a varianţei(

SPRSPE SPT

y y y yT

t t

T

t t

T

t t

$"$" 222

+=

+−=− ∑∑∑===

ε "#.2!$

Suma patratelor totală (SPT) Suma patratelor expli!ată (SPE) "" Suma patratelor re#iduală (SPR)

Bcuaţia ne permite să apreciem global calitatea aGustării modelului. ceasta este cu atât mai bunăcât varianţa "suma patratelor$ reziduală este mai mică. +entru că valoarea ei depinde de unitatea de măsuvariabilei, preferăm un parametru adimensionat(

2

2

2

2

2

$"$"

$"

∑∑

∑∑

=

=

=

=

−−=

−

−= T

t t

T

t

t

T

t t

T

t

t

y y y y

y y

R

ε

"#.2 $

care este de fapt raportul dintre varianţa explicată şi cea totală.2 R se numeşte coeficient de determinaţie, iar

R coeficient de corelaţie liniară multiplă.Dtim că dacă numărul de observaţiiT este egal cu numărul de variabile explicative plus constanta

"k $ funcţia trece prin toate punctele de coordonate reprezentate de observaţii. baterile fiind nucoeficientul de determinaţie va fi egal cu , dar puterea explicativă a modelului este nulă. tunci câ

numărul de observaţii este relativ mic %n raport cu numărul de variabile explicative calculăm un2 R corectat,

pe care %l notăm cu2 R (

6#


7/16

$" 22 Rk T

T R −−−

−−= "#.22$

naliza varianţei permite estimarea semnificativităţii globale a modelului de regresie. >estul formulează astfel(

nenulcoeficientun putincelexista(

!...( 2! H

aaa H k ====

/ulitatea termenului constant !a nu ne interesează, ci doar variabilele explicative. 9ricum, un model %n car

numai termenul constant este semnificativ nu are sens economic. 'acă ipoteza! H este acceptată %nseamnă

că nu există nici o relaţie liniară semnificativă %ntre variabila endogenă şi cele explicative, adicăSPE nu estesemnificativ diferită de !. +e baza ecuaţiei de analiză a varianţei(

∑∑∑===

+−=−T

t t

T

t t

T

t t y y y y

222 $"$" ε

construim tabloul de analiză a varianţei(

>abelul #. ( naliza varianţei&ursa variaţiei &uma patratelor /umărul gradelor

de libertate$aria%ilele expli!ati&e (

k x x x ,...,, 2 )

2$"∑=

−=T

t t y ySPE k

$aria%ila re#iduală ∑=

=T

t t SPR2

ε −− k T

Total 2$"∑= −=

T

t t y ySPT −T

&e construieşte raportul(

$H"$"H

$H"

H$"

C 22

2

2

−−−=

−−

−=

∑∑

=

=

k T Rk R

k T

k y y

F T

t t

T

t t

ε

"#.2#$

'in ipoteza de normalitate e erorilor şi sub ipoteza! H rezultă că C F urmează o distribuţie =is k T k F F respingem ipoteza ! H , modelul este global explicativ1

- dacă α $,"C −−≤ k T k F F acceptăm ipoteza ! H , modelul nu este global explicativ.

3.-. aria+ile i"di*atoare )" modelul li"iar multiplu

63


8/16

În anumite situaţii dorim să integrăm %ntr-un model un factor explicativ binar de tipul I un fenomare loc sau nu J sau un factor cu două valori posibile I bărbat H femeie J sau I a mai avut H nu a mai aaccident J. +entru a modela astfel de fenomene apelăm la variabile indicatoare, care pot lua doar două valo! sau . Modelul de regresie diferă după apariţia H neapariţia fenomenului doar prin valoarea unui coeficiiar ceilalţi coeficienţi rămân identici.

- %n cazul existenţei fenomenului(t kt k t t t xa xa xaa y ε +++++= ...22! T t ,...,= "#.24$

- %n cazul inexistenţei fenomenului(

t kt k t t t xa xa xa% y ε +++++= ...22! T t ,...,= "#.2)$

+utem scrie aceste două ecuaţii sub forma unei ecuaţii unice(

t kt k t t t t xa xa xa (a% y ε +++++−= ...$" 22!! "#.26$

unde( =t ( atunci când fenomenul există 1

!=t ( atunci când fenomenul nu există.&e %ncorporează deci o variabilă explicativă suplimentară faţă de modelul iniţial şi se aplică metodele clde estimare.

3./. Pre(i iu"ea (aria+ilei e"do0e"e pri" re0resia li"iar$ multipl$

+roblema se pune ca şi la modelul liniar simplu de a estima valoarea variabilei endogene pentru uansamblu cunoscut de valori ale variabilelor explicative. +resupunem modelul estimat sub forma(

t kt k t t t xa xa xaa y ε +++++= ...22! "#.2*$Kaloarea punctuală previzionată pentru observaţia+t este(

22! ... ++++ ++++= kt k t t t xa xa xaa y "#.25$

Broarea de previziune este(

+++ −= t t t y yε "#.#!$

Kaloarea estimată +t y este nedeplasată dacă ipotezele modelului liniar multiplu sunt respectate.

+reviziunea se poate realiza astfel doar dacă valorile variabilelor explicative sunt cunoscute c

exactitate. În cazul %n care acestea sunt probabiliste este necesară o altă abordare. Bste cazul seriilor de de exemplu pentru care s-a dezvoltat o teorie diferită.

Karianţa erorii de previziune este egală cu(

:$0"0;22 +−

++=+ t t X X X X t ε ε σ σ "#.# $

unde

=

+

+

+

+ 2

...kt

t

t

t

x

x

x

X este matricea "vectorul$ valorilor variabilelor explicative pentru observaţia+t .

64


9/16

Bxpresia varianţei erorii de previziune a fost dată fără demonstraţie. +entru detalii privind deducereei vezi 'ormont " 55*$.

Broarea de previziune este distribuită normal de medie nulă şi varianţă2 +t ε σ (

$,!" 2+

≈+ t N t ε σ ε

'acă %nlocuim 2ε σ cu estimatorul său(

∑=−−

=T

t t k T 22

ε σ ε

atunci(

$"2 :$0"0; −−+−

+

++ ≈+

−k T

t t

t t Student X X X X

y y

ε σ

"#.#2$

a şi la modelul liniar simplu, varianţa erorii de previziune este cu atât mai mică cu cât varianţa rezidueste mai mică şi valorile variabilelor explicative se apropie de mediile lor. +utem construi şi un interval%ncredere pentru valoarea previzionată a variabilei endogene(

( ) α σ σ ε α ε α −=+≤≤− ++ −−++−−++rob t t k T t t k T t t y yt y "#.##$unde(

[ ]2 $0"0 +−+=

+⋅−−= ∑+ t t T

t t X X X X k T t

ε σ ε "#.#3$

E er*i%iul 3.1

+resupunem că o variabilă t y este influenţată de factorii t x , t x 2 , t x # . 'ispunem de 2# de observaţii cu

privire la realizările acestor variabile.

>abelul #.2 /r.crt.

t y t x t x 2 t x # /r.crt.

t y t x t x 2 t x #

)# ))5 6,3 )5 # 254 *)5 !,# )62 #* *62 !,4 64 3 24) *23 6,4 **# 344 5 3,# )3 4 #!5 )6) #,! )33 34 5## 2,4 *4 ) 2*) **4 #,2 )64 #6# ))* 4,# 5! 6 #65 65 ,* )!) #2 6## #,* ) * 324 ) #,5 *)6 # ) 5## 4,! *4 5 3!3 !63 ,4 )3* 3 ! )4 !,6 63 2! ##! 664 ),! *55 #3* 5#2 *,2 6! 2 #43 642 *,5 6)! #*# *3! *, )) 22 #*3 63! 4, *4

#*) 5! 2,! *6 2# 2## 45! 5,# )22 )# ))5 6,3 )3

6)


10/16

&e cere(

$ În ipoteza unei legături liniare multiple dintret y şi factorii t x , t x 2 , t x # să se calculeze estimatorii

parametrilor.

2$ &ă se testeze nulitatea fiecărui parametru.#$ &ă se stabilească intervale de %ncredere la un prag de 54E pentru parametrii modelului.3$ &ă se testeze simultan nulitatea tuturor coeficienţilor din modelul de regresie.4$ &ă se calculeze 2 R şi 2 R .)$ &ă se construiască tabloul de analiză a varianţei şi testul =is


11/16

2*,## =a

2$ +entru testarea ipotezelor de nulitate a parametrilor avem nevoie de varianţa fiecărui estimator. ceste pot deduce din matricea de varianţe şi covarianţe a parametrilor "vezi relaţia #. #$(

2 $0" −=Ω X X a ε σ

unde estimatorul varianţei variabilei reziduale este dat de(02

−−=

k T

ε ε σ

ε

>abelul #.# ( alculul reziduurilor din estimare /r. crt. t y

t

t t

x

x y

2 2*,#!)4,

2)3#,!4#!,2!

+⋅−⋅+= t ε

)# 22!.)4 -46.)42 #* #)5.32 .4*

# 344 #66.2* 66.623 34 #53.6 4).#4 #6# #!5.#2 )#.)*) #2 242.#* )*.)26 # ) #)6.!3 -4 .!3* 3 ! 33 .42 -# .425 #3* #54.!5 -36.!5! #*# #45.#6 2#.)#

#*) #5*.!# - 2.!#2 )# 2!4.! -32.!

# 254 #34.*2 -4!.*23 24) # 5.54 -)#.544 #!5 244.44 4#.34) 2*) # 6.5) -# .5)6 #65 #*5.2) - !.2)* 324 332.) - 6.)5 3!3 #66.#3 2).))

2! ##! #2).62 #.2*2 #43 #4*.43 -3.4322 #*3 # 3.52 )5.!*2# 2## 2)6.4 -#3.4

∑∑==

=−−=−−=2#

22#

22

50

t t

t t k T k T

ε ε ε ε

σ ε

2353,!442 =ε σ

2

)2#,545!

............

644,!*62

)53,6))5

)2...64)5

#,5...4,!3,6

45!...*62))5

...

!44,2353$0"

−

−

⋅

⋅==Ω X X a ε σ

6*


12/16

=Ω

, 3*)4*.3*!32-!,!!265-)#,##6!#-

,3*!32-4,5 25!!,!35!!)#6,56!)-

!,!!265-!,!35!!)!,!!#45*3#,446546-

)#,##6!#-#6,56!)-#,446546-5)4),*44

a

+entru toate testele cu privire la câte un parametru, vom avea (

!5#,2!4,!2# ==−− t t k T α

• +entru parametrul !a (

!5#,22,!*44,5)4)

4#,2!

!

!


13/16

54,!$4,#6!,**3"+rob # =≤≤ a

3$ @a latitudinea cititorului.

4$ +entru calculul lui 2 R folosim formula(

2

2

2

2

2

$"$"

$"

∑∑

∑∑

=

=

=

=

−−=

−

−= T

t t

T

t t

T

t t

T

t t

y y y y

y y R

ε

!,))2#3!# ,2

36#*6,!4

$#4,##5" 2

2

2 =−=−

−=∑

∑

=

=T

t t

T

t t

y R

ε

+entru calculul lui 2 R corectat, notat cu 2 R , folosim(

$" 22 Rk T

T R −−−

−−=

)!*5,!$))2#,!"#2#

2#2 =−−−−−= R

)$ +entru tabloul de analiză a varianţei, calculăm(

52523, 4$"

2#2

=−= ∑=t i y ySPE 36#*6,!4

2#2 == ∑

=t t SPR ε

3!# ,2$"2!

2 =−= ∑=t

i y ySPT

>abelul #.3 ( naliza varianţei

&ursa variaţiei &uma patratelor /umărul gradelor de libertate$aria%ilele expli!ati&e (

k x x x ,...,, 2 ) 52523, 4=SPE #

$aria%ila re#iduală 36#*6,!4=SPR 5

Total 3!# ,2=SPT 22

*!


14/16

$H"$"H

$H"

H$"

C 22

2

2

−−−=

−−

−=

∑∑

=

=

k T Rk R

k T

k y y

F T

t t

T

t t

ε

3, 535H#H

C ==SPRSPE

F

'in tabelele cu distribuţia =is


15/16

. regress Y X1 X2 X3

Source | SS df MS Number of obs = 23---------+----------------------- F( 3, 19) = 12.42Model | 92924.1 3 30974.7 rob ! F = 0.0001"es#du$l | 473%7.0 19 2494.0& "-s'u$red = 0. 23-------------+------------------- d* "-s'u$red = 0. 0%9

o $l | 140311.1 22 377.7% "oo MS = 49.941

------------------------------------------------------------ | /oef. S d. r. !| | 9& /o f. er 5---------+-------------------------------------------------- 61 | .2 42& .0&99% 4.41 0.000 .13%70 .3%9%1 62 | -11.0 & 3.9%90 -2.77 0.012 -19.41 -2.71& 63 | 3.12%0 1.0717 2.92 0.009 .%%4%& &.371 co s | 20.&29 9%.2 9 0.21 0.%37 -1%&.1 22 .2------------------------------------------------------------

+entru a compara intervalul de %ncredere obţinut pentru regresia multiplă cu intervalele de %ncredere ob prin regresiile simple, estimăm parametrii celor trei modele simple tot cu &> > (

. regress Y X1

Source | SS df MS Number of obs = 23---------+------------------------ F( 1, 21) = 17.0&Model | 2% %.& 1 2% %.& rob ! F = 0.000&"es#du$l | 77442. 21 3 %7.74 "-s'u$red = 0.44%1---------+------------------------ d* "-s'u$red = 0.421%

o $l | 140311.2 22 377.7% "oo MS = 0.727

------------------------------------------------------------ | /oef. S d. r. !| | 9& /o f. er 5--------+--------------------------------------------------- 61 | .294 2 .0713 & 4.13 0.000 -49.1%7 .44307 co s| %2.7220 3.4299 1.30 0.20 -1%&.1& 214. 3------------------------------------------------------------

. regress Y X2

Source | SS df MS Number of obs = 23---------+------------------------ F( 1, 21) = 3.&Model | 203&%.& 1 203&%.& rob ! F = 0.0729

"es#du$l | 1199&2.7 21 &712.03 "-s'u$red = 0.14&1---------+------------------------ d* "-s'u$red = 0.1044o $l | 140311.2 22 377.7% "oo MS = 7&.&7%

------------------------------------------------------------ | /oef. S d. r. !| | 9& /o f. er 5---------+-------------------------------------------------- 62 | -10.470 &.&4 17 -1.%9 0.073 -22.004 1.0 33 co s | 473.9 3 73.02&2 .49 0.000 322.09% 2&.%2------------------------------------------------------------

. regress Y X3

Source | SS df MS Number of obs = 23

*2


16/16

---------+------------------------ F( 1, 21) = 1.&0Model | 9347. 4 1 9347. 4 rob ! F = 0.2344"es#du$l | 1309 3.& 21 23 .3 "-s'u$red = 0.0---------+------------------------ d* "-s'u$red = 0.0222

o $l | 140311.2 22 377.7% "oo MS = 7%.971

------------------------------------------------------------ | /oef. S d. r. !| | 9& /o f. er 5---------+-------------------------------------------------- 63 | 1.94& 4 1.&%919 1.22 0.234 -1.3&92 &.2&0& co s | 19&.70% 11%.474 1. & 0.113 -&0. 72 442.0%------------------------------------------------------------

=ără a detalia calculele, prezentăm comparativ pentru cele trei modele simple şi pentru modelul multiintervalele de %ncredere "54E$ pentru estimarea variabilei endogene.

Kariabilaendogenă

Kariabileexogene

2 R Lnterval de%ncredere

Broare limităabsolută

Broare limitărelativă "E$

Y X !,33* "2 2,3 1 36 ,6$ 25,6 #6,5

Y 2 X !, 34 " * ,6 1 4!3,4$ ) ,3 36,!

Y # X !,!))) " 6#,! 1 4 !,#$ )*,) 35,3

Y X , 2 X ,

# X

!,))2# "232,6 1 34), $ !),* #!,)

&e observă o eroare limită mai mică la modelul multiplu şi deci o estimare mai precisă a variabilei endog

@a modelele simple se observă o precizie cu atât mai bună cu cât2 R este mai mare. cest fapt este perfect

coerent, deoarece atât 2 R cât şi eroare de estimare depind %n bună măsură de varianţa reziduală.

*#

Documents

068-091 Cap 3. Liniar Multiplu l,l