คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม

1

บทที่ 1 ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและฟงกชันลอการิทึม

เนื้อหา ตามหลักสูตรกระทรวง พ.ศ. 2544 และ เร่ิมใช หลักสูตรแกนกลาง พ.ศ. 2551 ใน ปการศึกษา พ.ศ. 2552 มี 9 หัวขอ 1.1 เลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม 1.2 รากที่ ในระบบจํานวนจริงและจํานวนจริงในรูปกรณฑ n

1.3 เลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนตรรกยะ 1.4 ฟงกชันเอกซโพเนนเชยีล 1.5 ฟงกชันลอการิทึม 1.6 การหาคาลอการิทึม 1.7 การเปลี่ยนฐานของลอการิทึม 1.8 สมการเอกซโพเนนเชียลและสมการลอการิทึม 1.9 การประยกุตของฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและฟงกชันลอการิทึม

22 512 + = 2.....

22 724 + = 2.....

22 815 + = 2.....

22 2021 + = 2.....

1729 = 33

............ + =33

............ +

คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม

2

1.1 เลขยกกําลังท่ีมีเลขชี้กําลงัเปนจํานวนเต็มแบบฝกหัด 1.1

1. จงทําใหเปนรูปอยางงายและมีเลขชี้กําลังเปนบวก

1.) 05

53

2332

−

−−

= 32−

วิธีทํา 05

53

2332

−

−−

= 1......

ตอบ

2.) )21)(12( 522 yxyx

วิธีทํา )21)(12( 522 yxyx = (......))(......)6( ⋅

ตอบ

3.) 3

49 )2(x

xx

วิธีทํา 3

49 )2(x

xx = )(......)16(

ตอบ

4.) )12)(1 834 −b3

( bb

วิธีทํา )12)(31( 834 −bbb = )(......)4(

ตอบ 5.) 7275 )(( −−− baba 0c )

วิธีทํา 7275 )(( −−− baba 0c ) = .....)(......)(.

ตอบ 6.) 221 ))(2( −− abab

วิธีทํา 221 ))(2( −− abab = ตอบ

7.) 4

23

21 −

− ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ yx

วิธีทํา 4

23

21 −

− ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ yx = (....)(....)(....) ⋅⋅

ตอบ

คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม

3

8.) 2

3231

−

− ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ba

วิธีทํา 2

3231

−

− ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ba =

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

= (....)(....)(....) ⋅⋅ ตอบ

9.) yxxyyx

2

5432 )()( −

=

ตอบ

10.) 1

85

21 −

−−

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

xzyzyx =

ตอบ 2. ถา และ เปนจํานวนเต็มบวก จงพิจารณาขอความตอไปนี้วา จริงหรือ ไม mxx ,1,0 ≠> n

1.) nm x1

⋅ = nmx −

x1

2.) n

m

xx− = nmx −

3.) nx−

1 = nx

4.) nm xx + = nmx +

5.) ก็ตอเมื่อ mx > 1 x 1 >

1.2 รากที่ n ในระบบจํานวนจริงและจํานวนจริงในรูปกรณฑ

รูปแบบรากที่ 2 2Δ = Δ เมื่อ Δ เปนจาํนวนจริงใดๆ

∴ 2Δ = , 0

, 0

Δ Δ ≥⎧⎪⎨⎪ −Δ Δ <⎩

คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม

4

แบบฝกหัด 1.2 1. จงทําจํานวนเหลานี้ใหอยูในรูปอยางงาย

1.) 28x

วิธีทํา ใชรูปแบบ 2Δ = Δ เมื่อ Δ เปนจาํนวนจริงใดๆ

28x = 28 x

= 22 2 x⋅ ⋅

= 22 2 x⋅ ⋅ = 2 2 x⋅ ⋅

= 2 2 , 0

0, 02 2

x xxxx

⎧

0⋅ ⋅ >

⎪=⎨

⎪ <− ⋅ ⋅⎩

ตอบ

2.) 33 27−

3.) 4 256 4.) 3 64

5.) 6 1

64

2. จงเขียนจํานวนตอไปนี้ใหอยูในรูปที่สวนไมตดิกรณฑ

1.) 25

วิธีทํา ใชรูปแบบ Δ Δ = Δ และ ใชรูปแบบ Δ∇

= Δ∇

25 =

52

= 5 22 2⋅

= 5 22 2⋅⋅

คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม

5

= 5 2

22

⋅

= 5 2

2⋅

= 102

ตอบ

= 1 102⋅ ตอบ

2.) 1521

3.) 203

4.) 12296

5.) 12483

3. จงทําผลคูณตอไปนีใ้หอยูในรูปอยางงาย 1.) 75⋅12 วิธีทํา ใชรูปแบบ Δ ⋅∇ = Δ ⋅ ∇ 7512 ⋅ = 4 3 25 3⋅ ⋅ ⋅ = 4 3 25 3⋅ ⋅ ⋅ = 2 3 5 3⋅ ⋅ ⋅

= 210 3⋅

= 30 ตอบ 2.) 2 12⋅ 3.) 33 454 ⋅ 4.) 2793 ⋅⋅ 4. จงทําใหเปนผลสําเร็จ 1.) )5210(52 + วิธีทํา

)5210(52 + = 2( 5 10 2 5 5)+ = 2( 50 2 25)+

คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม

6

= 2 50 4 25+ = 2 25 2 4 25+ = 10 2 20+ = 20 10 2+ ตอบ 2.) )23)(23( −+ 3.) 2)32( + 4.) )152)(25( +− 5.) )732)(732( −+

คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม

7

1.3 เลขยกกําลังท่ีมีเลขชี้กําลังเปนจํานวนตรรกยะ สมบัติของเลขยกกําลัง

1. จะได ma = na m = n

2. m na a⋅ = m na +

3. mana

= m na −

4. m na a÷ = m na −

5. ( )m na = m na ⋅

6. na

b⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= n

n

ba

7. ( ) m ma b⋅ = ma b⋅

8. na− =1na

ทบทวน

รูปแบบรากที่ 2 2Δ = Δ เมื่อ Δ เปนจาํนวนจริงใดๆ

∴ 2Δ = Δ = , 0

, 0

Δ Δ ≥⎧⎪⎨⎪ −Δ Δ <⎩

และ ∇ ∈ ( ),−∞ ∞ เมื่อ ∇ ≥ 0

เครื่องหมายรากเลขเลขชี้กําลัง

n a = na1

คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม

8

แบบฝกหัด 1.3

1. จงหาคาของ

1.) 32

27

วิธีทํา 32

27 = ( )2

3 33

=3

3

23

× = 23 = 9

∴ 32

27 = 9 ตอบ

2.) 41

16−

3.) 23

)25.0(

4.) 32

)027.0(

5.) 2

1 3125⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

6.) ( )13

125−

−

7.) 32

)27(−

8.) 32

169⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

8.) 3

9 216⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ขอนี้เสริม

9.) 2

1 38

−⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม

9

10.)

21 38⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2. ให x และ y เปนจํานวนจริงบวก จงทําใหอยูในรูปอยางงายและมีเลขชี้กําลังเปนจํานวนบวก

1.)

14 264

x

y

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

วิธีทํา

14 264

x

y

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=

121

4 64 x y

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠

=( ) ( )

12

212 22 2 32 x y

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

=

12 21

2 32 x y

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= 2

12 32 x y

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠

12

×

= 12 32

x y⋅ ⋅

14 264

x

y

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= ∴ 12 32

ตอบx y⋅ ⋅

2.)

23 327

6x

y

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

3.)

32332

X

X

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

4.)

21132

14

X Y

X

⎛ ⎞⎜ ⎟⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

5.)

13 4 3125627

x y

x y

⎛ ⎞⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎝ ⎠

คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม

10

5.)

13 4 3125627

x y

x y

⎛ ⎞⎜⎜⎝ ⎠

⎟⎟

ขอนี้เสริม

3. จงทําใหเปนรูปอยางงาย 1.) 183250 −+ วิธีทํา 183250 −+ = 25 2 16 2 9 2⋅ + ⋅ − ⋅

= 25 2 16 2 9 2⋅ + ⋅ − ⋅

= 5 2 4 2 3 2⋅ + ⋅ − ⋅ = ( )5 4 3 2+ − ⋅

= 6 2⋅ ∴ 183250 −+ = 6 2⋅ ตอบ 2.) 333 10832245 −⋅+⋅ 3.) 4 643223 −⋅+⋅ 4.) 333 19237581 −+

5.) 953 164 xxx +− 4. จงเขียนจํานวนตอไปนี้ใหตัวสวนอยูในรูปไมติดกรณฑ (ใหสวนเปนจํานวนตรรกยะ)

1.) 32

1+2

วิธีทํา ใชรูปแบบ ( ) ( ) = 2 2Δ −∇ Δ +∇ Δ −∇

322

1+

= ( )

( )( )2 2 3

2 2 3 2 2 3

−

+ −

= ( )

( ) ( )2 2 3

2 22 2 3

−

−

= 2 2 38 3−−

= 2 2 35−

∴ 322

1+

= 2 2 35− ตอบ

2.) 322

1−

3.) 726372610

+−

คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม

11

4.) 5645367

++

5.) 7559

40−

5. จงทําใหเปนรูปอยางงาย

1.) 1313

1313

−+

++−

วิธีทํา ใชรูปแบบ ( ) ( ) = 2 2Δ −∇ Δ +∇ Δ −∇

และ ( )2Δ +∇ = 2 22Δ + Δ∇+∇

1313

1313

−+

++− =

( ) ( )2 23 1 3 12 22 23 1 3 1

− ++

− −

=( ) ( )2 2

3 1 3 12 23 1

− + +

−

=( ) ( )3 1 2 3 3 1 2 3

3 1

+ − + + +

−

( ) ( ) =

4 2 3 4 2 3

2

− + +

=

82

∴ 1313

1313

−+

++− = 4 ตอบ

2.) 23

1223

18−

++

3.) ( )4 3 1 2 3

3 1 2 3

+ ++

− −

6. จงหาคากําลังสองของจํานวนตอไปนี ้ 1.) กําลังสองของ qpqp −++

วิธีทํา ใชรูปแบบ ( ) ( ) = 2 2Δ −∇ Δ +∇ Δ −∇

และ ( )2Δ +∇ = 2 22Δ + Δ∇+∇ ตองกําหนดให p q+ ≥ 0 และ p q− ≥ 0

( )2p q p q+ + − = 2 22p q p q p q p q+ + + ⋅ − + −

คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม

12

= 2p q p q p q p q+ + + ⋅ − + −

= 2 2p p q p q+ + ⋅ −

= ( ) ( )2 2p p q p q+ + ⋅ −

= 2 22 2p p q+ −

∴ ( )2p q p q+ + − = 2 22 2p p q+ − = 2 22 p p q⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

ตอบ

2.) กําลังสองของ 2222 23 baba −−+ 3.) กําลังสองของ 3212 ++− xx 7. กําหนดให 41421.12 ≈ , 73205.13 ≈ , 23607.25 ≈ และ 44949.26 ≈ จงหาคาประมาณของจํานวนตอไปนี้ ถูกตองถึงทศนิยมตําแหนงที่ 4

1.) 325335

+−

( ) ( )( ) วิธีทํา

( )5 3 3

5 2 3

−

+=

( )( )5 3 3 5 2 3

5 2 3 5 2 3

− −

+ −

( )( ) =

( ) ( )

5 3 3 5 2 32 25 2 3

− −

−

=( )( )5 3 3 5 2 3

50 9

− −

−

=( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )5 3 5 2 5 3 3 3 5 2 3 3

50 9

+ − + − + − −

−

=( ) ( ) ( )25 6 15 3 15 2 9

41

+ − + − +

≈( ) ( ) ( )25 2.44949 15 1.73205 15 1.41421 9

41× + − × + − × +

≈ ( ) ( ) ( )61.23725 25.98075 21.21315 941

− − +

≈ 23.0433541

≈ 0.56203

∴ 325335

+− ≈ 0.56203 ตอบ

คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม

13

2.) 5 29 4 5

−−

2.) 54925

+− ขอนี้เสริม

3.) 347325

−+

8. จงหาเซตคาํตอบของสมการตอไปนี ้ 1.) 8−m = 0

วิธีทํา เมื่อ เปนจาํนวนจริงใดๆ Δ

∴ 2Δ = Δ = , 0

, 0

Δ Δ ≥⎧⎪⎨⎪ −Δ Δ <⎩

8−m = 0

m = 8

m = 64 = เปนจริง ตรวจสอบ คําตอบ 064 8−

∴ เซตคําตอบของสมการดังกลาว คือ { }64 ตอบ 2.) 615 ++x 10 =

วิธีทํา อยางละเอียด นักเรียนสามารถขามขั้นตอนบางบรรทัดไดเอง ขอหลังจะรวบรัดมากขึ้น กําหนด เปนจํานวนจริงใดๆ Δ

∴ 2Δ = Δ = , 0

, 0

Δ Δ ≥⎧⎪⎨⎪ −Δ Δ <⎩

และ ∇ ∈ ( ),−∞ ∞ เมื่อ ∇ ≥ 0

615 ++x = 10 5 1x + = 10 6− = 4

25 1x + = 24 5 1x + = 16 5 1x + = 16 , 16− แยกคดิเปน สวน 2

5 1x + 16 =

5x 15 =

5 1x + = 16− 5x = 17−

คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม

14

x 3 = x = 175

−

∴ x = 3 , 175

−

ตรวจสอบ คําตอบ x = 3

( )5 3 1 6+ + = 10

16 6+ = 10

4 6+ = 10

ตรวจสอบ คําตอบ x = 175

−

175 15

⎛ ⎞− + +⎜ ⎟⎝ ⎠

6 = 10

คาในรากที่สอง ตองมีคามากกวา 0

175 15

⎛ ⎞− + +⎜ ⎟⎝ ⎠

6 = 10 ไมเปนจริง

∴ เซตคําตอบของสมการดังกลาว คือ { }3 ตอบ

3.) 52 + =r r 4.) 7+x = 5−x

5.) 7+x = 13 +x 6.) xx −+1 = 2

7.) 3−x = 3−x 7.) 3−x = 3x − ขอนี้เสริม 8.) xx ++12 = 2

9.) 212 +− x = 3x + 10.) 3 4 3 5x x+ + − 9 =

คณิตศาสตร เพิ่มเติม / ม. 5 เทอม 1 บทที่ 1 ฟงกชันเอ็กโพเนนเชียลและลอกาลริทึม

15

11.) 214 −−+ xx = 3+x 12.) 27 +++ xx = 136 +x