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gilberto-tenani
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LOGARITMOS DEFINIÇÃO
, ,
Exemplos:
pois
pois
pois
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA
existe
EXEMPLO: Determine os valores para os quais existe
.
RESOLUÇÃO
EXERCÍCIO RESOLVIDO 01) Determinar o domínio da função
.
CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS
(
)
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
02) Se , então é igual a:
a) 2m + 3
b) 3m + 1 c) 6m d) m + 6 e) m + 3
Obs.
03) Se , então o é igual
a a) b) c)
d)
e)
04) é igual a:
a) 1 b) 3 c) 5 d) 10 e) 1000
05) Dado que , calcular
06) O número está
compreendido entre: a) –1 e 0 b) 0 e 2 c) 2 e 3 d) 3 e 4 e) 5 e 7
log x
a N x a N log x
a N x a N 0a 1a 0b
3log 81 4 43 81
2log 2 2
2
2 2
6log 1 0 06 1
loga N0
0, 1
N
a a
5log ( 4)x
4 0 4x x
2
1( ) log ( 5 )xf x x x
log 1 0a
log 1a a
log n
a a nloga Na N
log loga ax y x y
log ( . ) log loga a aM N M N
log log loga a a
MM N
N
log logN
a aM N M
1log log loga a aN co N
N
1log log
N
a aM M
N
32 m54log 2
10log log
log lne
N N
N N
10log log
log lne
N N
N N
10log 1,73 a 10log 1730
a
3a
3 a3a
3
a
log50 log40 log20 log2,5
log5 m
2log75 log
3A
2 2log 33 log 3E
07) Calcule o valor da expressão
MUDANÇA DE BASE
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 08) Se , então
é:
a)
b)
c) 1 d) 2 e) 0
09) Considerando e
pode-se afirmar, com base nesses dados, que o valor do logaritmo decimal de 5 é: a) 3/7 b) 1/2 c) 5/7 d) 7/3 e) 7/5
10) O produto é igual a:
a) 0 b) 1/2 c) 10 d) 30 e) 1/10
11) Sabendo que , podemos concluir que é igual a:
a) 2/p b) 2p
c) 2 +
d) 2 + 2p
e)
EQUAÇÕES Aquelas em que a variável se encontra no logaritmando ou na base serão chamadas de equações logarítmicas. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 12) Resolva as equações:
a)
b)
4log 5
5 3 5log 1 4 log (log 125)
loglog
log
ab
a
NN
b
loglog
log
ab
a
NN
b
x log4 7 e y = log 4916 x y
7log4
log 7
log 10 1,4m log 50 2,4m
9 2 5(log 2).(log 5).(log 3)
5 2p
log 2 100
p2
2 2 p
p
2
5 5log ( 3) log ( 3)x x
2
1
5
log ( 4 4) 0x x
c)
d)
APLICAÇÕES 13) A altura média do tronco de certa espécie
de árvore, que se destina a produção de madeira, evolui, desde plantada, segundo o seguinte modelo matemático:
, com em
metros e t em anos. Se uma destas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 3,5 m de altura, o tempo em anos transcorrido do momento da plantação até o corte foi?
14) Um laboratório iniciou a produção de certo tipo de vacina com lote de x doses. Se o planejado é que o número de doses produzidas dobre a cada ano, após quanto tempo esse número passará a ser igual a 10 vezes o inicial? ( use )
15) Suponha que o total de sapatos produzidos
por uma pequena indústria é dado aproximadamente, pela função
, onde t é o
número de anos e S o número de sapatos produzidos, contados a partir do início de atividade da indústria.. Determine: a) o número de sapatos produzidos no
primeiro ano de atividades da indústria; b) o tempo necessário para que a produção
total seja o triplo da produção do primeiro ano.
16) Uma cultura bacteriana apresenta
inicialmente uma população de 10 000 bactérias. Após t horas, sua população será de 10 000(1,2)t bactérias. A população da cultura será de 30 000 bactérias após um número de horas igual a: ( Use: log2=0,3 e log3=0,48 )
2
8 8(log ) 4log 4 0x x
2 2log ( 3) log ( 4) 1x x
3( ) 1,5 log 1h t t ( )h t
log2 0,3
2( ) 1000log (1 )S t t
FUNÇÃO LOGARITMICA
, ,
Exemplos
1. Esboce o gráfico da função
2. Esboce o gráfico da função
3. Esboce o gráfico da função
INEQUAÇÕES Ao estudarmos as inequações logarítmicas, devemos ter cuidados especiais com as restrições sobre a incógnita. Na resolução das inequações, procuraremos obter logaritmos de mesma base nos dois membros. A partir disso, trabalharemos apenas com os logaritmandos, usando o fato de a função ser crescente ou decrescente:
Mantendo o mesmo sinal da inequação quando a base for maior que 1, pois a função é crescente;
Invertendo o sinal da inequação quando a base estiver entre 0 e 1, pois a função é decrescente. Exemplos: 1. Resolver a inequação
C.E. :
.
Portanto
2. Resolver a inequação
C.E. :
.
Portanto
( ) logaf x x( ) logaf x x 0a 1a 0x
2logy x
( ) { | 0}Dom f x x ( ) { | 0}Dom f x x Im( )f Im( )f
1
2
logy x
( ) { | 0}Dom f x x ( ) { | 0}Dom f x x Im( )f Im( )f
2log ( 1)y x
( ) { | 1}Dom f x x ( ) { | 1}Dom f x x Im( )f Im( )f
2 2log ( 1) log 6x
1 0x 1x
2 1a a
1 6 5x x
{ | 5}S x x
1 1
2 2
log (2 4) log 3x
2 4 0x 2x
10 1
2a a
72 4 3
2x x
7{ | 2 }
2S x x
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 17) Dado um número real a com , seja S o
conjunto solução da inequação
.Então S é o
intervalo a) [4, + [ b) [4, 7[ c) ]1, 5] d) ]1, 4] e) [1, 4[
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01) (UFMT) Sendo , podemos
afirmar que é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
02) (UEL) Supondo que exista, o logaritmo de a
na base b é: a) O número ao qual se eleva a para se
obter b. b) O número ao qual se eleva b para se
obter a. c) A potência de base b e expoente a. d) A potência de base a e expoente b. e) A potência de base 10 e expoente a.
03) (UMC-SP) O logaritmo de 7776 no sistema
de base 6 vale: a) 6 b) 5 c) 3 d) 2,5 e) Não pode ser determinado sem tabela
apropriada.
04) (UNIFOR-CE) Qual o valor de
?
05) (ITA) A expressão é igual
a:
a)
b)
c)
d) e)
06) (PUC-SP) A expressão é igual a:
a) 11 b) 1 c) 0 d) Não temos elementos para calcular e) 12
07) (UNIMAUA - SP) Achar o valor da expressão
08) (PUC-SP) A expressão é igual a:
(Supor e ) a) b)
c)
d)
e) 09) (CESULON-PR) Resolvendo a equação
, obtemos:
a)
b)
c)
d)
e)
10) (UNIFOR) Seja um número real que
satisfaz a equação . Nestas
condições, o valor de é: a) 10 ou -8 b) 4 ou -2 c) 9 d) 5 e) 3
11) (PUC-SP) Assinale a propriedade válida
sempre: (Supor válidas as condições de existência do logaritmo) a)
1a
7
1 1
1log log log ( 1)
x
a
a a
xa
4log 253
x
2log 5
3
x
2
3
x
2
9
x
3
3
x
2
3
9
x
3
5 2[log (25log 32)]
2 4log 16 log 32
1
2
3
2
4
1
2.log 2
4
1
11log 1
1 2 5
3
1log 3 3 log log 5
4M
loga ba
0 1a 0b
b
abaab
ab
3log (2 7) 4x
{40}S
{41}S
{42}S
{43}S
{44}S
m2
2log ( 1) 3x
1m
log( . ) log .loga b a b
Comentado [G1]: GABARITO: A
Comentado [G2]: GABARITO: B
Comentado [G3]: GABARITO: B
Comentado [G4]: GABARITO: 27
Comentado [G5]: GABARITO: B
Comentado [G6]: GABARITO: C
Comentado [G7]: GABARITO:
1
2
Comentado [G8]: GABARITO: A
Comentado [G9]: GABARITO: E
Comentado [G10]: GABARITO: B
Comentado [G11]: GABARITO: E
b)
c)
d)
e)
12) (PUC-SP) A expressão é igual a:
a) 2 b) 1 c) 27 d) 0 e) -1
13) (UNIP-SP) o valor de
é
a) 1
b)
c) 2
d)
e) 1,4 14) (UNIJUÍ-RJ) Sendo os números A e B reais e
positivos, a sentença verdadeira é: a)
b)
c)
d)
e)
15) (CESGRANRIO) Se , o valor
de é:
a) 0,0209 b) 0,09 c) 0,209 d) 1,09 e) 1,209
16) (MACK-SP) Se , então
vale: a) 0,04 b) 1,5 c) 20 d) 25 e) 200
17) (FFRECIFE) Se ,
então:
a)
b)
c)
d)
e)
18) (MACK-SP) Se , então
vale:
a)
b)
c)
d)
e)
19) (VUNESP-SP) Se e ,
é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
20) (MACK-SP) Se , então
é igual a: a) 1/2 b) 1/3 c) 0 d) 2 e) 3
21) (FEI-SP) Se e ,
escrevendo em função de e
obtemos: a) b) c) d)
e)
log( ) log loga b a b
log . .logm a m a
log log .ma m a
log .logma m a
27log 27
4 4log (24,96) log (3,12)
3
2
5
2
log( ) log .logA B A B 3
3log log logA
A BB
1
21
log log log .log2
A B A B
loglog log / 4
4.log
AA B
B
2 2log log log( / )A B A B
10log 123 2,09
10log 1,23
log 2 log4m m
1log log 2log log
3x b c a
3
b cx
a
/ 3
abcx
a
3
b cx
a
2
3
bcx
a
2
3
bcx
a
5log 81 k 3log 15
4
2
k
4k
k
2
2
k
k
4
2
k
k
2
2
k
k
log2 x log3 y
log72
2 3x y
3 2x y
2 3x y
3 2x y
x y
3 3log 2 log ( 1) 1x
x
log2 a log3 b
32log
27a b
2a b
2a b
2ab
2 /a b
5 3a b
Comentado [G12]: GABARITO: B
Comentado [G13]: GABARITO: B
Comentado [G14]: GABARITO: B
Comentado [G15]: GABARITO: B
Comentado [G16]: GABARITO: D
Comentado [G17]: GABARITO: D
Comentado [G18]: GABARITO: D
Comentado [G19]: GABARITO: B
Comentado [G20]: GABARITO: A
Comentado [G21]: GABARITO: E
22) (PUC-SP) Se , , então
vale:
a) b)
c)
d)
e)
23) (UFPR) Considere o conjunto S={1,2,-1,-2}.
É correto afirmar que: (01) O total de subconjuntos de S é igual ao
número de permutações de quatro elementos.
(02) O conjunto solução da equação
é igual a S.
(04) O conjunto-solução da equação
está
contido em S. (08) Todos os coeficientes de x no
desenvolvimento de
pertencem a S. 24) (MACK-SP) O domínio da função definida
por é o conjunto:
a) b)
c)
d)
e)
25) (UNICID-SP) Se e =n,
podemos afirmar que é:
a)
b)
c)
d)
e)
26) (FUVEST-SP) Sabendo-se , podemos
concluir que é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
27) (UFS-BA) O domínio da função
é:
a)
b)
c)
d)
e) 28) (AFA) No conjunto dos números reais, o
campo de definição da função
é dado por
a)
b)
c)
d)
e) 29) (UFPR) Sendo a, b e x números reais tais
que , e , é correto afirmar:
(01)
(02) Se , então . (04) a, b e x, nesta ordem, estão em
progressão geométrica.
(08)
(16) 30) (UEPG-PR) Considerando que p é o produto
das raízes da equação
e que assinale o que for
correto. (01) p é um número primo (02) p é um múltiplo de três
(04) |p m m
logbm a 0m 2
1loga
b
m2m
2m
2
m
1
m
2 2( 1)( 4) 0x x
10 10 10
22log log 3 log ( )
3x x
4( 1)x
23( ) log( 7)f x x x
{ | 0}x x
{ | 23}x x
10log 2 m 10log 3
5log 6
2
1
m
m
1
m n
m
m n
mn
1
m n
m
3
1
mn
m
5 2p
2log 100
2
p
2p
22 p
2 2p
2 2p
p
2
1
2
( ) log (5 26 5)f x x x
{ | 5}x x
1{ |0 }
5x x
1{ | ou 5}
5x x x
{ | 2}x x
2
( 1)( ) log (2 5 2)xf x x x
{ | 2 ou 1}x x x
1 1{ | 1 e }
2 2x x x
1{ | 0 e 0}
2x x x
1{ | 1 0 ou 0 ou x>2}
2x x x
3 2a b 9 4b x 0a
2log 3b x
2a 3b
2log 6a b a 2 23 2a b b x
2log log 6 0x x
3 72 .4
8
pp
pm
Comentado [G22]: GABARITO: D
Comentado [G23]: 04
Comentado [G24]: GABARITO: E
Comentado [G25]: GABARITO: D
Comentado [G26]: GABARITO: E
Comentado [G27]: GABARITO: C
Comentado [G28]: GABARITO: D
Comentado [G29]: 28
Comentado [G30]: 24
(08) 60 < m < 70 (16) m > p
GABARITO
01) A 02) B 03) B 04) 27 05) B
06) C 07) * 08) A 09) E 10) B 11) E 12) B 13) B 14) B 15) B
16) D 17) D 18) D 19) B 20) A
21) E 22) D 23) 06 24) E 25) D
26) E 27) C 28) D 29) 28 30) 24
*
1
2