Embed Size (px)
Citation preview
Àπ૬°“√‡√’¬π√Ÿâ∑’Ë 3 √–∫∫ ¡°“√‡™‘߇ âπ Õßμ—«·ª√72
®ÿ¥ª√– ߧ尓√‡√’¬π√Ÿâ
1. ·°â√–∫∫ ¡°“√‡™‘߇ âπ Õßμ—«·ª√‰¥â (§ 4.2 ¡.3/5)
2. π”√–∫∫ ¡°“√‡™‘߇ âπ Õßμ—«·ª√‰ª„™â·°âªí≠À“‰¥â (§ 4.2 ¡.3/5)
3. μ√–Àπ—°∂÷ߧ«“¡ ¡‡Àμÿ ¡º≈¢Õߧ”μÕ∫∑’ˉ¥â (§ 4.2 ¡.3/5)
√–∫∫ ¡°“√‡™‘߇ âπ
Õßμ—«·ª√
➤
√–∫∫ ¡°“√‡™‘߇ âπ Õßμ—«·ª√3
‚®∑¬åªí≠À“
√–∫∫ ¡°“√‡™‘߇ âπ Õßμ—«·ª√
➤
Àπ૬°“√‡√’¬π√Ÿâ∑’Ë 3 √–∫∫ ¡°“√‡™‘߇ âπ Õßμ—«·ª√ 73
1. √–∫∫ ¡°“√‡™‘߇ âπ Õßμ—«·ª√
„Àâπ—°‡√’¬πÕà“π‚®∑¬åμàÕ‰ªπ’È ·≈–欓¬“¡À“§”μÕ∫ç©—π¡’‰°à·≈–°√–μà“¬ π—∫À—«√«¡°—π‰¥â®”π«π 75 À—« ·≈–π—∫¢“√«¡°—π‰¥â®”π«π 210
¢“ ®–¡’‰°à°’Ëμ—« ·≈–¡’°√–μà“¬°’Ëμ—«éÀ“°π—°‡√’¬π¬—߉¡à¡’§«“¡√Ÿâ„π‡√◊ËÕß°“√·ª≈ß‚®∑¬åªí≠À“‡ªìπ —≠≈—°…≥å∑“ߧ≥‘μ»“ μ√å
·≈–„™âÀ≈—°°“√·°â ¡°“√ π—°‡√’¬πÕ“®·°âªí≠À“π’ȉ¥â‚¥¬«‘∏’‡¥“·≈–μ√«® Õ∫¥—ßμ“√“ßμàÕ‰ªπ’È
®”π«π‰°à ®”π«π°√–μà“¬ ®”π«π¢“
75 0 150
70 5 160
65 10 170
60 15 180
55 20 190
45 30 210
À√◊ÕÕ“®·°âªí≠À“‚¥¬«‘∏’Õ◊ËπÊ Õ¬à“߉√°Áμ“¡ ‡√“‰¡à “¡“√∂§“¥À«—߉¥â«à“°“√‡¥“·≈–
μ√«® Õ∫ À√◊Õ°“√·°âªí≠À“‚¥¬«‘∏’Õ◊ËπÊ ‡À≈à“π—Èπ „™â·°âªí≠À“‰¥â ”À√—∫∑ÿ°ªí≠À“ ‡√“®”‡ªìπ
μâÕßÀ“«‘∏’∑’ˇªìπ√–∫∫∑’ˉ¡à‰¥â¢÷ÈπÕ¬Ÿà°—∫°“√‡¥“ À√◊Õ°“√§‘¥∑’ˬ—߉¡à‡ªìπ‰ªμ“¡√–∫∫∑’Ë·πàπÕπ
„π∑“ߧ≥‘μ»“ μ√å‡√“®–·ª≈ߪí≠À“ Ÿà —≠≈—°…≥å∑“ߧ≥‘μ»“ μ√å ·≈–°”À𥇪ìπ ¡°“√
ªí≠À“¢âÕ§«“¡ —≠≈—°…≥å∑“ߧ≥‘μ»“ μ√å
®”π«π‰°à x
®”π«π°√–μà“¬ y
π—∫À—«√«¡°—π‰¥â 75 À—« x � y = 75
π—∫¢“√«¡°—π‰¥â 210 ¢“ 2x � 4y = 210
®“°‚®∑¬åªí≠À“¢â“ßμâπ‡¡◊ËÕ·ª≈ߪí≠À“„À⇪ìπ —≠≈—°…≥å∑“ߧ≥‘μ»“ μ√å·≈â« ®–‰¥â
¡°“√ 2 ¡°“√∑’Ë¡’μ—«‰¡à∑√“∫§à“ 2 μ—« §◊Õ x ·≈– y ‡√’¬° ¡°“√∑—Èß Õß«à“ √–∫∫ ¡°“√
‡™‘߇ âπ Õßμ—«·ª√ ·≈–§à“¢Õß x ·≈– y ∑’Ë Õ¥§≈âÕß°—∫√–∫∫ ¡°“√‡™‘߇ âπ¥—ß°≈à“« §◊Õ
§”μÕ∫¢Õß‚®∑¬åªí≠À“
Àπ૬°“√‡√’¬π√Ÿâ∑’Ë 3 √–∫∫ ¡°“√‡™‘߇ âπ Õßμ—«·ª√74
1.1 °“√À“§”μÕ∫¢Õß√–∫∫ ¡°“√‡™‘߇ âπ Õßμ—«·ª√
‚¥¬„™â°√“ø
‡¡◊ËÕ‡√“‡¢’¬π°√“ø¢Õß ¡°“√‡™‘߇ âπ Õßμ—«·ª√¢Õß Õß ¡°“√∫π·°π§Ÿà‡¥’¬«°—π§”μÕ∫ (º≈‡©≈¬) ¢Õß√–∫∫ ¡°“√‡™‘߇ âπ Õßμ—«·ª√π’ȧ◊Õ §ŸàÕ—π¥—∫¢Õß®ÿ¥μ—¥ (common
point) ¢Õ߇ âπμ√ß Õ߇ âππ—Èπ
À¡“¬‡Àμÿ ‡√“¡—°‡√’¬°√–∫∫ ¡°“√‡™‘߇ âπ Õßμ—«·ª√«à“ √–∫∫ ¡°“√‡™‘߇ âπ À√◊Õ√–∫∫‡™‘߇ âπ
μ—«Õ¬à“ß∑’Ë 1 ®ß·°â√–∫∫ ¡°“√‡™‘߇ âπ‚¥¬„™â°√“øx�2y = 6
2x�y = 2
«‘∏’∑” ‡¢’¬π°√“ø¢Õß x�2y = 6 ·≈– 2x�y = 2 ∫π·°π§Ÿà‡¥’¬«°—π ‚¥¬‡√‘Ë¡®“°À“æ‘°—¥¢Õß®ÿ¥∫“ß®ÿ¥∫π°√“ø ‚¥¬°”Àπ¥§à“ x ∫“ß§à“ ‡æ◊ËÕÀ“§à“ y
x�2y = 6 2x�y = 2
À√◊Õ y =
x � 62
À√◊Õ y = 2�2x
x 0 4 6 x 0 1 2
y �3 �1 0 y 2 0 �2
§”μÕ∫¢Õß√–∫∫ ¡°“√‡™‘߇ âπ Õßμ—«·ª√ §◊Õ §à“¢Õßμ—«·ª√∑’Ë Õ¥§≈âÕß°—∫
¡°“√∑—Èß Õß À√◊Õ§à“¢Õßμ—«·ª√∑’Ë∑”„Àâ ¡°“√∑—Èß Õ߇ªìπ®√‘ß
°“√À“§”μÕ∫¢Õß√–∫∫ ¡°“√‡™‘߇ âπ Õßμ—«·ª√À√◊Õ°“√·°â ¡°“√‡™‘߇ âπ Õß
μ—«·ª√ “¡“√∂°√–∑”‰¥â‚¥¬«‘∏’°√“ø·≈–«‘∏’°“√·°â ¡°“√‚¥¬„™â ¡∫—μ‘¢Õß°“√‡∑à“°—π¥—ßμàÕ‰ªπ’È
Àπ૬°“√‡√’¬π√Ÿâ∑’Ë 3 √–∫∫ ¡°“√‡™‘߇ âπ Õßμ—«·ª√ 75
°√“øμ—¥°—π∑’Ë (2, �2) ¥—ßπ—È𠧔μÕ∫¢Õß√–∫∫ ¡°“√‡™‘߇ âπ§◊Õ x = 2 ·≈– y = �2
μ√«® Õ∫ ·∑π§à“ x ¥â«¬ 2 ·∑π§à“ y ¥â«¬ �2 „π ¡°“√∑’ËÀπ÷Ëß ®–‰¥â
x�2y = 2�2(�2) = 2�4 = 6 ‡ªìπ®√‘ß
·∑π§à“ x ¥â«¬ 2 ·∑π§à“ y ¥â«¬ �2 „π ¡°“√∑’Ë Õß ®–‰¥â
2x�y = 2(2)�(�2) = 2 ‡ªìπ®√‘ß
μÕ∫ §”μÕ∫¢Õß√–∫∫ ¡°“√‡™‘߇ âπ§◊Õ (2, �2)
μ—«Õ¬à“ß∑’Ë 2 ®ß·°â√–∫∫ ¡°“√‡™‘߇ âπ‚¥¬„™â°√“ø
2x�y = 4
2x�y = �2
«‘∏’∑” ‡¢’¬π°√“ø¢Õß 2x�y = 4 ·≈– 2x�y = �2 ∫π·°π§Ÿà‡¥’¬«°—π ‚¥¬‡√‘Ë¡®“°À“
æ‘°—¥¢Õß®ÿ¥∫“ß®ÿ¥∫π°√“ø ‚¥¬°”Àπ¥§à“ x ∫“ß§à“ ‡æ◊ËÕÀ“§à“ y
2x�y = 4 2x�y = �2
À√◊Õ y = 4�2x À√◊Õ y = �2�2x
x 0 2 4 x �1 0 1
y 4 0 �4 y 0 �2 �4
X
2x�y = 2 x�2y = 6
(2, �2)
Y
4
5
�4
�3
�2�1
1
2
3
6
2�1 0 1�2�3�4 3 4 5 6 7 8
Àπ૬°“√‡√’¬π√Ÿâ∑’Ë 3 √–∫∫ ¡°“√‡™‘߇ âπ Õßμ—«·ª√76
°√“ø Õ߇ âπ¢π“π°—π ¥—ßπ—Èπ®÷߉¡à¡’®ÿ¥μ—¥ · ¥ß«à“√–∫∫ ¡°“√π’ȉ¡à¡’§”μÕ∫μÕ∫ √–∫∫ ¡°“√π’ȉ¡à¡’§”μÕ∫
μ—«Õ¬à“ß∑’Ë 3 ®ß·°â√–∫∫ ¡°“√‡™‘߇ âπ‚¥¬„™â°√“ø6x = 12�2y
3x�y = 6
«‘∏’∑” ‡¢’¬π°√“ø¢Õß 6x = 12�2y ·≈– 3x�y = 6 ∫π·°π§Ÿà‡¥’¬«°—π ‚¥¬‡√‘Ë¡®“°À“æ‘°—¥¢Õß®ÿ¥∫“ß®ÿ¥∫π°√“ø ‚¥¬°”Àπ¥§à“ x ∫“ß§à“ ‡æ◊ËÕÀ“§à“ y
6x = 12�2y 3x�y = 6
À√◊Õ y =
12 62
� x À√◊Õ y = 6�3x
y = 6�3x
x 0 3 6 x 0 1 2
y 6 �3 �12 y 6 3 0
Y
X
2x�y = 4
2x�y = �2
�4
�3
�2
�1
1
2
3
4
5
6
7
8
876543210�1�2�3�4 �5
(0, 6)
(2, 0)
Y
X0
Àπ૬°“√‡√’¬π√Ÿâ∑’Ë 3 √–∫∫ ¡°“√‡™‘߇ âπ Õßμ—«·ª√ 77
ª√“°Ø«à“°√“ø âÕπ∑—∫°—π §◊Õ°√“ø‡ªìπ‡ âπμ√߇¥’¬«°—π ¥—ßπ—Èπ √–∫∫ ¡°“√π’È¡’§”μÕ∫¡“°¡“¬‰¡à®”°—¥ ‚¥¬¡’§«“¡ —¡æ—π∏å¢Õß x ·≈– y ‡ªìπ y = 6�3x
μÕ∫ √–∫∫ ¡°“√π’È¡’§”μÕ∫¡“°¡“¬‰¡à®”°—¥„π√Ÿª (x, 6�3x) ‡¡◊ËÕ x ‡ªìπ®”π«π®√‘ß„¥Ê
®“°μ—«Õ¬à“ß “¡μ—«Õ¬à“ߢâ“ßμâπ®–‡ÀÁπ‰¥â«à“ §”μÕ∫¢Õß√–∫∫ ¡°“√‡™‘߇ âπ¡’‰¥â “¡°√≥’§◊Õ
1. ¡’§”μÕ∫‡¥’¬« ‡¡◊ËÕ°√“øμ—¥°—πÀπ÷Ëß®ÿ¥ ®ÿ¥μ—¥π’È®–‡ªìπ§”μÕ∫¢Õß√–∫∫ ¡°“√2. ‰¡à¡’§”μÕ∫ ‡¡◊ËÕ°√“ø¢π“π°—π ‰¡à¡’®ÿ¥√à«¡°—π3. ¡’§”μÕ∫¡“°¡“¬‰¡à®”°—¥ ‡¡◊ËÕ°√“ø‡ªìπ‡ âπμ√߇¥’¬«°—π
°‘®°√√¡μ√«® Õ∫§«“¡‡¢â“„® 1
√–∫∫ ¡°“√π’È¡’§”μÕ∫¢Õß√–∫∫ ¡°“√À√◊Õ‰¡à ‡æ√“–‡Àμÿ„¥ 1. 2x�4y = �4 2. 4x�y = 4 3. 5x = 6y�10
2x�4y = 12 3x�y = 3 6y�5x = �12
4. x�3y = 2 5. 2x�y = �4 6. 4x = 20�2y
2x�5y = 1 4x�2y = �7 2x�y = 10
·∫∫Ωñ°À—¥ 1(1)
®ßÀ“§”μÕ∫¢Õß√–∫∫ ¡°“√‡™‘߇ âπ‚¥¬„™â°√“ø ·≈–μ√«® Õ∫§”μÕ∫∑’ˉ¥â1. x�y = 15 2. 2s�3t = 1
x�y = 3 4s�t = 23
3. 2x�3y = 6 4. 3x�4y = 17
4x�6y = 12 2x�4y = �2
5. 4x�5y = 17 6. 2m�6n = �10
4x = 20�5y 4m�n = 45
7. 5n�p = 5 8. 5x�6y = 2
�10n = 2p�10 3x�2y = �10
Àπ૬°“√‡√’¬π√Ÿâ∑’Ë 3 √–∫∫ ¡°“√‡™‘߇ âπ Õßμ—«·ª√78
1.2 °“√·°â√–∫∫ ¡°“√‡™‘߇ âπ Õßμ—«·ª√
°“√·°â√–∫∫ ¡°“√‡™‘߇ âπ Õßμ—«·ª√ πÕ°®“°„™â«‘∏’°√“ø·≈⫬—ß “¡“√∂∑”‰¥â‚¥¬„™â ¡∫—μ‘¢Õß°“√‡∑à“°—π‡°’Ë¬«°—∫°“√∫«°·≈–°“√§Ÿ≥¥—ßπ’È
¡∫—μ‘¢Õß°“√‡∑à“°—π‡°’Ë¬«°—∫°“√∫«°·≈–°“√§Ÿ≥
1. °“√∫«° (°“√≈∫) ®”π«π‡¥’¬«°—π∑—Èß Õߢâ“ߢÕß ¡°“√ ®–‰¡à∑”„À⧔μÕ∫(solution) ‡ª≈’ˬπ‰ª
2. °“√§Ÿ≥ (°“√À“√) ®”π«π‡¥’¬«°—π∑’ˉ¡à‡∑à“°—∫»Ÿπ¬å∑—Èß Õߢâ“ߢÕß ¡°“√ ®–‰¡à∑”„À⧔μÕ∫ (solution) ‡ª≈’ˬπ‰ª
3. °“√∫«° ¡°“√Àπ÷Ëß°—∫Õ’° ¡°“√Àπ÷Ëß À√◊Õ≈∫ ¡°“√Àπ÷Ëߥ⫬Ւ° ¡°“√Àπ÷Ëß ®–‰¡à∑”„À⧔μÕ∫ (simultaneous solution) ¢Õß√–∫∫ ¡°“√‡ª≈’ˬπ‰ª
μ—«Õ¬à“ß∑’Ë 4 ®ß·°â√–∫∫ ¡°“√x�y = 50
2x�4y = 140
«‘∏’∑” x�y = 50 ..........(1)
2x�4y = 140 ..........(2)
(1)�2 ; 2x�2y = 100 ..........(3)
(2)�(3) ; 2y = 40
y = 20
·∑π y ¥â«¬ 20 „π ¡°“√∑’Ë (1) ®–‰¥âx�20 = 50
x = 50�20
x = 30
μ√«® Õ∫ ·∑π x ¥â«¬ 30 ·≈–·∑π y ¥â«¬ 20 „π ¡°“√∑’Ë (1) ®–‰¥â30�20 = 50 ‡ªìπ®√‘ß·∑π x ¥â«¬ 30 ·≈–·∑π y ¥â«¬ 20 „π ¡°“√∑’Ë (2) ®–‰¥â2(30)�4(20) = 60�80 = 140 ‡ªìπ®√‘ß
¥—ßπ—È𠧔μÕ∫¢Õß√–∫∫ ¡°“√„π√Ÿª§ŸàÕ—π¥—∫§◊Õ (30, 20)
μÕ∫ (30, 20)
Àπ૬°“√‡√’¬π√Ÿâ∑’Ë 3 √–∫∫ ¡°“√‡™‘߇ âπ Õßμ—«·ª√ 79
®“°μ—«Õ¬à“ß∑’Ë 4 Õ“®· ¥ß«‘∏’∑”‚¥¬«‘∏’¢Õß°“√·∑π§à“ (method of substitution)
‰¥â¥—ßπ’È «‘∏’∑” x�y = 50 ..........(1)
2x�4y = 140 ..........(2)
‡√“Õ“®§”π«≥‚¥¬‡ª≈’ˬπ x „π ¡°“√∑’Ë (1) „ÀâÕ¬Ÿà„πæ®πå¢Õß y ·∑π§à“ x „πæ®πå ¢Õß y „π ¡°“√∑’Ë (2)
®“° (1) ®–‰¥â x = 50�y ..........(3)
·∑π x ¥â«¬ 50�y „π (2) ®–‰¥â2(50�y)�4y = 140
100�2y�4y = 140
2y = 40
y = 20
·∑π y ¥â«¬ 20 „π (3) ®–‰¥âx = 50�20
x = 30
¥—ßπ—È𠧔μÕ∫¢Õß√–∫∫ ¡°“√§◊Õ (30, 20)
μ—«Õ¬à“ß∑’Ë 5 ®ß·°â√–∫∫ ¡°“√2x�3y = 5
5x�6y = 14
«‘∏’∑” 2x�3y = 5 ..........(1)
5x�6y = 14 ..........(2)
(1)�2 ; 4x�6y = 10 ..........(3)
(2)�(3) ; x = 4
·∑π§à“ x ¥â«¬ 4 „π ¡°“√∑’Ë (2) ®–‰¥â5(4)�6y = 14
20�6y = 14
6y = 20�14
6y = 6
y = 1
μ√«® Õ∫ ·∑π x ¥â«¬ 4 ·≈–·∑π y ¥â«¬ 1 „π ¡°“√∑’Ë (1) ®–‰¥â2(4)�3(1) = 5 ‡ªìπ®√‘ß·∑π x ¥â«¬ 4 ·≈–·∑π y ¥â«¬ 1 „π ¡°“√∑’Ë (2) ®–‰¥â5(4)�6(1) = 14 ‡ªìπ®√‘ß
¥—ßπ—È𠧔μÕ∫¢Õß√–∫∫ ¡°“√§◊Õ (4, 1)
μÕ∫ (4, 1)
Àπ૬°“√‡√’¬π√Ÿâ∑’Ë 3 √–∫∫ ¡°“√‡™‘߇ âπ Õßμ—«·ª√80
°“√À“§”μÕ∫¢Õß√–∫∫ ¡°“√Õ“®∑”‰¥â‚¥¬«‘∏’·∑π§à“ ®“°μ—«Õ¬à“ß∑’Ë 5 ∑”‚¥¬«‘∏’
·∑π§à“‰¥â¥—ßπ’È
«‘∏’∑” 2x�3y = 5 ..........(1)
5x�6y = 14 ..........(2)
®“° (1) ®–‰¥â x =
5 3
2
� y..........(3)
·∑π x ¥â«¬
5 3
2
� y „π (2) ®–‰¥â
5
5 3
2
� y⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
�6y = 14
π” 2 §Ÿ≥∑—Èß Õߢâ“ߢÕß ¡°“√ ®–‰¥â25�15y�12y = 28
3y = 3
y = 1
·∑π§à“ y ¥â«¬ 1 „π (3) ®–‰¥â
x =
5 3 12
( )�
x = 4
¥—ßπ—È𠧔μÕ∫¢Õß√–∫∫ ¡°“√§◊Õ (4, 1)
°‘®°√√¡μ√«® Õ∫§«“¡‡¢â“„® 2
®ß·°â√–∫∫ ¡°“√
1. 3x�4y = 27 2. x�4y = 1 3. 5x�6y = 7
2x�3y = 1 x�4y = 6 4y�8x = 12
μ—«Õ¬à“ß∑’Ë 6 ®ßÀ“§à“ x ·≈– y ∑’Ë Õ¥§≈âÕß°—∫ ¡°“√∑—Èß Õß
10x�4y = 20
5x�2y = 20
«‘∏’∑” 10x�4y = 20 ..........(1)
5x�2y = 20 ..........(2)
Àπ૬°“√‡√’¬π√Ÿâ∑’Ë 3 √–∫∫ ¡°“√‡™‘߇ âπ Õßμ—«·ª√ 81
π” 2 §Ÿ≥∑—Èß Õߢâ“ߢÕß ¡°“√ (2) ®–‰¥â
10x�4y = 40 ..........(3)
‚¥¬„™â ¡∫—μ‘¢Õß°“√‡∑à“°—π‡°’Ë¬«°—∫°“√∫«°·≈–°“√§Ÿ≥ ®–‰¥â ¡°“√ (3) ¡’§”μÕ∫‡¥’¬«°—∫ ¡°“√ (2)
π” ¡°“√ (3) ≈∫¥â«¬ ¡°“√ (1) ®–‰¥â
(3)�(1) ; 0 = 20 ´÷Ë߇ªìπ‡∑Á®
¥—ßπ—Èπ √–∫∫ ¡°“√π’ȉ¡à¡’§”μÕ∫ (‰¡à¡’®”π«π®√‘ß∑’Ë·∑π x ·≈–®”π«π®√‘ß∑’Ë·∑π y ·≈â«∑”„Àâ ¡°“√∑—Èß Õß ¡°“√π’ȇªìπ®√‘ß„π‡«≈“‡¥’¬«°—π)
μÕ∫ √–∫∫ ¡°“√π’ȉ¡à¡’§”μÕ∫
μ—«Õ¬à“ß∑’Ë 7 ®ßÀ“§à“ x ·≈– y ∑’Ë Õ¥§≈âÕß°—∫ ¡°“√∑—Èß Õß
3x�4y = 27
1.5x = 13.5�2y
«‘∏’∑” 3x�4y = 27 ..........(1)
1.5x = 13.5�2y ..........(2)
π” 2 §Ÿ≥∑—Èß Õߢâ“ߢÕß ¡°“√ (2) ®–‰¥â
3x = 27�4y
π” 4y ∫«°∑—Èß Õߢâ“ߢÕß ¡°“√ ®–‰¥â
3x�4y = 27 ..........(3)
‚¥¬„™â ¡∫—μ‘¢Õß°“√‡∑à“°—π‡°’Ë¬«°—∫°“√∫«°·≈–°“√§Ÿ≥ ®–‰¥â ¡°“√ (3) ¡’§”μÕ∫‡¥’¬«°—∫ ¡°“√ (2)
·μà ¡°“√ (3) ·≈– ¡°“√ (1) ‡ªìπ ¡°“√‡¥’¬«°—π
¥—ßπ—Èπ √–∫∫ ¡°“√π’È®÷ß “¡“√∂À“§”μÕ∫‰¥â
®“° ¡°“√ 3x�4y = 27
4y = 27�3x
y =
27 34
� x
π—Ëπ§◊Õ §”μÕ∫¢Õß√–∫∫ ¡°“√Õ¬Ÿà„π√Ÿª (x, y) =
xx, 27 3
4�⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
‡™àπ ‡¡◊ËÕ x = 1 ®–‰¥â y =
27 3 14
( )�
y = 6
Àπ૬°“√‡√’¬π√Ÿâ∑’Ë 3 √–∫∫ ¡°“√‡™‘߇ âπ Õßμ—«·ª√82
π—Ëπ§◊Õ (1, 6) ‡ªìπ§”μÕ∫Àπ÷ËߢÕß√–∫∫ ¡°“√
¥—ßπ—È𠧔μÕ∫¢Õß√–∫∫ ¡°“√¡’¡“°¡“¬‰¡à®”°—¥„π√Ÿª
xx, 27 3
4�⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
μÕ∫ §”μÕ∫¢Õß√–∫∫ ¡°“√¡’¡“°¡“¬‰¡à®”°—¥„π√Ÿª
xx, 27 3
4�⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
°‘®°√√¡μ√«® Õ∫§«“¡‡¢â“„® 3
√–∫∫ ¡°“√ ÕߢâÕμàÕ‰ªπ’È¢âÕ„¥¡’§”μÕ∫ ¢âÕ„¥‰¡à¡’§”μÕ∫ ¡’À≈—°„π°“√æ‘®“√≥“Õ¬à“߉√1. 3x�4y = 12 2. 5x�2y = 20
9x = 36�12y 4y�10x�20 = 0
·∫∫Ωñ°À—¥ 1(2)
1. ®ßÀ“§à“ x ·≈– y ∑’Ë Õ¥§≈âÕß°—∫ ¡°“√∑—Èß Õß„π·μà≈–¢âÕμàÕ‰ªπ’È
(1) 3x�2y = 16 (2) 3x�4y = �6
2x�3y = 2 x�3y = 2
(3) 4x�3y = 14 (4) 5x�2y = 31
3x�2y = 10 5x�2y = 19
(5) 3x�4y = 16 (6) 7x�12y = 50
3x�4y = 2 2x�3y = �2
(7) 2x�3y = �3.5 (8) 15x�10y = �3
5x�2y = �1.6 �12x�15y = 8
(9) 4x�2y = 0 (10) 3x�15y = 25
3x�y = 5 9x�10y = �2
(11) 2x�3y = �9.8 (12) 2x�10y = 13.2
5x�4y = �16.1 �3x�2y = �5.5
Àπ૬°“√‡√’¬π√Ÿâ∑’Ë 3 √–∫∫ ¡°“√‡™‘߇ âπ Õßμ—«·ª√ 83
2. ®ßÀ“§à“ s ·≈– t ∂â“
13
29
s t � = 6 ·≈–
16
59
s t � = 11
¢âÕ·π–π” ∑” ¡°“√„ÀâÕ¬Ÿà„π√Ÿª∑’˧ÿâπ‡§¬‚¥¬ ¡°“√∑’ËÀπ÷ËߧŸ≥¥â«¬ 9 ¡°“√∑’Ë ÕߧŸ≥
¥â«¬ 18
2. ‚®∑¬åªí≠À“
„π°“√·°â‚®∑¬åªí≠À“ ‡√“ “¡“√∂„™â§«“¡√Ÿâ‡√◊ËÕß°“√·°â√–∫∫ ¡°“√‡™‘߇ âπ‡¢â“¡“™à«¬„π°“√À“§”μÕ∫¢Õß‚®∑¬åªí≠À“®–∑”„Àâ·°âªí≠À“‰¥âßà“¬¢÷Èπ ¥—ßμ—«Õ¬à“ßμàÕ‰ªπ’È
μ—«Õ¬à“ß∑’Ë 1 ¡’ºŸâ‡¢â“™¡°“√·¢àߢ—πøÿμ∫Õ≈∑’Ë´◊ÈÕ∫—μ√ºà“πª√–μŸ®”π«π 6,910 §π ‡°Á∫‡ß‘π§à“ºà“πª√–μŸ Õß√“§“ §◊Õ 100 ∫“∑ ·≈– 50 ∫“∑ ª√“°Ø«à“‡°Á∫‡ß‘π‰¥â 495,500 ∫“∑ ¥—ßπ—Èπ ¢“¬
∫—μ√√“§“ 100 ∫“∑ ·≈– 50 ∫“∑ ‰ª‰¥âÕ¬à“ß≈–°’Ë„∫
«‘∏’∑” „À⢓¬∫—μ√„∫≈– 100 ∫“∑ ‰¥â x „∫ ·≈–¢“¬∫—μ√„∫≈– 50 ∫“∑ ‰¥â y „∫¡’ºŸâ‡¢â“™¡°“√·¢àߢ—πøÿμ∫Õ≈∑’ˇ ’¬‡ß‘π®”π«π 6,910 §π
®–‰¥â ¡°“√ x�y = 6,910 ..........(1)
®–¢“¬∫—μ√„∫≈– 100 ∫“∑ ‰¥â‡ß‘π 100x ∫“∑ ¢“¬∫—μ√„∫≈– 50 ∫“∑ ‰¥â‡ß‘π 50y ∫“∑¢“¬∫—μ√‰¥â‡ß‘π 495,500 ∫“∑
®–‰¥â ¡°“√ 100x�50y = 495,500 ..........(2)
¡°“√ (1) §Ÿ≥¥â«¬ 50 ®–‰¥â50x�50y = 345,500 ..........(3)
(2)�(3) ®–‰¥â 50x = 150,000
x = 3,000
·∑π§à“ x ¥â«¬ 3,000 „π (1) ®–‰¥â
3,000�y = 6,910
y = 6,910�3,000
y = 3,910
μ√«® Õ∫ (3,000�100)�(3,910�50) = 300,000�195,500 = 495,500 ‡ªìπ®√‘ß
μÕ∫ ¢“¬∫—μ√„∫≈– 100 ∫“∑ ‰¥â 3,000 „∫ ·≈–¢“¬∫—μ√„∫≈– 50 ∫“∑ ‰¥â 3,910 „∫
02.htm
Àπ૬°“√‡√’¬π√Ÿâ∑’Ë 3 √–∫∫ ¡°“√‡™‘߇ âπ Õßμ—«·ª√84
μ—«Õ¬à“ß∑’Ë 2 º≈∫«°¢Õß®”π«π Õß®”π«π‡∑à“°—∫ 200 ®”π«π¡“°¡’§à“¡“°°«à“®”π«ππâÕ¬Õ¬Ÿà10 ®”π«π¡“°¡’§à“‡∑à“‰√
«‘∏’∑” „Àâ x ·∑π®”π«π¡“°
„Àâ y ·∑π®”π«ππâÕ¬
®“°‚®∑¬å®–‰¥â ¡°“√ x�y = 200 ..........(1)
x�y = 10 ..........(2)
(1)�(2) ; 2y = 190
y = 95
·∑π y ¥â«¬ 95 „π (1) ®–‰¥â x�95 = 200
x = 105
μ√«® Õ∫ 105�95 = 200 ‡ªìπ®√‘ß
105�95 = 10 ‡ªìπ®√‘ß
μÕ∫ ®”π«π¡“°§◊Õ 105
μ—«Õ¬à“ß∑’Ë 3 ·μß‚¡Àπ÷Ëß≈Ÿ°°—∫ â¡‚ÕÀπ÷Ëß≈Ÿ°√“§“√«¡°—π 55 ∫“∑ ∂â“·μß‚¡ 5 ≈Ÿ° °—∫ â¡‚Õ 8
≈Ÿ° √“§“√«¡°—π 335 ∫“∑ ·μß‚¡√“§“≈Ÿ°≈–‡∑à“‰√
«‘∏’∑” „Àâ x ·∑π√“§“·μß‚¡Àπ÷Ëß≈Ÿ°
„Àâ y ·∑π√“§“ â¡‚ÕÀπ÷Ëß≈Ÿ°
®“°‚®∑¬å ®–‰¥â√–∫∫ ¡°“√¥—ßπ’È x�y = 55 ..........(1)
5x�8y = 335 ..........(2)
(1)�5 ; 5x�5y = 275 ..........(3)
(2)�(3) ; 3y = 60
y = 20
·∑π y ¥â«¬ 20 „π (1) ®–‰¥â x�20 = 55
x = 35
μ√«® Õ∫ 35�20 = 55 ‡ªìπ®√‘ß
5(35)�8(20) = 175�160 = 335 ‡ªìπ®√‘ß
μÕ∫ ·μß‚¡√“§“≈Ÿ°≈– 35 ∫“∑
Àπ૬°“√‡√’¬π√Ÿâ∑’Ë 3 √–∫∫ ¡°“√‡™‘߇ âπ Õßμ—«·ª√ 85
·∫∫Ωñ°À—¥ 2
1. ª√’™“¢“¬√∂¬πμå Õߧ—𠇪ìπ‡ß‘π 854,000 ∫“∑ ∂â“√∂¬πμ姗πÀπ÷Ëß·æß°«à“√∂¬πμåÕ’°§—πÀπ÷ËßÕ¬Ÿà 45,000 ∫“∑ ®ßÀ“√“§“√∂¬πμå·μà≈–§—π
2. ®ßÀ“®”π«π Õß®”π«π´÷Ëß¡’º≈∫«°‡ªìπ 54 ¡’º≈≈∫‡ªìπ 31
4
3. √–¬–∑“ß„π°“√‡¥‘π‡√◊Õ√–À«à“ß‚Œ‚π≈Ÿ≈Ÿ·≈–´“πø√“π´‘ ‚°Õ¬ŸàÀà“ß°—π 2,100 ‰¡≈å ∂Ⓡ√◊Õ≈”Àπ÷ËßÕÕ°®“°‚Œ‚π≈Ÿ≈Ÿ¥â«¬Õ—μ√“‡√Á«‡©≈’ˬ 18 ‰¡≈åμàÕ™—Ë«‚¡ß ‡√◊ÕÕ’°≈”Àπ÷ËßÕÕ°®“°´“πø√“π´‘ ‚°¥â«¬Õ—μ√“‡√Á«‡©≈’ˬ 24 ‰¡≈åμàÕ™—Ë«‚¡ß ‡√◊Õ∑—Èß Õß®–¡“æ∫°—π‡¡◊ËÕ‡√◊Õ·μà≈–≈”·≈àπ‰¥â√–¬–∑“߇∑à“‰√ ·≈–„™â‡«≈“„π°“√‡¥‘π∑“߇∑à“‰√®÷ß¡“æ∫°—π
4. ¡’ºŸâ‡¢â“™¡¥πμ√’°“√°ÿ»≈„π —ª¥“Àå∑’˺à“π¡“ 7,246 §π ‡°Á∫§à“‡¢â“™¡ Õß√“§“§◊Õ 300
∫“∑ ·≈– 200 ∫“∑ ª√“°Ø«à“‡°Á∫‡ß‘π‰¥â 1,869,200 ∫“∑ ¥—ßπ—Èπ ¢“¬∫—μ√√“§“ 300
∫“∑ ·≈– 200 ∫“∑ ‰ª‰¥âÕ¬à“ß≈–°’Ë„∫5. °√–· ≈¡æ—¥®“°‡¡◊Õß A ‰ª‡¡◊Õß B ¥â«¬§«“¡‡√Á« 60 °‘‚≈‡¡μ√μàÕ™—Ë«‚¡ß ∑”„Àâ
‡§√◊ËÕß∫‘π∫‘π®“°‡¡◊Õß A ‰ª‡¡◊Õß B „™â‡«≈“ 2 ™—Ë«‚¡ß ·≈–‡§√◊ËÕß∫‘π∫‘π®“°‡¡◊Õß B
‰ª‡¡◊Õß A „™â‡«≈“ 2 ™—Ë«‚¡ß 30 π“∑’ ®ßÀ“«à“„π¢≥–≈¡ ß∫‡§√◊ËÕß∫‘π®–∫‘π¥â«¬§«“¡‡√Á«°’Ë°‘‚≈‡¡μ√μàÕ™—Ë«‚¡ß ·≈–‡¡◊Õß A ·≈–‡¡◊Õß B Àà“ß°—π°’Ë°‘‚≈‡¡μ√
6. ·¡à§â“π”ÀÕ¬¢π“¥°≈“ß°‘‚≈°√—¡≈– 29 ∫“∑ ·≈–¢π“¥„À≠à°‘‚≈°√—¡≈– 36 ∫“∑ ¡“º ¡°—π‰¥âÀÕ¬ 100 °‘‚≈°√—¡ ¢“¬√“§“°‘‚≈°√—¡≈– 33 ∫“∑ ·¡à§â“®–μâÕß„™âÀÕ¬¢π“¥°≈“ß·≈–¢π“¥„À≠àÕ¬à“ß≈–‡∑à“‰√
7. „™â “√≈–≈“¬·Õ≈°ÕŒÕ≈å 40% º ¡°—∫ “√≈–≈“¬·Õ≈°ÕŒÕ≈å 90% ‰¥â “√≈–≈“¬ 50%®”π«π 50 ≈‘μ√ ¥—ßπ—ÈπμâÕß„™â “√≈–≈“¬·μà≈–ª√–‡¿∑Õ¬à“ß≈–‡∑à“‰√
8. ‡§√◊ËÕßæ‘¡æåß“π√ÿàπ‡°à“æ‘¡æåß“π‰¥âπ“∑’≈– 35 ·ºà𠇧√◊ËÕßæ‘¡æåß“π√ÿàπ„À¡àæ‘¡æåß“π‰¥âπ“∑’≈– 72 ·ºàπ ∂Ⓡ§√◊ËÕßæ‘¡æåß“π Õ߇§√◊ËÕßπ’ȇ√‘Ë¡μâπ∑”ß“πæ√âÕ¡°—π®π°√–∑—Ëßæ‘¡æåß“π√«¡°—π‰¥â 12,000 ·ºà𠇧√◊ËÕßæ‘¡æåß“π·μà≈–‡§√◊ËÕß®–æ‘¡æåß“π‰¥â‡§√◊ËÕß≈–°’Ë·ºàπ ·≈–„™â‡«≈“„π°“√∑”ß“π‡∑à“‰√
9. ‡√◊Õ≈”Àπ÷Ëß·≈àπ∑«π°√–· πÈ”√–¬–∑“ß 360 ‰¡≈å ‚¥¬„™â‡«≈“‡ªìπ 1.5 ‡∑à“¢Õ߇«≈“∑’Ë„™â·≈àπμ“¡°√–· πÈ” ∂â“Õ—μ√“‡√Á«¢Õ߇√◊Õ∑’Ë·≈àπ∑«π°√–· πÈ” ·≈–Õ—μ√“‡√Á«¢Õ߇√◊Õ∑’Ë·≈àπμ“¡°√–· πÈ”μà“ß°—π 6 °‘‚≈‡¡μ√μàÕ™—Ë«‚¡ß ®ßÀ“Õ—μ√“‡√Á«¢Õß°“√·≈àπ‡√◊Õ„ππÈ”π‘Ëß·≈–Õ—μ√“‡√Á«¢Õß°√–· πÈ”
