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Cap. XI

PROBABILIDADES

Ing° Oscar Cárdenas Riveros


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Probabilidades

11.1. INTRODUCIÓN− Tuvo origen en los juegos de azar en el siglo XVII . Incluyen acciones tales como girar la

dado, tirar una moneda, extraer una carta de una baraja, etc., en los cuales el éxitoincierto.

− En una serie prolongada de casos o eventos se puede predecir el resultado de la prueincertidumbre.

11.2. PROBABILIDAD CLÁSICA O APRIORÍSTICA

Por Ejemplo, supongamos que deseamos conocer la probabilidad de que al lanzar una moCARA; argumentaremos de la siguiente manera: desde que al lanzar una moneda sólo haque pueda caer, es decir CARA o SELLO y desde que la moneda está bien balanceada, podesalga CARA o SELLO mas o menos con igual frecuencia; por tanto, en una serie prolongada

podemos esperar que la MITAD de la veces salga CARA y en consecuencia la probablanzamiento salga CARA le damos el valor o probabilidad de ½.


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DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDADESSi un evento puede ocurrir de N formas mutuamente excluyentes e igualmente probables ycasos tienen una característica o atributo A, entonces la probabilidad de ocurrencia de A , ser

() La probabilidad está vinculada al número de casos posibles que pueden ser favorables y ddecir, que pueden haber:

→ → Por consiguiente, la probabilidad de no ocurrencia (o falla o fracaso) del suceso será:

()

()

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Ejemplo 1: Si lanzamos un dado corriente, hay 6 casos posibles, es decir, que c/u de losdel 1 al 6, pueden salir. Éstos 6 casos son mutuamente excluyentes desde quepueden salir simultáneamente en un solo lanzamiento; si el dado no está carga

casos son igualmente probables, es decir, que esperamos que cada lado aparcon igual frecuencia en un número prolongado de lanzamientos.

a) Supongamos que queremos conocer la probabilidad de que un lanzamiento del dado seaDe los 6 casos posibles ( 6), 3 tienen ése atributo, es decir, los lados numerados 2 –por consiguiente la probabilidad de que salga un número par será:

() 36 12 0.5b) La probabilidad de obtener un número mayor de 2 será:

( ) 46 23 0.667

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Ejemplo 2: Supongamos que se extrae al azar una carta de una baraja.Existe 52casos posibles ( 52) o total de cartas.

a) La probabilidad de que la carta extraída sea una espada, considerando que hay 13 espadas,

() 1352 14 0.25

b) La probabilidad de que sea un número entre 5 y 10. Considerando que:

6 ú 4 24

( ) 2452 613 0.461La aplicación de la definición clásica, no presenta ninguna dificultad en éstos casos simples; ésta aplicación es obvia, por lo que es necesario prestar atención a los términos mutuamenigualmente probables, que se emplea en la definición clásica.

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Ejemplo 3: Supongamos que deseamos conocer las probabilidades de que al lanzar unaseguidas, salgan 2 CARAS.

Para ello podríamos razonar de la siguiente manera: Hay 3 casos posibles para los 2 lanzamiCARAS (C,C), 2 SELLOS (S,S) y 1 CARA y 1SELLO (C,S).

Uno de éstos 3 casos tiene el atributo deseado; es decir 2 CARAS, y por consiguiente la probabil

Pero éste razonamiento es falso, por cuanto los 3 casos posibles indicados (CC, SS, CS) probables, ya que el tercer caso, una C y un S, pueden ocurrir de dos formas: CS o bien SC

existen 4 casos posibles y no 3; y la probabilidad de que salga las 2 CARAS será:

() 14 0.25

Y no 0.33. Éste resultado será el mismo si consideramos lanzar 2 monedas simultáneamente.

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Ejemplo 4: Supongamos que deseamos conocer la probabilidad de que al extraer una cartasea un AS o una ESPADA.

Al enumerar los casos con el atributo pedido podríamos contabilizar de que habiendo 13 Estendremos: 13 4 17 casos con el atributo; por tanto, la probabilidad será:

() 1752

Pero éste razonamiento es incorrecto, puesto que los 17 casos no son mutuamente excluyentede ESPADAS es a la vez AS y ESPADA y por consiguiente la probabilidad correcta será:

() 1652 413 0.307

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PROPIEDADES BÁSICAS

1. La probabilidad de un evento A es siempre un número comprendido entre 0 y 1, es decir

0 ≤ () ≤ 1La fracción

, es una fracción propia, desde que el número de casos probables N no

menor que el número de casos con el atributo deseado.

Si un evento ha de ocurrir con certeza, su probabilidad será UNO.

Por Ejemplo: La probabilidad de obtener un número menor de 7 al lanzar un dado.

Asimismo si un evento no ha de ocurrir de ninguna manera, su probabilidad será CERO.Tal es el caso de la probabilidad de obtener un 7 al lanzar un dado.

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2. Las probabilidades son siempre un número positivo, o dicho de otra manera, la ocurrencia de un evento A es igual o mayor que CERO.

() ≥ 03. La suma de todas las probabilidades posibles, dentro de un conjunto determinado, siem

() 1

EJEMPLOS DE PROBABILIDADES1. Caso de Evento AisladoCuál es la probabilidad de que una baraja se extraiga el 2 de espadas?La respuesta obviamente será:

() 152

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Este es caso de un evento aislado, sin ninguna vinculación con otro evento o suceso.

2. Caso de Eventos Independientes y Excluyentes entre sí Cuál es la probabilidad de extraer una DAMA o un REY en una baraja?Como hay 4 DAMAS, la probabilidad de extraer una DAMA será: La probabilidad de extraer una DAMA es excluyente de extraer un REY (no pueden ocuacontecimientos son independientes, es decir que un acontecimiento no tiene nada que luego la probabilidad será:

( ) () () 4

52 4

52 8

52 0.154

3. Caso de Eventos Independientes pero no excluyentesCuál es la probabilidad de extraer un AS o un CORAZÓN en una baraja?La probabilidad de extraer un AS es:

; la de extraer un CORAZÓN es:

; y la de

CORAZONES es: ; luego:

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( ) () () ( ) 452 1352

152

1652 0.307

Se trata de eventos independientes (un acontecimiento no tiene nada que ver con embargo pueden ocurrir juntos, es decir, no son excluyentes entre si.

REGLA: Caso de Eventos Independientes, si son excluyentes entre sí, sumar las probabil pero si adicionalmente existe eventos no Excluyentes, entonces a la suma de laaisladas, restarle la probabilidad del evento común (Probabilidad Compuesta).

4. Caso de Eventos Dependientes y No Influenciados

Si una urna contiene 3 bolas blancas (BB) y 4 bolas negras (BN).

Cuál es la probabilidad de que al extraer 2 bolas con reemplazo (la 1ra bola sacada, se reantes de extraer la 2da bola), la 1ra sea BB y la 2da sea BN?

Probabilidades


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La probabilidad de BB será: () , yLa probabilidad de BN será: () ; luego la probabilidad será:

(,) () . () 37 . 47 1249 0.245En éste caso se trata de eventos dependientes (tienen que aparecer juntos) y no influenciala aparición de uno no influencia en la probabilidad de aparición del otro.

5. Caso de Eventos Dependientes e Influenciados entre sí

Si una urna contiene 3 BB y 4 BN y se extraen 2 bolas a la vez (sin reemplazo), cuál es la pla 1ra sea BB y la 2da sea BN ?

La probabilidad de BB será: ; y la de BN será:

; luego:

(,) () . () 37 .46

1242 0.286

Probabilidades


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En éste caso cuando se trata de eventos dependientes (tienen que salir juntos) y son influen

aparición del primero influencia en la probabilidad de aparición del 2do

.

REGLA: Cuando se trata de Eventos Dependientes, entonces se multiplican las probabilidadeaislados.

EXPECTACIÓN O ESPERANZA MATEMÁTICA

1. Si un dado se lanza 6,000 veces. Cuál es el número esperado de veces que saldrá el núme

La probabilidad de que salga el número del lado 3 en un lanzamiento es: Luego, en 6,000 lanzamientos, el número esperado de veces que saldrá el lado 3 será:

() 6,000 . 16 1,000

Probabilidades


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2. Si un par de dados se lanzan 300 veces. Cuál es el número esperado de veces, que saldráo menos?

Casos Posibles: 6 . 6 36 (cada cara de un dado se combina con las 6 caras del otro daCasos Favorables: (1, 1) (1, 2) (1, 3) (2, 1) (2, 2) (3, 1), es decir: 6 Luego, la probabilidad de que ocurra el evento es:

() 636 16 0.667

Por tanto, en los 300 lanzamientos, el número esperado de veces que salga al número 4 o m

() 300 . 16 50 Éstos 2 ejemplos constituyen lo que se llama Expectación, Esperanza Matemática o simpley se define por:

()

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Donde: , es la suma de casos y p es la probabilidad del evento aislado.3. Una persona recibirá S/. 40.oo si obtiene 3 CARAS en un lanzamiento de 3 monedas.

Cuál es la expectación del jugador?

En un lanzamiento de 3 monedas pueden ocurrir los 8 siguientes casos probables:(C,C,C) (C,C,S) (C,S,C) (S,C,C) (C,S,S) (S,C,S) (S,S,C) (S,S,S) y de éstos un solo cas

pedido, es decir, (C,C,C); luego su probabilidad será: y la expectación del jugador será:

() 40 .18 5

Ésta expectación del jugador de S/. 5.oo, nos indica que ésa es la cantidad justa a pagar pcondición de recibir los S/. 40.oo si acierta.

Si el jugador pagara más de S/. 5.oo por el juego (es decir un Np mayor), entonces es sedinero si siguiera jugando en ésas condiciones, caso contrario (Np menor), entonces ganaría

Probabilidades


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ProbabilidadesEjemplo de Eventos Dependientes e Influenciados entre sí, a través del Diagrama de Árbol .

Si una urna contiene 5 bolas rojas y 7 bolas3 bolas a la vez, sin reemplazo.

¿Cuál es la probabilidad de todas las alternaProbabilidad que salga una bola roja: Probabilidad de que salga otra bola roja:

(5/12) (4/11) (3/10) 0

(5/12) (4/11) (7/10) 0

(5/12) (7/11) (4/10) 0

(5/12) (7/11) (6/10) 0(7/12) (5/11) (4/10) 0

(7/12) (5/11) (6/10) 0

(7/12) (6/11) (5/10) 0

(7/12) (6/11) (5/10) 0

1


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ProbabilidadesSi una urna contiene 4 bolas rojas y 3 bolas verdes, y se extraen 3 bolas a la vez, sin reemplazo.¿Cuál es la probabilidad de todas las alternativas? (Probabilidad de que la 1ra sea R , la 2da sea R y la

Diagrama de Árbol

(4/7) (3/6) (2/5) 0.1

(4/7) (3/6) (3/5) 0.1

(4/7) (3/6) (3/5) 0.1

(4/7) (3/6) (2/5) 0.1

(3/7) (4/6) (3/5) 0.1

(3/7) (4/6) (2/5) 0.1

(3/7) (2/6) (4/5) 0.1

(3/7) (2/6) (1/5) 0.0

1.


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11.3. PROBABILIDAD COMO FRECUENCIAS RELATIVAS O A POSTERIORI

− Una moneda que se supone está bien balanceada y simétrica, se ha lanzado 100 vece

obtenidos se encuentran registrados en el cuadro adjunto ( Cuadro 1 ).− El aspecto importante por resaltar, es cómo la frecuencia relativa de CARAS tiende

completamente cercana a 0.50 ( frecuencia relativa esperada ). Esto no es algo inesphemos supuesto que la moneda era simétrica y bien balanceada.

Probabilidades

CASOS f f.r.e. f.r.e de una

moneda ideal

CARAS 52 0.52 0.50

SELLOS 48 0.48 0.50

TOTAL 100 1.00 1.00

Cuadro N° 1


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− Otro ejemplo se tendría suponiendo que se tiene un dado simétrico y balanceado y lo lanlos resultados obtenidos los registramos en el Cuadro N° 2

−

Nótese cuán cercana es la frecuencia relativa observada de cada lado con la frecuencia r (éstos resultados tampoco son algo inesperados, desde que se supuso que el dado era balancespera por consiguiente que cada lado pueda ocurrir con igual frecuencia en una serie prolongada d

Probabilidades

LADOS f f.r.e. f.r.e de un

dado ideal

1 51 0.17 0.167

2 54 0.18 0.167

3 48 0.16 0.167

4 51 0.17 0.167

5 49 0.163 0.167

6 47 0.157 0.167

TOTAL 300 1.000 1.000

Cuadro N° 2


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− Estos dos ejemplos nos sugieren la idea de que pudiéramos estar inclinados a usar la Fredel Cuadro 1, como una aproximación de la probabilidad de sacar CARA en una moneda usar la frecuencia relativa del Cuadro 2, como una aproximación para las probabilidades

cada una de las caras o lados del dado.

− De hecho parece razonable suponer, para el experimento de la moneda, que existe llamaremos el cual es la probabilidad de ocurrencia de CARA. Asimismo, en el experimela probabilidad de sacar, por ejemplo un 2, puede ser aproximada usando la definición c

usando la frecuencia relativa del Cuadro 2, es decir, 0.18.− Lo importante por anunciar es que hay un número , el cual se define como la probabi

CARA en la moneda o de obtener un número 2 en el dado; sea que se use la definicfrecuencia relativa para la probabilidad, parece que es poco importante en los ejemplocitados.

Probabilidades


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− Supongamos ahora, que la moneda no esté balanceada o que el dado está cargado a unooriginaría de que los lados no son igualmente probables que sucedan. En éste caso aún ser postulado como la probabilidad de que ocurra un determinado lado de la moneda o

definición clásica no nos ayudará en nada a encontrar el valor de y entonces únicamhecho de poder usar la aproximación de la frecuencia relativa.− Lo que debe atraer nuestra atención en que podemos concebir una serie de observacion

bajo condiciones bastante uniformes, luego se puede postular un número como la probaevento A suceda y se pueda aproximar por la frecuencia relativa del evento A en una sexperimentos.

11.3.1. PROBABILIDADES COMO DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS RELATIVAS DIS

Supongamos el siguiente Cuadro N° 3, de Distribución de Frecuencias que repre800 alumnos de la UPT.

Probabilidades


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Probabilidades

1.595 1.604 1.60 8 0.01 0.01

1.605 1.614 1.61 16 0.02 0.03

1.615 1.624 1.62 32 0.04 0.07

1.625 1.634 1.63 48 0.06 0.13

1.635 1.644 1.64 72 0.09 0.22

1.645 1.654 1.65 80 0.10 0.32

1.655 1.664 1.66 88 0.11 0.43

1.665 1.674 1.67 96 0.12 0.55

1.675 1.684 1.68 88 0.11 0.66

1.685 1.694 1.69 72 0.09 0.75

1.695 1.704 1.70 64 0.08 0.83

1.705 1.714 1.71 48 0.06 0.89

1.715 1.724 1.72 40 0.05 0.94

1.725 1.734 1.73 32 0.04 0.98

1.735 1.744 1.74 16 0.02 1.00

800 1.00

CLASE

Cuadro N° 3

. . .


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En éste cuadro encontramos las frecuencias relativa (.) y las frecuencias rela . . . Con qué frecuencia aparecen cada uno de los valores de la variable distribución, representados por las frecuencias ().Ésta distribución univariable está expresada en términos de una variable, tal y confodirectamente por observación y podemos convertirla en .La suma total de éstas frecuencias relativas es UNO. Asimismo podemos consideque nos va a dar los valores correspondientes a la

A continuación se muestra el gráfico del Cuadro de Distribución de Frecuencias Rela ser el o comparando ambos (el Cuadro y el Histograma de Frecuencias Relativas) , podemsiguiente:

Probabilidades


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Probabilidades

b bilid d


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1° El área de toda la distribución, indicada en el Histograma es igual a UNconcepto de probabilidades, podemos decir que, la suma de las probabilidadistribución es UNO.

1

2° Cuál es la probabilidad de escoger un valor igual a 1.66 o ¿Cuál es la probadentro de éste conjunto, a un alumno que mide 1.66 metros?

Observando el Cuadro y en la columna . , vemos que para 1.66 le correspo

1.66 88800 0.11Lo que equivale a razonar de la siguiente manera:

Casos con el atributo pedido : 88 Casos probables o posibles : 800

Probabilidades

P b bilid d


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Por consiguiente:Si se desea visualizar éste valor en forma gráfica, recurrimos al Histogracorresponde a la parte de color rojo que representa el 11% del área total.

3° Cuál es la probabilidad de obtener un valor comprendido entre: 1.60 y 1.65

1.60 ≤ ≤ 1.65 =.

. 0.32

Es decir, es igual a la suma de probabilidades de: 1.60, 1.61, 1.62, 1.63, 1.64, 1

Que es: 0.01 + 0.02 + 0.04 + 0.06 + 0.09 + 0.1 = 0.32

Éste resultado también se puede obtener directamente de la columna . . de

Probabilidades

P b bilid d


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11.3.2. PROBABILIDADES DE DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS RELATIVAS CONT

La aplicación que hemos visto anteriormente, nos lleva a determinar las Probabilidade distribuciones que toman la forma continua.

El principio de distribuciones de frecuencias relativas y su aplicación para encontraen una función continua, será igual que para el caso discreto que hemosconsecuencia la relación que existe entre una distribución de frecuencias relativasde hacer afirmaciones de los tramos observados, puede ser ampliada al caso contin

Cuando tratamos el caso discreto vimos la distribución univariable (una sola variab

correspondientes frecuencias y al graficar el Histograma de Frecuencias Relativasde los valores relativos era UNO.

Si ahora consideramos una función continua, el área comprendida entre la curvabscisas, será también igual a UNO y contendrá todos los posibles casos de la varia

Probabilidades

P b bilid d


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En el caso de variables discretas, vimos que si deseamos conocer la probabilidad y , simplemente se suman las frecuencias relativas o probabilidades, es deci

≤ ≤ =

= .

Pero si consideramos una función con1.70 metros, representada en la figconocer la probabilidad de obtener un

entre y , tenemos que introducirse comporte en forma igual que la sumdiscreto; y éste concepto lo tomamos dcuyo comportamiento puede interpreigual que interpretamos la sumatoria.

Probabilidades

P b bilid d


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En éste caso, como la parte superior del área no es recta (caso del histogramapodemos utilizar el criterio geométrico y usar la Sumatoria, sino que recurrimoIntegral.

La Integral se interpreta como una operación que nos indica sumar entre 2 extrementre y .Si consideramos que una función continua representada por: (), es la quCurva indicada en el gráfico y queremos conocer la probabilidad de obtener un vallo expresaremos de la siguiente forma:

≤ ≤ () Ésta es una operación inversa a la derivada. Pero no nos vamos a detener a ecalcula la Integral, sino que nos interesa saber únicamente porqué se emplea la Inte

Probabilidades

P b bilid d


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A fin de evitar el empleo de Integrales se han establecido Tablas que facilitan el cáreas entre 2 valores dados, conforme se explicará posteriormente al tratar de Curva Normal.

Para el caso continuo también el área encerrada dentro de la curva vale UNO y caso de que la suma de las probabilidades es UNO, lo representamos:

−∞

+∞ 1

Los límites o extremos son indicados por infinito porque en éste caso la función con

curva es asintótica respecto al eje de las X, es decir, que tocará el eje de las X en el

En el caso continuo por ejemplo, no podemos hablar de la probabilidad de que sporque 1.75 m. o cualquier otro valor representa un punto y los puntos no dan o tiecaso continuo, las preguntas deben referirse a tramos, por ejemplo: Cuál es la salga un valor entre 1.66 y 1.73 metros, o cualquier otro tramo, porque éstos tienen

Probabilidades

Probabilidades


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11.4. PROBABILIDADES CONJUNTAS O COMPUESTAS – MARGINALES Y CONTEOREMA DE ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN – INDEPENDENCIA ESTADÍSTICA

Vamos a establecer un caso concreto que es la extensión del caso de Distribuciones de FrUnivariable; y ésta extensión se refiere a una Distribución Bivariable (de 2 variables); para lo cuna Fábrica cualquiera que tiene 1,000 trabajadores en el que se ha hecho una clasificación a dos aspectos:

− Tipo de salario que ganan (varia− Categoría del trabajo que hacen

Ésta clasificación se muestra envariable X se distribuye en tramoingresos o salarios de las personaCuantitativa porque está expresadcambio la variable Z indica el (empleados u obreros) y es una varia

Probabilidades

EMPLEADOS OBREROS TOTAL

101 300 180 420 600

301 500 90 210 300

501 700 30 70 100

300 700 1,000

Cuadro N° 4

1 2 3

1 2

Probabilidades


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Haciendo referencia al Cuadro 4 aFrecuencias Relativas, tal como Cuadro 5 , para lo cual se divide cnúmero de observaciones ent

observaciones que es 1,000.Para facilitar la explicación desig , a las clases correspondieny por: , a los tipos o caempleos.

A continuación algunas definiciones teniendo en cuenta lo expuesto, respecto a ProFrecuencias Relativas.

11.4.1. PROBABILIDADES CONJUNTAS O COMPUESTAS

Llamadas también Probabilidad de Empalme; están constituidas por la probabilidadevento que a la vez pertenezca a dos categorías diferentes; en éste caso a laseleccionar una persona al azar de acuerdo a su ingreso (X) y a su categoría de em

Probabilidades

EMPLEADOS OBREROS TOTAL

101 300 0.18 0.42 0.60

301 500 0.09 0.21 0.30

501 700 0.03 0.07 0.10

0.30 0.70 1.00

Cuadro N° 5

1 2 3

1 2

Probabilidades


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Esta probabilidad se refiere a un atributo de 2 categorías de una persona. cualquiera de los ítems está referido a las 2 variables (X y Z).

Por ejemplo, si se desea conocer, cuál es la probabilidad de seleccionar un empleun salario entre 301 – 500 , podemos observar en el Cuadro 5 y a doble entvalor 0.09, luego podemos escribir:

0.09 que equivale a ,Asimismo, la probabilidad de seleccionar un obrero que gane entre 501 – 700 e

0.07 que equivale a ,En resumen, un evento Compuesto es el que está formado por 2 o más eventos S

Probabilidades

Probabilidades


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11.4.2. PROBABILIDADES MARGINALES

En el Cuadro 5 los totales que se obtiecolumnas (verticales) y las filas (horizontales

forman las Distribuciones Marginales.

Supongamos que aplicamos la suma en eCuadro 6, es decir, que sumamos los valorepara cada una de las clases correspondientla variable ; tendremos de ésta formUnivariable en , quedándonos lo qDistribución Marginal de .Entonces la Marginalidad de significa qlos valores de la variable y quedaráUnivariable en .

Probabilidades

101 300 0.60

301 500 0.30

501 700 0.10

1.00

CLASES

Cuadro N° 6

1 2 3

()

Probabilidades


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Análogamente, si aplicamos la suma en eCuadro 7 , es decir, que sumamos los valoreuna de las categorías de la variable Distribución Univariable en

, quedánd

denomina Distribución Marginal en .Entonces la Marginalidad de significa qulos valores de la variable y quedará Univariable .

Conviene anotar que el término Marginal, significa Distribución Univariable y que se característica , o bien, que se ha ignorado una característica.

Es preciso tener presente que al hablar de Marginalidad, previamente tendremos que haceDistribución Conjunta, Compuesta o de Empalme.

Aplicando la noción de Distribución de Frecuencias Relativas al de Probabilidades, podesiguiente, respecto a Distribuciones Marginales:

Probabilidades

0.30

0.70

1.00

CLASES

EMPLEADOS OBREROS

Cuadro N° 7

12

( )

Probabilidades


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A. ¿Cuál es la probabilidad de que una observación sea Empleado y nada más?

De acuerdo al Cuadro 7 y llamando () a la probabilidad, tendremos:

0.30B. La probabilidad de escoger una persona que gane un salario entre 501 –

Cuadro 6 será:

0.10

11.4.3. PROBABILIDADES CONDICIONALES

En una distribución conjunta, se denomina Distribución Condicional, aquella en quela variable X se encuentra la frecuencia relativa que se da para un subconjunto de cada valor de la variable se encuentra o se halla la frecuencia relativa que se da pde .

Probabilidades

Probabilidades


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Dicho en otras palabras, dentro depor la distribución de frecuencias resubconjunto, digamos la columna

Obreros ().Luego, respecto a obreros ()interesa cómo se distribuye la variadistribución marginal, sino la dis( ) obreros.

Luego se puede establecer el Cuadro 8 , que es el Cuadro de Distribución de Frecuenpara lo cual calculamos éstas Frecuencias Relativas Condicionales, dividiendo las Frecentre las Frecuencias Marginales, es decir:

/

Probabilidades

101 300 0.42 0.7 0.6

301 500 0.21 0.7 0.3

501 700 0.07 0.7 0.1

0.70 1.00

Cuadro N° 8

CLASES ()

1 2

3

/

Probabilidades


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Ésta suma necesariamente nos dará UNO, es decir, que tenemos una nueva distribdel total (1,000), sino del total parcial (700) que representa a Obreros.

Análogamente, podemos tomar para el caso de la Distribución Condicional de clases que dan para la variable ; digamos por ejemplo, la clase 301 – 500 , que coLuego podemos establecer el Cuadro 10 , que es el Cuadro de DistribucióCondicionales, para lo cual calculamos éstas frecuencias relativas condicionales, em

Probabilidades

101 300 0.60 0.60 0.6

301 500 0.30 0.30 0.3

501 700 0.10 0.10 0.1

1.00 1.00 1.00

Cuadro N° 9

CLASES

1

2 3

/ /

Probabilidades


39/41

/

Probabilidades

0.09 0.3 0.30

0.21 0.3 0.70

0.30 1.00

Cuadro N° 10

OBREROS

EMPLEADOS

()

12

/

0.30 0.30 0.30 0.30

0.70 0.70 0.70 0.70

1.00 1.00 1.00 1.00

EMPLEADOS

OBREROS

Cuadro N° 11

12

/ / /

Probabilidades


40/41

Ésta suma nos dará UNO y tenemos una nueva distribución no ya a partir del total genparcial que representa los salarios (301 – 500), es decir, .Extendiendo éste caso a las otras categorías de salarios tendremos el Cuadro 11.

Aplicando el concepto de Probabilidades como Frecuencias Relativas, podremos estarespecto a Probabilidades Condicionales.

1° ¿Cuál es la probabilidad de que dado que una persona es un obrero éste ga501 – 700 .Tenemos el caso de que ya conocemos que la persona es un obrero

y lo q

probabilidad de que gane un salario 501 – 700 .La Probabilidad Condicional se representa por / que se lee: Probab

persona seleccionada pertenezca a dado que pertenece a .

Probabilidades

Probabilidades


41/41

Entonces:

/

0.07

0.70 0.10

Éste mismo resultado se obtiene si aplicamos el Cuadro 8 y Cuadro 9.

2° ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un empleado dado que la persona gan500 .

/ 0.090.30 0.30Éste mismo resultado se obtiene si usamos el Cuadro 10 y Cuadro 11.

Probabilidades

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