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第 03 章 基本統計原理

品質管理六標準差式

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3.1 、引言

統計學係應用機率的原理，以收集、分析及解釋資料的一門科學。不熟悉統計學，可利用本章自習補強。

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3.1.1 機率與事件由基本元素樣本組成樣本空間由基本元素樣本組成樣本空間事件Ａ之元素數目為ｎ，發生的機率 f(A)

式中 0≦f(A) 1≦ 。一批產品 1,000 件中含有不良品 10 件，該批產品之不良品的發生機率是f(d) = 10/1000 = 1% 。

N

nAf

4

機率加法 設Ａ和Ｂ為互斥事件互斥事件，則發生「 A 或 B 」事件的機率等於個別事件機率之和。

式中Ａ和Ｂ為互斥事件，表示Ａ事件和Ｂ事件不可能同時發生。

BfAfBAf

機率加法

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機率乘法 設Ａ和Ｂ為獨立事件獨立事件，則發生「 A 且 B 」事件的機率等於個別事件機率之乘積 。

式中Ａ和Ｂ為獨立獨立事件，表示Ａ事件和Ｂ事件互不相干。

f(A∩ B)＝f(A)×f(B)

機率乘法

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聯合機率 設Ａ和Ｂ為任意事件任意事件，則發生「 A 或 B 」個別事件機率之和減去乘積。

製程發生過短或過長的機率各為 3% 和 5% 該產品不合格的機率為

P(A∪ B)＝f(A)＋f(B)－f(A∩ B)

P(A∪ B) = 8%＋3%－8%×3% = 10.76%

聯合機率

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條件機率 設Ａ和Ｂ為任意事件任意事件，則已知Ａ而發生Ｂ之條件條件事件事件「 B|A 」機率

P(B|A)＝P(A∩ B)/P(A)

條件機率

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分割機率設 B1,B2,B3,…,Bk等全為互斥事件，而且它們的聯集即為宇集。則任意事件Ａ的機率會等於它與各互斥事件的個別交集之機率的總和。

P(A)＝iP(A∩ Bi)

分割機率

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範例 3.1

10

範例 3.1 (2)

¨t²Î¹BÂà¾÷²v

11

排列排列和組合組合ccaatsts 一字的排列共一字的排列共有有 {{catscats, , ctasctas, , ctsctsaa, , ⋯, , ⋯ stacstac}} 等廿等廿四種四種 。ccaatsts 一字含一字含 caca 的的組合共有組合共有 {{catscats, , tctcasas, , stcastca, , castcast, , scscatat,, tsca tsca}} 等六種等六種 。

3.1.2 排列與組合

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二項係數二項係數 當隨機實驗當隨機實驗 nn 次則正面出現次則正面出現 xx 次之組合數目為次之組合數目為

該組合函數值是謂二項係數。拋擲錢幣五次樣本該組合函數值是謂二項係數。拋擲錢幣五次樣本空間的元素數目為空間的元素數目為 25 = 3225 = 32 ，而出現兩次正面事，而出現兩次正面事件之組合數目為 件之組合數目為 5!/3!2! = 105!/3!2! = 10 次。次。

nxxnx

n

x

n

0,

!!

!

二項係數二項係數

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多項係數多項係數 某項實驗有某項實驗有 KK 種可能結果，隨機ｎ次實驗後這種可能結果，隨機ｎ次實驗後這ｋ種結果分別出現 ｋ種結果分別出現 XX11, X, X22 , …, X , …, Xkk 次，組合之次，組合之樣本點數為樣本點數為

該組合函數值是謂多項係數。該組合函數值是謂多項係數。

nxnxxxx

nxxx

n K

iii

kk

12121

0!!!

!,...,

且，

FACT 群體數的階乘數目PERMUT 群體數中取樣數的排列數目COMBIN 群體數中取樣數的組合數目

微軟 Excel 函數： FACT 、 PERMUT 、 COMBIN 。

多項係數多項係數

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3.2 、頻次和分配

將資料分門別類整理其發生的頻次，便利掌握和利用次數分配的資訊。將教材「蓋」字，就「字」、「詞性」、「例句」和「字義」等四欄建立多筆資料錄，成為乙部小型資料庫。

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範題資料庫

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利用 Excel 樞紐分析表，彙整「詞性彙要表」。

範題彙要表

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3.2.1 計數數目

計數純數字、文數 ( 文字或數字 ) 、或空格的格數。

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範例 3.2

¦rµü¸ê®Æ®w

19

3.2.2 項別頻次 計數出類別在資料庫中出現的數目，就是所謂的項別頻次項別頻次。使用各個項目頻次，可做成直條圖直條圖。就數目由大到小排序項目，可做成柏拉圖柏拉圖。就項目頻次或百分機率，可做成圓形圖圓形圖。

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範例 3.3

«È¶D¬f©Ô¹Ï

21

範例 3.4

¤ä¥X¶ê§Î¹Ï

22

範例 3.5

¦Û°Ê¦¡¬f©Ô¹Ï

23

¶g´Á¼Æ¾Ú

週期數據

24

3.2.3 數軸序數 辨認數群的某一數值在數軸上的大小或前後順序譬如，某人性向測驗分數在團體中的百分排名。

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範例 3.6

¦rµü§Ç¼Æ

u RANK(H7, $H$6:$K$12,0)4

v RANK( H7, $H$6:$K$12,1)7

w PERCENTRANK($H$6:$K$12,H7)0.67

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3.2.4 頻次分配 相對頻次相對頻次是各組頻次佔總頻次的比例。 累計相對頻次累計相對頻次是各組相對頻次的逐組累計。

u 「母數」：母數母數是從數據群計算而得的代表性敘述數值。母數通常使用希臘字母，如 、、、 等等。v 「統計量」：統計量統計量是從樣本組計算而得的代表性敘性數值。統計量通常使用西文字母，如 me 、mo 、 Xbar 、 s、 p、 r

。

27

範例 3.7

28

範例 3.7 (2)

¤Ó·¥±j¨ ̄ Z

29

範例 3.8

30

數據表範例 3.8 (2)

31

範例 3.8 (3)

¥x°Ó¤j³°§ë¸ê

32

Excel 的 FREQUENCY 函數

33

3.2.5 頻次多邊 擷取直方圖的輪廓來做成頻次多邊圖頻次多邊圖，這是一種特殊的折線圖折線圖。

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3.3 、頻次和分配 計數型的機率分配被稱為機率質量函數機率質量函數 。

計量型機率分配為機率密度函數機率密度函數。

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範例 3.9

¾÷²v½è¶q¨ç¼Æ

36

範例 3.10

¾÷²v±K«×¨ç¼Æ

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3.4 、常用機率分配

計數型超幾何分配、二項分配和卜氏分配等 。計量型常態分配和指數分配等 。

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出貨批Ｎ件產品，其中有Ｄ件不良品，其餘Ｎ－Ｄ件為良品；現從該批產品隨機抽取ｎ件產品為樣本（ｎ≦Ｎ），假設其中含有ｘ件不良品。

3.4.1 超幾何分配

39

超幾何分配期望值

40

範例 3.11

¶W´X¦ó¤À°t

41

Ｘ代表ｎ次試驗中的「成功」次數，且每次試驗的成功機率為ｐ。

3.4.2 二項分配

42

二項分配期望值

43

範例 3.12

44

範例 3.13

45

範例 3.14

¤G¶µ¤À°t

46

3.4.3 卜氏分配尖峰時段某加油站的來客人數八、九月間太平洋生成的颱風數目每生產一米鋼捲發生的砂眼數目保固年限內產品的回修台數每百名 SARS感染人的死亡人數等等。

47

卜氏分配期望值

0

0.1

0.2

0.3

p(k)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

k

= 2.5

48

範例 3.15

49

範例 3.16

¤R¤ó¤À°t

50

3.4.4 指數分配 指數分配是前後兩事件發生的時間間隔，平均數和標準差正好都等於 1/λ 。

若 F(Ｔ ) 是指數分配的左尾累積機率，則可靠度正好是

00, tetf t 和

TeTFTtPTR 1

51

指數分配期望值指數密度分配

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10

52

範例 3.17

53

範例 3.18

54

範例 3.19

«ü¼Æ¤À°t

55

3.4.5 常態分配 對量測誤差的研究，當時發現誤差型態大多是對稱的鐘型。

56

常態分配期望值

常態分配圖

57

常態分配常態標準化

Y

Z ZY

±`ºA¾÷²v¹Ï

58

範例 3.20

59

範例 3.21

60

範例 3.22

±`ºA¤À°t

61

3.4.6 分配應用要領超幾何分配、二項分配、卜氏分配及常態分配間之關係及其應用替代性如下

62

3.5 、抽樣分配

自群體抽取一組隨機樣本，統計量之分配為抽樣分配 。品常用的統計量計有：平均數、中位數、標準差和全距數。

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n

iiXn

X1

1

是偶數若

是奇數若

n

n

,2/

,

122

2

1

nn

n

XX

X

m

1/)( 2

1

nXXsn

ii

平均數

中位數

標準差

全距數：最大和最小間的全幅

樣本統計量

64

3.5.1 樣本平均數之分配

nX

X

21,0~/

NnX

n

XZ

中央極限定理

只要樣數 n 夠大，標準化 ( 減 μ 除以標準誤 ) 後之變數會傾向於順從標準常態分配。

65

3.5.2 樣本中位數之分配 m

n

mm

3

為偶數時當

為奇數時當

nn

nn

m

,214

61

,24

41

3

66

3.5.3 樣本標準差之分配 4cs

5cs

2/1

2/

1

24

n

n

nc

245 1 cc

67

3.5.4 樣本全距數之分配 2dR 3dR

dxxxd nn112

2

23 11 ddvduuvvudu

nnn

68

3.5.5 樣本統計量之母數為了便於應用，茲將統計量平均數、中位數ｍ、標準差ｓ和全距數Ｒ等分配之母數詳列成表。

69

範例 3.23

70

範例 3.24

71

範例 3.25

72

範例 3.26

©â¼Ë¤À°t

73

3.6 、利用 Excel查算統計量 各分配相關的統計函數或公式詳列成表。 以 RAND( ) 來給予反函數 P 值，可以製造該機率分配的隨機亂數。

74

範例 3.27

75

範例 3.27 (2)

±`ºA²Ú³] p

76

3.7 、常態機率紙分析

在 X-F(Ｘ ) 的圖形中，常態累計機率是單調遞增的，以平均數為對稱中心而且在兩尾比較平緩。

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{Ｘ i,F(Ｘ i)} 累計機率圖

常態累計機率圖 (2)

N Xi X(i) N F(X(i))

1 103 65 1 0.012 78 67 2 0.033 112 69 3 0.054 135 71 4 0.075 113 73 5 0.096 95 78 6 0.117 69 79 7 0.138 79 81 8 0.159 119 81 #N/A #N/A10 109 82 10 0.1911 132 83 11 0.2112 107 84 12 0.2313 97 85 13 0.2514 109 88 14 0.2715 88 88 #N/A #N/A16 109 90 16 0.3117 96 91 17 0.3318 81 92 18 0.3519 106 94 19 0.3720 100 95 20 0.3921 112 96 21 0.4122 98 96 #N/A #N/A23 91 97 23 0.4524 118 98 24 0.4725 118 100 25 0.4926 119 101 26 0.5127 101 101 #N/A #N/A28 111 101 #N/A #N/A29 81 101 #N/A #N/A30 92 103 30 0.5931 67 106 31 0.6132 101 106 #N/A #N/A33 109 107 33 0.6534 94 107 #N/A #N/A35 107 109 35 0.6936 124 109 #N/A #N/A37 101 109 #N/A #N/A38 65 109 #N/A #N/A39 106 110 39 0.7740 83 111 40 0.7941 85 112 41 0.8142 88 112 #N/A #N/A43 101 113 43 0.8544 84 118 44 0.8745 82 118 #N/A #N/A46 96 119 46 0.9147 73 119 #N/A #N/A48 71 124 48 0.9549 110 132 49 0.9750 90 135 50 0.99

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

60 80 100 120 140

78

XZ

~1~

XZ 常態機率圖 (3)

79

常態機率紙底稿 (4)

0.30.2

0.999 0.999

0.99 0.99

0.95 0.95

0.9 0.9

0.80.8

0.7 0.7

0.6 0.60.5 0.5

0.40.40.30.2

0.10.1

0.05 0.05

0.01 0.01

0.001 0.001

80

u 計算數據統計量

常態機率紙範題

DataBase Mean 99.55StDev 14.60

81

v 常態機率紙製作

常態機率紙範題 (2)

82

w 累計機率及Ｚ值計算

常態機率紙範題 (3)

將數據範圍擴大為 [Xmi

n- 全距 /2, Xmax+ 全距 /2] ，再區分 50 等份設定組界，使用函數 FREQUE

NCY(DataBase, 組界 ) 計算 51 組的數據頻次，然後計算各組的累計機率 F( Ｘ ) ，使用函數 N

ORMSINV(F( Ｘ )) 計算累計機率 F( Ｘ ) 所對應的Ｚ值。

83

常態機率圖點

常態機率紙範題 (4)

取數據各組中點為橫軸和各組之對應Ｚ值為縱軸，利用表 3-26 圖點( 少於 51) 數對來做成常態機率散佈圖。就圖點是否接近一條直線，就概略可以判定樣本數據是否來自常態群體。

0.30.2

0.999 0.999

0.99 0.99

0.95 0.95

0.9 0.9

0.80.8

0.7 0.7

0.6 0.60.5 0.5

0.40.40.30.2

0.10.1

0.05 0.05

0.01 0.01

0.001 0.001

NominalLSL USL

40 60 80 100 120 140 160

84

加繪垂直線條

加繪迴歸直線和計算統計量

常態機率紙範題 (5)

±`ºA¾÷²v¯È

0.999

0.99

0.950.9

0.80.70.60.50.40.30.2

0.1

0.05

0.01

0.001

NominalLSL USL

85

小量實驗優劣比較

A ~ D 各 項 實 驗 之 常 態 圖 比 較

80.7 85.7 90.7 95.7 100.7 105.7 110.7 115.7

A

B

C

D

E

F

規格下限

設計值

規格上限

99.9

(%)

99.99

99.5

99.0

95.0

90.0

80.0

70.0

60.0

50.0

40.0

30.0

20.0

10.0

5.0

1.0

0.5

0.1

0.01

2.0

常態機率紙範題 (6)