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19-set-06 CNMAC – Encontro com o mundo não euclidiano 1
ENCONTRO COM O MUNDO
NÃO EUCLIDIANO
Sergio Alves – IME USP Luiz Carlos dos Santos Filho – Licenciado IME
XXIX CNMACCongresso Nacional de Matemática
Aplicada e Computacional
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Objetivos
Apresentar um Modelo de Geometria Hiperbólica de forma acessível.
Resgatar a Geometria Euclidiana
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Agenda
Geometria Hiperbólica
Apresentando o Modelo do Disco de Poincaré Pré-requisitos
Construção de Retas
Construção da perpendicular
Construção da Mediatriz
Comparando construções na Geometria Hiperbólica e Euclidiana (Parabólica) Aplicações
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Geometria Hiperbólica
Hipérbole: do gr. hyper, em posição superior.
Parábola: do gr.par(a), ao lado de.
Elipse: gr. élleipsis, omissão.
Etimologia – Origem das Palavras
Felix Klein (1849-1925, Alemanha)
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Geometria Euclidiana
Dada uma reta r e um ponto P fora dela,por este ponto passa
reta paralela a reta r
uma e somente uma
r
P. s
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Geometria Hiperbólica
Dada uma reta r e um ponto P fora dela,por este ponto passam
retas paralelas a reta r
no mínimo duas
r
P.
?
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Modelo Matemático
Modelos são laboratórios para experimentarmos o Sistema Formal
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Universo Hiperbólico
Modelo do Disco de Poincaré
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Retas / Semi-Retas / Segmentos Hiperbólicos
Modelo do Disco de Poincaré
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Quantidade de paralelas
Modelo do Disco de Poincaré
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Ângulo Hiperbólico: ângulo entre as tangentes
Modelo do Disco de Poincaré
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Sistema de Medidas Hiperbólico
Construir métrica infinita num disco limitado.
Sempre positivo.
Simétrico
Modelo do Disco de Poincaré
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Sistema de Medidas Hiperbólico)1
2
2
1ln(),(
BP
BP
AP
APBADistância
Modelo do Disco de Poincaré
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)1
2
2
1ln(),(
BP
BP
AP
APBADistância
Modelo do Disco de Poincaré
Sistema de Medidas Hiperbólico
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(OP1).(OP2)=(OQ1).(OQ2)
Pré-RequisitoPotência de um Ponto
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(OP).(OP’) = (raio OL )2
Pré-Requisito Inverso de um Ponto
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(OP).(OP’) = (raio OL )2
P=P’ se e somente P pertence a circunferência C
Se P esta no interior de C então P’ esta fora e vice-versa
(P’)’ = P
Pré-Requisito Inverso de um Ponto
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Ângulo O1LO2 é reto
Pré-RequisitoCircunferências Ortogonais
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Pré-RequisitoCircunferências Ortogonais
Seja P um ponto no interior de C1, de
modo que P é diferente do Centro . Seja
C2 uma circunferência passando por
P. As circunferências C1 e C2 são
ortogonais se somente se C2 passa
pelo inverso P’ de P em relação a C1.
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Modelo do Disco de PoincaréConstrução de Retas
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Modelo do Disco de PoincaréConstrução da Perpendicular
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Modelo do Disco de PoincaréConstrução da Mediatriz
Achar a reta hiperbólica que torne:- P inverso de Q
- K inverso de L
Em relação a circunferência que contém esta mesma reta.
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Modelo do Disco de PoincaréConstrução da Mediatriz
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Quantidade de paralelas
Modelo do Disco de Poincaré
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Soma dos ângulos de um triângulo
Modelo do Disco de Poincaré
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Soma dos ângulos de um quadrilátero
Modelo do Disco de Poincaré
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Circuncentro: encontro das mediatrizes do triângulo
Modelo do Disco de Poincaré
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Ortocentro: encontro das alturas
Modelo do Disco de Poincaré
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Inversão e Reflexão
Modelo do Disco de Poincaré
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Inversão de uma circunferência
Modelo do Disco de Poincaré
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Circunferências Hiperbólicas
Modelo do Disco de Poincaré
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Circunferências Hiperbólicas
Modelo do Disco de Poincaré
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Geometrias não euclidianas
Aplicações
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Geometrias não euclidianas
Aplicações
Maurits Cornelis Escher Holanda – 1898
Circle Limit III
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Respeito ao trabalho de nossos antecessores
Dificuldades e conseqüências de se quebrar paradigmas
Geometria Euclidiana
Idéia inicial sobre modelos matemáticos e geometria hiperbólica