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1. 了解直接证明的两种基本方法 —— 分析法和综 合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点 . 2. 了解间接证明的一种基本方法 —— 反证法,了 解反证法的思考过程、特点. 1. 直接证明 (1) 综合法 ①定义:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理 等,经过一系列的 ,最后推导出所要证明的 结论 ,这种证明方法叫做综合法 . ②框图表示: ( 其中 P 表示条件, Q 表示要证结论 ). 推理论证. 成立. (2) 分析法 - PowerPoint PPT Presentation
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1. 了解直接证明的两种基本方法——分析法和
综
合法;了解分析法和综合法的思考过程、特
点 .
2. 了解间接证明的一种基本方法——反证法,了
解反证法的思考过程、特点 .
1. 直接证明(1) 综合法 ① 定义:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理 等,经过一系列的 ,最后推导出所要证明的 结论 ,这种证明方法叫做综合法 .
② 框图表示: ( 其中 P 表示条件, Q 表示要证结论 ).
推理论证
成立
(2) 分析法
① 定义:从 出发,逐步寻求使它成立的 直
至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的
条件 ( 已知条件、定理、定义、公理等 ) 为止,这种证
明
方法叫做分析法 .
② 框图表示:
结论 充分条件
2. 间接证明
反证法:假设原命题 ,经过正确的推理,最
后得出 ,因此说明假设错误,从而证明了原
命
题成立,这样的证明方法叫做反证法 .
不成立
矛盾
提示:分析法是执果索因,一步步寻求上一步成立的充分条件,仅是充分条件,而不需要充要条件 . 综合法是由因导果 . 因此分析法的证明过程,恰好是综合法的分析、思考的逆过程 .
[ 思考探究 ]
综合法和分析法有什么区别和联系?
1. 设 a = lg2 + lg5 , b = ex(x<0) ,则 a 与 b 大小关系为 ( )
A.a>b B.a<b
C.a = b D.a≤b解析: a = lg2 + lg5 = 1 ,∵ x<0 ,∴ b = ex<1 ,∴ a>b.
答案: A
2. 用反证法证明命题:“ a , b∈N , ab 可被 5 整除,那
么 a 、
b 中至少有一个能被 5 整除”时,假设的内容应为 (
)
A.a 、 b 都能被 5 整除 B.a 、 b 都不能被 5
整除
C.a 、 b 不都能被 5 整除 D.a 不能被 5 整除
解析:用反证法证明命题应先否定结论 .
答案: B
3. 设 a , b∈R ,已知 p : a = b ; q : ( )2≤ ,
则 p 是
q 成立的
( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条
件
解析: p : a = b 是 q : ( )2≤ 等号成立的充分
条件 .答案: B
4. 已知 a , b 是不相等的正数, x = , y =
,
则 x , y 的大小关系是 .解析:∵ y2 = ( )2 = a + b =
= x2.
∴ x<y.答案: x<y
5. 若 a > b > c ,则 的最小值是 .
解析:由 a > b > c ,知 a - b > 0 , b - c >
0 , a - c > 0 ,
则
= 2 + ≥ 2 + 2 = 4.
当且仅当 b - c = a - b ,即 a + c = 2b 时,等号成
立 .
答案: 4
综合法是“由因导果”,它是从已知条件出发,顺着
推证,经过一系列的中间推理,最后导出所证结论的真
实性 . 用综合法证明题的逻辑关系是: A⇒B1⇒B2⇒…
⇒Bn⇒B(A 为已知条件或数学定义、定理、公理, B 为
要证结论 ) ,它的常见书面表达是“∵,∴”或“⇒” .
已知 x + y + z = 1 ,求证: x2 + y2 +z2≥ .
[ 思路点拨 ]
[ 课堂笔记 ] ∵ x2 + y2≥2xy , y2 + z2≥2yz ,
z2 + x2≥2zx ,
∴ (x2 + y2) + (y2 + z2) + (z2 + x2)≥2xy + 2yz + 2zx ,
∴ 3(x2 + y2 + z2)≥x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx ,
即 3(x2 + y2 + z2)≥(x + y + z)2 = 1 ,
x2 + y2 + z2≥ 成立 .
1. 分析法是“执果索因”,它是从要证的结论出发,倒着分 析,逐渐地靠近已知 .
2. 用分析法证“若 P 则 Q” 这个命题的模式是:
为了证明命题 Q 为真,这只需证明命题 P1 为真,从而
有 ……
这只需证明命题 P2 为真,从而有……
…
这只需证明命题 P 为真 .
而已知 P 为真,故 Q 必为真 .
[ 特别警示 ] 用分析法证题时,一定要严格按格式书写,
否则极易出错 .
已知 a>0 ,求证: - ≥ a + -2.
[ 思路点拨 ]
[ 课堂笔记 ] 要证 - ≥ a + - 2 ,只要证
+ 2≥a + + .
∵ a>0 ,故只要证 ,
即 a2 + + 4 + 4≥a2 + 2 + + 2 (a + )
+ 2 ,
从而只要证
2 ≥ (a + ) ,
只要证 4(a2 + )≥2(a2 + 2 + ) ,
即 a2 + ≥ 2 ,而上述不等式显然成立,故原不等式成
立 .
1. 适宜用反证法证明的数学命题有:(1) 结论本身以否定形式出现的一类命题;(2) 关于唯一性、存在性的命题;(3) 结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题;(4) 结论的反面比原始结论更具体、更容易研究的命题;(5) 要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推 出结论的线索不够清晰 .
2. 用反证法证明问题的一般步骤为:(1) 反设:假定所要证的结论不成立,而设结论的反面 ( 否 定命题 ) 成立; ( 否定结论 )
(2) 归谬:将“反设”作为条件,由此出发经过正确的推理, 导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理 及明显的事实矛盾或自相矛盾; ( 推导矛盾 )
(3) 结论:因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于“反设”
的谬误 . 既然结论的反面不成立,从而肯定了结论成立 .
( 结论成立 )
[ 特别警示 ] 用反证法证明问题时要注意以下二点:
(1) 必须先否定结论,即肯定结论的反面,当结论的反面
呈现多样性时,必须罗列出各种可能结论,缺少任何一种
可能,反证都是不完全的;
(2) 反证法必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面
作为条件,且必须根据这一条件进行推证,否则,仅否定
结论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法 .
已知 a>0 , b>0 ,且 a + b>2 ,求证: 中至少有一个小于 2.
[ 思路点拨 ]
[ 课堂笔记 ] 假设 都不小于 2 ,
则 ≥ 2 , ≥ 2 ,
∵ a>0 , b>0 ,
∴ 1 + b≥2a,1 + a≥2b ,
∴ 1 + 1 + a + b≥2(a + b) ,即 2≥a + b.
这与已知 a + b>2 矛盾,故假设不成立 .
即 中至少有一个小于 2.
以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程等为载体,考查综合法、分析法、反证法的应用是高考对本节内容的常规考法 .09年辽宁高考以立体几何为载体,以解答题的形式考查了反证法的应用,是一个新的考查方向 .
[ 考题印证 ]
(2009·辽宁高考 )(12 分 )如图,已知两个正方形 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内, M , N 分别为 AB ,DF 的中点 .
(1) 若 CD = 2 ,平面 ABCD⊥平面 DCEF ,求 MN 的长; (2) 用反证法证明:直线 ME 与 BN 是两条异面直线 .
【解】 (1) 取 CD 的中点 G ,连结 MG , NG.
因为 ABCD , DCEF 为正方形,且边长为 2 ,所以 MG⊥CD , MG = 2 , NG = .┄┄┄┄┄┄┄(4
分 )
因为平面 ABCD⊥平面 DCEF ,所以 MG⊥平面 DCEF.
可得 MG⊥NG.
所以 MN = .┄┄┄┄┄┄┄┄(6 分 )
(2) 证明:假设直线 ME 与 BN共面,
则 AB⊂平面 MBEN ,且平面 MBEN 与平面 DCEF交于
EN.
由已知,两正方形不共面,故 AB⊄平面 DCEF.┄ (8 分 )
又 AB∥ CD ,所以 AB∥平面 DCEF. 而 EN 为平面 MBEN
与平面 DCEF 的交线,所以 AB∥ EN.┄┄┄(10 分 )
又 AB∥ CD∥ EF ,所以 EN∥ EF ,这与 EN∩EF = E 矛盾,
故假设不成立 .
所以 ME 与 BN 不共面,它们是异面直线 .┄┄┄(12 分 )
[ 自主体验 ]
已知数列 {an} 和 {bn}满足: a1 = λ , an + 1 = an
+ n - 4 , bn = ( - 1)n(an - 3n + 21) ,其中 λ 为实数,
n 为正整数 .
(1) 证明:对任意实数 λ ,数列 {an} 不是等比数列;
(2) 证明:当 λ≠ - 18 时,数列 {bn} 是等比数列;
(3) 设 Sn 为数列 {bn} 的前 n项和 . 是否存在实数 λ ,使
得对任意正整数 n ,都是 Sn> - 12 ?若存在,求 λ 的取
值范围;若不存在,说明理由 .
解: (1) 证明:假设存在一个实数 λ ,使 {an} 是等比数列,则
有
= a1a3 ,即 ( λ - 3)2 = λ( λ - 4) ⇔ λ2 - 4λ + 9
=
λ2 - 4λ⇔ 9 = 0 ,矛盾,∴ {an} 不是等比数列 .
(2) 证明:∵ bn + 1 = ( - 1)n + 1[an + 1 - 3(n + 1) + 21] =
( - 1)n + 1
( an - 2n + 14) =- ( - 1)n·(an - 3n + 21) = -
bn. 又 λ≠ - 18∴ b1 =- (λ + 18)≠0. 由上式知 bn≠0 ,∴ =
- (n∈N*). 故当 λ≠ - 18 时,数列 {bn} 是以- (λ + 18) 为
首项,-
为公比的等比数列 .
(3) 当 λ≠ - 18 时,由 (2) 得 bn =- (λ + 18)·( - )n - 1 ,
于是 Sn =- (λ + 18)·[1 - ( - )n].
当 λ =- 18 时, bn = 0 ,从而 Sn = 0 , Sn> - 12恒成
立 .
当 λ≠ - 18 时,要使对任意正整数 n ,都有 Sn> - 12 ,
即- (λ + 18)·[1 - ( - )n]> - 12
⇔ λ< - 18.
令 f(n) = 1 - ( - )n ,则
当 n 为正奇数时, 1<f(n)≤ ;当 n 为正偶数时, ≤ f(n)<1.
∴ f(n) 的最大值为 f(1) = .
于是可得 λ<20× - 18 =- 6.
综上所述,存在实数 λ ,使得对任意正整数 n ,都有
Sn> - 12 , λ 的取值范围为 ( -∞,- 6).
1.a , b , c 为互不相等的正数,且 a2 + c2 = 2bc ,则下列关 系中可能成立的是 ( )
A.a>b>c B.b>c>a
C.b>a>c D.a>c>b
解析:由 a2 + c2>2ac⇒ 2bc>2ac⇒ b>a ,可排除 A 、 D ,
令 a = 2 , c = 1 ,可得 b = ,可知 C 可能成立 .
答案: C
2. 用反证法证明“如果 a>b ,那么 ”假设内容应
是
( )
A. B.
C. 且 D. 或 <
解析: 的否定形式为 .
答案: D
3. 要使 成立,则 a , b 应满足 ( )
A.ab < 0 且 a > b
B.ab > 0 且 a > b
C.ab < 0 且 a < b
D.ab > 0 且 a > b 或 ab < 0 且 a < b
解析:要使 成立,
只要 成立,
即 a - b - 3 + 3 < a - b 成立,
只要 成立,
只要 ab2 < a2b 成立,
即要 ab(b - a) < 0 成立,
只要 ab > 0 且 a > b 或 ab < 0 且 a < b 成立 .答案: D
4. 设 x , y , z 是空间的不同直线或不同平面,且直线不在 平面内,下列条件中能保证“若 x⊥z ,且 y⊥z ,则 x
∥ y”
为真命题的是 (填所有正确条件的代号 ).
①x 为直线, y , z 为平面;② x , y , z 为平面;③ x ,
y 为 直线, z 为平面;④ x , y 为平面, z 为直线;⑤ x , y , z
为直线 .
解析:由空间位置关系的判定及性质可知①③④正确 .
答案:①③④
5. 方程 f(x) = x 的根称为 f(x) 的不动点,若函数 f(x) =
有唯一 不动点,且 x1 = 1000 , xn + 1 =
(n∈N*) ,
则 x2010 = .
解析:由 = x 得 ax2 + (2a - 1)x = 0. 因为 f(x) 有
唯一不动点,
所以 2a - 1 = 0 ,即 a = .
所以 f(x) = ,所以 xn + 1 = = xn +
.
所以 x2010 = x1 + ×2009 = 1000 + = .
答案:
6. 若 a 、 b 、 c 是不全相等的正数,
求证: lg + lg + lg >lga + lgb + lgc.
证明:要证 lg + lg + lg >lga + lgb + lgc 成
立,
即证 lg( ) > lg(abc) 成立,
只需证 > abc 成立,
∴ ≥abc > 0(*) 成立 .
又∵ a 、 b 、 c 是不全相等的正数,
∴ (*) 式等号不成立,
∴ 原不等式成立 .