1. 평행선 사이에 있는 선분의 길이의 비를 알고 문제를 풀 수 있다 .

2. 삼각형의 중점 연결 정리와 무게중심에 대하여 알고 문제를 풀 수 있다 .

학습목표

ABC 에서 에 평행한 직선이 와 만나는 점을 D,E 라 하면 임을 알아보자 .

AC,AB

DEBCAEACADAB :::

BC

1 삼각형과 선분의 길이의 비

ABC 와 ADE 에서 이므로 BCDE //

ABC ∽ ADEABC=ADE, A: 공통인 각두 쌍의 각의 크기가 같다 .

→

→

A

B

D E

C..

DEBCAEACADAB :::

2 삼각형과 평행선

A

B C

DE증명 ABC 와 ADE 에서

ABC 의 변 BC 에 평행한 직선이 변 AB,AC 의 연장선과 만나는 점을 D,E 라 하면 임을 증명DEBCAEACADAB :::

CAB= EAD ( 맞꼭지각 )

ABC= ADE ( 엇각 )

따라서 ABC ∽ ADE

DEBCAEACADAB ::: 그러므로

.

.**

문제

문제

2)x

10

C

A

B

E

D

12

8

6y

풀이1) x : 6 = 5 : 3, 3x = 30 x = 10

y : 8 = 3 : 5, 5y = 24 y = 4.8

2) x : 8 = 6 : 2, 12x = 48 x =4

y : 10 = 6 : 12, 12y=60 y = 5

1)x

8

56

y

3

A

B

D E

C

다음 그림에서 이다 . x, y 의 값을 구하여라 .

DE//BC

문제 문제 ABC 에서 DE//BC 이면 EC:AEDB:AD 임을 증명하여라 .

→

→

A

B

D E

C

증명 AB 에 평행한 직선을 그어BC 와 만나는 점을 F 라 하면ADE 와 EFC 에서

DAE= FEC ( 동위각 )

AED= ECF ( 동위각 ) 이므로ADE EFC ∽ EC:AEBD:AD

EFDB 또 ABCD� 는 평행 사변형이므로

..

EC:AEDB:AD 따라서

F

ABC 의 변 BC 에 평행한 직선이 의 연장선과 만나는 점을 D,E 라면 임을 증명EC:AEDB:AD

,AB

AC

문제

A

B C

DE증명 점 D 를 지나 에 평행한 직선을 그어 의 연장선과만나는 점을 F 라 하면

EC

BC

ADE DBF ∽DF:AEDB:AD

그런데 ECFD� 는 평행 사변형 이므로ECDF EC:AEDB:AD

F

문제 , 오름

1)2)

다음 그림에서 이다 . x 의 값은 ? DE//BC

4 x

A

B

D E

C

2 3B C

DE

A

x3

6 5

4 : 2= x : 32 x =12

x = 6

AE:ACAD:AB)2 EC:AEDB:DA)1 6 : x = 5 : 3

5 x = 18 x = 3.6

문제 , 탐구 다음 그림에서 AB//DE 일 때 ,

x + y 의 값을 구하여라 .

문제 , 탐구 다음 그림에서 AB//DE 일 때 ,

x + y 의 값을 구하여라 .

A

B

C

E

D9cm

7.5cm

12cm

3cmx

y

삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비

DE:BCAE:ACAD:BA)1

ABC 에서 점 D, E 가 위에 있거나 연장선 위에 있을 때 , 이면

AC,BA

AC,BA DE//BC

EC:AEDB:DA)2

A

B C

DE

→

→

A

D

B C

E

→

→

A

B

D E

C

문제

DE//BC

→

→

A

B

D E

C

증명 ABC 와 ADE 에서AE:ACAD:BA

ABC ADE 이므로 ∽

A 는 공통인 각

B = ADE

즉 , 동위각의 크기가 같으므로

ABC 에서 이면 , 임을 증명DE//BC

AE:ACAD:BA

..

ABC 에서 점 D, E 가 이 연장선 위에 있고 이면 임을 증명

EC:AEDB:DA AC,BA

DE//BC

문제

A

B C

DE

증명 ABC 와 ADE 에서AE:ACAD:BA

ABC ADE ∽

A 는 공통인 각

DE//BC

따라서 ABC = ADE

즉 , 동위각의 크기가 같으므로

두 쌍의 길이의 비가 같고 그 끼인각 의 크기가 같으므로

A

D

B C

E

ABC 에서 이면 , 임을 증명

EC:AEDB:DA AE:ACDB:DA

문제A

B

D E

C

증명 DB점 E 를 지나 에 평행한 직선이 와 만나 점을 F 라 하면BC

ADE 와 EFC 에서EC:AEDB:DA

EC:AEEF:DA , DAE= FEC ( 동위각 )

EFDB, 이므로

ADE EFC ∽ ADE=EFC

또 ABC= EFC ( 동위각 ), ABC= ADE

ADE 와 ABC 에서 A 는 공통인 각ABC ADE ∽ AE:ACDB:DA

F. ..

삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비ABC 에서 점 D, E 가 위에 있거나 연장선 위에 있을 때 ,

AC,BA

AC,BA

DE//BCAE:ACAD:BA)1 이면EC:AEDB:DA)2 이면 DE//BC

A

B C

DE

→

→

A

D

B C

E

→

→

A

B

D E

C

2 평행선 사이의 선분의 길이의 비

BC:BA)1

그림에서 //m//n 이고 , 할 때 ,

1:2AD:AB

1:2CD:ADBC:AB

CB:BA)2 A

B

C

Dm

n

A

B

C

다음을 구하여라

CC//BDCAC 에서 이므로

CD//AAACA 에서 이므로

1:2CB:BABC:AB

평행선 사이의 선분의 길이의 비

세 평행선이 다른 두 직선과 만나서 생긴 선분의 길이의 비는 같다 .

//m//n즉 그림에서 이면

a : b = a: b

A

B

C

m

n

A

B

C

a

b b

a

문제다음 그림에서 //m//n 이다 . x 의 값은 ?

m

n

3

8

4

xm

n

5 4

3 x

5 : 3 = x : 4 3x = 20

3

20

5 : 4 = x : 3

4x =15

4

15

1) 2)

2)1)

그림에서 k////m//n 이면 a:a= b:b= c:c 임을 증명하여라 .

문제

k////m 이므로 a:a= b:b a a

b

c

b

c

n

k

m//m//n 이므로 b:b= c:c

따라서 a : a = b : b = c : c

그림과 같이 4 개의 평행선이 두 직선과만난다 . 이때 x, y 값을 구하여라 .

2

3

4

3

x

y

2:3= 3: x

2:3= 4 : y

2x = 9 x = 4.5

2y = 12

y = 6

문제

오름 , 탐구

그림에서 직선 //m//n//p 일 때 , 이때 x, y, z 의값을 구하여라 .

m

n

p

z

y

x

6 5

16

8 8

탐구그림에서 일 때 ,

의 길이를 구하여라BC//EF//AD

EF

A

B C

F

D

E

6cm

10cm

5cm

3cm

3 삼각형의 중점연결 정리

A

D

B C

E

_

_

=

=

ABC 의 변 AB, AC 의 중점을 D, F 라 하면AE:ACAD:BA = 2 : 1 이므로

DE//BC 이다 .

따라서 AD:BADE:BC

= 2 : 1

그러므로 BC2

1DE

ABC 에서 변 AB 의 중점 D 를 지나고 변 BC 에 평행한 직선을 그어 변 AC 와 만나는 점을 E 라하자 , 이때 점 E 을 의 중점임을 증명하여라 .

AC

문제

A

D

B C

E

_

_

증명 ABC 와 ADE 에서A 는 공통 , B =ADE

ABC ∽ ADE

두 쌍이 대응하는 각의 크기가 같으므로

AE:ACAD:BA 따라서 = 2 : 1 점 E 는 의 중점이다 . AC

.

.공통

삼각형의 중점 연결 정리와 그의 역

1) ABC 에서 점 D, E 가 각각 변 AB, AC 의 중점이면

BC2

1DE

A

D

B C

E

_

_

=

=

2) ABC 에서 변 AB 의 중점 D 를 지나고 변 AC 와 만나는 점을 E 라 하면 , 점 E 는 변 AC 의 중점이다 .

DE//BC ,

사각형 ABCD 에서 변 AB, BC, CD, DA 의 중점을 P, Q, R, S 일 때 , 사각형 PQRS 는 평행 사변형임을 증명

문제

A

B QC

DS

P R

증명대각선 AC 를 그으면 ABC 에서

,BPPA CQBQ 삼각형의 중점연결정리

AC2

1PQ ,AC//PQ

또 ACD 에서 ,AC//SR AC2

1SR

,SR//PQ SRPQ 그러므로따라서 ABCD� 는 평행사변형

인 사다리꼴 ABCD 에서 의 중점을 E,F 라 할 때 , 다음을 증명하여라 .

BC//AD BD,AB문제

증명 두 점 A,F 를 지나고 변 BC 연장선 교점 GAFD 와 GFC 에서

,CFDF ADF=GCF,

AFDGFCAFD=GFC,

CGAD ABG 에서 점 E,F 은 각 변의 중점 , 중점연결 정리에서 BG//EF

BG2

1EF )CGBC(

2

1 )ADBC(

2

1

G

- =

A

E

B

D

F

C

- =

..

4 삼각형의 무게중심ABC 에서 각 꼭지점과 대변의 중점을 이은 선분을 중선 , 이 세 중선은 한 점에서 만난다 .

BC2

1EF,BC//EF

( 닮음비 2: 1)

1:2GF:CGGE:BG 즉

점 G 는 중선을 각 꼭지점으로부터 2 :1 로 나누는 점이다

ABC 에서 중선 BE, CF 의 교점을 G

AB,AC점 E, F 는 의 중점

A

F

B

E

C

G

_

_

=

=

따라서 GBC ∽ GEF

삼각형의 무게중심

삼각형의 세 중선은 한 점 ( 무게중심 ) 에서만나고 , 이 점은 세 중선의 길이를 꼭지점으로부터 각각 2:1 로 나눈다 .

A

CB

F E

D

G_

_ =

=

# #

2

1

정리

ABC 의 무게중심을 G 라 할 때 , ABG,BCG, CAG 의 넓이가 모두 같음을 증명

문제

D

A

CB

G.

증명 의 연장선과 와 교점을 D 라 하면AG BC

ABD= ACD, GBD= GCD

ABG = CAG

같은 방법 ABG = BCG

ABG = BCG = CAG

선분 AD 는 ABC 의 중선이고 , 점 G,G 은 ABC 와 GBC 의 무게 중심이다 . 일 때 , 의 길이는 ?cm9AD GG

문제

. G

A

CB

G

D

.

풀이 점 G 는 ABC 의 무게중심1:2GDAG

AD3

1GD cm39

3

1

또 점 G 는 GBC 의 무게중심1:2GDGG

GD3

1GG cm23

3

2

는 ABC 중선이고 이고이때 ABC 는 이등변 삼각형임을 증명

CEBD CE,BD

A

B C

DE

증명 BD CE 와 의 교점을 P,P 는 ABC 의 무게 중심이고

CEBD 이므로,CPBP DPEP

EPB 와 DPC 에서 EPB = DPCEPB DPC (SAS 합동 )

DCEB ACAB 따라서 ABC 는 이등변 삼각형이다 .

문제

P= =

_ _

)COAO(QCPQAP

평행사변형 ABCD 의 변 AD, BC 의 중점을 M, N 이고 대각선 AC 와 변 BM, DN 과의교점을 P, Q 라 할 때 , 임을 증명QCPQAP

오름

A

B C

DM

N

P

QO

증명점 P 는 ABD 의 무게중심

1:2OP:AP

점 Q 는 DBC 의 무게중심

1:2QO:CQ

탐구

평행사변형 ABCD 에서 의 중점을 각각 M, N 이라 하고 대각선 BD 와 과의 교점을 각각 P,Q 라하자 . 일 때 ,

대각선 BD 의 길이를 구하여라 .

CDBC와

AN,AM

cm6PQ

P

= =

_

_

A

B M C

N

D

Q6cm