1.

对椭圆的感性认

识

理性的思考：

椭圆如此常见必定有其理由，

那么如何画一个椭圆呢？它是具有什么样条件的点的轨迹呢 ? 它具有哪些性质？我们该怎样去研究？

5/22

椭圆及其标准方程

陈桂虎2007 年 9月

回忆：圆的定义：圆是平面内 与一定点距离等于定长的点的轨迹 .

根据圆的定义很容易画出圆我们该如何画椭圆呢？

平面内与两定点的距离的和等于定长 的点轨迹该是什么呢？

猜想 :

实验探究

F1F2

M

实验器材实验器材 ::[1]图钉 : 可将图钉订在硬纸板上分别作为两定点 F1 、 F2 ；[2]细绳 : 细绳的长度是定长 ;[3] 笔 : 笔尖可视作动点 (M)

问题 : 平面内与两个定点的距离的和等于定长的点轨迹是什么呢？

一、椭圆的定义一、椭圆的定义平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的 和等于常数（大于 |F1F2 | ）的点的轨迹叫做椭圆。

F1 F2

M

1 2| | | | 2 ( 0)MF MF a a+ = >

定点 F1 、 F2 叫做椭圆的 焦点 . 两焦点之间的距离叫做 焦距 .

1 2 2 ,2 2F F c a c 符号语言：

动画演示

【提出问题】：

根据椭圆的定义 , 如何用坐标法

求椭圆的方程呢 ？

回顾：用坐标法求曲线方程的一般步骤？

怎样建立直角坐标系 ?

二、椭圆方程推导二、椭圆方程推导

F1 F2

M

1 2| | | | 2 2 ( 0)MF MF a c a c+ = > > >分析：

关键是将几何等式条件代数化 .

(x-a)2+(y-b)2=r2

O x

y

C(a,b)

x2+y2=r2r

xO

y

通过比较，我们得到什么启发？

r

F1 F2

M

F1 F2

M

有何不同？

1F 2F

M

O

y

O

),( yx

xO

三、椭圆方程推导三、椭圆方程推导

以 F1 、 F2 所在直线为 x 轴，以线段 F1F2 的中点为原点，建立直角坐标系；

方案 1 ：

如何化简 ?

2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( )a c x a y a a c- + = -

2 2 2 2( ) ( ) 2x c y x c y a+ + + - + =

2 2

2 2 21

x y

a a c

c

2 2b a c a

x

y

1F 2FO

MM

------- 椭圆的标准方程．

简洁美 对称美

2 2

2 21( 0)

x ya b

a b

2 2

2 2 21

x y

a a c

F1

F2

M

0

x

y

【【研讨研讨】】：：如果以焦点 F1 、 F2 所在直线为 y 轴，线段F1F2 的中点为原点，建立直角坐标系，椭圆的方程又如何呢？（这里 a 、 b 、 c 的意义同上）

F1 F2

M

0 x

y

方案 2:

1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：

两个焦点的坐标分别是 (0, － 3) 、 (0,3) ，椭圆上一点 P 到两焦点距离的和等于 10 ；

2 2

125 16

y x 答案：

四、例题四、例题 ::

2. 椭圆 的焦距是 ,

焦点坐标为 ； 若 CD为过左焦点 的弦 , 则 的

周长为 ．

2 2

116 7

x y

1F CDF2

6

(3,0),(-3,0 ）

16

变式：2 2

116 7

x y 设 P 为椭圆 上的一点，

1 2P F P F 求 的最大值及此点 P的坐标 . 16 (0, 7) 0 7或（ ）

奎屯王新敞新疆

（一）知识上 ：椭圆的定义及标准方程；，

,

、

（二）方法上：学会类比、数形结合、会用定义 解决问题；

（三）情感上 ：学会合作、学会探究、 学会坚毅 .

【【课后探究课后探究】】 ::

1 ．我们所画椭圆的圆扁程度与哪些量有关 ?

2 2 2( )a cx a x c y- = - +2. 探究方程 的几何意义？

2007 年 9 月

石家庄二中 陈桂虎

感谢清华同方教育研究院的专家指导！