1. A KVANTUMMECHANIKA AXIÓMÁI

A kvantummechanika axiómái

• 1. axióma. Operátorok• 2. axióma. Sajátértékegyenlet• 3. axióma. Állapotfüggvények• 4. axióma. Időbeli folyamatok• 5. axióma. Várható érték• 6. axióma. Hullámfüggvény előjele (okt.

eleje)

1. axióma

Operátorok.

1. axióma

A kvantummechanikában minden fizikai mennyiséghez

operátort rendelünk.

Megjegyzés:

Operátor: műveletnek a kijelölése, egy olyan művelet, amelyet egy függvénnyel végzünk.

Példa:

dxd

x2x dxd

2

(differenciálás operátor)

xcosxsin dxd

x1xln dx

d

Milyen operátorokat rendelünk a fizikai mennyiségekhez?

a.) helykoordináták, mint a klasszikus fizikában

xx ˆ yy ˆ zz ˆb.) idő, mint a klasszikus fizikában

tt ˆ

Milyen operátorokat rendelünk a fizikai mennyiségekhez?

c., impulzus

a klasszikus mechanikában: vmp

xipx

ˆ

a kvantummechanikában:

yipy

ˆ

zipz

ˆ

x irány y irány z irány

(Planck-állandó)2h

Jsh 3410626,6

Tömör formában:

ip (nabla vektor)

kz

jy

ix

d.) A többi mennyiséget képviselő operátorokat úgy állítjuk elő, hogy a klasszikus mechanikában használatos kifejezésekbe behelyettesítjük a fenti három operátort.

Példa:Energia, Hamilton függvény

Klasszikus:

Kvantummechanika:

VTH T: kinetikus E

V: pot. E

mp

mvmmvT

222

2222

V(x,y,z) függvénye

),,(2

ˆ 22

zyxVm

H

PéldaImpulzusmomentum

Klasszikus

Kvantummechanika

prP

riprP ˆˆˆ

2. axióma

Sajátértékegyenlet.

2. axióma

Egy fizikai mennyiségnek, amelynek az operátora

a lehetséges (sajátértékeit) a

sajátértékegyenlet adja meg.

Qq

qQ

Megj: : sajátértékfüggvények

Példa

x

sajátfüggvénye

Ebből következik, hogy nem lehet akármennyi az értéke,

csak bizonyos értékeket vehet fel!

xx eex

1 xe sajátfüggvény

1: sajátérték

PéldaEnergia. A Hamilton-operátor

sajátérték függvényei.

Schrödinger-egyenlet: EH

: egy konkrét függvény

VTH ˆˆˆ kin. E. pot. E.

m tömegű részecske

EzyxVm

)),,(2

( 22

3. axióma

Állapotfüggvények.

3. axióma

Az N számú részecskéből álló rendszer állapotát a

állapotfüggvény jellemzi.

),,,,,( 111 tzyxzyx NNN

),(),,,,,( 111 ttzyxzyx NNN

x1,y1,z1 1. részecske helykoordinátái

…

…

xN,yN,zN N. részecske helykoordinátái

t idő

NNN dzdydxdzdydxtt 111),(),( annak a valószínűsége, hogy a t időpontban azelső részecske koordinátáix1 és x1+dx1y1 és y1+dy1z1 és z1+dz1 közé essenek,…az N. részecske koordinátáixN és xN+dxNyN és yN+dyNz1 és zN+dzNközé essenek.

4. axióma

Időbeli folyamatok.

4. axiómaÖsszekapcsolja az állapotfüggvényt és a Hamilton-operátort.

„Időtől függő Schrödinger-egyenlet”

),(),(ˆ),( ttHtti

ahol x1, y1, z1 … xN, yN, zN helykoordinátákat jelöli.

5. axióma

Várható érték.

5. axiómavárható érték (q)

dQq )(ˆ)(

)( a Hamilton operátor sajátfgv-e az adott állapotban.

• 1929: L. W. De Broglie, 1892-1987• 1932: W. Heisenberg, 1901-1976• 1933: E. Schrödinger, 1887-1961• 1933: P. A. M. Dirac, 1902-1984• 1945: W. Pauli, 1900-1958