1 บทที่ 5. n - pioneer.netserv.chula.ac.thpioneer.netserv.chula.ac.th/~tdumrong/2301118/ch5_4in1.pdf · จะได้ z = 2 x2 ซึ่งเป็นสมการของพาราโบลาบนระนาบ

บทท 5. ฟงกชนของหลายตวแปร

ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559

1




2

ฟงกชนของ n ตวแปร ให f : D → R เมอ D ⊆ nR และ n เปนจานวนเตมบวกทมากกวา 1 โดยท nR = R × R × ... × R (n พจน) เรากลาววา f เปน ฟงกชนคาจรงของตวแปร n ตว หรอ f เปน ฟงกชนคาจรงของ n ตวแปร หรอ f เปน ฟงกชนของ n ตวแปร

สาหรบแตละสมาชก X ใน D เราเขยน X ในรป X = ( 1x , 2x , ... , nx ) เมอ 1x , 2x , ... , nx เปนจานวนจรง

กรณท n = 2 เรานยมเขยน X = (x, y)

กรณท n = 3 เรานยมเขยน X = (x, y, z)

สาหรบคาของฟงกชน f ทจด X เราจะเขยนแทนดวย f(X) หรอ f( 1x , 2x , ... , nx )



3

การกาหนดฟงกชน กาหนดโดยใชสตรแสดงคาของฟงกชน เชน f(x, y) = 22 yx1 −− g(x, y, z) =

222 zyx1++

h( 1x , 2x , 3x , 4x ) = 1x 3x + 22x – 4x

จะเหนวา f เปนฟงกชนคาจรงของสองตวแปร g เปนฟงกชนคาจรงของสามตวแปร และ h เปนฟงกชนคาจรงของสตวแปร ซงทงสามฟงกชนไมไดระบโดเมนวาเปนเซตใด ในกรณเชนนใหถอวา โดเมนคอสบเซตทใหญทสดของ nR ททาใหสตรแสดงคาของฟงกชนเปนไปได เพราะฉะนน โดเมนของ f คอ {(x, y) | 2x + 2y ≤ 1} โดเมนของ g คอ {(x, y, z) | (x, y, z) ≠ (0, 0, 0)} โดเมนของ h คอ 4R

ถา f เปนฟงกชนคาจรงของ n ตวแปร และโดเมนของ f คอเซต D ซง D ⊆ nR กราฟของ f คอ {( 1x , 2x , ... , nx , u) | u = f( 1x , 2x , ... , nx ) และ ( 1x , 2x , ... , nx ) ∈ D} ซงเราจะเขยนรปเรขาคณตแสดงกราฟของ f ได กตอเมอ n ≤ 2 เทานน



4

4.1 ฟงกชนคาจรงของสองตวแปร ตวอยาง 5.1.1 กาหนดให f(x, y) = n( 2x – y + 1) จงหาคาของ f(–1, 1) และ จงเขยนรปแสดงโดเมนของ f

วธทา f(–1, 1) = n(1 – 1 + 1) = n 1 = 0

f จะเปนฟงกชนคาจรง กตอเมอ 2x – y + 1 > 0 y < 2x + 1 โดเมนของ f คอ {(x, y) | y < 2x + 1} ซงเปนเซตของจดในระนาบ XY ทอยใตพาราโบลา y = 2x + 1 และไมรวมจดบนพาราโบลา

รปท 5.1.1



5

ให f เปนฟงกชนคาจรงของสองตวแปร กลาวคอ f : D → R เมอ D ⊆ 2R เราจะไดวากราฟของ f คอ S = {(x, y, z) | z = f(x, y) และ (x, y) ∈ D} การเขยนกราฟของ f จะกระทาไดโดยการลงจด (x, y, z) ในระบบแกนพกดฉากในปรภมสามมต โดยกาหนดให z = f(x, y) เมอ (x, y) ∈ D ซงเมอลงจด (x, y, z) สาหรบทกจด (x, y) ∈ D แลว เราจะไดกราฟของ f มลกษณะเปนพนผว

รปท 5.1.2



6

ในการเขยนกราฟของฟงกชนของสองตวแปร เราทาไดโดยพจารณาการแปรคาของตวแปรตวหนง โดยกาหนดใหตวแปรอกตวหนงมคาคงตว เชน ถาเราจะเขยนกราฟของ f(x, y) = 2 2x + 2y เราจะทาไดโดยให z = f(x, y) = 2 2x + 2y ... (1) สมมตวา y มคาคงตว แสดงวาเราจะพจารณากราฟของ f ซงอยบนระนาบทขนานกบระนาบ XZ นนเอง ซงเราจะทาไดโดยการกาหนดคาของ y ตาง ๆ กน ดงน ถา y = 0 จาก (1) จะได z = 2 2x ซงเปนสมการของพาราโบลาบนระนาบ XZ

รปท 5.1.3



7

ถา y = 1 จาก z = f(x, y) = 2 2x + 2y จะได z = 2 2x + 1 ซงเปนสมการพาราโบลาบนระนาบ y = 1 รปท 5.1.4 (ก) รปท 5.1.4 (ข) จะเหนไดวา ไมวาเราจะกาหนดคา y เปนเทาใด กราฟของ z = 2 2x + 2y จะเปนพาราโบลาบนระนาบทขนาน กบระนาบ XZ ทงสน เพราะฉะนน เมอเราเขยนกราฟของ z = 2 2x + 2y บนระนาบ y = c สาหรบคา c ตาง ๆ กน จะไดกราฟดงแสดงในรปท 5.1.5

รปท 5.1.5



8

เมอเรานากราฟเหลานมาผนวกเขาดวยกน จะไดกราฟของ f ทตองการดงแสดงในรปท 5.1.6

รปท 5.1.6 หมายเหต จากตวอยางน นอกจากเราจะเขยนกราฟของ f โดยกาหนดให y มคาคงตวแลว เราอาจพจารณาโดยกาหนดให x มคาคงตว หรอกาหนดให z มคาคงตวกได สาหรบการกาหนดให x มคาคงตวนนจะเหนวา ผลทไดจะเปนไปในทานองเดยวกบการกาหนดให y มคาคงตว เพราะฉะนน เราจะกลาวเฉพาะวธเขยนกราฟของ f เมอกาหนดให z มคาคงตวซงเปนการพจารณากราฟของ f บนระนาบทขนานกบระนาบ XY นนเอง



9

จาก z = f(x, y) = 2 2x + 2y จะเหนวา z ≥ 0 เสมอ ถา z = 0 เราจะไดกราฟของ f เปนจดกาเนด ถา z = 1 จาก (1) จะได 2 2x + 2y = 1 ซงเปนสมการของวงร บนระนาบ z = 1 ดงแสดงในรปท 5.1.7

รปท 5.1.7



10

เมอเราเขยนกราฟของ z = 2 2x + 2y บนระนาบ z = k สาหรบคา k ตาง ๆ กน จะไดกราฟดงแสดงในรปท 5.1.8 ซงเมอนากราฟเหลานนมาผนวกเขาดวยกน เรากจะไดกราฟของ f ตามตองการ รปท 5.1.8 (ก) รปท 5.1.8 (ข)



11

ตวอยาง 5.1.2 กาหนดให f(x, y) = 12 – 2x – 3y จงหาโดเมนและเรนจของ f พรอมทงเขยนกราฟของ f อยางคราว ๆ ในอฐภาคท 1 วธทา จะเหนวา f จะเปนฟงกชนคาจรง ทกคา x, y เพราะฉะนนโดเมนของ f คอ 2R ให z = f(x, y) = 12 – 2x – 3y สาหรบ z ∈ R เราสามารถหาจานวนจรง x และ y ได ททาให z = 12 – 2x – 3y เพราะฉะนน เรนจของ f คอ {z | z ∈ R} = (–∞, ∞) จดตดแกน X คอ (6, 0, 0) จดตดแกน Y คอ (0, 4, 0) จดตดแกน Z คอ (0, 0, 12)

รปท 5.1.9 กราฟของ f(x, y) = 12 – 2x – 3y คอกราฟของระนาบ 2x + 3y + z = 12 ดงรปท 5.1.9



12

ตวอยาง 5.1.3 กาหนดให f(x, y) = 22 y4x9 −− จงหาโดเมนและเรนจของ f พรอมทงเขยนกราฟของ f วธทา f เปนฟงกชนคาจรง กตอเมอ 9 – 2x – 4 2y ≥ 0 2x + 4 2y ≤ 9 เพราะฉะนน โดเมนของ f คอ {(x, y) | 2x + 4 2y ≤ 9} ซงคอ เซตของจดภายในวงร 2x + 4 2y = 9 และรวมจดบนวงร ให z = f(x, y) = 22 y4x9 −− เพราะวา 0 ≤ 2x + 4 2y ≤ 9 เพราะฉะนนเรนจของ f คอ {z | 0 ≤ z ≤ 3} = [0, 3] การเขยนกราฟของ f f = {(x, y, z) | z = 22 y4x9 −− และ 2x + 4 2y ≤ 9} ให z = c สาหรบคา c ตาง ๆ กน ซง 0 ≤ c ≤ 3 จะไดวา c = 22 y4x9 −− เพราะฉะนน 2x + 4 2y = 9 – 2c ... (1) ถา c = 3 กราฟของสมการ (1) คอจด (0, 0, 3) ถา 0 ≤ c < 3 กราฟของสมการ (1) คอ วงรบนระนาบ z = c เมอ c มคาเพมขน ขนาดของวงรจะเลกลง



13

จาก z = 22 y4x9 −− ถาให x = 0 จะได z = 2y49 − ซงเปนสมการของครงวงรบนระนาบ YZ โดยอาศยการพจารณาเชนน เราจะไดกราฟของ f ดงแสดงในรปท 5.1.10

รปท 5.1.10



14

ตวอยาง 5.1.4 กาหนดให f(x, y) = 22 yx + จงหาโดเมนและเรนจของ f พรอมทงเขยนกราฟของ f วธทา เพราะวา f มคา ทกคา x, y เพราะฉะนน fD = 2R ให z = f(x, y) = 22 yx + เพราะวา 2x + 2y ≥ 0 เพราะฉะนน เรนจของ f คอ {z | z ≥ 0} = [0, ∞) การเขยนกราฟของ f ทาโดยการสมมตวา z มคาคงตว ให z = c สาหรบคา c ตาง ๆ กนซง c ≥ 0 จะไดวา c = 22 yx + เพราะฉะนน 2x + 2y = 2c ... (1) ถา c = 0 กราฟของสมการ (1) คอ จด (0, 0, 0) ถา c > 0 กราฟของสมการ (1) คอวงกลมรศม c บนระนาบ z = c เมอ c มคาเพมขน ขนาดวงกลมจะใหญขน จาก z = 22 yx + ให x = 0 จะได z = 2y = | y | ซงเปนสมการของเสนตรง 2 เสนตดกนบนระนาบ YZ รปท 5.1.11



15

5.2 ลมตและความตอเนองของฟงกชนของสองตวแปร บทนยามทสาคญ 1. ถา X(x, y) และ A( 0x , 0y ) เปนจดสองจดใน 2R เรานยามวา ระยะทาง ระหวางจด X กบจด A คอ 2

02

0 )yy()xx( −+− และเขยนแทนดวยสญลกษณ || X – A ||

2. ให ( 0x , 0y ) เปนจดใด ๆ ใน 2R และ r เปนจานวนจรงบวก เรานยาม แผนกลมเปด มจดศนยกลางทจด A และ รศม r คอ เซต {X ∈ 2R | || X – A || < r} และเขยนแทนดวยสญลกษณ B(A ; r) ซงจะมลกษณะดงรปท 5.2.1

รปท 5.2.1 หมายเหต ในกรณทเราไมตองการเจาะจงรศมของแผนกลมเปด เราจะใชสญลกษณ B(A)



16

3. ให D ⊆ 2R และ A ∈ D A เปน จดภายใน ของ D กตอเมอ มแผนกลมเปด B(A) ซง B(A) ⊆ D

ถา จดทกจดทอยใน D เปนจดภายในของ D แลว เราจะกลาววา D เปน เซตเปด

4. ให D ⊆ 2R และ A ∈ 2R A เปน จดขอบ ของ D กตอเมอ สาหรบทก ๆ แผนกลมเปด B(A) มจดอยางนอยหนง จดทอยใน D และมจดอยางนอยหนงจดทไมอยใน D

ถาจดขอบทกจดของ D อยใน D แลว D เปน เซตปด

รปท 5.2.2 จากรปท 5.2.2 จะไดวา 1D เปนเซตเปด 2D เปนเซตปด และ 3D ไมเปนทงเซตเปดและเซตปด



17

5. ให D ⊆ 2R และ A ∈ 2R A เปน จดลมต ของ D กตอเมอ สาหรบทก ๆ แผนกลมเปด B(A) จะไดวา (B(A) – {A}) ∩ D ≠ ∅ ขอสงเกต จดภายในของ D จะเปนจดลมตของ D ดวย แตจดขอบของ D อาจจะเปนหรอไมเปนจดลมตของ D กได

รปท 5.2.3 จากรปท 5.2.3 จะเหนวา จดขอบของ 1D เปนจดลมตของ 1D ดวย แตถา A ∉ 1D และ ให D = 1D ∪ {A} เราจะไดวา A เปนจดขอบของ D แต A ไมเปนจดลมตของ D



18

6. ให D ⊆ 2R D เปน เซตทมขอบเขต กตอเมอ เราสามารถสรางรปสเหลยมผนผาลอมรอบ D ได รปท 5.2.4 (ก) รปท 5.2.4 (ข) จากรปท 5.2.4(ก) จะไดวา 1D เปนเซตทมขอบเขต และจากรปท 5.2.4(ข) จะไดวา

2D = {(x, y) | x ≥ 0 และ y ≥ 0} เปนเซตทไมมขอบเขต



19

5.2.1 ลมตของฟงกชนของสองตวแปร บทนยาม 5.2.1 ให f : D → R เมอ D ⊆ 2R และ ( 0x , 0y ) เปนจดลมตของ D เรากลาววา f(x, y) มลมตเปนจานวนจรง L เมอ (x, y) เขาใกล ( 0x , 0y ) เขยนแทนดวยสญลกษณ

)0y ,0x()y ,x(lim→

f(x, y) = L

กตอเมอ สาหรบทก ๆ จานวนจรงบวก ε ทกาหนดให จะมจานวนจรงบวก δ ททาให | f(x, y) – L | < ε ทก ๆ (x, y) ∈ D ซง 0 < || (x, y) – ( 0x , 0y ) || < δ กลาวอกนยหนง ทก ๆ (x, y) ∈ D ถา 0 < || (x, y) – ( 0x , 0y ) || < δ แลว | f(x, y) – L | < ε



20

ตวอยาง 5.2.1 จงแสดงวา )0 ,0()y ,x(

lim→ 22

2

yx

yx3

+ = 0

แนวคด เราจะตองแสดงวา สาหรบทก ๆ จานวนจรง ε > 0 ทกาหนดให จะมจานวนจรง δ > 0

ททาให | 22

2

yx

yx3

+ – 0 | < ε ทก ๆ (x, y) ทอยใน D

(ในทน D = {(x, y) | (x, y) ≠ (0, 0)}) ซง 0 < || (x, y) – (0, 0) || < δ เราจะสงเกตไดวา จดสาคญของการแสดงขอความนอยทการเลอกคา δ ทเหมาะสม

ซงเราจะสามารถเลอก δ ไดจากการพจารณา | 22

2

yx

yx3

+ – 0 |

เพราะวา | 22

2

yx

yx3

+ – 0 | =

||

||

22

2

yxyx3

+

= 22

2

yx

y x3

+

≤ 22

2222

yxyx)yx(3

+

++

= 3 22 yx + < 3δ เพราะฉะนนเราควรเลอก δ ซง 3δ ≤ ε หรอ δ ≤ 3

ε



21

วธทา กาหนดให ε > 0 เลอก δ = 3ε

เพราะฉะนน δ > 0 D = {(x, y) | (x, y) ≠ (0, 0)} ให (x, y) เปนจดใด ๆ ใน D ซง (x, y) ≠ (0, 0) สมมต 0 < || (x, y) – (0, 0) || < δ

เพราะฉะนน | 22

2

yx

yx3

+ – 0 | =

||

||

22

2

yxyx3

+

= 22

2

yx

y x3

+

≤ 22

2222

yxyx)yx(3

+

++

= 3 22 yx + < 3δ = 3(3

ε)

= ε

เพราะฉะนน )0 ,0()y ,x(

lim→ 22

2

yx

yx3

+ = 0

หมายเหต ตวอยาง 5.2.1 แสดงใหเหนถงวธการแสดงวาลมตมคาโดยใชบทนยามของลมต ซงในการเรยนระดบน เราจะไมเนนวธการดงกลาว



22

บทนยาม 5.2.2 ให f : D → R เมอ D ⊆ 2R และ ( 0x , 0y ) เปนจดลมตของ D ให C เปนเสนโคงใด ๆ ใน 2R ซงผานจด ( 0x , 0y ) เรากลาววา f(x, y) มลมตเปนจานวนจรง L เมอ (x, y) เขาใกล ( 0x , 0y ) ตามเสนโคง C เขยนแทนดวยสญลกษ

C

)0y ,0x()y ,x(

lim

บน→

f(x, y) = L

กตอเมอ สาหรบทก ๆ จานวนจรงบวก ε ทกาหนดให จะมจานวนจรงบวก δ ททาให | f(x, y) – L | < ε ทก ๆ (x, y) ∈ C ∩ D ซง 0 < || (x, y) – ( 0x , 0y ) || < δ กลาวอกนยหนง ทก ๆ (x, y) ∈ C ∩ D ถา 0 < || (x, y) – ( 0x , 0y ) || < δ แลว | f(x, y) – L | < ε



23

ขอสงเกต 1. ถา

)0y ,0x()y ,x(lim→

f(x, y) = L

แลว C

)0y ,0x()y ,x(

lim

บน→

f(x, y) = L

สาหรบทก ๆ เสนโคง C ทผานจด ( 0x , 0y ) 2. จากผลใน ขอ 1. ถาเรามเสนโคง 2 เสน คอ 1C และ 2C ซงตางกผานจด ( 0x , 0y ) แต

1C

)0y ,0x()y ,x(

lim

บน→

f(x, y) ≠

2C

)0y ,0x()y ,x(

lim

บน→

f(x, y)

เราจะสรปไดทนทวา f(x, y) ไมมลมตเปนจานวนจรง เมอ (x, y) เขาใกล ( 0x , 0y ) ซงอาจเขยนไดวา

)0y ,0x()y ,x(lim→

f(x, y) ไมมคา

3. จากผลในขอ 1. ถาเรามเสนโคง C ทผานจด ( 0x , 0y ) และ

C

)0y ,0x()y ,x(

lim

บน→


เราสรปไดวา )0 , 0()y ,x(

lim→




24

ตวอยาง 5.2.2 กาหนดให f(x, y) = 24

2

yxyx

+

จงแสดงวา )0 , 0()y ,x(

lim→


วธทา ให 1C เปนเสนตรง y = 0 และ 2C เปนเสนโคง y = 2x เพราะฉะนน 1C และ 2C ผานจด (0, 0) สาหรบจด (x, y) ใด ๆ บน 1C ซง (x, y) ≠ (0, 0) จะไดวา f(x, y) = 4x

0 = 0

และสาหรบจด (x, y) ใด ๆ บน 2C ซง (x, y) ≠ (0, 0) จะไดวา f(x, y) =

44

4

xxx+

= 21

เพราะฉะนน

1C)0 ,0()y ,x(

lim

บน→

f(x, y) = 0

และ

2C)0 ,0()y ,x(

lim

บน→

f(x, y) = 21


1C)0 ,0()y ,x(

lim

บน→

f(x, y) ≠

2C)0 ,0()y ,x(

lim

บน→

f(x, y)

เพราะฉะนน )0 , 0()y ,x(

lim→




25

ตวอยาง 5.2.3 กาหนดให f(x, y) = 42

32

yx

yx

+

+

จงแสดงวา )0 , 0()y ,x(

lim→


วธทา ให C เปนเสนตรง x = 0 จะเหนวา C ผานจด (0, 0) สาหรบจด (x, y) ใด ๆ บน C ซง (x, y) ≠ (0, 0)

จะไดวา f(x, y) = 4

3

yy = y

1

เพราะฉะนน C

)0 ,0()y ,x(

lim

บน→

f(x, y) = C

)0 ,0()y ,x(

lim

บน→ y

1 ซงไมมคา

เพราะฉะนน )0 , 0()y ,x(

lim→




26

ทฤษฎบท 5.2.1 ให f และ g เปนฟงกชนจาก D ไปยง R เมอ D ⊆ 2R และ ( 0x , 0y ) เปนจดลมตของ D และให c, A, B เปนจานวนจรงใด ๆ จะไดวา 1. ถา f(x, y) = c ทก (x, y) ∈ D แลว

)0y ,0x()y ,x(lim→

f(x, y) = c

2. ถา f(x, y) = x ทก (x, y) ∈ D แลว

)0y ,0x()y ,x(lim→

f(x, y) = 0x

3. ถา f(x, y) = y ทก (x, y) ∈ D แลว

)0y ,0x()y ,x(lim→

f(x, y) = 0y

4. ถา )0y ,0x()y ,x(

lim→

f(x, y) = A

และ )0y ,0x()y ,x(

lim→

g(x, y) = B แลว จะไดวา

4.1 )0y ,0x()y ,x(

lim→

[f(x, y) + g(x, y)] = A + B

4.2 )0y ,0x()y ,x(

lim→

f(x, y)g(x, y) = AB

4.3 )0y ,0x()y ,x(

lim→ )y,x(g

)y,x(f = BA เมอ B ≠ 0

4.4 )0y ,0x()y ,x(

lim→

| f(x, y) | = | A |

4.5 )0y ,0x()y ,x(

lim→

m )y ,x(f = m A

เมอ m เปนจานวนเตมบวกทมากกวา 1 และ m A ∈ R



27

ตวอยาง 5.2.4 จงหาคาของลมตตอไปน 1.

)2 ,1()y ,x(lim

−→(4 3x 2y – 2x 3y + 5y – 1)

2. )2 ,4()y ,x(

lim−→

x3 3 x2y +

3. )3 ,0()y ,x(

lim→ 3yx3xy

y3x3yyx 222

+−−−−+

4. )5 ,3()y ,x(

lim−→|

yxxy+

|

วธทา 1.

)2 ,1()y ,x(lim

−→(4 3x 2y – 2x 3y + 5y – 1)

= 4)2 ,1()y ,x(

lim−→

3x 2y – 2)2 ,1()y ,x(

lim−→

x 3y

+ 5)2 ,1()y ,x(

lim−→

y – )2 ,1()y ,x(

lim−→

1

= 4(–1)(4) – 2(–1)(8) + 5(2) – 1 = –16 + 16 + 10 – 1 = 9 2.

)2 ,4()y ,x(lim

−→x3 3 x2y +

= ()2 ,4()y ,x(

lim−→

x)(3 3)2 ,4()y ,x(

2x)(ylim +−→

)

= 43 88+− = 0



28

3. )3 ,0()y ,x(

lim→ 3yx3xy

y3x3yyx 222

+−−−−+

= )3 ,0()y ,x(

lim→ )3y)(1x(

)3y)(yx( 2

−−−+

= )3 ,0()y ,x(

lim→ 1x

yx 2

−+

= )1x(lim

)yx(lim

)3 ,0()y ,x(

2)3 ,0()y ,x(

−

+

→

→

= 1

3−

= –3 4. เพราะวา

)5 ,3()y ,x(lim

−→ yx3xy+

= )5()3(3

)5)(3(−+

−

= – 415


lim−→|

yxxy+

| = | – 415 |

= 415



29

ในการแสดงวา )0y,0x()y,x(

lim→

f(x, y)g(x, y) = 0

สามารถใชผลของทฤษฎบท ตอไปน

ทฤษฎบท 5.2.2 กาหนดให f(x, y) และ g(x, y) เปนฟงกชน ถา 1. มจานวนจรงบวก M และ δ ททาให | f(x, y) | ≤ M ทก (x, y) ในโดเมนของ f ซง 0 < || (x, y) – ( 0x , 0y ) || < δ กลาวอกนยหนง ทก (x, y) ในโดเมนของ f ถา 0 < || (x, y) – ( 0x , 0y ) || < δ แลว | f(x, y) | ≤ M

และ 2. )0y,0x()y,x(

lim→

g(x, y) = 0

แลว

)0y,0x()y,x(lim→

f(x, y)g(x, y) = 0



30

บทพสจน กาหนดให f(x, y), g(x, y) เปนฟงกชน และ 1. มจานวนจรงบวก M และ δ ททาให | f(x, y) | ≤ M ทก (x, y) ในโดเมนของ f ซง 0 < || (x, y) – ( 0x , 0y ) || < δ และ 2.

)0y,0x()y,x(lim→

g(x, y) = 0

กาหนดให ε > 0 เพราะวา

)0y,0x()y,x(lim→

g(x, y) = 0

เพราะฉะนนจะม δ′ > 0 ซงทาให | g(x, y) – 0 | <

1M +ε ทก ๆ (x, y) ในโดเมนของ g

ซง 0 < || (x, y) – ( 0x , 0y ) || < δ′ ... (*) ให δ′′ เปนคาตาสดของ {δ, δ′}



31

ให (x, y) เปนจดใด ๆ ในโดเมนของ f และ โดเมนของ g สมมตวา 0 < || (x, y) – ( 0x , 0y ) || < δ′′ เพราะฉะนนจาก 1. จะไดวา | f(x, y) | ≤ M และจาก (*) จะไดวา | g(x, y) | <

1M +ε

เพราะฉะนน | f(x, y)g(x, y) – 0 | = | f(x, y)g(x, y) | = | f(x, y) | | g(x, y) | < M(

1M +ε )

= (1M

M+

)ε

< (1)ε = ε เพราะฉะนน

)0y,0x()y,x(lim→

f(x, y)g(x, y) = 0



32


lim→ 22

32

yx

yx2

+ = 0

วธทา ให f(x, y) = 22 yx

xy2

+ และ g(x, y) = x 3y

เพราะวา | 22 yx

xy2

+ | =

22 yx|y| |x|2

+

= 22

22

yx

yx2

+

≤ 22

2222

yxyxyx2

+

++

= 2 ทก (x, y) ≠ (0, 0) เพราะฉะนน |

22 yx

xy2

+ | ≤ 2 ทก (x, y) ∈ fD ... (1)

และ )0 ,0()y ,x(

lim→

g(x, y) = )0 ,0()y ,x(

lim→

x 3y = 0 ... (2)

เลอก M = 2 และ δ = 1 เพราะฉะนน จาก (1), (2) จะไดวา 1. มจานวนจรงบวก M และ δ ททาให | f(x, y) | ≤ M ทก (x, y) ในโดเมนของ f ซง 0 < || (x, y) – (0, 0) || < δ และ 2.

)0 ,0()y ,x(lim→

g(x, y) = 0

โดยทฤษฎบท 5.2.2 จะไดวา )0 ,0()y ,x(

lim→

f(x, y)g(x, y) = 0


lim→ 22

32

yx

yx2

+ = 0



33


lim→ 44

42

yx

yx

+ = 0

วธทา ให f(x, y) = 44

4

yx

y

+ และ g(x, y) = 2x

เพราะวา 4y ≤ 4x + 4y ทก (x, y) ในโดเมนของ f เพราะฉะนน ถา 0 < || (x, y) – (0, 0) || < 1

แลว | 44

4

yx

y

+ | ≤ 1 ... (1)

และ )0 ,0()y ,x(

lim→

g(x, y) = )0 ,0()y ,x(

lim→

2x = 0 ... (2)

เลอก M = 1 และ δ = 1 เพราะฉะนน จาก (1) และ (2) จะไดวา 1. มจานวนจรงบวก M และ δ ททาให | f(x, y) | ≤ M ทก (x, y) ในโดเมนของ f ซง 0 < || (x, y) – (0, 0) || < δ และ 2.

)0 ,0()y ,x(lim→

g(x, y) = 0

โดยทฤษฎบท 5.2.2 จะไดวา )0 ,0()y ,x(

lim→

f(x, y)g(x, y) = 0


lim→ 44

42

yx

yx

+ = 0



34

5.2.2 ความตอเนองของฟงกชนของสองตวแปร บทนยาม 5.2.3 ให f : D → R เมอ D ⊆ 2R และ ( 0x , 0y ) เปนจดใด ๆ ใน 2R เราจะกลาววา f มความตอเนองทจด ( 0x , 0y ) กตอเมอ 1. f( 0x , 0y ) มคา 2.

)0y ,0x()y ,x(lim→

f(x, y) มคา

และ 3. )0y ,0x()y ,x(

lim→

f(x, y) = f( 0x , 0y )

สาหรบ S ⊆ D เราจะกลาววา f มความตอเนองบน S กตอเมอ f มความตอเนองททก ๆ จดใน S

ตวอยาง 5.2.7

กาหนดให f(x, y) = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠+

)0,0()y,x( 0

)0,0()y,x( yxyx

24

2

เมอเมอ

จงพจารณาวา f มความตอเนองทจด (0, 0) หรอไม วธทา จากตวอยาง 5.2.2 เราไดวา

)0 ,0()y ,x(lim→


เพราะฉะนน f ไมมความตอเนองทจด (0, 0)



35

ตวอยาง 5.2.8.1 กาหนดให f(x, y) = yx

xy−

จงพจารณาวา f มความตอเนองทจด (1, –1) หรอไม วธทา เพราะวา (1) f(1, –1) =

)1(1)1(1−−−

= – 21

(2) )1 ,1()y ,x(

lim−→

f(x, y) = )1 ,1()y ,x(

lim−→ yx

xy−

= – 21

และ (3) )1 ,1()y ,x(

lim−→

f(x, y) = f(1, –1)

(จากขอ (1) และ (2)) เพราะฉะนน f มความตอเนองทจด (1, –1)



36

ตวอยาง 5.2.8.2 กาหนดให f(x, y) = yx

xy−

จงพจารณาวา f มความตอเนองบนโดเมนของ f หรอไม วธทา โดเมนของ f คอ D = {(x, y) | x ≠ y} ให ( 0x , 0y ) เปนจดใด ๆ ใน D (1) f( 0x , 0y ) =

00

00yx

yx−

ซงมคาเปนจานวนจรง

(2) )0y ,0x()y ,x(

lim→

f(x, y) = )0y ,0x()y ,x(

lim→ yx

xy−

= 00

00yx

yx−

ซงมคาเปนจานวนจรง และ (3)

)0y ,0x()y ,x(lim→

f(x, y) = f( 0x , 0y )

(จาก (1) และ (2)) เพราะฉะนน f มความตอเนองทจด ( 0x , 0y ) แตเพราะวา ( 0x , 0y ) เปนจดใด ๆ ใน D เพราะฉะนน f มความตอเนองททก ๆ จดใน D เพราะฉะนน f มความตอเนองบนโดเมนของ f



37

สมบตเกยวกบความตอเนองของฟงกชน ทฤษฎบท 5.2.3 ถา f และ g เปนฟงกชนทมความตอเนองทจด ( 0x , 0y ) และ c เปนคาคงตว แลว 1. ฟงกชน f + g, f – g, cf, fg และ | f | มความตอเนองทจด ( 0x , 0y ) 2. ถา g( 0x , 0y ) ≠ 0 แลว ฟงกชน g

f มความตอเนองทจด ( 0x , 0y )



38

ทฤษฎบท 5.2.4 ให f, g : 2R → R โดยท f(x, y) = x และ g(x, y) = y จะไดวา f และ g มความตอเนองบน 2R หมายเหต เราเรยกฟงกชน f และ g ในทฤษฎบท 5.2.4 วา ฟงกชนโพรเจกชน ขอสงเกต สาหรบฟงกชนพหนามของสองตวแปร ซงเปนฟงกชนทเขยนไดในรป

f(x, y) = ∑=

m

0 i∑=

n

0 jijc ix jy เมอ ijc เปนคาคงตว

โดยอาศยทฤษฎบท 5.2.3 และ 5.2.4 จะเหนวา ฟงกชนพหนามของสองตวแปร มความตอเนองบน 2R เสมอ ตวอยางเชน f(x, y) = 2x – 3y + 1 g(x, y) = 2x – 3xy + 5 2y – x + 2y + 6 h(x, y) = 5x y + 4x 3y - 2 2x 4y + xy – y



39

บทนยาม 5.2.4 ถา f : 1D → R เมอ 1D ⊆ 2R และ g : 2D → R โดยทเรนจของ f เปนสบเซตของ 2D ฟงกชนประกอบของ f และ g ซงจะเขยนแทนดวยสญลกษณ fg คอ ฟงกชนจาก 1D ไปยง R โดยท ( fg )(x, y) = g(f(x, y)) สาหรบทก (x, y) ∈ 1D

รปท 5.2.5



40

ทฤษฎบท 5.2.5 ให f : 1D → R เมอ 1D ⊆ 2R และ g : 2D → R โดยทเรนจของ f เปนสบเซตของ 2D และให ( 0x , 0y ) เปนจดใด ๆใน 1D ถา f มความตอเนองทจด ( 0x , 0y ) และ g มความตอเนองทจด f( 0x , 0y ) แลว ฟงกชนประกอบของ f และ g คอ fg มความตอเนองทจด ( 0x , 0y ) บทพสจน ให h = fg และ 0u = f( 0x , 0y )

รปท 5.2.6 เราจะตองแสดงวา สาหรบทก ๆ จานวนจรง ε > 0 ทกาหนดให จะมจานวนจรง δ > 0 ททาให | h(x, y) – h( 0x , 0y ) | < ε ทก ๆ (x, y) ∈ 1D ซง 0 < || (x, y) – ( 0x , 0y ) || < δ



41

กาหนดให ε > 0 เพราะวา g มความตอเนองทจด 0u เพราะฉะนน จะมจานวนจรง 1δ > 0 ททาให | g(u) – g( 0u ) | < ε ทก ๆ u ∈ 2D ซง 0 < | u – 0u | < 1δ ... (1) และเพราะวา f มความตอเนองทจด ( 0x , 0y ) เพราะฉะนนจะมจานวนจรง δ > 0 ททาให | f(x, y) – f( 0x , 0y ) | < 1δ ทก ๆ (x, y) ∈ 1D ซง 0 < || (x, y) – ( 0x , 0y ) || < δ ... (2) ให (x, y) เปนจดใด ๆ ใน 1D ซง 0 < || (x, y) – ( 0x , 0y ) || < δ จาก (2) จะไดวา | f(x, y) – f( 0x , 0y ) | < 1δ และจาก (1) จะไดวา | g(f(x, y)) – g(f( 0x , 0y )) | < ε หรอ | h(x, y) – h( 0x , 0y ) | < ε (เพราะวา h = fg ) เพราะฉะนน h = fg มความตอเนองทจด ( 0x , 0y )



42

ตวอยาง 5.2.9 กาหนดให f(x, y) = sin(x + 2y ) จงแสดงวา f มความตอเนองบน 2R วธทา ให u(x, y) = x + 2y และ g(u) = sin u จะเหนวา u มความตอเนองบน 2R (เปนฟงกชนพหนามของสองตวแปร) g มความตอเนองบน R และ f(x, y) = g(u(x, y)) = sin(x + 2y ) เพราะฉะนน โดยทฤษฎบท 5.2.5 จะไดวา f = ug มความตอเนองบน 2R



43

ตวอยาง 5.2.10 กาหนดให f(x, y) = yx

)yx(n 32

22

−+

จงพจารณาวา f มความตอเนองทจดใดบาง พรอมทงเขยนรปแสดงอาณาบรเวณท f มความตอเนอง

วธทา ให F(x, y) = 3 n( 2x + 2y ) G(x, y) = 2x – y

u(x, y) = n( 2x + 2y ) v(x, y) = 2x + 2y

g(v) = n v จะเหนวา G และ v มความตอเนองบน 2R (เปนฟงกชนพหนามของสองตวแปร) g มความตอเนอง เมอ v > 0 ซงกคอ 2x + 2y > 0 เพราะฉะนน (x, y) ≠ (0, 0)

และ u(x, y) = g(v(x, y)) = n( 2x + 2y ) เพราะฉะนน โดยทฤษฎบท 5.2.5 จะไดวา u = vg มความตอเนองททก ๆ จด (x, y) ซง (x, y) ≠ (0, 0)

เพราะวา F(x, y) = 3u(x, y) = 3 n( 2x + 2y ) เพราะฉะนน F มความตอเนองททก ๆ จด (x, y) ซง (x, y) ≠ (0, 0)



44

เพราะวา f(x, y) = )y ,x(G)y ,x(F

เพราะฉะนน f มความตอเนองททก ๆ จด (x, y) ซง (x, y) ≠ (0, 0) และ G(x, y) ≠ 0 ซงกคอ 2x – y ≠ 0 เพราะฉะนน f มความตอเนองททก ๆ จด (x, y) ซง y ≠ 2x (กลาวคอ f มความตอเนองททกจดใน 2R ยกเวนจดบนพาราโบลา y = 2x นนเอง) และอาณาบรเวณท f มความตอเนอง คอ บรเวณทแรเงาในรปท 5.2.7

รปท 5.2.7



45

5.3 อนพนธยอยของฟงกชนของสองตวแปร ให z = f(x, y) เปนฟงกชนของสองตวแปร และ ( 0x , 0y ) เปนจดภายในของโดเมนของ f ถาเรากาหนดให y มคาคงตว สมมตวา y = 0y จะไดวา z = f(x, 0y ) เปนฟงกชนของตวแปร x เพยงตวเดยว ซงถาฟงกชนนมอนพนธทจด x = 0x เราจะเรยกอนพนธทไดนวาอนพนธยอยของ f เทยบกบ x ทจด ( 0x , 0y ) และจะเขยนแทนดวยสญลกษณ

xf∂∂ ( 0x , 0y )

ในทานองเดยวกน ถากาหนดให x มคาคงตว สมมตวา x = 0x จะไดวา z = f( 0x , y) เปนฟงกชนของตวแปร y เพยงตวเดยว ซงถาฟงกชนนมอนพนธทจด y = 0y เราจะเรยกอนพนธทไดนวา อนพนธยอยของ f เทยบกบ y ทจด ( 0x , 0y ) และเขยนแทนดวยสญลกษณ

xf∂∂ ( 0x , 0y )



46

บทนยาม 5.3.1 ให z = f(x, y) เปนฟงกชนของสองตวแปร และ ( 0x , 0y ) เปนจดภายในของโดเมนของ f อนพนธยอยของ f เทยบกบ x ทจด ( 0x , 0y ) คอ

xf∂∂ ( 0x , 0y ) =

0hlim→ h

)y ,x(f)y ,hx(f 0000 −+ ถาลมตมคา และ อนพนธยอยของ f เทยบกบ y ทจด ( 0x , 0y ) คอ

yf∂∂ ( 0x , 0y ) =

0klim→ k

)y ,x(f)ky ,x(f 0000 −+ ถาลมตมคา

หมายเหต สญลกษณทใชเขยนแทนอนพนธยอยของ z = f(x, y) มหลายแบบ เชน อนพนธยอยของ f เทยบกบ x ทจด ( 0x , 0y ) อาจเขยนแทนดวยสญลกษณ xf ( 0x , 0y ), 1f ( 0x , 0y ), 1D f( 0x , 0y ) หรอ

)0y ,0x(

xz∂∂

และอนพนธยอยของ f เทยบกบ y ทจด ( 0x , 0y ) อาจเขยนแทนดวยสญลกษณ yf ( 0x , 0y ), 2f ( 0x , 0y ), 2D f( 0x , 0y ) หรอ

)0y ,0x(

xz∂∂

การหาอนพนธยอยคอ การหาอนพนธของฟงกชนของหนงตวแปร เพราะฉะนนเรานาสตรการหาอนพนธของฟงกชนของหนงตวแปรมาใชได



47

ตวอยาง 5.3.1 กาหนดให f(x, y) = 3 5x y – 4 2y + 5x – 7 จงหาคาของ xf (1, –1) และ yf (1, –1) วธทา เราจะหา xf (x, y) และ yf (x, y) กอน แลวจงแทนคา x ดวย 1 และ y ดวย –1 สาหรบการหา xf (x, y) เราจะใชสตรการหาอนพนธของ f โดยคดวา f เปนฟงกชนของตวแปร x เพยงตวเดยว และการหา yf (x, y) เราจะใชสตรการหาอนพนธของ f โดยคดวา f เปนฟงกชนของตวแปร y เพยงตวเดยว xf (x, y) =

x∂∂ (3 5x y – 4 2y + 5x – 7)

= 15 4x y + 5 และ yf (x, y) =

y∂∂ (3 5x y – 4 2y + 5x – 7)

= 3 5x – 8y เพราะฉะนน xf (1, –1) = 15(1)4(–1) + 5 = –10 และ yf (1, –1) = 3(1)5– 8(–1) = 11



48

ตวอยาง 5.3.2 กาหนด f(x, y) = yxyx2 2

−+

จงหา xf (x, y) และ yf (x, y)

วธทา xf (x, y) = x∂∂ (

yxyx2 2

−+ )

= 2

22

)yx(

)yx(x)yx2()yx2(x)yx(

−

−∂∂+−+

∂∂−

= 2

2

)yx()1)(yx2()2)(yx(

−

+−−

= –2

2

)yx(y2y

−

+

และ yf (x, y) = y∂∂ (

yxyx2 2

−+ )

= 2

22

)yx(

)yx(y)yx2()yx2(y)yx(

−

−∂∂+−+

∂∂−

= 2

2

)yx()1)(yx2()y2)(yx(

−

−+−−

= 2

2

)yx(yx2xy2

−

−+



49

ตวอยาง 5.3.3 กาหนด f(x, y) = y2xe 2sin (3y) จงหา xf (x, y) และ yf (x, y) วธทา xf (x, y) =

x∂∂ ( y2xe 2sin (3y))

= 2sin (3y)x∂∂ y2xe

= ( 2sin (3y)) y2xex∂∂ ( 2x y)

= 2xy y2xe 2sin (3y) และ

yf (x, y) =

y∂∂ ( y2xe 2sin (3y))

= y2xey∂∂ 2sin (3y) + 2sin (3y)

y∂∂ y2xe

= y2xe (2 sin(3y)cos(3y))(3) + ( 2sin (3y)) y2xe ( 2x ) = y2xe sin(3y)(6 cos(3y) + 2x sin(3y))



50

ในกรณทเราไมสามารถใชสตรการหาอนพนธของฟงกชนของหนงตวแปรในการหาอนพนธยอยไดนน เราจาเปนตองหาอนพนธยอยโดยใชบทนยาม ดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง 5.3.4 กาหนดให f(x, y) = x3 y จงหา

xf∂∂ (0, 0) และ

yf∂∂ (0, 0)

วธทา จาก f(x, y) = x3 y เราสามารถหา

xf∂∂ (0, 0)

ไดโดยใชสตรการหาอนพนธของฟงกชนของหนงตวแปร หา

xf∂∂ (x, y) กอน แลวจงแทนคา x ดวย 0 และ y ดวย 0

เพราะวา xf∂∂ (x, y) = 3 y

เพราะฉะนน xf∂∂ (0, 0) = 0

เพราะวา g(y) = 3 y ไมมอนพนธทจด 0 เพราะฉะนน การหา

yf∂∂ (0, 0) ตองใชบทนยาม 5.3.1

จากบทนยาม 5.3.1 เราทราบวา ถา

0klim→ k

)0,0(f)k,0(f − มคา

แลว yf∂∂ (0, 0) =

0klim→ k

)0,0(f)k,0(f −

เพราะวา 0k

lim→ k

)0 ,0(f)k ,0(f − = 0k

lim→ k

00− = 0k

lim→

0 = 0

เพราะฉะนน yf∂∂ (0, 0) = 0



51

ตวอยาง 5.3.5

กาหนดให f(x, y) = ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠+−

)0 ,0()y ,x( 0

)0 ,0()y ,x( yxxyyx 22

33

เมอ

เมอ

จงหาคาของ xf (0, 0) และ yf (0, 0) วธทา เพราะวา

0hlim→ h

)0 ,0(f)0 ,h(f − = 0h

lim→ h

00− = 0 เพราะฉะนน

xf∂∂ (0, 0) = 0

เพราะวา 0k

lim→ k

)0 ,0(f)k ,0(f − = 0k

lim→ k

00− = 0 เพราะฉะนน

yf∂∂ (0, 0) = 0



52

อนพนธยอยของฟงกชนของสามตวแปร ถา u = f(x, y, z) เปนฟงกชนของสามตวแปร และ ( 0x , 0y , 0z ) เปนจดภายในของโดเมนของ f จะไดวา อนพนธยอยของ f เทยบกบ x ทจด ( 0x , 0y , 0z ) คอ

xf∂∂ ( 0x , 0y , 0z ) =

01hlim→ 1

0000010h

)z ,y ,x(f)z ,y ,hx(f −+

ถาลมตมคา เขยนแทนดวยสญลกษณ xf ( 0x , 0y , 0z ),

1f ( 0x , 0y , 0z ), 1D f( 0x , 0y , 0z ) หรอ )0z ,0y ,0x(

xu∂∂

อนพนธยอยของ f เทยบกบ y ทจด ( 0x , 0y , 0z ) คอ

yf∂∂ ( 0x , 0y , 0z ) =

02hlim→ 2

0000200h

)z ,y ,x(f)z ,hy ,x(f −+

ถาลมตมคา เขยนแทนดวยสญลกษณ yf ( 0x , 0y , 0z ),


yu∂∂

อนพนธยอยของ f เทยบกบ z ทจด ( 0x , 0y , 0z ) คอ

zf∂∂ ( 0x , 0y , 0z ) =

03hlim→ 3

0003000h

)z ,y ,x(f)hz ,y ,x(f −+

ถาลมตมคา เขยนแทนดวยสญลกษณ zf ( 0x , 0y , 0z ),


zu∂∂



53

การหาอนพนธยอยของฟงกชนของสามตวแปร u = f(x, y, z) กสามารถทาไดในทานองเดยวกนกบ การหาอนพนธยอยของฟงกชนของสองตวแปร กลาวคอ ถาเราตองการหาอนพนธยอยของ f เทยบกบตวแปรใด กใหคดวา f เปนฟงกชนของตวแปรนนเพยงตวเดยว โดยถอวาตวแปรอนมคาคงตว ตวอยางเชน ถา f(x, y, z) = x ye + 2 2x y 3z แลว xf (x, y, z) = ye + 4xy 3z yf (x, y, z) = x ye + 2 2x 3z และ zf (x, y, z) = 6 2x y 2z



54

5.3.1 ความหมายทางเรขาคณตของอนพนธยอยของฟงกชนของสองตวแปร ให z = f(x, y) เปนฟงกชนของสองตวแปร และ ( 0x , 0y ) เปนจดภายในของโดเมนของ f เราไดทราบมาแลววา กราฟของสมการ z = f(x, y) เปนพนผวในปรภมสามมต และ xf ( 0x , 0y ) หรอ อนพนธยอยของ f เทยบกบ x ทจด ( 0x , 0y ) คอ อตราการเปลยนแปลงของ f เทยบกบ x เมอกาหนดให y มคาคงตว เพราะฉะนน เราพจารณาความหมายทางเรขาคณตของ xf ( 0x , 0y ) ไดดงน ถากาหนดให y มคาคงตวเทากบ 0y จะไดวา กราฟของสมการ y = 0y คอระนาบทขนานกบระนาบ XZ โดยมระยะหางจากระนาบ XZ เทากบ | 0y | หนวย และพนผว z = f(x, y) ยอมถกตดดวยระนาบ y = 0y โดยมรอยตดเปนเสนโคง z = f(x, 0y ) บนระนาบ y = 0y ซงพกดของจดตาง ๆ บนเสนโคงน จะอยในรป (x, 0y , f(x, 0y )) และจะเหนวาบนเสนโคงน f จะเปนฟงกชนของตวแปร x เพยงตวเดยว



55

ความหมายทางเรขาคณตของ xf ( 0x , 0y ) เพราะฉะนน ถา xf ( 0x , 0y ) มคา คานกจะเปนคาความชนของเสนโคงทจด ( 0x , 0y , f( 0x , 0y ))

รปท 5.3.1



56

ความหมายทางเรขาคณตของ yf ( 0x , 0y ) ในทานองเดยวกน ถา yf ( 0x , 0y ) มคา คานกคอ คาความชนของเสนโคงทเปนรอยตดของ พนผว z = f(x, y) กบระนาบ x = 0x ทจด ( 0x , 0y , f( 0x , 0y ))

รปท 5.3.2



57

ตวอยาง 5.3.6 จงหาความชนของเสนโคงทเปนรอยตดของพนผว z = 4 + 2x – 4 2y กบ ระนาบ x = 2 ทจด (2, 1, 4) วธทา ให z = f(x, y) = 4 + 2x – 4 2y จะไดวา yf (x, y) = –8y เพราะฉะนน ความชนของเสนโคงทจด (2, 1, 4) คอ yf (2, 1) = –8

ตวอยาง 5.3.7 จงหาความชนของเสนโคงทเปนรอยตด ของพนผว 3 2x + 2y + 2z = 8 กบระนาบ y = –1 ทจด (1, –1, –2) วธทา จาก 3 2x + 2y + 2z = 8 จะไดวา z = ± 22 yx38 −− เพราะวาเราจะหาความชนของเสนโคงทจด (1, –1, –2) ซง z มคาเปนลบ เราจงให f(x, y) = – 22 yx38 −− จะไดวา xf (x, y) =

22 yx38x3−−

เพราะฉะนน ความชนของเสนโคงทจด (1, –1, –2) คอ xf (1, –1) =

138)1(3−−

= 2

3



58

5.4 กฎลกโซ กอนอนเราจะกลาวถงการมอนพนธของฟงกชนของสองตวแปร ซงการอธบายเกยวกบเรองน มอยหลายวธดวยกน วธทจะกลาวตอไปนเปนการอธบายโดยอาศยความหมายของการมอนพนธของฟงกชนของหนงตวแปร ซงเราไดศกษากนมาแลว เพอใหเขาใจไดงายขน จะขอทบทวนเกยวกบความหมายของการมอนพนธของฟงกชนของหนงตวแปรกอน ให f เปนฟงกชนของหนงตวแปรทมอนพนธทจด 0x เราจะไดวาอนพนธของ f ทจด 0x คอ f ′( 0x ) =

0xlim→Δ x

)x(f)xx(f 00Δ

−Δ+

= 0x

lim→Δ x

fΔΔ เมอ Δf = f( 0x + Δx) – f( 0x )

ถาเราให ε เปนฟงกชนทนยามโดย

ε(Δx) = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=Δ

≠Δ−ΔΔ

0x0

0x )x(f xf

0'

เมอ

เมอ

จะไดวา Δf = f ′( 0x ) Δx + ε(Δx) Δx และ

0xlim→Δε(Δx) =

0xlim→Δ

(xf

ΔΔ – f ′( 0x ))

= 0x

lim→Δ x

fΔΔ – f ′( 0x )

= f ′( 0x ) – f ′( 0x ) = 0



59

เพราะฉะนน เราอาจกลาวไดวา f มอนพนธทจด 0x กตอเมอ f ′( 0x ) มคา และมฟงกชน ε ททาให f( 0x + Δx) - f( 0x ) = f ′( 0x ) Δx + ε(Δx) Δx โดยท

0xlim→Δε(Δx) = 0



60

บทนยาม 5.4.1 ให f เปนฟงกชนของสองตวแปร และ ( 0x , 0y ) เปนจดภายในของโดเมนของ f เราจะกลาววา f มอนพนธทจด ( 0x , 0y ) กตอเมอ xf ( 0x , 0y ) และ yf ( 0x , 0y ) มคาและมฟงกชน 1ε และ 2ε ททาให f( 0x + Δx, 0y + Δy) – f( 0x , 0y ) = xf ( 0x , 0y ) Δx + yf ( 0x , 0y ) Δy + 1ε (Δx, Δy) Δx + 2ε (Δx, Δy) Δy โดยท

)0 ,0()y ,x(lim→ΔΔ 1ε (Δx, Δy) = 0

และ )0 ,0()y ,x(

lim→ΔΔ 2ε (Δx, Δy) = 0

หมายเหต สาหรบ S ⊆ fD เราจะกลาววา f มอนพนธบน S กตอเมอ f มอนพนธททก ๆ จดใน S

สาหรบฟงกชนของหนงตวแปร ถา f มอนพนธทจด 0x แลว f จะมความตอเนองทจด 0x ความจรงขอนยงคงเปนจรงสาหรบฟงกชนของสองตวแปร



61

ทฤษฎบท 5.4.1 ถา f มอนพนธทจด ( 0x , 0y ) แลว f มความตอเนองทจด ( 0x , 0y ) บทพสจน เราตองแสดงวา

)0y ,0x()y ,x(lim→

f(x, y) = f( 0x , 0y )

เพราะวา f มอนพนธทจด ( 0x , 0y ) เพราะฉะนนจากบทนยาม 5.4.1 ถาให Δx = x – 0x และ Δy = y – 0y เราจะไดวา f(x, y) – f( 0x , 0y ) = xf ( 0x , 0y ) Δx + yf ( 0x , 0y ) Δy + 1ε (Δx, Δy) Δx + 2ε (Δx, Δy) Δy โดยท

)0 ,0()y ,x(lim→ΔΔ 1ε (Δx, Δy) = 0

และ )0 ,0()y ,x(



)0 ,0()y ,x(lim→ΔΔ

(f(x, y) – f( 0x , 0y )) = 0


)0 ,0()y ,x(lim→ΔΔ

f(x, y) = f( 0x , 0y )



62

ขอสงเกต สาหรบฟงกชนของหนงตวแปร การกลาววา f ′( 0x ) มคา กหมายความวา f มอนพนธทจด 0x นนเอง แตสาหรบฟงกชนของสองตวแปร การกลาววา xf ( 0x , 0y ) และ yf ( 0x , 0y ) มคา ไมไดหมายความวา f มอนพนธทจด ( 0x , 0y ) ตวอยางเชน

f(x, y) = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠+

)0 ,0()y ,x( 0

)0 ,0()y ,x( yxyx 24

2

เมอเมอ

พจารณา 0h

lim→ h

)0 ,0(f)0 ,h(f − = 0h

lim→ h

00 − = 0 เพราะฉะนน xf (0, 0) = 0 ... (1) และพจารณา

0klim→ k

)0 ,0(f)k ,0(f − = 0k

lim→ k

00 − = 0 เพราะฉะนน yf (0, 0) = 0 ... (2) จาก (1) และ (2) จะไดวา xf (0, 0) และ yf (0, 0) มคา จากตวอยาง 5.2.2 ไดวา

)0 ,0()y ,x(lim→


เพราะฉะนน f ไมมความตอเนองทจด (0, 0)



63

เพราะฉะนน โดยทฤษฎบท 5.4.1 จะไดวา f ไมมอนพนธทจด (0, 0) จากตวอยางนจะเหนไดวา การทอนพนธยอยของฟงกชนของสองตวแปรมคา ไมเพยงพอทจะสรปวาฟงกชนนนมอนพนธ ทฤษฎบทตอไปนจะบอกใหเราทราบวา ฟงกชนของสองตวแปรจะมอนพนธเมอใด ทฤษฎบท 5.4.2 ให f เปนฟงกชนของสองตวแปร และ ( 0x , 0y ) เปนจดภายในของโดเมนของ f ถา อนพนธยอยของ f มคาบนแผนกลมเปด B( 0x , 0y ) และ มความตอเนองทจด ( 0x , 0y ) แลว f มอนพนธทจด ( 0x , 0y )



64

ตวอยาง 5.4.1 จงแสดงวา f(x, y) = 4x 3y – 3x 2y มอนพนธบน 2R วธทา เพราะวา xf (x, y) = 4 3x 3y – 3 2y และ yf (x, y) = 3 4x 2y – 6xy เพราะฉะนน xf และ yf มความตอเนองบน 2R (เปนฟงกชนพหนามของสองตวแปร) เพราะฉะนน โดยทฤษฎบท 5.4.2 จะไดวา f มอนพนธบน 2R



65

กฎลกโซของฟงกชนหลายตวแปร ทนทวน Calculus I ถา y = f(x) และ x = g(t) เปนฟงกชนทมอนพนธทจด x และ t ตามลาดบ แลว y = ( gf )(t) เปนฟงกชนทมอนพนธทจด t โดยท ( gf )′(t) = f ′(g(t))g′(t) หรอ

dxdy = dx

dydtdx

ถา z = f(x, y) เปนฟงกชนของสองตวแปร และ x = x(t), y = y(t) เปนฟงกชนของหนงตวแปร แลวจะไดวา z = f(x(t), y(t)) เปนฟงกชนของตวแปร t เพยงตวเดยว เพราะฉะนน เราสามารถกลาวถง

dtdz ได

ซงคานจะมสวนเกยวของกบ xz∂∂ , y

z∂∂ ,

dtdx และ

dtdy



66

ทฤษฎบท 5.4.3 (กฎลกโซ) ให z = f(x, y) เปนฟงกชนของสองตวแปร และ x = x(t), y = y(t) เปนฟงกชนของหนงตวแปร ถา x และ y มอนพนธทจด 0t และ f มอนพนธทจด (x( 0t ), y( 0t )) แลว z = f(x(t), y(t)) มอนพนธทจด 0t โดยท

0tt dtdz

= =

xf∂∂ (x( 0t ), y( 0t ))

dtdx ( 0t )

+ yf∂∂ (x( 0t ), y( 0t ))

dtdy( 0t )

หรอ dtdz =

xf∂∂

dtdx +

yf∂∂

dtdy

หรอ dtdz =

xz∂∂

dtdx + y

z∂∂

dtdy



67

ตวอยาง 5.4.2 กาหนดให z = 2x y, x = t cos t และ y = t sin t จงหา dt

dz โดยใชกฎลกโซ วธทา แผนภาพแสดงความสมพนธของตวแปรตางๆ คอ จากกฎลกโซ dtdz =

xz∂∂

dtdx +

yz∂∂

dtdy

= 2xy(–t sin t + cos t) + 2x (t cos t + sin t) = 2(t cos t)(t sin t)(cos t – t sin t) + (t cos t)2(t cos t + sin t) = 2 2t (sin t cos t)(cos t – t sin t) + 2t ( 2cos t)(t cos t + sin t) = 2 2t sin t 2cos t – 2 3t 2sin t cos t + 3t 3cos t + 2t sin t 2cos t = 3 2t sin t 2cos t – 2 3t 2sin t cos t + 3t 3cos t



68

ตวอยาง 5.4.3 กาหนดให

z = n(2 2x + xy), x = t และ y = 3t – 1 จงใชกฎลกโซหาคาของ dt

dz เมอ t = 1 วธทา แผนภาพแสดงความสมพนธของตวแปรตาง ๆ คอ จากกฎลกโซ

dtdz =

xz∂∂

dtdx +

yz∂∂

dtdy

= (xyx2yx4

2 ++ )(

t21 ) + (

xyx2x

2 +)(3)

เมอ t = 1 จะได x = 1 และ y = 2 เพราะฉะนน

1 t

dtdz

= = (

)2)(1()1(2

2)1(42 +

+ )(12

1 ) + ()2)(1()1(2

12 +

)(3)

= ( 46)(2

1) + ( 41)(3)

= 23



69

ทฤษฎบท 5.4.4 ให z = f(x, y), x = x(u, v) และ y = y(u, v) เปนฟงกชนของสองตวแปร ถา x และ y มอนพนธยอยทจด ( 0u , 0v ) และ f มอนพนธยอยทจด (x( 0u , 0v ), y( 0u , 0v )) แลว z = f(x(u, v), y(u, v)) มอนพนธยอยทจด ( 0u , 0v ) โดยท

0v v,0u u u

z==∂

∂

= xf∂∂ (x( 0u , 0v ), y( 0u , 0v ))

ux∂∂ ( 0u , 0v )

+ yf∂∂ (x( 0u , 0v ), y( 0u , 0v ))

uy∂∂ ( 0u , 0v )

และ 0v v,0u u

vz

==∂∂

= xf∂∂ (x( 0u , 0v ), y( 0u , 0v ))

vx∂∂ ( 0u , 0v )

+ yf∂∂ (x( 0u , 0v ), y( 0u , 0v ))

vy∂∂ ( 0u , 0v )

uz∂∂ =

xf∂∂

ux∂∂ + y

f∂∂

uy∂∂

vz∂∂ =

xf∂∂

vx∂∂ + y

f∂∂

vy∂∂

uz∂∂ = x

z∂∂

ux∂∂ +

yz∂∂

uy∂∂

vz∂∂ =

xz∂∂

vx∂∂ +

yz∂∂

vy∂∂



70

ตวอยาง 5.4.4 กาหนดให z = xye , x = 2u + v และ y = vu

จงหาคาของ uz∂∂ และ v

z∂∂ โดยใชกฎลกโซ

วธทา แผนภาพแสดงความสมพนธของตวแปรตาง ๆ คอ จากกฎลกโซ u

z∂∂ = x

z∂∂

ux∂∂ +

yz∂∂

uy∂∂

= (y xye )(2) + (x xye )(v1 )

= vu2 v

u)vu2(e

+ + (v

vu2 + ) vu )vu2(

e+

= (v

vu4 + ) vu )vu2(

e+

และ v

z∂∂ = x

z∂∂

vx∂∂ + y

z∂∂

vy∂∂

= (y xye )(1) + (x xye )(– 2vu )

= vu v

u )vu2(e

+ – 2v

)vu2(u + vu )vu2(

e+

= – 2

2

vu2 v

u )vu2(e

+



71

ตวอยาง 5.4.5 กาหนดให

t = 3u – 2v , u = x + y n x และ v = 2x – y n y จงหาคาของ

xt

∂∂ และ

yt

∂∂ ทจด (x, y) = (1, 1)

วธทา แผนภาพแสดงความสมพนธของตวแปรตาง ๆ คอ

จากกฎลกโซ xt

∂∂ =

ut

∂∂

xu∂∂ + v

t∂∂

xv∂∂

= (3)(1 + xy) + (–2v)(2x)

= 3(1 + xy) – 4vx

และ yt

∂∂ = u

t∂∂

yu∂∂ + v

t∂∂

yv∂∂

= (3)( n x) + (–2v)(–1 – n y)

= 3 n x + 2v(1 + n y) เมอ (x, y) = (1, 1) จะได u = 1 และ v = 1 เพราะฉะนน

1 y 1, x x

t==∂

∂ = 3(1 + 1) – 4(1)(1)

= 2

และ 1 y 1, x

yt

==∂∂ = 3 n 1 + 2(1)(1 + n 1)

= 2



72

ตวอยาง 5.4.6 กาหนดให z = f(u – v, v – u) จงแสดงวา u

z∂∂ + v

z∂∂ = 0

วธทา ให x(u, v) = u – v และ y(u, v) = v – u เพราะฉะนน z = f(x(u, v), y(u, v)) จากกฎลกโซ

uz∂∂ = x

f∂∂

ux∂∂ + y

f∂∂

uy∂∂

= xf∂∂ (1) +

yf∂∂ (–1)

= xf∂∂ –

yf∂∂

และ vz∂∂ =

xf∂∂

vx∂∂ +

yf∂∂

vy∂∂

= xf∂∂ (–1) +

yf∂∂ (1)

= –xf∂∂ + y

f∂∂


uz∂∂ + v

z∂∂ = (

xf∂∂ –

yf∂∂ ) + (–

xf∂∂ +

yf∂∂ ) = 0



73

หมายเหต สาหรบฟงกชนของสามตวแปร 1. ถา w = f(x, y, z), x = x(t), y = y(t) และ z = z(t) แลว w = f(x(t), y(t), z(t)) และ

dtdw = x

f∂∂

dtdx +

yf∂∂

dtdy + z

f∂∂

dtdz

2. ถา w = f(x, y, z), x = x(r, s, t), y = y(r, s, t) และ z = z(r, s, t) แลว w = f(x(r, s, t), y(r, s, t), z(r, s, t)) และ r

w∂∂ =

xf∂∂

rx∂∂ +

yf∂∂

ry∂∂ +

zf∂∂

rz∂∂

sw∂∂ =

xf∂∂

sx∂∂ +

yf∂∂

sy∂∂ +

zf∂∂

sz∂∂

tw∂∂ =

xf∂∂

tx∂∂ +

yf∂∂

ty∂∂ +

zf∂∂

tz∂∂



74

ตวอยาง 5.4.7 จงหาอตราการเปลยนแปลงของปรมาตรของกรวยกลม ในขณะทมความสง 30 นว และรศมของฐานของกรวยยาว 20 นว ถาความสงกาลงเพมขนในอตรา 2 นวตอวนาท และรศมของฐานกาลงลดลงในอตรา 1 นวตอวนาท วธทา ณ เวลา t ใด ๆ ให r เปนรศมของฐานของกรวยกลม h เปนความสงของกรวยกลม V เปนปรมาตรของกรวยกลม เราตองการหา dt

dV เมอ dtdr = –1 นวตอวนาท,

dtdh = 2 นวตอวนาท,

r = 20 นว และ h = 30 นว ... (1) จากสตรเรขาคณต ม.ตน จะไดวา V = 3

1π 2r h เพราะฉะนน V เปนฟงกชนของสองตวแปร คอ r และ h เพราะวา r และ h เปลยนคาไปตามเวลา t เพราะฉะนน ทง r และ h ตางกเปนฟงกชนของ t เพราะฉะนน V เปนฟงกชนของ t



75

จากกฎลกโซ จะไดวา

dtdV = r

V∂∂

dtdr +

hV∂∂

dtdh

= 32πrh dt

dr + 31π 2r dt

dh เพราะฉะนน จาก (1) จะไดวา

dtdV = 3

2π(20)(30)(–1) + 31π(20)2(2)

= –400π + 3

800π

= –3

400π เพราะฉะนน ปรมาตรของกรวยกลมกาลงลดลงดวยอตรา

3400π ลกบาศกนว

ตอวนาท



76

ตวอยาง 5.4.8 นารวออกจากถงรปทรงกระบอก ดวยอตรา r5

4 π ลกบาศกฟตตอนาท ถาถงขยายตวในลกษณะทยงคงรปเปนทรงกระบอกอย โดยรศมของถงเพมขนดวยอตรา 0.002 ฟตตอนาท จงหาวาความสงของนาในถงจะเปลยนแปลงไปในอตราเทาใด ขณะทรศมของถงเปน 2 ฟต และปรมาตรของนาในถงเปน 20π ลกบาศกฟต วธทา ณ เวลา t ใด ๆ ให r เปนรศมของถง h เปนความสงของนาในถง V เปนปรมาตรของนาในถง การหา dt

dh เมอ

dtdV = –5

4π ลกบาศกฟตตอนาท, dtdr = 0.002 ฟตตอนาท,

V = 20π ลกบาศกฟต และ r = 2 ฟต ... (1) จากสตรเรขาคณต ม.ตน จะไดวา V = π 2r h จากกฎลกโซ จะไดวา

dtdV =

rV∂∂

dtdr +

hV∂∂

dtdh

= 2πrh dtdr + π 2r dt

dh ... (2)



77

การหา h เมอ V = 20π ลกบาศกฟต และ r = 2 ฟต จาก V = π 2r h จะไดวา 20π = π(2)2h เพราะฉะนน h = 5 ... (3) โดยการแทนคา (1) และ (3) ใน (2) จะไดวา –5

4π = 2π(2)(5)(0.002) + π(2)2dtdh

เพราะฉะนน dtdh = –0.21

เพราะฉะนน ความสงของนาในถงกาลงลดลงดวยอตรา 0.21 ฟตตอนาท



78

ตวอยาง 5.4.9 ให x และ y เปนความยาวของดานทขนานกนของรปสเหลยมคางหมรปหนง ซงมความสงเปน h ถา x เพมขนในอตรา 2 นวตอวนาท y ลดลงในอตรา 1 นวตอวนาท และ h เพมขนในอตรา 3 นวตอวนาท จงหาอตราการเปลยนแปลงของพนทของรปสเหลยมน ขณะท x = 30 นว y = 50 นว และ h = 10 นว วธทา ณ เวลา t ใด ๆ ให A เปนพนทของรปสเหลยมคางหม การหา

dtdA เมอ

dtdx = 2 นว/วนาท, dt

dy = –1 นว/วนาท,

dtdh = 3 นว/วนาท x = 30 นว, y = 50 นว, h = 10 นว ... (1) จะไดวา A = 2

1(x + y)h เพราะวา A เปนฟงกชนของสามตวแปรคอ x, y และ h โดยท x, y และ h เปนฟงกชนของ t เพราะฉะนน A ยอมเปนฟงกชนของ t จากกฎลกโซ จะไดวา

dtdA =

xA∂∂

dtdx +

yA∂∂

dtdy +

hA∂∂

dtdh

= 2h

dtdx + 2

hdtdy + (

2yx + )

dtdh

เพราะฉะนน จาก (1) จะไดวา

dtdA = 2

10(2) + 210(–1) + (

25030 + )(3) = 125

เพราะฉะนน พนทของรปสเหลยมคางหมกาลงเพมขนดวยอตรา 125 ตารางนวตอวนาท



79

5.5 อนพนธยอยอนดบสง ให f เปนฟงกชนของสองตวแปรคอ x และ y เราจะเรยกอนพนธยอย

xf∂∂ และ

yf∂∂ วา

อนพนธยอยอนดบทหนงของ f เพราะวาทง

xf∂∂ และ

yf∂∂ ตางกเปนฟงกชนของสองตวแปรคอ x

และ y เชนกน เพราะฉะนน เราสามารถพจารณาอนพนธยอยของ x

f∂∂ และ

yf∂∂

ตอไปไดอก และเราจะเรยกอนพนธยอยของทงสองฟงกชนวา อนพนธยอยอนดบทสองของ f ซงมอย 4 แบบ คอ

x∂∂ (

xf∂∂ ),

y∂∂ (

xf∂∂ ),

x∂∂ (

yf∂∂ ) และ

y∂∂ (

yf∂∂ )

และเราเขยนแทนอนพนธยอยอนดบทสองเหลานดวย สญลกษณ ดงน 1.

x∂∂ (

xf∂∂ ) เขยนแทนดวย 2

2

xf

∂∂ , xxf , 11f หรอ 11D f

2. y∂∂ (

xf∂∂ ) เขยนแทนดวย

xyf2

∂∂∂ , xyf , 12f หรอ 12D f

3. x∂∂ (

yf∂∂ ) เขยนแทนดวย

yxf2

∂∂∂ , yxf , 21f หรอ 21D f

4. y∂∂ (

yf∂∂ ) เขยนแทนดวย 2

2

yf

∂∂ , yyf , 22f หรอ 22D f



80

ตวอยาง 5.5.1 จงหาอนพนธยอยอนดบทสองของ f(x, y) = y xye + 3x 2y วธทา

xf∂∂ = 2y xye + 3 2x 2y และ

yf∂∂ = xy xye + xye + 2 3x y

22

xf

∂∂ = x∂

∂ ( xf∂∂ )

= x∂∂ ( 2y xye + 3 2x 2y )

= 3y xye + 6x 2y

xyf2

∂∂∂ = y∂

∂ ( xf∂∂ )

= y∂∂ ( 2y xye + 3 2x 2y )

= ( 2y xye x + xye 2y) + 6 2x y = x 2y xye + 2y xye + 6 2x y

yxf2

∂∂∂ = x∂

∂ ( yf∂∂ )

= x∂∂ (xy xye + xye + 2 3x y)

= y(x xye y + xye ) + xye y + 6 2x y = x 2y xye + 2y xye + 6 2x y

22

yf

∂∂ = y∂

∂ ( yf∂∂ )

= y∂∂ (xy xye + xye + 2 3x y)

= x(y xye x + xye ) + xye x + 2 3x = 2x y xye + 2x xye + 2 3x



81

ตวอยาง 5.5.2 ให f(x, y) = 3x 2y – 2x sin y จงหา xxyf วธทา xf = 3 2x 2y - 2x sin y และ xxf = x∂

∂ (3 2x 2y - 2x sin y) = 6x 2y - 2 sin y เพราะฉะนน xxyf = y∂

∂ (6x 2y - 2 sin y)

= 12xy – 2 cos y



82

ตวอยาง 5.5.3 f(x, y) = ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠+−

)0 ,0()y ,x( 0

)0 ,0()y ,x( yxxyyx 22

33

เมอ

เมอ

จงหาคาของ 12D f(0, 0) และ 21D f(0, 0) วธทา การหา 12D f(0, 0)

12D f(0, 0) = 2D ( 1D f)(0, 0) =

0klim→ k

)0 ,0(fD)k ,0(fD 11 − ถาลมตมคา ... (1) จากตวอยาง 5.3.5 จะได 1D f(0, 0) = 0 และ 2D f(0, 0) = 0 การหา 1D f(0, k) เมอ k ≠ 0 และ 2D f(h, 0) เมอ h ≠ 0 เมอ (x, y) ≠ (0, 0)

เพราะวา 1D f(x, y) = x∂∂ ( 22

33

yxxyyx

+

− )

= 222

333222

)yx()x2)(xyyx()yyx3)(yx(

+

−−−+

= 222

5324

)yx(yyx4yx

+

−+

เพราะฉะนน ถา k ≠ 0 แลว 1D f(0, k) = 45

kk− = –k

เพราะวา

0klim→ k

)0 ,0(fD)k ,0(fD 11 − = 0k

lim→ k

0k −− = –1 เพราะฉะนน จาก (1) จะไดวา 12D f(0, 0) = –1



83

การหา 21D f(0, 0) 21D f(0, 0) = 1D ( 2D f)(0, 0)

= 0h

lim→ h

)0 ,0(fD)0 ,h(fD 22 − ถาลมตมคา ... (2) จากตวอยาง 5.3.5 จะได 1D f(0, 0) = 0 และ 2D f(0, 0) = 0 การหา 2D f(h, 0) เมอ h ≠ 0 เพราะวา

2D f(x, y) = y∂∂ ( 22

33

yxxyyx

+

− )

= 222

332322

)yx()y2)(xyyx()xy3x)(yx(

+

−−−+

= 222

4235

)yx(xyyx4x

+

−−

และ ถา h ≠ 0 แลว 2D f(h, 0) = 45

hh = h

เพราะวา

0hlim→ h

)0 ,0(fD)0 ,h(fD 22 − = 0h

lim→ h

0h − = 1 เพราะฉะนน จาก (2) จะไดวา 21D f(0, 0) = 1



84

ขอสงเกต จากตวอยาง 5.5.1 เราไดวา xy

f2

∂∂∂ = yx

f2

∂∂∂

และจากตวอยาง 5.5.3 เราไดวา 12D f(0, 0) ≠ 21D f(0, 0) ทาใหเราทราบวา อนพนธยอย xyf และ yxf อาจจะเทากนหรอไมเทากนกได ซงการเทากนหรอไมเทากนนไมใชเรองบงเอญ แตเปนไปตามขอความจรงทกลาววา ถา f เปนฟงกชนของสองตวแปรคอ x และ y โดยท xf , yf และ xyf มความตอเนองบนแผนกลมเปด B( 0x , 0y ) แลว yxf ( 0x , 0y ) มคา และเทากบ xyf ( 0x , 0y )



85

ตวอยาง 5.5.4 กาหนดให z = f(x, y), x = x(r, θ) และ y = y(r, θ) จงหา 2

2

rz

∂∂ และ r

z2

∂θ∂∂

วธทา จากกฎลกโซ จะไดวา r

z∂∂ = x

f∂∂

rx∂∂ + y

f∂∂

ry∂∂

เพราะวา xf∂∂ และ y

f∂∂ เปนฟงกชนของ x และ y

โดยท x = x(r, θ) และ y = y(r, θ) เพราะฉะนน เราใชกฎลกโซในการหา 2

2

rz

∂∂ และ r

z2

∂θ∂∂ ไดดงน

22

rz

∂∂ = r∂

∂ ( rz∂∂ )

= r∂∂ ( x

f∂∂

rx∂∂ + y

f∂∂

ry∂∂ )

= r∂∂ ( x

f∂∂

rx∂∂ ) + r∂

∂ ( yf∂∂

ry∂∂ )

= xf∂∂

r∂∂ ( r

x∂∂ ) + r

x∂∂

r∂∂ ( x

f∂∂ ) + y

f∂∂

r∂∂ ( r

y∂∂ ) + r

y∂∂

r∂∂ ( y

f∂∂ )

= xf∂∂

22

rx

∂∂ + r

x∂∂ [ x∂

∂ ( xf∂∂ ) r

x∂∂ + y∂

∂ ( xf∂∂ ) r

y∂∂ ]

+ yf∂∂

2

2

ry

∂

∂ + ry∂∂ [ x∂

∂ ( yf∂∂ ) r

x∂∂ + y∂

∂ ( yf∂∂ ) r

y∂∂ ]

= xf∂∂

22

rx

∂∂ + 2

2

xf

∂∂ ( r

x∂∂ )2 + xy

f2

∂∂∂

rx∂∂

ry∂∂

+ yf∂∂

2

2

ry

∂

∂ + yxf2

∂∂∂

rx∂∂

ry∂∂ + 2

2

yf

∂∂ ( r

y∂∂ )2



86

rz2

∂θ∂∂ =

θ∂∂ ( r

z∂∂ )

= θ∂∂ ( x

f∂∂

rx∂∂ + y

f∂∂

ry∂∂ )

= θ∂∂ ( x

f∂∂

rx∂∂ ) +

θ∂∂ ( y

f∂∂

ry∂∂ )

= xf∂∂

θ∂∂ ( r

x∂∂ ) + r

x∂∂

θ∂∂ ( x

f∂∂ ) + y

f∂∂

θ∂∂ ( r

y∂∂ ) + r

y∂∂

θ∂∂ ( y

f∂∂ )

= xf∂∂

rx2

∂θ∂∂ + r

x∂∂ [ x∂

∂ ( xf∂∂ )

θ∂∂x + y∂

∂ ( xf∂∂ )

θ∂∂y ]

+ yf∂∂

ry2

∂θ∂∂ + r

y∂∂ [ x∂

∂ ( yf∂∂ )

θ∂∂x + y∂

∂ ( yf∂∂ )

θ∂∂y ]

= xf∂∂

rx2

∂θ∂∂ + 2

2

xf

∂∂

rx∂∂

θ∂∂x + xy

f2

∂∂∂

rx∂∂

θ∂∂y

+ yf∂∂

ry2

∂θ∂∂ + yx

f2

∂∂∂

θ∂∂x

ry∂∂ + 2

2

yf

∂∂

ry∂∂

θ∂∂y



87

ตวอยาง 5.5.5 กาหนดให w = f(x, y), x = 2u + 3v และ y = uv จงหา vu

w2

∂∂∂

วธทา จากกฎลกโซ vw∂∂ = x

f∂∂

vx∂∂ + y

f∂∂

vy∂∂ = 3 x

f∂∂ + u y

f∂∂

vuw2

∂∂∂ = u∂

∂ ( vw∂∂ )

= u∂∂ (3 x

f∂∂ + u y

f∂∂ )

= 3 u∂∂ ( x

f∂∂ ) + u u∂

∂ ( yf∂∂ ) + y

f∂∂

= 3[ x∂∂ ( x

f∂∂ ) u

x∂∂ + y∂

∂ ( xf∂∂ ) u

y∂∂ ]

+ u[ x∂∂ ( y

f∂∂ ) u

x∂∂ + y∂

∂ ( yf∂∂ ) u

y∂∂ ] + y

f∂∂

= 3[2 22

xf

∂∂ + v xy

f2

∂∂∂ ] + u[2 yx

f2

∂∂∂ + v 2

2

yf

∂∂ ] + y

f∂∂

= 6 22

xf

∂∂ + 3v xy

f2

∂∂∂ + 2u yx

f2

∂∂∂ + uv 2

2

yf

∂∂ + y

f∂∂



88

หมายเหต สาหรบอนพนธยอยอนดบสงของฟงกชนของสามตวแปร กสามารถใหนยามและเขยนสญลกษณแทนไดในทานองเดยวกนกบฟงกชนของสองตวแปร เชน ถา f(x, y, z) = 2x cos y sin z แลว xf = 2x cos y sin z xyf = –2x sin y sin z xyzf = –2x sin y cos z



89

5.6 คาเชงอนพนธรวม ให f เปนฟงกชนของสองตวแปร คอ x และ y โดยท f มอนพนธทจด ( 0x , 0y ) จากบทนยาม 5.4.1 จะไดวา xf ( 0x , 0y ) และ yf ( 0x , 0y ) มคา และจะมฟงกชน 1ε และ 2ε ททาให f( 0x + Δx, 0y + Δy) - f( 0x , 0y ) = xf ( 0x , 0y ) Δx + yf ( 0x , 0y ) Δy + 1ε (Δx, Δy) Δx + 2ε (Δx, Δy) Δy โดยท

)0 ,0()y ,x(lim→ΔΔ 1ε (Δx, Δy) = 0

และ )0 ,0()y ,x(


เราจะนยาม คาเชงอนพนธรวมของ f ทจด ( 0x , 0y ) ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ df( 0x , 0y ) วาเปนฟงกชนทกาหนดโดย df( 0x , 0y )(Δx, Δy) = xf ( 0x , 0y ) Δx + yf ( 0x , 0y ) Δy ... (1) โดยเราจะเรยก df( 0x , 0y )(Δx, Δy) วา คาเชงอนพนธรวมของ f ทจด ( 0x , 0y ) ซงคานวณคาท (Δx, Δy)



90

และเพอความสะดวก เราอาจเขยนแทนคานดวย สญลกษณ df( 0x , 0y ; Δx, Δy) ถา f(x, y) = x แลว df(x, y ; Δx, Δy) = xf (x, y) Δx + yf (x, y) Δy = (1)Δx + (0)Δy = Δx กลาวคอ df(x, y) เปนฟงกชนทมคาทจด (Δx, Δy) เปน Δx เนองจาก f(x, y) = x ดงนน เราอาจเขยนไดวา dx = Δx ในทานองเดยวกน ถา f(x, y) = y แลว dy = Δy ดวยเหตนเราอาจเขยน df( 0x , 0y )(Δx, Δy) = xf ( 0x , 0y ) Δx + yf ( 0x , 0y ) Δy ไดในรป df( 0x , 0y ; dx, dy) = xf ( 0x , 0y )dx + yf ( 0x , 0y )dy ซงถาพจารณาทจด (x, y) ใด ๆ เรากจะเขยนสน ๆ ไดวา df(x, y) = xf dx + yf dy



91

ตวอยาง 5.6.1 จงหาคาเชงอนพนธรวมของฟงกชนตอไปน 1. f(x, y) = 4 3x 2y + 3y 2. f(x, y) = 2x cos(xy) วธทา 1. df(x, y) = xf dx + yf dy = 12 2x 2y dx + (8 3x y + 3)dy 2. df(x, y) = xf dx + yf dy = ( 2x (–sin(xy)) y + (cos(xy)) 2x) dx + ( 2x (–sin(xy)) x) dy = (2x cos(xy) – 2x y sin(xy)) dx – 3x sin(xy) dy



92

การประมาณคาของฟงกชนดวยคาเชงอนพนธรวม เนองจาก f( 0x + Δx, 0y + Δy) – f( 0x , 0y ) = xf ( 0x , 0y ) Δx + yf ( 0x , 0y ) Δy + 1ε (Δx, Δy) Δx + 2ε (Δx, Δy) Δy = df( 0x , 0y ; Δx, Δy) + 1ε (Δx, Δy) Δx + 2ε (Δx, Δy) Δy โดยท

)0 ,0()y ,x(lim→ΔΔ 1ε (Δx, Δy) = 0

และ )0 ,0()y ,x(


ดงนน df( 0x , 0y ; Δx, Δy) เปนคาประมาณทดของ f( 0x + Δx, 0y + Δy) – f( 0x , 0y ) เมอ || (Δx, Δy) – (0, 0) || มคานอย



93

สตรของการประมาณคาของฟงกชน f( 0x + Δx, 0y + Δy) – f( 0x , 0y ) ≈ df( 0x , 0y ; Δx, Δy) หรอ f( 0x + Δx, 0y + Δy) ≈ f( 0x , 0y ) + df( 0x , 0y ; Δx, Δy) หรอ f( 0x + dx, 0y + dy) ≈ f( 0x , 0y ) + df( 0x , 0y ; dx, dy) ซงถาพจารณาทจด (x, y) ใด ๆ จะเขยนสตรของการประมาณคาไดเปน f(x + dx, y + dy) ≈ f(x, y) + df(x, y)



94

ตวอยาง 5.6.2 จงใชคาเชงอนพนธรวม หาคาประมาณของ 22 )98.3()04.3( + วธทา ให f(x, y) = 22 yx + จะไดวา df(x, y) = xf dx + yf dy =

22 yxx+

dx + 22 yx

y

+dy

จาก f(x + dx, y + dy) ≈ f(x, y) + df(x, y) เลอก x = 3, dx = 3.04 – 3 = 0.04 และ y = 4, dy = 3.98 – 4 = –0.02

22 )98.3()04.3( + = f(3.04, 3.98) = f(3 + 0.04, 4 + (–0.02) ≈ f(3, 4) + df(3, 4 ; 0.04, –0.02) = 22 43 + +

22 433+

(0.04) + 22 43

4+

(–0.02)

= 5 + 53 (0.04) – 5

4(0.02) = 5.008



95

ตวอยาง 5.6.3 จงหาปรมาตรโดยประมาณของกลองรปทรงส เหลยมมมฉากทมฐานเปนรปสเหลยมจตรส ซงมดานยาวดานละ 8.005 เซนตเมตร และสง 9.996 เซนตเมตร วธทา ให V เปนปรมาตรของรปทรงสเหลยมมมฉาก x เปนความยาวของดานของฐานซงเปนรปสเหลยมจตรส y เปนความสงของกลอง เพราะฉะนน V(x, y) = 2x y การประมาณคา V(8.005, 9.996) โดยใชคาเชงอนพนธรวม เพราะวา V(x + dx, y + dy) ≈ V(x, y) + dV(x, y) และ dV(x, y) =

xV∂∂ dx +

yV∂∂ dy

= 2xydx + 2x dy เลอก x = 8, dx = 8.005 – 8 = 0.005 และ y = 10, dy = 9.996 – 10 = –0.004 V(8.005, 9.996) = V(8 + 0.005, 10 + (–0.004)) ≈ V(8, 10) + dV(8, 10 ; 0.005, –0.004) = ( 28 )(10) + 2(8)(10)(0.005) + 28 (–0.004) = 640 + 0.8 – 0.256 = 640.544 ลกบาศกเซนตเมตร



96

ตวอยาง 5.6.4 กรวยกลมใบหนง วดรศมฐานได 12 เซนตเมตร และวดสวนสงได 10 เซนตเมตร ถาการวดรศมมความผดพลาดไมเกน 0.03 เซนตเมตร และการวดสวนสงมความผดพลาดไมเกน 0.01 เซนตเมตร ในการคานวณปรมาตร จงหาคาประมาณของ 1. ขอบเขตของความผดพลาด 2. ขอบเขตของความผดพลาดสมพทธ 3. ขอบเขตของเปอรเซนตของความผดพลาด วธทา ให V เปนปรมาตรของกรวยกลม r เปนรศมของกรวยกลม h เปนความสงของกรวยกลม จากสตรเรขาคณต ม.ตน จะได V(r, h) = 3

1π 2r h 1. ขอบเขตของความผดพลาด = | V(r + dr, h + dh) – V(r, h) | ประมาณไดดวย | dV(r, h) | จาก V(r, h) = 3

1π 2r h

จะได dV(r, h) = rV∂∂ dr + h

V∂∂ dh = 3

2πrh dr + 31π 2r dh

จากโจทย r = 12 เซนตเมตร, h = 10 เซนตเมตร, | dr | ≤ 0.03 เซนตเมตร และ | dh | ≤ 0.01 เซนตเมตร



97

ดงนน ความผดพลาดในการคานวณปรมาตร ≈ | dV(r, h) | = | 3

2πrh dr + 31π 2r dh |

≤ 32πrh | dr | + 3

1π 2r | dh |

≤ 32π(12)(10)(0.03) + 3

1π(12)2(0.01)

= 2.88π เพราะฉะนน ขอบเขตของความผดพลาดในการคานวณปรมาตรมคา เทากบ 2.88π ลกบาศกเซนตเมตรโดยประมาณ 2. ความผดพลาดสมพทธในการคานวณปรมาตร ≈ |

VdV | ≤

10)12(31

88.22π

π = 0.006

ดงนน ขอบเขตของความผดพลาดสมพทธ ในการคานวณปรมาตรมคาเทากบ 0.006 โดยประมาณ 3. เปอรเซนตของความผดพลาดในการคานวณปรมาตร ≈ |

VdV | × 100 ≤ 0.006 × 100 = 0.6

นนคอ ขอบเขตของเปอรเซนตของความผดพลาดในการคานวณ ปรมาตรมคาเทากบ 0.6% โดยประมาณ



98

ตวอยาง 5.6.5 ในการวดความกวางและความยาวของกระดาษ รปสเหลยมผนผาแผนหนง พบวาการวดความกวางมความผด พลาดไมเกน 5% และการวดความยาวมความผดพลาดไมเกน 3% จงหาเปอรเซนตของความผดพลาดในการคานวณพนทของ กระดาษแผนน วธทา ให A เปนพนทของกระดาษรปสเหลยมผนผา x เปนความกวางของกระดาษ y เปนความยาวของกระดาษ เพราะวา A(x, y) = xy และ dA(x, y) =

xA∂∂ dx +

yA∂∂ dy = y dx + x dy

ดงนน A

dA = xy

dy xdx y + = x

dx + ydy

เพราะวา การวดความกวางมความผดพลาดไมเกน 5% เพราะฉะนน |

xdx | ≤ 0.05

เพราะวา การวดความยาวมความผดพลาดไมเกน 3% เพราะฉะนน | y

dy | ≤ 0.03

ดงนน | A

dA | = | x

dx + y

dy |

≤ | x

dx | + | y

dy |

≤ 0.05 + 0.03 = 0.08



99

เพราะฉะนน เปอรเซนตของความผดพลาด ≈ |

AdA | × 100 ≤ 0.08 × 100 = 8

เปอรเซนตของความผดพลาดในการคานวณพนทมคาไมเกน 8% โดยประมาณ



100

หมายเหต สาหรบฟงกชนของสามตวแปร เราสามารถนยามคาเชงอนพนธรวมไดในทานองเดยวกน กลาวคอ คาเชงอนพนธรวมของ f ทจด (x, y, z) คอฟงกชน df(x, y, z) ซงกาหนดโดย

df(x, y, z ; dx, dy, dz) = xf (x, y, z)dx + yf (x, y, z)dy + zf (x, y, z)dz

ตวอยางเชน คาเชงอนพนธรวมของ f(x, y, z) = 2y xze คอ

df(x, y, z) = xf dx + yf dy + zf dz = 2y z xze dx + 2y xze dy + x 2y xze dz

ในเรองของการประมาณคาของฟงกชนของสามตวแปร พจารณาไดในทานองเดยวกนโดยเราจะได สตรของการประมาณคาเปน f(x + dx, y + dy, z + dz) ≈ f(x, y, z) + df(x, y, z)

Documents

1 บทที่ 5. n - pioneer.netserv.chula.ac.thpioneer.netserv.chula.ac.th/~tdumrong/2301118/ch5_4in1.pdf · จะได้ z = 2 x2 ซึ่งเป็นสมการของพาราโบลาบนระนาบ