เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค30204 ความนาจะเปนเบองตน ชน ม.5 หนา - 1 –

1. กฎเกณฑในการนบเบองตน ในชวตประจ าวนเรามกพบปญหาเกยวกบ การนบจ านวนวธทงหมดทแหตการณอยางหนงอยางใดทจะเปนไปได หรอจ านวนวธในการจดชดของสงตางๆ เชน การจดการแขงขนกฬา การจดชดเสอผา การจดชดอาหารเปนตน การค านวณเพอหาค าตอบส าหรบปญหาตาง ๆ ดงกลาว จะท าไดงายและสะดวกรวดเรวขน ถาเขาใจกฎเกณฑบางขอ ซงเรยกวา หลกมลฐานเกยวกบการนบ

ตวอยางท 1 มผแทนไทยจ านวน 4 คน ไปเยอนประเทศฝรงเศส เจาภาพมาตอนรบทสนามบนจ านวน 5 คน ถาผแทนไทยแตละคนจะตองสมผสมอทกทายกบฝายเจาภาพทกคน อยากทราบวาในครงนมการทกทายสมผสมอกนทงหมดกครง ตวอยางท 2 นก 2 ตว จะบนไปเกาะตนไมใหญ 4 ตน ไดทงหมดกวธทแตกตางกน

ตวอยางท 3 มนกเรยนอย 50 คน จะเลอกหวหนาและรองหวหนา ต าแหนงละคนไดทงหมดกวธ ตวอยางท 4 หยบไพ 2 ใบ โดยหยบครงละ 1 ใบ จากไพส ารบหนงซงม 52 ใบ โดยหยบแลว ไมใสคนตามเดมจะมวธหยบไพไดทงหมดกวธ

กฎขอท 1 ในการท างานสองอยางโดยทอยางแรกสามารถท าได 1n วธ และในแตละวธทเลอกท างานอยางแรกน ยงมวธทจะท างานอยางทสองได 2n วธ ดงนนจ านวนวธทจะเลอกท างานทงสองอยางน จะไดเทากบ 1 2n n วธ กฎขอท 2 ในการท างานอยางหนงซงม k ขนตอน โดยขนท 1 มวธเลอกท าได 1n วธ แตละวธทเลอกท าในขนท 1 มวธเลอกท า ในขนท 2 ได 2n วธ และในแตละวธทเลอกท าในขนท 1 และขนท 2 มวธเลอกท าในขนท 3 ได 3n วธ เปนดงน ตอไปเรอย ๆ จนถงการกระท าขนท k ซงท าได kn วธ ดงนนจ านวนวธทจะเลอกท างานทง k ขนตอน เทากบ 1 2 3 kn n n . . . n วธ กฎขอท 3 ในการท างานอยางหนงซงม k ขนตอน แตละขนตอนมวธเลอกท าได 1 2 3 kn , n , n , . . . , n วธตามล าดบ โดยแตละ ขนตอนจะกระท าตอเนองกนไมได ดงนนจ านวนวธทจะเลอกท างานทงหมด เทากบ 1 2 3 kn n n . . . n วธ

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค30204 ความนาจะเปนเบองตน ชน ม.5 หนา - 2 –

ตวอยางท 5 มบตร 5 ใบ ซงแตละใบมเลข 1, 2, 3, 4 และ 5 เขยนก ากบไว จะน าบตร 2 ใบ มาวาง เปนจ านวนเลข 2 หลก ไดทงหมดกวธ ตวอยางท 6 มเสอ 5 ตว กางเกง 4 ตว และ เนคไท 2 เสน จะเลอกแตงตว ไดทงหมดกชด ตวอยางท 7 มชาย 4 คน ตองการยนเขาแถวเปนแนวตรงจะมวธการยนไดทงหมดกวธ ตวอยางท 8 จงน าตวอกษรจากค าวา " GAME " มาจดเปนค า โดยไมค านงถงความหมายจะ จดเปนค าทแตกตางกนไดทงหมดกวธ ตวอยางท 9 ในการท าขอสอบแบบ 4 ตวเลอก จ านวน 5 ขอ จะมวธท าไดทงหมดกวธ ตวอยางท 10 หยบไพ 1 ใบ จากไพส ารบหนงม 52 ใบ จะมจ านวนวธ ทจะหยบไดไพแตม 2 หรอ 3 หรอ 5 ไดทงหมดกวธ ตวอยางท 11 จงหาจ านวนเตมบวก 3 หลก จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 วามทงหมดกจ านวน โดยท 1) ตวเลขในแตละหลกซ ากนได 2) ตวเลขในแตละหลกซ ากนไมได

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค30204 ความนาจะเปนเบองตน ชน ม.5 หนา - 3 –

แบบฝกหดท 1

1. จงหาจ านวนคบวก 4 หลกทมคาไมเกน 3,000 มกจ านวน โดยท

1 .1 ตวเลขในแตละหลกซ ากนได

1. 2 ตวเลขในแตละหลกซ ากนไมได

2. จะสรางจ านวนเตมบวก 4 หลกทหารดวย 5 ลงตว จากตวเลขโดด 0 ถง 9 และไมใชตวเลขซ ากน จะสรางไดทงหมดกจ านวน

3. จ านวนเตม 4 หลก ซงมากกวา 8,000 และตวเลขในแตละหลกไมซ ากน มทงหมดกจ านวน

4. สรางจ านวนคบวก 4 หลก จากตวเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ไดทงหมดกจ านวนโดยใช ตวเลขซ ากนได

5. จะสรางจ านวนเตมบวกทมคานอยกวา 1,000 ซงประกอบดวยตวเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ไดทงหมดกจ านวนโดยแตละจ านวนใชตวเลขไมซ ากน

6. มเลขโดดอย 5 ตว คอ 0, 1, 2, 3 และ 4 สรางจ านวนเลขทมคามากกวา 200 ไดทงหมดกจ านวน โดยใชตวเลขแตละหลกไมซ ากน

7. จงหาจ านวนของจ านวนเตมบวก 5 หลก ทหารดวย 10 ลงตว โดยตวเลขในแตละหลกไมซ ากน

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค30204 ความนาจะเปนเบองตน ชน ม.5 หนา - 4 –

2. แฟกทอเรยล n

ตวอยางท 1 จงหาคาของ

1) ( !)

! !

32

2 4 = __________ 2) 8 6

5 4

! !

! !

= __________ 3) 10 8

9 7

! !

! ! = __________

4) 9

2 3 4

!

! ! ! = __________ 5) 12 10

10 3

! !

! !

= __________ 6) 8

6 2

!

! ! = __________

7) 12 11

11

! !

!

= __________ 8) 15 14

13 4

! !

! !

= __________ 9) 12 11 10

10

! ! !

!

= __________

ตวอยางท 2 จงเปลยนใหเปนรปแฟกทอเรยล

1) 5x4x3x2 = __________ 2) 12x11x10 = ___________ 3) 40x39x38x37x36x35 = _________ 4) 5040 = __________ 5) 30240 = ___________ 6) (n+ r)(n+r-1)(n+ r-2) = _________ 7) 504 = __________ 8) 10x9x8x7 = ___________ 9) (n+5)(n+4)(n+3)(n+2) = _________ 10) (n+3)(n+2)(n+1) = _________

ตวอยางท 3 จงหาคา n ซงเปนจ านวนเตมบวก จากสมการ

1) ( ) !

( ) !

n

n

1

1 = 1640 2) ( ) !

( ) !

n

n

3

1 = 1680 3) ( ) !

( ) !

n

n

4

2 = 210

__________________ _____________ ___ --------------------------- __________________ _____________ ___ ---------------------------

4) ( ) !

( ) !

n

n

2

2 = 840 5) ( ) !

( ) !

3 2

3 4

n

n

= 90 6) 2 ( ) !

( ) !

n

n

4

2 = ( ) !

( ) !

n

n

5

1

__________________ _____________ ___ --------------------------- __________________ _____________ ___ ---------------------------

8 ) ( ) !

!

n

n

2 = 56 9) !n

)!2n(.

)!3n(

)!1n(

= 340

__________________ _____________ ___ __________________ _____________ ___

บทนยาม เมอ n เปนจ านวนเตมบวก แฟกทอเรยล n หมายถง ผลคณของจ านวนเตมบวกตงแต 1 ถง n แฟกทอเรยล n เขยนแทนดวย n! นนคอ 1 2 3 . . . n n ! หรอ n ( n 1 ) ( n 2 ) . . . 2 1 n !

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค30204 ความนาจะเปนเบองตน ชน ม.5 หนา - 5 –

3. การเรยงสบเปลยนสงของแตกตางกนในแนวตรง การเรยงสบเปลยนสงของ n สงทแตกตางกนทงหมด n สง ในแนวตรง ตวอยางท 1 มตวอกษร a,b,c เสมอนสงของ 3 สงทแตกตางกน น าตวอกษรเหลานมาเรยงสบเปลยนจะเขยนแผนภาพไดดงน b c abc a c b acb a c bac b c a bca a b cab c b a cba จะจดเรยงสบเปลยนไดทงหมด 6 วธ หรอ พจารณาไดโดยก าหนดต าแหนงใหอกษร 3 ตว 3 ต าแหนง คอ ต าแหนง 1 2 3 น า a เลอกใสใน 3 ต าแหนงได 3 วธ ในแตละวธทเลอกต าแหนงใส a เลอกต าแหนงทจะใส b ได 2 วธ ในแตละวธทเลอกต าแหนงใส a และ b เลอกต าแหนงทจะใส c ได 1 วธ ดงนน จ านวนวธจดเรยงสบเปลยน a , b , c เทากบ 123 = 3! วธ

ถามสงของ n สง ซงแตกตางกนทงหมด และตองการน ามาจดอนดบทงหมด จะหาจ านวนวธการเรยงสบเปลยน ไดดงน ต าแหนงท 1 เลอกสงของ 1 สง จากสงของ n สง วางในต าแหนงทหนง ได n วธ ต าแหนงท 2 ส าหรบแตละวธทวางสงของในต าแหนงท1 เลอกสงของ 1 สง จากสงของ n - 1 สง วางในต าแหนงท2 ได n - 1 วธ ต าแหนงท 3 ส าหรบแตละวธทวางสงของในต าแหนงท1 และ 2 เลอกสงของ 1 สง จากสงของ n - 2 สง วางในต าแหนงท 3 ได n - 2 วธ

. ต าแหนงท n ส าหรบแตละวธทวางสงของในต าแหนงท 1 ถง ต าแหนงท n-1 วางสงของ 1 สงทเหลออยในต าแหนงท n ได 1 วธ ดงนนโดยกฎการคณ จะไดวธเรยงสบเปลยนสงของ n สงทแตกตางกนทงหมดเทากบ n(n-1)(n-2)(n-3)…(3)(2)(1)= n! วธ

จ านวนวธการเรยงสบเปลยนสงของ n สงทแตกตางกนทงหมดในแนวตรงเทากบ n! วธ

นยาม การเรยงสบเปลยน (Permutation ) หากมสงของ n สงทแตกตางกน การเรยงสบเปลยน หมายถงการน าสงของ n สงนมาจดเรยงล าดบกน การเรยงล าดบแตละแบบทจะจดไดเรยกวา “ หนงล าดบ “ ( แตละล าดบเรยกเปนภาษาองกฤษวา one permutation )

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค30204 ความนาจะเปนเบองตน ชน ม.5 หนา - 6 –

ตวอยางท 2 จดนกเรยน 4 คนเพอยนถายรปในแนวตรงไดทงหมดกวธ วธท า จ านวนวธในการจดนกเรยน 4 คนเพอยนถายรปในแนวตรงไดทงหมด เทากบ 4! = 24 วธ

การเรยงสบเปลยนสงของ n สงทแตกตางกนคราวละ r สง ( r n )

ถามสงของ n สง ซงแตกตางกนทงหมด และตองการน ามาจดอนดบคราวละ r สง ( r n ) ต าแหนงทจะเรยงอนดบจะมเพยง r ต าแหนง และมวธจดดงน ต าแหนงท 1 เลอกสงของ 1 สง จากสงของ n สง วางในต าแหนงทหนง ได n วธ ต าแหนงท 2 ส าหรบแตละวธทวางสงของในต าแหนงท1 เลอกสงของ 1 สง จากสงของ n - 1 สง วางในต าแหนงท2 ได n - 1 วธ ต าแหนงท 3 ส าหรบแตละวธทวางสงของในต าแหนงท1 และ 2 เลอกสงของ 1 สง จากสงของ n - 2 สง วางในต าแหนงท 3 ได n - 2 วธ

. ต าแหนงท r ส าหรบแตละวธทวางสงของในต าแหนงท1 ถง ต าแหนงท r -1 เลอกสงของ 1 สง จากสงของ n-( r-1) ทเหลอ วางในต าแหนงท r ได n-( r-1) = n - r+1 วธ

หมายเหต หนงสอบางเลมอาจใชสญลกษณอนๆ แทน Pn,r เชน nPr , rPn , P (n,r)

ตวอยางท 3 ตองการเขยนจ านวนเตมบวกทม 3 หลก จากตวเลข 1 , 2 , 3 , 4 และ 5 โดยแตละต าแหนงจะไมใชตวเลขซ า จะเขยนไดทงหมดกจ านวน ตวอยางท 4 มผสมครเปนกรรมการนกเรยนอย 8 คน จะมวธเลอกประธาน รองประธาน และ เลขานการไดทงหมดกวธ ตวอยางท 5 จะมทงหมดกวธทจะจดชาย 4 คนและหญง 2 คน ยนเรยงกนเปนแถวตรง โดยท หญงทงสองคนตองยนไมตดกน ตวอยางท 6 จดชาย 3 คน หญง 3 คน ยนเรยงกนเปนแถวตรง โดยยนสลบกนระหวางชาย และหญงไดทงหมดกวธ

ดงนน โดยกฎการคณจะไดจ านวนวธการเรยงสบเปลยนสงของ n สงซงแตกตางกนทงหมด โดยจดทละ r สงเทากบ

n(n-1)(n-2)(n-3)…(n – r + 1) = n !

( n r ) !

จ านวนวธการเรยงสบเปลยนสงของ n สงซงแตกตางกนทงหมด โดยจดทละ r สงเขยนแทนดวย Pn,r

นนคอ Pn,r = )!(

!

rn

n

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค30204 ความนาจะเปนเบองตน ชน ม.5 หนา - 7 –

ตวอยางท 7 มชาย 6 คน หญง 6 คน น าชายหญงทงหมดนมาเขาแถวในแนวตรง จงหาจ านวนวธท 7.1 ชาย 2 คน ยนสลบกบหญง 2 คน 7. 2 ชาย 3 คน ยนสลบกบหญง 3 คน 7. 3 ชาย 6 คน ยนสลบกบหญง 6 คน

แบบฝกหดท 2 1. ถามธง 7 ผน ผนละ 1 ส น าธงทงหมดมาผกเปนแถวยาวเพอท าเปนสญญาณ ธง

จะสามารถท าเปนสญญาณธง ไดกวธ 2. จะสรางจ านวนเตมบวกทม 4 หลก จากเลขโดด 1, 2, 3, 4, 5 และ 6

ไดทงทงหมดกจ านวนโดยทจ านวนเลขใน แตละหลกไมซ ากนเลย 3. มหนงสอคณตศาสตรตาง ๆ กน 3 เลม ภาษาองกฤษ ทแตกตางกน 2 เลม

และ ภาษาไทยทแตกตางกน 3 เลม น าหนงสอเหลานวางเรยงบนชนเปนแถวยาว จะมวธวางเรยงกนไดกวธ โดยมเงอนไขวาหนงสอวชาเดยวกนตองตดกนเสมอ

4. จะมกวธทจะน าตวอกษรจากค าวา DAUGHTER มาจดเรยงเปนค าใหมโดยทค าดงกลาว ไมมความหมายกไดแตตองไมมสระ 2 ตวใดอยตดกนเลย

5. จากตวอกษรในค าวา EDUCATION 1) ถาน าอกษร 4 ตว มาจดเปนค าใหมไดกวธ 2) ถาน าอกษรทกตวมาจดเปนค าทขนตนดวยสระ จะท าไดกวธ (แตละค าไมจ าเปนตองมความหมาย)

6. มหนงสอ 8 เลม ไมเหมอนกนใน 8 เลมน มหนงสอคณตศาสตร 1 เลม เคม 1 เลม ฟสกส 1 เลม น าหนงสอทงหมด 8 เลม มาวางเรยงบนชนเปนแถวยาวจะท าไดกวธเมอ 1) หนงสอคณตศาสตร เคม และฟสกส ตองอยตดกนหมด 2) หนงสอคณตศาสตร เคม และฟสกส อยตดกนหมดโดยคณตศาสตรตองอย ตรงกลาง

7. รถยนตคนหนงมทนงขางหนา 2 ท และมทนงขางหลง 3 ท มคนจะนงรถทงหมด 5 คน และในจ านวนนมคนขบรถได 2 คน จะมวธจดคนทงหมดไดนงรถทงหมด ไดกวธ

8. จงหาจ านวนวธทสามภรรยา 4 ค เลอกนงบนเกาอแถวหนง ซงมทงหมด 9 ตว โดยทสามและ ภรรยาแตละคจะตองนงชดกนเสมอ ไดกวธ

9. มชาย 4 คน หญง 4 คน และเดก 4 คน ยนเรยงเปนแนวตรง จงหาจ านวนวธท 1) ชาย หญง และเดก ยนสลบคราวละ 1:1:1 2) ชาย หญง และเดก ยนสลบคราวละ 2:2:2 3) ชาย หญง และเดก ยนสลบคราวละ 4:4:4

10. จงหาจ านวนวธทจะจดใหนกเรยน 12 คน ยนเขาแถวเปน 3 แถว โดยทแถวหนา สดเปน 3 คน แถวกลางเปน 4 คน และแถวหลงสดม 5 คน

11. จงหาจ านวนวธทจะจดชาย 10 คน ยนแถวเขาแถวในแนวตรง 2 แถว ๆ ละ 5 คน

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค30204 ความนาจะเปนเบองตน ชน ม.5 หนา - 8 –

4. การเรยงสบเปลยนสงของทแตกตางกนทงหมดในแนววงกลม

ตวอยางท 1 น าคน 3 คน มายนลอมเปนวงกลมไดกวธ วธท า น าคน 3 คน มาเรยงล าดบในแนวตรงได___________ วธ แนวตรง แนววงกลม จาก_______ วธ ในแนวตรงเปลยนเปนวงกลมได 1 วธ ดงนน 3! วธ ในแนวตรงเปลยนเปนวงกลมได _______ วธ ตวอยางท 2 น าคน 4 คน มาลอมเปนวงกลมไดกวธ วธท า น าคน 4 คนมาเรยงล าดบในแนวตรงได ____________ วธ แนวตรง แนววงกลม จาก ________ วธ ในแนวตรงเปลยนเปนวงกลมได 1 วธ ดงนน 4! วธ ในแนวตรงเปลยนเปนวงกลมได ________ วธ

จ านวนวธเรยงสบเปลยนเชงวงกลมของสงของ n สงทแตกตางกนทงหมดเทากบ (n-1)!

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค30204 ความนาจะเปนเบองตน ชน ม.5 หนา - 9 –

ตวอยางท 3 มมานงแบบตาง ๆ กนอย 6 ตว จะน ามาเรยงกนลอมรอบตนไมเพอนงเลน จะได วธทแตกตางกนทงหมดกวธ ตวอยางท 4 .จงหาจ านวนวธทจะน าชาย 5 คน มายนลอมเปนวงกลม 1) คราวละ 3 คน 2) คราวละ 4 คน

สรป 1) ในการน าสงของทแตกตางกน n สงมาจดเรยงเปนวงกลมเพยง r สง จะมจ านวนวธจดไดทงหมด____________ วธ 2) ในการน าสงของทแตกตางกน n สงมาจดเรยงเปนวงกลม และมองเหนได 2 ดาน เชน พวงมาลย สรอยคอ จะมจ านวนวธจดไดทงหมด____________ วธ

ตวอยางท 5 จงหาจ านวนวธจดชาย 6 คน หญง 6 คนมายนเรยงยนสลบกนเปนวงกลม ตามเงอนไขตอไปน 1) ใหชาย 1 คน สลบกบหญง 1 คน 2) ใหชาย 2 คน สลบกบหญง 2 คน 3) ใหชาย 3 คน สลบกบหญง 3 คน ตวอยางท 6 จงหาจ านวนวธจดชาย 3 คน เดก 3 คน และหญง 3 คนมายนเรยงเปนวงกลม ตามเงอนไขตอไปน 1) ใหชาย หญง และเดก ยนสลบกนคราวละ 1:1:1 2) ใหชาย หญง และเดก ยนสลบกนคราวละทงหมด

แบบฝกหดท 3 1. จะมวธทจะจดชาย 10 คน นงลอมโตะกลมคราวละ 8 คน ไดทงหมดกวธ

2. พอ แม และลกอก 3 คน นงรอบโตะกลม จะมวธทสามารถจดให พอ แม และ ลกคนชายคนโต นงตดกนหมดโดยแมนงตรงกลาง ไดทงหมดกวธ

3. มกระถางตนไมอย 6 กระถาง ในจ านวนนมตนกหลาบและตนเฟองฟาอยดวย ถาตองการปลกไมประดบเหลานรอบเสาธง โดยใหตนกหลาบและตนเฟองฟา อยตรงขามกนเสมอ จะปลกตนไมทแตกตางกนทงหมดกวธ

4. จดคน 7 คน นงรบประทานอาหารรอบโตะกลม โดยใหสามภรรยา 1 ค ทก าหนดให นงตดกนเสมอ ไดทงหมดกวธ

5. มหลอดไฟ 5 ส ๆ ละ 1 หลอด น าหลอดไฟทง 5 หลอดมาตดรอบโครงไมทท าเปนวงกลม เพอท าปายโฆษณาทดได 2 หนา ไดทงหมดกวธ

6. คนองกฤษ 7 คน กบคนฝรงเศส 6 คน นงเปนวงกลมโดยไมใหคนฝรงเศสนงชดกนไดทงหมดกวธ

7. จะมกวธทจะจดชาย 5 คน และหญง 4 คน ใหนงรอบโตะกลม ถาไมมหญง 2 คน ใดนงตดกน

8. จะมกวธทจะจดหนงสอคณตศาสตร 4 เลม ภาษาองกฤษ 4 เลม ภาษาไทย 4 เลม และสงคมศกษา 4 เลม วางบนหงซงจดไวเปนวงกลม โดยทหนงสอวชาเดยวกน จะอยตดกนเสมอ (หนงสอแตละเลมมความแตกตางกน)

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค30204 ความนาจะเปนเบองตน ชน ม.5 หนา - 10 –

5. การเรยงสบเปลยนสงของทไมแตกตางกนทงหมด

ตวอยางท 1 จงหาจ านวนวธการเรยงสบเปลยนตวอกษรจากค าวา "tobacco"

ตวอยางท 2 จงหาจ านวนวธการเรยงสบเปลยนตวอกษรจากค าว "statistics"

ตวอยางท 3 มน าอดลมขนาดเดยวกน 12 ขวด ม เปปซ 3 ขวด น าสมมรนดา 4 ขวด และ เซเวนอพ 5 ขวด จะจดวางน าอดลมทง 12 ขวดนในแนวตรง จะจดไดกวธ

ตวอยางท 4 มจานขนาดเดยวกน 8 ใบ เปนลายเดยวกนหมด เปนสเหลอง 2 ใบ สขาว 3 ใบ และสชมพ 3 ใบ น ามาเรยงสบเปลยนในแนวตรงไดกวธ

ตวอยางท 5 จงหาจ านวนวธจดน าอดลมขนาดเดยวกน 10 ขวด ประกอบดวยเปปซ 5 ขวด น าสมมรนดา 3 ขวด และเซเวนอพ 2 ขวดวางเรยงเปนวงกลม ตวอยางท 6 มจานขนาดเดยวกนอย 9 ใบ เปนลายสเหลองเหมอนกนอย 2 ใบ สชมพเหมอนกน อย 3 ใบ และ สเขยวเหมอนกน 4 ใบ น าจานเหลานมาจดวางเรยงรอบโตะกลมได กวธ

ถามสงของอย n สง ในจ านวนนม 1

n สงทเหมอนกนเปนกลมทหนง ม 2

n สงท เหมอนกนเปนกลมท สอง… และม

kn สง ทเหมอนกนเปนกลมท k โดยท

knnnnn ...

321

จ านวนวธเรยงสบเปลยนของสงของทง n สงนเทากบ !!...!!

!

321 knnnn

n วธ

การจดของ n สงทไมแตกตางกนทงหมด โดยกลมท 1 เหมอนกน n1 สง

กลมท 2 เหมอนกน n2 สงจนถงกลมท k เหมอนกน nk สง และ 1 2 3 kn , n , n , . . . , n 1

จ านวนวธจดเรยงสบเปลยน เปนวงกลมเทากบ__________________วธ

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค30204 ความนาจะเปนเบองตน ชน ม.5 หนา - 11 –

วธการหาจ านวนวธเรยงสบเปลยนสงของทไมแตกตางกนทงหมดในแนววงกลมโดยท 1 2 3 kn , n , n , . . . , n 1

คาบ ( period ) ของวธการเรยงสบเปลยนในแนวตรง เชน ABCABC BCABCA CABCAB มคาบเปน 3 AABBCC ABBCCA BBCCAA BCCAAB CCAABB CAABBC มคาบเปน 6 ตวอยางท 7 จงหาจ านวนวธ จดอกษร 6 ตว คอ A, A, B, B, C, C ในแนววงกลม ตวอยางท 8 จงหาจ านวนวธ จดอกษร 8 ตว คอ A, A, A, A, B, B, B, B ในแนววงกลม

d เปนคาบของวธการเรยงสบเปลยนแบบเชงเสนของสงของ n สงทไมแตกตางกนทงหมด กตอเมอ d

n หาร k

nnnn ,...,,,321

ลงตว

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค30204 ความนาจะเปนเบองตน ชน ม.5 หนา - 12 –

แบบฝกหดท 3 1. จดนกเรยนเขาชมละคร 9 คน โดยซอตวราคา 50 บาท 2 คน ตวราคา 100 บาท 3 คน และตวราคา 200 บาท 4 คน จะจดไดทงหมดกวธ 2. มหนงสอคณตศาสตรเหมอนกน 3 เลม เคมเหมอนกน 2 เลม และชววทยาเหมอนกน 3 เลม จะจดเรยงบนชนหนงสอทมรปเปนวงกลมได กวธถา 1) ไมมเงอนไขเพมเตม 2) หนงสอวชาเดยวกนตองอยตดกน 3. จงหาจ านวนวธทงหมดในการจดอกษรในค าวา COLLEGE 4. จากอกษรค าวา "member" ถาน ามาจดเรยงสบเปลยนในแนวตรง แลวสระตองอยตดกนเสมอไดกวธ 5. จากอกษรค าวา "EXPERIMENT" ถาน ามาเรยงสบเปลยนในแนวตรงไดกวธ ถาสระทกตวตองอยตดกน 6. จะสรางจ านวนเลขทมากกวาหนงแสน จากเลขโดด 2 , 3 , 0 , 3 , 2 , 3 ไดกจ านวน 7. ก าหนดใหเสนแตละเสนตอไปนแทนถนน นาย ก จะเดนทางจากจด A ไปยงจด B ไดกวธ โดยทในการเดนทางแตละครง ตองเดนไปทางทศตะวนออกหรอทศเหนอเทานน

B A 8. มลกบอลสแดงเหมอนกน 2 ลก สน าเงนเหมอนกน 3 ลก และสเขยวเหมอนกน 4 ลก จะมวธเรยงสบเปลยนแบบวงกลมของลกบอลทงหมดกวธ 9. มหนงสอคณตศาสตร 1 เลม หนงสอเคมเหมอนกน 2 เลม หนงสอฟสกสเหมอนกน 2 เลม และหนงสอชววทยาเหมอนกน 3 เลม ถาตองการน าหนงสอทงหมดมาวางเรยงเปนวงกลม จะมวธเรยงสบเปลยนกวธ เมอ 1) ไมมเงอนไขใดเพมเตม 2) หนงสอวชาเดยวกนอยตดกน 10. ถาตองการทาสด าและทาสขาวลงในชองบนแผนวงแหวนทม 8 ชองทกชอง โดยทาสด า 6 ชอง จะมจ านวนวธทาสทงหมดกวธ 11. ถาตองการทาสด า สขาว และสเขยว ในชองบนแผนวงแหวนทม 8 ชอง โดยทาสด า 2 ชอง และสขาว 2 ชอง จะมจ านวนวธทาสทงหมดกวธ เมอตองการใหชองททาสด าอยตดกน 12. มแทงไมรปพระมดฐานเปนรปหกเหลยมดานเทามมเทา ตองการทาสแดง สขาว และสน าเงน โดยทาสทฐาน 1 ส สวนดานขางทาสละ 2 ดาน จงหาจ านวนวธการทาส เมอ 1) ไมมเงอนไขใดเพมเตม 2) ดานขางททาสขาว 2 ดานอยตดกน

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค30204 ความนาจะเปนเบองตน ชน ม.5 หนา - 13 –

6. วธการจดหม ตวอยางท 1 จงหาคาของ

1)

1 0

3 2)

1 0

7 3)

8

6

4) 8

2

ตวอยางท 2 จงหาคา n จากสมการ

1)

12

3

=

12

r

2) 7 5

n n

ตวอยางท 3 จงหวดหนงมผแทนได 3 คน ถามผสมคร 10 คน จะเลอกผแทน 3 คนไดกวธ ตวอยางท 4 มสตาง ๆ กน 8 ส ใน 8 สนมสแดง น าเงนและเขยว รวมอยดวยจะมวธตาง ๆ ถาเลอกสมา 5 ส โดยท 1) ใน 5 สน มสน าเงนและสเขยวอยเสมอ 2) ใน 5 สน ตองไมมสแดง 3) ใน 5 สน ตองมสแดงและสน าเงนและไมมสเขยว ตวอยางท 5 ถงใบหนงมลกบอลสขาว 6 ลก ลกบอลสด า 5 ลก จะมกวธทจะหยบลกบอลออกจากถง 4 ลก โดยมสขาว 2 ลก และสด า 2 ลก

แบบฝกหดท 4 1. มหนงสอ 7 เลมทแตกตางกน ใหเพอนขอยม 4 เลม จะมวธใหยมกวธ 2. มจด 10 จด ก าหนดอยบนเสนรอบวงของวงกลมวงหนง จะลากเสนตรงไดกเสน โดยทเสนตรงแตละเสนตองผานจด 2 จดใน 10 จดน

จ านวนวธจดหมสงของทแตกตางกน n สงใหมหมละ r สง เมอ nr

เทากบ )!(!

!

rnr

n

แทนดวยสญลกษณ n rC หรอ

r

n

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค30204 ความนาจะเปนเบองตน ชน ม.5 หนา - 14 –

3. ก าหนดให r r

1 8

2

1 8

จงหา 5

r

4. จงหาจ านวนเสนทแยงมมของรป 10 เหลยมดานเทา 5. มนกฟตบอล 15 คน ซงม ก, ข และ ค รวมอยดวย ตองการเลอกนกฟตบอล ลงไปแขงขนในสนาม 11 คน จะมวธเลอกไดกวธ ถา 1) ใน 11 คนนนตองไมม ก และ ข 2) ใน 11 คนนนตองม ก, ข และ ค รวมอยดวยเสมอ 6. ภรรยานกการทตไทยคนหนง ตองการเชญภรรยานกการทตชาตตาง ๆ มารบประทานอาหารทบาน 4 คน ในบรรดานกการทตเยอรมน ฝรงเศส อเมรกน องกฤษ รสเซยและจน จะมวธเชญกวธถา 1) ไมมเงอนไขเพมเตม 2) ถาตองการเชญนกการทตอเมรกน 3) ถาตองการเชญภรรยานกการทตอเมรกน หรอรสเซยอยางนอย 1 คน 4) ถาระหวางภรรยานกการทตจน และรสเซยจะเชญมาทงคไมได 7. ในการประชมทางวชาการครงหนง มบคคลหลายอาชพเขารวมประชมดงน นกวชาการ 8 คน นกธรกจ 3 คน และอาชพอน ๆ 10 คน ตองการเลอกกรรมการ 4 คน โดยจะตองมนกธรกจเปนกรรมการอยางนอยครงหนงจะมกวธ 8. จงหาจ านวนวธทจะเลอกกรรมการชดละ 8 คน จากนกเรยนหญง 6 คน นกเรยน ชาย 10 คน โดยมเงอนไขดงน 1) กรรมการชดนมนกเรยนหญง 2 คนเทานน 2) กรรมการชดนมนกเรยนหญงอยางนอย 5 คน 9. เสนขนานชดท 1 ม 5 เสน เสนขนานชดท 2 ม 4 เสน ถาใหเสนขนานทง 2 ชดนตดกน จะเกดสเหลยมดานขนานทงหมดกรป 10. มอกษรพมพใหญอย 3 ตว คอ A,B, และ C พยญชนะตวพมพเลก 5 ตว คอ m , p , q , r และ s มสระ ตวพมพเลกอย 4 ตว คอ a,e,o,u ถาน ามาจดเปนค าซงประกอบดวยอกษร 6 ตว ซงไมมความหมายกไดและค าดงกลาวตองประกอบดวยพยญชนะ ตวพมพเลก 3 ตว สระตวพมพเลก 2 ตว และตองขนตนดวยอกษรใหญ 1 ตว จะจดไดกวธ

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค30204 ความนาจะเปนเบองตน ชน ม.5 หนา - 15 –

11. คนกลมหนงม 10 คน ตกลงกนวาในการประชมคราว ๆ หนงจะตองมผเขารวมประชม อยางนอย 5 คน จงจะครบองคประชม อยากทราบวาจะมการประชมครบองคประชมกวธ 12. มหนงสออย 8 เลม ชายคนหนงมเงนพอซอหนงสอไดไมเกน 3 เลม อยากทราบวาเขาจะเลอกซอหนงสออยางนอย 1 เลม ไดกวธ 13. มหนงสออานเลนอย 3 เรอง เรองท 1 เหมอนกนอย 10 เลม เรองท 2 เหมอนกน อย 7 เลม เรองท 3 เหมอนกนอย 13 เลม อยากทราบวาจะเลอกหนงสอมอบหองสมด ไดกวธ 14. เดกคนหนงมเหรยญบาทอย 4 อน เหรยญ 5 บาทอย 8 อน เหรยญ 10 บาท 7 อน จะมกวธทเดกคนนจะพกเงน( ทงหมดหรอบางสวน ) ออกจากบาน 15. ชายคนหนงมเพอนชาย 5 คน เพอนแตละคนมภรรยา ถาเขาจะเชญเพอนจาก 5 คนน และภรรยาดวยกไดไปกนเลยงทบาน( เชญแตภรรยาเพอนโดยไมเชญเพอนไมได ) จ านวนวธทเขาจะเชญไดทงหมดกวธ 16. กลองใบท 1 มลกหนสขาว 3 ลก สแดง 2 ลก สด า 2 ลก กลองใบท 2 มลกหนสขาว 2 ลก สแดง 3 ลก สด า 3 ลก โดยทลกหนทกลกแตกตางกน จงหาจ านวนวธหยบลกหน จากกลองทง 2 กลอง ๆ ละ 2 ลก 1) โดยไมมเงอนไขเพมเตม 2) ใหไดสขาวทง 4 ลก 3). ใหไดสด า 2 ลก 4) ใหไดสขาว 3 ลก 5) ใหไดสแดง 3 ลก สด า 1 ลก 17. จงหาจ านวนสเหลยมมมฉากจากรปตอไปน

1. 2.

18 . จงหาจ านวนจดทมากทสดทเกดจากการตดของ 1) เสนตรง 5 เสน 2) เสนตรง 5 เสน และวงกลม 3 วง

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค30204 ความนาจะเปนเบองตน ชน ม.5 หนา - 16 –

ทฤษฎบท จ านวนวธเรยงสบเปลยนของ r สง ซงเลอกมาจากของ n สงทแตกตาง โดยจดในแนวตรง = _____________ วธ

การจดหมและการเรยงสบเปลยน

ตวอยางท 1 มคน 10 คน จะยนเรยงแถวเพอถายรปทละ 5 คน จะไดภาพทแตกตางกนทงหมดกภาพ ตวอยางท 2 จะเลอกตวอกษร 3 ตวในค าวา COLLEGE มาจดเปนค าใหมไดกวธ (โดยทค านนจะม หรอไมมความหมายกได) ตวอยางท 3 จะเลอกตวอกษร 4 ตวจากค าวา POPORTION มาเรยงสบเปลยนเปนค าใหมไดกวธ ตวอยางท 4 น าคน 5 คนจากคนทงหมด 10 คน มายนเปนวงกลมไดกวธ ตวอยางท 5 มชาย 5 คน หญง 5 คน ตองการน าชาย 3 คน หญง 3 คน มายนเปนวงกลมจะไดทงหมดกวธ ตวอยางท 6 จงหาจ านวนวธทจะจดชาย 4 คน กบหญง 4 คน ใหยนเรยงกนเปน 1) ยนเปนวงกลมทง 8 คน 2) ยนเปนวงกลม โดยใหหญงทง 4 คนยนตดกน 3) ยนเปนวงกลม โดยใหชาย 2 คนทก าหนดใหยนตดกน 4) ยนเปนวงกลม โดยใหชาย 2 คนทก าหนดใหยนแยกกน

ทฤษฎบท จ านวนวธการเรยงสบเปลยนของ r สง ซงเลอกมาจากของ n สงท แตกตางกนใน แนววงกลมได_____________ วธ

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค30204 ความนาจะเปนเบองตน ชน ม.5 หนา - 17 –

วธจดหมของสงของอยางนอย r สงจากสงของทแตกตางกนทงหมด n สง

สมมตใหมสงของทแตกตางกน n สง จะไดวา จ านวนวธจดหมของสงของ 0 สง (ไมเลอกเลย) เทากบ n 0C วธ จ านวนวธจดหมของสงของ 1 สง เทากบ n 1C วธ จ านวนวธจดหมของสงของ 2 สง เทากบ n 2C วธ

จ านวนวธจดหมของสงของ r 1 สง เทากบ n r 1C

วธ

จ านวนวธจดหมของสงของ r สง เทากบ n rC วธ จ านวนวธจดหมของสงของ r 1 สง เทากบ n r 1C

วธ

จ านวนวธจดหมของสงของ n สง เทากบ n nC วธ ดงนน จ านวนวธจดหมของสงของอยางนอย r สง เทากบ n rC + n r 1C

+ n r 2C

+ … + n nC

ขอสงเกต 1) จ านวนวธจดหมอยางนอย 1 สง หรอไมเลอกเลย เทากบ n

2 วธ 2) จ านวนวธจดหมอยางนอย 1 สง เทากบ n n

02 C = n2 1 วธ

ตวอยางท 1 มคนกลมหนงจ านวน 10 คน ถาตองการเลอกตวแทนจากคนกลมน จะมวธเลอกตวแทนดงกลาวกวธ เมอตวแทนแตละชดจะตอง 1) มคนอยางนอย 1 คน 2) มคนอยางนอย 2 คน 3) มคนอยางนอย 3 คน ตวอยางท 2 ในกลองใบหนงมลกบอลทแตกตางกน 10 ลก ในจ านวนนเปนลกบอลสแดง 2 ลก สขาว 3 ลก และสเขยว 5 ลก เดกคนหนงตองการหยบลกบอลออกมาจากกลองนจ านวนหนง อยากทราบวา เดกคนนจะมวธการหยบทงหมดกวธ เมอตองการให 1) ไดลกบอลอยางนอย 1 ลก 2) ไดลกบอลสแดงหรอขาวอยางนอย 1 ลก 3) ไดลกบอลครบทกส

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค30204 ความนาจะเปนเบองตน ชน ม.5 หนา - 18 –

วธจดหมของสงของอยางนอย r สงจากสงของทเหมอนกนทงหมด n สง

สมมตใหมสงของทเหมอนกนหมด n สง จะไดวา จ านวนวธจดหมของสงของ 1 สง เทากบ 1 วธ จ านวนวธจดหมของสงของ 2 สง เทากบ 1 วธ จ านวนวธจดหมของสงของ 3 สง เทากบ 1 วธ

จ านวนวธจดหมของสงของ n สง เทากบ 1 วธ ดงนน 1) จ านวนวธจดหมของสงของ r สง เทากบ 1 วธ 2) จ านวนวธจดหมของสงของอยางนอย 1 สง เทากบ n วธ 3) จ านวนวธจดหมของสงของอยางนอย 1 สง หรอไมเลอกเลย เทากบ n + 1 วธ ตวอยางท 1 มลกบอลทเหมอนกน จ านวน 8 ลก จะไดวา

1) จ านวนวธเลอกลกบอลอยางนอย 1 ลก หรอไมเลอกเลย เทากบ.....................วธ 2) จ านวนวธเลอกลกบอลอยางนอย 1 ลก เทากบ.....................วธ 3) จ านวนวธเลอกลกบอลอยางนอย 2 ลก เทากบ.....................วธ 4) จ านวนวธเลอกลกบอลอยางนอย 5 ลก เทากบ.....................วธ

ตวอยางท 2 มนกเรยนชาย 5 คน และนกเรยนหญง 4 คน และมลกบอลสแดงเหมอนกน 6 ลก ลกบอลสขาวเหมอนกน 7 ลก ถาตองการเลอกนกเรยนและลกบอลออกมาจ านวนหนง จงหาจ านวนวธการเลอกเมอ

1) ไดทงนกเรยนชาย และนกเรยนหญง และไดลกบอลทงสองส 2) ไดนกเรยนชายอยางนอย 1 คน และไดลกบอลสแดงอยางนอย 2 ลก 3) ไดนกเรยนหญงอยางนอย 2 คน และไดลกบอลสขาวอยางนอย 3 ลก

ตวอยางท 3 ก าหนดให A = {1, 2, 3, 4} และ B = {1, 3, 5, 7, 9} จงหา

1) จ านวนความสมพนธจาก A ไป B ซงมโดเมนเทากบ A 2) จ านวนความสมพนธบน B ซงมโดเมนเทากบ C B และ C มสมาชก 3 ตว

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค30204 ความนาจะเปนเบองตน ชน ม.5 หนา - 19 –

การแบงกลมสงของ ถามสงของทแตกตางกนจ านวน n สง ตองการแบงสงของทงหมดออกเปนกลมยอย ๆ จ านวน k กลม แตละกลมมจ านวนสงของ ดงน กลมท 1 มสงของจ านวน 1n สง กลมท 2 มสงของจ านวน 2n สง

กลมท k มสงของจ านวน kn สง โดยท 1 2 kn , n , . . . , n ไมมจ านวนใดเทากน และ 1 2 kn n . . . n n จะไดวา ในกรณทมบางกลมมจ านวนสงของเทากน จ านวนวธการแบงกลมขนอยกบวา กลมทมจ านวนสงของเทากน มตวบอกถงความแตกตางระหวางกลมหรอไม ดงน กรณท 1 กลมทมจ านวนสงของเทากน มความแตกตางระหวางกลม ในกรณน กรณท 2 กลมทมจ านวนสงของเทากน ไมมความแตกตางระหวางกลม ในกรณน เมอ im แทนจ านวนกลมทมสงของเทากน พวกท 1 , 2 , 3 , . . . , j ตวอยางท1 จะแบงคน 12 คนเขาพกในหอง 3 หอง โดยทแตละหอง พกได 3 คน 4 คนและ 5 คนไดกวธ ตวอยางท 2 พรรคการเมองพรรคหนงมสมาชก 11 คน จะแบงเปน 2 กลม กลมละ 5 คนหนงกลม และ 6 คน อกหนงกลม จะจดไดกวธ ตวอยางท 3 ในการฝกการสะกดรอยของพลทหารกลมหนงม 10 คน ครฝกตองการแบงเปนกลมยอย กลมละ 2 คน 3 คนและ 5

คน จะมวธแบงกลมยอยไดกวธ

จ านวนวธการแบงกลม เทากบ 1 2 k

n !

n ! n ! . . . n ! วธ

จ านวนวธการแบง เทากบ 1 2 k

n !

n ! n ! . . . n ! วธ

จ านวนวธการแบง เทากบ 1 2 k 1 2 j

n !

( n ! n ! . . . n ! ) m ! m ! . . . m ! วธ

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค30204 ความนาจะเปนเบองตน ชน ม.5 หนา - 20 –

ตวอยางท 4. มผลไมอย 10 ผล 1) จะแบงเปน 2 กอง ๆ ละ 6 ผลและ4ผลจะจดผลไมไดกวธ 2) จะแบงใหเดก 2 คน ๆ ละ 6 และ 4 ผลไดกวธ ตวอยางท 5 แบงผลไม 10 ผล ออกเปน 2 กอง ๆ ละ 5 ผล ไดกวธ และถาแบงผลไม 10 ผลให เดก 2 คน ๆ ละ 5 ผล ไดกวธ ตวอยางท 6 ครคนหนงมสมดทแตกตางกน 8 เลม ตองการแบงสมดทงหมดใหกบนกเรยน 3 คน โดยทนกเรยนแตละคนไดรบสมดอยางนอย 1 เลม ครจะมวธการแบงกวธ

ถามสงของทเหมอนกน จ านวนวธการแบงสงของเปนดงน กรณท 1 มสงของทเหมอนกนหมดจ านวน n ชน ตองการแบงสงของทงหมดออกเปนกลมยอย ๆ จ านวน k กลม โดยทแตละกลมมความแตกตางระหวางกลม และตองการใหแตละกลมมสงของอยางนอย 1 ชน

จ านวนวธการแบง เทากบ n 1

k 1

วธ

กรณท 2 มสงของทแตกตางกน m ประเภท โดยทแตละประเภทมสงของเหมอนกนจ านวนอยางนอย r ชน ตองการเลอกสงของเหลาน r ชน โดยเลอกซ าประเภทกนได

จ านวนวธการแบง เทากบ r m 1

r

วธ

ตวอยางท 7 มลกบอลเหมอน ๆกน จงหาจ านวนวธท 1) ถาแบงลกบอล 4 ลกใหกบนาย ก และนาย ข โดยทแตละคนตองไดรบอยางนอย 1 ลก 2) ถาแบงลกบอล 4 ลกเปน 2 กอง โดยทแตละกองตองมลกบอลอยางนอย 1 ลก ตวอยางท 8 มลกอมชนดเดยวกน 7 เมด ตองแบงใหเดก 4 คน โดยทแตละคนตองไดอยางนอยคนละ 1 เมด จะท าไดกวธ

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค30204 ความนาจะเปนเบองตน ชน ม.5 หนา - 21 –

ตวอยางท 9 รานขายเครองเขยนแหงหนง ขายดนสอจ านวน 10 ยหอ แตละยหอ มลกษณะเหมอนกนและ มไมนอยกวา 4 แทง จงหาจ านวนวธซอดนสอจ านวน 4 แทง ตวอยางท 10 มลกบอลสแดง สฟา และสมวงททกลกมขนาดเทากนอยเปนจ านวนมาก จงหาจ านวนวธหยบลกบอล 10 ลก โดยมเงอนไขวา ตองมลกบอลสแดงอยางนอย 5 ลก ตวอยางท 11 จงหาจ านวนผลเฉลยของสมการ X + Y+ Z = 25 เมอ X, Y , Z เปนจ านวนเตมทไมเปนลบ ตวอยางท 12 จงหาจ านวนวธในการแจกดนสอทเหมอนกน 10 แทง และสมดทเหมอนกน 12 เลมใหเดก 5 คน ตวอยางท 13 จงหาจ านวนวธทจะน าหนงสอทเหมอนกน 10 เลมแจกใหนกเรยน 4 คนใหแจกทงหมดโดยทแตละคน ตองไดรบไมนอยกวา 1 เลม ตวอยางท 14 มลกบอล 7 ลก ใสลงในหบ 3 ใบไดกวธ โดยทหบแตละใบรบลกบอลไดหลายลกและมเงอนไขตอไปน 1) ลกบอลตางกน และหบตางกน 2) ลกบอลเหมอนกนทกลกแตหบไมเหมอนกน (บางหบอาจจะไมมลกบอลกได) 3) ลกบอลเหมอนกนทกลกแตหบไมเหมอนกน (ทกหบตองมลกบอล) 4) ลกบอลตางกนแตหบทกใบเหมอนกน (หบทกใบตองมลกบอล) 5) ลกบอลเหมอนกนทกลก และหบเหมอนกนทกใบ (หบทกใบตองมลกบอล)

แบบฝกหดท 5 1. ขอสอบฉบบหนงม 10 ขอใหตอบเพยง 8 ขอ โดยทจะตองท าอยางนอย 3 ขอ จาก 4 ขอแรก

อยากทราบวาผท าครบ 8 ขอ จะมวธเลอกตอบไดกวธ 2. โยนลกเตา 3 ลก 1 ครง จงหาจ านวนวธทลกเตาจะขน

1) หนาตางกนทง 3 ลก 2) หนาจะขนเพยง 2 ตวเลขเทานน

3. จดชาย 6 คน และหญง 9 คน นงเปนวงกลมโดยสลบชาย 2 คน และหญง 3 คนไดกวธ 4. มจ านวนวธทจะแบงสงของ 6 สงออกเปน 2 กองไดกวธ และมจ านวนวธแบงของ 6 สง ใหแกเดก 2 คนไดกวธ

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค30204 ความนาจะเปนเบองตน ชน ม.5 หนา - 22 –

5. จะแบงคน 9 คนเขาพกในหอง 3 หอง ซงแตละหองพกได 4 คน โดยแบงเปน 3 กลม กลมละ 2 คน 3 คน และ 4 คน ไดกวธ

6. มดนสออย 8 แทงเหมอน ๆ กน ตองการแบงเปน 3 กอง โดยทแตละกองตองมดนสออย อยางนอย 1 แทงไดกวธ

7. จงหาจ านวนวธในการแบงผลไม 18 ผล ตามเงอนไข ตอไปน 1) แบงเปน 2 กอง ๆ ละเทา ๆ กน 2) แบงเปน 3 กอง ๆ ละเทา ๆ กน 3) แบงใหเดก 2 คน คนละเทา ๆ กน 4) แบงใหเดก 3 คน คนละเทา ๆ กน 5) แบงใหแดง ด า และขาวได 3, 6 และ 9 ผลตามล าดบ 6) แบงใหเดก 3 คนเปนอตราสวน 1:2:3 7) แบงใหเดก 4 คนเปนอตราสวน 1:1:2:2 8) แบงใหแดง และด า โดยทคนหนงไดมากกวาอกคนหนง 4 ผล 8. นกทองเทยวกลมหนง ม 7 คน เขาพกในโรงแรมแหงหนง ซงมหองวาง 7 หอง จงหาจ านวนวธเขาพก 1) ไมม 2 คนใดๆ พกหองเดยวกน 2) ถาใน 7 คนมอย 2 คนทเปนสามภรรยากนและตองการพกหองเดยวกนคนอนๆพกหองละ 1 คน 3) ถาใน 7 คนเปนชาย 4 คนหญง 3 คนและหญงทง 3 คนตองการพกหองเดยวกน ชายพกหองละ 1 คน

9. มของขวญเหมอนกน 6 ชน จะใหของขวญทงหมดแกคน 4 คน คนละกชนกไดจะกระท าไดกวธ

10. มของขวญเหมอนกน 6 ชน จะใหของขวญทงหมดแกคน 4 คน คนละกชนกไดจะกระท าไดกวธ โดยไมจ าเปนตองใหหมด 11. มหนงสอคณตศาสตร วทยาศาสตร และภาษาองกฤษ อยางละ 6 เลม โดยทหนงสอแตละชนดเหมอนกน จะมวธแจก

หนงสอเหลานจ านวน 6 เลม ใหนกเรยนคนหนงไดกวธ 12. มหนงสอคณตศาสตร วทยาศาสตร และภาษาองกฤษอยางละ 6 เลมโดยทหนงสอแตละชนดเหมอนกน จะมวธแจก

หนงสอเหลานจ านวน 6 เลมใหนกเรยนคนหนงไดกวธ โดยทใหมหนงสอคณตศาสตรอยางนอย 1 เลม และหนงสอภาษาองกฤษอยางนอย 2 เลม ใหเขยนแจกแจงวธตางๆ

13. จงหาจ านวนค าตอบทเปนจ านวนเตมทไมเปนลบของสมการ X + Y + Z = 10 14. จงหาจ านวนค าตอบทเปนจ านวนเตมบวกของสมการ X + Y + Z = 10 15. จงหาจ านวนค าตอบทเปนจ านวนเตมบวกของอสมการ X + Y + Z 10 16. จงหาจ านวนค าตอบทเปนจ านวนเตมทไมเปนลบของอสมการ X + Y + Z 10 17. มปากกาทเหมอนกน 3 ดาม ดนสอทเหมอนกนจ านวนมาก และไมบรรทดจ านวนมาก จะแจกของเหลาน 6 ชน ใหเดก

คนหนงไดกวธ 18. มของเลน 3 ชนด คอรถยนต เรอยนตและตกตา จะมวธแจกของเลนเหลานใหเดก 2 คน โดยไดรบคนละ 4 ชนไดกวธถา

ก าหนดวาของเลนแตละชนดเหมอนกน 19. กลองใบหนงมลกบอลสแดงเหมอนกน 4 ลก ลกบอลสขาวเหมอนกน 5 ลก ลกบอลสเขยวเหมอนกน 5 ลก และลกบอล

สฟาเหมอนกน 6 ลก หยบลกบอลแบบสมจ านวน 4 ลก จะมกวธ เมอ 1) ไมไดลกบอลสแดง 2) ไดลกบอลสอะไรกได

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค30204 ความนาจะเปนเบองตน ชน ม.5 หนา - 23 –

แบบฝกหดท 6 1. จงหาจ านวนคบวก ซงหารจ านวนตอไปนลงตว 1) 16,000 2) 25,000 2. จงหาจ านวนเตม ซงหารจ านวนตอไปนลงตว 1) 12,500 2) 4,250 3. มรางวล 3 รางวล จะมอบใหเดก 10 คนไดกวธถา 1) แตละคนมสทธรบรางวลอยางมาก 1 รางวล 2) ถาทกคนมสทธจะไดรบกรางวลกได 3) ถานายแดงเปนคนหนงใน 10 คนน มกวธทเขาจะไดรบรางวล 2 รางวล 4. หยบไพ 5 ใบ จากไพส ารบหนงไดกวธ 1) ถาไมมเงอนไขเพมเตม 2) ได K ทกใบ 3) ไดไพชดเดยวกนทง 5 ใบ (เชน โพด าทง 5 ใบ โพแดงทง 5 ใบ) 4) ได K 2 ใบ และ J 3 ใบ 5. หยบไพ 5 ใบจากไพ 1 ส ารบไดกวธ 1) ไดโพด าเรยงกน 5 ใบ 2) ไดไพ 5 ใบเรยงกนและเปนชดเดยวกน 3) ได 5 ใบเรยงกน 4) ได 5 ใบเปน J, Q หรอ K ทง 5 ใบ 6. จดชาย 6 คน หญง 6 คน เขาแถวในแนวตรง จงหาจ านวนวธตามเงอนไขตอไปน 1) ชายทงหมดตดกน หญงทงหมดตดกน 2) สลบชาย 3 หญง 3 3) หญงเรยงล าดบจากสงไปหาต า 4) ชายเรยงล าดบจากสงไปหาต า และหญงเรยงล าดบจากสงไปหาต า 5) ชายทก าหนดให 2 คนยนตดกนเสมอ และหญงทก าหนดให 2 คน ยนแยกกนเสมอ 7. บนเสนรอบวงของวงกลมวงหนงมจด 50 จด เราจะสรางรปเหลยมบรรจในวงกลมโดยอาศยจดเหลานไดกรป 8. จงหาจ านวนวธในการโยนลกเตา 3 ลก ตามเงอนไขตอไปน 1) ผลบวกของแตมมากกวา 2 2 ) ผลบวกของแตมเทากบ 10 3) ผลบวกของแตมนอยกวา 15

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค30204 ความนาจะเปนเบองตน ชน ม.5 หนา - 24 –

9. จะเลอกกรรมการ 3 คน จาก 20 คนไดกวธ 1) ถามบคคลหนงไดรบเลอกดวยเสมอ 2) ใน 20 คนม 2 คน เปนสามภรรยากนจะถกเลอกเปนกรรมการทง 2 คน ไมได 3) ถาม 2 คนปฏเสธทจะเปนกรรมการ 10. จากรปจงหา จ านวนรปสเหลยมมมฉาก ทงหมด …………..รป

11. จากรปจงหา 5.1 จ านวนรปสเหลยมมมฉากทงหมด…………… รป 5.2 จ านวนรปสเหลยมจตรสทงหมด…………….รป 12. จากรป มรปสเหลยมทงหมด ………………………..รป

13. มของ n สง ถาจ านวนวธจดล าดบของซงเลอกมา 4 สง เปน 6 เทาของจ านวนวธจดล าดบของซงเลอกมา 2 สง จงหาคา n 14. ในการพดหาเสยงทสนามหลวงของนกการเมองพรรคหนงมนกการเมองทจะพด 5 คน ซงมสมครและสมยรวมอยดวย

จงหาจ านวนวธการจดล าดบผพด 1) ใครพดกอนหรอหลงอยางไรกได 2) สมครพดเปนคนแรก 3) สมครพดกอนสมย 4) สมยพดตอจากสมคร 15. ตองการน าอกษรในค า NOVEMBERมาเรยงเปนค าทประกอบ ดวยตวอกษรเหลาน(ค าเหลานอาจจะไมมความหมายกได) 1) จะจดเรยงไดทงหมดกวธ 2) ถาจะใหตวสดทายเปนสระเสมอ จะจดเรยงไดทงหมดกวธ 3) ถาจะใหตวสดทายและตวแรกเปนสระเสมอจะจดเรยงไดกวธ 4) ถาจะใหสระอยแยกกนจะจดเรยงไดทงหมดกวธ

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค30204 ความนาจะเปนเบองตน ชน ม.5 หนา - 25 –

แบบฝกหดทบทวน 1. ขอสอบฉบบหนงม 10 ขอ ใหตอบเพยง 8 ขอโดยทจะตองท าอยางนอยสามขอ จาก 4 ขอแรก อยากทราบวาจะมวธ เลอกท าไดทงหมดกวธ ก. 15 ข. 24 ค. 39 ง. 45 2. ขอสอบสบขอเปนขอสอบแบบตอบถก-ผดจะท าขอสอบชดนทกขอไดกวธเมอขอทเรยงตดกนตองไมตอบเหมอนกน

ก. 2 ข. 25

ค. 210 ง. 210-1 3. ขอสอบเลอกตอบแบบ 5 ตวเลอกม 20 ขอจะมวธตอบทผดทกขอกวธ

ก 1 ข. 520-1

ค. 520-420 ง. 420 4. จดชาย 4 คนหญง 3 คน เขาแถวในแนวตรง โดยใหหวแถวและหางแถวเปนชายเสมอจดไดกวธ ก. 1425 ข. 1428 ค. 1430 ง. 1440 5. จงพจารณา 1) เดกชาย 5 คนและหญง 5 คนนงเรยง เปนแถวโดยเดกชายและเดกหญงนงสลบทกนและชาตชายตองนงตดกบ สมหญงจะนงได เทากบ 9(2!)4!4! แบบ 2) จากโจทยขอ 1) ถาชาตชายตองนง แยกกบสมหญงจดได 16(2!)(4!)(4!) แบบ ขอใดถก ก. ถก 1 ขอคอขอ 1) ข. ถก 1 ขอคอขอ 2) ค. ถกทง 2 ขอ ง. ผดทง 2 ขอ 6. มชาย 10 คน หญง 8 คน จะมวธจดใหนงรบประทานอาหารบนโตะอาหารรปสเหลยมผนผาซงมทนงทางดานยาว ดานละ 9 ท โดยใหชาย และหญงนงสลบกนไดกวธ ก. 17! ข. 8!10!

ค. 14

(8!)(10!) ง. (4!5!)2

7. มอกษรอย 6 ตวคอ t t t p p k น าอกษรดงกลาว มาจดเปนวงกลมคราวละ 4 ตวไดกวธ ก. 7 วธ ข. 8 วธ ค. 10 วธ ง. มากกวา 10 วธ 8. โตะกลมเบอรหนง นงได 4 คน โตะกลมเบอรสองนงได 5 คน จะมวธจดสมชายและสายสดากบเพอนอก 7 คน นงโตะ กลมสองโตะดงกลาวไดทงหมดกวธตามเงอนไขทวาสมชายและสายสดา จะตองนงโตะเดยวกนและนงตดกนเสมอ ก. 4554 วธ ข. 4536 วธ ค. 4527 วธ ง. 4512 วธ 9. จากโจทยขอ 7) สมชายและสายสดาตองแยกนงกนคนละโตะ ก. 2(7!) วธ ข. 2!3!4! วธ

ค. 2 7

3 4

( !)

! !วธ ง. 9 3 4

7 2

! ! !

! ! วธ

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค30204 ความนาจะเปนเบองตน ชน ม.5 หนา - 26 –

10. คดเลอกชาย 6 คน หญง 9 คน จากผสมครเปนชาย 8 คน และเปนหญง 10 คน แลว น าไปจดนงอภปราย แบบโตะกลมโดยนงสลบชาย 2 คน ตอหญง 3 คน จดไดทงหมดกวธ

ก. 10(8!)2 วธ ข. 12(8!)2วธ

ค. 13(8!)2 วธ ง. 15(8!)2วธ 11. จดชาย 6 คน หญง 6 คน และเดก 6 คนนงสลบ 2:2:2 คราวละทงหมด โดยอาจสลบเปน ชาย หญง เดก หรอ เดก ชาย หญง กไดเปนตน โดยก าหนดให 1) จ านวนวธทจดในแนวตรง 2) จ านวนวธทจดเปนวงกลม อยากทราบวา 1) และ 2) ตางกนกวธ

ก. (5.6!-4.5!)(6!)2 ข. (6.6!-4.5!)(6!)2

ค. (5.6!-5!4!)(6!)3 ง. ((6!)3-2(6!)2) 5! 12. ชาย 7 คน หญง 7 คน เขาแถวแนวตรง จงพจารณา

1) จ านวนวธทชายทงหมดยนชดกน และหญงทงหมดยนชดกน= 2(7!)2

2) จ านวนวธทชายเรยงล าดบจากสงไปหาต า = 14

7

!

! วธ

3) จ านวนวธทชายเรยงล าดบจากสงไปหาต าและหญงเรยงล าดบจากสงไปหาต า = 14

7 7

!

! !

วธ

ขอใดถก ก. ถกเพยง 1 ขอ ข. ถกเพยง 2 ขอ ค. ถกทง 3 ขอ ง. ผดทง 3 ขอ 13. จงพจารณา 1) มจด 15 จดในระนาบ โดยม 5 จดเรยงอยในแนวเสนตรงเดยวกน นอกจากนน ไมม 3 จดใดๆ อยในแนว เสนตรงเดยวกนเลยโยงจดใหเกดเสนตรงได 96 เสน 2) ถาตองการสรางสามเหลยมทจดยอดจะตองเปนจดยอดหรอจดกงกลางดานของหกเหลยมดานเทาปกตรปหนง ทก าหนดใหจะไดสามเหลยมดงกลาวทงหมด 220 รป 3) รปเหลยมทมเสนทแยงมม 65 เสนจะเปนรป 13 เหลยม ขอใดถก ก. ถกเพยง 1 ขอ ข. ถกเพยง 2 ขอ ค. ถกทง 3 ขอ ง. ผดทง 3 ขอ 14. เสนตรง 10 เสนไมมเสนใดขนานกนและวงกลม 10 วงทมขนาดตางๆตดกนท าใหเกดจดอยางมากทสดกจด ก. 135 จด ข. 235 จด ค. 335 จด ง. 225 จด 15. จากค าวา handpower จดเรยงทงหมดโดยไมสนใจความหมาย 1) ก าหนดให a, n, d อยตดกนเสมอจะจดได 4320 วธ 2) ก าหนดให a, n, d อยแยกกนจะจดได 151,200 วธ 3) ก าหนดให p, o อยตดกน และ h, d อยแยกกนเสมอจะจดได (12)(7!) วธ ขอใดถก ก. ถกเพยง 1 ขอ ข. ถกเพยง 2 ขอ ค. ถกทง 3 ขอ ง. ผดทง 3 ขอ

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค30204 ความนาจะเปนเบองตน ชน ม.5 หนา - 27 –

16. จากค าวา SUKSANAREE ตองการสลบตวอกษรทงหมดโดยไมสนใจความหมายของค า

1) ถาให S อยตดกนเสมอ จะจดสลบได 9

2 2

!

! ! วธ

2) ถาให S อยชดกนแต A อยแยกกนเสมอจะจดเรยงได (28)(7!) วธ 3) ถาให R กบ E อยแยกกนเสมอจะจดได 7(8!) วธ ขอใดถก ก. ถกเพยง 1 ขอ ข. ถกเพยง 2 ขอ ค. ถกทง 3 ขอ ง. ผดทง 3 ขอ 17. กลองใบหนงบรรจสลากหมายเลข 1, 2, 3 ..., n รวม n ใบ จงหาวธในการหยบ สลาก 2 ใบใหไดหมายเลขตดกนและ ในการหยบน หยบครงละ 1 ใบ

ก. n ข. n

n

!

( ) ! 2

ค. (n-1) ง. 2(n-1) 18. โรงเรยนแหงหนงสงนกวอลเวยบอลหญงรายการหนง โดยแขงขนทงหมด 8 ครง จงหาจ านวนวธทจะชนะ 4 ครง แพ 2 ครงและเสมอ 2 ครง ก. 1260 ข. 840 ค. 420 ง. 210 19. ถงเทา 12 ค ตางสกน บรรจอยในกลอง

1) หยบขนมา 8 ขางตางคกนไดทงหมด = 495(28) วธ

2) หยบขนมา 10 ขาง เปนคเดยวกน อยางนอย 3 ค ไดทงหมด เทากบ 163

1 2

4

9

+ 44

1 2

2

8

5

1 2

ขอใดถก ก. ถก 1 ขอคอ ขอ 1 ข. ถก 1 ขอคอ ขอ 2 ค. ถกทงสองขอ ง. ผดทงสองขอ 20. ในการเลยงรบรองแหงหนง มคนจบมอกน 190 ครง จงหาวามคนมาในงานกคน ก. 20 ข. 15 ค. 10 ง. 22 21. ครงหนงคณะผแทนไทย 25 คน ไปเยยมประเทศจน ไดรบการเลยงรบรอง จาก ฝายเจาภาพซงมผแทน 15 คน ถาผแทนฝายไทยแตละคนจะตอง สมผสมอทกทายกบฝายเจาภาพทกคน อยากทราบวาครงนนมการทกทายกน กครง

ก. 25

2 23

!

! ! ข. 25

15

!

!

ค. 25

10 15

!

! ! ง. 25 x 15

22. ขอสอบชดหนงม 2 ตอน ตอนท 1 มขอสอบ 10 ขอ สวน ตอนท 2 มขอสอบ 8 ขอ ค าชแจงมวา"ไมจ าเปนตองท า ทกขอ แตขอใหท าอยางนอยตอนละขอ" จะท าไดกวธ

ก. (210-1)(28-1) ข. 80

ค. (210+1)(28+1) ง. (210 )(28 )

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค30204 ความนาจะเปนเบองตน ชน ม.5 หนา - 28 –

23. ถามมะพราว 3 ผล มะมวง 2 ผลและสมโอ 4 ผล จงหาจ านวนวธทจะเลอกผลไมเหลาน อยางนอยอยางละ 1 ผล ก. 765 ข. 512 ค. 315 ง. 24 24. มเครองเพชรอย 6 ชนแตกตางกน แบงใหเปน 2 สวนเพอใหทายาท 2 คน ไดทงหมดกวธ (ทายาทแตละคนไดอยางนอย 1 ชน) ก. 60 ข. 62 ค. 64 ง. 66 25. ถาจะแบงเครองเพชร 5 ชนใหกบลก 3 คนโดยไดอยางนอยคนละ 1 ชน จะท าไดกวธ ก. 150 ข. 153 ค. 243 ง. 241 26. มของขวญ 7 ชน (เหมอนกน)เมอจะแจกให นกเรยน 4 คน โดยทแตละคนจะตองไดอยางนอย 1 ชน จะท าไดกวธ

ก. 47 ข. C7,4

ค. 74 ง. C6,3 27. จ านวนเตมบวกหาร 25,000,000 ลงตวมทงสนกจ านวน ก. 48 ข. 63 ค. 91 ง. 120 28. เลขทหาร 9,000 และเปนจ านวนเตมบวกยกเวน 1 จะมทงหมดกจ านวน ก. 47 ข. 48 ค. 94 ง. 96 29. มตวเลขอย 9 ตว คอ 2, 2, 2, 5, 5, 5, 8, 8, 8 น าเลขเหลานไปสรางจ านวนค 3 หลกไดกจ านวน ก. 36 ข. 34 ค. 29 ง. 18 30. จะมกจ านวนทสรางจากตวเลข 0, 0, 1, 1, 2, 3, 3 โดยมคาเกน หนงลาน ก. 320 ข. 350 ค. 400 ง.450 31. จ านวนวธเลอกตวอกษร 4 ตว จากตวอกษรของค าวา BEERBAREL เทากบเทาใด ก. 30 ข. 32 ค. 34 ง. 36 32. ถาน าตวเลข 1, 2, 3 และ 5 มาสรางจ านวนทม 4 หลก โดยแตละหลก ไมซ ากนแลวน าจ านวนทสรางไดทงหมดมา บวกกนผลบวกทไดจะเทากบขอใด ก. 73,326 ข. 73,336 ค. 73,226 ง. 72,336

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ค30204 ความนาจะเปนเบองตน ชน ม.5 หนา - 29 –

33. โยนลกเตา 3 ลก พรอมกน จงพจารณา ถงจ านวนวธท

1) ผลบวกของแตมมากกวา 2 เทากบ 63 วธ 2) ผลบวกของแตมเทากบ 10 ม 27 วธ 3) ผลบวกของแตมนอยกวา 16 ม 206วธ ขอใดถก ก. ถก 1 ขอ ข. ถก 2 ขอ ค. ถก 3 ขอ ง. ผดทง 3 ขอ 34. นายโดงมเงน 1 บาท ไปซอซกสได 3 เมดซงมรสใหเลอกดงน รสสมม 5 เมด รสมนท ม 4 เมด รสสตรอเบอรม 3 เมด รสแอปเปลม 1 เมด นายโดงจะเลอกซอไดกแบบ ก. 13 ข. 16 ค. 19 ง. 30 35. จงพจารณา 1) 1+2+3...+(n-2)+(n-1) = Cn,2

2) ถา Cn,r= Cn,k แลว r=k หรอ แลว r+k =n ขอสรปใดถก

ก. ถก 1 ขอ คอขอ 1) ข. ถก 1 ขอ คอขอ 2) ค. ถกทงสองขอ ง. ผดทงสองขอ 36. ชายคนหนงมเพอน 8 คน ถาจะเชญเพอนไปรวมรบประทานอาหารทบาน จงพจารณา 1) เชญอยางนอย 2 คนได = 247 วธ 2) เชญกคนกได ตองการให เพอนมารบประทานอาหารทบานใหไดมากวนทสดจะ ตองเชญครงละ 4 คน ก. ผด 1 ขอ คอขอ 1 ข. ผด 1 ขอ คอขอ 2 ค. ผดทงสองขอ ง. ถกทงสองขอ 37. การจดคน 5 คน เขาพกในหอง 3 หองซงแตละหองจได 2 คน ท าไดทงหมดกวธ ก. 90 ข. 30 ค. 20 ง.15 38. บานพกแหงหนงม 5 หอง มหองค 3 หอง หองเดยว 2 หอง ในการจดคน 8 คน โดยทมสามภรรยาคหนง จะตองพก ในหองคหองเดยวกน จะไดทงหมดกวธ ก. 45 ข. 180 ค. 360 ง. 540 39. จงหาจ านวนวธทจะจดคน 5 คน เขาพกในเรอนรบรอง ซงประกอบดวยหองค 3 หอง หองเดยว 2 หอง ก. 6,720 ข. 1,110 ค. 20 ง. 10