1

Algoritmi

2

Definizione di algoritmo

Metodo per risolvere un problemaSequenza ordinata di passiPassi eseguibili

Es.: elencare tutti i numeri reali

Passi non ambigui Deve terminare

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Algoritmi, programmi e processi

Programma: descrizione di un algoritmo in un linguaggio di programmazione

Processo: esecuzione dell’algoritmo descritto da un programma

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Rappresentazione di un algoritmo

Varie notazioni: Linguaggio naturale Immagini Diagrammi di flusso Pseudocodice

Linguaggio di programmazione: Insieme di primitive (passi singoli) Regole che dicono come combinare le primitive per

descrivere passi piu’ complessi Primitiva: sintassi (simbolo/i) + semantica (significato)

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Immagini per descrivere un algoritmo -- 1

6

Immagini per descrivere un algoritmo -- 2

7

Primitive per gli origami

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Quali primitive?

Istruzioni del linguaggio macchinaNon ambigue Algoritmo pronto per essere eseguitoMa troppo a basso livello

Pseudocodice: versione meno formale di un linguaggio di programmazione

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Pseudocodice

Nomi per indicare valori Associazione nome-valore:

Nome espressioneAssegna a nome il valore di espressioneEs.: temperatura-oggi temperatura-ieri +10

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If then else

Scelta tra due alternative, se una condizione e’ vera

If (condizione) then (attivita’) else (attivita’) If (condizione) then (attivita’) Es.: if (ci sono biglietti) then (compra un

biglietto)

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While do

Eseguire un’attivita’ purche’ una condizione rimanga vera:

While (condizione) do (azione)

Es.: while (ci sono biglietti) do (vendi un biglietto)

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Ciclo

While (condizione) do (azione)

Controlla la condizione: vera Esegui l’azione Controlla la condizione: vera Esegui l’azione .... Controlla la condizione: falsa Stop

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Fasi del ciclo

Inizializzazione: stato iniziale, che verra’ modificato dall’azione

Controllo della condizione di terminazione: confronto tra stato corrente e condizione, terminazione se uguali

Modifica dello stato: per andare verso la condizione di terminazione

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Esempio di pseudocodice

Procedure Saluti

Conta 3;

While (Conta > 0) do

(stampa il messaggio “Saluti” e

Conta Conta - 1)

Nome del pezzo (procedura) di pseudocodice possiamochiamare questo pezzo per nome all’interno di un altra procedura

Inizializzazione: Conta 3Condizione di terminazione: conta <0 o conta =0Modifica stato: Conta Conta -1

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Parametri

Pseudocodice piu’ generico possibile Es.: procedure Ordina (Lista) Lista e’ un nome generico per una

qualsiasi lista di numeri Ogni volta che useremo la procedura

Ordina decideremo che lista considerare

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Ricerca sequenziale Verificare se un elemento e’ presente in un elenco di elementi Supponiamo ordine crescente (alfabetico o numerico) Scorriamo tutto l’elenco dall’inizio alla fine finche’ troviamo l’elemento o non ci

sono piu’ elementi da guardare o gli elementi rimasti sono maggiori

Procedure Cerca (lista, valorecercato)if (elenco vuoto) then (stampa no) else (valore primo-elemento; while (valorecercato > valore e ci sono ancora elementi) do (valore elemento successivo); if (valorecercato = valore) then (stampa si) else (stampa no))

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Attenzione alle fasi di un ciclo

numero 1;while (numero =/= 6) do (numero numero +2)

Condizione di terminazione: numero = 6Non verra’ mai raggiunta!

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While e repeat

while (condizione) do (azione): prima si controlla la condizione e poi si effettua l’azione

repeat (azione) until (condizione): prima esecuzione dell’azione, poi controllo condizione azione sempre eseguita almeno una volta

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while repeat

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Ordinamento

Vogliamo ordinare una lista di nomi Es.: Fred, Alice, David, Bill, Carol Ordine alfabetico da sinistra a destra

Alice, Bill, Carol, David, Fred

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Esempio

Il pezzo “Fred” e’ ordinato, ma “Fred-Alice” no scambio

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Esempio

23

Esempio

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In generale ...

Scelgo il primo elemento della parte non ordinata (pivot)

Faccio scorrere verso il basso gli elementi ordinati maggiori del pivot

Inserisco il pivot nella posizione vuota All’inizio: pivot secondo elemento Ad ogni passo: pivot elemento successivo Ordinamento per inserimento

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Pseudocodiceprocedure Ordina(Lista)N 2;while (N ≤ lunghezza-lista) do(pivot elemento-n;sposta pivot in posizione temporanea lasciando uno spazio

vuoto);while (c’e’ un elemento > pivot sopra lo spazio vuoto) do(sposta elemento verso il basso);sposta pivot nello spazio vuoto;N N+1)

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Strutture ricorsive

Ciclo: iterazione di una sequenza di passi Ricorsione: ripetizione di tutte le istruzioni

come sottocompito su dati parziali Esempio: telefonata all’interno di un’altra

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Esempio: algoritmo di ricerca binaria (in un insieme ordinato) Tecnica che usiamo spesso pr cercare una voce

in un dizionario: Apriamo il dizionario in un punto (a meta’) Se non c’e’ la voce che cerchiamo, andiamo nella

prima parte o nella seconda Finche’

Troviamo la voce cercata si Guardiamo un pezzo con un elemento singolo e non

e’ la voce cercata no

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Esempio

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Pseudocodice 1if (lista vuota) then fallimento else (elemento-test elemento-a-meta’; Scelta fra tre casi: Caso 1: elemento-cercato = elemento-test (successo) Caso 2: elemento-cercato < elemento-test (cerca nella parte prima di elemento-test) Caso 3: elemento-cercato > elemento-test (cerca nella parte dopo elemento-test) )

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Pseudocodice 2: nome della proceduraProcedure Ricerca(lista, elemento-cercato)if (lista vuota) then fallimento else (elemento-test elemento-a-meta’; Scelta fra tre casi: Caso 1: elemento-cercato = elemento-test (successo) Caso 2: elemento-cercato < elemento-test (Ricerca(parte prima di elemento-test,ec)) Caso 3: elemento-cercato > elemento-test (Ricerca(parte dopo elemento-test,ec)) )

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Esempio 1

Cerchiamo Bill nella lista (Alice, Bill, Carol, David, Evelyn, Fred, George)

Seleziono David David =/= Bill cerco nella prima meta’ (Alice,

Bill, Carol) Sospendo l’esecuzione di Ricerca in corso, e attivo

un’altra esecuzione della procedura Ricerca Seleziono Bill Bill = Bill si

Ritorno nella prima esecuzione si

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Esempio 1

33

Esempio 2 Cerchiamo David nella lista (Alice, Carol, Evelyin, Fred,

George) Seleziona Evelyin Evelyin =/= David cerca nella prima meta’ (Alice, Carol)

Seconda esecuzione:Seleziona CarolCarol =/= David cerca nella lista vuota

Terza esecuzione, su lista vuota fallimento Finisce la terza esecuzione

Finisce la seconda esecuzione (fallimento) Finisce la prima esecuzione (fallimento)

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Riassunto

Divide la lista in due parti Cerca su una delle due parti Ricerca binaria Ogni volta ricerca su una parte piu’ piccola

prima o poi arrivera’ a trvare l’elemento o a cercare nella lista vuota

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Ricerca sequenziale e binaria In entrambi i casi: ripetere una sequenza di istruzioni Ricerca sequenziale: ciclo => ripete la sequenza sulla

stessa lista con diverso stato iniziale Ricerca binaria: ripete la sequenza come

sottocompito della ricerca in corso ricorsione Varie attivazioni della procedura

Una attiva, le altre sospeseOgni attivazione sospesa attende che un’altra

termini per continuare

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Sistema ricorsivi

Condizione di terminazione (caso base) Istruzioni che assicurano che verra’ soddisfatta prima

o poi Inizializzazione, modifica, verifica terminazione Di solito verifica del caso base prima della ripetizione Non verificata altra attivazione su un sottoproblema

piu’ vicino alla terminazione Verificata termina l’attivazione corrente e non ne

attiva altre

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Nell’esempio ...

Inizializzazione: attivazione di ricerca su intera lista

Caso base: trovare valore cercato o cercare su lista vuota

Modifica: nuove attivazioni, stesso valore da cercare in una lista piu’ piccola

Lista finita, ogni fase ricorsiva su una lista piu’ piccola prima o poi valore trovato o lista vuota termina sempre

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Esercizio

Ricerca di Joe nella lista (Alice, Bob, Carol, David, Evelyin, Fred, George, Henry, Irene, Joe, Karl, Larry, Mary, Nancy, Oliver)Quali nomi vengono esaminati?

Henry, Larry, Joe

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Esercizio

Numero massimo di voci esaminate in una lista di 200 voci?

Una 100 Due 50 Tre 25 Quattro 12 Cinque 6 Sei 3 Sette 1 Otto Nota: 28 = 256, 27 = 128

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Da while a repeat

contatore 2;while (contatore < 7) do(stampa valore di contatore;contatore contatore +1)

contatore 2;repeat (stampa contatore; contatore contatore

+1)until contatore = 7

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Da repeat a while

contatore 1;repeat (stampa valore di contatore;contatore contatore +1)until (contatore = 5)

contatore 1;while contatore < 5 do (stampa contatore; contatore contatore +1)

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Sequenza di Fibonacci

ultimo 0;corrente 1;while (corrente < 100) do(stampa valore di corrente;temp ultimo;ultimo corrente;corrente ultimo + temp)

1. Corpo del ciclo? 2. Inizializzazione?3. Modifica?4. Terminazione?5. Verifica?6. Numeri stampati?

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Esercizio

Ricerca binaria, ricerca di J nella lista A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O

Quali lettere vengono esaminate? H, L, J Quali se si cerca Z? H, L, N, O

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Esercizio

Contatore 1;

while (Contatore =/= 7) do

(stampa Contatore;

Contatore Contatore +3)

1. Quante volte viene eseguito il corpo del ciclo?

2. Se il test fosse (Contatore =/= 6)?

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Esercizio

procedure Test1(Contatore)if (Contatore =/= 5) then (stampa Contatore; Test1(Contatore+1))

procedure Test2(Contatore)if (Contatore =/= 5) then (Test2(Contatore+1); stampa Contatore)

Ingresso 1: che uscita dalle due procedure?Test1: 1,2,3,4Test2: 4,3,2,1

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Ricerca sequenziale e binaria

Lista (A,B,C,D,E,F,G,H,I) Ricerca sequenziale o binaria piu’ veloce per

cercare G? Per A? Per Bi? Per S? Quante voci esaminate da ricerca sequenziale di

E? E da ricerca binaria?

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Fattoriale - 1

Fattoriale(0)=1 Fattoriale(n) = n x fattoriale(n-1) Es.:

fatt(3)=3xfatt(2)=3x2xfatt(1)=3x2x1xfatt(0)=3x2x1x1=6

Algoritmo ricorsivo per calcolare il fattoriale di n

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Fattoriale - 2

procedure Fatt(n,k)

if n=0 then

(k 1)

else

(attiva Fatt(n-1,k1);

k n x k1)

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Efficienza degli algoritmi

Ricerca su una lista (es. 30.000 elementi) Ricerca sequenziale: in media esamina meta’

elementi (es.: 15.000) Se 10millisec per ogni elemento, in media 150

sec. (2.5 minuti) Ricerca binaria: prima 30.000, poi 15.000, poi

7.500, poi 3.750, ... Al massimo 15 voci esaminate

Se 10 millisec per ogni elemento, al massimo 15/10 sec.

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Analisi generica

Qualunque lista, di lunghezza arbitraria Caso migliore, peggiore, medio Nell’esempio: caso medio per ricerca

sequenziale, caso peggiore per ricerca binaria In generale, per liste con n elementi: Ricerca sequenziale: in media n/2 elementi Ricerca binaria: al massimo log2(n) elementi

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Esempio: ordinamento per inserimento Caso migliore: ogni pivot e gia’ al suo posto n-1

confronti Caso peggiore: ogni pivot deve essere confrontato

con tutti i precedenti (lista in ordine inverso all’inizio) Primo pivot: confronto con 1 elementoSecondo pivot: con 2 elementi, ...Numero totale di confronti: 1+2+...+(n-1) = n(n-1)/2

= ½(n2-n)Esempio: lista con 10 elementi 45 confronti nel

caso peggiore

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Esempio di caso peggiore

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Caso medio

Meta’ dei confronti del caso peggiore ¼(n2-n)

Esempio: per liste con 10 elementi, 22,5 confronti

Caso migliore, medio, peggiore: approssimano il tempo (numero di passi) per eseguire l’algoritmo

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Grafico del caso peggiore: ½(n2-n)

All’aumentare del numerto di elementi, il tempo aumenta anche di piu’ Algoritmo meno efficiente all’aumentare della lunghezza della lista

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Grafico per ricerca binaria (caso pessimo: log2(n))

All’aumentare del numero di elementi, il tempo aumenta, ma meno algoritmo piu’ efficiente all’aumentare della lunghezza della lista

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Forma dei grafici

Dipende dall’espressione matematica Espressione lineare linea retta Espressioni quardatiche curva parabolica Espressioni logaritmiche forma logaritmica Forma identificata con la espressione piu’ semplice che

la identifica Parabola: O(n2) Logaritmica: O(log2n)

Notazione O: caso pessimo Confronto tra algoritmi

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Esercizi

Algoritmi per somma e moltiplicazione di numeri decimali con n cifre

Somma, caso pessimo: n+1 somme O(n)

Moltiplicazione, caso pessimo: nxn O(n2)