1º Bachillerato CT – Educación a distancia

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TEMA 9 – NÚMEROS COMPLEJOS - 1ª PARTE

Sesiones 1 y 2 .

1. INTRODUCCIÓN

Utilidad de los números complejos:

Fórmula de Euler: ei + 1 = 0

Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis,

así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable

compleja, ecuaciones diferenciales, facilita el cálculo de integrales, en

aerodinámica, mecánica cuántica, hidrodinámica y electromagnetismo

entre otras de gran importancia. Además, los números complejos se

utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de

la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería,

especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad

para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la

métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo

como una variable imaginaria.

Los números imaginarios también desempeñan una función importante en

los fractales: escribe en un navegador fractales complejos y disfruta de las

imágenes.

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2. LOS NÚMEROS COMPLEJOS

2.1. Necesidad de una ampliación del campo numérico

Teoría: Lee detenidamente la página 148 del libro y, posteriormente,

consulta los ejemplos que encontrarás en el margen izquierdo con el fin de

comprender la teoría.

Practica: nº 1 y 2 de la página 148.

2.2. Resolución ecuación de 2º grado

Teoría: consulta el primer punto de la página 149 del libro de texto y ten

en cuenta la siguiente conclusión: cualquier ecuación de segundo grado

con coeficientes reales que no tenga solución real tiene dos soluciones

imaginarias que son números complejos conjugados.

2.3. Representación gráfica

Teoría: lee el segundo punto de la página 149 del texto y realiza el

ejercicio resuelto de dicha página donde practicarás cómo representar las

dos soluciones imaginarias de una ecuación de segundo grado.

Practica:

- Nº 3, 4b, 4c, 5a, 5d, 5e, 5f y 5h de la página 149.

- Trabaja la potencia de i en el ejercicio 6 de la página 149.

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Sesión 3 .

3. OPERACIONES EN FORMA BINÓMICA

Teoría: antes de leer la teoría del recuadro amarillo de la página 150 del

libro de texto, realiza los ejemplos previos y llega a las siguientes

conclusiones:

- Suma y resta (en el margen izquierdo puedes encontrar la

representación gráfica similar a lo estudiado en vectores): “sumamos

(restamos) la parte real del primer nº complejo con la parte real del

segundo nº complejo y, de forma análoga, sumamos (restamos) la

parte imaginaria del primero con la parte imaginaria del segundo”.

- Multiplicación: se realiza siguiendo las reglas de las operaciones de

los números reales y teniendo en cuenta que i2 = - 1.

- Multiplicando un número por su conjugado se obtiene un número real

(suma por diferencia): z ∙ 𝑧 ̅= a2 + b2.

- División: se multiplica y se divide por el conjugado del denominador

y se opera.

Teoría: consulta la página 151 del libro de texto y llega a la siguiente

conclusión: en la práctica, las propiedades de las operaciones con números

complejos permiten operar, con los complejos, de la misma forma que con

los reales.

Practica: nº 2 y 5 de la página 151.

Sesión 4 .

4. NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR (Radianes)

4.1. Módulo y argumento

Teoría: los números complejos, además de expresarse en forma binómica,

se pueden expresar en forma polar. Esto nos facilitará algunas operaciones

como la multiplicación y división que veremos más adelante.

Lee detenidamente los conceptos básicos de módulo y argumento, en el

primer punto de la página 152, para expresar cualquier número complejo

en forma polar y, ten en cuenta, las observaciones que se recogen después

del primer recuadro amarillo.

4.2. Paso de forma binómica a forma polar

Teoría: consulta el segundo punto de teoría de la página 152 del libro de

texto y realiza el ejercicio resuelto.

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No olvides tener en cuenta en qué cuadrante está el número complejo al

pasar a polar.

4.3. Paso de forma polar a forma binómica

Teoría: si nos dan el número complejo en forma polar, también podemos

expresarlo en forma binómica según se explica en la teoría de la página

153 del libro de texto. No olvides realizar el ejercicio resuelto de dicha

página.

Practica:

Verdadero o falso: nº 1 de la página 153.

Paso de una forma a otra: nº 2, 3 y 5 de la página 153.

Sesión 5 .

5. OPERACIONES EN FORMA POLAR

Teoría: cuando dos números complejos están en forma polar, existen unas

relaciones muy sencillas y útiles entre su forma polar y la de su producto o

su cociente que facilita dichas operaciones. Consulta los tres puntos de

teoría que encontrarás en la página 154 del libro de texto, obviando la

demostración, y realiza el ejercicio resuelto nº 1 de la página 155.

La suma y la resta de dos números complejos las realizaremos en su forma

binómica.

Teoría: toma nota de la Fórmula de Moivre, que encontrarás en la página

155, y realiza el ejercicio resuelto nº 2 de dicha página.

Practica:

Verdadero o falso: nº 1 de la página 154.

Nº 2, 3 y 4 de la página 155.

Sesión 6 .

6. RADICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

Teoría: consulta los ejercicios resueltos 1 y 2 del libro de texto con el fin

de comprender la teoría de la página 157 que queda resumida de la

siguiente manera: cualquier número complejo, salvo el 0, tiene n raíces n-

ésimas.

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Para n > 2, los afijos de estas n raíces son los vértices de un n-ágono

regular con centro en el origen

Practica: nº 4, 5 y 8 de la página 157, y el ejercicio resuelto nº 4 de la

página 160.

Sesión 7 .

Autoevaluación – entregar el 28 de mayo: nº 4 (todos los apartados menos el

c, d), 5, 10a, 10d, 10e, 10g, 11 (1ª fila), 12a, 12d, 12f y 13 de la página 162.