1 矿业权资产的期权估价 - CNKIcbimg.cnki.net/Editor/2018/0305/zdkj/282332ea-11ee-4a7d-b1db-330ada66c... · 同现有的其他评估方法相比，期权估价在设置决策变量方面具有更大的灵活性，例如可将矿山经营状态设置为暂停开采、恢复开采或

引用信息：本文原载于《中国国土资源经济》2017 年第 4-16 页

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矿业权资产的期权估价1

李裕伟

（国土资源部咨询研究中心，北京 100037）

摘要:期权估价是一种新的矿业权资产评估方法。同现有的其他评估方法相比，期权估价在

设置决策变量方面具有更大的灵活性，例如可将矿山经营状态设置为暂停开采、恢复开采或

永久性关闭。应用期权估价法进行矿业权资产评估要比对其他实物资产的评估更为复杂，因

为无法直接获得执行价，而只能将开发矿产储量或矿产资源量的投资成本转换为执行价。而

这正是在矿业权资产评估中使用 Black-Scholes 期权估价模型的技巧所在。考虑到将公司经

营策略融入到矿业权资产评估中的重要性，带有政策变量的期权估价应是这类矿业权资产评

估方法的最佳选择。文章以澳大利亚世纪锌矿期权估价和 Antucoya 斑岩铜矿矿业权资产期

权估价为应用实例，说明期权估价方法的操作过程。

关键词：期权估价；矿业权资产；Black-Scholes模型；买方期权；实物期权

中图分类号：F407.1；F062.1 文献标识码：A 文章编号：1672-6995（2017）07-0004-13

在矿业权资产评估中，期权估价法的使用已日益引起专家们的注意。这种方法在交易

上具有选择性和灵活性，很适合于受多种复杂因素影响的矿业权估价。其中实物期权估价，

更是针对自然资源资产的一种估价模式，是矿业权评估方法发展的一个新的方向。

1 期权估价的概念

期权估价源于金融领域。一些金融产品不是以现价而是以期权的方式交割。所谓期权，

是一种合约，具有以下特征：

• 分买方期权（Call Option）与卖方期权（Put Option），前者又称看涨期权，通过

标的物的涨价获利；后者称看跌期权，通过标的物的跌价获利。从理论上讲，买方期权估

价和卖方期权估价都适合于矿业权资产估价，但在目前的矿业权估价实践中，似乎主要在

使用买方期权估价。因此在下面的讨论中，均指买方期权，以免表述混乱。

1收稿日期：2017-05-23；修回日期：2017-05-24

作者简介：李裕伟（1939—），男，湖南省新化县人，国土资源部咨询研究中心研究员，兼任中国矿业联合

会常务理事，中国矿业权评估师协会常务理事；曾任原地质矿产部副总工程师，中国地质学会常务理事，

联合国自然资源委员会委员，国际海底管理局法律与技术委员会委员，主要从事矿产经济研究。


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• 期权是一种合约，该合约规定一个日期，买方有权在期权合约到期日（欧式期权）

或到期日及之前任何时间段（美式期权）以执行价格（协议规定的价格）购买合约规定的资

产的权利。下文主要按美式期权介绍。

• 期权是一种权利而非义务，买方在合约到期日或到期日之前，可以选择购买，也可

以选择不购买。

• 向卖方支付权利定金，如将来不购买，定金不退还。

• 期权的收益取决于资产到期价与执行价（Strike Price）之间的差值。为获得良好

的收益，买方应对合约期内资产的市价进行预测。

• 实物期权（Real Option）是一种适合自然资源资产的期权估价方法，在估价模型中

融入了矿业权资产的个性特征与决策意图。

• 期权定价的关键是对未来机会的分析。一宗资产在期权周期内存在重要的利好机会，

则期权估价会帮助你计算这些诱人的收益；如果找不到利好机会，则评估结果也就平平。利

好机会除取决于外部条件外，还同企业的战略、决策、技术紧密相连。

• 期权估价与 DCF估价很相似，都是对资产未来收益的模拟，但期权估价更具灵活性、

合理性与避险性。

现在，讲一个虚构的故事，说明期权估价的过程。

有位农场主的一块地，一直以来的价值都是 10 万美元。有一个关注市场信息的老兄，

就叫某甲吧，听说某连锁大酒店要在该地区建新店，愿出价 20 万美元买下那块土地。于是

某甲找到那位农场主，要求签署一个期权协议，花 12万美元买下那块土地，协议期为一年，

并交纳了定金 5000美元。这就是说，某甲取得了在一年之内付 12万美元买下这块土地的权

利，但何时买，买不买，由他根据事情的发展来决定。不久后，机会来了，那个连锁酒店果

然来人光顾那片土地，并找到土地所有者农场主，说我们打算出价 20万美元买下这块土地。

懂法守法的农场主说这块地我已与某甲签署期权协议了，你们找他去吧。于是连锁酒店人员

找到某甲。但某甲属穷汉一个，他有权但却拿不出 12 万美元支付给农场主，因此就无法将

这块土地出售给酒店。酒店来人说，不要紧，您把期权卖给我们就可以了，这块土地我们出

价 20 万美元，您向农场主的买价为 12万美元，减掉这个差额，这份期权合约估价 8 万吧，

先生以为如何？某甲大喜同意，于是把期权合约以 8万美元的价格卖给了酒店，酒店拿到合

约并支付给农场主 12 万美元买到了那块土地。整个过程合法合规，各取所得，其中酒店得

到了土地，为其宏伟的发展目标奠定了基础；某甲花 5000美元，得到 8万美元，轻松赚取


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了 7.5 万美元；老实的农场主比预期多得 2万美元，还得到某甲 5000 美元的押金，过圣诞

节足够用了。皆大欢喜。

在这个例子中，期权价值为 7.5万美元，标的资产价值为 20万美元。某甲并不是一个

标的资产买家，他不过是想通过标的资产——土地的买入和卖出来套利，实际上他压根儿就

没沾土地的边。这与矿业权资产的估价是不同的。

这是收益方面。如万一交易不成，各方的损失如何？对始作俑者某甲而言，损失 5000

美元，对酒店和农场主，毫无损失。因此，这宗土地期权交易，应该说各方均无重大风险。

2 期权估价方法基本参数

期权估价方法，目前主要用于投资产品的保值套利。因此，基于复制概念的估价方法

得以广泛使用。所谓复制概念，就是寻找一个资产组合，不论股票价格如何变动，该组合的

到期价值都会等于期权到期日价值，因此该组合的成本（利用自有资金投资的部分）就等于

期权成本。这个原理，在金融投资产品估价上被广泛使用。

为了估算资产的期权价值，须设置以下参数。

• 期权开始日与到期日。

• 标的资产现价。标的资产是期权合约中指定的资产，如金融资产的股票、实物资产

的原油、矿产储量等。标的资产的现价是合约签署时的市场实际价格，它是估算期权有效期

内各时间节点到期市场价格的起点。

• 标的资产的执行价，是在期权到期日或之前购买该资产的固定价格。在购买金融资产

时，执行价就是现价。

• 标的资产的预测到期市场价，可预测一个上行价格和一个下行价格。

• 看涨期权到期价值：Max（标的预测上行到期价-执行价，0）

• 看跌期权到期价值：Max（标的预测下行价-执行价，0）

• 上行收益率，计算式为：

上行收益率=（看涨期权到期价-现价）/现价

• 下行收益率，计算式为：

下行收益率=（看跌期权到期价-现价）/现价

• 上行概率，为看涨期权执行价格实现的概率，计算式为：

上行概率=（折现率+下行收益率）/（上行收益率+下行收益率）

这里的折现率指的是从现价日到购买日期间内的折现率。


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• 下行概率，为看跌期权执行价格实现的概率，计算式为：

下行概率= 1-上行概率

• 无风险收益率，又称无风险利率，计算式为：

无风险收益率=上行概率×上行收益率+下行概率×下行收益率

无风险利率用于现金流折现，数字越高，标的资产的现值越低，卖方的资产持有成本

越高，收益向买方偏斜。

•看涨期权价值= （看涨期权到期价值×上行概率）/（1+折现率）

期权最早用于股票交易。下面用一个简单的矿业股票例子感受一下期权估价的基本思

路，之后再讨论一些更为复杂的方法。

现在我们用这些基本参数，以必和必拓 ETF（指数基金）为例，说明股票期权估价过程。

设定主要参数如下：

期权开始日：2016年 9月 10日

期权到期日：2017年 9月 10日

股票指数 ETF现价：27.5美元（每股，下同）

股票指数 ETF执行价：28美元

标的资产的预测到期价：看涨价 35美元，看跌价 25美元

看涨期权到期价值：Max（7，0）=7（美元）

看跌期权到期价值：Max（-3，0）=0（美元）

上行收益率=（35-28）/28= 0.25

下行收益率=（25-28）/28= -0.11

上行概率=（0.05+0.11）/（0.25+0.11）=0.444

下行概率=1-0.444=0.556

无风险收益率= 0.444×0.25+0.556×0.11=0.172

看涨期权价值= （7×0.444）/（1+0.17）=2.66（美元）

这是每股期权的价值而不是股票本身的价值，是投资者购买每股 ETF 期权的净收益。

期权投资者的目的是依靠期权开始日与到期日（或到期日之前）两个时间点的价格差

异获利，标的资产只是套利的介质，不会有人真对股票本身感兴趣，可能一手买进，另一手

就卖出了。因此应时时区分标的资产的价值与该资产期权的价值。

3 Black-Scholes 期权估价模型


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3.1模型概述

这是由美国经济学家和数学家共同提出的期权估价模型，简称 B-S 模型。这个模型科

学地包含了期权估价的 6个重要经济参数，进行了严密的数学推导，实现了真正意义上的期

权估价方法上的突破，曾获 1997 年诺贝尔经济学奖，为期权估价提供了一个更为科学的工

具。

B-S期权估价模型被表述为：

𝐶(𝑆𝑡, 𝑇 − 𝑡) = 𝑆𝑡 • N(𝑑1) − 𝐿 • 𝑒−𝑟(𝑇−𝑡) • N(𝑑2) (1)

式（1）中：

𝑑1 =ln

𝑆𝑡𝐿

+(𝑟−𝛿+𝜎2

2)•(𝑇−𝑡)

𝜎•√𝑡 (2)

𝑑2 = 𝑑1 − 𝜎√𝑇 − 𝑡 (3)

式（1）、式（2）、式（3）中诸参数为：

C——期权价值；

L——期权执行价格；

S——期权标的资产的现价；

T——期权有效期，以年计，非整数年的换算如下：T=𝑇0/365，𝑇0为期权有效期

日数；

t——按执行价购买时间（到期或未到期）；

r——连续复利计无风险利率，当按月计时，应化为按月的复利值，代入参数𝑑1和

𝑑2时，如复利值为原值𝑟0，应作对数转换：𝑟 = ln(1 + 𝑟0)；

𝜎2——按年度计的价格方差；

δ——股息率；

N()——均值为 0，方差为 1的标准正态分布函数。

3.2 B-S期权估价模型应用实例——智利 Antucoya 斑岩铜矿

Antucoya斑岩铜矿位于智利的安托法加斯塔省，是一处大型低品位铜矿床。S. Baurens

（2010）用 B-S模型进行了期权估价。矿区经正规估算的资源量矿石量达 15.1亿吨，Cu平

均品位 0.27%，Cu金属量 223万吨（表 1）。


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表 1 Antucoya 斑岩铜矿资源量（据 S. Baurens，2010）

资源量类型矿石量（百万吨） Cu 品位（%）置信度（%）铜金属量（万吨）

测定的 497.3 0.31 ＞90 138.7

标示的 656 0.26 ＞50 85.3

推断的 355.7 0.24 ＞10 8.5

总计 1509.1 0.27 232.6

注：表中金属量数字分别按 90%、50%和 10%折算。未来通过加密勘查，其实际数字应超过表中数字。折算的目的是降低低端资源量的价值。

这个期权估价是在 2010年做出的，采用了 2000—2009年的平均铜价 4017美元/吨铜，

按照矿山的数据，边际成本设置为 2157.12美元/吨铜。B-S模型参数见表 2。

本次估算的是 Antucoya 矿床测定的资源量+标示的资源量为标的资产的期权价值，推

断的资源量由于置信度太低，不参与估算。

表 2 Antucoya 斑岩铜矿矿业权资产 B-S 期权估价参数（据 S. Baurens，2010）

B-S 模型参数计算过程说明

标的资产到期价

𝑆𝑡

(1387467+852800)×90%×30%×(4017-

2157.12)=1124989503（美元）

• 测定的Cu资源量：1387467吨。

• 标示的 Cu 资源量：852800 吨。

• 均为可回收的资源量。

• 选矿回收率：90%。

• 精矿品位：30%。

• 铜价：4017 美元/吨。

• 铜生产边际成本：2157.12 美元

/吨。

• 标的资产到期价：11.25 亿美

元。

• 运行成本在此扣除。资产价值

含投资成本+利润。

标的资产执行价

L

1000000000（美元） • 为开发资源量的矿山建设投

资，是个固定值，视为执行价。

资产的波动率

σ

16% • 主要是铜价波动，平方后视为

年度化方差𝜎2。

期权到期时间

T

((1387467+852800) ×90%×30%) /

30000= 20 （年）

• 年产铜 3 万吨，30 年全部资源

量耗尽。

股息率

δ

0.96%

• 年度税后现金流占资产价值百

分数。当该指标显示储量具有

市场活力时，如不及时开发，

将增加储量的延期开发成本。

无风险利率

r

2.75%

表 3为应用 B-S模型 Antucoya斑岩铜矿矿业权资产期权估价过程。


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表 3 Antucoya斑岩铜矿实物期权价值估算过程

𝐶(𝑆𝑡, 𝑇 − 𝑡) = 𝑆𝑡 • N(𝑑1) − 𝐿 • 𝑒−𝑟(𝑇−𝑡) • N(𝑑2)

参数设置

参数参数值计算步骤说明

𝑆𝑡（美元） 1124989503 表 2 设定参数

L（美元） 1000000000 表 2 设定参数

T（年） 20 表 2 设定参数

𝑟0 2.75% 表 2 设定参数

σ 0.16 表 2 设定参数

δ 0.96% 表 2 设定参数

参数计算

𝑑1 𝑑1=1.0228 ln

𝑆𝑡

𝐿=0.1178

(𝑟 − 𝛿 +𝜎2

2) = 0.0307

𝑇 = 20

𝜎 • √𝑇=0.7155

𝑑1

=(0.1178 + 0.0307) • 20

0.7155

=1.0228

• r=ln(1+𝑟0)

𝑟0=0.0275

r=0.0271

N(𝑑1) 0.8468

𝑑2 𝑑2 =0.3073 𝑑2 = 𝑑1 − 𝜎√𝑇 − 𝑡

N(𝑑2) 0.6454

𝑒−𝑟(𝑇−𝑡) 0.9472

𝐶(𝑆𝑡, 𝑇 − 𝑡)

期权初始价值

1124989503×0.8468-1000000000×0.9472×0.6454=341318231

=3.41（亿美元）

表 3 中最后估算出 Antucoya 斑岩铜矿 15.1 亿吨低品位矿石量的价值为 3.41 亿美元。

这个例子巧妙地把对矿产资源量实物资产开发投资的无风险利率折现作为执行价，将该资源

量资产转化的矿产品销售收入的无风险利率折现作为到期价，从而形成了具有 B-S形式的矿

业权资产期权估价形式。

结论：Antucoya 斑岩铜矿矿业权资产的价值为 3.41亿美元。

4 Brennan- Schwartz 价值最大化实物期权估价模型

1985年，M.J. Brennan和 E.S. Schwartz 首次在 Black-Scholes模型的基础上提出了

一个用于自然资源实物资产的估价模型，后经 S.Shafiee等改进，形成了以下价值最大化实

物期权估价模型。这个模型适合于对处于各种状态的生产矿山进行期权估价。

4.1实物期权估价模型


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首先，矿业权资产的价值被定义为：

V=V（S, Q, t, j,φ） (4)

式（4）中：

V——矿业权总价值；

S——矿产品价格；

Q——矿山总储量；

t——时间；

j——二态变量，矿山生产取值 1，关闭取值 0；

φ——代表矿山运营政策，如临时停产、重开生产、永久关闭。

定义自由现金流量：

𝐹𝐶𝐹𝐹𝑡 = {∑ [(𝑝𝑖𝑡 − 𝑉𝐶𝑖𝑡) • 𝑃𝑅𝑖𝑡]𝑛𝑖=1 − 𝐹𝐶𝑡}(1 − 𝐶𝑇) (5)

式（5）中：

𝐹𝐶𝐹𝐹𝑡——时间 t的自由现金流量；

𝑝𝑖𝑡——第 i种矿产品在时间 t的价格；

𝑉𝐶𝑖𝑡——第 i种矿产品在时间 t的可变成本；

𝑃𝑅𝑖𝑡——第 i种矿产品在时间 t的产量；

𝐹𝐶𝑡——在时间 t 的固定成本；

CT——公司所得稅；

n——矿产品数目。

买方实物期权价值计算式为：

𝑅𝑂𝑉𝑡𝑘=Max{0 − 𝐷1 • 𝑃𝐶𝐶𝑡 − 𝐷2 • 𝑃𝐶𝐶𝑡，𝐹𝐶𝐹𝐹𝑡𝑘 +𝑝•𝑅𝑂𝑉𝑡+1,𝑘+(1−𝑝)•𝑅𝑂𝑉𝑡+1,𝑘+1

(1+𝛾𝑓)

−𝐷1 • 𝑃𝐶𝐶𝑡 − 𝐷2 • 𝑇𝐶𝐶𝑡 − 𝐷3 • 𝑅𝑂𝐶𝑡} （6）

式（6）中：

k——每个时间段 t纵向第 k个节点；

𝑅𝑂𝑉𝑡𝑘——第 t 个时间段第 k各节点的实物期权估价；

𝐹𝐶𝐹𝐹𝑡𝑘——在第 t个时间段第 k个节点的自由现金流量；

𝐷1——政策变量，如果在时间段 t矿山行将永久性关闭取值为 1，否则为 0；

𝐷2——政策变量，如果在时间段 t矿山行将临时性关闭取值为 1，否则为 0；

𝐷3——政策变量，如果在时间段 t矿山行将重开取值为 1，否则为 0；


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p——风险中性概率；

𝛾𝑓——无风险利率；

𝑃𝐶𝐶𝑡——在时间段 t矿山永久性关闭成本；

𝑇𝐶𝐶𝑡——在时间段 t矿山临时性关闭成本；

𝑅𝑂𝐶𝑡——在时间段 t矿山重开成本。

实物期权估价的重要特点之一是其模型可以通过设置变量来体现管理灵活性

（managerial flexibility）。所谓管理灵活性，就是在估价时考虑一些政策因素。例如，

一座生产矿山，处于发展阶段、停产阶段、关闭阶段的价值取向是不同的，如果用同一个模

型、同一套变量来估算，其结果可能会大相径庭。而这里提供的实物期权模型，则允许嵌入

若干政策变量来包含某些政策因素，如 PCC、TCC 和 ROC，它们代表了矿山在不同经营状态

下所需要的成本。

4.2价格预测的二叉树模型

二叉树模型可以用来直接估算期权标的价格。在本实物期权估价模型中，期权的标的是

矿产品，因此它被用来预测矿产品价格。然后这个价值被传递到期权估算公式（6）中各个

时间段的有关数据，最终获得按时间段展开的期权价值。

二叉树预测始于一个初始的标的现价𝑆0。令一个单位时间段的看涨率为 u，看跌率为 d，

则在第一次分叉后，即 n=1处的标的看涨价格为：

𝑆1𝑢 = 𝑢 • 𝑆0 (7)

看跌价格为：

𝑆1𝑑 = 𝑑 • 𝑆0 (8)

假定看涨率和看跌率不变，则在任意处有：

𝑆𝑢,𝑡,𝑘 = 𝑢 • 𝑆𝑢,𝑛−1,𝑘 (9)

𝑆𝑑,𝑡,𝑘 = 𝑑 • 𝑆𝑑,𝑛−1,𝑘 (10)

式（7）、式（8）、式（9）、式（10）中：

𝑆0——标的初始价格；

𝑆1𝑢——第一个时间段结束时预测的看涨价格；

𝑆1𝑑——第一个时间段结束时预测的看跌价格；

𝑆𝑢,𝑡,𝑘——第 t 个时间段结束时第 k个子树根节点的看涨价格；

𝑆𝑑,𝑡,𝑘——第 t个时间段结束时第 k个子树根节点的看跌价格；


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n——分叉数，它可能不同于 t，也可能同于 t；

k——第 n个分叉处纵向第 k个节点序号。

涨跌系数 u和 d据下式计算：

𝑢 = 𝑒𝜎√𝑇/𝑁 (11)

𝑑 = 𝑒−𝜎√𝑇/𝑁 (12)

式（11）、式（12）中：

σ——波动率，是一种均方差，通过历史数据时间序列分析获取；

T——期权到期时间；

N——在期权有效期间设置的分叉总次数。

图1显示了二叉树的生成过程。在应用二叉树模型对期权标的价格进行预测的基础上，

可直接预测期权价值；但本期权估价模型涉及更多的变量，二叉树是其中最重要的一个计算

环节。

图 1 二叉树生成过程

在获得看涨与看跌系数 u和 d后，可计算风险中性的概率：

𝑝 =(1+𝑟𝑗)−𝑑

𝑢−𝑑 (13)

4.3澳大利亚世纪锌矿期权估价


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4.3.1概述

S. Shafiee等在 2008年应用上述实物期权模型对澳大利亚昆士兰州的世纪锌矿做了期

权估价。这个例子对实物期权估价而言具有典型意义，下面予以详细介绍。

世纪锌矿是名列澳大利亚第一、世界第二的超大型锌-铅-银矿床，属OZ矿产公司所有，

2009年被中国五矿以 17.5亿澳元的价格收购。矿床属 SEDEX型，时代中元古系，围岩为一

套碎屑-白云岩-火山岩建造，累计探明矿石资源量 1.67 亿吨，平均品位锌 8.2%，铅 1.2%，

银 33 克/吨。矿山于 1997 年开始建设，1999 年投产。到出让之前的 2008 年，尚余矿石资

源量 5200万吨，平均品位锌 12.7%，铅 1.2%，银 34克/吨；矿石储量 4200 万吨，平均品位

锌 11.5%，铅 1.4%，银 27克/吨。评估报告按年生产规模 500万吨矿石计，剩余储量预计可

生产到 2020年。该矿业权的储量与产量数据见表 4。

表 4世纪矿山 2000—2008 年矿产储量与产量数据（据 S. Shafiee at el, 2009 ）

针对矿山已开采多年、在期权周期内将闭坑的现状，设置永久关闭成本、临时关闭成

本和恢复生产成本三个政策变量，以获取一个符合矿山经营状况的合理估价。

4.3.2参数

实物估价模型所需参数见表 5。

表 5 世纪矿山实物期权价值估计参数

（据 S. Shafiee at el, 2009 ）

参数符号单位数值

储量

矿石量万吨 4200

品位 Zn % 11.5

Pb % 1.4

Ag g/t 27

期权年限 T 年 12


12

分叉总次数 N 12

锌初始现价 𝑆0 美元/磅 0.8

波动率 σ % 30

投资成本 % 15

所得税 CT % 30

无风险利率 𝑟𝑓 % 7

永久关闭成本 PCC 美元见表 10

临时关闭成本 TCC 美元见表 10

恢复生产成本 ROC 美元见表 10

看涨系数（据式（11）计算） u 1.35

看跌系数（据式（12）计算） d 0.74

风险中性概率（据式（13）计算） p % 0.54

4.3.3实物期权估算过程

第一步，计算锌价。2008年锌价为 0.8美元/磅，据式（11）和式（12）分别计算出看

涨系数 1.35和看跌系数 0.74。随之进行 12年的二叉树展开，预测各年度的锌价，详见表 6。

表 6 锌价计算结果（美元/磅）

第二步，成本计算。式（5）中的成本可写成带有折现的形式：

𝑇𝐶 = 187 • (1 + 𝑟𝑓)𝑡

+ 1552 • 𝑃𝑅 • (1 + 𝑟𝑓)𝑡 （14）

式（14）中 TC为总成本，右端前项为世纪矿山 2008年的固定成本（单位为百万美元），

后项为可变成本（单位为美元）。

第三步，计算自由现金流量𝐹𝐶𝐹𝐹𝑡𝑘。这时锌价、成本、产量、所得税、时间均为已知

数，代入式（5）即可计算出二叉树表中的𝐹𝐶𝐹𝐹𝑡𝑘，其中时间 t 处的节点纵向序号 k，是由


13

上而下的顺序数。计算结果见表 7。

第四步，计算 DCF 净现值，见表 8。

使用二叉树中的自由现金流量计算净现值的公式为：

𝐷𝐶𝐹 = ∑𝐹𝐶𝐹𝐹𝑇𝑡

(1+𝑟)𝑡𝑛𝑡+1 (15)

表 7 自由现金流量计算结果

表 8 净现值（DCF）计算结果

对二叉树每个节点计算净现值，不免繁琐。利用净现值与自由现金流量的关系，可据

𝐹𝐶𝐹𝐹进行 DCF转换。这个关系就是𝐹𝐶𝐹𝐹二叉树表与 DCF二叉树表的最后一列完全相等。于

是就有以下关系式：


14

𝐷𝐶𝐹𝑡,𝑘 = 𝐹𝐶𝐹𝐹𝑡,𝑘 +𝑃•𝐷𝐶𝐹𝑡,𝑘,𝑢+(1−𝑃)•𝐷𝐶𝐹𝑡+1,𝑘,𝑑

(1+𝑟𝑓) (16)

式（16）中：

𝐷𝐶𝐹𝑡,𝑘——时间 t处纵向第 k个节点的净现值；

𝐹𝐶𝐹𝐹𝑡,𝑘——时间 t处纵向第 k 个节点的自由现金流量；

𝐷𝐶𝐹𝑡,𝑘,𝑢——时间 t处，纵向第 k个节点，对应时间 t+1处上一行节点的净现值；

𝐷𝐶𝐹𝑡,𝑘,𝑑——时间 t处，纵向第 k个节点，对应时间 t+1处下一行节点的净现值；

P——风险中性概率。

据式（16），可利用表 7 和表 8 最后一行完全相等和𝐹𝐶𝐹𝐹已知的条件，从倒数第二列

开始，反算出表 8的全部数据，从而免去了计算 DCF净现值的工作量。

现举例说明表 7净现值的计算过程。假定要计算的是 2019年纵向第一个节点的净现值，

其倒算过程如下：

𝐷𝐶𝐹𝑡,𝑘=𝐷𝐶𝐹2019,1，为待计算净现值的节点。

已知：

t=2019, k=1;

𝐹𝐶𝐹𝐹𝑡,𝑘=𝐹𝐶𝐹𝐹2019,1=15843

𝐷𝐶𝐹𝑡,𝑘,𝑢=𝐷𝐶𝐹2019,1,𝑢=21794

𝐷𝐶𝐹𝑡,𝑘,𝑑=𝐷𝐶𝐹2019,1,𝑑=11257

P=0.54

则=代入式（16）：

𝐷𝐶𝐹2019,1 = 15843 +0.54×21794+(1−0.54)×11257

(1+0.07)=31681（百万美元）

与表 8中的𝐷𝐶𝐹2019,1有微小差异，应属计算精度问题。

上述计算结果证明了二叉树净现值的倒退算法原理。

第四步，计算实物期权价值。实物期权价值据式（6）计算。由于在本实物期权估算方

案中，设置的政策变量𝐷3 = 1，为永久关闭，因此在期权最后一年的 DCF估价与 ROV估价之

间只差一个永久关闭成本 PCC，即：

𝑅𝑂𝑉2020 = 𝐷𝐶𝐹2020 − 𝑃𝐶𝐶2010

以 2020年第一个节点为例，𝐷𝐶𝐹2020,1 = 21794，𝑃𝐶𝐶2020 = 1126，则：

𝑅𝑂𝑉2020 = 21794 − 1126 = 20668

将 2020年的 DCF由上而下逐个节点转换为 ROV后，即可采用前述估算 DCF价值的方法，


15

倒退式地计算出全部二叉树结点的 ROV价值（表 9）。

假定按上述倒退步骤已计算到 2010 年，现要倒退计算世纪锌矿 2009 年的实物期权价

值：

表 9 实物期权价值（ROV）计算结果

设：𝑅𝑂𝑉𝑡,𝑘=𝑅𝑂𝑉2009,1，为待计算实物期权价值的节点。

已知：

t=2009, k=1,2;

𝐹𝐶𝐹𝐹𝑡,𝑘=𝐹𝐶𝐹𝐹2009,1=120；

𝑅𝑂𝑉𝑡+1,𝑘=𝑅𝑂𝑉2010,1=4068；

𝑅𝑂𝑉𝑡+1,𝑘+1=𝑅𝑂𝑉2010,2=522；

𝐷1 = 1；

𝐷2 = 0；

𝐷3 = 0；

𝑝 = 0.54；

𝑟𝑓 = 7%。

ROC=128；

TCC=128；

PCC=535。

三项涉及矿山恢复生产、暂时关闭和永久关闭的成本未采用，因政策变量 D均取值为 0，


16

无矿山关闭问题。上述三项成本年度数据见表 10。

表 10 不同政策取向所需成本

将上述已知数据代入式（6）：

𝑅𝑂𝑉2009,1 = Max {0 − 0 × 535，𝐹𝐶𝐹𝐹2009,1 +0.54×4727+(1−0.54)×522

(1+0.07)− 0 ×

128 − 0 × 128} = 2732（百万美元）

对二叉树评估而言，初始状态，即 t=1 处的价值就是要确定的期权价值。该评价是在

2008年进行的，当时采用的锌价为 0.8美元/磅，据此获得的 t=1处的期权价值为 1298（百

万美元），即 12.98 亿美元。这就是世纪锌-铅-银矿业权资产的期权价值。这个数字表明，

世纪矿山如果一直不临时性关闭，也不重开，其剩余的储量继续经营到 2020 年，可获得这

一价值。

矿产品价格是矿业权期权价值升降的驱动力。在世纪矿山实例中，期权价值评估基于

2008 年 0.8 美元/磅的锌价。在之后的十年中，这个价格平稳保持在 0.9 美元/磅左右，支

持了买方的估价（图 2），证明了这个参数的选择是合适的。

不过这个例子在数量估算上存在矛盾。评估列出的每年原矿产量 502 万吨，按国外的

标准，这个数字等同于储量消耗。评估周期为 12 年，按此消耗数字需 6000 万吨矿石量，但

在评估时列出的储量数字仅为 4200 万吨，差了近 1/3（表 4）。评估时确定矿山连续生产到

2020年闭坑，但实际到 2016年就闭坑了，仅生产 8年，差了 4年，正合 1/3这个储量的短

少数字。此外，从该矿山 2000年达产后到 2008 年 8年间的矿石量消耗为 4100万吨，这表

明 2008 年剩余的 4200 万吨也只够 8年开采之用。评估将连续生产期确定为 12年，怎么也

看不出其道理何在。如果短缺 1/3 的问题存在，则该宗矿业权资产的价值应为当时股价的

2/3，即 8.65亿美元，相当于 11.6亿澳元，其结果是对该矿业权资产的高估。

因此，笔者认为，上述世纪矿山评估存在的最大问题是对矿石储量数字的高估。


17

图 2 2007—2016 年国际锌价变化

5 关于实物期权估价的几点认识

矿业权的实物期权估价，是一个新的领域，国际矿业权评估界对此怀有极大的兴趣。S.

Shafiee等在 2008年对世纪锌矿进行实物期权估价时，收集到 1985—2008年做的矿业权实

物期权估价案例，其中 90%以上同时做了 DCF和 ROV两种估算。这样做是可以理解的，因为

两种方法都依赖于自由现金流𝐹𝐶𝐹𝐹的计算，一旦𝐹𝐶𝐹𝐹求得，计算 DCF和 ROV不过是举手之

劳。这种方法展现出的对各种估价要素的灵活性处理，是其他方法所难以达到的。笔者并未

实地做过实物期权估价，在这里也只不过搬弄一些国外的案例而已。在搬弄完之后，仍有许

多不明了之处。不过通过这几个案例的分析，多少有些心得体会，下面记下来，与同行们共

研之。

5.1矿业权期权标的的现价、到期价与执行价

实物期权估价大量进行的是资产标的价值的计算。在上述两个实物期权例子中，矿业

权期权标的现价、到期价与执行价的关系不像金融资产那么简单。金融资产的标的是股票或

债券，将预测的到期价减去执行价及其他相关成本，剩余即为期权价值。

矿业权实物期权标的到期价就是矿产储量或资源量转换为矿产品销售收入的预期价值

𝑆𝑡。首先要将其按矿山生产规模和产品方案转化为矿产品的数量；再按期权期内预期的矿产

品价格转化为销售收入；最后化为现值，即矿产储量或资源量的矿产品实物标的价值。在这


18

一系列计算中，其他变量是固定的，只有矿产品价格是变化的。因此资产标的价值反映的完

全是价格的变化，这同金融资产期权直接从市场获得标的价值略有不同。

至于矿业权实物资产标的期权执行价 L，可用由储量或资源量转化为矿产品的总成本表

示。这个数字基本是固定的，可视为一个执行价格。在做这种实物期权估价的时候，并不是

真的存在一个买方或卖方，而是假定有一个买方，期望价格看涨到某个可以套利的幅度；有

一个卖方，愿意以盈亏平衡点价格出售他的实物资产。在建立这个假设后，一切就变得简单

了，实物期权标的执行价就是全部储量或资源量转化为可销售矿产品的投资成本和税收，并

将其用中性风险利率折现为现值。

在作上述处理后，将矿业权期权资产标的预期价减去矿业权期权标的执行价，就是矿

业权期权的价值了。由于参与计算的标的资产是储量或资源量，因此这样估算出来的结果其

实就是矿产储量或矿产资源量的价值。

5.2中性风险原理与价格波动率

中性风险原理涉及期权估价中折现率𝑟𝑓的选取问题。在常规的矿业权评估中，折现率

的选取通常取 8%～10%，甚至 12%。折现率选取越高，评估出的资产价值则越低，对买方越

有利，对卖方越不利；于是买方总想在算账时提高一些折现率，而卖方总想降低一些折现率。

一个很科学的 DCF算法，到这里就变得争论不休，有点失去科学性了。

按照公式：折现率=无风险报酬率+风险报酬率。无风险报酬率比较固定，不易产生歧

见；而风险报酬率涉及人们对风险的认识，就可能仁者见仁，智者见智了。中性风险折现率

就是无风险利率。因此，在期权估价中，采用无风险利率折现，既不袒护买方，也不袒护卖

方，应该说是公平的了。买卖双方想在估价中融入多少利益，可以分别用看涨模型和看跌模

型来堂堂正正地实现，用不着在利率上争论。至于买卖能否做成，属于双方对价格形势的判

断，与利率其实无关，不必把它拉进去。这种同一中性风险利率+看涨看跌价格模型是期权

估值的核心思路。

许多专家经过研究后认为，短期国债利率大致具有中性风险特征，因此建议将国债市

场成熟国家的 10 年期国债作为实物期权估价无风险利率。图 3 显示了美国 2008—2017 年

10 年期国债利率变化，其数值波动在 0.3～1 之间，处于很低的水平。澳大利亚要高一些，

这期间 10年期国债利率在 3%左右。世纪矿山无风险利率的取值为 7%，似乎偏高，对卖家而

言会有所损失，当然买家会乐见其成。


19

数据来源：据美国财政部数据，2017。

图 3 美国 2008 年 3月—2017 年 3月 10年期国债利率变化

价格波动率σ是期权估值的另一重要参数，是统计学中均方差，但不是经典统计而是

时间序列的均方差，通过历史数据获得，可作为价格自回归分析的误差项。在实物期权估计

中，价格误差项可传递到实物资产价值，再传递到期权价值。σ是一个风险因子，起到降低

期权价值的效果；但是大是小由历史数据确定，具有客观性，因此买卖双方应该具有共识，

不至引起争论。

5.3实物期权估价与 DCF估价的对比

矿业权资产的实物期权估价与 DCF 估价的原理和基本过程有很多相似之处，如都是将

实物资产资本化，都把矿山服务年限作为期权有效期，都要化为现值等。但二者也有许多重

要的不同之处。

5.3.1实物期权估价有交易的选择权，而 DCF估价没有

选择权是一切期权估价的本质特征，即买方在期权到期日觉得有利就买，不利就不买，

仅支付一些前期费用（英式期权）；或在期权有效期内任何一个时间段觉得有利就买，不利

就不买（美式期权）。为了体现这种选择权，期权估价模型在价值出现负值时设置为零，表

示应放弃购买，因此估价结果总是正值，即使其很小很小。DCF 则不同，没有任何选择性，

是正就正，是负就负，毫不含糊。因此看期权估价曲线，由低价到高价，开始有一段近乎平

拖的接近为零的曲线，然后是逐步上升的曲线，委托方一眼就能看出应该在曲线的哪个区间

投资。DCF 则是一根硬邦邦的直线，由负到正，负值区间当然委托人不爱看，也不会投资，


20

但不爱看也要让你看，因为它原本如此。

5.3.2期权估算的价值要高于 DCF估算的价值

由于以下两个原因，用期权估出的矿业权资产价值要比用 DCF 估出的高。原因之一是

期权估价使用无风险利率折现，而 DCF 估价使用无风险利率+风险利率折现。原因之二是期

权估价概念要求对收益为负的部分将价值设置为零（选择放弃购买），而 DCF 估价模型无此

选择，只能是正即正，是负即负，没有妥协余地。

图 4为 McKnight R.T等对某未开发利用铜矿的期权估价与 DCF估价例子。这是一个中

型铜矿，保有铜储量 22.68 万吨，尚未开发利用，预计生产 10年，投资成本 1.5 亿美元，

当前铜价 0.8美元/磅，预期的未折现现金流量为 1500万美元/年，总计 1.5 亿美元，按 DCF

估价，投资收益两相持平，该矿业权资产无效益（图 4右侧直线）。

左侧两条均为实物期权价值曲线：最左侧为 10年期权，中间为 5年期权。由图 4可见，

期权价值最低为零，且在同一矿产品价格处其价值均高于 DCF数值。以 10 年期期权为例，

在铜价为 0.8美元处已达到近 2500万美元的期权价值。

图 4 某热液铜矿储量实物期权估值与 DCF 估值比较（据 McKnight R.T 等，2002）

5.3.3期权估价分买方和卖方两个主体分别设计估价模型，而 DCF则双方使用同一个模型

买卖双方有不同的利益诉求，用同一个模型难以求同存异。期权估价在基本原理与基

本过程保持一致的基础上，设计了看涨模型与看跌模型，即把属于公共部分的算法纳入基本


21

模型，把属于买卖双方自己考虑的部分纳入买方模型或卖方模型。这样一来，模型既遵循了

期权估价的基本原理，又细化了个两个交易主体特定的利益诉求。反正估价完成后，还有一

个谈判过程。在谈判桌上实际上是双方对其看涨或看跌模型参数的争论、妥协与修订过程。

5.3.4期权模型可以融入政策变量，而 DCF模型无此功能

在目前的矿业权资产期权估价中,政策变量主要体现在暂停生产、重开生产、扩大生产

和永久关闭 4个环节。选择每一个环节，都要将相应的成本增添到模型中。在上述世纪锌矿

实例中，决策在期权有效期内永久关闭矿山，关闭成本见表 10。

最早将实物期权估价引入矿业权评估的 M.J. Brennan和 E.S. Schwartz 给出了一个热

液铜矿床期权估价的例子。该矿床铜储量 68040 吨，属小型矿床，年产铜 4536吨，平均生

产成本 0.5美元/磅，维护成本 50万美元/年，重开成本 20万美元/年，关闭成本 20万美元

/年，所得税 10%，再加上其他零星税费，构成总成本，即期权估价的资产标的执行价。据

此计算的矿业权实物期权价值见表 11。由表 11 可见，当矿山处于在产状态时，如铜价低于

0.5美元/磅，选择关闭；当矿山处于关闭状态时，如铜价高于 0.7美元/磅，选择重开。

表 11 某小型铜矿实物期权估价（据 Brennan和 Schwartz，2002）

铜价（磅/美元）按在产矿山

期权价值评估结果

（百万美元）

按关闭矿山

期权价值评估结果

（百万美元）

0.3 （1.25）* 1.45

0.4 （4.15）* 4.35

0.5 7.95 8.11

0.6 12.52 12.49

0.7 17.56 17.38

0.8 22.88 （22.68）★

0.9 28.38 （28.18）★

1.0 34.01 （33.81）★

* 选择关闭 ★ 选择重开

参考文献

[1]LILFORD E V, MINNITT R A. A Comparative Study of Valuation Methodologies

for Mineral Developments[J]. The Journal of The South African Institute of Mining

and Metallurgy，2005(1)：29-42.

[2]MCKNIGHT R T. Valuing Mineral Opportunities as Options[EB/OL].[2017-05-23].

www.cim.org/mes/pdf/VALDAYBobMcKnight.

[3]SHAFIEE S, TOPAL E，NEHRING M. Adjusted Real Option Valuation to Maximise

http://www.cim.org/mes/pdf/VALDAYBobMcKnight


22

Mining Project Value– A Case Study Using Century Mine[C]// Project .Evaluation

Conference:Melbourne,2009:125-134.

[4]SVETLANA BAURENS.Valuation of Metals and Mining Companies[R]. Basinvest:

Swiss,2010:81.

Option Valuation of Mineral property

LI Yuwei

（Consulting & Research Center Ministry of Land & Resources,Beijing

100812）

Abstract：Option valuation is a new approach for mineral property appraisal.In

contrast with other methods for mineral property valuation, option valuation shows

advantage of excellent flexibility in setting up mine policy variables, such as

suspending, permanent closing or reopening.Applications of option valuation in

mineral property valuation is more difficult than other real properties as the strike

price is not available directly but has to be transformed from the capital cost

developing mineral reserves or resources.This is the skill of using Black-Scholes

option valuation models in real option valuation for mineral properties.In

consideration of the importance of including the company operation strategies into

the valuation, a mineral property appraised by option valuation with policy

variables should be the best choice. At last in this paper, two case studies are

introduced to demonstrate the methods and procedures.

Key words：Option valuation；mineral property；Black-Scholes model；call option；

real option.

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1 矿业权资产的期权估价 - CNKIcbimg.cnki.net/Editor/2018/0305/zdkj/282332ea-11ee-4a7d-b1db-330ada66c... · 同现有的其他评估方法相比，期权估价在 设置决策变量方面具有更大的灵活性，例如可将矿山经营状态设置为暂停开采、恢复开采或

1 矿业权资产的期权估价 - CNKIcbimg.cnki.net/Editor/2018/0305/zdkj/282332ea-11ee-4a7d-b1db-330ada66c... · 同现有的其他评估方法相比，期权估价在设置决策变量方面具有更大的灵活性，例如可将矿山经营状态设置为暂停开采、恢复开采或