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Coalescence et grandes structures combinatoires
Philippe ChassaingInstitut ELIE CARTAN
Nancy
Rouen, 6 Juin 2002
2
751236475123647512364751236475123647512364751236475123647512364Graphe aléatoire
3
Tailles des composantes C1(n,p) ≥C2(n,p)≥L
Erdös & Rényi, 1960-61
……..Janson, Luczak, Knuth & Pittel,
1993
p(n) ≈cn
c<1 → C1 =O(logn)
c=1 → Ci =O n2/3( )
c>1 → C1 =O(n), C2 =O(logn)
Aldous, 1997
p(n) =1n
+tn4/3
La suite converge vers la suite des longueurs des excursions de
au dessus de son minimum courant
Wt(s) =Bs +ts−12 s
2
n−2/3Ci( )i≥1
OK pour la loi limite à t fixé !Quid de la loi du processus en t ?
Coalescentmultiplicatif ?
4
8751236491082888751236491087129828536410871298228853641071928785364101928756568341019287565
Fragmentation d ’un arbreAldous & Pitman 1999
Coalescent additif !!
5
Parking
Coalescence des blocs ? Quid ?
6
Excursion & coalescence
a
f
Ta
Ta f(t) = f(t) −at+sup0≤s≤t
(as− f (s))
TaoTb =Ta+bf : excursion Brownienne normalisée
Bertoin 2000
Coalescence et fragmentation des
excursions quand a varie
Coalescent additif d ’Aldous & Pitman
7
Equations de coagulation
∂n∂t
(x, t) =12 K(y, x−y)n(y, t)n(x−y,t)y=1
x−1
∑ −n(x, t) K (x, y)n(y, t)y=1
x−1
∑
Marian von Smoluchowski, 1916
n(x,t) =e−tB1−e−t,x( ), 0≤t≤+∞
B(α,x) = Pr(Zα =x) = (αx)x−1
x! e−αx
K(x,y) =x+y
Cas particulier
xentier
8
Processus de Marcus Lushnikov
A chaque couple de particules (i,j), de tailles respectives x et y, on associe une variable aléatoire Ti,j de loi donnée par:
P Ti,j >t( )=e−K (x,y) t
La première coalescence a lieu à l ’instant :
T=mini,j
Ti, j
et concerne le couple de particules (I,J) défini par
TI ,J =mini, j
Ti,j
Introduit par M&L pour approcher numériquement les solutions des équations de Smoluchowski
Résultats de convergence parJeon, Norris, Fournier, Deaconu, Tanré, Wagner, etc ...
9
Lien Parking—Smoluchowski:le bloc marqué (tagged particle)
10
m ⏐ → ⏐ +∞, nm
⏐ → ⏐ α
Pr Lm,n =k( ) ≈
Le bloc marqué
Pr Lm,n =k( ) =k−1
n−1⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ m k+1( )k−1 m−k−1( )n−k−1 m−n−1( ) m
−n
α k−1
k−1!k+1( )k−1 1−α( )
k n k+1,−ln(1−α )( ) =α k−1
k−1!(k+1)k−1e−α(k+1) 1−α( )
K(x,y) =x+y
e−α (k+1)
Parking ~ Smoluchowski additif ?
11
Parking = Marcus-Lushnikov
Changement de temps ?
Pour chaque objet (véhicule) x, la pulsion de parking (!!!) se produit au bout d ’un temps Tx aléatoire exponentiel de moyenne 1. Les Tx sont indépendants ...
Date du kème événement: T(k)
Tαm( ) =−ln 1−α( ) +o(1)
Tm−λ m( )=1
2 lnm − lnλ +o(1)
Probabilité d ’agglomérer un bloc de taille x à un bloc de taille y lorsque restent exactement r blocs
x+ym(r−1)
12
Lien Parking—excursion:hachage & coût de construction
Coût de construction = ? Coût de recherche = ?
= déplacement total =Dm,n
13
E Dm,n[ ]=n+
n2n−1m
+(n−1)(n−2)
m2 +L⎛ ⎝
⎞ ⎠
Knuth, 1962
Déplacement total
Espérance
m places,n objets
E Dm,α m[ ]≈m2
1+1
1−α⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
Cas épars
E Dm,m−1[ ]≈m mπ8
Cas plein
1999
Variance
Flajolet, Viola & Poblete, Knuth,
σm+1,m≈m32 10−3π
24
14
Polynomes de Kreweras
Fn(1) =# fonctions parking{ }
=nn−2
=# arbres de Cayley{ }
Fn(2) =# graphes connexes à n sommets{ }
Fn(0)=n!
Fn(−1) =# permutations alternantes{ }
Fn(k)(1)k!
=# graphes connexes à n sommetset n+k-1 arètes { }
15
Polynomes de Kreweras
Fn(s) = kn−1
( )k=0
n−1
∑ Fk(s) Fn−1−k(s)1−sk+1
1−s
F(s,t) = Fn(s) tn
n!n≥0∑
∂∂tF(s,t) =F(s,t)
F(s,t) −sF(s,st)1−s
E Dm,m+1k
[ ]≈dk 2 πn3k k!
2 2( )kΓ 3k−1
2( )
dn =9(3n−4) dn−1 +12 dkdn−kk=1
n−1
∑
Aire sous l ’excursion Brownienne :
aire sousl'excursion Brownienne
0
20
40
60
0 500 1000 1500 2000 2500
E ρk[ ]=γk 2 π k!
36 2( )kΓ 3k−1
2( )
γn =9(3n−4) γn−1 +12 γkγn−kk=1
n−1
∑
Getoor Sharpe 1979, Shepp 1982, Louchard 1984, Biane-Yor 1987, Groeneboom 1989, Takács 1991
16
aire sousl'excursion Brownienne
0
20
40
60
0 500 1000 1500 2000 2500
Aire sous l ’excursion Brownienne :
déjà étudiée comme étant limite du cheminement total dans un arbre au hasard (Takac 1995)
PrDm,m−1
m m≤x
⎛ ⎝
⎞ ⎠
≈Pr ρ≤x( )
Flajolet, Viola & Poblete, 1999
17
m ⏐ → ⏐ +∞, m−n ≈ α m
PrLm,n
m∈dx
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ ≈Pr
N2
α 2 +N2 ∈dx⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
N2
α 2 +N2
Le premier terme du coalescent additif standard
est distribué comme
(Aldous, Pitman, 2000)
La largeur d ’une excursion de Te
est distribué comme
(??)
Pr Lm,n =k( ) =k−1
n−1⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ m k+1( )k−1 m−k−1( )n−k−1 m−n−1( ) m−n
Lien Parking—excursion: le bloc marqué
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Lien Parking—excursion: le profil
6823838781488458598996823838781488458582331144233114445523311444556233114445567233121
19
2000 sur 2500 places
0
20
40
60
0 400 800 1200 1600 2000 2400
20
2400 sur 2500 places
0
20
40
60
0 400 800 1200 1600 2000 2400
21
2499 sur 2500 places
0
20
40
60
0 400 800 1200 1600 2000 2400
220
20
40
60
400 800 1200 1600 2000 2400
Profils successifs cf. Bertoin 2000
23
Le modèle limite
a
f
Ta
am
places vides
Ta f(t) = f(t)−at+sup0≤s≤t
(as− f (s))
24
Convergenceha,n(t,ω) =
1nH n−a n⎣ ⎦,n
nt⎣ ⎦,ω( )
Pr ha,n(t)unift ⏐ → ⏐ ⏐ Tae U +t{ }( )[ ] =1
signifie "unift pour (a,t) [0,A] [0,1], A arbitraire")
unift ⏐ → ⏐ ⏐
t
128 7 9
912
13
5 12
13
13 4 3
6
6
11 11
11
14
14
14 15 10
16
16
ha,n
(t)
Tae(t,ω)
ha,n(t,ω)
Chassaing& Louchard
2000
25
2751836491010275183649104910275183649104910369275183649104910369427518364910491036946927518364910491036946932751836491049103694693592751836491049103694935996275183649104910275183649104910369493996527518364910491036949399652172751836491049103694939652179272751836491049103694939652792712751836491049103694939652792717827518364910491036949396527971782275183649104910369493965279717828275183649104910369493965279718287275183649104910369493965279718278
Lien arbres—parking
Schutzenberger, Foata-Riordan,
Françon,Kreweras ...
1960-80
26
27
88751236491049369695981787821098875123649108712982493665817878210853641087129822849366517721088536410719287493665121087853641019287564935121087656834101928756559108643127834101928765459108631273456Fragmentation de l ’arbre ≈ agrégation des blocs
28
Hachage et graphes connexes
7491523680a.7491523680c.6882323377145145495990b.Nombre de graphes connexes
à n sommets et n+k-1 arètes
n+1( )n−1 E Dn+1,nk
[ ]
29
87512364910
Élagage (bis)
875123649108751236491087512364910875123649108751236491087512364910875123649108751236491087512364910
N9 =4
Chassaing& Marchand
2002
Nombres de coupes au hasard pour détruire un arbre:
n × Rayleigh
30
Hachage et processus empiriques011F, Fn719368542U , i=i01n
01719368542U , i=i011234555667788901n
31
Largeur et hauteur des arbres46380125791226456337788955(n)ykkGk(n)k
32
Applications à l ’algorithmique