1. ∆𝐴𝐷𝑂~∆𝐵𝐶𝑂 pagal du lygius kampus:

1. ∠DAO = ∠BCO (statū𝑠)

2. ∠DOA = ∠BOC (kryžminiai)

Remiantis panašių trikampių savybe:

𝑂𝐷

𝑂𝐵=

𝐴𝑂

𝐶𝑂 →

𝑂𝐷

9=

2

4

4𝑂𝐷 = 18 |: 4

𝑂𝐷 = 4,5

Atsakymas: 4,5

2. 1.

∠BCO = ∠OAB = 90° (spindulys nuleistas į lietimosi tašką)

∠CBA = 360° − 90° − 90° − 140° = 40°

Atsakymas: 𝟒𝟎°

2. Pagal susikertančių liestinių savybes:

𝐸𝐶 = 𝐷𝐶

𝐷𝐹 = 𝐹𝐴

𝐵𝐶 = 𝐵𝐴 = 15

𝐵𝐸 + 𝐸𝐷 = 𝐵𝐸 + 𝐸𝐶 = 𝐵𝐶 = 15

𝐵𝐹 + 𝐷𝐹 = 𝐵𝐹 + 𝐹𝐴 = 𝐵𝐴 = 15

𝑃 = 𝐵𝐸 + 𝐸𝐷 + 𝐷𝐹 + 𝐵𝐹 = 15 + 15 = 30

Atsakymas: 30 3.

𝐷𝐵 = 16 → 𝐷𝑂 = 8

𝐴𝐶 = 12 → 𝐴𝑂 = 6

∆𝐴𝐷𝑂, pagal Pitagoro teoremą:

𝐴𝐷2 = 𝐷𝑂2 + 𝐴𝑂2

𝐴𝐷2 = 82 + 62 = 100

𝐴𝐷 = 10 (−10 netinka)

Atsakymas: A

4.

∠3 = 180° − ∠1 − ∠2 ∠3 = 180° − 28° − 65° ∠3 = 87°

Atsakymas: D

5. 𝑆 = 𝑎𝑏sin𝛼

𝑆 = 4 ∙ 5 ∙ sin45°

𝑆 = 20 ∙√2

2= 10√2

Atsakymas: B

6.

1.

∠ABC = 180° − 30° − 60° = 90°

𝐴𝐶 = 2 ∙ 𝑟 = 2 ∙ 6 = 12

𝐴𝐵 =1

2𝐴𝐶 (prieš 30° kampą)

𝐴𝐵 = 6

Atsakymas: 6

2. 𝐵𝑂 = 𝐴𝑂 = 𝑟 = 6

∠BAO = ∠ABO = 60° ∠AOB = 180° − 60° − 60° = 60°

Atsakymas: 𝟔𝟎°

3. 𝐴𝐶 = 2 ∙ 𝑟 = 2 ∙ 6 = 12

Atsakymas: 12

7. 𝑆 =

𝑎𝑏sin𝛼

2

𝑆 =6 ∙ 4 ∙ sin30°

2= 6

Atsakymas: A

8. 1. ∆𝐴𝐵𝐶 yra lygiakraštis, todėl:

∠CAB = ∠CBA = ∠ACB = 60°

∠ADB = ∠ACB = 60° (nes remiasi į tą patį lanką)

Atsakymas: 𝟔𝟎°

2.

𝑟 =𝑎√3

3=

√3 ∙ √3

3=

3

3= 1

𝐀𝐭𝐬𝐚𝐤𝐲𝐦𝐚𝐬: 𝟏 9.

𝑆 =𝑎2√3

4=

42√3

4= 4√3

Atsakymas: A

10. 1. 132 = 122 + 52 169 = 144 + 25 169 = 169 Remiantis atvirkštne Pitagoro teorema, trikampis yra status

S =1

2∙ 12 ∙ 5 = 30 𝑐𝑚2

Atsakymas: 𝟑𝟎 𝒄𝒎𝟐

2. cos(∠ABC) = cos(90°) = 0

Atsakymas: 0

3. 𝑆𝐴𝐵𝐶 =1

2∙ 5 ∙ 12 = 30 arba 𝑆𝐴𝐵𝐶 =

1

2∙ 𝐵𝑀 ∙ 13

1

2∙ 𝐵𝑀 ∙ 13 = 30

𝐵𝑀 =60

13 𝑐𝑚

Atsakymas: 𝟔𝟎

𝟏𝟑 𝒄𝒎

11. 1. ∆𝐴𝐵𝐷, pagal Pitagoro teoremą: 𝐵𝐷2 = 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐷2 𝐵𝐷2 = 82 + 62 = 100 𝐵𝐷 = 10 (−10 netinka)

Atsakymas: 10

2. ∠ADC = 90° → ∠BDC = 45° ∠CDF = 90° → ∠CDE = 45° ∠BDE = ∠BDC + ∠CDE = 45° + 45° = 90°

Atsakymas: 𝟗𝟎°

3. 𝑆𝑖š𝑝𝑗𝑜𝑣𝑜𝑠 𝐵𝐷𝐸 =𝜋𝑟2𝛼

360=

𝜋102∙90

360= 25𝜋

𝑆𝐷𝐸𝐹 = 𝑆𝐴𝐵𝐷 =1

2∙ 8 ∙ 6 = 24

𝑆𝑛𝑢𝑠𝑝. = 25𝜋 + 24 + 24 = 48 + 25𝜋

Atsakymas: 48 + 25𝜋

12. 1. ∠ACB =1

2∠AOB =

1

2∙ 80° = 40°

Atsakymas: 𝟒𝟎°

2. ∠CAM = ∠CBM = 90° (nes spindulys nuleistas į lietimosi tašką) ∠AMB = 360° − 90° − 90° − 80° = 100°

Atsakymas: 𝟏𝟎𝟎°

13.

14.

∆𝐵𝐴𝑁~∆𝑀𝑁𝐶 pagal du lygius kampus:

1. ∠ABN = ∠NCM = 90°

2. ∠ANB = ∠NMC, nes vidaus priešiniai kampai

Remiantis panašių trikampių savybe:

𝐴𝐵

𝑁𝐶=

𝐴𝑁

𝑀𝑁 →

2

5=

3

𝑀𝑁 → 2𝑀𝑁 = 15 → 𝑀𝑁 = 7,5

Atsakymas: C

15. 𝑟 =

𝑎 + 𝑏 − 𝑐

2 → 2 =

𝑎 + 𝑏 − 10

2 → 𝑎 + 𝑏 = 14

Pagal Pitagoro teoremą:

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 → 102 = 𝑎2 + 𝑏2 → 𝑎2 + 𝑏2 = 100

{𝑎 + 𝑏 = 14,

𝑎2 + 𝑏2 = 100

{𝑎 = 14 − 𝑏

(14 − 𝑏)2 + 𝑏2 = 100

196 − 28𝑏 + 𝑏2 + 𝑏2 = 100

2𝑏2 − 28𝑏 + 96 = 0 |: 2

𝑏2 − 14𝑏 + 48 = 0

𝐷 = (−14)2 − 4 ∙ 1 ∙ 48 = 196 − 192 = 4

𝑏1 =14 − 2

2= 7 (netinka)

𝑏2 =14 + 2

2= 8

𝑎1 = 14 − 𝑏1 = 14 − 7 = 7 (netinka)

𝑎2 = 14 − 𝑏2 = 14 − 8 = 6

𝑆 =1

2∙ 8 ∙ 6 = 24 𝑐𝑚2

Atsakymas: 𝟐𝟒 𝒄𝒎𝟐

16. {ℎ − 𝐵 + 𝐴 = 42ℎ − 𝐴 + 𝐵 = 26

{ℎ + (𝐴 − 𝐵) = 42ℎ − (𝐴 − 𝐵) = 26

{𝐴 − 𝐵 = 42 − ℎ

ℎ − (42 − ℎ) = 26

ℎ − 42 + ℎ = 26

2ℎ = 68 |: 2

ℎ = 34

Atsakymas: 34

17. 𝒙 − atstumas tarp sulenkto strypo galų Remiantis kosinusų teorema:

𝑥2 = 12 + 12 − 2 ∙ 1 ∙ 1 ∙ cos(120°) 𝑥2 = 2 − 2 ∙ (−0,5) 𝑥2 = 2 + 1 = 3 𝑥 ≈ 1,73205 𝑚 = 173,205 𝑐𝑚 ≈ 173 𝑐𝑚

Atsakymas: 173 cm

18.

19. ∆𝐴𝐵𝐷, remiantis Pitagoro teoremą: 𝐵𝐷2 = 𝐵𝐴2 + 𝐴𝐷2 𝐵𝐷2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 𝐵𝐷 = 13

𝑆𝐴𝐵𝐷 =1

2∙ 5 ∙ 12 = 30

𝑆𝐵𝐶𝐷 =132√3

4=

169√3

4

𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑆𝐴𝐵𝐷 + 𝑆𝐵𝐶𝐷 = 30 +169√3

4

Atsakymas: 𝟑𝟎 +𝟏𝟔𝟗√𝟑

𝟒

20. ∆𝑂𝐵𝐶, pagal Pitagoro teoremą: 𝐵𝐶2 = 11 + 12 = 2

𝐵𝐶 = √2 (−√2 netinka)

∆𝑂𝑀𝐶, pagal Pitagoro teoremą:

𝑂𝑀2 = 𝑂𝐶2 − 𝑀𝐶2 = 12 − (√2

2)

2

= 1 −2

4=

1

2

𝑂𝑀 =√2

2 (−

√2

2 netinka)

𝐴𝑀 = 1 +√2

2

𝑆∆𝐴𝐵𝐶 =1

2∙ √2 ∙ (1 +

√2

2) =

√2

2+

1

2

𝑆∆𝐵𝑂𝐶 =1

2∙ 1 ∙ 1 =

1

2

𝑆𝑛𝑢𝑠𝑝. = 𝑆∆𝐴𝐵𝐶 − 𝑆∆𝐵𝑂𝐶 =√2

2+

1

2−

1

2=

√2

2

Atsakymas: √𝟐

𝟐

21. Remiantis susikertančių stigų savybe:

𝑥 ∙ 𝑥 = 4 ∙ 9 𝑥2 = 36 𝑥 = 6 (−6 netinka)

Atsakymas: 6

22.

23. ∠OAB = 90° (spindulys nuleistas į lietimosi tašką) ∠OAC = 90° − 78° = 12° 𝐴𝑂 = 𝑂𝐶 = 𝑟 → ∆𝐴𝑂𝐶 lygiašonis ∠OCA = ∠OAC = 12° ∠AOC = 180° − 12° − 12° = 156°

Atsakymas: E

24. 180° − 68° = 112° 180° − 111° = 69°

Atsakymas: C

25. ∠ABC = 180° − 30° − 60° = 90°

∆𝐴𝐵𝐶 − status

𝐴𝐶 = 2𝐵𝐶 = 2√3 (prieš 30° kampą)

Pagal Pitagoro teormą:

𝐴𝐵2 = 𝐴𝐶2 − 𝐵𝐶2

𝐴𝐵2 = (2√3)2

− (√3)2

= 12 − 3 = 9

𝐴𝐵 = 3 (−3 netinka)

Atsakymas: 3

26. 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝑟 = 2

𝐷𝐵 =1

2∙ 2√2 = √2

∆𝐴𝐷𝐵, pagal Pitagoro teoremą:

𝐴𝐷2 = 22 − (√2)2

= 2

𝐴𝐷 = √2 (−√2 netinka)

𝐴𝐷 = 𝐷𝐵 → ∠DAB = ∠DBA = ∠DCB = ∠DBC = 𝑥 𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 = 180° → 𝑥 = 45° ∠ABC = 2𝑥 = 2 ∙ 45° = 90°

𝑆∆𝐴𝐵𝐶 =1

2∙ 2 ∙ 2 = 2

𝑆𝑖š𝑝𝑗𝑜𝑣𝑜𝑠 =4𝜋

360°∙ 90° = 𝜋

𝑆𝑛𝑢𝑜𝑝𝑗𝑜𝑣𝑜𝑠 = 𝑆𝑖š𝑝𝑗𝑜𝑣𝑜𝑠 − 𝑆∆𝐴𝐵𝐶 = 𝜋 − 2

𝑆𝑠𝑘𝑟𝑖𝑡𝑢𝑙𝑖𝑜 = 4𝜋 𝑆𝑛𝑢𝑠𝑝𝑎𝑙𝑣𝑖𝑛𝑡𝑎 = 𝑆𝑠𝑘𝑟𝑖𝑡𝑢𝑙𝑖𝑜 − 2 ∙ 𝑆𝑛𝑢𝑜𝑝𝑗𝑜𝑣𝑜𝑠

𝑆𝑛𝑢𝑠𝑝𝑎𝑙𝑣𝑖𝑛𝑡𝑎 = 4𝜋 − 2(𝜋 − 2) = 2𝜋 + 4

Atsakymas: 𝟐𝝅 + 𝟒

27. ∠C = 𝑥 ∠B = 90° − 𝑥

∠CAE = ∠CEA =(180° − 𝑥)

2

∠EAB = 90° − ∠CAE = 90° − 90° + 0,5𝑥 = 0,5𝑥

∠BDA = ∠BAD =180° − 90° + 𝑥

2=

90° + 𝑥

2

∠CAD = 90° − ∠DAB = 90° − 45° − 0,5𝑥 = 45° − 0,5𝑥 ∠DAE = 90° − ∠CAD − ∠EAB = 90° − 45° + 0,5𝑥 − 0,5𝑥 = 45°

Atsakymas: 𝟒𝟓°

28. 1.

∠DAO = 90° (spindulys nuleistas į lietimos tašką) ∠AOD = 180° − 120° = 60° ∠ADO = 180° − 90° − 60° = 30°

2.

𝐴𝑂 = 2 𝐷𝑂 = 4 (prieš 30° kampą) Pagal Pitagoro teoremą: 𝐷𝐴2 = 16 − 4 = 12

𝐷𝐴 = 2√3 (−2√3 netinka)

𝑆𝐴𝑂𝐷 =1

2∙ 2 ∙ 2√3 = 2√3

𝑆𝑖š𝑝𝑗𝑜𝑣𝑜𝑠 =𝜋22

360°∙ 60 =

2𝜋

3

𝑆𝑛𝑢𝑠𝑝. = 2√3 −2𝜋

3

Atsakymas: 𝟐√𝟑 −𝟐𝝅

𝟑

29. Pagal Pitagoro teoremą: 𝐴𝐵2 = 82 + 62 = 100 𝐴𝐵 = 10 (−10 netinka) 𝐴𝑂 = 10: 2 = 5

Atsakymas: A

30. 1. 𝑆 = 3 ∙ 1,5 ∙ 2,4 = 10,8 𝑚2

Atsakymas: 𝟏𝟎, 𝟖 𝒎𝟐

2. 10,8 − 100%

𝑥 − 105%

𝑥 =10,8 ∙ 105

100= 11,34 𝑚2

Atsakymas: 𝟏𝟏. 𝟑𝟒 𝒎𝟐

3. Reikės 12 dėžių, kurios kainuos 12 ∙ 55 = 660 𝐿𝑡 Atsakymas: 660 Lt

31. 𝑉1 = 40 ∙ 27 ∙ 35 = 37800 𝑐𝑚3

𝑉2 = 37800 𝑐𝑚3

𝑉2 = 50 ∙ 23 ∙ 𝑥 = 1150𝑥 𝑐𝑚3

1150𝑥 = 37800 |: 1150

𝑥 ≈ 32,8696 ≈ 33 𝑐𝑚

Atsakymas: 33 cm

32.