-
1-1
SYS 855 VibroacoustiqueLes Systmes 1 degr de libert
DeMarc Thomas, ing., Ph.D.
Professeur, dpartement de gnie mcaniqueETS
Montral, le 1e Septembre 2001
-
1-2
TABLE DES MATIRES1. SYSTMES 1 DEGR DE LIBERT LIBRES AMORTIS
___________________ 1-3
1.1 quations du mouvement.
____________________________________________ 1-3
1.2 Amortissement critique
______________________________________________ 1-4
1.3 Sur-
amortissement__________________________________________________
1-5
1.4 Sous amortissement (mouvement oscillatoire)
____________________________ 1-7
1.5 Dcrment
logarithmique_____________________________________________ 1-8
1.6 Fonction de rponse impulsionnelle
(I.R.F.)_____________________________ 1-121.6.1 Rponse force dun
systme 1 degr de libert ______________________ 1-13
1.7 Rponse une excitation arbitraire
___________________________________ 1-18
1.8 Fonction de transfert dun systme mcanique
__________________________ 1-20
1.9 Exercices
_________________________________________________________ 1-25
LISTE DES FIGURES
Figure 1.1 Systme masse ressort
amortisseur______________________________________ 1-3Figure 1.2
Amortissement critique
_______________________________________________ 1-5Figure 1.3 Sur
amortissement___________________________________________________
1-6Figure 1.4 Amortissement de
70%_______________________________________________ 1-8Figure 1.5
Exercice
1.1________________________________________________________
1-9Figure 1.6 Fonction VIBLIBRE
________________________________________________ 1-11Figure 1.7
Modle Simulink libre amorti un degr de libert
________________________ 1-12Figure 1.8 Impulsion
________________________________________________________ 1-13figure
1.9 Logiciel de calcul de rponse impulsionnelle
_____________________________ 1-15Figure 1.10 Impact de Dirac
__________________________________________________ 1-16Figure 1.11
Double impact ____________________________________________________
1-16figure 1.12 Rponse impulsionnelle
_____________________________________________ 1-17figure 1.13
Rponse un double impact__________________________________________
1-18Figure 1.14 Excitation arbitraire
_______________________________________________ 1-18Figure 1.15
Logiciel de calcul damplification
____________________________________ 1-21figure 1.16 Courbes
damplification ____________________________________________
1-22Figure 1.17 Exercice 6
_______________________________________________________ 1-26Figure
1.18 Exercice 7
_______________________________________________________ 1-27
-
1-3
1. SYSTMES 1 DEGR DE LIBERT LIBRES AMORTIS
1.1 quations du mouvement.
Soit une masse M supporte par un ressort K et un amortisseur C.-
Lamortisseur de type visqueux oppose une force proportionnelle la
vitesse du
dplacement: Fb = -Cx'(t).- Le ressort s'oppose au dplacement par
une force: FB = -Kx(t)- La vibration est libre. La force
dexcitation est donc nulle.
Figure 1.1 Systme masse ressort amortisseur
Lquation du mouvement, en supposant le systme linaire peut tre
reprsente par une quationdiffrentielle du 2e ordre :
0 tKxtxCtxM (1.1)
Cherchons s'il existe une solution de la forme x(t) = X
est(transforme de Laplace):
02 stXeKCsMs (1.2)
Les solutions sont celles de l'quation du second degr: Ms2 + Cs
+ K = 0
soit: 2M
4KM - C C- = s2
Les solution sont relles si C2 - 4KM est positif. Elles sont
complexes si C2 - 4KM est ngatif.
M
K C
x(t)
F(t)= 0
-
1-4
Il existe deux solutions. La solution gnrale a donc pour forme:
e B + e A = x(t) tsts 21
o s1 et s2 sont les solutions de l'quation caractristique.
Les constantes A et B doivent tre values en fonction des
conditions initiales x(o) et x(o).
tM
KMCt
MK
MC
tMC
BeAeetx
22
222 (1.3)
1.2 Amortissement critique
C2-4KM = 0 (1.4)
C = 2 KM = Cc (1.5)
On appelle ce terme l'amortissement critique.
On peut galement poser:
MK2M = Cc (1.6)
ou bien Cc = 2M . n. (1.7)
o n = (K/M) (1.8)reprsente la frquence naturelle du systme.
Tout amortissement peut tre exprim en fonction de
l'amortissement critique laide duncoefficient de proportionnalit :C
= Cc (1.9)
o = CCc
(1.10)
est appel le taux d'amortissement.
Dans ce cas, l'quation caractristique devient:
s n1 22 1,
(1.11)
Aussi si C = Cc, alors (C2- 4 KM = 0) et = 1s1=s2 = - n
La solution a la forme:
-
1-5
x(t) = (A + B t) e- n t (1.12)o les constantes A et B sont
dtermines par les conditions initiales x(o) et x(o).
A = xo (1.13-a)B = xo + n xo (1.13-b)
L'amortissement critique est celui qui amorti le mouvement (non
oscillatoire) en un tempsminimum.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
Temps
Dp
lace
men
t
Rponse temporelle Time
Figure 1.2 Amortissement critique
1.3 Sur- amortissement
Cas 2 : C2- 4MK > 0: Sur- amortissement
> 1
x t Ae Ben n
t t
2 21 1
(1.14)
-
1-6
o d'aprs les conditions initiales, on a:
A
x xn
n
0 1 0
2 1
2
2
(1.15-a)
B
x xn
n
0 1 0
2 1
2
2
(1.15-b)
Le systme nest pas oscillant.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
Tem ps
Dp
lace
men
t
Rpons e tem porelle Tim e
Figure 1.3 Sur amortissement
Applications : L'amortissement sur amorti est celui qui minimise
les amplitudes dumouvement (mais pas le temps de stabilisation)
- Dispositif de fermeture de porte,- Absorption de recul d'un
canon,- Amortisseur d'auto,- Quelques instruments fort
amortissement.
-
1-7
1.4 Sous amortissement (mouvement oscillatoire)
Cas 3 - C2 - 4 KM < 0, < 1: Mouvement oscillatoire
Comme le radical est ngatif, lquation caractristique doit tre
rcrite sous la forme :
)21(2,1 ins (1.16)
22 11 titit nnn BeAeetx (1.17)
ou encore:
tXetx n
tn 21sin (1.18)
ou encore tCtCetx dd
tn
cossin 21 (1.19)
o C2 = x(o) (1.20)
d
n xxC
001
(1.21)
X nest pas lamplitude du signal, mais reprsente lamplitude de
lenveloppe exponentielle.
22
21 CCX ,
1
1tan 2CC
La frquence naturelle amortie est : 21 nd (1.22)
La priode d'oscillation est dfinie par d
T
2 en secondes.
Lamortissement optimum est obtenu pour un rapport damortissement
de 70%.
-
1-8
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
Temps
Dp
lace
men
tRponse temporelle Time
Figure 1.4 Amortissement de 70%
1.5 Dcrment logarithmique
Dfinissons
XX
n1 =
XX
ni
i
1+i
i
lnln (1.23)
o les X sont pris aux points de tangences avec l'enveloppe et
reprsentent approximativementles maxima de mouvement,
T=e n
1 = e = e
e = nnTTTt-t-
nnn
n
lnlnln (1.24)
en insrant l'expression pour 21
2
n
T
(1.25)
3 < disons petit, si, 2 - 1
2 = .02
(1.26)
-
1-9
La fonction VIBLIBRE crite en MATLAB permet de calculer les
rponses vibratoires dunsystme 1 ddl, selon le type
damortissement.
Exercices 1.1
Soit un systme masse-ressort-amortisseur o K = 163 N/m; C = 2.5
N.s./m; M = 1 kg, excit parune vitesse initiale de 1m/s.Calculez
lamortissement critique.Dterminez le type damortissement gnr.crivez
lquation du mouvement.Dterminez le rapport entre deux amplitudes
successives libres.
-------------------------
Rponse de lexercice 1.1
La pulsation naturelle du systme est 12.8 rad/s.Le rapport d
amortissement est 0.0979.La pulsation naturelle amortie est
12.7.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
Temps
Dp
lace
men
t
Rponse temporelle Time
Figure 1.5 Exercice 1.1
-
1-10
-
1-11
Figure 1.6 Fonction VIBLIBRE
function VIBLIBRE(m,c,k,x0,v0,tf)% VIBLIB calcule la rponse
libre d'un systme masse-ressort-amortisseur amorti 1 ddl.% Le
logiciel peut prendre deux types de donnes.% VIBLIB(m,c,k,x0,v0,tf)
trace la rponse libre. m, c, et k reprsentent respectivement la
masse,% l'amortissement et la raideur du systme. Les arguments xo
et vo reprsentent les conditions% initiales en dplacement et en
vitesse. tf reprsente le temps d'observation.%
VIBLIB(zeta,w,x0,v0,tf) trace la mme fonction. zeta reprsente le
rapport d'amortissement du% systme et w sa frquence naturelle.clc%
Cette boucle teste le type d'entre des donnes choisit.if nargin==5
z=m;w=c;tf=v0;v0=x0;x0=k;m=1;c=2*z*w;k=w^2;endw=sqrt(k/m);%pulsation
naturellez=c/2/w/m;%calcul du rapport
d'amortissementwd=w*sqrt(1-z^2);%pulsation naturelle
amortiefprintf('La pulsation naturelle du systme est %.3g
rad/s.\n',w);fprintf('Le rapport d amortissement est
%.3g.\n',z);fprintf('La pulsation naturelle amortie est
%.3g.\n',wd);t=0:tf/1000:tf;if z < 1
A=sqrt(((v0+z*w*x0)^2+(x0*wd)^2)/wd^2);%Amplitude de
l'exponentielle(1.38) phi=atan2(x0*wd,v0+z*w*x0);%phase
x=A*exp(-z*w*t).*sin(wd*t+phi);%rponse sous amortie elseif z==1
a1=x0; a2=v0+w*x0; fprintf('a1= %.3g\n',a1); fprintf('a2=
%.3g\n',a2); x=(a1+a2*t).*exp(-w*t);% rponse critique else
a1=(-v0+(-z+sqrt(z^2-1))*w*x0)/2/w/sqrt(z^2-1);
a2=(v0+(z+sqrt(z^2-1))*w*x0)/2/w/sqrt(z^2-1); fprintf('a1=
%.3g\n',a1); fprintf('a2= %.3g\n',a2);
x=exp(-z*w*t).*(a1*exp(-w*sqrt(z^2-1)*t)+a2*exp(w*sqrt(z^2-1)*t));%rponse
sur
amortieendplot(t,x)xlabel('Temps')ylabel('Dplacement')title('Rponse
temporelle libre')
-
1-12
Le modle libre amorti un degr de libert peut tre simul laide de
Simulink de la faonsuivante
Scopes
1
Integrator1s
1
Integrato r
163
Gain1
2 .5
Ga in
Figure 1.7 Modle Simulink libre amorti un degr de libert
1.6 Fonction de rponse impulsionnelle (I.R.F.)
Une source commune de vibration est lapplication soudaine dune
force durant un temps trscourt, appele Impulsion. Cette force
dimpulsion est un choc et est une force non priodique. La rponse
dun systme une impulsion est identique la rponse libre dun systme
soumis certaines conditions initiales. Lexemple suivant illustre le
phnomne.
Considrons une force f(t) de grande amplitude sur un temps trs
court, un instant (figure 1.8)
Cette impulsion peut tre considre comme une forme rectangulaire
et sexprime comme :
(t) =
0
20
Ft
tt
(1.27)
o est un temps positif infinitsimal.
-
1-13
Figure 1.8 Impulsion
Limpulsion est reprsente par :
I f t dt( ) ( )
(1.28)
Puisque la force f(t) = 0 en dehors de lintervalle 2 , on peut
crire :
I f t dt N s( ) ( ) ( . )
(1.29)
En calculant la surface sous la courbe, on obtient :
)0()2(2)(
siFFI (1.30)
Cette quation peut scrire si 0 ( 0)F t si t( ) 0 (1.31)
F t dt F( )
(1.32)
Si F 1, la fonction dimpulsion unitaire (t) est appele la
fonction delta de DIRAC.
1.6.1 Rponse force dun systme 1 degr de libert
La solution (rponse force) dun systme 1 degr de libert soumis
une impulsion estcalcule partir de la relation quantit de mouvement
- impulsion.
Pour simplifier, considrons = 0. Si on note 0-, linstant avant
limpact et 0+ aprs limpact, ona comme relation :
t0
F (t)
F2
-
1-14
x x( ) ( )0 0 0 (au repos) (1.33)
La relation de la quantit de mouvement est :
mx Fdt mx m 0 0 0
(1.34)
soit 0mtF , (1.35)
si la vitesse initiale avant impact tait nulle.
Alors, tmF0 (1.36)
Pour dterminer la rponse une impulsion, on utilise la relation
du systme libre :
( ) ( ) sinpour x t
x x de t
n
ntd
1
10 0
2
0
2
2(1.37)
tan 1 0
0 0
21x d
xet
nd n (1.38)
avec comme relation initiale :
0 0 0 Fm
tFm
et x
(1.39)
tdtne
dmFtx
sin)( (1.40)
On peut crire cette relation sous la forme simplifie x t F h t(
) ( )
o h tm
e td
td
n( ) sin 1
(1.41)
Cette relation a t calcule pour = 0. Si 0, soit si limpulsion
est applique au temps t =, on peut rcrire lexpression h(t) en
remplaant t par (t - )
h tm d
e d t tn t( ) sin ( ),( )
1(1.42)
h (t - ) est appele la fonction de rponse impulsionnelle
(IRF)
-
1-15
o h (t - ) = 0 0< t < (1.43)
On peut remarquer que dpendamment de la priode : Td
2
et de , lamplitude peut tre
augmente ou rduite.
ApplicationUn phnomne qui cause cette vibration est limpact. En
pratique, une force peut tre considre comme impulsionnelle si sa
dure est :
d
2 (1.44)
En pratique 10-3 sec < < 10-2 sec.
Le logiciel impulsion, crit en Matlab, permet de calculer la
rponse impulsionnelle dun systme 1 DOF (figure 1.9).
figure 1.9 Logiciel de calcul de rponse impulsionnelle
function impulsion(m,c,k,Imp,tmax,N,ind)
% impulsion calcule la rponse temporelle d un systme 1 DOF.%
l'impulsion est Imp = F.dt et tmax est le temps d'observation.% N
est le nombre d'chantillons.% Si ind = 1,
impulsion(m,c,k,Imp,tmax,1), les donnes sont la masse m,%
l'amortissement c et la raideur k.% Si ind = 2,
impulsion(m,zeta,w,Imp,tmax,2), les donnes sont la masse m,% le
rapport d'amortissement zeta et la frquence naturelle wn.clcif ind
== 1 num=Imp; den=[m c k];else zeta=c; w=k; num=Imp/m; den=[1
2*zeta*w w^2];endt=0:tmax/N:tmax;x=step([num
0],den,t);plot(t,x)title('Rponse impulsionnelle d un systme amorti
1 degr de libert')ylabel('Dplacememt x(t)en m')xlabel('temps
(sec)')
-
1-16
Exemple de calcul de rponse un impact 1.2
Dans la mesure des vibrations, une technique danalyse modale
consiste frapper une structureavec un marteau quip dun capteur de
force. Lors de la mesure de rsonances par la techniquedimpact, il
arrive souvent quon produise un double impact. Si le systme tester
a 1 seul degr de libert avec comme paramtre m = 1kg, c = 0.5kg/s,k
= 4N/m.a) Calculez la rponse impulsionnelle pour un impact parfait
de f(t) = 2(t) (N) (simple impact)
Figure 1.10 Impact de Dirac
b) f(t) = 2 (t) + (t - ) o = 0.5s (double impact)
Figure 1.11 Double impact
Rponse de lexemple 1.2
a) nkm
rad s 41
2 /
C m kg sc n 2 2 1 2 4 ( ) ( ) /
CCc
054
0125.
.
2 N
0
t sec
0.5t sec
1 N
2 N
0
-
1-17
d n rad s 1 2 1 0125 1982 2( . ) . /
x t e t mt10 125 22
198198( )
.sin . ( )( . ) ( )
x t e tt10 25101 198( ) . sin ..
Cette rponse impulsionnelle est illustre la figure 1.12.
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5- 0 . 6
- 0 . 4
- 0 . 2
0
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1R p o n s e i m p u l s i o n n e l l e d u n s y s t m e a m o
r t i 1 d e g r d e l i b e r t
Dp
lace
mem
t x(t)
en m
t e m p s ( s e c )
figure 1.12 Rponse impulsionnelle
b) Dans le cas dun double impact, on peut superposer les rponses
de chaque impact :
x t e t pour tt20 25 0 51
198198 0 5 05( )
.sin . ( . ) .. ( . )
x t e t tt( ) . sin . .. 101 198 0 050 25
stttettetx 5.0;)5.0(98.1sin)5.0(25.0504.0)98.1(sin25.001.1)(
La rponse un double impact est montre la figure 1.13.
-
1-18
0 5 1 0 1 5 2 0-0 .8
-0 .6
-0 .4
-0 .2
0
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1
1 .2R p o n s e im p u ls io n n e lle d u n s ys t m e a m o r
ti 1 d e g r d e li b e r t
Dp
lace
mem
t x(t)
en m
te m p s (s e c )
figure 1.13 Rponse un double impact
On peut constater en comparant les figures 1.12 et 1.13 quun
double impact perturbe la rponseattendue.
1.7 Rponse une excitation arbitraireLa rponse dun systme 1 degr
de libert soumis une excitation arbitraire damplitudequelconque
peut tre calcule daprs le concept de la rponse impulsionnelle. La
procdure estde diviser la force dexcitation en un nombre
infinitsimal dimpulsions de dirac, de calculer lesrponses
individuelles et de les additionner pour calculer la rponse totale
(figure 1.14).
Figure 1.14 Excitation arbitraire
x(t)
x1(t)
x2(t)
Force arbitraire f(t)
t sec
t
ti
f(ti)
-
1-19
La force f(t) est divise en n intervalles de longueur t, aussi
chaque incrment est :
ttn
(1.45)
A un instant ti, limpulsion peut tre value par f(ti) T.
La rponse du systme lorsque limpulsion se produit au temps ti
est :
ttthtftx iii )()()( (1.46)
et la rponse totale aprs j intervalles est :
x t f t h t t tj i ii
j
( ) ( ) ( )
1
(1.47)
ou encore
Un produit de convolution scrit plus simplement, le symbole *
exprimant la convolution :
x(t) = f(t)*h(t) (1.49)
Si on a un systme 1 degr de libert alors h(t) est le mme que
prcdemment (si lesconditions initiales sont nulles).
x t Fm
e t dt
d
td
n( ) ( ) sin ( )( )
0
1(1.50)
dtdne
t Ftn
edm
tx ])(sin[0 )(1)(
(1.51)
x t f t h t dt
( ) ( ) ( ) 0 (1.48)
Cette intgrale est appele lintgrale de DUHAMEL ou de
Convolution.
-
1-20
1.8 Fonction de transfert dun systme mcanique
La transforme de Fourier dun produit de convolution est le
produit de la transforme deFourier de chaque signal :
X() = TF(f(t)*h(t)) = TF(f(t) x TF (h(t) = F() x H(). (1.52)
H() = X()/F() sappelle la fonction de transfert du systme.
La rponse dun systme mcanique 1 degr de libert est dcrite par
une quation diffrentielledu second ordre :
Mx Cx Kx Fei t (1.53)
La solution particulire de lquation (1.53) peut scrire pour un
mouvement harmoniquecomme : ComplexeXeXtx ti ~,~ (1.54)
En introduisant lquation 1.54 dans lquation 1.53, on trouve
:
FXKCiM ~2 (1.55)
En divisant les deux cots de lquation (1.55) par K , afin de
rendre lexpression addimentionnelleet en notant que : K/ M = n2
(1.56)
nKC
2 (1.57)
nr
(1.58)
On trouve :
rirKFX
221
1~ (1.59)
La fonction de transfert X/F sappelle ladmittance mcanique et
son inverse F/X, limpdancemcanique.
-
1-21
La figure 1.15 montre un logiciel, crit en Matlab, permettant de
calculer lamplification et laphase dun systme mcanique pour
diffrents amortissements.
Figure 1.15Logiciel de calcul damplification
Un exemple des courbes damplification est montr la figure
1.16.
Lamplitude de lamplification du systme, reprsentant K x H()
sexprime comme :
22
221
1.rr
HKK
FX
(1.60)
La phase entre la rponse et la force sexprime comme:
212
rr
(1.61)
function amplification(rmax,z1,z2)% Calcul de la courbe
addimensionnelle KX/F% z1 et z2 reprsentent 2 rapports
damortissements et rmax le rapport% des frquences
observ.clfr=0:rmax/1000:rmax;X1=1./(sqrt((1-r.^2).^2+(2*z1*r).^2));X2=1./(sqrt((1-r.^2).^2+(2*z2*r).^2));phi1=180*atan2((2*z1*r),1-r.^2)/pi;phi2=180*atan2((2*z2*r),1-r.^2)/pi;subplot(2,1,1);plot(r,phi1,'-',r,phi2,':')ylabel('phase
en degrs')pausesubplot
(2,1,2);plot(r,X1,'-',r,X2,':')xlabel('rapport r des
frquences')ylabel('Amplitude')title('Amplication pour des
amortissements de 5 et 10%')
-
1-22
figure 1.16 Courbes damplification
On constate que l'amortissement est surtout efficace proche de
la rsonance et n'a aucune influenceen dehors de la rsonance.
a) Si la frquence dexcitation est nettement infrieure la
frquence naturelle (
-
1-23
Les 2 frquences suprieures n2 et infrieures n1 la frquence de
rsonance n, correspondant 70% de lamplitude maximale dfinissent la
bande passante :
= n2 - n1 (1.64)
Le taux damortissement peut tre valu comme :
= / (2 n ) (1.65)
c) Si la machine opre une frquence dexcitation suprieure la
frquence naturelle ( >> n ) ,la phase tend vers 180 degrs, la
force excitatrice tend vers la force d'inertie. Le systmemcanique
est flexible et lamplification tend vers zro. Lamortissement na pas
deffet, maisest ncessaire pour passer la rsonance au dmarrage du
moteur.
Au rgime permanent, on doit rajouter la rponse transitoire due
aux conditions initiales. Lafigure 1.17 montre la fonction VIBFORCE
qui effectue ce calcul.
La force est dphase de 90 degrs par rapport au dplacement.
Lamplification dpend essentiellement de lamortissement :
ion.amplificatd facteur le donc represente 21 = Q
21 =
KFX
(1.62)
Le maximum de vibration arrive la frquence de rsonance force qui
se dfinitcomme :
221 nr (1.63)
-
1-24
Figure 1.17 Fonction VIBFORCE
function VIBFORCE(m,c,k,wdr,F0,x0,v0,tf)% VIBFORCE calcule la
rponse d'un systme sous amorti 1ddl forcharmoniquement%
VIBFORCE(m,c,k,wdr,F0,x0,vo,tf) trace la rponse force d'un
systmeexcit% harmoniquement avec une amplitude Fo et une frquence
d'excitation wdr.% xo et vo reprsentent les dplacements et vitesses
initiaux. Tfreprsente le temps d'observation.% Le systme est
caracrris par sa masse m, son amortissement C% et sa raideur K.%
clcclft=0:.0005*tf:tf;f0=F0/m;w=sqrt(k/m);%pulsation
naturellez=c/2/w/m;%calcul du rapport
d'amortissementwd=w*sqrt(1-z^2);%pulsation naturelle
amortiefprintf('La frquence naturelle est %.3g
rad/s.\n',w);fprintf('Le rapport d amortissement est
%.3g.\n',z);fprintf('La frquence naturelle amortie est
%.3g.\n',wd);if z>=1 disp('Ce systme n est pas sous amorti!')
breakend if wdr==wd disp('Ce systme est en rsonance!')
breakendA0=f0/sqrt((w^2-wdr^2)^2+(2*z*w*wdr)^2);%Amplitude du
signal permanentPhi0=atan2(2*z*w*wdr,w^2-wdr^2);%phase entre force
et dplacementx1=A0*cos(wdr*t-Phi0);%rponse
permanenteC1=x0-(A0*cos(-Phi0));C2=(v0+(z*w*C1))/wd;x2=exp(-z*w*t).*(C1*cos(wd*t)+C2*sin(wd*t));%
rponse libre sous
amortiesubplot(2,1,1);plot(t,x1)xlabel('Temps')ylabel('Dplacement')title('Rgime
permanent')%text(0,0,'Pressez return pour
continuer','sc')pausesubplot
(2,1,2);plot(t,x2)xlabel('Temps')ylabel('Dplacement')title('Rponse
transitoire, ')%text(0,0,'Pressez return pour
continuer','sc')pauseclfx=x1+x2;plot(t,x)xlabel('Temps')ylabel('Dplacement')title('Rponse
gnrale force')
-
1-25
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
Temps
Dp
lace
men
tRponse temporelle
Figure 1.18 Rponse force
1.9 Exercices
1. Une machine de 20 kg, monte sur 4 supports viscolastiques,
est excite par une forceharmonique. On constate qu sa vitesse de
rotation de 1800 rpm, l'amplitude desvibrations est de 1mm . Lors
d'un essai de dmarrage de machines, on constate quel'amplitude est
de 10 mm la frquence naturelle non amortie de 10 Hz.
Dterminez le taux d'amortissement (%) Dterminez les valeurs de
rigidit k (N/m) et d'amortissement c (N.s/m) de chaque
support viscolastique.
2. Une machine de 100 kg est supporte par des isolateurs dont la
rigidit est de 40 000 N/met l'amortissement de 800 N.s/m. La
machine est excite par une force de 80 N lafrquence de 3 Hz.
Dterminez l'amplitude de l'acclration vibratoire que subit la
machine. Dterminez la phase (en degrs) entre le dplacement de la
machine et la force
d'excitation .
3. Un mcanisme a une masse de 1 kg et une rigidit de 16 N/m. un
moment donn, il estexcit par un impact qui lui donne une vitesse
initiale de 2 m/s et le systme se met
-
1-26
vibrer. Pour lutter contre le mouvement produit, vous disposez
de 2 amortisseurs, l'un C1de 8 N.s/m et l'autre C2 de 16 N.s/m.
Selon quels critres de slection allez vous choisir l'un ou l'autre
des amortisseurs
dans votre conception? Quel sera le dplacement maximal obtenu
dans chaque cas?
4. Une machine de 100 kg est supporte par des isolateurs dont la
rigidit est de 40 000 N/met l'amortissement de 800 N.s/m. La
machine est excite harmoniquement par une forcede 80 N la frquence
de 3 Hz.
Dterminez l'amplitude de l'acclration vibratoire que subit la
machine.
5. Soit un systme masse ressort - amortisseur 1 degr de libert
en translation, ayantune masse de 10 kg, une rigidit de 105 N/m et
un amortissement de 2000 N.s/m.
Dterminez la frquence naturelle du systme. Si le systme est
excit par un dplacement initial de 0.01 m, exprimez lquation
temporelle x(t) du dplacement de la masse m.
6. Une machine rotative de 280 kg est monte directement sur un
massif isolant de 1500 kg(figure 1.18). La vitesse de rgime de la
machine est de 1760 tr/min., et on value sondfaut d'quilibrage
0.085 kg.m. On veut isoler le systme en montant le massif
isolantsur des supports en noprne, placs aux 4 coins du massif. Le
taux d'amortissement
des supports est de 10%. On fait appel vos services pour choisir
les supportsappropris.
Si on veut limiter l'amplitude du dplacement de la vibration 53
m,:A) Calculez la rigidit (minimum ou maximum ?) requise pour
chaque support. B) Calculez la dflection statique des supports.C)
Calculez l'amplitude de la force dynamique transmise la base par
les supports.D) Si plusieurs solutions sont possibles, laquelle
recommandez vous et expliquez les
raisons de votre choix.
Figure 1.18 Exercice 6
MASSIFISOLANT
-
1-27
7. Considrez le montage montr la figure 1.19, dont les
dimensions sont: a = 0.4 m,b = 0.6 m, L = 1 m. La poutre est rigide
et sa masse est de 12 kg. La rigidit k est de 106N/m et
l'amortisseur c a pour valeur 1000 N.s/m. Le moment d'inertie de
masse d'une
poutre par rapport son centre de gravit s'exprime par : J M
LG
2
12A) Exprimez l'quation du mouvement en fonction de la coordonne
angulaire .B) Calculez la pulsation naturelle non amortie
(rad/s).C) Calculez le taux d'amortissement quivalent eq.D)
Calculez l'amortissement critique quivalent Cceq.E) Calculez la
pulsation naturelle amortie (rad/s).F) Calculez la priode
d'oscillation T (sec).
G) Calculez le rapport d'amplitude entre deux oscillations
successives.H) Si un impact sur la poutre lui donne une vitesse
angulaire initiale 0 de 1rad/s, exprimez
lquation du mouvement et calculez l'amplitude angulaire
maximale.
Figure 1.19 Exercice 7
O
b
G
a
cx
L
kL/2Ceqkeq
x
Meq
