UNIVERSIDAD NACIONAL “HERMILIO VALDIZÁN”

1 KN/m

12 KN

6 m4 m4 m

4 m

2 m

2 KN/m

1

2 3

4

5

6

EI

2EI

EI EI

2EI

PROBLEMA N° 02.Resolver el pórtico mostrado en la figura, graficando sus diagramas de fuerzas internas

SOLUCIÓN:

PASO 1: DETERMINAMOS EL GRADO DE INDETERMINACIÓN DEL SISTEMA.

GH°E = a– (3+e)

GH° = (a+3b) – (3n+e)

GH°I = 3N ó GH° – GH°E

GH° = (a+3b) – (3n+e) = 8 + 3 × 5 – (3 × 6 + 1) = 4

GH°E = a– (3+e) = 8 – (3+1) = 4

GH°I = 3N = 0

Cumple, por lo tanto el pórtico es cuatro veces hiperestático.

1 KN/m

12 KN

4 m 4 m 6 m

4 m

2 m

2 KN/m

1

2 3

4

5

6

EI

2EI

EI EI

2EI 5

Q4

Q4

Q3 Q3

Q1

Q2

+

2.- ISOSTATIZAMOS.

Para isostatizar la estructura quitaremos la rótula, y quitaremos el apoyo doble en el nudo 4, obteniendo

dos estructuras isostáticas. Levantamos la indeterminación obteniendo la redundante Q1, Q2, Q3, y Q4.

3.- PROCEDIMIENTO.La ecuación canónica será:

DQ 𝐪 × 𝐩 = DQS 𝐪 × 𝒑 + F q×q Q q×p

Del cuál.

DQS = DQL + DQR + DQT + DQP DQS = DQL

Resolviendo y reemplazando las respectivas ecuaciones tenemos lo siguiente.

0 = DQL + F q×q Q q×p ………………………………(*)

DQL q×p=

DQL1DQL2DQL3DQL4

4×1

F q×q =

f11 f12f21 f22

f13 f14f23 f24

f31 f32f41 f42

f33 f34f43 f44 4×4

Q q×p =

Q1Q2Q3Q4 4×1

Nuestro objetivo es calcular las redundantes, Q1, Q2, Q3 Y Q4, con esto conoceremos las respectivas cargas liberadas.Al isostatizar tenemos dos miembros, lo cual solo trabajemos con el primero, luego por equilibrio tendremos las cargas del segundo miembro y lo uniremos, para los gráficos finales.

DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR DE LA FIGURA ISOSTATICA.

1

2 3

4

5

14.2868

5.8876

4.1628

0.0899

4 m

5

6

EI

DQL4

DQL4

DQL3 DQL3

+DQL1

DQL2

3.1- Los efectos de las cargas generan desplazamientos en nuestras redundantes.

DQL q×p=

DQL1DQL2DQL3DQL4

4×1

DQL1 = 1

EI

2

36 × 3.95 × 1 +

1

EI

1

24 × 5.8876 ×

8

3

DQL2 = -1

2EI

2

38 × 4.1628 × 3 +

1

EI

1

28 × 14.2868 × 3 +

1

2EI

2

36 × 3.95 × 8

DQL3 = 1

EI

2

36 × 3.95 × 3 +

1

EI

1

24 × 5.8876 ×

4

3

DQL4 = 1

2EI

2

38 × 4.1628 × 3 +

1

2EI

1

28 × 14.2868 × 3 +

1

EI

2

36 × 3.95 × 7 +

1

EI

1

24 × 5.8876 × 6

Entonces:

DQL q×p=

47.2134.7363.1

278.0728 4×1

1

EI

4 m 4 m 6 m

2 m

1

2 3

4EI

2EI

EI

2EI 5

Q1=1

4 m

5

6

EI

+

S31 S31

S11

S21

4 m 4 m 6 m

2 m

5

4 mEI

+

4

44

4

2

S41

S41

3.2- Armamos la matriz de flexibilidad de 4 × 4

Para Q1 = 1, Qi≠1 = 0

U = AB M2

2EIdx ;

𝜕 U

𝜕P= §P

§P = AB

𝜕 U

𝜕P

EIdx = A

B Mm

EIdx

𝑓11= 1

EI

1

24 × 6 × 1 +

1

EI4 × 4 ×

8

3= 54

EI

𝑓21 = 1

EI

1

24 × 6 × 8 +

1

2EI4 × 8 × 4 =

160

EI

𝑓31= 1

EI

1

24 × 6 × 3 +

1

EI4 × 4 ×

4

3= 57.333

EI

𝑓41= 1

EI

1

24 × 6 × 3 +

1

EI4 × 4 × 3 +

1

2EI4 × 8 × 7 =

196

EI

Para Q2 = 1, Qi≠2 = 0

1 KN/m

12 KN

4 m 4 m 6 m

2 KN/m

1

2 3

4EI

2EI

EI

2EI 5

Q2 = 1

4 m

5

6

EI

+

2 m

S31 S31

S42

S42

S32 S32

S12

S22

2 m

5

4 m 4 m 6 m

4 mEI

4 m

++

2 m

8

8S41

S41

§P = AB

𝜕 U

𝜕P

EIdx = A

BMm

EIdx

𝑓12 = 1

EI

1

28 × 6 × 1 =

160

EI

𝑓22 = 1

2EI

1

28 × 8 ×

16

3+

1

EI6 × 8 × 8 =

469.33

EI

𝑓32 = 0

𝑓42 = 1

2EI

1

28 × 8 × 3 +

1

2EI6 × 8 × 7 =

216

EI

Para Q3= 1, Qi≠3= 0

1 KN/m

12 KN

4 m 4 m 6 m

4 m

2 KN/m

1

2 3

4

5

6

EI

2EI

EI EI

2EI 5Q3 = 1 Q3 = 1

++

2 m

S43

S43

S33 S33

S13

S23

4 m 4 m 6 m

4 m

++

2 m

6

§P = AB

𝜕 U

𝜕P

EIdx = A

BMm

EIdx

𝑓13 = 1

EI

1

26 × 6 × 8 =

57.333

EI

𝑓23= 0

𝑓33= 1

EI

1

26 × 6 × 7 =

216

EI

𝑓43= 1

EI

1

26 × 6 × 4 = -

72

EI

Para Q4= 1, Qi≠4= 0

1 KN/m

12 KN

4 m 4 m 6 m

4 m

2 KN/m

1

2 3

4

5

6

EI

2EI

EI EI

2EI 5

Q4 = 1

Q4 = 1

++

2 m

S44

S44

S34 S34

S14

S24

4 m 4 m 6 m

4 m

++

2 m

6

14

§P = AB

𝜕 U

𝜕P

EIdx = A

BMm

EIdx

𝑓14 = 1

2EI

1

214 × 14 × 4 =

196

EI

𝑓24 = 1

2EI

1

214 + 6 × 8 × 6 -

1

2EI6 × 6 × 2 =

216

EI

𝑓34 = 1

EI

1

26 × 6 × 4 = -

72

EI

𝑓44 = 1

2EI

1

214 + 6 × 8 × 7 +

1

2EI6 × 6 × 4 =

352

EI

AHORA REEMPLAZAMOS.

DQL + F 4×4 Q 4×1= 0

DQL q×p=

DQL1DQL2DQL3DQL4

4×1

+

f11 f12f21 f22

f13 f14f23 f24

f31 f32f41 f42

f33 f34f43 f44 4×4

Q1Q2Q3Q4 4×1

=

0000 4×1

DQL q×p=

47.2134.7363.1

278.0728 4×1

1

EI+

f11 f12f21 f22

f13 f14f23 f24

f31 f32f41 f42

f33 f34f43 f44 4×4

1

EI×

Q1Q2Q3Q4 4×1

=

0000 4×1

Q1Q2Q3Q4 4×1

= -

54 160160 469.33

57.333 1960 216

57.333 0196 216

126 −72−72 352

1

EI

4×4

−1 47.2134.7363.1

278.0728 4×1

1

EI

Q1Q2Q3Q4 4×1

= -

−7.12 × 10−3 2.33 × 10−5

2.33 × 10−5 3.13 × 10−36.23 × 10−3 5.22 × 10−3

−1.26 × 10−3 −2.19 × 10−3

6.23 × 10−3 −1.26 × 10−3

5.22 × 10−3 −2.19 × 10−34.04 × 10−3 −1.86 × 10−3

−1.86 × 10−3 8.96 × 10−4

EI ×

47.2134.7363.1

278.0728 4×1

1

EI

Por lo tanto.

Q1Q2Q3Q4 4×1

=

−1.3455−4.38761.4719

−15.0746 4×1

4.- DIAGRAMAS FINALES.De esta manera, las reacciones en los apoyos y diagramas finales de fuerza axial, fuerza cortante y momento flector, son los mostrados en la figura, la reacción, horizontal en D es igual a cero por simple inspección.

1.- REACCIONES EN LOS APOYOS.

3.1826

4.5378

4.959815.0746

4.3876

1.4719

1.3455

5.3818

4 m

2 m

4 m 4 m 6 m

1 KN/m

12 KN

2 KN/m

2 3

4

EI

2EI

EI EI

2EI 5

6

2.- DIAGRAMA DE FUERZA AXIAL.

4.5378

15.0756 4.7876

2.8174

1.3455

6

1

2 3

4

5

4 m

2 m

4 m 4 m 6 m

-

-

-

-

-

3.- DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE.

4 m 4 m 6 m

4 m

2 m

1

2 3

4

5

6

+

-

+

-

+-

++

3.1826

2.8174

4.5378

7.4622

1.4719

4.3876

7.6124

1.3455

4.- DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR.

4 m 4 m 6 m

4 m

2 m

1

2 3

4

5

6

+

-

+

-

+-

++

3.1826

2.8174

4.5378

7.4622

1.4719

4.3876

7.6124

1.3455

5.- DEFORMADA.

D6=0

D2=134.73/EI

D2= 134.73/EI

D3= 63.1/EI

D4= 328.911/EI

D4= 328.911/EI

D5= 400.008/EI

D1= 47.2/EI

D4= 328.911/EI

D6= 400.008/EIC

D1= 47.2/EI D1= 47.2/EI

1

23

4

5

6

2EI

Determinar la matriz de rigidez, DMF, DFC y la deformada de la figura mostrada:

Paso 1: DETERMINAR EL SISTEMA DE COORDENADAS GLOBAL (SCG)

Paso 2: DETERMINAR EL SISTEMA DE COORDENADAS LOCAL (SCL)

Paso 3: DETERMINAR MATRIZ DE COMPATIBILIDAD 𝐴 𝑒𝑛 𝑒𝑙 (SCG)

DEFINIMOS LA MATRIZ DE COMPATIBILIDAD 𝐴

Paso 4: DETERMINAR MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTOS 𝑓

Paso 5: DETERMINAR MATRIZ DE RIGIDEZ 𝐾

PASO 6: DETERMINAR MATRIZ DE CARGAS 𝑄

Se trabaja con los signo cambiado de los momento de empotramiento para al final sumar a las respuestas.

Paso 7: DETERMINAR MATRIZ DE DESPLAZAMIENTO 𝐷

Paso 8: DETERMINAR MATRIZ DE ESFUERZOS 𝑑

Paso 9: DETERMINAR MATRIZ 𝑞𝑡

Paso 10: GRAFICAMOS DMF

Paso 11: GRAFICAMOS DFC

Paso 12: GRAFICAMOS LA DEFORMADA