Урок №2 з алгебри

Тема: Геометрична прогресія

1) Повторимо арифметичну прогресію

2) Новий матеріал

3) Геометричною прогресією називається послідовність відмінних від

нуля чисел, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює

попередньому, помноженому на те саме число (знаменник

геометричної прогресії).

Приклад. 3; 9; 27; 81; 243; ... — геометрична прогресія, бо а2 = а1 ∙ 3;

а3 = а2 ∙ 3; а4 = а3 ∙ 3; ... . (3 — знаменник цієї прогресії).

Рекурентна формула геометричної прогресії

Якщо (bп) — геометрична прогресія, то bn+1 = bnq, де bп — п-й член; q —

знаменник геометричної прогресії.

З рекурентної формули випливає: n

n

b

bq 1

Властивості геометричної прогресії:

а) для кожного члена геометричної прогресії, починаючи з другого:

11

2

nnn bbb —характеристична властивість;

б) якщо (bп) — скінченна геометрична прогресія, то

b1 ∙ bn = b2 ∙ bn-1 = b3 ∙ bn-2 = const (b1 і bn — крайні члени цієї прогресії).

Формула п-го члена геометричної прогресії

Якщо (bn) — геометрична прогресія, то bn=bl – qn-1

,

де b1 — перший член геометричної прогресії;

q — знаменник геометричної прогресії.

Приклад 1. Знайдемо шостий член геометричної прогресії (b1): 5

1; 1; 5; ... .

Розв'язання

b1 = 5

1; q =

1

2

b

b = 5; b6 = b1 ∙ q

5 =

5

1 ∙ 5

5 = 5

4 = 625.

Відповідь: 625.

Приклад 2. Знайдемо перший член геометричної прогресії (bп), якщо

b7 = 32; q = -2.

Розв'язання

b7 = b1 ∙ q6 b1 = 6

7

q

b =

64

32 =

2

1.

Відповідь: 2

1.

Приклад 3. Знайдемо знаменник геометричної прогресії (bn), у якої

b7 = -12, b9 = -108.

Розв'язання

b9 = b1 ∙ q8; b7 = b1∙ q

6 7

9

b

b = q

2; q

2 =

12

108 = 9, тоді q = 3 або q = -3.

Відповідь: 3 або -3.

Формули суми перших п членів геометричної прогресії

Якщо (bп) — геометрична прогресія, q — її знаменник, a Sn — сума

перших п її членів, то:

)1(1

1

q

q

qbbS n

n (1)

або )1(1

)1(1

q

q

qbS

n

n (2)

! Зауваження: якщо q = 1, то Sn = b1 ∙ n (b1 = b2 =... = bn).

Приклад 1. Знайдемо суму перших восьми членів геометричної прогресії

(bn): 3; -6; 12; ... .

Розв'язання

Маємо b1 = 3, q = 3

6 = -2, тоді за формулою (2):

S8 = q

qb

1

)1( 8

1 = )2(1

))2(1(3 8

=

3

)2561(3 = -255.

Відповідь: -255.

Приклад 2. Знайдемо перший член геометричної прогресії (bп), якщо її

четвертий член утричі більший за третій, а сума перших п'яти членів

дорівнює -12,1.

Розв'язання

Оскільки b4 = 3b3, то q = 3. За умовою S5 = -12,l, тому, оскільки

q

qbS

1

)1( 5

15 , тобто

31

)31(1,12

5

1

b; -12,1 = 121b1; b1 = -0,1.

Відповід -0,1.

4) Виконати самостійно № 537, 539, 573, 575, 577,579 параграф 14

вивичити