Embed Size (px)
Citation preview
1 GRAĐEVINSKA AKUSTIKA
1.1 Subjektivne i objektivne karakteristike zvuka
Zvuk je svako mehaničko oscilovanje, frekvencije od 20Hz do 120Hz.
Ljudsko uho je vrlo osetljiv detektor zvuka jer može da detektuje snagu zvuka reda veličine
W1710 (Sa aspekta energije, osetljivije je od oka!). Uho subjektivno karakteriše zvuk.
Subjektivne veličine su:
1. Jačina
2. Visina
3. Boja
Ovima odgovaraju objektive veličine:
4. Intenzitet
5. Frekvencija
6. Spektar.
1.2 Jačina zvuka
Jačina zvuka zavisi od intenziteta zvuka. Čovek čuje promenu jačine srazmerno relativnoj
promeni intenziteta. Tj. jačina je srazmerna logaritmu intenziteta. Umesto jačine koristimo
veličinu nivo zvuka . Prema prethodno rečenom je srazmeran logaritmu intenziteta, i ova
veza je otkrivena eksperimentalno.
I
dId
Dakle, čovek čuje jačinu zvuka koja je srazmerna logaritmu intenziteta, gde je intenzitet
objektivna karakteristika zvuka koja se može meriti instrumentom.
Nivo zvuka se meri u decibelima, formula za izračunavanje nivoa zvuka:
dB log10log2000 I
I
p
p
Gde je:
2
12
0 10m
WI - intenzitet zvuka frekvencije 1000 Hz koji predstavlja prag čujnosti.
Pap 280 - amplituda na pritisak za zvuk od 1 kHz na pragu čujnosti.
Na slici je dat dijagram čujnosti:
Sa grafika vidimo da čovek jako loše čuje glasove i vrlo visoke frekvencije (recimo iznad 16000
Hz)
Donja linija predstavnja prag čujnosti u funkciji frekvencije a gornja prag bola.
Za vrlo niske frekvencije ove krive su blizu što znači da je potrebna pobuda skoro do bola da bi
taj zvuk čuli. Otuda zvučne membrane za produkciju niskih frekvencija imaju veliku površinu.
Čovek najosetljivije čuje zvuk frekvencije oko 3000 Hz.
1.3 Visina zvuka
Kao i intenzitet, ni frekvenciju čovek ne čuje objektivno. Naime, visina tona , kju čovek
procenjuje, je srazmerna logaritmu frekvencije.
Ton je zvuk koji proizvode muzički instrumenti i ljudski glas. Čist ton se sastoji od više
frekvencija koje se dobijaju kao umnožak najniže, tj. osnovne frekvencije tona.
Skup frekvencija zajedno sa njihovim intenzitetima se naziva spektar tona.
Čovek procenjuje frekvenciju zvuka preko osećaja visine tona, ali je utvrđeno merenjem da je
ona subjektivna i to u onom delu u kome se stvara predstava o stepenu povećanja frekvencije.
Naime, mi čujemo porast frekvencije između susednih tonova kao povećanje visine za isti iznos
(za jedan ton ili poluton) a u stvarnosti to povećanje, izraženo u Hz je različito i raste sa
porastom visine susednih tonova. Čovek visine tonova deli prema muzičkoj skali na osam nivoa:
od note do do krajnje note do . Tako, ton re smatramo da je duplo viši od tona do kao i za
tonove mi i fa . Međutim iznos za koji treba povećati frekvenciju note do da bi dobili notu re
nije isti kao za slučaj nota mi i fa .
Objektivno, svako udvostručenje frekvencije nekog tona predstavlja novu notu, a opseg
frekvencija između susednih nota se naziva oktava.
Tako nota do ima frekvenciju 31.5 Hz, nota re 63 Hz, mi ima 125 Hz, fa 250 Hz, sol 500
Hz, la 1000 Hz, si 2000 Hz, do 4000 Hz i td. Primećujemo da prirast frekvencije od note do
note nije isti, a čovek taj prirast čuje isto, kao jednu visinu više.
Izračunajmo broj oktava u čujnom opsegu:
Promena visine tona koja odgovara jednoj oktavi: 2loglog2log ffvoktave
Visine koje odgovaraju granicama opsega čujenja: 20log)20(
20000log)20000(
1
2
Hzv
Hzv
31000log20log20000log opsegacujnogv
Broj oktava: 102log
3
oktave
opsegacujnog
v
vn
Dakle, imamo 10 oktava u čujnom opsegu, tj. trebalo bi da imamo 10 nota, međutim instrumenti
obično imaju opseg 7 oktava (najviši i najniži tonovi se ne koriste u muzici).
Oktave se dele na 12 polutonova.
Promena visine jednog polutona: 12 2log12
2log
12
oktave
polutona
vv
12 2loglog donje
gornje
f
f 06.1210 12
log
donje
gornje
f
f
Gornja frekvencija polutona je za 6% veća od donje. Taj porast frekvencije za 6% na
muzičkoj skali predstavlja jedan poluton.
Akord je mešavina dva tona i nema svoju visinu jer frekvencije u spektru nisu ekvidistantne.
1.4 Boja tona
Vezuje se za izgled spektra tona, tačnije za obvojnicu (anvelopu). Naime, ako spojimo vrhove
linija u spektru dobićemo obvojnicu. Njen oblik utiče na doživljaj boje tona.
obvojnica
Ako dva instrumenta odsviraju isti ton istog intenziteta, dobija se isti raspored frekvencija, ali
intenziteti pojedinih frekvencija nisu isti, što daje različite obvojnice pa se tonovi razlikuju.
I
ff 2f 3f 4f0 0 0 05f
06f
07f
0
1.5 Vreme reverberacije
Definišemo vreme reverberacije kao interval u kome snaga zvučnog polja opadne milion puta.
Izvodimo formulu za vreme reverberacije prostorije u kojoj objekti imaju malu apsorpciju zvuka.
Zvučno polje je zbog toga difuzno i homogeno, što znači da zvuk na neku površinu pristiže iz
svih pravaca i nastao je višestrukim odbijanjem od predmeta.
U prostoriji deluje zvučni izvor srednje snage iP . Kada počne da radi, emituje zvučni energiju
koja raste u prostoriji, ali i nestaje apsorpcijom. Apsorpcija je srazmerna snazi zvuka. Dakle, u
jednom trenutku se uspostavi ravnoteža između emisije i apsorpcije. Pod tim uslovima izvodimo
ovu formulu.
Posmatramo jako malu površinu u okolini koordinatnog početka i određujemo ukupnu snagu
zvuka koja pada na nju.
d R
dS=rdRd
rd Rd
x
y
z
r
d
d
R
z
R
d
r Rd
x
Na slici je zamišljena polusfera, sa elementarnim prostornim uglom d koji predstavlja pravac
(levak) duž kog pristiže zvuk iz prostorije i pada na površinu S . d iseca na površini sfere
elementarnu površ dRrdrdRddS .
Iz pretpostavke o homogenosti polja (što znači da je intenzitet polja isti u svakoj tački) proizilazi
sledeća proporcija:
d
I
dI
Tj. intenzitet zvuka dI koji pristiže duž prostornog ugla d se odnose na isti način kao ukupan
intenzitet i ukupan ugao.
Prostorni ugao se definiše kao količnik površine sferne kalote i kvadrata sfere.
2R
dSd kalote
def
Pošto je prostorni ugao beskonačno mali, imamo:
ddR
r
R
dRrd
R
dSd
22
rR sin ,
ddddR
Rd sin
sin , ddd sin
Intenzitet zvuka u fizici se definiše kao količnik zvučne snage i površine normalnog preseka kroz
koji ta snaga struji.
2 m
Wdef
S
PI
U našem slučaju, snaga je beskonačno mala: dPdISn , cosSSn
R
r
d
Rd
z
x
d
R
dS kalote
R
r
d
z
S
Sn
nS je površina normalna na pravac zvuka.
4
sincoscoscos2 dd
SId
ISdISdISPd n
Sada sabiramo intenzitete zvukova koji pristižu na S duž oboda levka opisanog sa .const ,
što je ekvivalentno integraciji prethodnog izraza po od 0 do 2 :
2
0
2 cossin4
ddSI
Pd
2cossin4
dSI
dP
dSI
dP cossin2
- Zvučna snaga koja pristiže po omotaču levka na S
Ukupna zvučna snaga biće kada prointegralimo po svim „levcima“ što odgovara integraciji po
od 0 do 2
.
4
0sin42
sin
2)(sinsin
2cossin
22
2
2/
0
22/
0
2/
0
SISISId
SId
SIdPP
4
SIP Snaga koja pristiže na S iz svih pravaca.
Odredimo izraz za apsorbovanu snagu u prostoriji (apsorpciju vrše zidovi i stvari; svaki materijal
ima svoj koeficijent apsorpcije i površinu S ).
444
IAS
IISPP
A
k
kk
k
kk
k
kka
kP zvučna snaga koja pada na k ti objekat u prostoriji;
kkP apsorbovana snaga k tog objekta;
ASk
kk apsorpcija prostorije
Sada postavimo jednačinu bilansa zvučne snage u prostoriji:
Snaga izvora je iP , apsorbovana snaga je
aP , pa je trenutna snaga zvuka u prostoriji:
.
Dakle imamo:
4
IAP
dt
dEi ................................................................(*)
E energija zvučnog polja
dt
dEpromena energije po jedinici vremena
VWE
W gustina energije ][ 3m
J
V zapremina prostorije
E ukupna zvučna energija u prostoriji
dt
dWV
dt
dE ,
c
IW , I intenzitet; c brzina
c
I
dt
dV
dt
dE
dt
dI
c
V
dt
dE
Zamenom u relaciju (*) dobijamo:
IA
Pdt
dI
c
Vi
4
Rešimo jednačinu po I . Ovo je diferencijalna jednačina prvog reda sa konstantnim
koeficijentima, rešavamo je razdvajanjem promenjivih.
dtV
c
AIP
dI
i 44
ttI
I i
dtV
c
AIP
dI
0
)(
044
tV
c
AIP
AIPd
A
tI
I i
i
44
)4(1)(
0
ai PPP
tV
cAIP
A
I
i4
)4ln(1
0
tV
AcPAIP ii
44ln)4ln(
tV
Ac
P
AIP
i
i
44
4ln
tV
Ac
P
AIP
i
i
44
4ln
tV
Ac
P
AIP
ee i
i
44
4ln
tV
Ac
i
eIP
A4
41
tV
Ac
i eA
PtI 41
4)( -promena intenziteta zvuka od trenutka uključenja 0t .
Posle dovoljno dugo vremena, intenzitet zvuka u prostoriji je:
A
PtII i
t
4)(lim
, ( 0e )
To „dugo“ vreme je delić sekunde jer zvuk brzo putuje, što znači da se vrlo brzo uspostavlja
konstantan intenzitet:
A
PI i4
Sada nas interesuje kako se menja intenzitet zvuka u prostoriji kada isključimo izvor. Neka je u
trenutku 0t : A
PI i4
)0( .
Jednačina bilansa snage glasi: aPP , ( 0iP ).
Dakle imamo:
IA
dt
dI
c
V
4
dtV
cA
I
dI
4
t
I(t)
tiskljucenja
A
Pi4
A
Pi4
tV
cA
e 41
tV
cA
e 4
tI
A
P
dtV
cA
I
dI
i 04 4
tV
cA
A
PI i
4
4lnln
tV
cA
i eA
PtI 4
4)(
Sada možemo da odredimo vreme reverberacije (odjeka):
TV
cA
i eA
PI4
6
4
10
)0(
, T vreme reverberacije
Dakle, kad t bude T , smatraćemo da je intenzitet opao na milioniti deo od )0(I .
TV
cA
ii eA
P
A
P46 4
104
TV
cA
410ln6
A
V
cT
10ln24,
s
mc 340
A
VT 165.0
1.6 Prenošenje buke
Posmatramo dve zatvorene prostorije koje deli pregradni zid površine S čiji je koeficijent
transmisije buke T . U prostoriji postoji izvor buke srednje snage iP .
1 2
Pi
P1 P2
S
Interesuje nas buka u prostoriji (2).
Zvučna snaga koja pada na pregradni zid površine S iznosi:
4
11
SIP ,
1
1
4
A
PI i
1I intenzitet buke u prostoriji (1)
1A apsorpcija prostorije (1)
U drugoj prostoriji se čuje samo deo te buke: 12 TPP
2P snaga zvuka koji prelazi u drugu prostoriju kroz zid
iPA
TSP
1
2
Definišemo zvučnu izolovanost D kao razliku nivoa buke u prvoj i drugoj prostoriji:
0
2
0
121 log10log10
I
I
I
ID
S
A
T
A
P
A
P
A
P
A
P
I
ID
iATS
ii
2
2
1
2
2
1
2
1 log101
log10log104
4
log10log101
S
ARD 2log10 ,
TR
1log10
R izolaciona moć zida
Buka u prostoriji (2) zavisi od apsorpcije te prostorije i površine pregradnog zida.
Prema standardima iz akustike zvučna izolacija zidova u stanovima je data na slici:
100 200 400 800 1600 3200
30
40
50
60
70
33
51
56dB
logf (Hz)
R[dB]
500Hz
42
Standard
Izmereno
Pomeren standard
(odstupanje u proseku
treba da bude 2dB)
nas zid ima 42dB
izolacionu moc
Pri eksperimentalnim merenjima izolacione moći zida za zvuke različitih frekvencija dobija se
tzv. eksperimentalna kriva koja grubo podseća na onu iz standarda. Da bi procenili meru
prigušenja zvuka prostorije, kriva iz standarda se pomera translatorno naniže do
eksperimentalne, ali tako da je razlika između njih u proseku dB2 .
Vrednost za R na pomerenoj krivi za standard pri frekvenciji 500 Hz predstavlja meru
izolacione moći zida.
1.7 Koeficijent transmisije zvuka ravnog zida
Posmatramo homogen ravan zid i zvučni talas koji pod pravim uglom pada na njega. Sa leve
strane imamo upadni i reflektovani talas a sa desne propušteni.
Izvodimo formulu za koeficijent tansmisije zvuka T .
i
tdef
P
PT
tP zvučna snaga koja je prošla kroz zid
iP zvučna snaga koja pada na zid
1T Ako uvedemo koordinatni sistem, jednačine talasa na slici su:
)sin(),( 1101 xktytxy ii
)sin(),( 11r01r xktytxy
x
d
0
2,c21,c1 1,c1
yr1
yi1yi2
yr2
yt
)sin(),( 2202 xktytxy ii
)sin(),( 22r02r xktytxy
))(sin(),( 10 dxktytxy tt
Da bi pojednostavili matematičku analizu, realne talase predstavićemo u kompleksnom obliku:
tjxjk
i
xktj
ii eeyeyy 11
10
)(
101
tjxjkxktjeeyeyy 11
1r0
)(
1r01r
tjxjk
i
xktj
ii eeyeyy 22
20
)(
202
tjxjkxktjeeyeyy 22
2r0
)(
2r02r
tjdxjk
t
dxktj
tt eeyeyy )(
0
))((
011
Levo od zida, ( 0x ) imamo dva talasa koji čine jedan rezultujući 1y :
tjxjkxjk
ii eeyeyyyy 11
1r0101r11 , 0x
U zidu ( dx 0 ):
tjxjkxjk
ii eeyeyyyy 22
2r0202r22 , dx 0
Desno od zida ( dx ):
tjdxjk
tt eeyy )(
01
, dx
Sada imamo granične uslove za povezivanje ovih talasa:
U 0x talasi 1y i 2y su isti:
)0()0( 21 xyxy
2r0201r010 yyyy ii ........................................................................................................... (1)
U dx talasi 2y i ty su isti:
)()(2 dxydxy t
t
djkdjk
i yeyey 02r02022
....................................................................................................... (2)
Sada povezujemo pritiske u 0x i dx ovih talasa:
U 0x (levo od zida):
)0()0( 21 xpxp
nogreflektovapritisak
y
gincidentnopritisak
i
ydx
ydE
dx
ydEp
1r
1
1
11
tjxjkxjk
iy eejkyejkyEp 11 )()( 11r011011
tjxjkxjk
i eeyeyc
jcp 11
1r010
1
2
111
tjxjkxjk
i eeyeycjp 11
1r010111
-pritisak levo od zida u kompleksnom obliku
Analogno, u zidu:
tjxjkxjk
i eeyeycjp 22
2r020222
Pritisak transmitovanog talasa:
tjdxjk
tt eeycjp )(
0111
Sada u 0x imamo:
2r020
11
221r010 yy
c
cyy ii
........................................................................................... (3)
Za dx :
)()(2 dxpdxp t
t
djkdjk
i ycjeyeycj 0112r0202222
t
djkdjk
i yc
ceyey 0
22
112r020
22
.......................................................................................... (4)
)3()1( :
2r0
11
2220
11
2210 112 y
c
cy
c
cy ii
)4()2( :
t
djk
i yc
cey 0
22
1120 12 2
2r0
11
2220
11
2210 1
2
11
2
1y
c
cy
c
cy ii
22
11
200
1
2 2
c
c
eyy
djk
it
..................................................................................................................... (*)
djk
it
i ec
c
y
y
c
c
c
c
y
y2
22
11
20
2r0
11
22
11
22
0
10 1114
1
........................................................ (**)
)4()2( :
t
djky
c
cey 0
22
112r0 12 2
djk
t
ec
c
y
y2
22
11
0
2r0 12
1
Kada iskoristimo relaciju (*) imaćemo:
djk
djk
i
ec
c
c
c
ey
y2
2
22
11
22
11
20
2r0 12
1
1
2
djk
i
e
c
c
c
c
y
y22
22
11
22
11
20
2r0
1
1
Zamenom ovog odnosa u izraz (**) dobijamo:
djkdjk
t
i ec
ce
c
c
c
c
c
c
c
c
y
y22
22
112
22
11
22
11
11
22
11
22
0
10 1
1
1
114
1
djkdjk
t
i ec
c
c
ce
c
c
c
c
y
y22
22
11
11
22
22
11
11
22
0
10 11114
1
djkdjk
t
i ec
c
c
ce
c
c
c
c
y
y22 1111
4
1
11
22
22
11
11
22
22
11
0
10
djkdjk
t
i ec
c
c
ce
c
c
c
c
y
y22
11
22
22
11
11
22
22
11
0
10 224
1
djkdjkdjkdjk
t
i eec
c
c
cee
y
y2222
11
22
22
11
0
10 24
1
jj
ee
c
c
c
cee
y
ydjkdjkdjkdjk
t
i
22
1
2
2222
11
22
22
11
0
10
2cos
jxjx eex
,
2sin
jxjx eex
Im
2
11
22
22
11
Re
2
0
10 sin2
1cos dk
c
c
c
cjdk
y
y
t
i
Pošto u izrazu za koeficijent transmisije figuriše odnos realnih amplituda, a ne kompleksnih,
potrebno je iz poslednjeg izraza odrediti taj odnos:
t
i
t
i
t
i
t
i
y
y
y
y
y
y
y
y
0
102
0
102
0
10
0
10 ReIm
dkc
c
c
cdk
y
y
t
i2
2
2
11
22
22
112
2
0
10 sin4
1cos
Dakle, imamo da je koeficijent transmisije:
dkc
c
c
cdk
y
yT
i
t
2
2
2
11
22
22
112
2
2
10
0
sin4
1cos
1
U praktičnim primenama imamo da je: 12 dk
2
2c
k
, 2c brzina zvuka u zidu
Za beton ta brzina iznosi s
m3500 .
Ako je zid tanak onda je zaista 12 dk .
Pod tom pretpostavkom imamo:
22
22
2sin dkdk
1cos 2
2 dk
1122 cc
Pod ovim aproksimacijama koeficijent transmisije postaje:
22
2
2
11
22
4
11
1
dkc
cT
2
11
222
4
11
1
c
dkcT
,
2
2c
k
, s
zida mS
md 2 ( sm površinska masa zida)
2
11
2
1
11 2
1
1
2
11
1
c
m
c
mT
ss
2
112
1
1
c
mT
s
Izolaciona moć zida:
112log20
1log10
c
m
TR s
Izolaciona moć zida direktno zavisi od površinske mase zida.
Masivniji zid ima bolju izolacionu moć.
Na primer:
Zid od cm6 lakog betona površinske mase 2110m
kg ima prigušenje dB35 .
Gipsana ploča debljine cm10 površinske mase 2105m
kg ima prigušenje dB36 .
Puna opeka debljine cm5.11 površinske mase 2270m
kg ima prigušenje dB47 .
Prigušenje zvuka za prozore i vrata:
Jednostruka vrata: dB2520 , kao i jednostruki prozor.
Dupla vrata: dB4030 .
Dupli prozori: dB3530 .
log
R[dB]
2 OSVETLJENJE
2.1 Električno osvetljenje
Već smo definisali spektralne zračne veličine, a sada opisujemo svetlosne izvore konačnih
dimenzija.
2.1.1 Svetlosni izvor konačnih dimenzija
Posmatrajmo svetlosni izvor u vidu tankog diska. Izvor je savršeno difuzan, što znači da zrači po
Lamberovom zakonu, tj.: cos)( 0II .
Izvodimo izraz za osvetljenost koju stvara ovakav izvor na osi diska, na rastojanju b od
njegovog centra, u okolini tačke A koja se nalazi na pomenutoj osi u ravni normalnoj na nju
(slika).
a
A
I(
I(0)
b
osa
diska
r
a
n
d
dr
b
A
dSA
a
r
dr
Najpre izračunavamo osvetljenost koja potiče sa beskonačno malog dela diska. Za element
površine uzimamo beskonačno tanak prsten, poluprečnika r i debljine dr , površine rdrdS 2
. Svetlost se isijava sa male površine diska.
Po definiciji osvetljenost je količnik fluksa Ф i površine na koju pada AdS .
AA
def
dS
ddI
dS
dФdE
A
A
A
n
dSR
dSdI
dSR
dSdI
dE22
cos
2
cos
R
dIdE
Sjaj je po definiciji količnik intenziteta svetlosti koji tačkasti izvor izrači u beskonačno mali
prostorni ugao duž pravca koji zaklapa ugao na površ izvora.
cosdS
dIB
def
Ako izrazimo intenzitet svetlosti preko sjaja
B :
2
2cos
R
BdSdE
, cosBdSdI
2
2cos2
R
rdrBdE
cos
bR , tgbr ,
dbbddr
2cos
1)tg(
2
2
2
cos
coscos
1tg2
b
dbbB
dE
dinBdE coss2 - osvetljenost u okolini tačke A koja potiče od svetlosti sa beskonačno
tankog prstena diska poluprečnika r .
Ukupna osvetljenost z tački A biće suma doprinosa svih prstenova od 0r do ar .
Ovih prstenova ima beskonačno mnogo jer su beskonačno tanki (debljine dr ).
Suma prelazi u integral:
max
0 )(sin
coss2
d
dinBdEE
n
dS
d
izvor
zraèenja
maxmax
0
2
02
sin2)(sins2
BdinBE
, max
2sin BE ,
2
R
aBE ,
22
2
ba
aBE
2
1
a
b
BE
Za slučaj ab , dobijamo BE , a to je osvetljenost koju daje tačkasti izvor, pa se u ovim
slučajevima za disk može smatrati da je tačkasti izvor svetlosti.
2.2 Jačina svetlosti difuznog sfernog izvora
Odredimo koliki intenzitet svetlosti emituje sferni izvor poluprečnika r u poluprostor.
Izvor je savršeno difuzan (Sjaj u svakoj tački mu je konstantan).
Intenzitet svetlosti koji potiče sa površine Sd 2 je beskonačno mali i iznosi:
ddBrSBddI cossincos 22 ,
2
0
2
0
2 cossin
ddBrdII
2
0
2 sinsin2
dBrI , 2
0
22
2
sin2
BrI
d
x
y
z
r
d
d
d2 S=r2sindd
r
0sin
2sin 222
BrI 2BrI
SBI , 2rS , ( S površina preseka lopte po ekvatoru)
Znači, sferni izvor svetlosti možemo zameniti diskom poluprečnika sfere.
2.3 Štap konačne dužine kao svetlosni (homogen) izvor
Posmatramo štap, dužine l , kao homogen svetlosni izvor i interesuje nas osvetljenost tačke A u
vertikalnoj ravni ispod njega (kao na slici):
Polazimo od izraza za osvetljenost tačkastog svetlosnog izvora dužine dx u tački A :
2
cos
r
dIdEA
dI intenzitet svetlosti sa dela štapa dužine dx
Pošto je štap homogen svetlosni izvor važi proporcija: dx
dI
l
I
dxl
IdI
2
cos
r
dx
l
IdEA
Doprinos svih delića štapa osvetljenosti će biti integral poslednjeg izraza. Integraciju sprovodimo
po uglu , jer se dobija tablični integral (ako bi „išli“ preko x imali bi teži integral za
rešavanje).
h
dx
n
A
d
l
svetlosni izvor u obliku
tankog stapa intenziteta I
dx
pod lupom:
rd
dxcos=rd
hr cos cos
hr
Za izražavanje dx preko ugla uočimo trougao čija je hipotenuza dx , imamo:
rddx cos
cos
rddx
2cos
hddx
Sada imamo:
d
hl
Id
h
h
l
I
r
dx
l
IdEA
cos
cos
coscos
cos
2
2
2
2
dlh
IdEA cos ,
2
1
cos
dlh
IdEE AA
, 2
1
sin
lh
IEA
12 sinsin lh
IEA
Sa slike imamo:
221sin
lLh
lL
222sinLh
L
Konačno je:
2222lLh
lL
Lh
L
lh
IEA
hn
A
l L
x
