Upload
hoangmien
View
224
Download
6
Embed Size (px)
Citation preview
1 Initial Valued Problems : Multi Step Method
ระเบยบวธหลายขน (Multi-Step Method)
ส าหรบสมการเชงอนพนธ
y,xfdx
dy ; bxa และ αay
ถาเราอนทเกรตเหนอชวง 1ii x,x จะได
1i
i
1i
i
x
x
x
xi1i dxy,xfdxxyxyxy
ดงนน 1i
i
x
xi1i dxy,xfxyxy แตเราอนทเกรต y,xf ไมได เพราะไมทราบผลเฉลย xy ประมาณ xy ดวยพหนามตวประมาณคาในชวง xP แทน
ซงเปนพหนามดกร m โดยสรางจากชดขอมล mimi y,x , 1mi1mi y,x ,..., ii y,x
เมอเราประมาณ ii yxy จะได
1i
i
x
xi1i dxxP,xfyxy
แมวารปแบบของพหนามตวประมาณใดๆสามารถใชแทน xP ได แตทสะดวกทสดคอ การใชผลตางสบเนองยอนหลงของนวตน
2 Initial Valued Problems : Multi Step Method
ระเบยบวธหลายขนสามารถแบงไดเปน 2 แบบคอ
1. ระเบยบวธโดยชดแจง เปนระเบยบวธท 1iy ไมขนกบการหาคา 1i1i y,xf
2. ระเบยบวธโดยปรยาย ซงมบางสวนขนกบ 1i1i y,xf
ระเบยบวธหลายขนโดยชดแจง
สตรทไดหาจากการประมาณ
1i
pi
x
xpi1i dxxP,xfyy บนชวง ]x,x[ 1ipi โดยท mp0
ถา 0p จะไดสตรของ Adams-Bashforth อนดบตางๆในรปแบบ
m
0kkikimki1i y,xfbhyy
พรอมทงคาคลาดเคลอน mE ซงแสดงดงในตาราง อนดบ m 0mb 1mb 2mb 3mb mE
1 0 1 0
2
y2
h
2 1 23 21 13yh
12
5
3 2 1223 1216 125 244yh
8
3
4 3 2455 2459 2437 249 355yh
720
251
3 Initial Valued Problems : Multi Step Method
จากตาราง จะไดสตร
Adams-Bashforth อนดบ 2 (AB2) 00y , 11y
1i1iiii1i y,xf
2
1y,xf
2
3hyy 1N,,2,1i
คาผดพลาดเฉพาะถน คอ i3yh
12
5 ส าหรบบาง 1i1ii x,x
Adams-Bashforth อนดบ 3 (AB3) 00y , 11y , 22y
2i2i1i1iiii1i y,xf
12
5y,xf
12
16y,xf
12
23hyy 1N,,2,1i
คาผดพลาดเฉพาะถน คอ i44yh
8
3 ส าหรบบาง 1i2ii x,x
Adams-Bashforth อนดบ 4 (AB4) 00y , 11y , 22y , 33y
3i3i2i2i1i1iiii1i y,xf
24
9y,xf
24
37y,xf
24
59y,xf
24
55hyy
1N,,2,1i คาผดพลาดเฉพาะถน คอ i
55yh720
251 ส าหรบบาง 1i3ii x,x
4 Initial Valued Problems : Multi Step Method
กรณท 0p ( mp0 ) จากการกระจายผลตางสบเนองจะไดรปแบบของ
สตรเปน
m
0kkikimkpi1i y,xfbhyy
พรอมทงคาคลาดเคลอน mE ดงตาราง
m p 0mb 1mb 2mb 3mb mE
1 1 2 33yh
6
1
3 3 38 34 38 355yh
45
14
สตรของ Milne
2i2i1i1iii3i1i y,xf
3
8y,xf
3
4y,xf
3
8hyy 1N,,2,1i
คาผดพลาดเฉพาะถนคอ 355yh
45
14 ส าหรบบาง 1i2ii x,xμ
ในการหาสตรโดยชดแจงนพบวาเมอ m เปนจ านวนค และเลอก mp สตรส าหรบกรณ 0p จะใชจ านวนของ f นอยกวาสตรส าหรบกรณ 0p ทมอนดบเดยวกน
5 Initial Valued Problems : Multi Step Method
ระเบยบวธโดยปรยาย จะใชวธการหาสตรเชนเดยวกบการหาสตรโดยชดแจงแตแทน y,xf ในชวง 1ii x,x ดวยพหนาม xq ทผานจด 1mi1mi y,x , ..., ii y,x , 1i1i y,x ซงเราจะได
กรณท 0p :
1m
1kkikimki1i y,xfbhyy
สตรนเรยกวา สตรของ Adams-Moulton อนดบตางๆ ในรปแบบขางตน พรอมทง
mE ดงแสดงในตารางตอไปน อนดบ
m 1,mb 0,mb 1,mb 2,mb mE
1 0 1 0
2
2y
h
2 1 21 21 1
3
12
1yh
3 2 125 128 121 2
44
24
1yh
4 3 249 249 245 241 3
55
720
19yh
เมอ 1im1mi xx
กรณท 0p หาสตรไดในท านองเดยวกนดวยการอนทเกรต y,xfy จาก
pix จนถง 1ix สตรทนาสนใจคอ สตร Simpson ( 1p,3m )
1i1iii1i1i1i1i y,xfy,xf4y,xf3
hyy 1N,,2,1i
คาผดพลาดเฉพาะถนคอ 355
3 yh90
1E ส าหรบบาง 1i1i3 x,x
สตรแบบโดยปรยายน มคาของฟงกชน y,xf ทจดปลาย 1ix ทไมทราบคารวมอยดวย ซงไมสามารถใหคา 1iy ไดโดยตวของมนเอง สตรแบบนมความแมนย าสงกวาสตรโดยชดแจง
6 Initial Valued Problems : Multi Step Method
ในระเบยบวธถดไปเปนในระเบยบวธตวแก-ตวท านาย จะใชสตรโดยชดแจงและโดยปรยายรวมกน
ตองหาคา 01mm y,,y,y เสยกอนดวยระเบยบวธขนเดยว (single step method) เสยกอน เชน ใชระเบยบวธของ Runge-Kutta oder 4 แลวประมาณคา 1iy ดวยสตรโดยปรยายอกรอบ
1 Initial Valued Problems : Predictor-Corrector & Higher Order
การหาผลเฉลยเชงตวเลขของปญหาคาเรมตน
ระเบยบวธตวท านาย-ตวแก
ระเบยบวธนใชสตร 2 สตรรวมกนโดยสตรหนงจะเปนสตรแบบชดแจง เรยกวา สตรตวท านาย (Predictor Formula) และอกสตรหนงเปนสตรโดยปรยายทมความแมนย าสงกวา เรยกวา สตรตวแก (Corrector Formula) ตวอยางเชน ตองการใชคสตรดงน
สตร Euler iii01i y,xhfyy เปนตวท านาย
สตร AM2 iik1i1ii
)1k(1i y,xf)y,x(f
2
hyy
เปนตวแก
ส าหรบ ,1,0k
หมายเหต ใชสตร Euler เปนสตรตวท านายทใหคา 01iy โดยประมาณ
จากนนใชสตรAM2 ซงเปนตวแกเพอหาคา 11iy และสามารถใชสตรตวแก
ซ าเพอใหการค านวณแมนย ายงขนซงเรยกวา การท าซ าภายใน (inner iteration)
คาของ 1iy จะมความแมนย าสงขนระดบหนงเนองจากสตรตวแกทใชกยงมคาคลาดเคลอน โดยปกตแลวการท าซ าจะท าเพยงคร งหรอสองคร งเทาน น ถาคา
1iy ไมดขนตองลดขนาด h
2 Initial Valued Problems : Predictor-Corrector & Higher Order
พจารณาคา h ทเหมาะสม
ในสตร 0x , 0y , 1x , h เปนคาคงตว
ให 1iyt จากสตรการท าซ าจดคงทจะไดวา
k1k tFt ( ,1,0k ) ----(1)
โดยม tF คาทไมขนกบ t,x ปจจบน t,xf2
h
เงอนไขของการลเขาคอ 1tF ส าหรบคา t ทอยใกล 1ixy
นนคอการลเขาของ (1) จะเปนจรงกตอเมอ y,xf และ y
f
มความตอเนองใน x
และ y ทท าให 1y
f
2
htF
นนคอ y
f
2h
สตรตวท านายตองใชคตวแกทมคาคลาดเคลอนอยในอนดบใกลเคยงกน มฉะนนแลวการท าซ าภายในอาจจะไมลเขากได
ส ำหรบสตร Euler ดดแปลง
3 Initial Valued Problems : Predictor-Corrector & Higher Order
ตวอยาง จงใชระเบยบวธตวท านาย-ตวแก หาคาของ )2.1(y ของปญหาคาเรมตน
x
y1y เมอ 2)1(y โดยใช 1.0h
วธท า คสตรทใชคอ สตรตวท านาย iii01i y,xhfyy
สตรตวแก iik1i1ii1i y,xfy,xf
2
hyy
ในทน 1x0 , 2y0 , 3y,xf 00
3.21
211.02y 0
1
0909.31.1
3.21y,xf 0
11
1k 3045.20909.332
1.02y 1
1
095.3
1.1
3045.21y,xf 1
11
2k 3048.2095.332
1.02y 2
1
3k 3048.2y 31
1.1x1 , 1.1y3048.2y1
ท านองเดยวกนจะได 6143.2y 02
6185.2y 12
6187.2y 22
2.1y6187.2y 32
4 Initial Valued Problems : Predictor-Corrector & Higher Order
ความคลาดเคลอนของสตรตวแกคอ 13yh
12
1 เมอ 1i1i xx
ถาประมาณ 1y ดวย 11y และ 1.0h ไดความคลาดเคลอนไมเกน
43
1083.0112
1.0 แสดงวาผลเฉลยมความแมน 3 D.P.
สตรทนยมใชกนมากในระเบยบวธตวท านาย-ตวแก คอ
สตรของ Adams-Bashforth-Moulton เขยนยอวา ABM4 ซงขยายความไดดงน
จากปญหาคาเรมตน
y,xfy ; bxa ; ay
ใชจดจ านวน 1n จดทหางเทาๆกนในชวง b,a จะได n
abh
ใชระเบยบวธแบบชนเดยว เชน Runge-Kutta เพอหาคา 321 y,y,y และ 3210 f,f,f,f
ค านวนคา 01iy เรมดวย 3i โดยใชสตร
3i2i1iii01i f9f37f59f55
24
hyy
ตอจากนน ค านวณคา 01i1i
01i y,xff
แลวค านวณคา 1k1iy
เรมดวย 0k โดยใชสตร
3i2i1i1ii1k
1i ff5f19f924
hyy
และท าซ าดวยจนกวาจะไดคาคลาดเคลอนทตองการ
ตวท ำนำย
ตวแก
5 Initial Valued Problems : Predictor-Corrector & Higher Order
คสตรตวท านาย-ตวแกมอกมากมาย เชน
สตรตวท านาย ใชสตรของ Milne 2i2i1i1iii3i01i y,xf2y,xfy,xf2h
3
4yy
สตรตวแก ใชสตร Simpson 1i1iii
k1i1i1i
1k1i y,xfy,xf4y,xf
3
hyy
หรอ สตรตวแก ใชสตร Hamming
8
ff2fh3yy9y 1ii1i2ii1k
1i
6 Initial Valued Problems : Predictor-Corrector & Higher Order
สมการเชงอนพนธอนดบสงและระบบสมการเชงอนพนธ
ปญหาคาเรมตนทมสมการเชงอนพนธอนดบ n โดยทวไป มรปแบบเปน
1nn y,,y,y;xfy โดยมเงอนไขคาเรมตน 10xy , 20xy , ..., n0
1n xy เมอ 0xx
แปลงปญหาขางตนใหเปนปญหาในระบบสมการเชงอนพนธอนดบหนงได โดยให 1uy , 2uy , ...,
n1n uy จะไดระบบสมการ
1n21n
n1n
43
32
21
u,,u,u;xfu
uu
uu
uu
uu
และเงอนไขคาเรมตน 101 xu , 202 xu , ..., n0n xu เมอ 0xx
ระบบสมการเชงอนพนธอนดบหนงขางตนเขยนไดในรปแบบสมการเวกเตอรเชงอนพนธ ไดเปน
Y;xFxY โดยม
0YY เมอ 0xx
โดยท
xy
xy
xy
xY
n
2
1
;
Y,xf
Y,xf
Y,xf
Y;xF
n
2
1
n
2
1
0xY
7 Initial Valued Problems : Predictor-Corrector & Higher Order
เมอ xy,,xy,xy n21 เปนฟงกชนตวประมาณของ xY ผลเฉลยเชงตวเลขของระบบสมการขางบนนกคอ เวกเตอร ,xY,xY 21 ซงมคาประมาณเปน
,Y,Y 21 ตามล าดบ ตวอยาง จงสรางระบบสมการเชงเสน ซงใชในการหาผลเฉลยของ
xlnxy2yx2y 3 , 2x1 เมอ 11y , 01y
วธท า ลดทอนปญหาใหเปนระบบสมการเชงอนพนธอนดบหนงโดย
ก าหนดให uy
ดงนน xu2y2xlnxyx2y2xlnxuy 33
ให
u
y
xu
xyY จะไดระบบสมการเชงอนพนธคอ
xu2y2xlnx
uY;xF
u
yY 3 ,
และมเงอนไขเรมตนคอ
0
1
0y
0y
0u
0yY0
8 Initial Valued Problems : Predictor-Corrector & Higher Order
ในการหาผลเฉลยของระบบสมการจะใชระเบยบวธตางๆทใชกบปญหาคาเรมตน y,xfy ทม 0yy เมอ 0xx แตตองเปลยนปรมาณสเกลาร
0y,y,xf,y,y ใหเปนปรมาณเวกเตอร 0Y,Y;xF,Y,Y เชน
สตรของ Euler เดมคอ )y,x(hfyy iii1i
เปลยนเปนสตรส าหรบระบบสมการคอ ii1i Y;xFhYY
สตร Runge-Kutta RK4 กตองเปลยนเปนเวกเตอรคอ
4321i1i KK2K2K6
1YY
ii1 Y;xFhK
2
KY;
2
hxFhK 1
ii2
2
KY;
2
hxFhK 2
ii3
3i1i4 KY;xFhK 1N,,1,0i
สตร AB4, ABM4 คอ
สตรตวท านาย 3i2i1iiip1i F9F37F59F55
24
hYY
สตรตวแก 3i2i1i1iic
1i FF5F19F924
hYY
โดยท iii xY;xFF
9 Initial Valued Problems : Predictor-Corrector & Higher Order
ตวอยาง (Sheet) จากปญหาคาเรมตน 2xyy , 10y , 10y จงหาคาประมาณของ 1.0y เมอก าหนดให 1.0h
วธท า ลดทอนปญหาใหเปนระบบสมการเชงอนพนธอนดบหนงโดย
ก าหนดให uy
ดงนน 2xyuy และ 1.0h,1.0x,0x 10
xu
xyY ,
xxy
xuY;xFY
2,
1
1
0u
0yY0
ไดระบบสมการ Y;xFY
พรอมเงอนไข
1
1Y0
โดยระเบยบวธออยเลอร (Euler Method) สตรคอ
iii1i Y;xFhYY
ดงนน 0001 Y;xFhYY
1
1;0F)1.0(
1
1
2)1(0
1)1.0(
1
1
1
9.0
0
1.0
1
1
ดงนนจะไดคาประมาณ 9.0y)1.0(y 1 และ 1u)1.0(y 1
x
y
u
y
u
แทนสตร
2xy
uY;xF
10 Initial Valued Problems : Predictor-Corrector & Higher Order
โดยระเบยบวธออยเลอรดดแปลง (Modified Euler Method) สตรคอ
iii1iiii1i Y;xFhY;xFY;xF
2
hYY
ดงนน 00010001 Y;xFhY;xFY;xF2
hYY
1
9.0)
1
1;0(F)1.0(
1
1Y;xFhY 000
)1
9.0;1.0(F)Y;xFhY;x(F 0001
081.0
1
)9.0)(1.0(
12
จะไดวา
081.0
1
1
1;0F
2
1.0
1
1Y1
99595.0
9.0
081.0
1
0
105.0
1
1
ดงนนจะไดคาประมาณ 9.0y)1.0(y 1 และ 99595.0u)1.0(y 1
แทน
2xy
uY;xF
11 Initial Valued Problems : Predictor-Corrector & Higher Order
โดยระเบยบวธ Runge-Kutta อนดบ 4 สตรคอ
432101 KK2K2K6
1YY
0
1.0
10
11.0Y;xFhK 2001
1
95.0
0
1.0
2
1
1
1K
2
1Y 10
0045.0
1.0
95.005.0
11.0
2
KY;
2
hxFhK 2
1002
9978.0
95.0
0045.0
1.0
2
1
1
1K
2
1Y 20
0045.0
0998.0
95.005.0
9978.01.0
2
KY,
2
hxFhK 2
2003
9955.0
9002.0
0045.0
0998.0
1
1KY 30
0081.0
0996.0
9002.01.0
9955.01.0KY,xFhK 23014
ดงนน 432101 KK2K2K6
1YY
99565.0
90013.0
0081.0
096.0
0045.0
0998.02
0045.0
1.02
0
1.0
6
1
1
1
นนคอ 90013.01.0y และ 99565.01.0y
2xy
u
u
y
u
y
2xy
u
u
y
12 Initial Valued Problems : Predictor-Corrector & Higher Order
ตวอยาง (Sheet) จงใชระเบยบวธตวท านาย-ตวแก ABM4 เพอหาคา )4.0(y ของปญหาคาเรมตน 0yy เมอก าหนดเงอนไขเรมตน 10y , 10y และคาเรมตนดงตาราง
x y uy 0.0 1 -1
0.1 0.895171 -1.094838
0.2 0.781397 -1.1787736
0.3 0.659816 -1.250857
วธท า ก าหนดให 0x0 , ihxi , 1.0h
uy
yuy จะไดวา
u
yY และ
y
u)Y;x(F
1
1Y0 ,
094838.1
895171.0Y1 ,
178736.1
781397.0Y2 ,
250857.1
659816.0Y3
ดงนน
1
1)
1
1;0(F)Y;x(FF 000 ,
895171.0
094838.1
094838.1
895171.0)
1
1;1.0(F)Y;x(FF 111
ท านองเดยวกนจะได
781397.0
178736.1F2 และ
659816.0
250857.1F3
x y
u
13 Initial Valued Problems : Predictor-Corrector & Higher Order
ใชสตรตวท านาย-ตวแก ABM4
สตรตวท านาย 3i2i1iiip1i F9F37F59Fi55
24
hYY
012330
4 F9F37F59F5524
hYY
385074.1
440410.0
212204.32
657477.52
24
1.0
250857.1
659816.0
440410.0
385074.1)
385074.1
440410.0;4.0(F)Y;x(FF
044
04
สตรตวแก 3i2i1i1iic
1i FF5F19F924
hYY
307058.1
528845.0FF5F19F9
24
hYY 123
043
14
528845.0
307058.1)Y;x(FF
144
14
ท าซ าภายในตอไปจะได
310375.1
531770.0FF5F19F9
24
hYY 123
143
24
310484.1
531646.0Y
34
310480.1
531642.0Y
44
ดงนน 534
44 104.0YY
นนคอผลเฉลยมความแมนย า 5 D.P.
จะไดผลเฉลยคอ 53164.04.0y และ 31048.14.0y
1 ระเบยบวธผลตางสบเนองส าหรบปญหาคาขอบ
0
x n
x 1x
2x
2nx
1nx
ระเบยบวธการใชผลตางสบเนอง
ระเบยบวธนใชหาผลเฉลยของปญหาคาขอบของสมการเชงอนพนธเชงเสนอนดบสองทอยในรป
(*)------- xgyxqyxpy ; bxa
เมอก าหนดเงอนไขขอบคอ β)b(y,αay
เปลยนปญหาคาขอบในระบบตอเนอง ใหเปนปญหาในระบบไมตอเนอง ซงท าไดดงน
เปลยนโดเมนตอเนองของ x ในชวง b,a เปนเซตของจดแบงชวง คอ n10 x,,x,x
เปลยนสมการเชงอนพนธ เปนสมการผลตางสบเนองโดย
ii yxy 1i1iii yy
h2
1yxy
1ii1i2ii yy2yh
1yxy
2 ระเบยบวธผลตางสบเนองส าหรบปญหาคาขอบ
แทนคาลงในสมการ (*) จะได )ix(giy)ix(q)1iy1iy(
h2
1)ix(p)1iyiy21iy(
2h
1
เมอ 1n,,2,1i
จดรปสมการใหมจะได
)x(ghy))x(p1(y))x(qh2(y))x(p1( i2
1i2
hii
21ii2
hi
เมอ 1n,,2,1i
แทนคา ix ทจดตางๆและคา n0 y,y (เงอนไขขอบทโจทยให) เมอ 1n,,2,1i จะไดระบบสมการเชงเสนมเมตรกซของสมประสทธเปนเมตรกซสามแนวเฉยงททราบคาทกตว
ระบบสมการนม 1n สมการ และม 1n ตวแปรคอ 1n21 y,,y,y
ถาเลอกขนาดของชวง h ทท าให M
2h โดยท xpmaxM
bxa
เมตรกซของสมประสทธในระบบสมการ
i2
1iiii2
1ii ghyp2
h1y2qhyp
2
h1
1n,,2,1i
จะมแนวทแยงมมขมแท จงมผลเฉลยแนนอนและมเพยงผลเฉลยเดยว
3 ระเบยบวธผลตางสบเนองส าหรบปญหาคาขอบ
ตวอยาง (Sheet) พจารณาปญหาคาขอบ
xyyxy ,
เมอก าหนดเงอนไขขอบคอ 00y และ 01y จงหา
คาประมาณของ 5.0y โดยก าหนดให 4
1h
วธท า ให ii yxy
h2
yyxy 1i1i
i
2
1ii1ii
h
yy2yxy
แทนคาลงในสมการโจทย iiiii x)x(y)x(yx)x(y
ทจดแบง ix ตางๆสามารถประมาณไดดวย
ii1i1i
i21ii1i xy
h2
yyx
h
yy2y
จดรป
i2
i2
1i1ii
1ii1i xhyh)yy(2
hxyy2y
0x0 4
3x3
4
1x1
2
1x2
1x4
4 ระเบยบวธผลตางสบเนองส าหรบปญหาคาขอบ
หรอ
i2
1ii
i2
1ii xhy
2
hx1y2hy
2
hx1
ส าหรบแตละคา i เราจะได
1i ; 12
21
12
01 xhy
2
hx1y2hy
2
hx1
2i ; 22
32
22
12 xhy
2
hx1y2hy
2
hx1
3i ; 32
43
32
23 xhy
2
hx1y2hy
2
hx1
แทนคา 4
1x,
4
1h 1 ,
2
1x2 ,
4
3x3
และเงอนไขขอบ 00yy0 , 01yyy 4n
จะไดระบบสมการ
046875.0y9375.1y90625.0
031250.0y0625.1y9375.1y9375.0
015625.0y03125.1y9375.1
32
321
21
ซงเขยนอยในรปเมทรกซไดเปน
046875.0
031250.0
015625.0
y
y
y
9375.190625.00
0625.19375.19375.0
003125.19375.1
3
2
1
ไดผลเฉลย 0562441.0y3 , 0685218.0y2 และ 044535.0y1
ดงนน 0685218.0y)5.0(y 2
5 ระเบยบวธผลตางสบเนองส าหรบปญหาคาขอบ
ตวอยาง จงใชระเบยบวธการใชผลตางสบเนองแปลงปญหาคาขอบ xeyy2y พรอมดวยเงอนไขขอบคอ 10y และ 01y ใหเปนปญหาระบบสมการอนดบหนงไมตองหาคา วธท า ให ,yxy ii
h2
yyxy 1i1i
i
และ
21ii1i
ih
yy2yxy
แทนคาลงในสมการโจทย ixiii e)x(y)x(y2)x(y
จะได ixi
1i1i2
1ii1i eyh2
yy2
h
yy2y
จดรป ix21ii
21i ehyh1y2hyh1
แทนคา 25.0x,25.0h 1 , 5.0x2 , 75.0x3 จะไดระบบสมการ 080252.0y75.0y9375.1y25.1 210
103045.0y75.0y9375.1y25.1 321
132313.0y75.0y9375.1y25.1 432
แทนคาเงอนไขขอบ 10yy0 , 01yyy 4n 16975.1y75.0y9375.1 21 103045.0y75.0y9375.1y25.1 321
132313.0y9375.1y25.1 32
ไดระบบสมการตามตองการ