1. Interacció gravitatòria...1. Interacció gravitatòria En els problemes següents que necessiten la massa i el radi equatorial de la Terra, s’ha d’usar 24M T =´5.974 10 kg

1. Interacció gravitatòria

En els problemes següents que necessiten la massa i el radi equatorial de la Terra, s’ha d’usar 24

T 5.974 10 kgM = ´ i T 6378 km;R = i les solucions s’han calculat amb

la constant 11 3 1 26.674 10 m kg sG - - -= ´ .

Les figures següents representen l’òrbita d’un cometa al voltant del Sol. Indica si la velocitat de translació orbital, el moment angular respecte al Sol, l’energia potencial gravitatòria i l’energia mecànica total del cometa són més grans a A o a B.

Solució: El moment angular i l’energia mecànica total són constants. Això vol dir que prenen el mateix valor a qualsevol punt de l’òrbita. En els tres casos se satisfà

t t

A B

A B

L LE E

==

L’energia potencial gravitatòria del cometa, de massa m, és

S

pGM m

ER

=-

D’aquesta expressió se’n dedueix que com més gran sigui R més gran és l’energia potencial1. És a dir,

p p

p p

p p

a)

b)

c)

A B

A B

A B

E E

E E

E E

>

>

>

1És cert que, si no tinguéssim en compte el signe negatiu, les magnituds pE i R serien inversament

proporcionals però el signe negatiu fa que, en realitat, siguin proporcionals.

Saber enunciar les lleis de Kepler i usar-les en la resolució de problemes.

Per altre costat, tenint en compte que l’energia mecànica total és constant, com més gran sigui l’energia potencial més petita serà l’energia cinètica i, en conseqüència, més petita serà la velocitat. També podem arribar a aquesta conclusió a partir de la segona llei de Kepler. Del fet que la velocitat areolar és constant se’n dedueix que la velocitat és més gran quan més a prop del Sol ens trobam. Per tant,

a)b)c)

A B

A B

A B

v vv vv v

<<<

Enuncia la tercera llei de Kepler i usa les dades de la taula següent per justificar-ne la validesa. El semieix més gran de l’òrbita es dóna en la unitat de longitud denominada unitat astronòmica i el període orbital T en anys. Digau si és necessari passar les distàncies a metres i el temps a segons per comprovar la tercera llei.

Planeta a (UA) T (a) Planeta a (UA) T (a) Mercuri 0.3871 0.2408 Júpiter 5.204 11.85 Venus 0.7233 0.6152 Saturn 9.582 29.46 Terra 1 1 Urà 19.23 84.32 Mart 1.524 1.881 Neptú 30.10 164.8

Solució: La tercera llei de Kepler, o llei dels períodes, es pot enunciar de la següent manera:

El quadrat del període de rotació d’un planeta entorn del Sol és proporcional al cub del semieix major de l’òrbita.

2 3T a C=

Segons les unitats que es facin servir per a T i a, la constant C prendrà un valor numèric o un altre, però serà el mateix valor per a tots els planetes i, per tant, se satisfarà la llei. El que no es pot fer és comparar valors de C obtinguts amb diferents unitats. Per justificar la validesa de la tercera llei de Kepler cercarem els valors del quocient entre el període al quadrat i el semieix al cub i veurem si és constant o no.

Planeta a (UA) T (a) 2 3T a ( 2 3a UA )

Mercuri 0.3871 0.2408 0.9996 Venus 0.7233 0.6152 1.0002 Terra 1 1 1 Mart 1.524 1.881 0.9996

Júpiter 5.204 11.85 0.9964 Saturn 9.582 29.46 0.9865

Urà 19.23 84.32 0.9998 Neptú 30.10 164.8 0.9959

El valor obtingut és constant. Per tant, queda comprovada la tercera llei.

Calcula el període orbital de Júpiter al voltant del Sol usant que el semieix més gran de la seva òrbita és 5.20 vegades el de l’òrbita terrestre. Solució: La tercera llei de Kepler aplicada a Júpiter i a la Terra simultàniament s’escriu com

2 3Júpiter Júpiter

Terra Terra

T a

T a

=

Tenint en compte que Terra 1 anyT = i que Júpiter Terra5.20a a , aleshores obtenim

2 3

Júpiter Terra

Terra

Terra2Júpiter

5.201

5.20

T aa

aT

=

=

Terraa

3

3Júpiter 5.20 11.86 anysT = =

Quan Galileu va descobrir les quatre llunes més grosses de Júpiter el 1610 va causar un gran impacte social perquè era la primera vegada que es veien llunes orbitant un altre planeta. D’aquestes quatre llunes, la més pròxima a Júpiter és ió i la més llunyana Cal·listo. L’òrbita de Cal·listo té un període de 400.6 hores i el semieix més gran mesura 1882700 km. Què mesura aproximadament el semieix més gran de l’òrbita d’Ió si el seu període orbital és de 42.5 hores? Solució: La tercera llei de Kepler aplicada simultàniament a les llunes de Júpiter, Ió i Cal·listo, s’escriu com

2 3

Ió Ió

Cal·listo Cal·listo

T aT a

=

Amb Ió 42.5 horesT = , Cal·listo 400.6 horesT = i Cal·listo 1882700 kma = obtenim

2 3Ió

32 Ió

42.5400.6 1882700

1.126 101882700

a

a

=

=

3 2 Ió

Ió

Ió

1.126 101882700

0.22411882700

422000 km

a

a

a

=

=

=

Ió, Europa, Ganimedes i Cal·listo, els quatre satèl·lits que va veure Galileu al costat de Júpiter, giraven al seu voltant com els planetes al voltant del Sol. a) Calcula 2 3T a per a cada lluna, sent T el període orbital de la lluna al voltant de Júpiter i a el semieix més gran de l’òrbita. b) Perquè s’obté el mateix valor per les quatre llunes? (Cerca per internet les dades necessàries per realitzar els càlculs.) Dades: Les dades sobre totes les llunes de Júpiter les trobaràs a l’apartat orbital parameters de la web: http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/joviansatfact.html Solució: a) b) S’obté el mateix valor per a les quatre llunes perquè aquest sistema de llunes girant entorn de Júpiter, que coneixem a Física amb el nom de sistema jovià és equivalent a un sistema solar de petites dimensions. Per tant, se satisfà la tercera llei de Kepler de la mateixa manera que se satisfà en el nostre sistema solar.

lluna a ( 310´ km) T (d) Ió 421.6 1.769

Europa 670.9 3.551 Ganimedes 1070 7.155

Cal·listo 1883 16.69

lluna a (m) T (s) 2 3T a ( 2 3s m )

Ió 84.216 10´ 51.528 10´ 163.116 10-´ Europa 86.709 10´ 53.068 10´ 163.117 10-´

Ganimedes 91.070 10´ 56.182 10´ 163.120 10-´ Cal·listo 91.883 10´ 61.442 10´ 163.114 10-´


Els centres de dues esferes de 4000 kg i 9000 kg es troben separats 5 m. a) Fes un esquema dels vectors del camp gravitatori creat per cada massa en el punt mitjà. b) Calcula la intensitat del camp gravitatori en el punt mitjà. c) A quina distància del centre de l’esfera de quatre tones s’anul·la el camp gravitatori creat per les dues masses? Solució: Abans de començar, recorda que:

i) El camp gravitatori és un vector i en qualsevol punt té la direcció i sentit de la força que actuaria sobre una massa de prova situada en el punt. Això vol dir que: i.1) El camp gravitatori creat per una massa es dibuixa apuntant cap al

centre de la massa. ii) El mòdul del camp gravitatori creat per una massa M en un punt situat a una

distancia r de M ve donat per:

2

GMg

r=

iii) La unitat SI del camp gravitatori és el 2m s . També pots usar N kg . a) El camp gravitatori en un punt te la direcció i sentit de la força que actuaria sobre una massa puntual situada en el punt. Així una massa situada en el punt mitjà de les masses =1 4000 kgm i =2 9000 kgm seria atreta per totes dues. Així el vector 1g té direcció horitzontal i apunta cap a l’esquerra i el vector 2g té direcció horitzontal i apunta cap a la dreta.

En relació amb el camp gravitatori creat per un conjunt discret de masses bidimensional senzill, saber fer un esquema del camp creat per cada massa en un punt i calcular el camp total expressat en forma de vector amb les seves unitats i el mòdul del camp.

b) Les intensitats dels camps 1g i 2g en el punt mitjà valen respectivament

--

--

´ ⋅ ´= = ´

´ ⋅ ´= = ´

11 38 2

1 2

11 38 2

2 2

6.674 10 4 104.27 10 m s

2.56.674 10 9 10

9.61 10 m s2.5

g

g

I la intensitat del camp suma

- - -= - = ´ - ´ = ´8 8 8 22 1 9.61 10 4.27 10 5.34 10 m sg g g

El camp suma, g, té direcció horitzontal i apunta cap a la dreta. c) Atès que la massa 1m és més petita que 2m , el punt on s’anul·larà el camp gravitatori, és a dir, on s’igualaran els mòduls dels vectors 1g i 2g haurà d’estar situat prop de 1m . Si li diem x a la distància respecte a la massa 1m on s’anul·la el camp, llavors la distància d’aquest punt a la massa 2m és -5 x i la condició =1 2g g ens permet obtenir el punt que cercam:

G 12

m Gx

= 22

4 000(5 )

mx

- 2

9 000x

= 2 2 2

52.5

2

50.5

5 32

5 94

5 32

4 9(5 ) (5 )

5 1.5 5 2.5 2 m( )

5 1.5 5 0.5 10 m

xx

xx

xx

x x x

x x x x

x x x x -

-

-

-

=- -

= - = = = ==

=- - =- =- = =-

El punt que cercam està situat a 2 m de la massa de quatre tones (o a 3 m de la massa de nou tones). La solució negativa no és vàlida perquè correspon a un punt situat a l’esquerra de la massa de quatre tones i en aquesta regió els dos vectors camp gravitatori tenen la mateixa direcció i sentit i, en conseqüència, no es poden anul·lar.

També seria correcte, però duria més feina, desenvolupar la identitat notable:

G 12

m Gx

= 22

4 000(5 )

mx

- 2

9 000x

= 2 2 2

2 2 2 2 2

2 40 60 2010 10

40 60 10010 10

4 9(5 ) (5 )

4(5 ) 9 4(25 10 ) 9 5 40 100 0

2m40 40 4 5 ( 100) 40 6010 m2 5 10

x x x

x x x x x x x

x- +

- - -

=- -

- = - + = + - =

= =- - ⋅ ⋅ - - = = =

= =-⋅

A la taula següent s’indiquen les coordenades cartesianes ( , )x y de tres punts A, B i C. a) Dibuixa els punts A, B i C sobre un pla cartesià en cada cas. b) Completa la taula calculant els components xg i yg del camp gravitatori total i el seu mòdul

en el punt C si en el punt A i en el punt B es col·loquen les masses Am i Bm , respectivament. Els valors de les masses es donen en milions de tones (Mt).

xA yA xB yB xC yC mA mB gx gy g (m) (Mt) ( 2m s- )

- 0.5 0 0.5 0 0 0 2.31 1.57 - 0.198 0 0.1980 0 1 0 1.5 0 5.61 4.78 - 1.440 0 1.4430 0 0 1 1 0 3.24 5.12 - 0.337 0.121 0.358

1.5 0 0 1 0 0 6.78 7.87 0.201 0.525 0.562-1 0 1 0 0 1 2.47 8.91 0.152 - 0.269 0.309

Solució: Abans de començar, recorda el que s’ha dit a la qüestió 6: a.1)

b.1) Les intensitats dels camps Ag i Bg en el punt C valen respectivament 11 9

22

11 92

2

6.674 10 2.31 100.617 m s

0.56.674 10 1.57 10

0.419 m s0.5

A

B

g

g

-

-

´ ⋅ ´= =

´ ⋅ ´= =

Els seus components són

2 2

2 2

0.617 m s 0 m s0.419 m s 0 m s

Ax Ay

Bx By

g gg g

=- == =

Els components del camp total

=-

=

2

2

0.198 m s0 m s

x

y

gg

I el seu mòdul

2 2 20.198 m sx yg g g= + =

a.2)


22

11 92

2

6.674 10 5.61 100.166 m s

1.56.674 10 4.78 10

1.28 m s0.5

A

B

g

g

-

-

´ ⋅ ´= =

´ ⋅ ´= =


2 2

2 2

0.166 m s 0 m s1.28 m s 0 m s

Ax Ay

Bx By

g gg g

=- ==- =


2

2

1.45 m s0 m s

x

y

gg

=-

=

I el seu mòdul

2 2 21.45 m sx yg g g= + =

a.3)


22

11 92

2

6.674 10 3.24 100.216 m s

16.674 10 5.12 10

0.171 m s( 2)

A

B

g

g

-

-

´ ⋅ ´= =

´ ⋅ ´= =


2 2

2 2

0.216 m s 0 m s0.171cos(135 ) 0.121 m s 0.171sin(135 ) 0.121 m s

Ax Ay

Bx By

g gg g

=- =

= =- = =


2

2

0.337 m s0.121 m s

x

y

gg

=-=

I el seu mòdul 2 2 20.358 m sx yg g g= + =

a.4)


22

11 92

2

6.674 10 6.78 100.201 m s

1.56.674 10 7.87 10

0.525 m s1

A

B

g

g

-

-

´ ⋅ ´= =

´ ⋅ ´= =


2 2

2 2

0.201 m s 0 m s0 m s 0.525 m s

Ax Ay

Bx By

g gg g

= =

= =


2

2

0.201 m s0.525 m s

x

y

gg

==

I el seu mòdul

2 2 20.562 m sx yg g g= + =

a.5)

b.5) Les intensitats dels camps Ag i Bg en el punt C valen respectivament

11 92

2

11 92

2

6.674 10 2.47 100.0824 m s

( 2)

6.674 10 8.91 100.297 m s

( 2)

A

B

g

g

-

-

´ ⋅ ´= =

´ ⋅ ´= =


2 2

2 2

0.0824cos(225 ) 0.0583 m s 0.0824sin(225 ) 0.0583 m s0.297 cos(315 ) 0.210 m s 0.297 cos(315 ) 0.210 m s

Ax Ay

Bx By

g gg g

= =- = =-= = = =-


2

2

0.152 m s0.268 m s

x

y

gg

=

=-

I el seu mòdul

2 2 20.308 m sx yg g g= + =

En els extrems d’un catet d’un triangle rectangle isòsceles hi ha dues masses, una de 92.54 10´ kg i una altra de 95.37 10´ kg. El catet mesura 75 cm. a) Fes un esquema amb els vectors camp gravitatori a causa de cada massa en el vèrtex lliure del triangle. b) Troba el camp gravitatori en aquest vèrtex. Troba, a més, el seu mòdul. Solució: Abans de començar, recorda el que s’ha dit a la qüestió 6: a.1) Veure apartat b.1). b.1) Els camps creats per les dues masses en el vèrtex lliure del triangle són:

11 92

1 2

11 92

2 2

6.674 10 2.54 100.301 m s

0.756.674 10 5.37 10

0.319 m s(0.75 2)

g

g

-

-

´ ⋅ ´= =

´ ⋅ ´= =

els seus components, prenent els eixos x i y habituals (positius cap a la dreta i cap a dalt respectivament)

2 21 1

2 22 2

0.301 m s 0 m s0.319cos(135 ) 0.226 m s 0.319sin(135 ) 0.226 m s

x y

x y

g gg g

=- == =- = =

I el camp total,

2

2

0.527 m s0.226 m s

x

y

gg

=-

= o bé 2( 0.527,0.226) m s= -g

I el seu mòdul

2 2 20.573 m sx yg g g= + =

a.2) Veure apartat b.2). b.2) Els camps creats per les dues masses en el vèrtex lliure del triangle són:

11 92

1 2

11 92

2 2

6.674 10 2.54 100.150 m s

(0.75 2)

6.674 10 5.37 100.637 m s

0.75

g

g

-

-

´ ⋅ ´= =

´ ⋅ ´= =

els seus components, prenent els eixos x i y habituals (positius cap a la dreta i cap a dalt respectivament)

2 21 1

2 22 2

0.150cos(135 ) 0.106 m s 0.150sin(135 ) 0.106 m s0.637 m s 0 m s

x y

x y

g gg g

= =- = =

=- =

I el camp total,

2

2

0.743 m s0.106 m s

x

y

gg

=-

= o bé 2( 0.743,0.106) m s= -g

I el seu mòdul

2 2 20.750 m sx yg g g= + =

Calcula les forces d’atracció gravitatòria en un moment de màxima aproximació entre: a) Sol i Terra; b) Terra i Lluna; c) Sol i Júpiter, i ordena-les de més petita a més gran. (Cerca per internet les dades necessàries per realitzar els càlculs). Dades: Màxima aproximació entre la Terra i el Sol: 147.1 milions de kilòmetres Màxima aproximació entre la Terra i la Lluna: 363 mil kilòmetres Màxima aproximació entre Júpiter i el Sol: 740.5 milions de kilòmetres Massa del Sol: 301.989 10´ kg Massa de Júpiter: 271.899 10´ kg Massa de la Terra: 245.974 10´ kg Massa de la Lluna: 227.349 10´ kg Totes les dades planetàries les podeu trobar a la web: http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/ Solució: Abans de començar, recorda que:

i) La força d’atracció gravitatòria entre dues masses M1 i M2 separades una distància r (de centre a centre) és proporcional al producte de M1 per M2 i inversament proporcional al quadrat de la distància r que les separa:

1 22

GM MF

r=

sent G la constant de gravitació universal. ii) La unitat SI de la força gravitatòria és el N (newton).

a) La força d’atracció gravitatòria entre el Sol i la Terra en el moment de màxima aproximació val

11 30 2422

ST 9 2

6.674 10 1.989 10 5.974 103.645 10 N

(147.5 10 )F

-´ ⋅ ´ ⋅ ´= = ´

´

b) La força d’atracció gravitatòria entre la Terra i la Lluna en el moment de màxima aproximació val

11 24 2220

TL 6 2

6.674 10 5.974 10 7.349 102.224 10 N

(363 10 )F

-´ ⋅ ´ ⋅ ´= = ´

´

c) La força d’atracció gravitatòria entre el Sol i Júpiter en el moment de màxima aproximació val

11 30 2723

SJ 9 2

6.674 10 1.989 10 1.899 104.597 10 N

(740.5 10 )F

-´ ⋅ ´ ⋅ ´= = ´

´

Finalment, ordenades de més petita a més gran són TL ST SJF F F< < .


Què valen els potencials en el punt C de cada un dels casos del problema 7? (Pren el potencial 0 a l’infinit com és habitual.) Solució: Abans de començar recorda que:

i) El potencial gravitatori creat per una massa puntual M en un punt situat a una distancia r de M ve donat per:

GM

Vr

=-

on s’ha agafat l’origen a l’infinit com és habitual.

ii) La unitat SI del potencial gravitatori és el J kg . iii) El potencial gravitatori és una magnitud escalar.

a.1)

11 9

11 9

6.674 10 2.31 100.308 J kg

0.56.674 10 1.57 10

0.210 J kg0.5

0.308 0.210 0.518 J kg

CA

CB

C CA CB

V

V

V V V

-

-

´ ⋅ ´=- =-

´ ⋅ ´=- =-

= + =- - =-

a.2)

11 9

11 9

6.674 10 5.61 100.250 J kg

1.56.674 10 4.78 10

0.638 J kg0.5

0.250 0.638 0.888 J kg

CA

CB

C CA CB

V

V

V V V

-

-

´ ⋅ ´=- =-

´ ⋅ ´=- =-

= + =- - =-

a.3)

11 9

11 9

6.674 10 3.24 100.216 J kg

16.674 10 5.12 10

0.242 J kg20.216 0.242 0.458 J kg

CA

CB

C CA CB

V

V

V V V

-

-

´ ⋅ ´=- =-

´ ⋅ ´=- =-

= + =- - =-

En relació amb el camp gravitatori creat per un conjunt discret de masses bidimensional senzill, ser capaç de calcular el potencial gravitatori en qualsevol punt del pla de les masses.

a.4)

11 9

11 9

6.674 10 6.78 100.302 J kg

1.56.674 10 7.87 10

0.525 J kg10.302 0.525 0.827 J kg

CA

CB

C CA CB

V

V

V V V

-

-

´ ⋅ ´=- =-

´ ⋅ ´=- =-

= + =- - =-

a.5)

11 9

11 9

6.674 10 2.47 100.117 J kg

26.674 10 8.91 10

0.420 J kg20.308 0.210 0.537 J kg

CA

CB

C CA CB

V

V

V V V

-

-

´ ⋅ ´=- =-

´ ⋅ ´=- =-

= + =- - =-


Un satèl·lit té una òrbita de radi R al voltant d’un planeta de massa M. Demostra que la velocitat del satèl·lit és l’arrel quadrada de GM R , sent G la constant de gravitació universal. Solució: Un satèl·lit en òrbita al voltant d’un planeta està sotmès a la força d’atracció gravitatòria exercida pel planeta. Aquesta força és la responsable de l’acceleració normal1 o centrípeta del satèl·lit, igual a la velocitat del satèl·lit al quadrat dividit pel radi de l’òrbita. Aplicant la segona llei de Newton obtenim

2

c 2

GMm vF ma m

R R= =

sent v la velocitat del satèl·lit. Simplificant i aïllant

GMm2R

m=2vR

2GM GMv v

R R = =

1De la conservació del moment angular, en el cas d’òrbites circulars, se’n dedueix que la velocitat orbital és constant. En conseqüència, l’acceleració no té component tangencial ( )ta dv dt= .

Saber resoldre problemes de satèl·lits en òrbites circulars. Saber distingir entre altura i radi de l’òrbita.

Descriu les característiques d’una òrbita geostacionària i mostra com se’n calcula el radi i l’altura. Què valen l’altura i el radi de l’òrbita geostacionària? (Dades: TM i TR ) Solució: Un cos descriu una òrbita geostacionària quan es troba en tot moment sobre la vertical d’un punt fix de la Terra. Les característiques més rellevants d’aquest tipus d’òrbita són: i) el seu període és 1 dia. ii) és equatorial; és a dir, el pla orbital coincideix amb el pla de l’equador. iii) és directa: és a dir, recorreguda en el mateix sentit de rotació que el de la Terra. El radi d’aquestes òrbites s’obté igualant l’atracció gravitatòria a la força centrípeta

TGM m2R

m=2vR

Recordant que en un moviment circular i uniforme se satisfà 2v R Tp= , sent T el període de rotació, tenim

2 2

2 2T T T2

2 4( )RTGM GM GM R

vR R R T

p p= = =

2 2

2 2 3 3 T T3T 2 24

4 4GM T GM T

GM T R R Rpp p

= = =

Per a determinar l’altura bastarà fer Th R R= - . Substitució numèrica: Amb 1 dia 86400 sT = = , i les dades de l’enunciat s’obté

11 24 23

2

7

6.674 10 5.974 10 (86400)4

4.224 10 m

42240 km

Rp

-´ ⋅ ´ ⋅=

= ´

=

I per a l’altura

42240 6378 35860 kmh= - =

Siguin c ,E pE i tE les energies cinètica, potencial gravitatòria i mecànica total

d’un satèl·lit en òrbita circular. a) Quina és la relació entre cE i pE ? b) Quina és la

relació entre tE i pE ? Justifica les respostes.

Solució: a) L’energia cinètica d’un cos és per definició 21

c 2E mv= , sent m i v la massa i velocitat del cos respectivament. En el cas d’un satèl·lit en òrbita hem demostrat, a la qüestió 13, que la velocitat del satèl·lit és igual a l’arrel quadrada de GM R , sent G la constant de gravitació universal. Fent servir aquest resultat, l’energia cinètica es pot expressar com

21 1c 2 2 2( ) ( )GM GM GMm

R R RE m m= = =

L’energia potencial d’aquest mateix satèl·lit en òrbita és

pGMmRE =-

Comparant ambdues expressions, veiem que l’energia cinètica representa la meitat de l’energia potencial gravitatòria canviada de signe:

c p 2E E=-

b) L’energia mecànica total del satèl·lit és precisament la suma de les energies cinètica i potencial gravitatòria. És a dir,

t c p2

2 2 2 2( )GMm GMm GMm GMm GMmR R R R RE E E= + = + - = - =-

Comparant aquesta expressió amb l’energia potencial gravitatòria, veiem que l’energia mecànica total coincideix amb l’energia potencial gravitatòria canviada de signe:

t pE E=-

Un satèl·lit de 500 kg està en òrbita circular sobre l’equador terrestre, a una altura de 1250 km. a) Quina és la velocitat lineal del satèl·lit en km/h? b) Quina és l’energia mecànica total del satèl·lit? c) Un satèl·lit igual està en una òrbita circular del mateix radi sobre l’equador marcià. Quina és la massa de Mart si es mesura la velocitat del satèl·lit i s’obté 2370 m/s? (Dades: TM i TR ) Solució: a) Igualant l’atracció gravitatòria a la força centrípeta obtenim

TGM m2R

m=2vR

2TGMv

R=

TGMv

R=

Amb 6378 1250 7628 kmTR R h= + = + = i 24

T 5.974 10 kgM = ´ obtenim

11 24

6

6.674 10 5.974 107230 m s

7.628 10v

-´ ⋅ ´= =

´

Finalment, expressada en km h

7230 m 1 km 3600 s26030 km h

1 s 1000 m 1 h⋅ ⋅ =

b) L’energia mecànica total del satèl·lit a l’òrbita és

11 2410T

t 6

6.674 10 5.974 10 5001.307 10 J

2 2 (7.628 10 )GM m

ER

-´ ⋅ ´ ⋅=- =- =- ´

⋅ ´

c) Per un satèl·lit que giri entorn de Mart se satisfarà

MGMv

R=

o bé, aïllant la massa de Mart,

22 2M

M M

GM v Rv v R GM M

R G= = =

Substituint les dades, ens queda

2 623

M 11

2370 7.628 106.420 10 kg

6.674 10M -

⋅ ´= = ´

´


Quina és la relació entre les velocitats d’un satèl·lit quan passa pel perigeu i per l’apogeu, si en l’apogeu està a una distancia del centre doble que en el perigeu? Solució: El moment angular d’un satèl·lit, de massa m, en òrbita és constant. Això vol dir que tant al perigeu com a l’apogeu el moment angular pren el mateix valor. A l’apogeu podem escriure

sin(90 )a a a aa mr vL mr v== Al perigeu es té

sin(90 )p p p p pL mr v mr v= =

Igualant aquests dos valors obtenim la relació entre velocitats i distàncies a l’apogeu i perigeu

p aL L m= p pr v m= p aa pa a p p a av rv rr v r v r v = =

Tenint en compte que 2a pr r= aleshores

2 pp

a

rvv =

pr2=

Saber calcular el moment angular en el pericentre i en l’apocentre. Saber aplicar conjuntament els principis de conservació de l’energia i del moment angular a una òrbita el·líptica.

Quina és la velocitat en el perigeu d’un satèl·lit de 950 kg si l’apogeu està a 36500 km del centre de la terra i el perigeu a 8200 km? (Dada: TM ) Solució: Amb 68.2 10 mpr = ´ i 636.5 10 mar = ´ aplicarem conjuntament els principis de

conservació del moment angular i de l’energia total al perigeu i a l’apogeu:

a pL L= ar m a pv r m= pv 68.2 10p

a pa

rv v

r´

= =636.5 10´

0.2247p pv v=

t ta pE E= 12 m

2 Ta

GM mv - 1

2a

mr

= 2 Tp

GM mv -

pr

Substituïm 0.2247a pv v= a l’equació d’energies i operam

11 24 11 24

2 21 12 26 6

6.674 10 5.974 10 6.674 10 5.974 10(0.2247 )

36.5 10 8.2 10p pv v- = -

2 7 2 70.02525 1.092 10 0.5 4.862 10p pv v- ´ = - ´

2 70.4748 3.770 10pv = ´

73.770 10

0.4748 8911 m spv ´= =

Completa la taula següent referida a satèl·lits que es mouen en òrbites el·líptiques al voltant de la Terra. (Dada: TM )

ar (km) pr (km) av (m/s) pv (m/s)

50000 18000 2055 570747000 11094 1800 762681786 24540 1500 5000

Solució: 1) Amb 71.8 10 mpr = ´ i 75 10 mar = ´ aplicarem conjuntament els principis de


a pL L= ar m a pv r m= pv 1.8

0.365

pa p p p

a

rv v v v

r= = =

t ta pE E= 12 m

2 Ta

GM mv - 1

2a

mr

= 2 Tp

GM mv -

pr

11 24 11 24

2 21 12 27 6

6.674 10 5.974 10 6.674 10 5.974 10(0.36 )

5 10 1.8 10p pv v- = -

2 6 2 70.0648 7.974 10 0.5 2.215 10p pv v- ´ = - ´

2 70.4352 1.418 10pv = ´

71.418 10

0.4352 5708 m spv ´= =

0.36 5708 2055 m sav = ⋅ =

2) Amb 74.7 10 mar = ´ i 1800 m sav = , aplicarem conjuntament els principis de conservació del moment angular i de l’energia total al perigeu i a l’apogeu:

a pL L= ar m a pv r m= pv 7 104.7 10 1800 8.46 10a a

pp p p

r vr

v v v´ ⋅ ´

= = =

t ta pE E= 12 m

2 Ta

GM mv - 1

2a

mr

= 2 Tp

GM mv -

pr

11 24 11 24

2 21 12 27

6.674 10 5.974 10 6.674 10 5.974 10(1800)

4.7 10 pp

vr

- = -

146 21

2

3.987 106.863 10 p

p

vr

- = -

Substituïm 108.46 10p pr v= ´ a l’equació de l’energia i operam

14

6 212 108.46 10

3.987 106.863 10

( )p

pvv- = -

2 612 4713 6.863 10 0p pv v- + ´ =

2 61

2

12

7626 m s4713 4713 4 6.863 10 4713 29131800 m s2 1pv

- ⋅ ⋅ ´ = = =

⋅

1078.46 10

1.109 10 m 11090 km7626pr´

= = ´ =

3) Amb 1500 m sav = i 5000 m spv = aplicarem conjuntament els principis de


a pL L= ar m a pv r m= pv 1.5

0.35

ap a a a

p

vr r r r

v= = =

t ta pE E= 12 m

2 Ta

GM mv - 1

2a

mr

= 2 Tp

GM mv -

pr

11 24 11 24

2 21 12 2

6.674 10 5.974 10 6.674 10 5.974 10(1500) (5000)

a pr r- = -

14 146 73.987 10 3.987 10

1.125 10 1.25 10a pr r

- = -

Substituïm 0.3p ar r= a l’equació de l’energia i operam

14 15

6 73.987 10 1.329 101.125 10 1.25 10

a ar r- = -

14 156 7 3.987 10 1.329 10

1.125 10 1.25 10a ar r

- = -

147 9.303 10

1.138 10ar

- =-

147

7

9.303 108.175 10 m 81750 km

1.138 10ar- ´

= = ´ =- ´

0.3 81750 24520 kmpr = ⋅ =

2. Interacció elèctrica

En els vèrtexs de la base d’un quadrat hi ha càrregues esqq i dreq , esq dreq q> .

En cada un dels casos de la figura: a) Dibuixa qualitativament la direcció i la intensitat relativa del camp creat per cada càrrega en el punt negre. b) Dibuixa de manera aproximada el vector del camp suma dels dos camps anteriors.

Solució: Abans de començar, recorda que:

i) El camp elèctric és un vector i en qualsevol punt té la direcció i sentit de la força que actuaria sobre una càrrega positiva situada en el punt. Això vol dir que: i.1) El camp elèctric creat per una càrrega negativa es dibuixa apuntant cap a

la càrrega negativa. i.2) El camp elèctric creat per una càrrega positiva es dibuixa allunyant-se de

la càrrega positiva. ii) La intensitat del camp elèctric en un punt és proporcional a la magnitud de la

càrrega que el crea i inversament proporcional al quadrat de la distancia a la qual es troba la càrrega.

iii) Gràficament els vectors se sumen aplicant la regla del paral·lelogram. Aquesta regla consisteix en dibuixar una paral·lela a cada vector passant per l’extrem de l’altre vector. El punt d’intersecció de les paral·leles determina l’extrem del vector suma. L’origen dels tres vectors és el mateix.

En relació amb el camp elèctric creat per un conjunt discret de càrregues bi-dimensional senzill, saber fer un esquema del camp creat per cada càrrega en un punt, calcular el camp total expressat vectorialment amb les seves unitats i calcular el mòdul del camp.

a) El punt assenyalat equidista de les càrregues. Per tant, el camp més gran serà el corresponent a la càrrega de l’esquerra perquè és més gran. Llavors, dibuixam esqE

d’una certa longitud i dreE una mica més petit. El vector camp total totE apuntarà cap a l’esquerra i la seva longitud serà la diferència entre les longituds anteriors. b) Les distàncies al quadrat de les càrregues al punt són una doble que l’altra, sent la més llunyana la de la dreta. A més, la càrrega de la dreta és més petita. Això fa que dreE tingui una intensitat més petita que la meitat de la intensitat de

esqE . Llavors, dibuixam esqE d’una certa longitud i dreE

d’una longitud menor que la meitat. El vector camp total

totE l’obtenim aplicant la regla del paral·lelogram.

c) El punt assenyalat equidista de les càrregues. Per tant, el camp més gran serà el corresponent a la càrrega de l’esquerra perquè és més gran. Llavors, dibuixam esqE

d’una certa longitud i dreE una mica més petit. El vector camp total totE l’obtenim aplicant la regla del paral·lelogram. d) Les distàncies al quadrat de les càrregues al punt són una doble que l’altra, sent la més llunyana la de l’esquerra. Ara bé, la càrrega de l’esquerra és més gran. Però, més del doble? L’enunciat no ens ho diu. Ara bé, si ens serveix de GuiA la qüestió següent, aleshores la relació és 4 3 1.33» ). Això fa que dreE tingui una intensitat més gran que esqE .

Llavors, dibuixam dreE d’una certa longitud i esqE d’una

longitud menor. El vector camp total totE l’obtenim aplicant la regla del paral·lelogram. e) Les distàncies al quadrat de les càrregues al punt són una cinc vegades l’altra, sent la més llunyana la de l’esquerra. Ara bé, la càrrega de l’esquerra és més gran. Però, amb el mateix criteri que abans la relació és 4 3 1.33» ). Això fa que dreE tingui una intensitat bastant més gran que esqE .


longitud bastant menor. El vector camp total totE l’obtenim aplicant la regla del paral·lelogram.

f) El punt assenyalat equidista de les càrregues. Per tant, el camp més gran serà el corresponent a la càrrega de l’esquerra perquè és més gran. Llavors, dibuixam esqE d’una

certa longitud i dreE una mica més petit. El vector camp total totE l’obtenim aplicant la regla del paral·lelogram. g) Les distàncies al quadrat de les càrregues al punt són una cinc vegades l’altra, sent la més llunyana la de l’esquerra. Ara bé, la càrrega de l’esquerra és més gran. Però, amb el mateix criteri que abans la relació és 4 3 1.33» ). Això fa que dreE tingui una intensitat bastant més gran que esqE .


longitud bastant menor. El vector camp total totE l’obtenim aplicant la regla del paral·lelogram. h) El punt assenyalat equidista de les càrregues. Per tant, el camp més gran serà el corresponent a la càrrega de l’esquerra perquè és més gran. Llavors, dibuixam esqE d’una

certa longitud i dreE una mica més petit. El vector camp total totE l’obtenim aplicant la regla del paral·lelogram.

Calcula amb la llei de Coulomb el camp elèctric total i la seva intensitat en

cada un dels punts negres dels casos del problema anterior usant esq 4 nCq = i

dre 3 nCq = suposant que el quadrat tingui 1 m de costat.

Solució: Abans de començar recorda que:

i) El mòdul del camp elèctric creat per una càrrega puntual Q en un punt situat a una distancia r de Q ve donat per:

2

K QE

r=

sent K la constant de Coulomb. ii) La unitat SI del camp elèctric és el N C . També pots usar V m .

iii) El camp elèctric és una magnitud vectorial. Has de fer servir els dibuixos de la qüestió 24 per a les direccions i sentits dels vectors camps elèctrics. a) Les intensitats dels camps esqE i dreE en el punt assenyalat valen respectivament

9 9

esq 2

9 9

dre 2

9 10 4 10144 N C

0.59 10 3 10

108 N C0.5

E

E

-

-

´ ⋅ ´= =

´ ⋅ ´= =


esq, esq,

dre, dre,

144 N C 0 N C108 N C 0 N C

x y

x y

E EE E

=- ==+ =


36 N C0 N C

x

y

EE

=-=

o bé ( 36, 0) N C= -E

I el seu mòdul

2 2 36 N Cx yE E E= + =

b) Les intensitats dels camps esqE i dreE en el punt assenyalat valen respectivament

9 9

esq 2

9 9

dre 2

9 10 4 1036 N C

19 10 3 10

13.5 N C( 2)

E

E

-

-

´ ⋅ ´= =

´ ⋅ ´= =


esq, esq,

dre, dre,

0 N C 36 N C13.5cos(315 ) 9.546 N C 13.5sin(315 ) 9.546 N C

x y

x y

E EE E

= =-= = = =-


9.546 N C45.55 N C

x

y

EE

=

=- o bé (9.546, 45.55) N C= -E

I el seu mòdul

2 2 46.54 N Cx yE E E= + =

c) Les intensitats dels camps esqE i dreE en el punt assenyalat valen respectivament

9 9

esq 2

9 9

dre 2

9 10 4 1028.8 N C

( 5 2)

9 10 3 1021.6 N C

( 5 2)

E

E

-

-

´ ⋅ ´= =

´ ⋅ ´= =


1 2 1esq, esq,5 2 5 2

1 2 1dre, dre,5 2 5 2

28.8 12.88 N C 28.8 25.76 N C

21.6 9.66 N C 21.6 19.32 N C

x y

x y

E E

E E

=- =- =- =-

=+ = =- =-


3.22 N C45.08 N C

x

y

EE

=-

=- o bé ( 3.22, 45.08) N C= - -E

I el seu mòdul

2 2 45.19 N Cx yE E E= + =

d) Les intensitats dels camps esqE i dreE en el punt assenyalat valen respectivament

9 9

esq 2

9 9

dre 2

9 10 4 1018 N C

( 2)

9 10 3 1027 N C

1

E

E

-

-

´ ⋅ ´= =

´ ⋅ ´= =


esq, esq,

dre, dre,

18cos(225 ) 12.73 N C 18sin(225 ) 12.73 N C0 N C 27 N C

x y

x y

E EE E

= =- = =-

= =-


12.73 N C39.73 N C

x

y

EE

=-

=- o bé ( 12.73, 39.73) N C= - -E

I el seu mòdul

2 2 46.54 N Cx yE E E= + =

e) Les intensitats dels camps esqE i dreE en el punt assenyalat valen respectivament

9 9

esq 2

9 9

dre 2

9 10 4 1028.8 N C

( 5 2)

9 10 3 10108 N C

(1 2)

E

E

-

-

´ ⋅ ´= =

´ ⋅ ´= =


1 21esq, esq,5 2 5 2

dre, dre,

28.8 25.76 N C 28.8 12.88 N C

0 N C 108 N C

x y

x y

E E

E E

=- = = =

= =-


25.76 N C95.12 N C

x

y

EE

==-

o bé (25.76, 95.12) N C= -E

I el seu mòdul

2 2 98.55 N Cx yE E E= + =

f) Les intensitats dels camps esqE i dreE en el punt assenyalat valen respectivament

9 9

esq 2

9 9

dre 2

9 10 4 1072 N C

( 2 2)

9 10 3 1054 N C

( 2 2)

E

E

-

-

´ ⋅ ´= =

´ ⋅ ´= =


esq, esq,

dre, dre,

72cos(45 ) 50.91 N C 72sin(45 ) 50.91 N C54cos(315 ) 38.18 N C 54sin(315 ) 38.18 N C

x y

x y

E EE E

= = = == = = =-


89.09 N C12.73 N C

x

y

EE

==

o bé (89.09, 12.73) N C=E

I el seu mòdul

2 2 89.99 N Cx yE E E= + =

g) Les intensitats dels camps esqE i dreE en el punt assenyalat valen respectivament

9 9

esq 2

9 9

dre 2

9 10 4 1028.8 N C

( 5 2)

9 10 3 10108 N C

(1 2)

E

E

-

-

´ ⋅ ´= =

´ ⋅ ´= =


1 21esq, esq,5 2 5 2

dre, dre,

28.8 25.76 N C 28.8 12.88 N C

0 N C 108 N C

x y

x y

E E

E E

=- = = =

= =


25.76 N C120.9 N C

x

y

EE

==

o bé (25.76, 120.9) N C=E

I el seu mòdul

2 2 123.6 N Cx yE E E= + =

h) Les intensitats dels camps esqE i dreE en el punt assenyalat valen respectivament

9 9

esq 2

9 9

dre 2

9 10 4 1072 N C

( 2 2)

9 10 3 1054 N C

( 2 2)

E

E

-

-

´ ⋅ ´= =

´ ⋅ ´= =


esq, esq,

dre, dre,

72cos(45 ) 50.91 N C 72sin(45 ) 50.91 N C54cos(135 ) 38.18 N C 54sin(135 ) 38.18 N C

x y

x y

E EE E

= = = == =- = =


12.73 N C89.09 N C

x

y

EE

==

o bé (12.73, 89.09) N C=E

I el seu mòdul

2 2 89.99 N Cx yE E E= + =


Calcula el potencial elèctric en el punt negre de cada una de les configuracions del problema 24 usant les dades del problema 25. Solució: Abans de començar recorda que:

i) El potencial elèctric creat per una càrrega puntual Q en un punt situat a una distancia r de Q ve donat per:

KQ

Vr

=

on s’ha agafat l’origen a l’infinit com és habitual.

ii) La unitat SI del potencial elèctric és el V (volt) equivalent a J C . iii) El potencial elèctric és una magnitud escalar.

a) Els potencials elèctrics en el punt negre valen respectivament

9 9

esq

9 9

dre

9 10 ( 4 10 )72 V

0.59 10 ( 3 10 )

54 V0.5

V

V

-

-

´ ⋅ - ´= =-

´ ⋅ - ´= =-

I el potencial total

esq dre 72 54 126 VV V V= + =- - =-

b) Els potencials elèctrics en el punt negre valen respectivament

9 9

esq

9 9

dre

9 10 ( 4 10 )36 V

19 10 ( 3 10 )

19.09 V2

V

V

-

-

´ ⋅ - ´= =-

´ ⋅ - ´= =


esq dre 36 19.09 55.09 VV V V= + =- - =-

En relació amb el camp elèctric creat per un conjunt discret de càrregues bidimensional, ser capaç de calcular el potencial elèctric en qualsevol punt del pla de les càrregues.

c) Els potencials elèctrics en el punt negre valen respectivament

9 9

esq

9 9

dre

9 10 ( 4 10 )32.2 V

5 2

9 10 ( 3 10 )24.15 V

5 2

V

V

-

-

´ ⋅ - ´= =-

´ ⋅ - ´= =-


esq dre 32.2 24.15 56.35 VV V V= + =- - =-

d) Els potencials elèctrics en el punt negre valen respectivament

9 9

esq

9 9

dre

9 10 ( 4 10 )25.46 V

29 10 ( 3 10 )

27 V1

V

V

-

-

´ ⋅ - ´= =-

´ ⋅ - ´= =-


esq dre 25.46 27 52.46 VV V V= + =- - =-

e) Els potencials elèctrics en el punt negre valen respectivament

9 9

esq

9 9

dre

9 10 4 1032.2 V

5 2

9 10 ( 3 10 )54 V

1 2

V

V

-

-

´ ⋅ ´= =

´ ⋅ - ´= =-


esq dre 32.2 54 21.8 VV V V= + = - =-

f) Els potencials elèctrics en el punt negre valen respectivament

9 9

esq

9 9

dre

9 10 4 1050.91 V

2 2

9 10 ( 3 10 )38.18 V

2 2

V

V

-

-

´ ⋅ ´= =

´ ⋅ - ´= =-


esq dre 50.91 38.18 12.73 VV V V= + = - =

g) Els potencials elèctrics en el punt negre valen respectivament

9 9

esq

9 9

dre

9 10 4 1032.2 V

5 2

9 10 3 1054 V

1 2

V

V

-

-

´ ⋅ ´= =

´ ⋅ ´= =


esq dre 32.2 54 86.2 VV V V= + = + =

h) Els potencials elèctrics en el punt negre valen respectivament

9 9

esq

9 9

dre

9 10 4 1050.91 V

2 2

9 10 3 1038.18 V

2 2

V

V

-

-

´ ⋅ ´= =

´ ⋅ ´= =


esq dre 50.91 38.18 89.09 VV V V= + = + =


Quatre partícules de càrrega q iguals es mouen dins un camp elèctric uniforme amb la velocitat inicial mostrada a la figura. Dibuixa la trajectòria de les partícules de forma qualitativament correcta si la massa es pot negligir i a) 0q< ; b) 0q> . Solució: Abans de començar recorda que:

i) L’acceleració contant a què es troba sotmesa una càrrega q en moviment dins un camp elèctric uniforme E és

qm= Ea

ii) El moviment de càrregues dins un camp elèctric uniforme és anàleg al moviment de projectils dins un camp gravitatori uniforme. ii.1) Una càrrega situada en repòs dins un camp elèctric uniforme o bé

llançada dins el camp amb una velocitat inicial que tingui la mateixa direcció que el camp seguirà una trajectòria rectilínia en la direcció de la força (acceleració) que actuï sobre ella.

ii.2) Una càrrega llançada dins un camp elèctric uniforme amb una velocitat inicial que tingui direcció diferent a la del camp descriurà una trajectòria parabòlica.

a) Si 0q< , l’acceleració s’oposa al camp i apunta cap a baix. La trajectòria serà parabòlica en els casos 1, 2 i 4 i rectilínia en el cas 3. En tots els casos el component vertical de la velocitat ha d’acabar apuntant en la direcció i sentit de l’acceleració; és a dir, cap a baix.

Saber calcular la trajectòria d’una partícula carregada creuant un camp elèctric uniforme a partir de qualsevol velocitat inicial. El pes de la partícula es podrà ometre.

a) Si 0q> , l’acceleració té el sentit del camp i apunta cap a dalt. La trajectòria serà parabòlica en els casos 1, 2 i 4 i rectilínia en el cas 3. En tots els casos el component vertical de la velocitat ha d’acabar apuntant en la direcció i sentit de l’acceleració; és a dir, cap a dalt.

Un feix d’electrons creua l’espai entre dues plaques metàl·liques horitzontals i paral·leles com en el tub de raigs catòdics d’un oscil·loscopi. S’estableix una diferència de potencial entre les plaques per crear un camp elèctric entre elles de 20000 N/C dirigit cap a dalt. Encara que el camp creat per totes dues plaques no estaria confinat només a l’espai entre elles com a la figura, suposa que el camp elèctric és uniforme i està confinat dins aquest espai. La suposició permet obtenir resultats aproximats de manera simplificada. a) Calcula la distància d’un electró a la línia central en sortir de l’espai entre les plaques si hi ha entrat amb una velocitat horitzontal 7

0 2 10v = ´ m/s. b) A quina distància del punt C impactarà l’electró? Indica si el punt d’impacte està per sobre o per sota de C. (Dades: Massa de l’electró: 31

e 9.11 10m -= ´ kg)

CE eix

4 cm 12 cm

Solució: a) Considerant l’eix x positiu cap a la dreta, coincidint amb l’eix de la figura, i l’eix y positiu vertical i cap a baix, un electró que es mogui a l’espai entre les plaques es trobarà sotmès a una acceleració vertical

19

e 15 231

e e

( 1.6 10 ) ( 20000)3.51 10 m s

9.11 10y y

y

F q Ea

m m

-

-

- ´ ⋅ -= = = = ´

´

Els components de la velocitat inicial d’aquest electró són

7

0 02 10 m s 0x yv v= ´ =

Les equacions del moviment corresponents a la trajectòria parabòlica descrita per l’electró a l’espai entre les plaques són respectivament

7

02 15 2 15 21 1

0 2 2

( ) 2 10( ) 3.51 10 1.76 10

x

y y

x t v t ty t v t a t t t

= = ´

= + = ⋅ ´ = ´

Per saber el temps que tarda l’electró en sortir de l’espai entre les plaques bastarà substituir 0.04 mx= a l’equació del moviment.

7

97

0.04 2 100.04

2 10 s2 10

t

t -

= ´

= = ´´

La distància de l’electró a la línia central en sortir de l’espai entre les plaques serà el valor de y corresponent a aquest temps; és a dir,

15 9 2 31.76 10 (2 10 ) 7.04 10 m 7.04 mmy - -= ´ ⋅ ´ = ´ =

b) A partir d’aquest instant, la trajectòria descrita per l’electró serà rectilínia (no tenim en compte el pes de l’electró. Això es pot fer atès que l’electró du una velocitat gran i per tant l’efecte del pes sobre la desviació de la trajectòria és menyspreable)

CE eix

4 cm

P

La velocitat de l’electró fora de les plaques serà constant i igual a

7 15 9 602 10 m s 0 3.51 10 2 10 7.02 10 m sx y y yv v v a t -= ´ = + = + ´ ⋅ ´ = ´

Atès que la trajectòria fora de les plaques és rectilínia, les distàncies recorregudes horitzontalment i verticalment fora de les plaques satisfan la relació

6

7

7.02 100.351

2 10y

x

vyx v

´= = =

´

Després de recórrer 12 cm horitzontalment, haurà recorregut verticalment

20.351 0.12 4.21 10 m 4.21 cmy -= ⋅ = ´ =

Finalment, el punt d’impacte P estarà per sota del punt C i a una distància

( , ) 0.704 4.21 4.92 cmd P C = + =

a) Repeteix l’exercici anterior suposant que l’electró entra en el camp entre les plaques amb la mateixa velocitat 7

0 2 10v = ´ m/s però amb la direcció inclinada 10.3º cap a dalt respecte de l’horitzontal. b) Repeteix el càlcul amb una inclinació de 19º també cap a dalt. c) Indica quina forma té la trajectòria de l’electró dins el camp i en el trajecte fins a la pantalla. Dibuixa les trajectòries de forma qualitativament correcta. Solució:

a) L’acceleració a què es trobarà sotmès l’electró és la mateixa que abans. Ara bé, els components de la velocitat inicial d’aquest electró seran

7 70

7 60

2 10 cos( 10.3 ) 1.97 10 m s

2 10 sin( 10.3 ) 3.58 10 m sx

y

v

v

= ´ - = ´

= ´ - =- ´


7

02 6 15 21

0 2

( ) 1.97 10( ) 3.58 10 1.76 10

x

y y


= = ´= + =- ´ + ´


7

97

0.04 1.97 100.04

2.03 10 s1.97 10

t

t -

= ´

= = ´´


6 9 15 9 2 53.58 10 2.03 10 1.76 10 (2.03 10 ) 1.46 10 m 0.0146 mmy - - -=- ´ ⋅ ´ + ´ ⋅ ´ =- ´ =-

A partir d’aquest instant, la trajectòria descrita per l’electró serà rectilínia (no tenim en compte el pes de l’electró. Això es pot fer atès que l’electró du una velocitat gran i per tant l’efecte del pes sobre la desviació de la trajectòria és menyspreable)

C

4 cmP


7

6 15 9 60

1.97 10 m s

3.58 10 3.51 10 2.03 10 3.55 10 m sx

y y y

v

v v a t -

= ´

= + =- ´ + ´ ⋅ ´ = ´


6

7

3.55 100.180

1.97 10y

x

vyx v

´= = =

´

Després de recórrer 12 cm horitzontalment, haurà recorregut verticalment

20.180 0.12 2.16 10 m 2.16 cmy -= ⋅ = ´ =


( , ) 0.00146 2.16 2.16 cmd P C =- + =

b) Com abans, l’acceleració a què es trobarà sotmès l’electró és la mateixa. Ara bé, els components de la velocitat inicial d’aquest electró seran

7 7

0

7 60

2 10 cos( 19 ) 1.89 10 m s

2 10 sin( 19 ) 6.51 10 m sx

y

v

v

= ´ - = ´

= ´ - =- ´


7

02 6 15 21

0 2

( ) 1.89 10( ) 6.51 10 1.76 10

x

y y


= = ´= + =- ´ + ´


7

97

0.04 1.89 100.04

2.12 10 s1.89 10

t

t -

= ´

= = ´´


6 9 15 9 2 36.51 10 2.12 10 1.76 10 (2.12 10 ) 5.89 10 m 5.89 mmy - - -=- ´ ⋅ ´ + ´ ⋅ ´ =- ´ =-

A partir d’aquest instant, la trajectòria descrita per l’electró serà rectilínia (no tenim en compte el pes de l’electró. Això es pot fer atès que l’electró du una velocitat gran i per tant l’efecte del pes sobre la desviació de la trajectòria és menyspreable)

C

4 cm

P


7

6 15 9 50

1.89 10 m s

6.51 10 3.51 10 2.12 10 9.31 10 m sx

y y y

v

v v a t -

= ´

= + =- ´ + ´ ⋅ ´ = ´


5

7

9.31 100.0493

1.89 10y

x

vyx v

´= = =

´

Després de recórrer 12 cm horitzontalment, haurà recorregut verticalment i cap a baix

30.0493 0.12 5.91 10 m 5.91 mmy -= ⋅ = ´ =


( , ) 5.89 5.91 0.02 mmd P C =- + =

c) Com ja s’ha explicat, la trajectòria dins el camp elèctric uniforme és parabòlic i fora del camp rectilínia. Vegeu les figures.

3. Magnetisme

Un fil recte amb corrent elèctric creua perpendicularment la quadrícula de la figura adjunta. Dibuixa la direcció i sentit del camp magnètic en cada un dels punts marcats sobre la quadrícula. Per dibuixar la longitud dels vectors que representen el camp utilitza l’expressió que dóna la variació del camp magnètic amb la distància i pren com a referència la longitud de la fletxa ja dibuixada. Solució: Abans de començar recorda que:

i) La direcció i sentit del camp magnètic creat per un fil amb corrent elèctric ve donada per la regla de la ma dreta. Si el polze es col·loca seguint la intensitat del corrent, llavors la rotació dels dits ens indica la direcció i el sentit del camp. Dit d’una altra manera; si dibuixem una circumferència amb centre el fil, el camp és tangent a la circumferència.

ii) El mòdul del camp magnètic creat per un fil és inversament proporcional a la distància segons

0( )2

IB r

rmp

=

Per als corrents següents, conèixer les característiques de les línies de camp magnètic a les regions indicades i l’expressió que dóna la intensitat: i) corrent rectilini llarg, a prop del fil; ii) corrent en un anell, en el centre; iii) corrent en una bobina circular, sobre l’eix. Saber aplicar el principi de superposició en el cas de diversos corrents rectilinis paral·lels continguts en un pla. Conèixer que el camp magnètic té mòdul, direcció i sentit, i saber indicar-ho per expressar els resultats. Dada: m p - -= ´ 7 2

0 4 10 NA

Per poder dibuixar la longitud dels vectors camp a cadascun dels punts haurem d’establir una relació entre el camp dibuixat i el que hem de dibuixar. Es tracta de relacionar dos camps a dos punts diferents. A distàncies r1 i r2 els camps valen

01

12I

Br

mp

= 02

22I

Br

mp

=

Dividint ambdues expressions ens queda

0

2 2

01

1

2

2

IB r

IBr

mpmp

=

I simplificant 2 1

1 2

B rB r

=

Si el camp dibuixat és 1 1B = (una unitat de longitud sobre la quadrícula) i 1 2r = (dues unitats de distància sobre la quadrícula), aleshores ens queda

22

2B

r=

Les distàncies a les quals es troben els sis punts marcats i els mòduls del camp en aquests punts són respectivament:

a) b) c) d) e) f) r2 1 2 2 2 2 3 2 2B2 2 2 2 / 2 2 2 / 3 2 / 2

Per dibuixar els camps fem servir una circumferència el radi de la qual sigui la distància del fil al punt. a) El camp té dues unitats de longitud

b) i d) El camp té 2 unitats de longitud; és a dir, la seva mida serà la diagonal d’un quadrat de la quadrícula. La inclinació perpendicular al diàmetre.

c) i f) El camp té 2 / 2 unitats de longitud; és a dir, la seva mida serà la meitat de la diagonal d’un quadrat de la quadrícula. La inclinació perpendicular al diàmetre.

e) El camp té una longitud de 2/3 del costat del quadrat

Dos fils rectes paral·lels llargs, separats 1 m, transporten corrents elèctrics d’intensitats I1 i I2. El camp magnètic en el punt mitjà entre els dos fils val

74 10-´ T quan els corrents tenen el mateix sentit, i 720 10-´ T quan tenen sentits contraris. a) Quin és el valor de les intensitats? b) Indica en quin cas es pot anul·lar el camp magnètic en un punt entre els dos fils i calcula on està el punt. Solució: a) Dibuixarem en primer lloc els dos fils en cadascuna de les dues situacions descrites. Els dibuixarem perpendicularment al full de manera que podrem dibuixar els vectors camp magnètic sobre el full. A l’hora de dibuixar els sentits dels corrents cal fixar-se que quan l’enunciat diu “mateix sentit” ens permet escollir ambdós cap a dintre del paper o ambdós cap a fora; i quan ens diu “sentits contraris” ens permet escollir quin dels dos entra i quin surt. Aquí agafarem tots dos sortint, i després sortint a l’esquerra i entrant a la dreta. Dibuixarem també els camps magnètics creats per cada fil en cada cas, fent servir la regla de la mà dreta (polze amb la intensitat, rotació dels dits indicant el sentit del camp)

Hem considerat que la intensitat més gran és I1 (si fossin iguals el camp seria nul en el primer cas). En aquestes condicions, podem plantejar el sistema d’equacions

71 2

71 2

4 10

20 10

B B

B B

-

-

- = ´

+ = ´

No substitueixis els camps magnètics per les seves expressions en funció de les intensitats. El sistema d’equacions al què arribaràs no és tan senzill com aquest. Quan l’hagis resolt i tinguis els camps, ja substituiràs a l’expressió del camp per trobar les intensitats.

Aquest sistema el resoldrem de manera senzilla pel mètode de reducció, sumant les equacions

71 2

71 2

71

71

4 10

20 10

2 24 10

12 10 T

B B

B B

B

B

-

-

-

-

- = ´

+ = ´

= ´

= ´

L’altre camp val 7

2 8 10 TB -= ´ .

Finalment, tenint en compte que el camp magnètic creat per un fil recte molt llarg que porta un corrent I és

0( )2

IB r

rmp

=

bastarà substituir les dues intensitats amb 0.5 mr = . És a dir,

77 1

1

1

4 1012 10

2 0.512 4

3 A

I

II

pp

-- ´

´ =⋅

==

77 2

2

2

4 108 10

2 0.58 4

2 A

I

II

pp

-- ´

´ =⋅

==

b) A partir dels dos dibuixos que hem fet, fixa’t que en el segon cas els dos camps tenen el mateix sentit. Això no només passa en el punt mitjà. Passaria a qualsevol punt del segment que uneix els fils. És clar doncs que no es podria anul·lar el camp magnètic quan els corrents tenen sentits oposats. En canvi, si passa això en el primer cas. Farem un dibuix del què succeeix amb els camps creats per cada fil sobre el segment que els uneix. Recorda que el camp disminueix amb la distància. En el dibuix s’observa com a la dreta del punt mitjà existeix un punt on el camp magnètic B1 que a l’esquerra era més gran que B2 passa a ser més petit que aquest. De manera que hi haurà un punt on els dos camps són iguals. On està situat aquest punt? Li direm x a la distància a la que està situat aquest punt del primer fil i 1 x- i obligarem a què s’anul·li el camp, és a dir 1 2 0+ =B B . Aquesta condició la podem escriure com 1 2B B= , que s’ha de satisfer perquè el camp sigui nul

1 2

0 1 0 2

35

3 21

2 2 (1 )

3(1 ) 23 3 2

3 5

0.6 m

x x

B BI Ix x

x xx x

x

x

m mp p

-

=

=-

=

- =- =

=

= =

El camp s’anul·la doncs a un punt situat a 0.6 m del primer conductor.

Considera quatre fils rectes, llargs i paral·lels, continguts en un pla, equidistants d metres, que porten la mateixa intensitat de corrent elèctric. Calcula el camp magnètic a causa dels quatre fils en el punt mitjà entre els dos fils interiors considerant que els corrents a cada fil tenen els sentits següents: a) ;ÆÆÆÆ b) ;ÆÆ∞∞ c) ;∞ÆÆ∞ d) .∞Æ∞Æ Solució: a) Considera els corrents de la figura (cas: ÆÆÆÆ)

Dibuixa el camp magnètic creat per cada fil en el punt mitjà entre els dos fils interiors i enumera’ls de l’1 al 4 d’esquerra a dreta,

Els vectors no tenen la mateixa longitud perquè els camps no tenen el mateix mòdul. Atès que les intensitats són iguals, els camps més petits són creats pels fils situats més lluny. Els mòduls d’aquests camps són

0 0 01

0 02

0 03

0 0 04

2 ( / 2) 2 (3 / 2) 3

2 ( / 2)

2 ( / 2)

2 ( / 2) 2 (3 / 2) 3

I I IB

d d d dI I

Bd d

I IB

d dI I I

Bd d d d

m m mp p pm m

p pm m

p pm m m

p p p

= = =+

= =

= =

= = =+

I el camp total

0 0 0 0t 1 2 3 4 0

3 3I I I I

B B B B Bd d d d

m m m mp p p p

= + - - = + - - =

b) Considera ara els corrents de la figura (cas: ÆÆ∞∞ )


Els mòduls d’aquests camps són els mateixos que abans, fixa’t que només han canviat alguns dels seus sentits. I el camp total és, en aquest cas

0 0 0 0 0 01 1t 1 2 3 4 3 3

8( 1 1 )

3 3 3I I I I I I

B B B B Bd d d d d d

m m m m m mp p p p p p

= + + + = + + + = + + + =

en la direcció i sentit dels quatre camps.

c) Considera ara els corrents de la figura (cas: ∞ÆÆ∞ )



0 0 0 0t 2 4 1 3 0

3 3I I I I

B B B B Bd d d d

m m m mp p p p

= + - - = + - - =

d) Considera ara els corrents de la figura (cas: ∞Æ∞Æ )



0 0 0 0 0 01 1t 2 3 1 4 3 3

4(1 1 )

3 3 3I I I I I I

B B B B Bd d d d d d

m m m m m mp p p p p p

= + - - = + - - = + - - =

en la direcció i sentit dels camps B2 i B3.

Per un anell de coure circula un corrent elèctric de 500 mA. Quin és el radi de l’anell si el camp magnètic en el seu centre té el mateix mòdul que el camp magnètic a 1 mm d’n fil recte que condueix 500 mA? Solució: Abans de començar recorda que:

i) El camp magnètic creat per un anell de radi R que condueix un corrent I ve donat per l’expressió:

0anell 2

IB

Rm

=

ii) El el camp magnètic creat per un fil que condueix un corrent I varia amb la distància al fil segons

0fil 2

IB

rmp

=

Si els camps creats per l’anell i pel fil són iguals i, a més, condueixen la mateixa intensitat, bastarà igualar les dues expressions anteriors, simplificar i aïllar R:

anell fil

0 0

2 21 1

1 3.14 mm

B BI I

R r

R rR r

m mp

pp p

=

=

=

= = ⋅ =

Determina el camp magnètic en el centre de dues espires circulars concèntriques de radis R i 1.5R per les quals circula un corrent elèctric d’intensitat I a) en el mateix sentit; b) en sentit contrari. Presenta un esquema o dibuix per mostrar el vector camp. Solució: Abans de començar recorda que:

i) El camp elèctric en el centre d’una espira és perpendicular a l’espira. ii) El seu sentit ve donat per la regla de la ma dreta. Col·locant la rotació dels dits

en el sentit de la intensitat, el dit polze assenyala el sentit del camp magnètic en el centre de l’espira.

iii) El camp en el centre d’una espira de radi R que porta un corrent I és 0

espira 2I

BR

m=

a) Considera els corrents de la figura

Dibuixa el camp magnètic creat per cada espira en el centre

Els mòduls d’aquests camps són

01

0 02

2

2(1.5 ) 3

IB

RI I

BR R

m

m m

=

= =

I el camp total

0 0 0 0t 1 2

1 12 3

5( )

2 3 6I I I I

B B BR R R R

m m m m= + = + = + =

en el sentit dels dos camps. Si decideixes que els dos corrents vagin en sentit horari, el camp magnètic al centre serà el mateix però dirigit cap a dintre del full en lloc de cap a fora.

b) Considera els corrents de la figura

Dibuixa el camp magnètic creat per cada espira en el centre

Els mòduls d’aquests camps són els mateixos que abans. I el camp total val ara

0 0 0 0t 1 2

1 12 3( )

2 3 6I I I I

B B BR R R R

m m m m= - = - = - =

en el sentit de B1, perquè és el més gran (per això ja hem restat així). Si decideixes que els corrent que vagi en sentit horari sigui l’altra, el camp magnètic al centre serà el mateix però dirigit cap a dintre del full en lloc de cap a fora.

4. Vibracions i ones

El seient d’un vehicle vibra i la seva posició vertical canvia respecte d’un punt fix segons ( ) 0.05sin(357 )z t t= (z i t en unitats del SI). a) Determina els cinc pri-mers instants en què els valors absoluts de z, la velocitat i l’acceleració són: i) zero; ii) màxims. b) Repeteix l’exercici amb ( ) 0.05cos(357 )z t t= . c) Quin canvi suposa en la descripció del moviment harmònic simple usar la funció sinus o la funció cosinus? Solució: Abans de començar recorda que:

i) En un moviment harmònic simple l’elongació i l’acceleració són proporcionals ( 2

za zw=- ); això vol dir que s’anul·len en el mateixos instants i prenen els seus valors màxims també en els mateixos instants. Per altre costat, la velocitat és màxima quan l’elongació i l’acceleració s’anul·len, i s’anul·la en els instants en què l’elongació i l’acceleració són màximes en valor absolut. A la figura adjunta podem observar com a funció del temps les corbes ( ),z t ( )zv t i ( ).za t L’escala vertical no és la mateixa a les tres.

ii) Aquí tens algunes equacions trigonomètriques interessants amb les seves solucions (si les resols amb la calculadora, només et donarà una solució.)

sin( ) 00, , 2 ,

amb

xxx n n

p pp

==

= Î

3 52 2 2

12

sin( ) 1

, , ,

( ) amb

x

x

x n n

p pp

p

=

=

= + Î

Conèixer l’expressió que dóna l’elongació d’un objecte amb moviment harmònic simple i saber calcular la velocitat i l’acceleració a partir d’ella. Saber determinar els instants en què els seus valors són extrems.

a) i) Aplicam la condició 0z =

0.05sin(357 ) 0

sin(357 ) 0

357 amb

amb 357

t

t

t n nn

t n

pp

=

=

= Î

= Î

No són possibles els valors de t negatius. Els cinc primers valors són

n 0 1 2 3 4 t (s) 0 38.80 10-´ 317.6 10-´ 326.4 10-´ 335.2 10-´

Aquests instants corresponen també a instants on el valor absolut de la velocitat és màxim i el valor absolut de l’acceleració és nul. També és possible arribar a aquests valors a partir de l’instant que s’obté resolent l’equació amb la calculadora. Així s’obté:

0.05sin(357 ) 0

sin(357 ) 0

357 0 (calculadora)0 s

t

t

tt

=

=

==

Recordant la gràfica de l’elongació, el següents instants on 0z = els l’obtenim sumant (o restant si fos

necessari) mig període. En el nostre cas el període del moviment harmònic simple és 32 2

17.6 10 s357

Tp pw

-= = = ´

Per tant, els instants posteriors a 0 st= són: 3 31

23 32

23 33

23 34

2

0 17.6 10 8.80 10 s

0 17.6 10 17.6 10 s

0 17.6 10 26.4 10 s

0 17.6 10 35.2 10 s

t

t

t

t

- -

- -

- -

- -

= + ⋅ ´ = ´

= + ⋅ ´ = ´

= + ⋅ ´ = ´

= + ⋅ ´ = ´

a) ii) La condició valor absolut de z màxim és en aquest cas 0.05 m,z = atès que la

funció sinus pren valors màxims 1 . Així

1212

0.05sin(357 ) 0.05

sin(357 ) 1

357 ( ) amb

( ) amb

357

t

t

t n n

nt n

p

p

=

=

= + Î

+= Î


n 0 1 2 3 4 t (s) 34.40 10-´ 313.2 10-´ 322.0 10-´ 330.8 10-´ 339.6 10-´

Aquests instants corresponen també a instants on el valor absolut de la velocitat és nul i el valor absolut de l’acceleració és màxim. També és possible arribar a aquests valors a partir dels instants on 0z = . Recordant la gràfica de l’elongació,

el instants on 1z = els l’obtenim sumant (o restant si fos necessari) un quart del període als instants on

0z = , o bé agafant el punt mitjà entre dos instants consecutius amb 0z = . En el nostre cas un quart del

període del moviment harmònic simple és 3

317.6 10 s4.40 10 s

4 4T -

-´= = ´

Per tant, els instants on 1z = són: 3 3

3 3 3

3 3 3

3 3 3

3 3 3

0 4.40 10 4.40 10 s

8.80 10 4.40 10 13.2 10 s

17.6 10 4.40 10 22.0 10 s

26.4 10 4.40 10 30.8 10 s

35.2 10 4.4 10 39.6 10 s

t

t

t

t

t

- -

- - -

- - -

- - -

- - -

= + ´ = ´

= ´ + ´ = ´

= ´ + ´ = ´

= ´ + ´ = ´

= ´ + ´ = ´

b) Què passa quan canviam la funció ( ) 0.05sin(357 )z t t= per ( ) 0.05cos(357 )z t t= ? Les funcions sinus i cosinus satisfan

2 2sin ( ) cos ( ) 1x x+ = equivalent a

2 2sin ( ) 1 cos ( )x x= - D’aquesta relació és senzill veure que

2cos( ) 0 sin ( ) 1 sin( ) 1 sin( ) 1x x x x= = = =

i també que 2cos( ) 1 sin ( ) 0 sin( ) 0 sin( ) 0x x x x= = = =

En conclusió: els instants on abans s’anul·lava l’elongació es corresponen amb els instants on ara serà màxima en valor absolut i, en canvi, els instants on abans era màxima l’elongació en valor absoluts, ara serà nul·la. c) Com bé diu la GuiA, usar la funció sinus o cosinus per descriure el moviment harmònic simple d’un cos suposa únicament un canvi en la fase, concretament un canvi en la fase de 2p , ja que

2cos( ) sin( )x x p= +

Aquest canvi de fase s’interpreta com un canvi en l’origen del temps, és a dir, un canvia en l’instant en què comença a transcórrer el temps.

El desplaçament lateral de la punta d’una antena a causa del vent és

( ) 0.12sin(6 )x t t= (x en m i t en s). a) Determina els cinc primers instants en què els valors absoluts de x, la velocitat i l’acceleració són: i) zero; ii) màxims. Solució: i) Aplicam la condició 0x =

0.12sin(6 ) 0

sin(6 ) 0

6 amb

amb 6

t

t

t n nn

t n

pp

=

=

= Î

= Î


n 0 1 2 3 4 t (s) 0 0.524 1.05 1.57 2.09

Aquests instants corresponen també a instants on el valor absolut de la velocitat és màxim i el valor absolut de l’acceleració és nul. a) ii) La condició valor absolut de x màxim és en aquest cas 0.12 m,x = atès que

la funció sinus pren valors màxims 1 . Així

1212

0.12sin(6 ) 0.12

sin(6 ) 1

6 ( ) amb

( ) amb

6

t

t

t n n

nt n

p

p

=

=

= + Î

+= Î


n 0 1 2 3 4 t (s) 0.262 0.785 1.31 1.83 2.36

Aquests instants corresponen també a instants on el valor absolut de la velocitat és nul i el valor absolut de l’acceleració és màxim.


a) Quina és l’expressió que dóna el període de les oscil·lacions d’una massa suspesa d’una molla? b) Quina és l’expressió que dóna el període de les oscil·lacions de petita amplitud d’un pèndol simple? Solució: a) El període de les oscil·lacions d’una massa m suspesa d’una molla de constant elàstica k ve donat per l’expressió:

2 mTk

p=

b) El període de les oscil·lacions de petita amplitud d’un pèndol simple és:

2Tg

p=

Sent la longitud del pèndol simple i g l’acceleració de la gravetat en el lloc on es fa oscil·lar el pèndol.

Saber que el desplaçament vertical d’una massa suspesa d’una molla i el desplaçament horitzontal de les oscil·lacions de petita amplitud d’un pèndol simple són moviments harmònics simples. Conèixer les expressions que donen els períodes del moviment en funció dels paràmetres físics del sistema (massa i constant elàstica; longitud i acceleració de la gravetat) Saber resoldre exercicis usant aquestes expressions.

Se suspèn una molla del sostre i el seu pes fa que s’estiri una mica. De la part inferior de la molla es penja una esfera de 300 g, la molla s’allarga 3.10 cm i el centre de l’esfera queda a 22 cm del terra. a) Escriu l’equació del moviment del centre de l’esfera després que s’estiri 5 cm cap a baix i es deixi anar. Presenta un esquema que mostri l’origen de coordenades del sistema de referència que utilitzes i el sentit que prens com a positiu. b) Quin és el període d’oscil·lació de l’esfera? c) Quin seria el període d’oscil·lació si l’esfera s’hagués estirat 6 cm en lloc de 5 cm? d) En la situació de l’apartat a), quina massa hauria de tenir l’esfera que es pengés de la molla perquè el període fos 0.44 s? Solució: A la figura adjunta podem observar un esquema de la situació descrita a l’enunciat juntament amb els tres possibles sistemes de referència a escollir a.1), a.2) i a.3) i els seus respectius orígens de coordenades. En penjar l’esfera de massa 300m= g, la molla sofreix un allargament 3.10 cmD = fins que s’equilibren el pes de l’esfera (dirigit verticalment i cap a baix) i la força elàstica (o força recuperadora) que fa la molla (dirigida verticalment i cap a dalt). Recordant que equilibri dinàmic vol dir

0F =å , aleshores elas 0p F+ = , o el que

és el mateix, igualant els mòduls,

elas

0.3 9.8194.9 N m

0.031

p Fmg k

mgk

=

= D⋅

= = =D

Ara bastarà recordar la relació entre freqüència angular, constant elàstica de la molla i la massa de l’esfera

94.90.3 17.8 rad sk

mw= = =

L’amplitud del moviment harmònic simple que descriu l’esfera val

5 cm 0.05 mA= =

Finalment, escrivim l’equació del moviment harmònic simple segons el sistema de referència escollit

a.1) Si prenem aquest sistema de referència, és a dir, l’eix z positiu cap a baix i l’origen a la posició d’equilibri de l’esfera, la posició inicial d’aquesta és

(0) 0.05 mz =

Prenent 0 0( ) cos( ) 0.05cos(17.8 )z t A t tw j j= + = + , arribam a la fase inicial

0

0

0

0

0.05 0.05cos(17.8 0 )1 cos( )

arccos(1)

0 rad

jj

jj

= ⋅ +==

=

Finalment, l’equació del moviment del centre de l’esfera és

( ) 0.05cos(17.8 ) SIz t t=

a.2) Si prenem aquest sistema de referència, és a dir, l’eix z positiu cap a dalt i l’origen a la posició d’equilibri de l’esfera, la posició inicial d’aquesta és

(0) 0.05 mz =-

Prenent 0 0( ) cos( ) 0.05cos(17.8 )z t A t tw j j= + = + , arribam a la fase inicial

0

0

0

0

0.05 0.05cos(17.8 0 )1 cos( )

arccos( 1)

rad

jj

jj p

- = ⋅ +- =

= -

=

L’equació del moviment del centre de l’esfera és ara

( ) 0.05cos(17.8 ) SIz t t p= +

a.3) Si prenem aquest sistema de referència, és a dir, l’eix z positiu cap a dalt i l’origen al terra, l’equació coincideix exactament amb l’equació anterior però li hem de sumar 22 cm, és a dir, la distància que hi ha del terra a la posició d’equilibri

( ) 0.22 0.05cos(17.8 ) SIz t t p= + +

O bé, canviam el signe a l’equació a.1), perquè els eixos escollits a a.1) i a.3) tenen sentits oposats i després sumam els mateixos 22 cm que és la diferència entre la posició d’equilibri i el terra.

( ) 0.22 0.05cos(17.8 ) SIz t t= - També podem recordar la igualtat trigonomètrica cos( ) cos( )cos( ) sin( )sin( )A B A B A B+ = - i desenvolupar cos(17.8 ) cos(17.8 )cos( ) sin(17.8 )sin( ) cos(17.8 )t t t tp p p+ = - =- .

b) El període d’oscil·lació de l’esfera enganxada a la molla és

molla 2 mTk

p=

Substituint les dades obtenim

molla0.32 2 0.353 s

94.9mTk

p p= = =

c) Atès que el període de l’esfera no depèn de l’amplitud de les oscil·lacions, si s’hagués estirat 6 cm en lloc de 5 cm el període no hagués canviat. d) Si volem que molla 0.44 sT = , la massa que haurà de penjar serà

2

0.44 294.9

0.4494.92

0.0794.90.0049 94.9 0.465 kg 465 g

m

m

m

m

p

p

=

=

=

= ⋅ = =

Una esfera de 450 g se suspèn d’un fil per crear un pèndol simple de 0.15 m. Una altra esfera igual s’enganxa a una molla de constant elàstica 21.7k= N/m i es col·loca sobre una taula de fricció negligible. a) És possible aconseguir que l’esfera del pèndol oscil·li estant sempre sobre la vertical que passa per l’esfera subjecta a la molla? b) Seria possible amb alguna altra molla? Si la teva resposta és sí, dóna la constant elàstica. Solució: a) Per tal que l’esfera del pèndol oscil·li estant sempre sobre la vertical que passa per l’esfera subjecta a la molla, els dos sistemes hauran de tenir el mateix període. Fent servir les dades de l’enunciat, s’obté

molla0.4502 2 0.905 s21.7

mTk

p p= = =

pèndol0.152 2 0.777 s9.81

Tg

p p= = =

Per tant, no és possible aconseguir-ho perquè no tenen el mateix període. b) Canviant la molla, i obligant a que se satisfaci molla 0.777 sT = , podrem saber quina constant elàstica haurà de tenir la nova molla

2

0.4500.777 2

0.777 0.4502

0.4500.124

0.45029.4 N/m

0.0153

k

k

k

k

p

p

=

=

=

= =

Quin seria a Mart el període de les oscil·lacions de petita amplitud d’un pèndol simple que a la Terra oscil·la amb un període d’1.4 s? ( 2

Mart 3.7 m/sg = ) Solució: El període de les oscil·lacions de petita amplitud d’un pèndol simple és:

2Tg

p=

sent la longitud del pèndol simple i g l’acceleració de la gravetat en el lloc on es fa oscil·lar el pèndol. Si no canvia, podem relacionar el període a la Terra i a Mart segons

Mart

Terra

2TT

p=

Mart

2

g

p Terra

Mart

Terra

gg

g

=

Substituint ens queda

Mart

Mart

9.811.63

1.4 3.71.63 1.4 2.28 s

T

T

= =

= ⋅ =

També seria correcte plantejar el problema calculant la longitud del pèndol amb el període a la Terra

TerraTerra

2

2

1.4 29.81

1.49.812

0.2239.810.0497 9.81 0.487 m

Tg

p

p

p

=

=

=

=

= ⋅ =

Finalment, el període d’aquest pèndol a Mart valdria

MartMart

0.4872 2 2.28 s3.7

Tg

p p= = =

El període d’un pèndol simple és d’1.84 s. La longitud de la corda es modifica i el nou període és d’1.95 s. Quina és la longitud original del pèndol simple i quant s’ha modificat la longitud? Indica explícitament si s’ha escurçat o allargat. Solució: El període de les oscil·lacions de petita amplitud d’un pèndol simple és:

2Tg

p=

sent la longitud del pèndol simple i g l’acceleració de la gravetat en el lloc on es fa oscil·lar el pèndol. Amb el primer període s’obté una longitud

2

1.84 29.81

1.849.812

0.2939.810.0858 9.81 0.841 m 84.1 cm

p

p

=

=

=

= ⋅ = =

Atès que el nou període és major, la longitud del pèndol ha de ser més gran; per tant, s’ha allargat. Però vegem-ho. Amb el nou període obtenim una longitud

2

1.95 29.81

1.959.812

0.319.810.0963 9.81 0.945 m 94.5 cm

p

p

¢=

¢=

¢=

¢ = ⋅ = =

La variació que ha sofert la longitud del fil és

94.5 84.1 10.4 cm¢D = - = - = Un resultat positiu implica un allargament del pèndol; un resultat negatiu hagués implicat un escurçament del pèndol.


Quan es va intentar assolir la velocitat de 400 km/h amb un cotxe de Fórmula 1 en una planícia a prop de Salt Lake City el 2006, l’intent es va quedar a 397.481 km/h. L’efecte Doppler a aquestes velocitats és notable. La freqüència del so captat per un micròfon col·locat al terra del trajecte del cotxe seria diferent de la freqüència del so emès pel cotxe, sent la relació

so

so cotxe emesacaptadav

v vf f= ⋅

usant-se + quan el cotxe s’allunya i - quan s’apropa. Quina freqüència hauria captat el micròfon si el cotxe de Fórmula 1 emetés un xiulet d’1 kHz en el seu intent de batre la plusmarca de velocitat? Fes el càlcul quan el cotxe s’apropa i quan s’allunya i suposa que la velocitat del so és 345 m/s. Solució: La velocitat màxima assolida pel cotxe, en m/s és

1000 mkm 1 h m3600 s sh 1 km397.481 110.4⋅ ⋅ =

La freqüència captada pel micròfon quan el cotxe s’apropa a aquesta velocitat emetent un xiulet d’1 kHz és

captada345

345 110.4 1000 1471 Hzf -= ⋅ =

Mentre que la freqüència captada pel micròfon quan el cotxe s’allunya a aquesta velocitat emetent un xiulet d’1 kHz és

captada345

345 110.4 1000 757.6 Hzf += ⋅ =

Conèixer la relació entre to i freqüència d’un so pur. Saber explicar què és l’efecte Doppler en el so. Saber usar la fórmula del canvi de fre- qüència percebut per a un so procedent d’una font en moviment lineal.

CUn so pur de 440 Hz correspon a la nota la i un so de 392 Hz a la nota sol. Usant l’expressió del canvi de freqüència donada a l’exercici anterior, contesta: a) Una font que emetés la nota la, hauria d’allunyar-se o apropar-se de nosaltres perquè ens semblés una nota sol? b) Calcula la velocitat respecte d’una persona que hauria de tenir la font que emet un la perquè ella la percebés com un sol. ( so 343 m/sv = ) Solució: a) Quan s’apropa la font, la freqüència captada ve donada per

soso cotxe emesacaptadav

v vf f-= ⋅

Mentre que quan s’allunya ve donada per so

so cotxe emesacaptadav

v vf f+= ⋅

Queda clar, que el denominador és més gran en aquest segon cas i, per tant, la freqüència captada serà sempre més petita que la freqüència emesa quan la font s’allunyi. Així doncs si volem que un la (440 Hz) sembli un sol (392 Hz) la font s’ha d’allunyar. b) Substituint les dades obtenim

5

5

cotxe

cotxe

cotxe

cotxe

343343

1.509 10343

1.509 10392

392 440

392

343 384.9

384.9 343 41.9 m/s

v

v

v

v

+

´+

´

= ⋅

=

+ = =

= - =

que expressada en km/h és (l’enunciat no ho demana però la GuiA dóna el resultat en km/h)

3600 sm 1 km kms 1000 m 1 h h41.9 150.8⋅ ⋅ =

5. Òptica

En les figures adjuntes es mostra un raig de llum que arriba a la superfície entre dos medis de diferent índex de refracció. Dibuixa de manera qualitativament correcta la trajectòria del raig en cada cas fins que arribi al límit de la zona quadrada, suposant que el medi blanc té índex de refracció més petit que l’altre.


i) Quan un raig travessa d’un medi material a un altre es desvia de la seva trajectòria, exceptuant el cas en què un raig arribi perpendicularment a la superfície de separació dels dos medis. Aquest fenomen s’anomena refracció.

ii) La llei de Snell relaciona els angles d’incidència i de refracció amb els índexs de refracció dels medis a través dels quals viatja el raig

i i k ksin sinn nq q=

on els angles es mesuren respecte la normal, que és la perpendicular pel punt d’incidència a la superfície de separació dels dos medis.

Saber aplicar la llei de Snell qualitativament per decidir si un raig de llum s’apropa o allunya de la normal. Saber traçar de manera qualitativa la tra- jectòria d’un raig a través de vidres i prismes de secció triangular i relacionar-lo amb el fenomen de dispersió de la llum

a) Suposant, tal i com diu l’enunciat, que el medi blanc té índex de refracció més petit que l’altre, deduïm que en aquest cas se satisfà i kn n< . De la llei de Snell


podem deduir, fent servir la condició i kn n<

i ksin sinq q>

(Si no veus com s’arriba a la desigualtat anterior, fixa’t: 2 6 3 4⋅ = ⋅

Estàs d’acord? Ambdues multiplicacions donen com a resultat 12. Ara bé, el primer element de la dreta, 3, és major que el primer element de l’esquerra, 2. En conseqüència, el segon element de la dreta, 4, ha de ser més petit que el segon de l’esquerra, 6, perquè és pugui satisfer la igualtat. Passa el mateix amb els índexs i els sinus.)

Per altre costat, iq i kq són angles compresos entre 0 i 90º i la funció sinus és creixent en aquest interval, aleshores

i kq q>

(Si no ho veus, fixa’t amb el següent exemple numèric:

0 15 30 45 60 75 90sin 0.0 0.26 0.5 0.71 0.87 0.97 1.0

qq

Estàs d’acord? A mesura que augmenta l’angle, augmenta també el valor del sinus de l’angle. Per tant si el sinus d’un angle és més gran que el sinus d’un altre angle, el primer angle és major que el segon)

La conclusió és que l’angle de refracció és més petit que el d’incidència; és a dir, el raig s’acosta a la normal.

b) Suposant, tal i com diu l’enunciat, que el medi blanc té índex de refracció més petit que l’altre, deduïm que en aquest cas se satisfà i kn n> . De la llei de Snell


podem deduir, fent servir la condició i kn n>

i ksin sinq q<


i kq q<

La conclusió és que l’angle de refracció és més gran que el d’incidència; és a dir, el raig s’allunya de la normal.

c) Suposant, tal i com diu l’enunciat, que el medi blanc té índex de refracció més petit que l’altre, deduïm que en aquest cas se satisfà i kn n< . De la llei de Snell


podem deduir, fent servir la condició i kn n<

i ksin sinq q>


i kq q>

La conclusió és que l’angle de refracció és més petit que el d’incidència; és a dir, el raig s’acosta a la normal. Ara el raig travessa del medi de color al medi blanc. L’angle de refracció passa a ser l’angle d’incidència, fixa’t al dibuix. La llei de Snell dirà ara

ik k ksin sinn nq q¢=

Que comparada amb la primera, ens diu

ikq q¢ =

L’angle de la segona refracció coincideix amb el d’incidència a la normal 1. És a dir, després de travessar el medi de color i passar novament al medi blanc el raig surt paral·lel però desviat una certa distància que depèn del gruix del medi de color. d) Aquesta situació és exactament la mateixa que el cas anterior (si no te’n adones, gira el full i ho veuràs). Per tant, el raig farà el mateix que hem descrit a c).

Un raig blau i un raig vermell segueixen la mateixa línia fins a la superfície d’un vidre i es refracten com es mostra a la figura. El vidre és del tipus normal en el qual l’índex de refracció és més petit com més gran és la longitud d’ona. a) Quin nom rep el fenomen pel qual els raigs de cada color se separen en la refracció? b) És el raig blau o el raig vermell, el que segueix la trajectòria per sobre de l’altre? Solució: Abans de començar, recorda que:

i) La llum visible és una petita banda de l’espectre electromagnètic que pot ser detectada per l’ull humà. En el buit, compren longituds d’ona que van aproximadament dels 400 nm fins als 700 nm.

ii) Quan es fa passar llum a traves d’un vidre apareix el fenomen de la dispersió de la llum. Aquest fenomen consisteix en la separació dels colors fonamentals.

iii) Per ordre creixent de longituds d’ona els colors fonamentals són:

(400 nm) violat blau verd groc taronja vermell (700 nm) a) Dispersió. b) Si el vidre és del tipus normal, és a dir, l’índex de refracció del vidre és més petit com més gran és la longitud d’ona, aleshores

vermell blaun n<

La llei de Snell, aplicada al raig vermell pren la forma (suposam que viatja per l’aire; amb aire 1n = )

i vermell vermell1 sin sinnq q⋅ =

mentre que la llei de Snell aplicada al raig blau pren la forma

i blau blau1 sin sinnq q⋅ =

Atès que els dos membres de l’esquerra de les dues igualtats coincideixen, també han de coincidir els de la dreta. És a dir,

vermell vermell blau blausin sinn nq q=

Ara bé, si vermell blaun n< , aleshores

vermell blausin sinq q> i finalment

vermell blauq q>

En conclusió, el raig vermell té un angle de refracció més gran i, per tant, s’allunya més de la normal que el raig blau.

La figura mostra la trajectòria d’un raig de color vermell a través d’un prisma. Dibuixa la trajectòria que seguiria un raig de color blau de manera qualitativament correcta suposant que l’índex de refracció del vidre és més petit com més gran és la longitud d’ona. Solució: En primer lloc, ens fixarem amb el que li passarà a un raig de qualsevol color en travessar el prisma, l’índex de refracció del qual és ( )n l . Sigui i1q l’angle d’incidència del raig respecte a la normal 1 i sigui k1q l’angle amb què es refracta el raig quan entre dins el prisma. Aquests dos angles estan relacionats per la llei de Snell

i1 k1sin sin (1)nq q=

Sigui i2 k1( )q a q= - l’angle d’incidència del raig respecte a la normal 2 i sigui k2q l’angle amb què es refracta el raig quan surt del prisma. Aquests dos angles estan relacionats per la llei de Snell

i2 k2sin sin (2)n q q=

Atès que i1q és el mateix pels dos raigs, de (1) obtenim

blau k1,blau vermell k1, vermellsin sinn nq q=

Com què vermell blaul l> aleshores vermell blaun n< i, en conseqüència, k1, vermell k1,blausin sinq q> , o bé

k1, vermell k1,blauq q>

Quan els raigs arriben a l’altra cara del prisma, se satisfà

i2, vermell i2,blauq q<

Els angles interiors del triangle són: k1q , i2q i 180 .a- Si sumats donen

180º, aleshores i2 k1q a q= - ; per tant si augmenta k1q disminueix i2.q

De (2) queda clar que i2k2q q> per a qualsevol color ja que ( ) 1n l > i, per tant, i2k2sin sinq q> . És a dir, en sortir del prisma tots els colors s’allunyen de la normal. Ara bé, per longituds d’ona petites es té n gran i també

i2q gran. Això vol dir que el raig que tindrà k2q més gran és el que tingui l més petita. Per tant, el raig que s’allunyarà més de la normal 2 serà el blau.

5. Òptica

Un raig de llum incideix des de l’aire sobre una làmina de vidre d’índex de refracció 1.6n= formant un angle de 38º amb la normal. Quin angle forma el raig refractat amb la normal? Solució: Abans de començar recorda que:

i) Quan un raig travessa d’un medi material a un altre es desvia de la seva trajectòria, exceptuant el cas en què un raig arribi perpendicularment a la superfície de separació dels dos medis. Aquest fenomen s’anomena refracció.

ii) La llei de Snell relaciona els angles d’incidència i de refracció amb els índexs de refracció dels medis a través dels quals viatja el raig


on els angles es mesuren respecte la normal, que és la perpendicular pel punt d’incidència a la superfície de separació dels dos medis.

Substituint a la llei de Snell i 1n = , i 38q = i k 1.6n = s’obté

i i k k

k

k

k

k

k

sin sin

1 sin(38 ) 1.6 sin0.616 1.6 sin0.385 sin

arcsin(0.385)

22.6

n nq q

qq

qq

q

=

⋅ = ⋅

= ⋅

=

=

=

Conèixer la llei de Snell i saber aplicar-la per determinar la trajectòria d’un raig de llum en refractar-se. Saber aplicar la llei de Snell per calcular l’angle límit. Saber que un raig que incideix amb un angle superior a l’angle límit es reflecteix totalment.

Un raig de llum que forma un angle de 41º amb la normal incideix des de l’aire sobre una làmina de vidre. Quin és l’índex de refracció del vidre si l’angle refractat és de 32º? Solució: Substituint a la llei de Snell i 1n = , i 41q = i k 32q = s’obté

i i k k

k

k

k0.6560.530

sin sin

1 sin(41 ) sin(32 )0.656 0.530

1.24

n n

nn

n

q q=

⋅ =

= ⋅

= =

Un raig de llum vermella monocromàtica incideix sobre una de les cares d’una làmina de vidre de cares planes i paral·leles amb un angle de 28º respecte la normal. La làmina té un gruix de 5 cm i un índex de refracció 1.5. a) Dibuixa de manera esquemàtica la trajectòria del raig a través de la làmina. b) Calcula l’angle entre el raig i la normal després de la primera refracció. c) Calcula l’angle entre la normal i el raig en sortir de la làmina. Solució: a) En refractar-se per primera vegada la llum s’acosta a la normal (l’índex de refracció del vidre és més gran que el de l’aire) i en refractar-se per segona vegada s’allunya d’aquesta (contrari al cas anterior) de tal manera que el raig de llum surt paral·lel al raig incident. L’explicació justificada d’aquesta trajectòria la tens a la qüestió 66 c). b) Substituint a la llei de Snell i 1n = , i 28q = i k 1.5n = s’obté

i i k k

k

k

k

k

k

sin sin

1 sin(28 ) 1.5 sin0.469 1.5 sin0.313 sin

arcsin(0.313)

18.2

n nq q

qq

qq

q

=

⋅ = ⋅

= ⋅

=

=

=

c) L’explicació de l’apartat a) deixa clar que l’angle que formi el raig en sortir de la làmina ha de ser 28º; recorda que hem dit que surt paral·lel. De totes maneres el podem calcular substituint a la llei de Snell i 1.5n = , i 18.2q = i k 1n = . Així s’obté

i i k k

k

k

k

k

sin sin

1.5 sin(18.2 ) 1 sin0.469 sin

arcsin(0.469)

28

n nq q

qq

q

q

=

⋅ = ⋅

=

=

=

Determina l’angle límit d’un raig que passa del medi 1 al medi 2, o indica si no existeix, en els casos següents. a) aigua (1.33) aire; b) aigua oli (1.43); c) aire aigua; d) oli aigua. Solució: Abans de començar recorda que:

i) Anomenem angle límit l’angle d’incidència màxim d’un raig sobre la superfície de separació de dos medis, 1 i 2, de manera que s’observi el raig refractat dins el medi 2; és a dir, l’angle d’incidència que dóna lloc a un angle de refracció 2 90q = . Per angles més grans que l’angle límit té lloc la reflexió

total del raig. Substituint a la llei de Snell 2 90q = podem obtenir l’angle límit en funció dels índexs de refracció dels medis 1 i 2

2

1

2

1

1 1 2 2

1 2límit

1 2límit

límit

límit

sin sin

sin sin(90 )

sin

sin

arcsin( )

nn

nn

n n

n nn n

q q

qq

q

q

=

=

=

=

=

D’aquesta expressió se’n dedueix que i.1) Atès que la funció sinus pren valors, en valor absolut, entre 0 i 1,

aleshores s’ha de satisfer 2 1n n< . És a dir, només es pot produir reflexió total en el cas que el medi 1 tingui índex de refracció major que el 2.

La figura adjunta representa el fenomen de la reflexió total de manera il·lustrada. Raigs de llum arriben amb diferents angles d’incidència sobre la superfície que separa el medi 1 del medi 2, aquest amb índex de refracció més petit. A mesura que l’angle d’incidència creix, l’angle de refracció també creix fins que s’arriba a l’angle límit i l’angle de refracció és 90º. Per angles d’incidència més grans, només s’observa el raig reflectit, no existeix el raig refractat. (El color del raig reflectit ens indica la seva intensitat)

a) Substituint 1 1.33n = i 2 1n = s’obté

límit1

1.33arcsin( ) 48.75q = =

b) No existeix. c) No existeix. d) Substituint 1 1.43n = i 2 1.33n = s’obté

límit1.331.43arcsin( ) 68.45q = =

A la figura es mostra l’esquema d’un prisma de vidre amb índex de refracció 1.6n= . Dibuixa la trajectòria del raig dins el prisma i a la sortida. Solució: 1) El raig indicat a la figura arriba a la cara del prisma formant un angle de 0º amb la normal. En aquest cas no és necessari aplicar la llei de Snell ja que l’angle de refracció és directament 0º. De manera que el raig entra dins el prisma sense sofrir cap desviació. 2) Ara, el raig arriba a la cara del prisma amb un angle d’incidència de 45º respecte la normal. Això és així perquè els angles del prisma són 45º, 45º i 90º. En aquestes condicions cal determinar si el raig: 2.1) sortirà del prisma per refracció, allunyant-se de la normal perquè l’índex de refracció fora del prisma és més petit que el del prisma o bé 2.2) sofrirà reflexió total perquè l’angle d’incidència, 45º, és més gran que l’angle límit. Per donar resposta bastarà calcular l’angle límit. Amb

1 1.6n = i 2 1n = s’obté

límit1

1.6arcsin( ) 38.68q = =

Per tant, tindrà lloc la reflexió total del raig. 3) De manera anàloga, el raig sofrirà novament reflexió total en arribar a la cara del prisma; l’angle d’incidència torna ser 45º i, per tant, més gran que l’angle límit. 4) El raig arriba a la cara del prisma amb un angle d’incidència de 0º i, per tant, l’angle de refracció serà també 0º. Així, el raig sortirà sense desviar-se i paral·lel al raig inicial.

5. Òptica

Determina les imatges de l’exercici 75 amb l’equació de Descartes i la de l’augment transversal. Deixa el resultat en funció del valor absolut del radi del mirall. Solució: Abans de començar recorda que:

i) L’equació de Descartes per a miralls esfèrics que es fa servir a la GuiA és 1 1 2q p R+ =

sent R el radi del mirall esfèric i p i q les distàncies objecte i imatge. ii) I la de l’augment transversal és

TqpM =-

iii) El criteri de signes que es fa servir és el següent: R negatiu per miralls còncaus (el centre de curvatura està a l’esquerra del mirall) i positiu per convexos (el centre està a la dreta del mirall), p negatiu quan l’objecte és a l’esquerra del mirall i q negatiu si la imatge és a l’esquerra del mirall i positiu si és a la dreta.

El radi del mirall còncau és negatiu, així que farem servir R R=- per treballar

amb el mòdul del radi.

a) Amb 43

Rp -= ens queda 1 1 2

31 24

31 24

8 3 514 4

45

R R

R R

R R

R

q p R

q

q

q

q

- -

-

- + -

+ =

+ =

= +

= =

=-

I l’augment transversal 4 /5 3

54 /3R

T RqpM -

-=- =- =-

Conèixer l’equació de Descartes i l’equació de l’augment transversal per a miralls esfèrics i saber aplicar-les a la resolució de problemes.

b) Amb p R=- ens queda

1 1 2

1 1 2

1 2 1

1 1

R R

R R

R

q p R

q

q

q

q R

- -

-

-

+ =

+ =

= +

=

=-

I l’augment transversal

1RT R

qpM -

-=- =- =-

c) Amb 34

Rp -= ens queda

3

3 3

3

1 1 2

1 4 23

1 2 4

6 41 2

2

R R

R R

R R

R

q p R

q

q

q

q

- -

-

- + -

+ =

+ =

= +

= =

=-

I l’augment transversal 3 /23 /4 2R

T RqpM -

-=- =- =-

d) Amb 4Rp -= ens queda

1 1 2

1 4 2

1 2 4

1 2

2

R R

R R

R

R

q p R

q

q

q

q

- -

-

+ =

+ =

= +

=

=

I l’augment transversal /2/4 2R

T RqpM -=- =- =

Ara senzillament escrivim les solucions tal i com es presenten a la GuiA

a) b) c) d) q/|R| -4/5 -1 -3/2 1/2

TM -3/5 -1 -2 2

El radi del mirall convex és positiu, així que farem servir R R= per treballar amb

el mòdul del radi.

e.1) Amb 43

Rp -= ens queda 1 1 2

31 24

31 24

8 31 114 4

411

R R

R R

R R

R

q p R

q

q

q

q

-

+

+ =

+ =

= +

= =

=


114 /3R

T RqpM -=- =- =

e.2) Amb p R=- ens queda

1 1 2

1 1 2

1 2 1

31

3

R R

R R

R

R

q p R

q

q

q

q

-

+ =

+ =

= +

=

=

I l’augment transversal /3 1

3R

T RqpM -=- =- =

e.3) Amb 34

Rp -= ens queda

3

3 3

3

1 1 2

1 4 23

1 2 4

6 4 101

10

R R

R R

R R

R

q p R

q

q

q

q

-

+

+ =

+ =

= +

= =

=

I l’augment transversal 3 /10 4 2

5103 /4R

T RqpM -=- =- = =

e.4) Amb 4Rp -= ens queda

1 1 2

1 4 2

1 2 4

61

6

R R

R R

R

R

q p R

q

q

q

q

-

+ =

+ =

= +

=

=

I l’augment transversal /6 4 2

6 3/4R

T RqpM -=- =- = =


e.1) e.2) e.3) e.4) q/|R| 4/11 1/3 3/10 1/6

TM 3/11 1/3 2/5 2/3

5. Òptica

A la figura es mostren les seccions de set lents. a) Quines d’aquestes són convergents i quines divergents? b) Els radis de les dues cares de les lents són, en valor absolut, i en centímetres: (10, 10) ; (5, 10) ; (10, 12) ; (6, 10) ; ( , 10)¥ ; ( ,8)¥ ; (11, 5) . Quina és la distancia focal de les lents primes amb aquestes formes construïdes amb vidre d’índex de refracció 1.5? Expressa el resultat en cm i en diòptries. Solució: Abans de començar, recorda que:

i) Si consideres que la llum viatja d’esquerra a dreta llavors 1R és el radi de la cara a la qual arriba la llum en primer lloc i 2R és el radi de la cara a la qual arriba la llum en segon lloc.

ii) Els signes dels radis de curvatura de les cares de la lent que farem servir són: > 0R si el centre de curvatura de la cara està situat a la dreta de la cara.

< 0R si el centre de curvatura de la lent està situat a l’esquerra de la cara.

Saber que les lents primes es classifiquen en convergents i divergents. Saber l’equació del constructor de lents i saber calcular la distància focal a partir dels radis i l’índex de refracció o, donada la distància focal, determinar un paràmetre desconegut de la lent. Saber relacionar potència i distància focal d’una lent.

a) Les lents convergents són més gruixudes del centre que de la perifèria, mentre que les lents divergents són més gruixudes de la perifèria que del centre Així tenim

Lents convergents Lents divergents

b) La fórmula del constructor de lents

= - -1 2

1 11 ( 1)( )R Rf n

ens permet obtenir la distància focal f a partir dels radis de curvatura de la lent i de l’índex de refracció del material del qual està feta la lent. En el nostre cas per a totes les lents es té =1.5n , i les distàncies focals que s’obtenen de substituir els radis de curvatura amb els seus signes són: i) =1 10 cmR , =-2 10 cmR

-= - - = =1 1 2 110 10 10 10

1 (1.5 1)( ) 0.5( )f

=10 cmf ii) =1 5 cmR , =2 10 cmR

= - - = =1 1 1 15 10 10 20

1 (1.5 1)( ) 0.5( )f

= 20 cmf

iii) =-1 10 cmR , =2 12 cmR

-= - - = - =-1 1 11 1110 12 60 120

1 (1.5 1)( ) 0.5( )f

=- =-12011 10.91 cmf

iv) =-1 6 cmR , =-2 10 cmR

- -= - - = - =-1 1 1 16 10 15 30

1 (1.5 1)( ) 0.5( )f

=-30 cmf v) =¥1R , =2 10 cmR

¥= - - = - =-1 1 1 110 10 20

1 (1.5 1)( ) 0.5( )f

=-20 cmf

vi) =¥1R , =-2 8 cmR

¥ -= - - = =1 1 1 18 8 16

1 (1.5 1)( ) 0.5( )f

=16 cmf vii) =-1 11 cmR , =-2 5 cmR

- -= - - = =6 31 111 5 55 55

1 (1.5 1)( ) 0.5( )f

= =553 18.3 cmf

Per expressar el resultats anteriors en diòptries bastarà recordar que la potencia en diòptries és l’invers de la distancia focal expressada en metres:

= 1(m)(dpt) fP

i) = =1

0.1 10 dptP

ii) = =10.2 5 dptP

iii) -= -=10.1091 9.166 dptP

iv) -= -=10.3 3.333 dptP

v) -= =-10.2 5 dptP

vi) = =10.16 6.25 dptP

vii) = =10.183 5.464 dptP

5. Òptica

Davant una lent convergent prima de distància focal f es col·loca un misto perpendicular a l’eix òptic i amb l’extrem de fusta sobre l’eix. Determina gràficament les imatges del misto si es col·loca a les distàncies de la lent següents: a) 3f/2; b) f/2; c) f/4. Solució: Abans de començar, recorda que:

i) El primer que has de fer és tenir clar quin diagrama obtindràs. Amb lents convergents s’obtenen fonamentalment dos tipus de diagrames: i.1) quan l’objecte està a l’esquerra del punt focal objecte (Fo) la imatge està

a la dreta de la lent. i.2) quan l’objecte està a la dreta del punt focal objecte (Fo) la imatge està a

l’esquerra de la lent. Si l’objecte es troba just al punt focal objecte la imatge es formaria a l’infinit i no se’ns tallarien les prolongacions dels raigs refractats.

ii) Dibuixa l’eix òptic i col·loca la lent de manera que: 1) puguis situar els dos punts focals i 2) la imatge no es formi fora del full. Fer divisions de l’eix òptic. Després dibuixa el punt focal objecte (Fo) a l’esquerra i el punt focal imatge (Fi) a la dreta, ambdós a una distància de la lent igual a la distància focal. Finalment col·loca l’objecte. La mida de l’objecte va en relació a l’augment. Amb lents convergents, les imatges són més grans que els objectes sempre que

2 0f p- < < . En aquests casos no facis l’objecte molt gran. iii) Els raigs principals que es fan servir per determinar gràficament les imatges

formades per una lent prima convergent són: iii.1) Sortint de la part superior de l’objecte es dibuixa paral·lelament a l’eix

òptic fins arribar a la lent. Llavors es refracta passant pel punt focal imatge (Fi) de la lent.

iii.2) Sortint de la part superior de l’objecte i passant pel centre de la lent la travessa sense desviar-se.

iii.3) Sortint de la part superior de l’objecte passant pel punt focal objecte (si Fo està a la dreta de l’objecte) o com si en vingués (si Fo està a l’esquerra de l’objecte) arribarà a la lent i es refractarà paral·lelament a l’eix òptic.

Ser capaç de traçar els tres raigs principals que permeten obtenir gràfi- cament la imatge d’un objecte real creada per lents primes convergents i divergents en l’aproximació paraxial, distingint clarament les trajectòries dels raigs reflec- tits de les línies auxiliars. Conèixer si la imatge és real o virtual.

Si els tres raigs s’han tallat, el punt de tall representa la vertical sobre la qual es forma la imatge i aquesta s’anomena imatge real. Si no s’han tallat, el que has de fer és dibuixar tres raigs auxiliars perllongant els raigs refractats cap a l’esquerra. La imatge així obtinguda s’anomena imatge virtual. Si està orientada com l’objecte és dreta i, en cas contrari, invertida.

a) Dibuixa el primer raig,

Dibuixa el segon raig,

Dibuixa el tercer raig,

Finalment, dibuixa la imatge sobre la vertical del punt de tall dels tres raigs que has traçat.

b) Dibuixa el primer raig,



Com que els tres raigs refractats no s’han tallat, caldrà dibuixar tres raigs auxiliars perllongant els tres raigs refractats cap a l’esquerra de la lent. Finalment, dibuixa la imatge sobre la vertical del punt de tall dels tres raigs auxiliars que has traçat.

c) Dibuixa el primer raig,



Com que els tres raigs refractats no s’han tallat, caldrà dibuixar tres raigs auxiliars perllongant els tres raigs refractats cap a l’esquerra de la lent. Finalment, dibuixa la imatge sobre la vertical del punt de tall dels tres raigs auxiliars que has traçat.

Repeteix l’exercici anterior amb una lent divergent. Solució: Abans de començar, recorda que:

i) El primer que has de fer és tenir clar quin diagrama obtindràs. Amb lents divergents s’obté fonamentalment un tipus de diagrama: i.1) la imatge està sempre a l’esquerra de la lent.

ii) Dibuixa l’eix òptic i col·loca la lent de manera que: 1) puguis situar els dos punts focals i 2) la imatge no es formi fora del full. Fer divisions de l’eix òptic. Després dibuixa el punt focal objecte (Fo) a la dreta i el punt focal imatge (Fi) a l’esquerra, ambdós a una distància de la lent igual a la distància focal. Finalment col·loca l’objecte. Dibuixa un objecte gran perquè les imatges formades per aquest tipus de lents són sempre més petites que els objectes.

iii) Els raigs principals que es fan servir per determinar gràficament les imatges formades per una lent prima convergent són: iii.1) Sortint de la part superior de l’objecte es dibuixa paral·lelament a l’eix

òptic fins arribar a la lent. Llavors es refracta com si vengués del punt focal imatge (Fi) de la lent.

iii.2) Sortint de la part superior de l’objecte i passant pel centre de la lent la travessa sense desviar-se.

iii.3) Sortint de la part superior de l’objecte com si anés al punt focal objecte arribarà a la lent i es refractarà paral·lelament a l’eix òptic.

Els tres raigs refractats no es tallen mai. El que has de fer és dibuixar els raigs auxiliars que necessitis perllongant els raigs refractats cap a l’esquerra. La imatge així obtinguda s’anomena imatge virtual i està orientada com l’objecte; és a dir, és dreta.

a) Dibuixa el primer raig,



Com que els tres raigs refractats no s’han tallat, caldrà dibuixar algun raig auxiliar perllongant raigs refractats cap a l’esquerra de la lent. En aquest cas basta perllongar el tercer raig (els altres dos ja els tens). Finalment, dibuixa la imatge sobre la vertical del punt de tall dels raigs auxiliars que has traçat.

b) Dibuixa el primer raig,




c) Dibuixa el primer raig

Dibuixa el segon raig

Dibuixa el tercer raig


5. Òptica

Davant una lent convergent de distància focal f, es col·loca un misto perpendicular a l’eix òptic i amb l’extrem de fusta sobre l’eix. Determina amb l’equació de descartes i la de l’augment transversal les imatges del misto col·locat a les distàncies de la lent següents: a) 2.5f; b) 1.5f; c) 0.75f; d) 0.5f. Deixa el resultat en funció de f. Solució: a) Amb 2.5p f=- ens queda

1 1 1

1 1 12.5

1 1 12.5

2.5 1 1.5 312.5 2.5 5

53

q p f

q f f

q f f

q f f f

fq

-

-

- =

- =

= -

= = =

=


32.5Tq fp fM -= = =-

b) Amb 1.5p f=- ens queda

1 1 1

1 1 11.5

1 1 11.5

1.5 1 0.51 11.5 1.5 3

3

q p f

q f f

q f f

q f f f

q f

-

-

- =

- =

= -

= = =

=


31.5 2T

q fp fM -= = =-

Conèixer l’equació de descartes i l’equació de l’augment transversal per a lents primes i saber aplicar-les a la resolució de problemes.

c) Amb 0.75p f=- ens queda

1 1 1

1 1 10.75

1 1 10.75

0.75 1 0.251 10.75 0.75 3

3

q p f

q f f

q f f

q f f f

q f

-

- - -

- =

- =

= -

= = =

=-


30.75 4T

q fp fM -

-= = =

d) Amb 0.5p f=- ens queda

1 1 1

1 1 10.5

1 1 10.5

0.5 1 0.51 10.5 0.5

q p f

q f f

q f f

q f f f

q f

-

- - -

- =

- =

= -

= = =

=-


0.5 2Tq fp fM -

-= = =


a) b) c) d) q/f 5/3 3 -3 -1

TM -2/3 -2 4 2

Repeteix l’exercici anterior considerant una lent divergent. Solució: Com que la focal d’una lent divergent és negativa, aleshores per treballar amb lletres i que quedin clars els signes farem servir el valor absolut. Així, la distància focal de la lent és f f=- i les distàncies de l’objecte a la lent també aniran

expressades en funció del valor absolut de la focal. a) Amb 2.5p f=- ens queda

1 1 1

1 1 12.5

1 1 12.5

2.5 3.5 71 12.5 2.5 2.5 5

57

f f

f f

f f f f

f

q p f

q

q

q

q

-

-

- -

- =

- =

= -

= - =- =-

=-


72.5f

T fqpM -

-= = =

b) Amb 1.5p f=- ens queda

3

3

1 1 1

1 1 11.5

1 1 11.5

1.5 2.5 51 11.5 1.5 1.5

5

f f

f f

f f f f

f

q p f

q

q

q

q

-

-

- -

- =

- =

= -

= - =- =-

=-


51.5f

T fqpM -

-= = =

c) Amb 0.75p f=- ens queda

0 3

3

1 1 1

1 1 10.75

1 1 10.75

0.75 1.75 71 1.75 0.75 0.75

7

f f

f f

f f f f

f

q p f

q

q

q

q

-

-

- -

- =

- =

= -

= - =- =-

=-


70.75f

T fqpM -

-= = =

d) Amb 0.5p f=- ens queda

0

1 1 1

1 1 10.5

1 1 10.5

0.5 1.5 31 1.5 0.5 0.5

3

f f

f f

f f f f

f

q p f

q

q

q

q

-

-

- -

- =

- =

= -

= - =- =-

=-

I l’augment transversal /3 2

30.5f

T fqpM -

-= = =


a) b) c) d) q/|f| -5/7 -3/5 -3/7 -1/3

TM 2/7 2/5 4/7 2/3

Una lent convergent crea una imatge virtual i augmentada 2.5 vegades d’un objecte col·locat a 4 cm d’ella. Quina relació hi haurà entre l’alçària de l’objecte i la de la seva imatge si l’objecte és col·loca a 8 cm de la lent? b) I si es col·loca a 8.9 cm? c) I a 5 cm? Indica si la imatge és real o virtual, dreta o invertida en tots els casos. Solució: La relació entre les alçàries de la imatge i l’objecte ve donada per l’augment. Per tal de conèixer l’augment necessitem les distàncies objecte i imatge, p i q, en cada un dels casos. I per determinar q a partir de p hem de conèixer la focal del la lent. Així, en primer lloc calcularem la focal i després les distàncies imatge i l’augment de cada cas. Amb 4 cmp=- i 2.5TM = (virtual implica dreta) ens queda

42.5

2.5 ( 4) 10 cm

Tqpq

M

q-

=

=

= ⋅ - =-

I l’equació de Descartes pren la forma

1 1 1

1 1 110 4

3 120

203 cm 6.67 cm

q p f

f

f

f

- -

- =

- =

=

= =

a) Amb 8 cmp=- i 20

3 cmf = , la imatge es forma ara a 1 1 1

31 18 20

31 120 8

31 120 8

1 140

40 cm

q p f

q

q

q

q

q

-

- =

- =

= -

= -

=

=

L’augment en aquest cas val 40

8 5TqpM -= = =-

La imatge és real ( 0q> ) invertida ( 0TM < ) i cinc vegades més gran.

b) Amb 8.9 cmp=- i 20

3 6.67 cmf = = , la imatge es forma ara a 1 1 1

1 1 18.9 6.67

1 1 16.67 8.9

1 0.0376

26.6 cm

q p f

q

q

q

q

-

- =

- =

= -

=

=

L’augment en aquest cas val 26.6

8.9 2.99TqpM -= = =-

La imatge és real ( 0q> ) invertida ( 0TM < ) i tres vegades més gran. c) Amb 5 cmp=- i 20

3 cmf = , la imatge es forma ara a 1 1 1

31 15 20

31 120 5

1 120

20 cm

q p f

q

q

q

q

-

- =

- =

= -

=-

=-

L’augment en aquest cas val 205 4T

qpM -

-= = =

La imatge és virtual ( 0q< ) dreta ( 0TM > ) i quatre vegades més gran.

5. Òptica

Una lent prima de 50 mm s’utilitza com a lupa per mirar un detall de la pell. a) A quina distancia de la pell s’ha de col·locar la lent perquè la imatge virtual es formi a 25 cm de la lent? b) Fes un diagrama de raigs per mostrar la formació de la imatge. Solució: a) Amb 50 mm 5 cmf = = i 25 cmq=- (negativa perquè la imatge és virtual, se forma a l’esquerra de la lent) ens queda

1 1 1

1 1 125 5

1 1 125 5

6 125

256 4.167 cm

q p f

p

p

p

p

-

-

- =

- =

- =

- =

=- =-

La cara s’ha de col·locar a 4.167 cm de la lent.

Conèixer l’us de les lents convergents com a lupes i objectius de càmeres fotogràfiques simples.

Per enfocar la imatge sobre el negatiu fotogràfic, al segle XIX s’utilitzaven càmeres de manxa. La lent objectiu es podia apropar i allunya del negatiu i la tela flexible no deixava entrar la llum. a) Troba la distància focal de la lent prima d’una càmera de manxa si el negatiu estava a 12.5 cm de la lent quan s’havia enfocat la cara d’una persona a 3 m de la lent. b) Es fotografia una persona d’1.65 m d’alçària a 12 m de la lent. Troba l’alçària de la imatge sobre el negatiu si s’ha enfocat correctament. c) Es fa una fotografia d’un quadre de 30 cm ´ 50 cm amb la lent de la càmera a 3.12 m del quadre. Troba l’àrea de la imatge del quadre sobre el negatiu. Solució: a) Amb 3 m 300 cmp=- =- i 12.5 cmq= (positiva perquè és real, la imatge se forma a la dreta de la lent, sobre el negatiu) ens queda

1 1 1

1 1 112.5 300

1 112

12 cm

q p f

f

f

f

-

- =

- =

=

=

b) Amb 12 m 1200 cmp=- =- i 12 cmf = ens queda

1 1 1

1 1 11200 12

1 1 112 1200

331400

40033 12.12 cm

q p f

q

q

q

q

-

- =

- =

= -

=

= =

L’augment transversal en aquest cas és

212.121200 1.01 10T

qpM -

-= =- ´=

I l’altura de la imatge i

o

i2

2i

2i

1.651.01 10

1.65 ( 1.01 10 )

1.667 10 m 1.667 cm

Tyyy

y

y

M

-

-

-

- ´ =

= ⋅ - ´

=- ´ =-

=

La seva mida és 1.667 cm; el signe negatiu vol dir que és invertida. c) Amb 3.12 m 312 cmp=- =- i 12 cmf = ens queda

1 1 1

1 1 1312 12

1 1 112 312

251312

31225 12.48 cm

q p f

q

q

q

q

-

- =

- =

= -

=

= =

L’augment transversal en aquest cas és

212.48312 4.0 10T

qpM -

-= =- ´=

Per determinar les longituds dels dos costats de la imatge del quadre aplicarem l’augment a cada costat del quadre

i

o

i2

2i

i

304.0 10

30 ( 4 10 )1.2 cm

Tyyy

M

yy

-

-

- ´ =

= ⋅ - ´=-

=

i

o

i2

2i

i

504.0 10

50 ( 4 10 )2 cm

Tyyy

y

M

y

-

-

- ´ =

= ⋅ - ´=-

=

Així, l’àrea de la imatge del quadre és 21.2 cm 2 cm 2.4 cm .´ =

5. Òptica

En la comparació de l’ull amb una càmera fotogràfica de manxa, la retina de l’ull és com el negatiu de la càmera i el cristal·lí com la lent objectiu, però la distància entre la retina i el cristal·lí de l’ull està fixada per la mida del globus ocular, com aconsegueix l’ull humà enfocar objectes a distàncies diferents? Solució: Abans de començar recorda que:

i) Qualsevol lent prima, sigui la lent d’una càmera de manxa o el cristal·lí de l’ull humà, satisfà l’equació de Descartes

1 1 1q p f- =

on q representa la distància entre la imatge i la lent, p representa la distància entre l’objecte i la lent i f la distància focal de la lent.

ii) La distància focal d’una lent prima està relacionada amb els radis de curvatura de les seves cares segons l’equació del constructor de lents a partir de l’índex de refracció segons

1 2

1 1 1( 1)( )R Rf n= - -

La càmera de manxa té fixada la distància focal f. En aquestes condicions, com aconsegueix enfocar objectes situats a diferents distàncies p? O bé, dit d’una altra manera, com s’aconsegueix que se satisfaci l’equació de Descartes si canvia p? La resposta és senzilla: per què la manxa permet acostar o allunyar la lent del negatiu, és a dir, la manxa permet fer variar q per tal que se satisfaci l’equació de Descartes.

Saber que l’ull humà pot enfocar objectes a diferents distàncies canviant la distància focal del cristal·lí. Conèixer el concepte de punt pròxim de la visió humana. Conèixer l’ús de les lents convergents per corregir la hipermetropia. Conèixer l’ús de les lents divergents per corregir la miopia.

Fixa’t amb les dades de la següent taula corresponents a una lent de focal 10 cm.

(cm)p 55- 45- 35- 25- 15- (cm)q 12.22+ 12.86+ 14.0+ 16.67+ 30+

A mesura que l’objecte s’acosta a la càmera (p en valor absolut és més petit), la lent s’ha de separar del negatiu (el valor de q obtingut és més gran) i d’aquesta manera s’aconsegueix enfocar l’objecte de manera que la imatge es forma sobre el negatiu.

En el cristal·lí, en canvi, la distància q està fixada per la mida del globus ocular. Si l’equació de Descartes s’ha de satisfer i el valor de q està fixat, quan canviï p també haurà de canviar la focal f. És a dir, l’ull aconsegueix enfocar objectes situats a diferents distàncies canviant la seva focal. Aquest procés es coneix com acomodació. Els encarregats de fer canviar la focal de l’ull són els músculs ciliars. Quan volem enfocar un objecte situat molt lluny, els músculs ciliars estan completament relaxats, fent que el cristal·lí tingui la seva focal màxima igual al diàmetre del globus ocular. Quan l’objecte s’acosta els músculs ciliars bomben el cristal·lí fent disminuir la curvatura de les seves cares i, en conseqüència, atesa l’equació del constructor de lents, fent disminuir la focal de la lent1. Ara bé, els músculs ciliars no poden bombar infinitament la lent i, per tant, arribarà un punt a partir del qual un objecte no podrà ser enfocat. Aquest punt rep el nom de punt pròxim de la visió humana i, en mitjana, està situat a uns 25 cm de l’ull. Fixa’t amb les dades de la següent taula corresponents a un globus ocular de diàmetre 2.5 cm

(cm)p -¥ 300- 100- 50- 25- (cm)q 2.5+ 2.5+ 2.5+ 2.5+ 2.5+

(cm)f 2.5+ 2.479+ 2.439+ 2.381+ 2.273+

1Suposant que el cristal·lí fos equivalent a una lent biconvexa d’índex de refracció aproximat 1.40, el radis de curvatura de les seves cares, en valor absolut, serien

(cm)f 2.5+ 2.479+ 2.439+ 2.381+ 2.273+

(cm)R 2.0 1.983 1.951 1.905 1.818

Els músculs ciliars que subjecten el cristal·lí permeten bombar-lo o estirar-lo per canviar-ne la distància focal. Suposant que el cristal·lí és una lent prima i que el diàmetre del globus ocular és de 2.5 cm, calculeu la potència del cristal·lí quan es mira un objecte a a) 10 m; b) 25 cm. Solució: Abans de començar recorda que:

i) Qualsevol lent prima, com per exemple el cristal·lí de l’ull humà, satisfà l’equació de Descartes

1 1 1q p f- =

on q representa la distància entre la imatge i la lent, p representa la distància entre l’objecte i la lent i f la distància focal de la lent.

ii) La distància focal d’una lent prima en metres i la potència en diòptries estan relacionades segons

1(dpt)

(m)P

f=

De manera que podem ajuntar-les com

1 1 (dpt)(m) (m)

Pq p

- =

a) Amb 2.5 cm 0.025 mq= = i 10 mp=- ens queda

1 1 (dpt)(m) (m)

1 10.025 10

40.1 dpt

Pq p

P

P

- =

- =-

=

b) Amb 2.5 cm 0.025 mq= = i 25 cm 0.25 mp=- =- ens queda

1 1 (dpt)(m) (m)1 1

0.025 0.2544.0 dpt

Pq p

P

P

- =

- =-

=

a) Què és la hipermetropia? b) Quin tipus de lents s’utilitzen per corregir la hipermetropia i per què aquest tipus? c) Què és la miopia? d) Quin tipus de lents s’utilitzen per corregir la miopia i per què aquest tipus? Solució: a) La hipermetropia és un defecte de l’ull. Aquest defecte fa que els raigs de llum que arriben des de l’infinit a l’ull, no acomodat, es tallin darrera de la retina; situació a.1). Com a conseqüència d’aquest fet l’ull ha d’acomodar per aconseguir veure amb nitidesa objectes llunyans; situació a.2). Ara bé, el fet que l’ull hagi d’acomodar abans fa que el recorregut d’acomodació s’acabi també abans; situació a.3). Per això, el punt pròxim d’un ull hipermetrop està situat més lluny dels 25 cm habituals. Finalment, els objectes situats per dant del punt pròxim formaran la seva imatge borrosa per darrera la retina; situació a.4). Vegem tot aquest procés amb un exemple numèric. Fixa’t amb la següent taula, corresponent a un ull amb hipermetropia que arriba a la seva acomodació màxima quan els objectes es troben a 1.5 m de distància; és a dir, té el punt pròxim situat a 1.5 m. Considerarem la mida de l’ull igual a 2.5 cm, com és habitual.

(cm)p 250- 200- 150- 100- 25- (cm)q 2.5+ 2.5+ 2.5+ 2.521+ 2.727+

(cm)f 2.475+ 2.469+ 2.459+ 2.459+ 2.459+

(En vermell els resultats obtinguts amb l’equació de Descartes a partir de 150 cmp=- i 2.5 cm.q=+ )

Mentre l’ull intenta enfocar objectes situats més lluny que el punt pròxim, els músculs ciliars bomben la lent sense problemes, disminuint la focal de l’ull. Arribat al punt pròxim, la focal ja no podrà disminuir més. A partir d’aquest moment serà constant. Els objectes situats més a prop de l’ull que el punt pròxim seran enfocats darrera la retina per què q és més gran que 2.5 cm. En resum, una persona hipermetrop veu amb nitidesa els objectes situats enfora de l’ull però no els objectes que es trobin a prop.

b) Per corregir la hipermetropia bastarà fer servir lents convergents. Vegem-ho.

b.1) Per objectes llunyans, la lent convergent permet que l’ull hipermetrop estigui completament relaxat. El què fa la lent és suplir la falta de convergència de l’ull tancant el feix abans d’arribar a l’ull i d’aquesta manera l’ull es capaç de fer convergir el feix a la retina; situació b.1).

b.2) Per objectes per davant el punt pròxim, la lent el què fa és allunyar-los fins al punt pròxim on l’ull els pot enfocar amb nitidesa. L’objecte s’allunya perquè la lent convergent tanca el feix de llum que prové de l’objecte com si vingués de més lluny; situació b.2)

c) La miopia és un defecte de l’ull. Aquest defecte fa que els raigs de llum que arriben a l’ull des de l’infinit convergeixin davant la retina, situació c.1), per mor de l’excessiva convergència de la lent. Dit d’una altra manera, les imatges d’objectes llunyans es formen davant la retina. (Si l’ull acomodés per intentar veure nítidament els objectes situats lluny, els raigs convergirien encara més a prop de la lent, lluny de la retina.)

A mesura que l’objecte s’acosta a l’ull (la distància objecte p es fa més gran) la seva imatge també s’acosta a la retina (la distància imatge q augmenta per què f és constant); situació c.2). Quan l’objecte es troba al punt llunyà (que ja no és a l’infinit com a l’ull normal) es forma una imatge nítida a la retina; situació c.3) A partir d’aquest punt la distància q s’ha de mantenir constant perquè les imatges es formin a la retina. L’acomodació de l’ull s’encarrega que les imatges d’objectes situats per davant del punt llunyà es formin a la retina (la distància p augmenta i f disminueix); situació c.4). Fixa’t amb la següent taula, corresponent a un ull miop que té el punt llunyà a una distància de 10 m. La mida de l’ull és 2.5 cm.

(cm)p -¥ 1500- 1000- 500- 100- (cm)q 2.494+ 2.498+ 2.5+ 2.5+ 2.5+

(cm)f 2.494+ 2.494+ 2.494+ 2.488+ 2.439+

(En vermell els resultats obtinguts amb l’equació de Descartes a partir de 1000 cmp=- i 2.5 cm.q=+ )

En resum, una persona miop no veu amb nitidesa els objectes situats enfora de l’ull però si els objectes que es trobin a prop.

d) Per corregir la miopia bastarà fer servir lents divergents. Vegem-ho.

d.1) Per objectes llunyans el què fa la lent és obrir el feix abans d’arribar a l’ull i d’aquesta manera l’ull es capaç de fer convergir el feix a la retina; situació d.1).

d.2) Aquells que sou miops sabeu que tot i que no us lleveu les ulleres hi seguiu veient bé quan mireu objectes propers. Per què? Per què l’ull corregeix l’efecte de la lent divergent acomodant més del que ho faria sense lent per tal de fer convergir el feix que ha obert aquesta; situació d.2)

5. Òptica

Dibuixa l’esquema d’un telescopi de Galileu d’augment angular 3. Solució: Abans de començar recorda que:

i) Un telescopi de Galileu és format per dues lents: una convergent, anomenada objectiu i una altra divergent, anomenada ocular. Dins el telescopi de Galileu les lents estan col·locades de manera que la llum arriba a l’objectiu en primer lloc i el focus imatge de l’objectiu (localitzat a la dreta de l’objectiu) i el focus objecte de l’ocular (localitzat a la dreta de l’ocular) coincideixen.

ii) L’augment angular d’un telescopi Galileu és

obj

oc

f

fM =-

on objf representa la distància focal de l’objectiu i ocf la distància focal de

l’ocular. Atès que oc 0f < , aquest telescopi forma sempre una imatge dreta. Un telescopi de Galileu amb un augment angular igual a 3 serà aquell que tingui una lent objectiu de distància focal triple que l’ocular i de signe canviat

objocobj

oc

3 3f

f ff

=- =-

Així haurem de dibuixar les lents del telescopi separades per una distància de oc2 f- atès que la focal objecte de l’ocular és a la dreta de l’ocular

Les lents de què disposava Galileu cap a l’any 1609 no li permetien obtenir augments massa més grans que 3. Així que va decidir construir les seves pròpies lents. Pareix que les primeres lents que va fer servir tenien una cara plana i l’altra esfèrica, com així ho indica en la seva obra ‘‘Sidereus Nuncius’’

Conèixer la disposició de les lents dels telescopis de Galileu i astronòmic. Saber definir l’augment angular i conèixer-ne l’expressió per als dos telescopis. Ser capaç de traçar la trajectòria dels raigs paral·lels que arriben inclinats respecte l’eix òptic d’un telescopi astronòmic.

a) Dibuixa un esquema d’un telescopi astronòmic d’augment angular 2- . b) Repeteix l’esquema incloent la trajectòria a través del telescopi de tres raigs que arriben a la lent objectiu paral·lels formant un angle petit respecte l’eix òptic. Solució: Abans de començar recorda que:

i) Un telescopi astronòmic està format per dues lents convergents: l’objectiu i l’ocular. L’objectiu té distància focal gran mentre l’ocular té distància focal petita. Dins un telescopi astronòmic les lents estan col·locades de manera que la llum arriba a l’objectiu en primer lloc i el focus imatge de l’objectiu (localitzat a la dreta de l’objectiu) i el focus objecte de l’ocular (localitzat a l’esquerra de l’ocular) coincideixen.

ii) L’augment angular d’un telescopi astronòmic és

obj

oc

f

fM =-

on objf representa la distància focal de l’objectiu i ocf la distància focal de

l’ocular. Atès que objf i ocf són positives, aleshores el telescopi astronòmic

forma sempre una imatge invertida. a) Un telescopi astronòmic amb un augment angular igual a 2- serà aquell que tingui una lent objectiu de distància focal doble que l’ocular

objocobj

oc

2 2 f

f ff

- =- =

Així haurem de dibuixar les lents del telescopi separades per una distància equivalent a la suma de les dues focals; és a dir, separades per oc3 .f

b) El fet que les lents estan col·locades de manera que el focus imatge de l’objectiu i el focus objecte de l’ocular coincideixen, fa que un feix de raigs paral·lels que provinguin de l’infinit, és a dir, os =¥ , seran enfocats en un punt del pla focal comú, ja que si os =¥ aleshores

i obj

1 1 1s f¥ + = que implica i objs f= . A partir d’aquí

o ocs f= i amb ioc oc

1 1 1sf f+ = obtenim

i

1 0s = i, per tant, is =¥ , de manera que els

raigs es tornen a convertir en un feix paral·lel a partir de la segona lent (les rectes paral·leles són aquelles que es tallen a l’infinit) Això ho representarem gràficament de la següent manera:

Dibuixarem tres raigs paral·lels, inclinats un angle petit respecte l’eix òptic i separats una certa distància entre ells de manera que el raig central (1) vagi a passar pel centre de l’objectiu. Aquest raig travessarà la lent sense ser refractat formant sobre el pla focal una primera imatge. Els altres dos raigs es refractaran de manera que tallaran el pla focal al mateix punt on talla el raig (1). A continuació allargarem aquests tres raigs fins que arribin a l’ocular. De l’ocular sortiran refractats paral·lels. Per dibuixar-los farem servir un raig auxiliar (anomenat guia). Aquest raig anirà a passar pel centre de l’ocular i el travessarà sense ser refractat. Una vegada dibuixada la guia, els tres raigs anteriors sortiran de la lent paral·lels a la guia.

6. Introducció a la física moderna

La taula següent inclou el potencial de treball i la longitud d’ona llindar de diversos elements. Completa la taula. Element Cs Rb Na Si Al Cu Ag Au

(eV)W 1.94 2.13 2.28 3.59 4.08 4.70 4.73 5.10

(nm)l 639.1 582,1 543.8 345.4 303.9 263.8 262.1 243.1


i) S’anomena treball d’extracció o funció de treball, W, l’energia mínima de la radiació necessària per extreure un electró d’un cert metall. És diferent per a cada metall.

ii) S’anomena longitud d’ona llindar la màxima longitud d’ona que pot tenir la radiació necessària per extreure un electró d’un cert metall. És diferent per a cada metall.

iii) Treball d’extracció i longitud d’ona llindar satisfan la relació

llindarllindar

hcW hf

l= =

on h és la constant de Planck i c la velocitat de la llum en el buit.

Cs) Amb 19 191.94 1.602 10 3.108 10 JW - -= ⋅ ´ = ´ , s’obté

llindar

34 87

19 910 3 10 nm

10 m 640 nm3.108 1

6.63 16.4

0 100

m0

hcW

l-

-- -= =

´´ ==

⋅ ´⋅

´

Rb) Amb 19 192.13 1.602 10 3.412 10 JW - -= ⋅ ´ = ´ , s’obté

34 87

llindar 19 910 3 10 nm

10 m 582.9 nm3.412 10

610 m

.63 15.829

hcW

l-

-- -

´= =

´⋅ =

´=

⋅´

Saber les lleis experimentals de l’efecte fotoelèctric. Saber definir tots els termes que figuren en les lleis (funció de treball o treball d’extracció, freqüència i longitud d’ona llindar...). Conèixer que l’energia cinètica màxima dels electrons emesos per efecte fotoelèctric per un metall amb una funció de treball W, il·luminat amb llum de freqüència f, és -hf W , sent h la constant de Planck. Ser capaç d’aplicar aquesta relació a la resolució de problemes. Saber expressar la funció de treball en eV donada la relació -= ´ 191 eV 1.602 10 J. Dada: -= ´ 346.63 10 J s.h

Na) Amb 7

llindar 543.8 nm 5.438 10 ml -= = ´ , s’obté

llind

34 819

7ar

196.63

3.6581.602

10 3 10 1 eV10 J 2.283 eV

5.438 10 10 Jhc

Wl

--

- -´ ⋅ ´

´ ⋅ ==´

=´

=

Si) Amb 7


llind

34 819

7ar

196.63

5.7591.602

10 3 10 1 eV10 J 3.595 eV

3.454 10 10 Jhc

Wl

--

- -´ ⋅ ´

´ ⋅ ==´

=´

=

Al) Amb 19 194.08 1.602 10 6.536 10 JW - -= ⋅ ´ = ´ , s’obté

34 87


10 m 304.3 nm6.536 10

610 m

.63 13.043

hcW

l-

-- -

´= =

´⋅ =

´=

⋅´

Cu) Amb 19 194.70 1.602 10 7.529 10 JW - -= ⋅ ´ = ´ , s’obté

34 87


10 m 264.2 nm7.529 10

610 m

.63 12.642

hcW

l-

-- -

´= =

´⋅ =

´=

⋅´

Ag) Amb 7


llind

34 819

7ar

196.63

7.5891.602

10 3 10 1 eV10 J 4.737 eV

2.621 10 10 Jhc

Wl

--

- -´ ⋅ ´

´ ⋅ ==´

=´

=

Au) Amb 7


llind

34 819

7ar

196.63

8.1821.602

10 3 10 1 eV10 J 5.107 eV

2.431 10 10 Jhc

Wl

--

- -´ ⋅ ´

´ ⋅ ==´

=´

=

La freqüència llindar de la radiació que extreu electrons d’una placa metàl·lica és 145.51 10 Hz´ . a) Tenint present la taula de l’enunciat anterior, de quin element està formada la placa? b) Calcula el treball d’extracció i comprova que concorda amb el què s’indica a la taula esmentada. c) Quina és l’energia cinètica màxima dels electrons emesos quan la placa rep llum de 151.5 10 Hz´ ? Solució: Abans de començar recorda que:

i) S’anomena freqüència llindar la mínima freqüència capaç d’extreure electrons d’un cert metall. És diferent per a cada metall.

ii) La freqüència llindar està relacionada amb el treball d’extracció segons

llindarW hf= on h és la constant de Planck.

iii) L’energia cinètica màxima dels electrons emesos per un metall en rebre radiació de freqüència f, és

c,màxima llindar( )E hf W h f f= - = -

a) Recordant la relació entre freqüència i longitud d’ona llindar, obtenim

87

llindar 14llindar

3 105.445 10 m

5.51 10c

fl -´

= = = ´´

Comparant amb la taula anterior, es tractaria de sodi (Na). b) El treball d’extracció del sodi serà

34 14 1llindar

9196.63 3.65

1 eV10 5. 3

1.651 10

0210 J 2.28 eV

10 JW hf - -

-´ ⋅ ´ ´ ⋅ =´

= = =

c) L’energia cinètica màxima dels electrons emesos en rebre la placa llum de freqüència 151.5 10 Hz´ serà

c,màxima llindar

34 15 14

1919

( )

6.63 10 (1.5 10 5.511

10 )

6.292 10 eV

J1.

3.928 602

eV10 J

E h f f

-

-

-

= -

= ´ ´ -

⋅ =´

´

= ´

Es disposa de cèl·lules fotoelèctriques de cada un dels metalls de la taula de l’enunciat 98 i s’il·luminen amb llum de 300 nm. Quina és l’energia màxima dels electrons que es poden generar per efecte fotoelèctric a cada cèl·lula? Solució: Abans de començar recorda que:

i) Només existeix emissió d’electrons per un metall per efecte fotoelèctric en incidir-hi radiació de longitud d’ona més petita que la longitud d’ona llindar.

ii) L’energia de la radiació de freqüència f o longitud d’ona l és

hcE hf

l= =

iii) L’energia cinètica màxima dels electrons emesos per efecte fotoelèctric en ser il·luminats amb radiació d’energia E, és

c,màximaE E W= -

sent W és el treball d’extracció.

Només hi haurà emissió d’electrons en il·luminar els següents metalls: Cs, Rb, Na, Si i Al perquè 300 nm és més petita que les respectives longituds d’ona llindars. L’energia de la radiació de longitud d’ona 9300 nm 300 10 ml -= = ´ és

34 819

9 196.63

610 3 10 1 eV

10 J 4.139 eV300 10 10 J

.631.602

hcE

l

--

- -´ ⋅ ´

´ ⋅ =´

=´

= =

I les energies cinètiques dels electrons emesos en cada cas són (fent ús de les dades i resultats de la qüestió 98) Cs) c,màxima 4.139 1.94 2.199 eVE E W = - == -

Rb) c,màxima 4.139 2.13 2.009 eVE E W = - == -

Na) c,màxima 4.139 2.283 1.856 eVE E W = - == -

Si) c,màxima 4.139 3.595 0.544 eVE E W = - == -

Al) c,màxima 4.139 4.08 0.059 eVE E W = - == -

El treball d’extracció del càtode metàl·lic d’una cèl·lula fotoelèctrica és de 3.68 eV. Calcula la velocitat màxima amb què són emesos els electrons en il·luminar el càtode amb llum de 325 nm. ( 31

e 9.11 10 kgm -= ´ ) Solució: L’energia de la radiació de longitud d’ona 9325 nm 325 10 ml -= = ´ és

34 819

9 196.63

6.1210 3 10 1 eV

10 J1.6

3.82 eV325 10 0 10 J2

hcE

l

--

- -= = =´ ⋅ ´

´ ⋅ =´ ´

I l’energia cinètica màxima dels electrons emesos serà

c,màxima 3.82 3.68 0.14 eVE E W = - == -

Ara aquesta energia l’expressarem en les unitats SI, J (joules), per poder obtenir-ne la velocitat màxima dels electrons.

c,màxi

1

ma

92010 J

0.14 eV 2 10 J1

1.602.24

eV3E

--´

= ⋅ = ´

Finalment, recordant la definició d’energia cinètica

2c21E mv=

obtenim

20

31c,màxima

e

52 2 2.243 109.11 10

2.219 10 m sE

mv-

-

⋅ ´´

= = = ´


La reacció de fusió nuclear 2 3 4H H He n+ + es dóna a la bomba d’hidrogen però també genera energia en una central elèctrica. Quanta energia en MeV s’allibera en la formació d’un àtom d’heli amb aquesta reacció? Masses atòmiques: 4He: 4.00388 u; 2H: 2.01474 u; 3H: 3.01700 u; massa del neutró: 1.00858 u; 271 u 1.6605 10-= ´ kg. Solució: La suma de les masses dels reactius que intervenen en la reacció, 2H i 3H, és:

reactius 2.01474 3.01700 5.03174 um = + =å

La suma de les masses dels productes que s’obtenen en la reacció, 4He i neutró, és:

productes 4.00388 1.00858 5.01246 um = + =å

La pèrdua de massa que té lloc és

reactius productes 5.03174 5.01246 0.01928 um m mD = - = - =å å

Expressada en quilograms, la pèrdua de massa és

27291.6605 10 kg

0.01928 u 3.2014 10 kg1 u

m-

-´D = ⋅ = ´

La quantitat d’energia equivalent a aquesta massa l’obtenim aplicant l’equivalència d’Einstein; és a dir, multiplicant la massa per la velocitat de la llum, c, al quadrat

2 29 8 2 12(3.2014 10 ) (3 10 ) 2.8813 10 JE m c - -=D ⋅ = ´ ⋅ ´ = ´ Finalment, l’energia alliberada expressada en MeV (megaelectronvolts), serà

1219 6

1 eV 1 MeV2.8813 10 J 17.986 MeV

1.602 10 J 10 eVE -

-= ´ ⋅ ⋅ =´

Ser capaç de calcular l’energia de lligadura d’un nucli donat i l’energia alliberada en els processos de fusió fissió a partir del defecte de massa.


Determina el nombre atòmic de l’isòtop que resultarà de 23892 U després

d’emetre dues partícules a i dues partícules b- . Solució: Abans de començar recorda que:

i) Un nucli qualsevol de l’element X amb nombre atòmic (protons) Z i nombre màssic (protons més neutrons) A es representa de la següent manera: XA

Z . ii) La desintegració a és un procés de desintegració radioactiva en el qual un

nucli emet una partícula a (nucli d’heli amb 2 protons i 2 neutrons) i es transforma (o desintegra) en un altre nucli que té nombre màssic 4 unitats menor i nombre atòmic 2 unitats menor. Aquest procés es pot descriure així:

4 42 2X Y He A A

Z Z-- +

iii) La desintegració b- és un procés de desintegració radioactiva en el qual un nucli emet un electró, i també un antineutrí electrònic, i es transforma (o desintegra) en un altra nucli que té el mateix nombre màssic però té un protó més (un neutró s’ha transformat en un protó). Es pot descriure així:

1X Y A AZ Z ee n-

+ + +

iv) La desintegració b+ és un procés de desintegració radioactiva en el qual un nucli emet un positró, i també un neutrí electrònic, i es transforma (o desintegra) en un altra nucli que té el mateix nombre màssic però té un protó menys (un protó s’ha transformat en un neutró). Es pot descriure així:

1X Y A AZ Z ee n+

- + + Cada emissió d’una partícula a fa que el nombre atòmic del nucli resultant sigui 2 unitats més petit, mentre cada emissió d’una partícula b- fa que el nombre atòmic del nucli resultant sigui una unitat més gran. Per tant, el nombre atòmic resultant de l’emissió de dues partícules a i dues partícules b- serà

92 2 2 1 1 90- - + + = Cal destacar que l’element resultant no serà urani. Cada element ve caracteritzat pel seu nombre atòmic; diferents nombres atòmics corresponen a diferents elements. En aquest cas es tractaria del Tori (Th).

Ser capaç de descriure simbòlicament els processos radioactius alfa, beta i gamma i, donada una cadena de desintegracions, determinar el nombre atòmic i el nombre màssic de l’element resultant.

Hi ha isòtops radioactius que emeten una partícula a o una i donen un isòtop que també és radioactiu. Es pot produir llavors una cadena de desintegracions fins arribar a un àtom estable. Aquest és el cas del tori amb nombre màssic 232 i nombre atòmic 90. La cadena de desintegracions és a , b- , b- , a , a , a , a . Després de la cadena de desintegracions, quins són els nombres màssic i atòmic de l’element resultant? Explica com realitzes el càlcul. Solució: Abans de començar consulta la teoria explicada a la qüestió 106. Pel que fa al nombre màssic: cada emissió d’una partícula a fa que el nombre màssic del nucli resultant sigui 4 unitats més petit, mentre cada emissió d’una partícula b- no el modifica. Per tant, el nombre màssic resultant de la cadena de

desintegracions a , b- , b- , a , a , a , a serà

232 4 4 4 4 4 212- - - - - = Pel que fa al nombre atòmic: cada emissió d’una partícula a fa que el nombre atòmic del nucli resultant sigui 2 unitats més petit, mentre cada emissió d’una partícula b- fa que el nombre atòmic del nucli resultant sigui una unitat més gran.

Per tant, el nombre atòmic resultant de la cadena de desintegracions a , b- , b- , a , a , a , a serà

90 2 1 1 2 2 2 2 82- + + - - - - =

Els punts de la figura representen elements radioactius de Z protons i N neutrons d’una sèrie de desintegracions i les fletxes algun tipus de desintegració. a) Indica al costat de cada punt el nombre atòmic i el nombre màssic de l’isòtop. b) Indica al costat de cada fletxa el tipus de desintegració. c) Amb una taula periòdica determina quins són els elements amb els nombre atòmics de 88 a 92. d) Escriu simbòlicament els cinc processos radioactius de la figura. Solució: Abans de començar consulta la teoria explicada a la qüestió 106. a) El nombre atòmic, Z, es correspon amb la coordenada horitzontal. El nombre màssic, A, es correspon amb la suma de les coordenades horitzontal i vertical (suma de protons i neutrons). Cal fixar-se que la coordenada vertical canvia dues unitats mentre la horitzontal ho fa només una unitat. Les coordenades dels punts de la figura són:

1) 92, 92 146 238Z A= = + = 2) 90, 90 144 234Z A= = + = 3) 91, 91 143 234Z A= = + = 4) 92, 92 142 234Z A= = + = 5) 90, 90 140 230Z A= = + = 6) 88, 88 138 226Z A= = + =

O bé, sobre la gràfica,

b) Tenint en compte que en una desintegració a el nombre atòmic disminueix 2 unitats i el màssic disminueix 4 unitats i en una desintegració b- el nombre atòmic augmenta 1 unitat i el màssic no varia, les desintegracions que tenen lloc són:

c) Fent ús de la taula periòdica adjunta, obtenim

Z Símbol Element88 Ra Radi89 Ac Actini90 Th Tori91 Pa Protactini92 U Urani

d) Els cinc processos radioactius de la figura són:

d.1) 238 234 492 90 2U Th He +

d.2) 234 23490 91Th Pa ee n- + +

d.3) 234 23491 92Pa U ee n- + +

d.4) 234 230 492 90 2U Th He +

d.5) 230 226 490 88 2Th Ra He +

1

2 3

4 5

6 7

8 9

10 11

12 13

14 15

16 17

18

Ia IIa

IIIb IV

b V

b V

Ib V

IIb V

III Ib

IIb IIIa

IVa

Va

VIa

VIIa

0

1 1 H

1,00794

2 He

4,0026

2 3 Li 6,941

4 Be

9,0122

5 B

10,811

6 C

12,0107

7 N

14,0067

8 O

15,9994

9 F 18,9984

10

Ne

20,1797

3 11

Na

22,9898

12

Mg

24,3050

13

Al

26,9815

14

Si 28,0855

15

P 30,9738

16

S 32,066

17

Cl

35,4527

18

Ar

39,948

4 19

K

39,0983

20

Ca

40,078

21

Sc 44,9559

22

Ti 47,867

23

V

50,9415

24

Cr

51,9961

25

Mn

54,9380

26

Fe 55,845

27

Co

58,9332

28

Ni

58,6934

29

Cu

63,546

30

Zn 65,39

31

Ga

69,723

32

Ge

72,61

33

As

74,9216

34

Se 78,96

35

Br

79,904

36

Kr

83,80

5 37

Rb

85,4678

38

Sr 87,62

39

Y

88,9059

40

Zr 91,224

41

Nb

92,9064

42

Mo

95,94

43

Tc (98,9063)

44

Ru

101,07

45

Rh

102,905

46

Pd 106,42

47

Ag

107,8582

48

Cd

112,411

49

In 114,818

50

Sn 118,710

51

Sb 121,760

52

Te 127,60

53

I 126,9045

54

Xe

131,29

6 55

Cs

132,905

56

Ba

137,327

57 *

La 138,906

72

Hf

178,49

73

Ta 180,948

74

W

183,84

75

Re

186,207

76

Os

190,23

77

Ir 192,217

78

Pt 195,078

79

Au

196,967

80

Hg

200,59

81

Tl 204,383

82

Pb 207,2

83

Bi

208,980

84

Po (208,98)

85

At

(209,99)

86

Rn

(222,02)

7 87

Fr (223,02)

88

Ra

(226,03)

89 *

Ac

(227,03)

104

Rf

(261,11)

105

Db

(262,11)

106

Sg (263,12)

107

Bh

(264,12)

108

Hs

(265,13)

109

Mt

(268)

110 U

un

(269)

111 U

uu

(272)

112 U

ub

(277)

113 U

ut ( )

114 U

uq

(285)

115 U

up

( )

116 U

uh

(289)

117 U

us ( )

118 U

uo (293)

Constants:

11

11

0.082 atm L m

olK

8.3 J mol

K-

--

-=

=R

58

Ce

140,116

59

Pr 47,867

60

Nd

144,24

61

Pm

(144,913)

62

Sm

150,36

63

Eu 151,964

64

Gd

157,25

65

Tb 158,925

66

Dy

162,50

67

Ho

164,930

68

Er 167,26

69

Tm168,934

70

Yb

173,04

71

Lu 174,967

90

Th 232,038

91

Pa 231,036

92

U

238,029

93

Np

(237,048)

94

Pu (244,06)

95

Am

(243,06)

96

Cm

(247,07)

97

Bk

(247,07)

98

Cf

(251,08)

99

Es (252,08)

100

Fm(257,10)

101

Md

(258,10)

102

No

(259,10)

103

Lr (262,11)


Indica si les afirmacions següents són vertaderes o falses: a) Els radioisòtops es poden usar en medicina amb finalitats diagnòstiques i amb finalitats terapèutiques. b) L’isòtop carboni 14 és usat en diagnòstic. c) Els tumors malignes es poden tractar amb radioisòtops perquè les cèl·lules tumorals en ràpid procés de reproducció són més sensibles a la radiació que les cèl·lules sanes. d) Un tumor es pot tractar amb una font de radiació externa o introduint un element radioactiu a l’organisme. e) La unitat de radioactivitat en el sistema internacional és el curie. f) La dosi de radiació que rep un organisme és la quantitat d’energia absorbida per unitat de massa. g) La unitat de dosi en el SI és el gray. h) El nom de la unitat de dosi de radiació es va posar pel físic Louis Gray. i) El dany biològic de la radiació sobre un teixit depèn del tipus de radiació, del tipus de teixit i de la dosi. Solució: a) Vertadera. b) Falsa; l’isòtop 14C s’usa en la datació de mostres antigues però no s’usa en diagnòstic. En canvi, isòtops amb vida mitjana curta com 11C (t » 20 minuts), 13N (t » 10 minuts), 15O (t » 2 minuts) o 18F (t » 110 minuts) són usats en tomografies TEP (Tomografia per emissió de positrons) per a detectar certes infermetats del cervell. També l’isòtop 131I pot ser detectat per certs escàners si prèviament s’ha usat amb finalitats terapèutiques. c) Vertadera. d) Vertadera. e) Falsa; La unitat de radioactivitat en el SI és el becquerel. El curie és una unitat de radioactivitat però no del SI. La relació entre aquestes dues unitats és

71 Ci 3.7 10 Bq= ´ f) Vertadera. g) Vertadera.

Conèixer i saber descriure aplicacions d’alguns radioisòtops en medicina. Conèixer la llei de l’evolució de l’activitat d’una mostra, saber què és la constant de desintegració i el període de semidesintegració, i ser capaç de resoldre exercicis sobre l’activitat i el període de semidesintegració. Conèixer els fonaments de la datació mitjançant radioisòtops i saber realitzar els càlculs de la datació a partir de dades experimentals donades.

Completa la taula següent amb les constants de desintegració l i els períodes de semidesintegració dels elements radioactius indicats.

238U 41Ca 14C 60Co 109Cd 15O

1 2T 94.468 10´ any

51.030 10´ any

5730 any

5.271 any

462.6 dia

122 s

l 101.551 10-´ 1any-

66.730 10-´1any-

41.210 10-´1any-

0.13151any-

0.001498 1dia-

0.005681s-


i) S’anomena constant radioactiva o constant de desintegració, l , el coeficient de proporcionalitat que relaciona el nombre de nuclis que es desintegren per unitat de temps amb el nombre de nuclis presents en aquell instant.

ii) S’anomena període de semidesintegració, 1 2T , el temps necessari perquè es

desintegrin la meitat dels nuclis d’una mostra d’un element radioactiu. iii) El nombre de nuclis d’una mostra d’un element radioactiu disminueix amb el

temps segons l’expressió

0( ) tN t N e l-= on 0N representa el nombre de nuclis que conté inicialment la mostra. Fent

11 2 02( )N T N= podrem obtenir la relació entre la constant radioactiva i el

període de semidesintegració: 1 2

1 2

10 02

12

11 22

12

1 2

1 2

ln( )

ln( )

ln(2)

T

T

N N e

e

T

T

T

l

l

l

l

l

-

-

=

=

=-

=-

=

En el darrer pas hem fet servir la propietat dels logaritmes ln( ) ln( ) ln( )a

b a b= -

a) 91 2 10 10 any

1.551ln(2) ln(2)

410

.469Tl - = ´

´= =

b) 51 2 6 10 any

6.730ln(2) ln(2)

110

.030Tl - = ´

´= =

c) 4 1

1 2

10 any573

ln(2) ln(2)1.210

0Tl - -= = = ´

d) 1 2ln(2) ln(2)

5.2710

any.1315

Tl

= = =

e) 3 1

1 210 dia

462.ln(2) ln(2)

1.4986T

l - -= = = ´

f) 3 1

1 210 s

12ln(2) ln(2)

5.6822T

l - -= = ´=

Una mostra de material d’un element radioactiu té una activitat de

83.00 10 Bq.´ a) Quina és la constant de desintegració si l’activitat de la mostra

disminueix fins a 73.77 10 Bq´ en 24 dies? b) Quin és el període de

semidesintegració? c) Comptant des del dia en el qual l’activitat és 73.77 10 Bq´ , quina serà l’activitat de la mostra al cap de trenta dies? d) Quant temps passa mentre l’activitat de la mostra disminueix des de 73 10 Bq´ fins a 63 10 Bq´ ? Solució: Abans de començar recorda que:

i) L’activitat d’una mostra d’un element radioactiu disminueix amb el temps segons l’expressió

0( ) tA t A e l-= on 0A representa l’activitat inicial de la mostra.

ii) La relació entre la constant radioactiva i el període de semidesintegració és

1 2ln(2)

Tl

=

a) Substituint 8

0 3.00 10 BqA = ´ i 7(24) 3.77 10 BqA = ´ , es tracta d’aïllar l :

7 8 24

724

8

24

2.07424

1

3.77 10 3.00 10

3.77 103.00 10

0.1257

ln(0.1257) 242.074 24

0.0864 dia

e

e

e

l

l

l

ll

l

l

-

-

-

--

-

´ = ´

´=

´=

=-

- =-

=

=

b) El període de semidesintegració corresponent a aquesta constant és

1 2ln(2) ln(2)

8.0230

dia.0864

Tl

= = =

c) Considerant 7

0 3.77 10 BqA = ´ amb 10.0864 dial -= es tracta d’obtenir (30).A

0.0864 307 6(30) 3.77 10 2.823 10 BqA e- ⋅= ´ = ´

d) Substituint 7

0 3 10 BqA = ´ i 6( ) 3 10 BqA t = ´ , es tracta d’aïllar t :

6 7 0.0864

60.0864

7

0.0864

2.3030.0864

3 10 3 10

3 103 10

0.1ln(0.1) 0.08642.303 0.0864

26.65 dia

t

t

t

e

e

ett

t

t

-

-

-

--

´ = ´

´=

´=

=-

- =-

=

=

a) Quin tipus d’objectes es daten amb el carboni 14? b) Una mostra d’una eina antiga de fusta presenta una activitat de 13600 desintegracions per dia. La mateixa massa d’una mostra actual presenta una activitat de 920 desintegracions per hora. Estima l’antiguitat de l’eina. (Dada: 14

1 2( C) 5730 anysT = )


i) Datació per 14C és el mètode que permet de determinar l’edat absoluta de residus de plantes, cendres, teixits i d’altres restes antigues. Aquest mètode és fonamentat en la mesura de l’activitat actual del carboni aïllat dels materials objecte de mesura. El fonament físic és el següent: el 14C es forma a l’atmosfera per col·lisió de 14N amb neutrons segons els procés

14 1 14 17 6 1N n C H+ +

i decau a 14N per emissió d’un electró (desintegració b- ) segons els procés

14 146 7C N ee n- + +

Quan els éssers vius assimilen el 2CO present a l’atmosfera ho fan sense

diferenciar entre 12C i 14C , de manera que la proporció d’aquests isòtops assimilada pels éssers vius és la mateixa que la present a l’atmosfera. Quan l’ésser viu mor, deixa d’intercanviar 14C amb l’atmosfera i la concentració d’aquest isòtop comença a disminuir exponencialment mentre la concentració de 12C no canvia. La proporció de 14 12C C present a l’atmosfera es pot

considerar aproximadament constant al llarg del temps i igual a 121.2 10-´ . El nombre de nuclis de 14C existents en una mostra actual que conté 1 g de 12C és

12 23 12 12 14

12 10 140 12 12 12

1 mol C 6.023 10 àtoms C 1.2 10 àtoms C1 g C 6.023 10 àtoms C

12 g C 1 mol C 1 àtom CN

-´ ´= ⋅ ⋅ ⋅ » ´

La constant radioactiva del 14C és

1

1

2

1210 s5730 365 24 60 60

ln(2) ln(2)3.836

Tl - -´

⋅ ⋅=

⋅ ⋅= =

Aleshores, l’activitat d’una mostra actual que contingui 1 g de 12C serà

10 120 0 6.023 10 3.836 10 0.2310 BqA N l -= » ´ ⋅ ´ =

Bastarà mesurar l’activitat de la mostra antiga i aplicar la llei de desintegració radioactiva per a saber el temps que fa que va morir.

a) Amb el carboni 14 es poden datar amb precisió fòssils i mostres de materials orgànics de fins a 40 o 50 mil anys d’antiguitat. b) L’activitat que presenta ara la mostra d’una eina antiga és 13600 desintegracions per dia. Aquesta activitat l’expressarem en les unitats del SI, Bq (o desintegracions per segon)

desintegracions 1 dia 1 hora 1 minut13600 0.1574 Bq

dia 24 hores 60 minuts 60 segons⋅ ⋅ ⋅ =

L’activitat de la mateixa massa d’una mostra actual és 920 desintegracions per dia, que en Bq és

desintegracions 1 hora 1 minut920 0.2556 Bq

hora 60 minuts 60 segons⋅ ⋅ =

Aquesta activitat també és actual. Aleshores hi ha una errada a l’enunciat? La resposta és que no. Es tracta de dues activitats actuals però de mostres diferents. Ara bé, l’activitat que té ara una mostra actual és igual a l’activitat inicial que tenia una mostra antiga, ja que, com s’ha dit a l’explicació, la proporció de 14 12C C present a l’atmosfera es pot considerar constant al llarg del temps. La constant radioactiva del 14C és

4 1

1 210 any

573ln(2) ln(2)

1.2100T

l - -= = = ´

Finalment, aplicarem la llei de desintegració radioactiva

4

4

4

4

1.210 10

1.210 10

1.210 10

4

4

0.48481.210 10

0.1574 0.25560.15740.2556

0.6158

ln(0.6158) 1.210 10

0.4848 1.210 10

4007 any

t

t

t

e

e

e

t

t

t

t

-

-

-

-

- ´

- ´

- ´

-

-

-- ´

=

=

=

=- ´

- =- ´

=

=

Documents

1. Interacció gravitatòria...1. Interacció gravitatòria En els problemes següents que necessiten la massa i el radi equatorial de la Terra, s’ha d’usar 24M T =´5.974 10 kg