1 Kontingenstabeller Krydstabeller Ki-kvadrat test …people.math.aau.dk/~svante/FSV/l4/l4SL.pdf · PSE (I17) FSV1 Statistik - 4. lektion 1 / 34. Kontingenstabeller Krydstabeller

1 KontingenstabellerKrydstabellerForventede under nulhypotesenKi-kvadrat testResidualanalyseEksakt test

2 Logaritme- og eksponentialfunktion

3 Logistisk regressionSammenligning af odds for 2 grupperKonfidensinterval for effektTest for effektBeregninger i StataMultiple prediktorerEffektmodifikationSammenligning af flere grupperRegression pa intervalvariabelEffektmodifikation af intervalvariabel

PSE (I17) FSV1 Statistik - 4. lektion 1 / 34

Kontingenstabeller Krydstabeller

2 dikotome variableVi skal studere sammenhænge mellem kategoriske variable, hvor vi førstbetragter situationen med dikotome variable.Aktuelt kigger vi pa eksemplet med placebo/vaccine og influenza(ja/nej).

Data er indtastet i Stata, hvor vi forhver kombination af faktorerne(fluog vac) angiver, hvor mange(ant) viobserverer for denne kombination.



KrydstabelStatistics→ Summaries,...→ Frequency...→ Two-way...

Under Main fanenfortælles, at

vi vilkrydstabulerevac og flu

beregne Pearsonsteststatistik foringensammenhæng

de forventedeantal, nar derikke ersammenhæng



Krydstabel

I Weights-fanen fortælles at de enkelte kombi-nationer af faktorerne vac of flu skal vægtesmed deres antal (ant).Ellers tælles de som forekommende 1 gang!Dvs vi far en tabel med 4 et-taller.



Krydstabel


Kontingenstabeller Forventede under nulhypotesen

Vi skal betragte nulhy-potesen

H0: Der er ingensammenhængmellem de 2faktorer.

Aktuelt: Sandsynligheden for at fa influenza skal være den samme forplacebo og vaccine.Under nulhypotesen er vort estimat for denne sandsynlighed π = 100

460 .Da 240 vaccineres forventer vi under nulhypotesen at se

E = 240π = 240×100460 = 52.2 vaccinerede og influenzaramte.

Pa tilsvarende vis beregnes forventede for de øvrige kombinationer affaktorerne.


Kontingenstabeller Forventede under nulhypotesen

Forventede under nulhypotesenHvis E angiver det forventede antal i en indgang i tabellen kan detteberegnes via formlen

E =rækkeTotal× søjleTotal

tabelTotal

Vi skal sammenligne dette forventede billede med værdierne O i denobserverede tabel.Dette gøres ved at beregne Ki-kvadrat afstanden mellem de 2 tabeller

X 2 =∑ (O − E )2

E

Aktuelt

(20−52.2)2

52.2 + (80−47.8)2

47.8 + (220−187.8)2

187.8 + (140−172.2)2

172.2 = 53.09

Er denne afstand stor?


Kontingenstabeller Ki-kvadrat test

Ki-kvadrat testNar H0 er sand og alle indgange i den forventede tabel er mindst 5,sa kan det vises at X 2 approsimativt følger en sakaldt

χ2(ki-i-anden)-fordeling med

df = (r − 1)(c − 1) frihedsgrader

r : antal rækker og c : antal søjler

Middeltallet af X 2 er df og standardfejlen er√

2df .

Vi skal altsa beregne p-værdien, som den øvre halesandsynlighed i dennefordeling. Aktuelt er df = 1 hvilket betyder at X 2 = 53.09 er enexorbitant stor værdi, dvs klar evidens mod nulhypotesen.


Kontingenstabeller Residualanalyse

ResidualerForskellen O − E mellem det observerede og det forventede kaldesresidualet.Nar denne divideres med

√E fas Pearson residualet

pRes =O − E√

E

Hvis nulhypotesen er sand kan vi tænke pa pRes som en z-værdi, dvshovedparten af disse skal ligge mellem ±2.Desværre er disse ikke umiddelbart tilgængelige i Stata. Men de kan opnasved at installere tabchi som beskrevet nedenfor.



ResidualerTast kommandoen findit tabchi i kommandovinduet underResults-vinduet og tast Enter. Hvorefter du forhabentlig ser

Klik pa tab chi linket, hvorefter du ser

hvor du klikker pa (click here to install)



Residualer

I kommandovinduet taster dutabchi vac flu [fw=ant] , pefterfulgt af Enter.Det observerede antal med influenza iplacebogruppen ligger 4.7 standardfejlover det forventede. Altsa signifikant formange.

Vi kan konkludere at vaccine har en signifikant positiv effekt.


Kontingenstabeller Eksakt test

Eksakt testHvis ikke alle indgange i den forventede tabel er mindst 5, sa er χ2-testetdubiøst.I dette tilfælde kan man i stedet bruge Fisher’s eksakte test.Dette aktiveres i Stata ved i Main-fanen at vælge Fisher’s exact test

i stedet for Pearson’s chi-squared.


Logaritme- og eksponentialfunktion

EksponentialfunktionenEksponentialfunktionen defineres ud fra tallet

e = 2.7182818

eu betyder e multipliceret med sig selv u gange

Eksempelvis e3 = e × e × e = 20.09.Der gælder at

e(u+v) = eu × ev

Højresiden af lighedstegnet fortæller at vi multiplicerer e med sig selv hhvu og v gange og nar disse multipliceres far vi et produkt, hvor e ermultipliceret med sig selv u + v gange.Eksempelvis

e2 × e3 = (e × e)× (e × e × e) = e5



EksponentialfunktionenEksponentialfunktion defineres ogsa for negative potenser via

e−u =1

eu

Eksempelvis e−3 = 1e3 = 1

20.09 = 0.05.

Eksponentialfunktionen kan udvides til ogsa at gælde for ”skæve” potenserved at vedtage at e(u+v) = eu × ev skal gælde for alle tal.Eksempelvis ser vi sa at

e0.5 × e0.5 = e(0.5+0.5) = e

hvorfor der ma gælde at e0.5 =√e = 1.65

Endvidere følger at

e0 = e(1−1) = e × e−1 =e

e= 1



LogaritmefunktionFundamentale egenskaber ved eksponentialfunktionen:

eu > 0

e(u+v) = eu × ev

e0 = 1

Hvis x = eu sa kaldes u for logaritmen til x og betegnes log(x). Sa dergælder eksempelvis log(1) = 0.Fundamentale egenskaber ved logaritmefunktionen:

log(x) er kun defineret for x > 0.

log(x × y) = log(x) + log(y)

log(xn) = n × log(x)

log(1) = 0

Eksempelvis log(10n) = n × log(10) = n × 2.3, dvs hver gang vi 10-doblerforøges logaritmen blot med 2.3.Fex log(1000)− log(100) = log(10)− log(1) = 2.3


Logistisk regression Sammenligning af odds for 2 grupper

Sammenligning af odds for 2 grupperVi vender tilbage til eksperimentet, hvor responsen er dikotom(binær), dvsder er 2 mulige udfald.Vi vil kode de 2 mulige udfald med

D: Som kunne betyde syg(desased)

H: Som kunne betyde rask(healthy)

Ud over responsen har vi en dikotom forklarende variabel(fexbehandling/eksponering), som deler populationen i 2 grupper (kaldet 0 og1).Vi er interesseret i at sammenligne sygdomsodds for de 2 delpopulationer

Odds0(D) = π01−π0

, hvor π0 er andelen i gruppe 0, som har status ligmed D.

Odds1(D) = π11−π1

, hvor π1 er andelen i gruppe 1, som har status ligmed D.



Sammenligning af odds for 2 grupperVi skal basere sammenligningen pa odds for gruppe1 relativt til odds fragruppe0, det sakaldte odds ratio

OR1,0(D) =Odds1(D)

Odds0(D)

Hvis eksempelvis OR1,0(D) = 1.5, sa er odds for sygdom 50% større igruppe 1 end i gruppe 0.Ligningen ovenfor kan ogsa skrives

Odds1(D) = Odds0(D)× OR1,0(D)

Hvis gruppe1 svarer til exposure og gruppe0 kaldes baseline, sa kan detudtrykkes som

OddsExposure = OddsBaseline× OR(Exposure)



logOddsVi opnar den mest valide analyse ift konfidensintervaller og hypotesetestved at transformere til log-skala:

log(OddsExposure) = log(OddsBaseline) + log(OR(Exposure))

Vi skal indføre notationen:

β0 = log(OddsBaseline)

β1 = log(OR(Exposure))

Bemærk at

β1 = log(OddsExposure)− log(OddsBaseline)

dvs β1 maler effekten af exposure ift baseline.Hypotesen om ingen effekt undersøges saledes ved at teste H0 : β1 = 0.



Eksempel

Med Savanne som baseline kan vi estimere logOdds for baseline:

β0 = log(281/267) = 0.0511

Effekten pa logOdds ved at flytte til regnskoven estimeres til

β1 = log(541/213)− log(281/267) = 0.881

Er denne effekt signifikant?


Logistisk regression Konfidensinterval for effekt

KonfidensintervalNar vi skal vurdere om β1 er signifikant større end nul, sa har vi brug fordens standardfejl.Vi overlader beregningen til Stata, som rapporterer at

se(β1) = 0.118

Vi kan sa bestemme 95% konfidensintervallet

β1 ± 1.96× se(β1)

som giver grænser 0.650 og 1.112, dvs effekten er tydelig.Effekten pa odds findes via exponentialfunktionen:

Nedre grænse: e0.65 = 1.92, dvs vi forventer at odds forøges medmindst 92%.

Øvre grænse: e1.112 = 3.04, dvs 3-dobling.


Logistisk regression Test for effekt

SignifikanstestVi skal betragte nulhypotesen H0 : β1 = 0.Pa basis af β1 og se(β1) kan vi beregne

z =β1

se(β1)

som approksimativt følger en standard normalfordeling, hvisnulhypotesen er sand.Vi kan sa pa sædvanlig vis beregne den tilhørende p-værdi.

Aktuelt z = 0.8810.118 = 7.5 - langt over 3, sa pVærdi=0.


Logistisk regression Beregninger i Stata

StataStatistics→Binary outcomes→Logistic regression, reporting

coefficients

Vi skal specificere outcome (mf) og prædiktor (area).


Logistisk regression Beregninger i Stata

Stata

Vi genkender

-cons svarer til area=0, dvs logOdds for savanne er β0 = 0.051.

area giver effekten af area, dvs nar vi gar fra 0=savanne til 1=skov.Forskellen i logOdds er β1 = 0.881.Vi kan ogsa genkende konfidensintervallet.Og klar signifikans med z = 7.49.


Logistisk regression Multiple prediktorer

ModelNar x1 angiver dummykodning af gruppevariablen(eksponering/behandling) kan vi formulere modellen pa denne made

logOdds = β0 + β1x1

som læses

Nar x1 = 0(baseline) er logOdds β0

Nar x1 = 1(exposure) er logOdds β0 + β1

dvs β1 er kontrasten/forskellen i logOdds og maler effekten af eksponering.Pa helt samme made som ved multipel lineær regression kan vi udvidemodellen til at inkludere effekten af flere prediktorer.

logOdds = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3

inkluderer effekt af x1 , x2 og x3.



Eksempel

Lad os inkludere køn som prediktor dvs

logOdds = β0 + β1x1 + β2x2

x2 = 0 for mænd og x2 = 1 for kvinder, dvs β2 maler forskellen framænd til kvinder.

I Statas Model-fane:

Independent variables: area sex, dvs hovedvirkning af beggefaktorer.



Eksempel

Signifikante effekter af bade sex og area.Vi kan se

Estimeret logOdds for kvinder er β2 = −0.484 lavere end for mænd.

Konfidensintervallet -.717 til -.25 svarer til en faktor melleme−0.717 = 0.49 og e−0.25 = 0.78 pa oddsSkalaen. Vi skønner altsa atodds for kvinderne er mellem 1− 0.78 = 22% og 1− 0.49 = 51%lavere end for mænd.


Logistisk regression Effektmodifikation

EksempelLad os udvide modellen til

logOdds = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x1x2

LogOdds for mand pa savannen(x1 = x2 = 0): β0.

LogOdds for mand i skoven(x1 = 1,x2 = 0): β0 + β1.

SkovEffekt for mand: β1.

LogOdds for kvinde pa savannen(x1 = 0,x2 = 1): β0 + β2.

LogOdds for kvinde i skoven(x1 = 1,x2 = 1): β0 + β1 + β2 + β3.

SkovEffektfor kvinde: β1 + β3.

Forskel i skovEffekt for mænd og kvinder: β3.

Parameteren β3 fortæller hvordan skovEffekten modificeres, nar vi skifterkøn fra mand til kvinde.


Logistisk regression Effektmodifikation

Eksempel - StataI Statas Model-fane:

Independent variables: area##sex, dvsvekselvirkning/effektmodifikation mellem de 2 faktorer.

Der er ikke signifikant effektmodifikation, idet β3 = −0.401 ikke afvigersignifikant fra nul (p-værdi 9.3%).Vi fastholder altsa den tidligere model, hvor der er effekt af køn og enskovEffekt, som er ens for mænd og kvinder.


Logistisk regression Sammenligning af flere grupper

EksempelRespondenterne i vores ”flodblindhed” undersøgelse er inddelt ialdersgrupper.

Hvis xi er dummy variabel for aldersgruppe nr i , i = 1, 2, 3 skal vi kigge pamodellen

logOdds = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3

Der gælder altsa at xi = 1 hvis du tilhører aldersgruppe nr i og ellers erxi = 0, hvor i kan være 1, 2, 3.

Vi kan fortolke parametrene:

β1 er kontrast i logOdds mellem aldersgruppe 0 og aldersgruppe 1.





Eksempel

Præfikset i. fortæller at agegrp skal dummykodes. Ellers tror Stata atdet er malinger pa intervalskala.



Eksempel

Vi kan konstatere at alle aldersgrupper ligger signifikant højere endbaseline.Faktisk ser det ud til at ændringen i logOdds er proportional medændringen i aldersgruppe.Lad os forfølge dette med en simpel lineær regression, hvor vi betragteraldersgruppe som intervaldata.


Logistisk regression Regression pa intervalvariabel

Eksempel - StataI Statas Model-fane:

Independent variables: agegrp, der nu opfattes som metrisk.

Stigningen i logOdds nar vi gar en aldersgruppe op er signifikant medkonfidensgrænser 0.805 0g 1.055.

Pa odds skala er dette e0.805 = 2.24 og e1.055 = 2.87 .

Stigningen i odds for flodfeber er saledes mellem 124% og 187%, narvi bliver en aldersgruppe ældre.


Logistisk regression Effektmodifikation af intervalvariabel

EffektmodifikationUd over alderseffekten har vi set en effekt af area, som maske kanbortforklares af alderseffekten, hvis alderssammensætningen erforskellig pa savanne og skov.Hvis skovbefolkningen generelt er ældre, sa vil de have en højeresygelighed.

Lad os kigge pa en model med effekt af begge variable.

Hvis begge variable har effekt er det ogsa interessant at undersøge omaldereffekten er forskellig pa savanne og skov.

I Statas Model-fane:

Independent variables: area##c.agegrp, hvor nu præfix c.

fortæller at variablen er metrisk.


Logistisk regression Effektmodifikation af intervalvariabel

Effektmodifikation

LogOdds for aldersgruppe 0 pa savannen er -1.443.

Pa savannen vokser LogOdds med 0.799, nar aldersgrp gar 1 op.

Skoveffekten i aldersgruppe 0 estimeres til 0.480. Denne er ikkesignifikant.

LogOdds for forskel pa alderseffekten pa skov og savanne er 0.343,hvilket er signifikant.

Konklusion: Skov og savanne har samme odds i aldersgruppe 0. Tilgengæld vokser LogOdds signifikant hurtigere med alderen iskoven(0.799+0.343=1.142) end pa savannen(0.799).


Documents

1 Kontingenstabeller Krydstabeller Ki-kvadrat test …people.math.aau.dk/~svante/FSV/l4/l4SL.pdf · PSE (I17) FSV1 Statistik - 4. lektion 1 / 34. Kontingenstabeller Krydstabeller