1

N. Campillo Seva

Asignatura: Análisis QuímicoGrado: BioquímicaCurso académico: 2011/12

1. LA INCERTIDUMBRE EN LAS MEDIDAS CIENTÍFICAS

1.1. Precisión y exactitud 1.2. Tipos de error. Propagación de errores 1.3. Cifras significativas

2. ESTADÍSTICA

2.1. Distribución de Gauss2.2. Intervalos de confianza2.3. Comparación de medias utilizando la t de Student2.4. Comparación de desviaciones estándar con el test F2.5. Test Q de datos sospechosos

2

N. Campillo Seva

El trabajo científico

Nos exactos Nos inexactos

Números enteros o fraccionesConstantes matemáticas (π, e…) Relaciones: 1 kg = 1000 g;1 µg = 1000 ng; 1 m = 10 dm;1 día = 1440 min; 1 cc = 1 mL1 L = 1000 mL …

Masa de 1 L de lecheSuperficie de una mesaVolumen de café contenido en un recipienteConcentración de NaCl en el agua del Mar Menor

Los nos obtenidos por mediciones experimentales son siempre inexactos,tienen una incertidumbre asociada

1. LA INCERTIDUMBRE EN LAS MEDIDAS CIENTÍFICAS

3

N. Campillo Seva

DEFINICIÓN DE RÉPLICAS DE MUESTRASEl proceso de medida debe llevarse a cabo en varias alícuotas idénticas de la muestra

1 mL 110 mg/dL

1 mL 109.6 mg/dL

1 mL 187.5 mg/dL

1mL 110.3 mg/dL

Finalidad

1.Establecer la variabilidad del análisis2.Evitar un error grave

LA INCERTIDUMBRE ES TAN IMPORTANTE

COMO LA MEDIDA MISMA

X ± SD

N. Campillo Seva

4

F1

F2

EL PROCESO ANALÍTICOEL PROCESO ANALÍTICO

Cada medida tiende a ser distinta de las demás:

La mejor estimación es el valor central del conjunto

RESULTADOS DE 6 DETERMINACIONES DE Fe REPETIDAS EN UNA MUESTRA QUE CONTENÍA 20 ppm

Valorverdadero

19,2 19,6 20,0 20,4ppm Fe(III)

xt=20,0x=19,78 ppm

Media, media aritmética o promedio: medida de la tendencia central más usada

Mediana 1

N

iix

xN

5

N. Campillo Seva

EXACTITUD(cercanía al valor verdadero)

Valor verdadero: 35,4

35,5

95,2

PRECISIÓN19,3 – 19,1 – 18,9 – 19,2 – 19,3…..

19,2 – 15,4 – 25,8 – 20,7 – 11,9…(reproducibilidad)

1.1. PRECISIÓN Y EXACTITUD Términos empleados para expresar lasincertidumbres asociadas a las medidas

6

N. Campillo Seva

Se describe a través de tres términos:- Desviación estándar (s, SD ó e)- Varianza: (s2 ó e2)

- Coeficiente de variación ó desviación estándar relativa (%s, %e, CV, DER ó RSD)

Informan de la desviación de la media

2

1

( )

1

N

ii

x xs

N

( % ) *100s

DER ó sx

i id x x

↑ PRECISIÓN↓ EXACTITUD

↓ PRECISIÓN↓ EXACTITUD

↑ PRECISIÓN↑ EXACTITUD

↓ PRECISIÓN↑ EXACTITUD

7

N. Campillo Seva

EXACTITUDMás difícil de determinar que

la precisión

Valor verdadero

El obtenido por una persona experimentadaa través de un procedimiento bien establecido, mejor aún si se ha obtenido a través de varios

procedimientos y en distintos laboratorios:Valor aceptado

Error absoluto (E) = xobtenido - xverdadero

19,2 19,6 20,0 20,4ppm Fe(III)

xt=20,0x=19,78 ppm

E = 19,8 – 20 = -0,2 ppm

Er = 19,8 – 20 20

x 100 = -1%

100obtenido verdadero

verdadero

x xError relativo x

x

8

N. Campillo Seva

1.2. TIPOS DE ERROR EXPERIMENTAL

SISTEMÁTICO O DETERMINADO ALEATORIO O INDETERMINADO

9

N. Campillo Seva

BRUTO

10

TIPOS DE ERROR EXPERIMENTAL

SISTEMÁTICO O DETERMINADO

Volumen real: 5,12 mL

Volumen teórico: 4,99 – 5,01 mL

Este error es reproducible

10

N. Campillo Seva

F1

Fallo del equipo o del diseño del experimento

Aunque es difícil, puede descubrirse y corregirse

- Calibrar todo el instrumental empleado

- Analizar muestras de composiciónconocida (materiales de referencia)

- Analizar muestras “blanco”

- Usar otros métodos analíticos

- Comparación entre varios laboratoriosmediante el mismo o distintos métodos analíticos

¿Cómo?

TIPOS DE ERROR EXPERIMENTAL

ALEATORIO O INDETERMINADO

Originados por variables incontrolables en cada medida

Siempre está presente y no puede ser corregido

- Si varias personas leen esta escala, es muy probableque den valores distintos e incluso, una mismapersona al leerla en distintos momentos.

- Ruido eléctrico del instrumento

Nivel del menisco

Estos errores no pueden eliminarse pero sí minimizarse mejorandolas condiciones de trabajo experimental

11

N. Campillo Seva

F1

12

TIPOS DE ERROR EXPERIMENTAL

ERROR BRUTO

Ocurre de forma ocasionalSuele ser grandeProvoca que el resultado sea muy alto o muy bajo

Da como resultado valores atípicos

PROPAGACIÓN DE ERRORES

Sumas y restas

1,25 (±0,01) + 1,35 (±0,05) – 0,21 (±0,02) = 2,39 (±s4) = 2,39 (±0,05)

s1 s2 s3

2 2 24 1 2 3s s s s

Productos y cocientes

4

[1,25 ( 0,03)] [1,24 ( 0,02)]2,38 ( )

0,65 ( 0,02)

xs

23

22

214 )s(%)s(%)s(%s%

Ejemplo con tres términos

Valor medio (±desviación estándar)

x (±s)

44

%

100

xs xs

13

N. Campillo Seva

1.3. CIFRAS SIGNIFICATIVAS

Nº mínimo de cifras necesario para expresar un determinado valor en notación científica sin perder exactitud.

Todos los dígitos conocidos con certeza y el primero incierto:

Con certeza: 9,6 < Nivel < 9,7

3 cifras significativas: 9,68

El 0 puede ser o no significativo según su posición:

● 30,22 mL

● 0,03022 L

● 83500:

8,35 x 104, tres cifras significativas

8,350 x 104, cuatro cifras significativas

8,3500 x 104, cinco cifras significativas

Si un nº acaba en ceros, pero no tiene coma decimal:se puede suponer que los ceros no son sign. Notación exponencial

14

N. Campillo Seva

F1

CIFRAS SIGNIFICATIVAS en los cálculos numéricos

Sumas y restas:

3,4 + 0,020 + 7,31 = 10,730 10,7

Dígito incierto

Productos y cocientes: El resultado de la multiplicación o la división debe expresarse con el mismo nº de cifras significativas del factor con menos cifras significativas

2,453 x 10-8

: 1,05 x 104

2,34 x10-12

2,4522 x 10-18

x 0,75 x 1013

1,8 x 10-5

2,45: 0,75 3,3

2,45 x 10-8

x 0,75 1,8 x 10-8

El resultado de la suma o la resta debe expresarsecon el mismo nº de cifras decimales que la magnitud con menos cifras decimales

15

N. Campillo Seva

2. ESTADÍSTICA

16

Proporciona herramientas para:- Aceptar conclusiones que presentan probabilidad alta de ser correctas

- Rechazar conclusiones que presentan baja probabilidad de ser correctas

2.1. DISTRIBUCIÓN DE GAUSS

- Repetición del experimento un nº elevado de veces- Errores sólo aletorios

Distribución de Gauss

En el laboratorio habitualmente 2-5 veces

- Existe igual probabilidad de que la medida sea > ó < que la media- La probabilidad de observar un valor disminuye al aumentar su distancia a la media

Centro de la distribución

Ancho de la distribución:A ↓s, ↑ agrupamiento de los resultados alrededor de la media: Mayor precisión

Nº

de m

edid

as

Concentración, mg/dL

17

N. Campillo Seva

F1

s: Medida del grado de proximidad de los datos al valor medio

Concentración glucosa, mg/dL

Nº

de m

edid

as

1N

)xx(s

N

1i

2i

Serie infinita de datos:Verdadera media: µ Desviación estándar: σ

Grados de libertad

Varianza = s2

Coeficiente de variación o desviaciónestándar relativa (CV, RSD, %e ó %s)

, % 100s

RSD DERó sx

Distribuciones normales con igual valor medio y distinta desviación estándar

2

Serie finita de datos: : Media muestral s : Desviación estándar muestral

18

N. Campillo Seva

F1

x

En toda curva de Gauss: ● 68,3% del área está comprendido en el intervalo de

● 95,5% del área de

● 99,7% del área de

Dos técnicas analíticas diferentes: A y B para determinación de Fe en sangre

RSD = 0,4% RSD = 1,1%

2/3 de las medidas estándentro del 0,4% de la media

2/3 de las medidas estándentro del 1,1% de la media

ÁREA BAJO LA CURVA DE GAUSS

19

N. Campillo Seva

F1

( ) ( )x s a x s ( 2 ) ( 2 )x s a x s ( 3 ) ( 3 )x s a x s

Ecuación de la curva de Gauss:

µ = 0σ = 1

Si transformamos x en z:

s

xxxz

La probabilidad de medir z en un intervalo es igual al área de dicho intervalo:

Área (z=2) = 0,4773Área (z=1) = 0,3413

Área entre -2 y -1 = 0,136

Área desde z= -∞ y +∞ 1

Factor de normalización

2

(1 x

ey

PROBABILIDAD DE OBTENER UNA MEDIDA

20

N. Campillo Seva

F1

|z|a

2

(1 x

ey

21

N. Campillo Seva

Supongamos: x = 845,2 mg/dL y s= 94,2 mg/dL

6,02,94

845900

z

Probabilidad de obtener un resultado menor de 1000:1º. Cálculo de z: 1,62º. Área entre el valor medio y z=1,6: 0,44523º. Área entre -∞ y 1000 : 0,5 + 0,4452 = 0.9452

Probabilidad: 94,52% Concentración, mg/dL

Nº

de

med

idas 0,7258

0,9452

Probabilidad de obtener un resultado menor de 900:1º. Cálculo de z:

2º. Área entre el valor medio y z=0,6: 0,22583º. Área entre -∞ y 900 : 0,5 + 0,2258 = 0,7258

Probabilidad: 72,58%

6,058,02,94

2,845900

z

Área desde -∞ a 900

Área desde -∞ a 1000

22

N. Campillo Seva

F1

2.2. INTERVALOS DE CONFIANZA (IC)

La t de Student - Para expresar intervalos de confianza- Para comparar medias

W.S. Gosset,Biometrika 1908, 6, 1

¿Para quése utiliza?

¿Cómo se calculan los intervalos de confianza?

n

tsx

Al ↑ n, ↓ la incertidumbre

Disponiendo de un número limitado de datos podemos hallar la media muestral y ladesviación estándar muestral, pero no μ y σ. El intervalo de confianza es una expresiónque me dice que la verdadera media (μ) está probablemente a una cierta distancia de lamedia muestral medida.

Al ↑ s, ↑ la incertidumbre

Al ↑ el nivel de confianza, ↑ t y por tanto ↑ la incertidumbre

23

N. Campillo Seva

F1

Valores de la t de StudentGrados de libertad

Nivel de confianza, %50 90 95 98 99 99,5 99,9

1 1,000 6,314 12,706 31,821 63,656 127,321 636,5782 0,816 2,920 4,303 6,965 9,925 14,089 31,5983 0,765 2,353 3,182 4,541 5,841 7,453 12,9244 0,741 2,132 2,776 3,747 4,604 5,598 8,6105 0,727 2,015 2,571 3,365 4,032 4,773 6,8696 0,718 1,943 2,447 3,143 3,707 4,317 5,9597 0,711 1,895 2,365 2,998 3,500 4,029 5,4088 0,706 1,860 2,306 2,896 3,355 3,832 5,0419 0,703 1,833 2,262 2,821 3,250 3,690 4,78110 0,700 1,812 2,228 2,764 3,169 3,581 4,58715 0,691 1,753 2,131 2,602 2,947 3,252 4,07320 0,687 1,725 2,086 2,528 2,845 3,153 3,85025 0,684 1,708 2,060 2,485 2,787 3,078 3,72530 0,683 1,697 2,042 2,457 2,750 3,030 3,64640 0,681 1,684 2,021 2,423 2,704 2,971 3,55160 0,679 1,671 2,000 2,390 2,660 2,915 3,460120 0,677 1,658 1,980 2,358 2,617 2,860 3,373∞ 0,674 1,645 1,960 2,326 2,576 2,807 3,291

24

N. Campillo Seva

Ejercicio: Contenido de hidratos de C en una glicoproteína 12,6; 11,9; 13,0; 12,7 y 12,5 % (m/m)

Calcule el intervalo de confianza del 50%

1º. Cálculo de: x= 12,54 y e=0,40

2º. Buscamos t para 50% y (n-1): 0,7413º. Aplicamos la fórmula: µ = 12,54 (±0,13)

CONCLUSIÓN: Existe un 50% de probabilidad de que la verdadera media (µ)esté en el intervalo de 12,41 a 12,67.

INFLUENCIA DEL NIVEL DE CONFIANZA EN EL “IC” OBTENIDO

¿Cómo se modifica el IC al aumentar el nivel de confianza?

25

N. Campillo Seva

Cálculo del IC al nivel de confianza del 90%

1º. Cálculo de: x= 12,54 y s=0,40

2º. Buscamos ttabulada para 90% y (n-1): 2,1323º. Aplicamos la fórmula: µ = 12,54 (±0,38)

Existe un 90% de probabilidad de quela verdadera media (µ) se encuentreen el intervalo comprendido 12,16 a 12,92.

50% de probabilidad

de que el verdadero valor se

encuentre en este

intervalo

90% de probabilidad

de que el verdadero valor se

encuentre en este

intervalo

Análisis Químico Cuantitativo© 2007 Reverté

Con

teni

do d

e ca

rboh

idra

tos

CONCLUSIÓN:Para un determinado experimento al aumentar el nivel de confianza,la amplitud del intervalo de confianza también aumenta

26

N. Campillo Seva

F1

INFLUENCIA DEL Nº DE MEDIDAS EN EL “IC” OBTENIDO

Medimos 5 veces el volumen de un recipiente

6,3746 (±0,0018) mL

Intervalo de confianza (90%) para 5 medidas:6,3746 (±0,0017) mL

6,3746 ± 0,0018 mL

Intervalo de confianza (90%):6,3746 ± 0,0007

Media

± Desviación estándar

Inº

Intervalo de confianza del 90%para 21 medidas

Intervalo de confianza del 90%para 5 medidas

6,3746 (±0,0007) mL

6,372 6,373

6,374 6,375 6,376 6,377

Media

Desviación estándar

Intervalo de confianza del 90%para 5 medidas

27

N. Campillo Seva

F1

INFLUENCIA DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR EN EL “IC” OBTENIDO

Medimos el contenido de C en una glicoproteína mediante dos técnicas analíticas diferentes

Técnica A Técnica B

n = 512,54 (±0,40)

n = 512,54 (±0,70)

Intervalos de confianza al 90%

µ = 12,54 (±0,13) µ = 12,54 (±0,67)

CONCLUSIÓN:A mayor desviación estándar, mayor será la amplitud del intervalo de confianza

28

N. Campillo Seva

2.3. COMPARACIÓN DE MEDIDAS MEDIANTE LA t DE STUDENT

Procedimiento: Comparamos dos conjuntos de medidas y concluimos si son o no diferentes.

Se comprueba la “HIPÓTESIS NULA”: De partida los valores medios de los dos conjuntos NO son diferentes

Nos preguntamos:¿qué probabilidad existe de que la diferencia se deba sólo a errores aleatorios?

- Si existe menos de un 5% de probabilidad, se rechaza la hipótesis nula.- Por tanto, se tendrá un 95% de probabilidad de que los dos conjuntos no sean

diferentes.

Los errores aleatorios son inevitables

Imposible que 2 valores sean idénticos

29

N. Campillo Seva

CASO 1

Existen tres casos que se tratan de forma diferente:

CASO 2

CASO 3 Se dispone de “n” muestras diferentes que son medidas una única vez mediante dos métodos diferentes (A y B).

Se mide una cantidad “n” veces y se obtiene el valor medio ( ) y la desviación estándar (s). Se compara el resultado obtenido con un resultado conocido y aceptado.

x

Se mide una cantidad varias veces con dos métodos diferentes, obteniéndose para cada uno de ellos su valor medio ( ) y su desviación estándar (s1 y s2).

21 xyx

Si la media obtenida no concuerda exactamente con el resultado conocido hay que comprobar si coincide o no el resultado medio con el conocido dentro del error experimental.

Se comprueba si concuerdan entre sí los dos resultados dentro del error experimental.

Se comprueba si concuerdan los dos métodos dentro del error experimental o son sistemáticamente diferentes.

30

PATRÓN DE APLICACIÓN DE LOS TESTS DE COMPARACIÓN DE MEDIDAS

4. Comparación de los valores de t:

● Si tcalculada > ttabulada Los resultados obtenidos son significativamente

diferentes al nivel de confianza del 95%

● Si tcalculada < ttabulada Los resultados obtenidos no son significativamente

diferentes al nivel de confianza del 95%

1. Selección del tipo de casoCaso 1

Caso 2

Caso 3

2. Cálculo de t tcalculada

3. Extracción del valor tabulado de t según cada caso particular según la tabla expuesta en la diapositiva nº 24 (Si no se especifica lo contrario se obtendrá para un nivel de confianza del 95%)

ttabulada

31

N. Campillo Seva

Ej. Queremos validar un nuevo analítico para la determinación de Se en orina:

CASO 1: COMPARACIÓN DE UN RESULTADO MEDIDO CON UN VALOR CONOCIDO

NIS

T S

RM

144

a

Se: 30,1 (±0,9) ng/mL

calculadax valor conocido 28,5 30,1

t n 4 4,000s 0,8

¿Coincide o no el resultado obtenido con el conocido dentro del error experimental?

ttabulada (n-1=3) = 3,182

27,629,328,128,9

n=428,5 (±0,8)

Comparamos con un resultadoconocido y aceptado

Analizamos mediante dicho métodoun material de referencia certificado

NIS

T S

RM

144

aNational Institute Standard Technology

Standard Reference MaterialNIST-SRM

El valor medio obtenido (28,5) no concuerda exactamente con el resultado aceptado (30,1)

Se calcula t y, si tcalculada > ttabulada a un nivel de confianza del 95%, se considera que los dos

resultados son diferentes

Existen diferencias significativasal nivel de confianza del 95%

entre los dos resultados

32

N. Campillo Seva

CASO 2: COMPARACIÓN DE MEDIDAS REPLICADAS

Ej. Medimos Se en una única muestra de orina mediante dos métodos diferentes A y B:

Método A (ETAAS): 45,21; 47,22; 44,91; 46,38

Método B (HG-AAS): 41,28; 43,22; 44,81; 42,35

¿Concuerdan entre sí los dos resultados obtenidos dentro del error experimental?

ttabulada (n1+n2-2, 95%) = 2,447

x1 ± s1

x2 ± s2

45,93 ± 1,07

42,59 ± 1,48

1 2 1 2 3 9

1 2

45,9 42,5 4*43,658

1,291 4 4calculada

combinada

x x n nt

s n n

Se calcula t y, si tcalculada > ttabulada a un nivel de confianza del 95%, se considera que los dos

resultados son diferentes

Dado que tcalculada > ttabulada : Existen diferencias significativas al nivel de confianza del 95%

entre los dos resultados 33

N. Campillo Seva

22

2 21 2 2 2

1 1 2 21 2 7 8

1 2 1 2

( ) ( )1,0 (4 1) 1,4 (4 1)( 1) ( 1)

1,2912 2 4 4 2

i j

set setcombinada

x x x xs n s n

sn n n n

=

CASO 3: COMPARACIÓN DE PARES DE MEDIDAS

Ej. Realizamos una única medida de Se en varias muestras diferentes de orina mediante dos técnicas analíticas diferentes A y B:

Muestra Concentración Se, ng/mL

Técnica AETAAS

Técnica BHG-AAS

Diferencia, di

1 30,12 30,41 -0,29

2 42,17 45,32 -3,15

3 26,80 26,19 0,61

4 31,03 31,42 -0,39

Media = -0,805

¿Son significativamente diferentes los resultados obtenidos mediante estas técnicas?

Aplicamos el test de las diferencias individuales

ttabulada (n-1, 95%) = 3,182

Dado que tcalculada < ttabulada (al 95%de nivel de confianza) afirmamos que entre estas dos técnicas NO existen diferencias significativas al nivel de confianza citado.

2( )1,627

1

id

d ds

n

0,8054 0,989

1,627calculada

d

dt n

s

1 -0,805 0,805

N

ii

dd

N

34

N. Campillo Seva

2.4. COMPARACIÓN DE DESVIACIONES ESTÁNDAR CON EL test F

Test F: Informa si dos desviaciones estándar son significativamente diferentes entre sí

Se elige s1 y s2 de manera que siempre F ≥ 1

Para decidir si dos conjuntos de medidas son significativamente diferentes entre síse utiliza el test t, pero si lo que queremos comparar son las desviaciones estándar de dos conjuntos de medidas:

22

21

ss

=F

Aplicación del test F:

1. Cálculo de F según la ecuación:

2. Extracción del valor tabulado de F, considerando los grados de libertad (n-1) para cada conjunto de medidas (tabla diapositiva 36)

3. Comparación de los valores de F:● Si Fcalculada > Ftabulada Las desviaciones estándar difieren entre sí

a un nivel de confianza del 95%

● Si Fcalculada < Ftabulada Las desviaciones estándar no difieren entre sí a un nivel de confianza del 95%

35

N. Campillo Seva

Valores críticos de F para un nivel de confianza del 95%

Grados de

libertad de s2

Grados de libertad de s1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 30 ∞

2345

19,09,556,945,79

19,29,286,595,41

19,29,126,395,19

19,39,016,265,05

19,38,946,164,95

19,48,896,094,88

19,48,846,044,82

19,48,816,004,77

19,48,795,964,74

19,48,745,914,68

19,48,705,864,62

19,48,665,804,56

19,58,625,754,50

19,58,535,634,36

678910

5,144,744,464,264,10

4,764,354,073,863,71

4,534,123,843,633,48

4,393,973,693,483,33

4,283,873,583,373,22

4,213,793,503,293,14

4,153,733,443,233,07

4,103,683,393,183,02

4,063,643,353,142,98

4,003,583,283,072,91

3,943,513,223,012,84

3,873,443,152,942,77

3,813,383,082,862,70

3,673,232,932,712,54

1112131415

3,983,883,813,743,68

3,593,493,413,343,29

3,363,263,183,113,06

3,203,113,022,962,90

3,103,002,922,852,79

3,012,912,832,762,71

2,952,852,772,702,64

2,902,802,712,652,59

2,852,752,672,602,54

2,792,692,602,532,48

2,722,622,532,462,40

2,652,542,462,392,33

2,572,472,382,312,25

2,402,302,212,132,07

1617181920

3,633,593,563,523,49

3,243,203,163,133,10

3,012,962,932,902,87

2,852,812,772,742,71

2,742,702,662,632,60

2,662,612,582,542,51

2,592,552,512,482,45

2,542,492,462,422,39

2,492,452,412,382,35

2,422,382,432,312,28

2,352,312,272,232,20

2,282,232,192,162,12

2,192,152,112,072,04

2,011,961,921,881,84

30∞

3,323,00

2,922,60

2,692,37

2,532,21

2,422,10

2,332,01

2,271,94

2,211,88

2,161,83

2,091,75

2,011,67

1,931,57

1,841,46

1,621,00

36

N. Campillo Seva

2.5. Test Q DE DATOS SOSPECHOSOS

¿Qué hacer cuando un dato no es coherente con el resto de una serie?

El test Q ayuda a decidir si mantener o desechar dicho dato

128,8 130,1 130,7 131,4 137,8

Divergencia = Diferencia entre el valor sospechoso y el más próximo = 6,4

Recorrido = Dispersión máxima entre los datos = 9

6,41,41

9calculada

divergenciaQ

recorrido

Consideremos los siguientes 5 resultados de un análisis: 130,1; 130,7; 128,8; 137,8 y 131,4

¿Hemos de considerar o descartar el resultado 137,8?

Aplicación del test Q:1.Se ordenan los datos en orden creciente:

2. Cálculo de Q según la ecuación:

128,8 130,1 130,7 131,4 137,8

calculadadivergencia

Qrecorrido

37

N. Campillo Seva

3. Extracción de Q tabulada (tabla diapositiva 39)

4. Comparación de los valores de Q:

● Si Qcalculada > Qtabulada El valor sospechoso debe ser descartado

● Si Qcalculada < Qtabulada El valor sospechoso no debe descartarse, existiendo una probabilidad mayor del 10% de que dicho valor sea un miembro más de la población como el resto de valores de la serie.

Qtabulada (n=5) = 0,64

En el ejemplo propuesto, dado que Qcalculada > Qtabulada,el valor 137,8 debe descartarse

38

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Valores de Q para el rechazo de datos

Q (nivel de confianza 90%)

Nº de observaciones

0,76 4

0,64 5

0,56 6

0,51 7

0,47 8

0,44 9

0,41 10

39

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