1 Onde Meccaniche

Prof. Giuseppe Schirripa Spagnolo

a.a. 2011/2012

Universit degli studi Roma Tre

Facolt di Ingegneriaa.a. 2011/2012 Prof. Giuseppe SCHIRRIPA SPAGNOLO

Onde meccaniche

I l p r e s e n te m a te r ia le r ip r e n d e in p a r te in f o r m a z io n i, id e e , tr a s p a r e n z e tr a tte d a v a r ie f o n ti e r ie la b o r a te a i fin i d e l c o r s o .

ONDE MECCANICHE

Una perturbazione viene trasmessa lacqua non si sposta

Onde Meccaniche

1


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Che cos unondaLe onde sono fenomeni in cui vi trasmissione di movimento, di energia (e di quantit di moto) senza scambio di materia (che rimane sempre intorno alla sua posizione media, o di equilibrio). Le onde sono spesso prodotte da oscillazioni (anche non regolari) di oggetti o circuiti. Formalmente unonda si riconduce alla perturbazione delle condizioni di equilibrio di un campo che descrive una propriet di un sistema fisico. Ricordiamo che con il nome campo si indica una grandezza fisica che pu essere definita in ogni istante in ciascun punto dello spazio.

Che cos unonda

Onde Meccaniche

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Che cos unonda La ola

inactive (sitting)

active (moving upward)

refracter (moving back or already sitting)

continua: Che cos unonda

Onde Meccaniche

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continua: Tipi Fondamentali di ondeOnda sinusoidale

Onda impulsiva


0

t (s)

Onde Meccaniche

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continua - Che cos unonda

Onde Meccaniche

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continua - Che cos unonda

A = ampiezza

continua - Che cos unonda= lunghezza donda

Onde Meccaniche

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continua - Che cos unondaT = periodo

Tipi fondamentali di ondeSono onde trasversali quelle in cui loscillazione (la perturbazione) avviene in direzione perpendicolare alla direzione di propagazione dellonda. Se una corda tesa fra i suoi estremi viene perturbata, le oscillazioni sono dirette perpendicolarmente alla direzione della corda, lungo la quale si propaga londa: in questo caso si ha unonda trasversale.

Onde Meccaniche

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continua: Tipi Fondamentali di ondeSono onde longitudinali quelle in cui la perturbazione (oscillazione del mezzo) e la direzione di propagazione sono fra loro parallele (la perturbazione orizzontale come la velocit dellonda). Nel caso di unonda sonora le oscillazioni del mezzo, che consistono in compressioni e rarefazioni, avvengono nella stessa direzione in cui si propaga londa.


Onde Meccaniche

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continua: Tipi Fondamentali di ondeSono possibili anche onde miste: combinazione di moti trasversali e longitudinali. Tipico esempio sono le onde sulla superficie dellacqua. In questo caso le particelle di liquido compiono traiettorie chiuse, di forma praticamente circolare, e lo spostamento una sovrapposizione di una componente longitudinale e di una trasversale.

Equazione differenziale delle ondeConsideriamo una corsa tesa fra gli estremi e inizialmente non perturbata. Scegliamo lasse x coincidente con la corda e lasse z ad essa perpendicolare, in modo che la corda perturbata giaccia nel piano x z. evidente che inizialmente tutti i punti del sistema sono caratterizzati dallequazione z = 0. Se, ad un determinato istante, spostiamo la corda dalla sua posizione di equilibrio, la perturbazione che si propaga (in questo caso la quota z = a) potr essere descritta da una funzione f(x, t). Consideriamo, per esempio, una perturbazione impulsiva (dar origine ad unonda impulsiva) trasversale impressa ad unestremit mediante un singolo e rapido movimento alto-basso (effetto frusta).

Onde Meccaniche

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continua: Equazione differenziale delle ondeSe si trascura lattenuazione della perturbazione durante la propagazione (assenza di fenomeni dissipativi), a vari istanti successivi equidistanti la configurazione della corda quella rappresentata in figura . Ad ogni istante t, la grandezza a che rappresenta la forma della corda una funzione della variabile x. Tale forma cambia al cambiare di t.

a

f x, t

continua: Equazione differenziale delle ondeIn base a considerazioni di carattere generale, si stabilisce che la funzione, rappresentativa della perturbazione a, deve essere:

a a

f x vt f x vt

(onda progressiva) (onda regressiva)

v la velocit di propagazione (in modulo), e il verso di riferimento per la progressivit o regressivit quello dellasse x.

Onde Meccaniche

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continua: Equazione differenziale delle ondeConsideriamo una generica perturbazione; allistante t = t1 la corda apparir cos come mostrato in figura (tratto nero). In assenza di dissipazione (cio ipotizzando che la forma della perturbazione non cambi durante la propagazione), allistante t2 > t1 la configurazione della corda sar quella riportata in rosso. La perturbazione traslata con velocit v nel verso positivo dellasse delle x.

continua: Equazione differenziale delle onde

f x1 v t1 x1 v t1 v

f x2 v t 2 x2 v t 2 x2 x1 t2 t1

Ipotesi che la forma della perturbazione non cambi durante la propagazione - assenza di fenomeni dissipativi.

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continua: Equazione differenziale delle onde

Impulso al tempo t = 0

Impulso al tempo t

continua: Equazione differenziale delle ondeUna propriet generale di una funzione del tipo f(x v t) quella di soddisfare la seguente equazione differenziale del secondo ordine alle derivate parziali:2

f x, t x2

1 v2

2

f x, t t2

Equazione delle onde

v rappresenta la velocit di propagazione dellonda

Onde Meccaniche

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continua: Equazione differenziale delle onde relativamente semplice dimostrare che una qualunque funzione del tipo f(x v t) soluzione dellequazione: 2 2f x, t x2

1 v2

f x, t t2

Introducendo la variabile intermedia

= x v t , abbiamo:

f x, t x f x, t t2

df d df d2

df x t ; d df d2

x vt x x vt t f x, t t2 v2

df d v df d2

f x, t x2

d 2 f x, t d

d 2 f x, t d

continua: Equazione differenziale delle onde2

f x, t x2

d 2 f x, t d22

2

;

f x, t t2

v

2

d 2 f x, t d2

f x, t x2

1 v2

2

f x, t t2

Qualunque funzione f(x v t) soddisfa lequazione delle onde

Onde Meccaniche

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y 2 x

1 v2

2

y 2 t

y ( x, t )

ym sin(kxv k

t)


Possibile soluzione

y x2

kym cos( kx k 2 ym sin(kx

t) t)

y 2 x

1 y 1 ym cos( kx t) v2 t v2 1 2y 1 2 ym sin(kx t) 2 2 v t v2

k 2 ym sin(kx

t)


f x, y , z , t x2

2

f x, y , z , t y2

2

f x, y, z , t z22

1 v2

2

f x, y , z , t t2

2

f x, y , z , t

1 v2

f x, y , z , t t2

Equazione delle onde nel caso generale tridimensionale

Onde Meccaniche

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esempio: Onde elastiche longitudinaliConsideriamo una sbarra di materiale elastico omogeneo, e sezione costante. Le dimensioni longitudinali della sbarra siano molto maggiori delle dimensioni trasversali. Supponiamo di applicare, ad un estremo della sbarra, una forza impulsiva, per esempio con un colpo di martello. Tale forza provoca una perturbazione (deformazione locale della sbarra) che si propaga longitudinalmente.

Nel processo di propagazione la forza F(x, t) non costante lungo la sbarra, ma varia sia lungo lasse x che nel tempo.

continua: Onde elastiche longitudinaliSotto lazione della perturbazione, ogni sezione cambia, seppure di poco, posizione. Indichiamo con s(x,t) la funzione che descrive lo spostamento dalla posizione iniziale, allascissa x e al tempo t, e con s(x+dx, t) lo spostamento nello stesso istante allascissa x + dx. Loriginale lunghezza dx si trasforma in:

x dx s x dx , t avendo considerato ds

x s x, t s x d x, t

dx ds s x, t

Onde Meccaniche

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continua: Onde elastiche longitudinaliLallungamento relativo del cilindretto : Dalla legge di Hooke, sappiamo che la deformazione infinitesima ds(x, t), di un elemento di sbarra lungo dx quando applicata la forza F (x, t), :

s x, t x 1 F x, t E A s x, t x

s x, t x

F x, t

EA

In questa equazione, E rappresenta il modulo di elasticit della sbarra (modulo di Young) ed A la sezione della sbarra

continua: Onde elastiche longitudinaliForza applicata nella posizione x:

F x, t

EA

s x, t x

La risultante delle forze che agiscono sul cilindretto :

F x dx

F x

F x, t x

2

dx

EA

s x, t x2

dx

Daltra parte, il moto del cilindretto, di massa d m = A d x (indicando con la densit volumetrica di massa), avviene con accelerazione:In questo esempio s(x, t) lo spostamento dalla posizione iniziale.2

a x, t

s x, t t2

Onde Meccaniche

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continua: Onde elastiche longitudinaliPertanto, per la legge di Newton (F = m a), possiamo scrivere:2

F x dx

F x

EA

s x, t x2

dx

2

EA

s x, t x2

2

dx

A2

s x, t t2

dx

dm

Adx2

accelerazione: a x, t s x, t t2

2

s x, t x2 E

s x, t t2E

ponendo v2


s x, t x2

1 v2

2

s x, t t2

continua:

Onde elastiche longitudinali

Oltre allo spostamento s(x, t), dalla posizione di equilibrio si propaga lungo la sbarra anche la forza F (x, t). Infatti:2

F x, t

s x, t EA x

F x, t t2

2

EA

s x, t x2

t

2

2

F x, t t2

2

s x, t x2

1 v2

2

s x, t t22

EA

s x, t t2

x2

F x, t t2

E Av

2

s x, t x2

x

Onde Meccaniche

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continua:F x, t2

Onde elastiche longitudinali2

EA

s x, t x2

F x, t x2

2

EA

s x, t x2

x

2

F x, t t22

E A v2

s x, t x22

x2

F x, t x2

EA

s x, t x2

x

1 v2

F x, t t2

EA

s x, t x22

x

F x, t x2

1 v2

2

F x, t t2

esempio: Moti trasversali di una corda continuaConsideriamo una corda omogenea, elastica, perfettamente flessibile e vincolata negli estremi; ipotizziamo che non oppone resistenza alle flessioni. Sia x, y, z un sistema di riferimento, con lasse x coincidente con la posizione di equilibrio della corda e origine nel suo estremo sinistro. In questo sistema, la coordinata x sufficiente per contrassegnare la posizione di equilibrio di ciascuna particella della corda. Tutti i punti della corda hanno coordinata y = 0 e coordinata z = 0.

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esempio: Moti trasversali di una corda continuaQuando la corda non a riposo, allistante t, ogni particella avr una nuova posizione. La nuova posizione, dellelementino di corda individuato dalla coordinata x, sar individuata della quantit vettoriale (x, t).

esempio: Moti trasversali di una corda continuaIl vettore , in generale, ha una componente diretta lungo la corda (vibrazione longitudinale) e due componenti perpendicolari ad essa (vibrazioni trasversali). Cio:

x, t

x

x, t i

y

x, t j

z

x, t k

Nel nostro sistema, le vibrazioni lungo la direzione x sono chiamate vibrazioni longitudinali; quelle lungo le direzioni x e y vibrazioni trasversali. In generale per una corda ben tesa (ad esempio quella di una chitarra o di un violino) le vibrazioni longitudinali sono, praticamente, trascurabili. Pertanto si assume: x (x, t) = 0.

Onde Meccaniche

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esempio: Moti trasversali di una corda continuaLe vibrazioni trasversali sono in generale tali che la direzione di nel piano z y (se consideriamo il nostro esempio) diversa per diversi valori di x e t. Se la direzione di indipendente da x e t, loscillazione si dice polarizzata piana. In altre parole, nel caso della corda vibrante, quando loscillazione polarizzata piana la curva descritta dalla corda , in ogni istante, una curva piana. Possiamo inoltre fare unaltra semplificazione se supponiamo che le vibrazioni avvengono interamente lungo z [vale a dire, y (x, t) = 0]. In questa particolare situazione si dice che le vibrazioni sono linearmente polarizzate. Ogni qualvolta la perturbazione, che si propaga, oscilla in una sola direzione (e direzione che rimane costante durante il processo oscillatorio) si dice che londa polarizzata linearmente.

esempio: Moti trasversali di una corda continuaNel caso di onda trasversale polarizzata linearmente, dobbiamo studiare la funzione scalare: z (x, t) (x, t) . Consideriamo un piccolissimo segmento della corda continua. Allequilibrio, il segmento occupa un piccolo intervallo di lunghezza x, centrato in x. La massa m del segmento divisa per la lunghezza x, per definizione, la densit di massa per unit di lunghezza:

m (densit lineare di massa) xIpotesi: densit di massa, lungo la corda uniforme; tensione della corda allequilibrio (T0) uniforme.

Onde Meccaniche

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esempio: Moti trasversali di una corda continuaNel caso di una situazione generica (di non-equilibrio), il segmento ha uno spostamento trasversale (x, t), mediato sul segmento. Ricordiamo che il segmento x lo consideriamo di lunghezza molto piccola. Il segmento non pi esattamente rettilineo, ma presenta (generalmente) una lieve curvatura: ci indicato dal fatto che q1 q2. La tensione nel segmento non pi T0, poich la lunghezza del segmento maggiore di quella di equilibrio, x.

esempio: Moti trasversali di una corda continuaCalcoliamo la forza risultante Fz che agisce sul segmento nellistante indicato. Allestremit di sinistra, il segmento tirato verso il basso con forza T1sinq1, e allestremit di destra tirato verso lalto con forza T2sinq2. La forza risultante che agisce verso lalto quindi:

Fz t

T2 sin

2

T1 sin

1

?Fz x, t T0 tan2

T0 tan

1

Onde Meccaniche

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esempio: Moti trasversali di una corda continuaPer piccoli spostamenti possiamo trascurare la curvatura della corda. Con questa ipotesi, la lunghezza s dellelemento di corda legata alla lunghezza x dello stesso elemento in condizioni di riposo dalla relazione seguente.s2

x x

2

x2 , t x, t x x

x1 , t2

2

2

s

x

1

x, t x

2

esempio: Moti trasversali di una corda continua

Onde Meccaniche

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esempio: Moti trasversali di una corda continuaSe si considera che il rapporto piccolo, si pu x, t x tan approssimare la radice quadra con il suo sviluppo in serie di Taylor 2 intorno x, t x 0 . Utilizzando tale approssimazione si ha: s differisce da x solo per infinitesimi del secondo ordine.

s

x

1

x, t x x, t x2

2

s

1 1 2

1 8

x, t x

4

1 16

x, t x

6

x.

esempio: Moti trasversali di una corda continuaSe s x, anche, le tensioni agli estremi T1 e T2 coincidono a meno di infinitesimi di ordine superiore, in modulo, con il modulo della tensione T0 presente in condizioni di riposo.

Fz t se sin sin1 1 2

T2 sin

2

T1 sin

1

T0 sin

2

T0 sin

1

e

2

sono piccoli:1 2

tan tan

Fz x, t

T0 tan T0

2

T0 tan x, t xx2

1

T0

x, t xx1

Onde Meccaniche

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esempio: Moti trasversali di una corda continuaFz x, t T0 tan2

T0 tan

1

T0

x, t x x, t xx2

T0

x, t xx1

Consideriamo la funzione f (x,t) ad un determinato istante di tempo t fissato.

f x

In f(x) stata soppressa la variabile t poich il tempo t costante.

esempio: Moti trasversali di una corda continuaSviluppando in serie di Taylor f (x) nellintorno x1 e ponendo x2 = x,f x2 f x1 x2 x1 df x dxx1

1 x2 2

x1

2

d2 f x dx 2 x2x1

x1

x

Passando ora al limite in cui x tanto piccolo da poter trascurare i termini quadratici e di ordine superiore, si pu scrivere:f x2 f x1 x df x dx xx1

d dx

x, t x

2

x

x, t x2

Onde Meccaniche

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esempio: Moti trasversali di una corda continuaFz x, t T0 tan2

T0 tan

1

T0

x, t x x, t xx2 x2

T0

x, t x x, t xx1 x1

T0 x, t x f x1 x df x dxx1

f x f x2

d x dx

x, t x

2

x

x, t x2

2

Fz x, t

T0

x, t x2

x

esempio: Moti trasversali di una corda continuax, t x, t t2

spostamento; velocit; accelerazione.

Si pu ora usare la seconda legge di Newton, in base alla quale la forza Fz( x, t ) uguale al prodotto della massa del segmento per la sua accelerazione.

x, t t2

Fz x, t12 2

m

d2

x, t dt 2

( m

x)

2

x, t x2

x, t t22

T0

Equazione delle onde.

x

x, t t2

2

Fz x, t

T0 x

x, t x2

2

v

T0

x, t x2 T0

2

x, t t2

Onde Meccaniche

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Onde piane armoniche onde sinusoidali

continua: Onde piane armoniche

v

f onda

Onde Meccaniche

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Riepilogo: Parametri delle onde

Onda sinusoidale

y

A sin

2

( x vt )

La funzione descrive unonda viaggiante sinusoidale (onda armonica)

Onde Meccaniche

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Riepilogo: Velocit delle onde

Onde non armonicheIl carattere rigorosamente monocromatico di unonda del tipo: a x, t A0 sin kx t rappresenta una situazione eccezionale che richiede una perturbazione di durata infinita e perfettamente sinusoidale. Infatti, tutte le sorgenti, in generale, emettono onde attraverso processi che non sono armonici e che hanno una durata t finita. Unonda reale in generale non armonica ed ha sempre una durata e unestensione spaziale finite.

Onde Meccaniche

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Principio di sovrapposizione delle onde

Principio di sovrapposizione delle ondeSe onde sinusoidali con differente frequenza ed ampiezza si combinano, londa risultante non pi una semplice onda; essa chiamata onda a composta (o complessa) . Si pu dimostrare che una qualsiasi onda periodica pu essere considerata come la composizione di onde sinusoidali con differente ampiezza e frequenza. Questo conosciuto come Teorema di Fourier.

Onde Meccaniche

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Serie di Fourier

Serie di FourierFourier dimostr che un generico segnale periodico, con periodo T, pu essere scomposto in una somma (infinita) di segnali periodici e ne calcol i coefficienti.

se: ygenerica (t ) ygenerica (t )

ygenerica (t T )n

t

Cn en

j

2 nt T

Cn

1 ygenerica (t )e T o

T

j

2 nt T

dt

Onde Meccaniche

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a.a. 2011/2012

Serie di Fourier

Serie di Fourier

Onde Meccaniche

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a.a. 2011/2012

Serie di Fourier

Sovrapposizione di ondeConsideriamo due onde armoniche con k ed uguali:

y1La loro somma sar:

ym sin kx ym sin kx y1 x, t

t t

y2

ysomma x, t

y2 x, t t ym sin kx cos 1 2 sin kx t1 2

ym sin kxMa:

tDifferenza di fase

sin

sin

2sin 1 2 2 ym cos 1 2Ampiezza

Pertanto:

ysomma x, t

Termine ondulatorio

Onde Meccaniche

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Wave Interference

o spostata di /2

ysomma ( x, t ) 2 ym sin(kx

t)

ysomma ( x, t ) 0

ysomma ( x, t )

ym sin(kx

t)

ysomma ( x, t ) Ampiezza

2 ym cos 1 sin(kx 2 2 ym cos 1 2

t

1 2

)

Rappresentazione complessa di onde armonicheUna funzione armonica, in termini di numeri complessi, pu anche essere rappresentata come:

x (t ) x (t )

A cos( t ej j A e 2j t t

) A*

A j( e 2 ej

t

)

e

j( t

)

2

e

j t

x (t ) Ce

Ce

j t

C

ej A ; C* 2

A

e

j

2

Onde Meccaniche

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Rappresentazione complessa di onde armonicheUna grandezza sinusoidale pu essere espressa come parte reale o parte immaginaria di un vettore complesso:

A cos kx A sin kx

t t

Re A e j kx Im A e j kx

t

t

Al variare dellargomento, il vettore ruoter nel piano complesso, mantenendo fisso il modulo. Se due grandezze sinusoidali sono sfasate di , al variare dellargomento i due vettori ruoteranno solidali, sempre separati di un angolo .

Rappresentazione complessa di onde armonichePossiamo rappresentare convenzionalmente i vettori con la loro posizione per kx t = 0, per cui il primo vettore sar diretto come lasse x, ed il secondo sar ruotato di un angolo .

Onde Meccaniche

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Sovrapposizione ed InterferenzaDue onde della stessa natura che si sovrappongono nella stessa regione spaziale, con differenza di fase costante, possono dar luogo a particolari effetti di distribuzione spaziale dellenergia, che vengono chiamati fenomeni di interferenza. Ci si verifica con onde longitudinali, e anche con onde trasversali che oscillano nella medesima direzione (onde di ugual polarizzazione). Consideriamo, in particolare e per semplicit, due onde monocromatiche, della stessa frequenza, propagantesi entrambe nel verso positivo dellasse x:

a1 x1 , t a2 x2 , t

A1 cos A2 cos

t kx1 t kx2

1 2

A1 cos A2 cos

t t

1 2

Le costanti 1 e 2 dipendono solo dalle sorgenti, invece le costanti 1 e 2 contengono anche la fase dovuta al percorso (contengono i termini kx).

continua: Sovrapposizione ed Interferenzaa1 x1 , t a2 x2 , t A1 cos A2 cos t kx1 t kx21 2

A1 cos A2 cos

t t

1 2

Ciascuna oscillazione in un punto generico punto P, distante x1 dalla sorgente 1 e x2 dalla sorgente 2, rappresentata come la proiezione sullasse orizzontale di un vettore rotante con velocit angolare [tale vettore chiamato fasore] e la somma si calcola come proiezione della risultante dei vettori .

Onde Meccaniche

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a.a. 2011/2012

continua: Sovrapposizione ed Interferenzaa1 x1 , t a2 x2 , t A1 cos A2 cos t kx1 t kx21 2

A1 cos A2 cos

t t

1 2

continua: Sovrapposizione ed InterferenzaaT xP , t a1 x1 , t AT sin AT1

a2 x2 , t tT

x1 , x2

A122

2 A2 2 1 1

2 A1 A2 cos1

k x22 2

x1

tan AT A1 A2 A0 tan

T

A1 sin A1 cos

A2 sin A2 cos

2 A02 1 cosT

tan

1

2

1 T

2

2

2

Onde Meccaniche

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a.a. 2011/2012

continua: Sovrapposizione ed InterferenzaaT P , t AT cos 2 A0 cos t2 T

2 A0 cos1

2 x1

cos cos

t1

1

2

22

k x2 2

k x2 2

x1

2

2

t

Lampiezza della somma delle due oscillazioni dipende dalla differenza di fase; il valore massimo della somma si ha quando le onde sono in fase, il minimo quando le onde sono in opposizione di fase.

Pertanto:

ysomma x, t

2 ym cos 1 2Ampiezza

sin kx

t

1 2

Termine ondulatorio

continua: Sovrapposizione ed Interferenza Interferenza Distruttiva

Onde Meccaniche

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a.a. 2011/2012

continua: Sovrapposizione ed Interferenza Interferenza Costruttiva

Se due (o pi onde) si muovono in un mezzo, la funzione donda risultante in ogni punto la somma algebric delle funzioni delle singole onde. Due onde che si propagano in direzioni opposte possono attraversarsi senza venire modificate . La combinazione, nella stessa regione di spazio, di due onde pu dar origine ad interferenza costruttiva o interferenza distruttiva.

Interferenza Costruttiva

Interferenza Distruttiva

Onde Meccaniche

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a.a. 2011/2012

continua: Sovrapposizione ed InterferenzaaT P , t 2 A0 cos2 1

2

k x2 x1 2

cos

1

2

2

k x2 x1 2

t

Questa equazione mostra che lampiezza della somma delle due oscillazioni dipende dalla differenza di fase; il valore massimo della somma si ha quando le onde sono in fase, il minimo quando le onde sono in opposizione di fase.

Onde stazionarieIl fenomeno delle onde stazionarie nasce dalla sovrapposizione di onde componenti aventi la stessa frequenza, la stessa lunghezza donda e la stessa ampiezza che si propagano in direzioni opposte. Consideriamo, in particolare e per semplicit, due perturbazioni monocromatiche, della stessa frequenza, della stessa ampiezza, in fase, che si propagano una nel verso positivo dellasse x e laltra nel verso negativo dellasse x:

a1 x, t a2 x , t

A sin kx A sin kx

t t

aT x , t

a1 x, t

a2 x, t

A sin kx

t

A sin kx

t

Onde Meccaniche

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a.a. 2011/2012

continua: Onde stazionarieaT x , t a1 x, t 2 cos a2 x, t a b 2 A sin kx sin a b 2 2 A cos t sin kx t A sin kx t

sin a sin b aT x , t

2 A cos

t sin kx

Se osserviamo lequazione sopra, si pu notare che esistono posizioni in cui londa si annulla, che sono chiamate nodi (di oscillazione) e altre, ventri (di oscillazione), in cui londa risultante ha ampiezza massima, pari a 2A. Le coordinate dei nodi e dei ventri possono essere facilmente determinate imponendo che

continua: Onde stazionarieaT x , t 2 A cos t sin kx 2 A cos t sin kx

Le coordinate dei nodi e dei ventri possono essere facilmente determinate imponendo cheper i nodi per i ventri sin( kx) sin( kx) 0 1 kx kx n ; n 1 2 ; n n 0,1, 2,3, 4, 0,1, 2,3, 4,

Onde Meccaniche

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Onde stazionarie su corda vibranteSu una corda di lunghezza L e fissata ai due estremi, come avviene in tutti gli strumenti musicali a corde (chitarra, violino, pianoforte), nel sistema si formano onde stazionarie che sono caratterizzate da una successione di nodi e di ventri di oscillazione; in particolare, gli estremi della corda sono nodi di oscillazione. Ci ha importanti conseguenze, in quanto il modo di oscillazione pi semplice ha proprio due nodi alle estremit e un ventre al centro; poich la distanza fra due nodi adiacenti e /2, per tale modo vale la relazione L = /2. Ulteriori modi di oscillazione della corda si hanno con due nodi agli estremi e un nodo al centro, con due nodi alle estremit e due intermedi, eccetera. La relazione generale che lega la lunghezza L della corda alla lunghezza donda data da:L n n 1, 2,3, 4, ovvero 2L n n 1, 2, 3, 4,

2

continua: Onde stazionarie su corda vibranteFissata la lunghezza L della corda, in questa possono aver luogo soltanto le onde stazionarie di frequenzafn vn

v n 2L

f1n

fn

1 T n 2L

In una corda tesa esiste dunque una serie discreta di lunghezze donda n e di frequenze fn, detta serie armonica, in cui la frequenza f1 pi bassa detta frequenza fondamentale o prima armonica della corda e le altre, multiple intere di f1 sono dette armoniche superiori; il valore di f1 dipende dalla lunghezza L, dalla massa per unit di lunghezza e dalla tensione applicata alla corda.

Onde Meccaniche

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Onde stazionarie su corda vibrante

N: nodo : punti di unonda stazionaria che rimangono fissi. A: antinodo: punto che ha un massimo spostamento, punto medio tra due nodi.

Onde Meccaniche

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Serie armonica

Una corda di lunghezza L vibra secondo i modi normali con = 2L/n La frequenza f = v / dei modi normali pertanto:L n 2L n fn 1 T n 2L

2

n =1 frequenza fondamentale, ogni altra frequenza multipla della prima. Per n > 5 si hanno le armoniche superiori

Per andare da unarmonica alla successiva occorre aggiungere una mezza lunghezza donda

Onde Meccaniche

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Laltezza (suoni acuti o gravi) percepita di un suono dipende dalla frequenza dellonda sonoraNote Do centrale Do # Re Re # Mi Fa Fa # Sol Sol # La La # Si Do Frequenze (Hz) 261,7 277,2 293,7 311,2 329,7 349,2 370,0 392,0 415,3 440,0 466,2 493,9 523,3

Il timbro degli strumenti musicali testimonia limportanza delle armoniche superiori: a parit di frequenza la forma funzionale delle onde diversa. Una funzione periodica di periodo T pu essere espressa come la somma di onde di frequenze fn=n/T multiple della frequenza fondamentale 1/T

Diapason

Flauto

(teorema di Fourier)

Clarinetto

Onde Meccaniche

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Spettri (analisi armonica)

Le varie armoniche di frequenza fn contribuiscono in maniera diversa formando il timbro caratteristico. Gli strumenti musicali sono oscillatori forzati, sollecitati da forze periodiche che contengono una variet di frequenze. La massima risposta (risonanza) si ha in vicinanza delle frequenze armoniche proprie dello strumento.

Sintesi di unonda quadra come serie di Fourier

Onde Meccaniche

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continua: Onde stazionarie su corda vibranteSu una corda tesa si possono innescare vibrazioni che sono combinazioni di armoniche.

Esempio: una combinazione di onde composta dalla prima armonica e dalla terza armonica.

BattimentiI fenomeni noti come battimenti avvengono quando si sovrappongono due onde aventi quasi la stessa frequenza. I musicisti usano questo fenomeno per accordare i loro strumenti e tale fenomeno di importanza scientifica poich fornisce una metodologia molto sensibile per la misura di differenze di frequenze (o di periodo). Affrontiamo il problema dei battimenti partendo da due onde viaggianti con frequenze leggermente diverse. Le due onde possono essere in fase in un dato punto. Ma da questo punto le onde non procedono insieme. Una delle onde appare scivolar via dallaltra in modo tale che il risultato della sovrapposizione non fisso ma varia.

a1 x, t a2 x , t

A sin k1 x A sin k 2 x

1

t2

t

Onde Meccaniche

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continua: Battimentia1 x, t a2 x , taT x, t

A sin k1 x A sin k2 xa1 x, t 2 A cos

1

t2

sin a sin b

2 cos

tA sin k1 x1 2 1

a b 2

sin

a b 2

a2 x, t k1 k2 x 2

t

sin k 2 t1

2

t2

2

t

sin

k1 k2 x 2

2

t

La funzione aT ( x, t ) rappresenta unonda. Il suo valore, in una particolare posizione del mezzo, dipende solo dalla variabile temporale. Se consideriamo x = 0, abbiamo

aT 0, t

2 A cos

1

2

2

t

sin

1

2

2

t

continua: Battimenti

Onde Meccaniche

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Velocit di fase e velocit di gruppoConsideriamo i valori medi, tra le due onde, del numero donda e della pulsazione

k

k1 k 2 2

e

1

2

2

Consideriamo inoltre le variazioni del numero donda e della pulsazione presenti tra le due onde

k1 k 2 2

k 2

e

1

2

2

2

continua: Velocit di fase e velocit di gruppoa1 x, t a2 x , taT x, t

A sin k1 x A sin k2 xa1 x, t 2 A cos

1

t2

sin a sin b

2 cos

tA sin k1 x1 2 1

a b 2

sin

a b 2

a2 x, t k1 k2 x 2

t

sin k 2 t1

2

t2

2

t

sin

k1 k2 x 2

2

t

k 2

k1 k 2 2

1

2

k

2

2

k1 k 2 2

1

2

2

aT x, t

aT x, t

2 A cos

k x 2

2

t

sin kx

t

Onde Meccaniche

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continua: Velocit di fase e velocit di gruppoaT x, t aT x, t 2 A cos k x 2 2 t sin kx t

Si vede cos che lampiezza modulata si comporta anchessa come unonda. Per essa quindi possibile definire la velocit di gruppo.

vg

k

Effetto DopplerLe onde viaggianti si muovono con una velocit finita. perci possibile per un osservatore che esegue misure sulle onde (il ricevitore) muoversi insieme con loro o in direzione opposta, oppure per chi genera le onde viaggianti (la sorgente) rincorrerle. Il movimento della sorgente e/o del ricevitore influenza il valore delle frequenze percepite dal ricevitore. Si pensi, come caso estremo, ad un ricevitore che si muove insieme con le creste dellonda. Il ricevitore determina la lunghezza donda misurando la distanza tra le creste, proprio come se fosse fermo rispetto al mezzo. In questo caso particolare, per, egli non misura alcuna frequenza. La frequenza una misura della rapidit con cui le creste passano nel punto dellosservatore, che nel nostro caso, nulla. In questo caso limite, il ricevitore in quiete rispetto alle onde.

Onde Meccaniche

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Effetto DopplerSi verifica in ogni tipo di onda, anche nella luce. Si verifica quando c moto relativo tra losservatore e la sorgente delle onde: la frequenza registrata dallosservatore differente da quella alla sorgente. Se sorgente e osservatore si avvicinano la frequenza sembra maggiore e viceversa.

Rappresentazione spaziale dei fronti donda

Onde Meccaniche

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Effetto Doppler:Mezzo in moto rispetto alla sorgente e allosservatoreSupponiamo che una sorgente (fissa) generi delle onde in un mezzo che scorre con velocit vm (velocit mezzo). Un ricevitore, anchesso fisso, percepir una velocit dellonda data da:velocit dell'onda emessa dalla sorgente

v 'ovelocit dell'onda rilevata dal ricevitore

vonella trattazione dell'effetto Doppler viene scelto un sistema di riferimento per cui la velocit dell'onda sempre positiva

vmvelocit di scorrimento del mezzo

Il mezzo pu avere velocit con verso coincidente con la velocit di propagazione dellonda, oppure verso opposto. Per questi due casi, lequazione precedente, si scrive come:v 'o v 'o vo vo vm (se la velocit dell'onda e del mezzo hanno verso concorde) vm (se la velocit dell'onda e del mezzo hanno verso discorde)

Effetto Doppler:Mezzo in moto rispetto alla sorgente e allosservatoreVelocit dellonda con verso coincidente con la velocit del mezzo. Il ricevitore vede i fronti donda muoversi con velocit v 'o vo vm Poich una cresta a valle deve percorrere un tratto in pi prima che venga emessa una seconda cresta, anche la lunghezza donda aumentata. Infatti: vm R S 1 Pertanto, la frequenza vo percepita dal ricevitore coincide con quella vo vm vo emessa dalla sorgente. fR vm vo R S 1 vo sempre positiva

vo voS

vm vm

vo

fS

Onde Meccaniche

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Effetto Doppler:Mezzo in moto rispetto alla sorgente e allosservatoreVelocit dellonda con verso opposto a quello della velocit del mezzo. Il ricevitore vede i fronti donda muoversi con velocit v' v vo o m

In questo caso una cresta a monte deve percorrere un tratto pi breve prima che venga emessa una seconda cresta, pertanto la lunghezza donda diminuita. Infatti: Anche in questo caso la frequenza percepita dal ricevitore coincide con quella emessa dalla sorgente. vo sempre positiva

R

S

1

vm vo vo vm vm vo vo voS

fR

voR S

vm vm

1

vo

fS

Effetto Doppler:Mezzo in moto rispetto alla sorgente e allosservatoreQuando siamo in presenza di unonda che si propaga in un mezzo in moto, sia la velocit sia la lunghezza donda vengono variate nello stesso modo, la frequenza non modificata dal moto del mezzo. Il fatto che la frequenza rimane inalterata il motivo per cui possibile dare dei concerti allaperto, anche se il tempo ventoso. Lintensit del suono pu risultare diminuita, se il vento soffia nella direzione sbagliata, ma almeno le note restano le stesse.

Onde Meccaniche

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Effetto Doppler:Sorgente ferma - Ricevitore fermoConsideriamo unonda, che per semplicit supporremo sinusoidale, che si propaga in un mezzo omogeneo. Se la distanza relativa tra sorgente-S e osservatore/ricevitore-R costante nel tempo, il numero di fronti donda emessi nellunit di tempo dalla sorgente coincide con il numero di fronti donda che, nello stesso intervallo di tempo, arrivano al rivelatore. Ci implica che la frequenza dellonda emessa dalla sorgente-S coincida con la frequenza percepita/rivelata dal ricevitore-R.

Effetto Doppler:Sorgente ferma - Ricevitore fermoNellipotesi che la sorgente in quiete, rispetto al mezzo, queste onde sono simmetriche da tutte le parti della sorgente e la lunghezza donda vista da un osservatore solidale con il mezzo (ricevitore fermo) sar: Scelta del sistema di riferimento in modo che vo sia positiva.R

vo fS

Pensiamo ad un perturbatore che genera, ritmicamente, delle onde circolari. Queste si propagheranno secondo dei cerchi concentrici. sorgente Ad un osservatore fermo, i fronti arriveranno in sequenza uno dopo l'altro

Onde Meccaniche

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Effetto Doppler:Sorgente ferma - Ricevitore fermoLa frequenza di emissione da parte della sorgente pari al numero di fronti donda emessi nellunit di tempo. Il numero di fronti donda nS emessi dalla sorgente nel tempo t dunque: nS f S t Tali fronti donda distano luno dallaltro di una quantit pari a S e procedono con velocit :v0S

T

S

fS

sorgente

Il numero nR di fronti donda che arrivano al rivelatore nel tempo t pari a quanti fronti donda sono contenuti nel tratto vo t.voS

nR

t

S

fSS

t

fS t

fR

nR t

fS t

t

fS

Effetto Doppler:Sorgente in moto e Ricevitore fermoConsideriamo, adesso, una sorgente puntiforme di onde viaggianti, come il fischio di una sirena, che presenta frequenza fS (periodo = 1/fS).

Le onde si allargano dalla sorgente con velocit vo [ velocit dellonda rispetto al mezzo dove si propaga ]. Sistema di riferimento scelto in modo che vo sia positivo.

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Effetto Doppler:Sorgente in moto e osservatore fermoSe la sorgente si muove con velocit vS, davanti alla sorgente i fronti donda si infittiscono, mentre dietro sono pi distanziati.

Ad un osservatore fermo, i fronti arriveranno in sequenza uno dopo l'altro.

Effetto Doppler:Sorgente in moto e osservatore fermoLa sorgente nellintervallo di tempo t emette nS = fS t onde (nel disegna 4 onde). Il primo fronte donda percorre la distanza vo t, mentre la sorgente percorre il tratto vS t. Davanti alla sorgente gli nS fronti donda occupano una lunghezza = vo t |vS| t, mentre dietro occupano la lunghezza = vo t + |vS| t .Scelta del sistema di riferimento in modo tale che vo sia positiva.

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Effetto Doppler:Sorgente in moto e osservatore fermoLa lunghezza donda R, vista da un ricevitore posto davanti alla sorgente :voR

t fS

vS t

t

vo fS

vS

nS

La lunghezza donda R, vista da un ricevitore posto dietro alla sorgente, :voR

t fS

vS t

t

vo fS

vS

nS

vo(davanti) (dietro)

velocit dell'onda (positiva); modulo della velocit della sorgente; frequenza emessa dalla sorgente; lunghezza d'onda vista dal rivelatore .

= vo t |vS| t = vo t + |vS | t

vS fSR

Effetto Doppler:Sorgente in moto e osservatore fermoSorgente che si avvicina al ricevitore La velocit dellonda rimane inalterata. Pertanto, la frequenza percepita sar:

fR

voR

vo vS fS

vo vS

fS

fS

vo vo vS

=

fS 1 vs vo

voR

Scelta del sistema di riferimento in modo tale che vo sia positiva.

Quando la sorgente si muove verso il ricevitore, la lunghezza donda diminuisce e la frequenza aumenta (nel caso di onde sonore, la tonalit risulta pi alta). In altre parole, il rivelatore percepisce una frequenza maggiore rispetto a quella emessa dalla sorgente che si avvicina.

Onde Meccaniche

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Effetto Doppler:Sorgente in moto e osservatore fermoSorgente che si allontana dal ricevitore La velocit dellonda rimane inalterata. Pertanto, la frequenza percepita sar:

fR

voR

vo vS fS

vo vS

fS

fS

vo vo vS

=

fS 1 vs vo

voR

Scelta del sistema di riferimento in modo tale che vo positiva.

Quando la sorgente si allontana dal ricevitore, la lunghezza donda aumenta e la frequenza diminuisce (nel caso di onde sonore la tonalit risulta pi bassa). In altre parole, il rivelatore percepisce una frequenza minore rispetto a quella emessa dalla sorgente che si allontana.

Effetto Doppler:Sorgente ferma e osservatore in motoSorgente ferma rispetto al mezzo nel quale si propagano le onde e Osservatore (Ricevitore) in moto con velocit vR. Detta vrel la velocit dellonda rispetto allosservatore si ha: vrel = vo |vR | (vo velocit dellonda rispetto al mezzo sistema di riferimeno scelto in modo che vo sia positiva). Il segno + e relativo al Ricevitore che si avvicina alla Sorgente, il segno al Ricevitore che si allontana dalla Sorgente.

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Effetto Doppler:Sorgente ferma e osservatore in motoPoich la sorgente ferma, la lunghezza donda delle onde emesse resta invariata ( S ).

Se il ricevitore si avvicina alla sorgente con velocit vR, nel tempo t, oltre alle nS = (vo / S ) t onde che verrebbero percepite se stesse fermo, vengono rilevate (|vR|/ S) t onde dovute al movimento Il numero di onde complessidel ricevitore. vo incontrato dal ricevitore :

nR

vo

vRS

t


Effetto Doppler:Sorgente ferma e osservatore in motoIl numero di onde complessivo incontrato risulta:

nR

vo

vRS

t

Pertanto, la frequenza vista dal ricevitore sar:

fR

nR t

voS

vR

voS

vRS

fS

vRS

fS

vR fS vo

fS 1

vR vo


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Effetto Doppler:Sorgente ferma e osservatore in motoSe il ricevitore si allontana dalla sorgente con velocit |vR|, nel tempo t, le nS = (vo / S ) t onde che verrebbero percepite se stesse fermo, vengono diminuite di (|vR|/ S ) t. Il numero di onde complessivo incontrato dal ricevitore risulta essere:nR vo vRS

t

Scelta del sistema di riferimento in modo tale che vo sia positiva. In questo caso il modulo di vR superfluo, vR e vo hanno lo stesso verso.

Effetto Doppler:Sorgente ferma e osservatore in motoIl numero di onde complessivo incontrato risulta:

nR

vo

vRS

t

Pertanto, la frequenza vista dal ricevitore sar:

fR

nR t

vo

vRS

voS

vRS

fS

vRS

fS

vR v fS fS 1 R vo vo


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Effetto Doppler:Sorgente ferma e osservatore in moto

Quando losservatore si avvicina alla sorgente di onde viaggianti, la lunghezza donda non varia mentre la velocit apparente e la frequenza dellonda aumentano. Al contrario, quando il rivelatore si allontana dalla sorgente, la velocit apparente e la frequenza dellonda diminuiscono.

Effetto Doppler:Sorgente e Ricevitore in motoNel caso di Sorgente e Ricevitore entrambe in moto, si combinano i due fenomeni:Sorgente in moto Ricevitore fermo; Sorgente ferma Ricevitore in moto.

Scegliamo un sistema di riferimento orientato dalla sorgente al ricevitore. Indichiamo come positive tutte le velocit (compresa la velocit dellonda stessa) concordi con questo riferimento e, ovviamente, negative quelle discordi. Tenendo conto di questa convenzione sul segno delle velocit, possiamo affermare che:R

vo vS fS vo vR vRR

(lunghezza d'onda osservata dal ricevitore) (velocit "apparente" dell'onda)

vo fR

vo vR fS vo vS

Frequenza osservata dal ricevitore per Sorgente e Ricevitore in moto

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Effetto Doppler: riepilogo

S ferma (vS = 0) R in moto con velocit vR .

se R si avvicina ad S se R si allontana da S fR v fS o vo vR vS

fR aumenta (+) fR diminuisce (-) fR aumenta ( ) fR diminuisce (+)

R fermo S in moto con velocit vS.

se S si avvicina ad R se S si allontana da R

Effetto Doppler: riepilogoNel caso pi generale in cui la velocit della SORGENTE e del RIVELATORE non abbiano la stessa direzione, ma formino gli angoli e con la S R , congiungente sorgente-rivelatore, la frequenza percepita dal Rilevatore diventa:S ferma (vS = 0) R in moto con velocit vR .

se R si avvicina ad S se R si allontana da S fR fS vo vo vR cos vS cosR S

fR aumenta (+) fR diminuisce ( ) fR aumenta ( ) fR diminuisce (+)

R fermo S in moto con velocit vS.

se S si avvicina ad R se S si allontana da R

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Effetto Doppler nel radarIl radar funziona tramite una Sorgente fissa che emette onde sinusoidali di frequenza fS . Tali onde colpiscono un oggetto in moto con velocit relativa (rispetto alla sorgente) vT (velocit del target, negativa se loggetto in avvicinamento). Una volta investito dalle onde radar, loggetto retrodiffonde le onde che sono captate da un ricevitore fisso situato nella stessa posizione della sorgente. Con questa configurazione si: Nella fase di irraggiamento il Target si comporta da Ricevitore . Siamo nella situazione Sorgente fissa e Rilevatore in moto. Nella fase di retrodiffusione il Target si comporta da Sorgente. Siamo nella situazione Sorgente in moto e Rilevatore fisso.

Effetto Doppler nel radarNella fase di irraggiamento il Target si comporta da Ricevitore . Siamo nella situazione Sorgente fissa e Rilevatore in moto. In questa situazione, la frequenza Rivelata dal Target sar:

fT

fS 1

vT vo

segno + se il target si avvicina segno se il target si allontana

Nella fase di retrodiffusione il Target si comporta da Sorgente. Siamo nella situazione Sorgente in moto e Rilevatore fisso. In questa situazione, la frequenza Rivelata dal Ricevitore del Radar sar:

fR

fT

vo vo vT

segno + se il target si allontana segno se il target si avvicia

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Effetto Doppler nel radarfT fS 1 vT vovo vo vT

segno + se il target si avvicina segno se il target si allontana

fR

fT

segno + se il target si allontana segno se il target si avvicia

Combinando le due equazioni si ottiene:

fR

fS 1

vT vo vo

vo vT

fS

vo vo

vT vT

fS

vo

vT

2

2 2 vo vT

Segno + se il Target in avvicinamento, segno

se in allontanamento.

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