Upload
nisa-nuraini
View
40
Download
8
Embed Size (px)
Citation preview
Matematika IIIMatematika IIIDTEDTE
Matematika IIIMatematika IIIDTEDTE
Nur SulistyawatiNur SulistyawatiDiploma Teknik ElektroDiploma Teknik Elektro
UGMUGM
Silabus Materi:
1 .Integral Kompleks : Kontur terbuka, kontur tertutup, Rumus Cauchy, deret pangkat dan residu serta pemanfaatannya.
2 .Fourier : ilustrasi isyarat periodis tersusun atas isyarat sinusoidal, deret Fourier, Transformasi Fourier sifat-sifat dan maknanya.
3 .Transformasi Laplace : cara menemukan, sifat-sifat dan penggunaannya pada fungsi rumit, inverse Laplace
4 .Persamaan diferensial dan penyelesaiannya dengan Transformasi Laplace.
ReferensiBuku Acuan:
1 .Churchil, R., 1974, Complex Variable and Its Application, McGraw Hill
2 .Spiegel, Muray R., 1985, Transformasi Laplace, Penerbit Erlangga
3 .Spiegel, Muray R., 1991, Peubah Kompleks, Penerbit Erlangga
4 .Jordan and Smith, Mathematical Techniques, D.W. Jordan and P. Smith, Oxford
Bilangan Kompleks
A. PengantarBilangan kompleks : memuat akar bilangan negatif
*Akar bilangan negatif berupa bilangan imaginer/khayal
*Diperkenalkan notasi i2 = -1 → i = √ -1
Variabel kompleks : variabel yg dapat mempunyai nilai berupa bilangan kompleks
Sistem bilangan kompleks
Bentuk → z = x+iy , i2= -1x bagian riil dari z ,Re(z), dan y bagian khayal dari z, Im(z)
Kompleks sekawan dari z adalah z* atau z disebut z konjugat
z = x + iy → z* = x - iy
Nilai mutlak atau modulus bilangan kompleks , |z|
|z| = √(x + iy) . (x – iy) = √x2 + y2
Fungsi kompleks
Fungsi kompleks : fungsi atas var. kompleks dan/atau fungsi yang dapat bernilai kompleks
di TE konsep tsb dpt diimplementasikan, dan notasi i diganti j
Contoh:
1 .V1 = 20 volt
V2 = j20 volt
2 .Suatu tapis mempunyai hubungan masukan, keluaran
→ Benar-benar dapat dibuat
jVi
Vo
1
1
V1
V2
t
Representasi bilangan kompleks
*Bilangan real → dalam garis bilangan (1D)
*Bilangan kompleks → dalam bidang (2D)
*Cara penulisan bilangan kompleks 1 .Rectangular/ : z = x + iy
Kartesian : z (x,y)2 .Polar : z = m cos α + i m sin α
z = m cis α z = m α
3 .Eksponensial : eiα = cos α + i sin α : rumus EULER
z = m eiα = m exp(iα)
Im
x Re
y z = x + iy
m
α
B. Representasi bilangan kompleks
Hubungan
Catatan: 1 Jika z = 0 →z = 0 + i0 → m = 0, α = tan-1 tak terdefinisi
2.
3 .
x
yyxm
1
22
tan
iyxz
sin
cos
my
mxmz
0
0
212121222
111 & yyxxzziyxz
iyxz
iyxzziyxz
C. Aljabar bilangan kompleks
1 .Rectangular
,
Penjumlahan (x1+iy1) + (x2+iy2 ) = (x1+x2) + i(y1+y2 )
Pengurangan (x1+iy1) - (x2 +iy2 ) = (x1 -x2) + i(y1 -y2 )
Perkalian (x1+iy1) . (x2+iy2 ) = (x1.x2 -y1 y2) + i(x1y2 +x2y1)
Pembagian
111 iyxz 222 iyxz
22
11
2
1
iyx
iyx
z
z
22
22
211222
22
2121
22
22
22
11
yx
yxyxi
yx
yyxx
iyx
iyx
iyx
iyx
C. Aljabar bilangan kompleks2 .Polar
,
Penjumlahan &Pengurangan
Perkalian
Pembagian
111 mz222 mz
212
1
2
1 m
m
z
z
33321 mzzz
)cos(2 212122
213 mmmmm
2211
221113 coscos
sinsintan
mm
mm
212121 . mmzz
D. Variabel Kompleksz = x + iy ; x , y Є R
= r eiθ
θ = α + 2kπ ; -π < α ≤ π , k = 0, ±1, ±2. . . ,
argumen z nilai utama (principle value) argumen z : Arg z
Perhatian!
Arg (z1 . z2) = arg z1 + arg z2, belum tentu benar jika yang dipilih adalah argumen utama .
Bandingkan!
21 2121
2
1
zzArgizzz
iz
x
z = x + iy
r
α
y
2
3221
2
1
zArgzArg
zArg
zArg
E. Pangkat dan Akar z = r eiθ → zn = rneinθ
zn = z0
z0 = r0 ei(α0
+ 2kπ) z = z01/n
ada n buah nilai berbeda
k = 0 → z0
k = 1 → z1
k = 0 → z2
. . . k = n-1 → zn-1
n
ki
ner 2
1
0
0
n0
z1
z0
Zn-1
F. Tempat Kedudukan (locus)
Contoh:
1 .
2 .
2z
2
2y
x
23
; irez
r
ry
F. Tempat Kedudukan (locus)
Contoh:
3 .
4 . 1
1)Im(
y
z
yx
zz
)Im()Re(
y1
G. NeighborhoodNeighborhood, ε, (ε real positif mendekati nol) atas z adalah tempat kedudukan z sehingga
, sering dinotasikan N*(ε,z0)
Deleted neighborhood :
notasi : N*(ε,z0)
0zz
00 zz
ε
z0
ε
z0
N*(ε,z0)N(ε,z0)
Contoh Soal1 .Jika berapakah nilai
Pembahasan:
cara 1 : analitis
Cara 2 : dari gambar (grafis)
2Z 33 ZZ ?
2Z
3Z3Z
3-3222 ZatauZZ
415332 ZZZ
451332 ZZZ
033330 ZZZ
45133 ZZ
05533 ZZ Jadi 0 ≤ ││z-3│-│z+3││≤ 4
01133 ZZ
41533 ZZ
Contoh soal2 .Tunjukkan rumus De’Moivre
Pembahasan:
nini n sincossincos
nini
ee
nine
ie
ie
n
inni
in
nni
i
sincossincos
sincos
sincos
sincos
Soal untuk tugasTunjukkan bahwa
a.
b.
c. Arg (z1/z2) = arg z1– arg z2
2cos
ii ee
i
ee ii
2sin
Soal untuk tugasc. Jika berapakah
d. Jika z pada lingkaran berjari-jari 4
berpusat di berapakah
e. Tentukan semua z sehingga z6 = -64
2Z
1Z ?3
2
Z
Z
?2
Z
Z