OSNOVE STOHASTIKOG MODELIRANJACiljevi ovog poglavlja su slijedei: Upoznati osnovne stohastike veliine i njihov znaaj u stohastikom modeliranju Nauiti osobine vjerovatnoe dogaaja Obrazloiti pojam sluajne promjenljive i distribucije vjerovatnoa Nauiti osobine sluajne promjenljive Shvatiti razliku izmeu diskretne i kontinuirane distribucije vjerovatnoa Upoznati najznaajnije diskretne distribucije vjerovatnoa Upoznati najznaajnije kontinuirane distribucije vjerovatnoa Objasniti pojam i zakon vjerovatnoe stohastikog procesa Razumjeti osobine i klasifikaciju stohastikih procesa Upoznati najznaajnije modele stohastikih procesa1.1. STOHASTIKE VELIINEPolazna taka za razmatranje stohastikog modeliranja predstavlja upoznavanje osnovnih stohastikih veliina na kojima je ovo modeliranje zasnovano. Na taj nain omoguava se i uoavanje njihove razlike od veliina koje se koriste kod deterministikog modeliranja. Upoznavanje ovih veliina olakava razumijevanje sutinske razlike izmeu deterministikog i stohastikog modeliranja.U situacijama opserviranja ili provoenja opita ili eksperimenata na nekim realnim fenomenima mogu se pojaviti rezultati koji su jasno i jednoznano definisani i determinisani odreenim skupom uzroka, tako da oekivani rezultat 12 Stohastiki modeli u poslovnom odluivanju nastupa nuno i sigurno. Takav rezultat je jednoznaan i deterministiki. Ako se uspostavi funkcionalni odnos izmeu uzroka i rezultata opserviranja ili opita, onda se moe govoriti o deterministikom modeliranju. Pored sigurnih veliina, koje se realiziraju silom odreenih zakona, postoje sluajne ili stohastike veliine. Stohastike veliine su masovne pojave sa nepoznatim kompleksom uzroka ili uslova, pa se zovu jo stohastike pojave ili masovne pojave sa stohastikim elementima. Rije stohastika je grkog porijekla to znai koji se nasluuje ili uenje o onome to je vjerovatno. Egzaktno tretiranje stohastikih veliina postie se teorijom vjerovatnoe. Na temeljima teorije vjerovatnoe i matematike statistike u mnogim oblastima poslovnog odluivanja (tranja, zalihe, ekanje, trajanje aktivnosti, prognoziranje i sl.) razvijeno je niz modela odluivanja.Osnovni predmeti posmatranja ili osnovne veliine u stohastikim modelima su:- dogaaj,- promjenljiva i- proces.Dogaaj je pojava koja se pod datim uslovima moe desiti ili ne. Dogaaji se matematiki posmatraju apstraktno, odnosno interes se pokazuje samo za to da li e se dogaaj realizovati ili ne. Prilikom analize opservacija ili provoenja opita (eksperimenata) istrauje se povezanost kompleksa uzroka i nekog dogaaja u cilju definisanja matematikog zakona koji vai za tretirani dogaaj. U veini sluajeva ne moe se uspostaviti vrsta, jasna i jednoznana zavisnost i veza izmeu uzroka ili uslova i nastupanja nekog dogaaja, bilo zbog nepoznavanja ili zbog neobuhvatanja svih uzroka. Stoga se i teorija vjerovatnoe bavi matematikom analizom masovnih pojava sa nepoznatim kompleksom uslova ili uzroka. Uopteno, dogaaj se naziva sluajnim ako se pri realizaciji kompleksa uzroka koji su vezani za mogunost javljanja datog dogaaja, taj dogaaj moe desiti li ne desiti. Ako se kae da je neki dogaaj sluajni, onda se podrazumijeva da kompleks uzroka nije obuhvatio sve uzroke, koji su potrebni da bi nastupio dogaaj. Veliina koja matematiki definie stepen mogunosti da se neki sluajni dogaaj realizira ili desi pod datim uslovima naziva se vjerovatnoa. Svi sluajni dogaaji nemaju vjerovatnou. Posmatrajui masovne pojave kao sveukupnost sluajnih dogaaja koji se deavaju pri istim kompleksom uzroka, jednostavno se moe utvrditi da se oni pokoravaju odreenim zakonitostima koje impliciraju manju ili veu vjerovatnost, a nikako sigurnost deavanja. Izmeu takvih dogaaja se moe uspostaviti tzv. stohastika zavisnost.Kod izraunavanja vjerovatnoe nekog dogaaja uvijek se trai odgovor na pitanje da li e dogaaj nastupiti ili ne. Npr. kod bacanja kocke razlikuju se dogaaji A=[1] ili B=[2] ili C=[3] itd., odnosno imamo onoliko dogaaja koji su odreeni brojem koji padne. Stoga se u mnogim sluajevima rezultat jednog opita moe oznaiti jednim brojem. U sutini svaki sluajni dogaaj ili jedan 1. Osnove stohastikog modeliranja 3 opit se oznaava jednim brojem, kao kod bacanja kocke brojem koji padne. Ako se taj broj oznai sa x, onda u sluaju bacanja kocke taj broj moe primiti vrijednosti 1, 2, 3, 4, 5 i 6. Takva promjenljiva koja karakterie rezultat jednog opita oznaava se kao sluajna (stohastika ili aleatorna) promjenljiva. U toku opita (vremena) se i same stohastike promjenljive mijenjaju, te se stoga razlikuju od obine stohastike promjenljive, i nazivaju se stohastikim procesima (aleatorna funkcija ili sluajni proces).Kako je za sluajni dogaaj vezana vjerovatnoa, tako je sluajna promjenljiva definisana zakonom vjerovatnoe i odreenim statistikim pokazateljima (oekivana vrijednost, varijansa i sl.). S obzirom da stohastiki proces predstavlja skup sluajnih promjenljivih njega karakteriu viedimenzionalni zakon vjerovatnoe i odreeni statistiki pokazatelji.1.2. VJEROVATNOA DOGAAJAMnoge poslovne odluke donose se u uslovima sluajnih dogaaja kao to su tranja, vremenski uslovi, konkurentsko okruenje i sl. Da bi se egzaktno tretirali za sluajne dogaaje utvruje se vjerovatnoa kao mjera zakonitosti njihovih nastupanja. Ova mjera ima veu vrijednost ako je ako je vei stepen mogunosti da taj dogaaj nastupi. Povoljni dogaaj je realizacija eljenog dogaaja. Ako provodimo opit sa bacanjem kocke za igru ije su strane oznaene brojevima taaka od 1 do 6 i ako elimo da bacanjem padne estica, onda se da zakljuiti da kao bacanja kocke moe nastupiti 6 dogaaja od kojih je padanje estice povoljan dogaaj, dok ostalih pet sluajeva predstavljaju nepovoljne dogaaje. Ovi mogui dogaaji u teoriji vjerovatnoe esto se nazivaju elementarnim dogaajima ili samo dogaajima, a sam skup svih moguih dogaaja oznaava se kao skup elementarnih dogaaja. Vjerovatnoa dogaaja ima slijedee osobine:a) Matematiki se vjerovatnoa nastupanja dogaaja A predstavlja kao granina vrijednost odnosa broja povoljnih dogaaja m i broja n svih moguih dogaaja tj.nmlim ) A ( Pn i 1 P(A) 0 .Klasina definicija vjerovatnoe kae da je vjerovatnoa ostvarenja oekivanog dogaaja odnos izmeu broja povoljnih i ukupnog broja podjednako moguih dogaaja. Matematika ili apriorna vjerovatnoa nekog dogaaja je ona koja se moe izraunati bez provoenja opita, dok vjerovatnoa koja se odreuje na 4 Stohastiki modeli u poslovnom odluivanju osnovu izvrenih opita ili prikupljenih statistikih podataka naziva statistika ili aposteriorna vjerovatnoa.1Primjer 1. Kod bacanja kocke za igranje izraunati vjerovatnou bilo kojeg elementarnog dogaaja. Izraunati vjerovatnou da e kod bacanja kocke pasti neparan broj.Rjeenje: Skup elementarnih dogaaja kod bacanja kocke je skup {1,2,3,4,5,6}, tj. ukupan broj moguih dogaaja n = 6. Broj povoljnih dogaaja za nastupanje bilo kojeg elementarnog dogaaja je m = 1, tako da je vjerovatnoa svakog elementarnog dogaaja jednaka 1/6.Dogaaj A da e pasti neparan broj poistovjeuje se sa skupom {1,3,5}, tako da je broj povoljnih dogaaja u ovom sluaju m = 3. Vjerovatnoa da e pasti neparan broj, odnosno da e desiti dogaaj A jednaka je5 , 063) ( A p .Primjer 2. Prilikom kontrole kvaliteta 1200 komada prozvoda proizvedenih pod istim tehniko-tehnolokim uslovima, utvreno je da je 1128 komada proizvoda standardne kvalitete, 48 komada nestandardne kvalitete i 24 komada su kart proizvodi. Izraunati vjerovatnoe da sluajno odabran proizvod ima karakteristike neke od prethodne tri kvalitete.Rjeenje: Kontrola kvaliteta proizvoda vri se na osnovu 1200 opita, tj. n = 1200. Na osnovu statistike definicije, vjerovatnoa da sluajno izabrani proizvod bude standardne kvalitete (dogaaj A) jednaka je. 94 , 012001128) ( A p Vjerovatnoe da e izabrani proizvod biti nestandardne kvalitete (dogaaj B), odnosno kart proizvod (dogaaj C) jednaka je. C pB p02 , 0120024) (04 , 0120048) ( b) Ako je P(A)=1 dogaaj A e sigurno nastupiti i ako je P(A)=0 onda je dogaaj nemogu.c) Vjerovatnoa da se jedan dogaaj nee desiti naziva se suprotna vjerovatnoa njegovog nastupanja ) ( A P . Odavde se dobiva da je 1 S obzirom na karakter knjige, nee se posebno isticati razlika izmeu apriorne i aposteriorne vjerovatnoe.1. Osnove stohastikog modeliranja 5 1 ) A ( P ) A ( P + .(1.1)Primjer 3. Od ukupno 153 tekstilna radnika koja rade u ivaoni normu ne ispunjava 18 radnika. Kolika je vjerovatnoa da sluajno izabrani tekstilni radnik ispunjava normu?Rjeenje: Obiljeimo sa A sluajni dogaaj izbora tekstilnog radnika koji ne ispunjava normu, a sa A sluajni dogaaj da izabrani tekstilni radnik ispunjava normu. Vjerovatnoa da sluajno izabrani tekstilni radnik ispunjava normu se izraunava na slijedei nain:8824 , 0153181 ) ( 1 ) ( A P A P .d) Vjerovatnoa deavanja ili dogaaja A ili dogaaja B i da se pri tome dogaaji A i B ne mogu desiti istovremeno je zbir vjerovatnoa tih dogaaja ) ( ) ( ) ( B P A P B A P + +.(1.2)e) Vjerovatnoa deavanja ili dogaaja A ili dogaaja B ili ... ili dogaaja L i da se pri tome dogaaji A, B, ..., L ne mogu desiti istovremeno jednaka je zbiru parcijalnih vjerovatnoa dogaaja, tj.) L ( P ... ) B ( P ) A ( P ) L ... B A ( P + + + + + +. (1.3)Primjer 4. U seriji koja sadri 300 komada nekog proizvoda, utvreno je da postoji 15 komada sa odstupanjem 0,5% od standardne teine, 24 komada sa odstupanjem 1% od standardne teine i 30 komada sa odstupanjem 1,5 % od standardne teine. Utvrditi kolika je vjerovatnoa da e se naii na komad proizvoda sa odstupanjem od standardne teine ili 1% ili 1,5%?Rjeenje: Ako obiljeimo sa B dogaaj da e se naii na komad proizvoda sa 1% odstupanja od standardne teine, a sa C da e se naii na komad proizvoda sa odstupanjem 1,5% od standardne teine, onda je18 , 03003030024) ( ) ( ) ( + + + C P B P C B P .Primjer 5. U slubi kontrole kvaliteta u jednoj fabrici elektrinih sijalica stastistiki je utvren slijedei raspored sijalica prema broju sati gorenja sa odgovarajuom vjerovatnoom:Broj sati gorenja Vjerovatnoamanje od 500 0,05500-600 0,20600-700 0,356 Stohastiki modeli u poslovnom odluivanju 700-800 0,25preko 800 0,15 Kolika je vjerovatnoa da sluajno odabrana sijalica gori: i) vie od 700 sati, ii) manje od 800 sati,iii) ne vie od 600 sati iiv) ne manje od 600 sati.Rjeenje: Ako obiljeimo sa A dogaaj da e sluajno uzeta sijalica gorjeti manje od 500 sati, sa B 500-600 sati, sa C 600-700 sati, sa D 700-800 sati i E preko 800 sati, onda je vjerovatnoa da sluajno odabrana sijalica gori:i) vie od 700 sati 40 , 0 15 , 0 25 , 0 ) ( ) ( ) ( + + + E P D P E D Pii) manje od 800 sati85 , 0 25 , 0 35 , 0 20 , 0 05 , 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + + + + + + + + + D P C P B P A P D C B A Piii) ne vie od 600 sati25 , 0 20 , 0 05 , 0 ) ( ) ( ) ( + + + B P A P B A Piv) ne manje od 600 sati 75 , 0 15 , 0 25 , 0 35 , 0 ) ( ) ( ) ( ) ( + + + + + + E P D P C P E D C Pili75 , 0 25 , 0 1 ) ( 1 ) ( + + + B A P E D C P.f) Ako se dogaaji A i B ne iskljuuju (moe se pojaviti dogaaj A, dogaaj B ili oba zajedno), onda je ) AB ( P ) B ( P ) A ( P ) B A ( P + +.(1.4)g) Uslovna vjerovatnoa dogaaja B pod uslovom da se ve ostvario dogaaj A oznaava se sa P(B/A) i izraunava se )'> A P zaA P zaA PAB PA B P0 ) ( 00 ) () () () / ( . (1.5)Ako su dogaaji A i B nezavisni onda je P(B/A)=P(B).1. Osnove stohastikog modeliranja 7 h) Vjerovatnoa da e se istovremeno desiti dogaaji A i B moe se izvesti iz formule uslovne vjerovatnoe (1.5), tj.P(AB)=P(A) P(B/A). (1.6)Uopteno vjerovatnoa da e se istovremeno desiti konaan broj dogaaja A1, A2,..,. An jednaka je vjerovatnoi sloenog dogaaja, odnosnoP(A1A2An)=P(A1) P(A2/A1) P(A3/A1,A2) ... P(An/A1,A2,...,An-1). (1.7)Ako su dogaaji A i B nezavisni, onda je P(AB)=P(A) P(B), (1.8)to se moe primjeniti i na relacije (1.4) i (1.7).Primjer 6. Kolika je vjerovatnoa da e prilikom bacanja kocke za igru pasti ili neparan broj ili broj djeljiv sa tri?Rjeenje: Ako sa A obiljeimo dogaaj padanje neparnog broja na kocki, onda su povoljni sluajevi dogaaja A 1, 3 i 5. Obiljeavajui sa B dogaaj pad broja djeljivog sa tri, njegovi povoljni sluajevi su 3 i 6. Stoga su vjerovatnoe dogaaja A i B jednake3162) ( i2163) ( B P A P .Vjerovatnoa da e desiti dogaaji A i B istovremeno jedino je mogua ako padne 3, te je ona jednaka61) ( AB P .Vjerovatnoa da e prilikom bacanja kocke pasti ili neparan broj ili broj djeljiv sa dva izraunava se koritenjem relacije32613121) ( ) ( ) ( ) ( + + + AB P B P A P B A P .Primjer 7. U radionici gdje rade dva radnika utvreno je da vjerovatnoa dnevnog prebaaja norme za prvog radnika iznosi 0,7, a za drugog 0,4. Izraunati vjerovatnou da bar jedan radnik prebacuje normu.Rjeenje: Bar jedan radnik prebacuje normu ako je prebaci prvi radnik ili drugi ili oba istovremeno. Vjerovatnoa da e prvi i drugi radnik prebaciti normu iznosi 4 , 0 ) ( i 7 , 0 ) ( B P A P . Poto su dogaaji A i B nezavisni, vjerovatnoa da e istovremeno prebaciti normu oba radnika jednaka je 28 , 0 4 , 0 7 , 0 ) ( ) ( ) ( B P A P AB P.Vjerovatnoa da e bar jedan radnik prebaciti normu iznosi82 , 0 28 , 0 4 , 0 7 , 0 ) ( ) ( ) ( ) ( + + + AB P B P A P B A P.8 Stohastiki modeli u poslovnom odluivanju Primjer 8. Kolika je vjerovatnoa da e prilikom bacanja kocke za igru pasti u drugom bacanju broj djeljiv sa tri pod uslovom da u prvom bacanju padne neparan broj? Kolika je vjerovatnoa u suprotnom redoslijedu?Rjeenje: Slino kao u zadatku 6. sa A emo obiljeiti dogaaj padanja neparnog broja na kocki, a sa B dogaaj padanja broja djeljivog sa tri. Stoga su vjerovatnoe dogaaja A i B jednake3162) ( i2163) ( B P A P .Vjerovatnoa da e desiti dogaaji A i B istovremeno jednaka je61) ( AB P .Vjerovatnoa da e prilikom bacanja kocke za igru pasti u drugom bacanju broj djeljiv sa tri pod uslovom da u prvom bacanju padne neparan broj, odnosno da e se desiti dogaaj B uz uslov da se desio dogaaj A jednaka je312161) () () / ( A PAB PA B P .Vjerovatnoa da e prilikom bacanja kocke za igru pasti u drugom bacanju neparan broj pod uslovom da u prvom bacanju padne broj djeljiv sa tri, odnosno da e se desiti dogaaj A uz uslov da se desio dogaaj B jednaka je213161) () () / ( B PAB PB A P.Primjer 9. Neka se u nekom sudu nalazi 4 crne, 3 bijele i 5 crvenih kuglice. Na sluajan nain se iz suda izvlae kuglice i ne vraaju se u sud. Izraunati vjerovatnou da se kod tri izvlaenja prvo izvue jedna crna, potom jedna bijela i na koncu jedna crvena kuglica.Rjeenje: Ako sa A oznaimo dogaaj izvlaenja crne kuglice u prvom pokuaju, onda je 31124) ( A P.Neka je B dogaaj izvlaenja bijele kuglice u drugom pokuaju. Ako se desio dogaaj A, ostalo je 11 kuglica od kojih su 3 bijele, vjerovatnoa dogaaja B pod uslovom da se desio dogaaj A jednaka1. Osnove stohastikog modeliranja 9 113) / ( A B P .Dogaaj C je da tree izvlaenje daje crvenu kuglicu. Ako su se desili dogaaji A i B, onda je ostalo u sudu 10 kuglica od kojih je 5 crvenih. Vjerovatnoa dogaaja C pod uslovom da su se desili dogaaji A i B jednaka je21105) , / ( B A C P .Vjerovatnou da se kod tri izvlaenja prvo izvue jedna crna, potom jedna bijela i na koncu jedna crvena kuglica jednaka je2212111331) , / ( ) / ( ) ( ) ( B A C P A B P A P ABC P .i) Ako sluajni dogaaj B nastupa pod uslovom nastupanja dogaaja jednog za drugim A1, A2, ..., An koji se meusobno iskljuuju, a ija je suma vjero-vatnoaP(A1)+P(A2)+ ...+P(An)=1 (1.9)(dogaaji Ai, n , 1 i formiraju potpuni sistem dogaaja), onda se vjerovatnoa dogaaja B izraunava pomou formulenii iA B P A P B P1) / ( ) ( ) ( (1.10)koja se naziva formula totalne vjerovatnoe.Primjer 10. Jedan proizvod moe se proizvesti na tri maine. Na maini M1 proizvodi se 60% ukupne proizvodnje i od toga 5% proizvoda loije kvalitete, na maini M2 proizvodi se 25% ukupne proizvodnje i od toga 6% proizvoda loije kvalitete i na maini M3 proizvodi se 15% ukupne proizvodnje i od toga 8% proizvoda loije kvalitete. Kolika je vjerovatnoa da sluajno odabrani proizvod bude loije kvalitete?Rjeenje: Ovdje moemo posmatrati slijedee dogaaje:A1 : proizvod je izraen na maini M1A2 : proizvod je izraen na maini M2A3 : proizvod je izraen na maini M3B : odabrani proizvod je loije kvalitete.Poto dogaaji Ai, 3 , 1 i ine potpuni sistem dogaaja, to su odgovarajue vjerovatnoe jednake 60 , 0 ) (1 A P, 25 , 0 ) 2P(A i 15 , 0 ) 3P(A. Uslovne vjerovatnoe da e odabrani proizvod biti loije kvalitete u zavisnosti na kojoj maini je izraen su 10 Stohastiki modeli u poslovnom odluivanju A B P A B P 06 , 0 ) / ( , 05 , 0 ) / (2 1 i 08 , 0 ) / (3 A B P. Na osnovu relacije (1.10)057 , 0 08 , 0 15 , 0 06 , 0 25 , 0 05 , 0 60 , 0 ) / ( ) ( ) (31 + + ii iA B P A P B P .Prema tome, u ukupnoj proizvodnji bie 5,7% proizvoda loije kvalitete.j) Ako dogaaji Ai, n , 1 i ine potpuni sistem dogaaja, tada za dogaaj B koji nije nemogu vrijedi relacijan kA B P A PA B P A PB A Pnii ik kk, 1) / ( ) () / ( ) () / (1, (1.10)koja je poznata kao Bayes-ova formula.Primjer 11. Jedna velika serija proizvoda sadri 97 % dobrih proizvoda. Kontrolom kvaliteta proizvoda utvreno je da stvarno dobar proizvod se proglaava dobrim uz vjerovatnou od 0,98, a stvarno lo proizvod se proglaava dobrim uz vjerovatnou 0,02. Kolika je vjerovatnoa da je proizvod stvarno dobar, ako ga je kontrola proglasila dobrim?Rjeenje: Ako posmatramo slijedee dogaaje:A1 : proizvod je stvarno dobarA2 : proizvod je stvarno loB : kontrola proglaava proizvod dobrim,onda, polazei da su vjerovatnoe 98 , 0 ) , 03 , 0 ) , 97 , 0 ) (1 1 2P(B/A P(A A P i 02 , 0 ) / (2 A B Ppoznate, je neophodno izraunati vjerovatnou P(A1/B) u skladu sa formulom (1.10), odnosno. 9994 , 0 ) / (9512 , 09506 , 002 , 0 03 , 0 98 , 0 97 , 098 , 0 97 , 0) ) ( ) ) () ) () / (12 111 + +B A PP(B/A A P P(B/A A PP(B/A A PB A P2 11Prema tome, nakon kontrole proizvodna serija e imati 99,94% dobrih proizvoda.1.3. SLUAJNA PROMJENLJIVA I DISTRIBUCIJE VJEROVATNOA1. Osnove stohastikog modeliranja 11Ako promjenljiva x uzima neku od vrijednosti x1, x2,..., xn sa odgovarajuim vrijednostima vjerovatnoa P(x1), P(x2), ..., P(xn) pri emu je P(x1) + P(x2) + ... + P(xn) = 1 tada se za x kae da predstavlja diskretnu sluajnu (aleatornu ili stohastiku) promjenljivu.Sa xi, i= n , 1 obiljeena je realizacija ili tekua vrijednost promjenljive, a P(x=xi)=P(xi) je zakon vjerovatnoe ili zakon raspodjele (rasporeda, razdiobe) vjerovatnoa ili distribucija vjerovatnoa. Distribucija vjerovatnoa pokazuje raspored vjerovatnoa na mogue rezultate nekog opita. Razlikuju se diskretne i kontinuirane distribucije. Kod diskretne distribucije promjenljiva x moe poprimiti samo odreene vrijednosti (npr. osobe koje pristuu u red, kart komadi i sl.). Kontinuiranu distribuciju karakteriu promjenljive koje mogu poprimiti sve vrijednosti (eventualno u okviru nekih granica, npr. vrijeme dolazaka, temperature i sl.). Diskretna sluajna promjenljiva x za zakon vjerovatnoe P(x) udovoljava 0 ) x ( P za svako x1 ) x ( Px svako ,dok kontinuirana sluajna promjenljiva sa zakonom vjerovatnoe f(x) udovoljava0 ) x ( f za svako + < < x 1 ) ( + dx x f.Vjerovatnoa kada se sluajna promjenljiva nalazi u intervalu a x < je funkcija od x ) ( ) ( ) ( a x P a x P a F < i naziva se funkcija rasporeda sluajne promjenljive (funkcija distribucije).Kod diskretne distribucije je a xii) x x ( P ) a ( F,(1.11)dok je kod kontinuirane adx ) x ( f ) a x ( P ) a ( F .(1.12)Osobine funkcije rasporeda su:a)1 ) a ( F 0 ,b) < ) ( F ) ( F ) x ( P,c)0 ) a ( F lima ,12 Stohastiki modeli u poslovnom odluivanju d)1 ) a ( F lima + .1.4. KARAKTERISTIKE SLUAJNE PROMJENLJIVEPored izraunavanja vjerovatnoe da e neki dogaaj nastupiti, tokom provoenja odreenih opita znaajan interes se moe dati rezultatima opita koji se mogu oekivati u prosjeku. Neka je x sluajna promjenljiva i neka je h(x) funkcija od x. Definisaemo E{h(x)} kao oekivanu vrijednost h(x), sa uvaavanjem zakona vjerovatnoe f(x), odnosno P(x). Tada je{ })'+ x svako) x ( P ) x ( hdx ) x ( f ) x ( h) x ( h E (1.13)Za konstantu b operator oekivanja je:{ }{ } { }{ } { }. ) x ( h E b ) x ( h b E) x ( h bE ) x ( bh Eb b Et tSredina distribucije definie se kao oekivana vrijednost u sluaju h(x)=x. Tada je{ })'+ x svako) x ( xPdx ) x ( xfx E . (1.14)Varijansa distribucije definie se kao oekivana vrijednost kada je { } [ ]2x E x ) x ( h Tada je{ } { } [ ] { } { } { } [ ] { } { } { } { } { } [ ]{ } { } [ ] . x E x Ex E x E x E 2 x E x E x xE 2 x E x E x E x Var2 22 2 2 2 2 + + (1.15) Primjer 12. U eksperimentu bacanja igrae kocke izraunati sredinu i varijansu distribucije.za x kontinuirano za x diskretno za x kontinuirano za x diskretno 1. Osnove stohastikog modeliranja 13Rjeenje: Za sluajnu promjenljivu x vai da je xi = i; i = 1, 2, 3, 4, 5, 6; p(xi) =1/6. Odatle se primjenom relacije (1.14) sredina distribucije jednaka sumi pojedinih brojeva pomnoenih sa pripadnom vjerovatnoom, odnosno + + + + + ii ix P x x E 5 , 3616615614613612611 ) ( ) (.Za izraunavanje varijanse koristiemo relacije (1.14) i (1.15), na osnovu kojih e se dobiti identini rezultati:[ ] [ ] 616192 , 2615 , 3 ) ( ) ( ) (i ii ii x P x E x x Var[ ] 92 , 2 5 , 3615 , 3 ) ( ) ( ) ( ) (612 2612 2 2 2 i ii ii x P x x E x E x Var .1.5. NAJZNAAJNIJI RASPOREDI U STOHASTIKIM MODELIMABez obzira na to da li je sluajna promjenljiva diskretna ili kontinuirana mogu se utvrditi zakoni koji definiu raspored vjerovatnoa na mogue rezultate nekog opita. U teoriji vjerovatnoe onaj zakon kako je ve istaknuto oznaava se kao zakon vjerovatnoe ili distribucija vjerovatnoa.Razlikuju se empirijske i teorijske distribucije. Ovdje emo istai osnovne teorijske distribucije znaajne za stohastiko modeliranje, i to:- Diskretne distribucije vjerovatnoa:1. Binomna distribucija i2. Poissonova distribucija.- Kontinuirane distribucije vjerovatnoa:1. Normalna distribucija,2. Eksponencijalna distribucija,3. Gama distribucija i4. Beta distribucija.1.5.1. Diskretne distribucije vjerovatnoa1.5.1.1. Binomna distribucijaPretpostavimo da prosti dogaaj A nastupa sa istom vjerovatnoim p kod svakog opita. Neka je njegova suprotna vjerovatnoa obiljeena sa q=1 p. Binomna distribucija definie vjerovatnou da e kod n ponavljanja nezavisnih opita, dogaaj A nastupiti k puta. Binomna distribucija glasi14 Stohastiki modeli u poslovnom odluivanju k n kq pkn) k x ( P

,_

. (1.15)Binomna distribucija odreena je parametrima n i p. Ona zadovoljava uslove0 ) k x ( P za svako k=0,1,2,,n i1 ) q p ( q pkn) k x ( Pnn0 kk n kn0 k +

,_

.Oekivana vrijednost binomne distribucije je E{x}=np, dok joj je varijansa definisana izrazom Var{x}=np(1p). 1.5.1.2. Poissonova distribucijaNeka sluajna promjenljiva x moe poprimiti nenegativne cjelobrojne vrijednosti k=0,1,2,.... Svaki dogaaj nastupa sluajno i nezavisno od drugog. Sluajna promjenljiva x oznaava frekvenciju nastupa posmatranog dogaaja u jedinici vremena. Poissonova distribucija definisana je izrazom! ke) k x ( Pk za svako k=0,1,2,, (1.16)gdje je >0 i oznaava vjerovatnou nastupa dogaaja k puta.1. Osnove stohastikog modeliranja 15Poissonova distribucija moe se direktno izvesti iz binomne distribucije. Kada p0 i n, , ali tako da proizvod ovih veliina tei prema nekoj konanoj vrijednosti np=>0, onda binomna distribucijak n kn1n kn) k x ( P

,_

,_

,_

(1.17)prelazi u jednoparametarsku Poissonovu distribuciju koja se dobiva kao granina vrijednost prethodnog izraza kada p0 i n .Oekivana vrijednost i varijansa Poissonovog rasporeda jednake su parametru , odnosno E{x}= i Var{x}= . U situaciji kada je n veliko, p male vrijednosti i =np>0 pogodna konstantna vrijednost, tada Poissonova distribucija moe aproksimirati binomnu distribuciju.1.5.2. Kontinuirane distribucije vjerovatnoaEksponencijalna distribucijaZakon vjerovatnoe eksponencijalne distribucije za sluajnu promjenljivu x definisan je izrazom xe ) x ( f , x>0, (1.20)gdje je dati parametar (slika 1.3).Funkcija raspodjele eksponencijalne distribucije definisan je relacijomxe x F 1 ) ( .16 Stohastiki modeli u poslovnom odluivanju f(x) 0 x Slika 1.3.Zakon vjerovatnoe eksponencijalne distribucijePoissonova distribucija definie vjerovatnou s kojom se neki dogaaj deava u odreenoj vremenskoj jedinici. Kod eksponencijalne distribucije je drugaije i pretpostavlja se da je vremenski razmak kontinuirana sluajna promjenljiva. Eksponencijalna distribucija nastupa uvijek u vezi sa Poissonovom distribucijom. Ako su vremenski intervali nastupanja dogaaja distribuirani eksponencijalno, tada je frekvencija dogaaja po vremenskoj jedinici distribuirana prema Poissonu i obratno. Osnovni parametri eksponencijalne distribucije su { }1x E i { }21x Var.1.5.2.2. Normalna distribucijaNeprekidna funkcija2 22 / ) x (2e21) x ( f za svako + < < x(1.18)gdje su i poznati parametri, predstavlja normalnu distribuciju (slika 1.1). f(x) 0 x x 1. Osnove stohastikog modeliranja 17Slika 1.1a.Zakon vjerovatnoen normalne distribucijeF(x) 0 x 0,5 1 Slika 1.1b. Funkcija rasporeda normalne distribucijeFunkcija rasporeda normalne distribucije definisana je sa x2 / ) y (2dy e21) x ( F2 2 .Oekivana vrijednost normalne distribucije je E{x}=, a varijansa Var{x}=2.Standardizovana normalna distribucija dobiva se uvoenjem sluajne promjenljive xz u obliku2 / z2e21) z ( za svako + < < x, (1.19)gdje je oekivana vrijednost E{z}=0 i varijansa Var{z}=1 (slika 1.2).f(z) 0 z Slika 1.2a. Zakon vjerovatnoe standardizovane normalne distribucije18 Stohastiki modeli u poslovnom odluivanju F(z) 0 z 0,5 1 Slika 1.2b. Fankcija rasporeda standardizovane normalne distribucije1.5.2.3. Gama distribucijaDa bi se dobio zakon vjerovatnoe Gama distribucije n-tog reda, polazi se od sloenog dogaaja:- da se u intervalu duine t javi (n-1) dolazak i - da se u intervalu t,t+dt javi jedan dolazak.Zakon vjerovatnoe definisan izrazom)! 1 n (e ) x () x ( fx 1 n za svako x>0 (1.21)oznaava se kao Gama ili Erlangova distribucija.Gama distribucija ima srednju vrijednost i varijansu { }1x E i { }21x Var.1.5.2.4. Beta distribucijaZa sluajnu promjenljivu x koja ima zakon vjerovatnoe1 1) 1 () , (1) ( q px xq px f za svako 0x1, p>0 i q>0 (1.22)gdje je tzv. funkcija)! 1 ()! 1 ( )! 1 () 1 ( ) , (101 1 + q pq pdx x x q pq p kae se da slijedi standardu (Beta) distribuciju. 1. Osnove stohastikog modeliranja 19Oekivana vrijednost i varijansa sluajne promjenljive x su q ppx E+ ) ( i ) 1 ( ) () (2+ + +q p q ppqx Var .1.6. STOHASTIKI PROCESI U ODLUIVANJU1.6.1. Pojam stohastikog procesaStohastiki proces predstavlja matematiku apstrakciju empirijskog procesa koji se razvija u vremenu po nekim zakonima vjerovatnoe. Stohastikim procesom (sluajni proces, sluajna funkcija) moe se smatrati familija sluajnih promjenljivih, odnosno simboliki ga definiemo kao skup sluajnih promjenljivih {x(t),tT} [Tourki, Backovi, Cvjetianin (1999)]. Stohastiki promjenljiv indeks i parametar t je elemenat indeksnog skupa T. U teoriji optimalnog upravljanja, analizi vremenskih serija, ekonometriji i sl. skup T tretira se iskljuivo kao vrijeme, tako da postaje skup realnih promjenljivih.Stohastiki proces moe se razmatrati kao funkcija dvije promjenljive {x(t, ), tT, S}, gdje je S prostor u kome egzistiraju vrijednosti promjenljivih x(t). Za fiksirano = o funkcija x(.,o) je obina funkcija vremena i naziva se realizacija stohastikog procesa. U oblasti ekonomskih procesa (a i nekih drugih) ove realizacije odnose se na vremenske serije. U sluaju da je fiksirano t = to, funkcija x(to,.) je sluajna veliina. Argument se prilikom definisanja stohastikih procesa vrlo esto podrazumijeva, tako da se u oznaavanju i izostavlja.Stanje nekog procesa u bilo kom vremenu t opisano je vrijednostima odreenog broja opserviranih veliina, odnosno stohastikih promjenljivih. Ako fiksiramo vrijeme t, tada se proces x(t) svodi na stohastiku promjenljivu x. Za taj sluaj kaemo da predstavlja presjek stohastikog procesa u trenutku t0 (slika 1.3). t0 20 Stohastiki modeli u poslovnom odluivanju Slika 1.3. Presjek stohastikog procesa u trenutku t0Ako poemo od toga da ispravna definicija ekonomske vremenske serije proizilazi jedino iz teorije stohastikih procesa, tada se smatra da je ta vremenska serija konani dio realizacije nekog stohastikog procesa, odnosno odreena ekonomska vremenska serija x(t) je jedan jedini uzorak od beskonanog broja moguih uzoraka tog procesa x(t0), x(t1), ..., x(tp).U skladu sa prethodnom definicijom osnovni zadatak istraivanja dinamikih ekonomskih procesa sastoji se u otkrivanju stohastikog procesa ija je realizacija ta vremenska serija. Takav stohastiki proces oznaava se kao model ekonomske vremenske serije.1.6.2. Zakon vjerovatnoe stohastikog procesaDa bismo definisali zakon vjerovatnoe stohastikog procesa posmatrat emo za svako ti realizaciju x(ti). Na bazi trenutaka t1, t2,..., tn kojima korenspodira niz sluajnih promjenljivih x(t1),x(t2),...,x(tn) moe se definisasti zakon vjerovatnoe procesa. U svakom trenutku ti moe se pridruiti odgovarajua promjenljiva x(ti) koja ima svoj zakon vjerovatnoe koji emo oznaiti sa f(x,ti).Obuhvatanjem svih n stohastikih promjenljivih n-dimenzionalni zakon vjerovatnoe stohastikog procesa moe se simboliki opisati izrazom f(x1,x2,...,xn;t1,t2,...,tn).Vrijednosti stohastikog procesa u n razliitih momenata vremena mogu se predstaviti n-dimenzionalnom sluajnom veliinom. Funkcija( ) ( ) ( ) { }n n n n nt x t x P t t t F , , , , , ; , , ,1 1 2 1 2 1 ,gdje je P vjerovatnoa, naziva se funkcija rasporeda stohastikog procesa.1.6.3. Karakteristike stohastikog procesaOsnovne karakteristike stohastikog procesa su:- srednja vrijednost,- varijansa, - funkcija autokovarijanse i - funkcija kovarijanse.Srednja vrijednostZa stohastiki proces {x(t),tT} srednja vrijednost ) (t x definie se kao oekivana vrijednost, tj. 1. Osnove stohastikog modeliranja 21{ } ) ( ) ( t x E t x (1.23) t=t1 t=t2 ) t ( x Slika 1.4. Oekivana vrijednost stohastikog procesaVarijansaVarijansa stohastikog procesa definie se kao srednje kvadratno odstupanje realizacija stohastikog procesa od njegove srednje vrijednosti, tj. [ ] { }22) t ( x ) t ( x E ) t ( . (1.24)Funkcija autokovarijanse i kovarijanseFunkcija autokovarijanse stohastikog procesa {x(t),tT} pokazuje stepen zavisnosti izmeu dva presjeka t=t1 i t=t2. Ona se definie kao[ ] [ ] { }. ) t ( x ) t ( x ) t ( x ) t ( x E ) t , t ( K2 2 1 1 2 1 xx . (1.25)Na bazi prethodne definicije lako se dokazuje da vrijedi jednakost) t , t ( K ) t , t ( K1 2 xx 2 1 xx .Ako je t1=t2 onda se funkcija autokovarijanse oznaava kao varijansa, koja je prethodno definisana.Funkcija kovarijanse dva stohastika procesa {x(t)} i {y(t)} pokazuje stepen meusobne zavisnosti u istom vremenskom trenutku, tj.[ ] [ ] { }. ) t ( y ) t ( y ) t ( x ) t ( x E ) t , t ( Kxy . (1.26)Pomou funkcija varijansi i kovarijansi moe se izraunati srednje kvadratna greka u sluaju vremenskog pomaka (time lag)22 Stohastiki modeli u poslovnom odluivanju [ ] { }) t , t ( K 2 ) t ( ) t () t , t ( K 2 ) t , t ( K ) t , t ( K ) t ( y ) t ( x E ) t , t (2 1 xy 22y 12x2 1 xy 2 2 yy 1 1 xx22 1 2 1 xy2 + + Iz razloga to funkcije autokovarijanse i kovarijanse mogu primiti bilo koju konanu vrijednost i na osnovu toga se ne moe donijeti adekvatan zakljuak o stvarnoj zavisnosti, neophodno je da se definiu funkcije autokorelacije i korelacije ije se sve vrijednosti kreu u intervalu [-1,+1].Autokorelaciona funkcija, odnosno korelaciona funkcija definiu se na slijedei nain:) t ( ) t () t , t ( K) t , t ( r2 x 1 x2 1 xx2 1 xx autokorelaciona funkcija (1.27)) t ( ) t () t , t ( K) t , t ( ry xxyxy korelaciona funkcija(1.28)1.6.4. Klasifikacija stohastikih procesaStohastiki procesi mogu se klasificirati na osnovu vie kriterija, a u nastavku emo navesti neke od njih.a) Prema prirodi indeksnog skupa razlikujemo:- prosece sa diskretnim parametrom,- prosece sa kontinuiranim parametrom.Kod procesa sa diskretnim parametrom elementi indeksnog skupa T poprimaju diskretne vrijednosti ,... 2 , 1 , 0 t t t ili t=0,1,2,. Kod procesa sa kontinuiranim parametrom indeksni skup T se definie sa { } + < < t / t T ili { } 0 t t, T .b) Stohastiki procesi sa diskretnim ili kontinuiranim prostorom stanja definiu se s obzirom na karakteristike prostora stanja. Prostor stanja stohastikog procesa {x(t),tT} je skup svih moguih realizacija procesa. Prostor stanja moe biti jednodimenzionalan ili viedimenzionalan i pri tome diskretan ili kontinuiran.c) U zavisnosti od distribucije stohastikog procesa mogu se definisati:- Gausovi ili normalno distribuirani stohastiki procesi i- ne-Gausovi procesi.Gausovi stohastiki procesi imaju karakteritike zakona vjerovatnoe koji slijedi normalnu distribuciju, dok ne-Gausovi procesi slijede neku drugu distribuciju.1. Osnove stohastikog modeliranja 23d) Prema zavisnosti ponaanja realizacija procesa od prethodnih vremenskih trenutaka razlikuju se:- Markovljev stohastiki proces i- ne-Markovljevi procesi.Markovljev proces je takav proces kod koga vrijednost realizacije procesa u bilo kom trenutku zavisi samo od realizacije procesa u neposredno prethodnom trenutku, a ne i od ostalih vrijednosti u trenucima koji prethode.e) U zavisnosti od invarijantnosti karakteristika procesa s obzirom na parametar vrijeme, stohastiki procesi mogu biti:- stacionarni i- nestacionarni.Stohastiki proces je stacionaran samo u sluaju kada njegov zakon vjerovatnoe ostaje nepromijenjen pri promjeni vremenskog trenutka tk u vremenski trenutku tk+. Drugim rijeima, to znai da se raspored vjerovatnoa procesa ne mijenja u vremenu, te se stohastiki proces sa ovim osobinama moe posmatrati u bilo kojem vremenskom intervalu.Razlikujemo strogu ili striktnu stacionarnost i slabu ili stacionarnost u irem smislu. Ako je t,T i t+T, onda stohastiki proces definisan na tom skupu je strogo stacionaran ako su funkcije rasporeda stohastikih promjenljivih [x(t1),x(t2),,x(tn)] i [x(t1+),x(t2+),,x(tn+)] identine.Za stohastiki proces se moe rei da je slabo stacioniran, ako i samo ako je:1) Srednja vrijednost procesa konstantna, konana i nezavisna od vremena t, tj. { } x t x E t x ) ( ) ( .2) Varijansa procesa je konstantna i nezavisna od vremena t, tj. [ ] { }2x22xx ) t ( x E ) t ( .3) Korelacione funkcije, kao i greka 2xysu funkcije samo jedne promjenljive i to duine vremenskog intrevala .Npr., kovarijansa Kxx(t1,t2) za t2=t1+ postaje Kxx(t,t+)=Kxx().Nestacionarne stohastike procese, za razliku od stacionarnih, karakterie evolucija osnovnih karakteristika procesa.24 Stohastiki modeli u poslovnom odluivanju t ) t ( x Slika 1.5. Nestacionarni stohastiki procesU praktinim istraivanjima najee se ne raspolae sa realizacijama stacionarnih stohastikih procesa, pa ih stoga treba odgovarajuim postupkom stacionirati. To se najjednostavnije postie postupkom logaritmovanja ili diferenciranjem. Dostignua teorije stacionarnih procesa su daleko vea od teorije nestacionarnih procesa, tako da se postupkom stacionarizacije mogu postii bolji rezultati i jednostavnije se moe doi do rjeenja.1.6.5. Najznaajniji modeli stohastikih procesaU ekonomskoj analizi, analizi vremenskih serija, tehnikama prognoziranja i sl., teorija stohastikih procesa i modeli stohastikih procesa imaju vrlo znaajno mjesto. Meu najznaajnije spadaju:- bijeli um,- ARIMA model i - modeli u prostoru stanja (Markovljev proces i Kalmanov filtar).1.6.5.1. Diskretni bijeli umPosmatrajmo diskretni stohastiki stacionarni proces {x(t),tT} tako da su realizacije x(t1) i x(t2) nezavisne ako je t1t2. Tada ga moemo predstaviti kao niz nezavisnih i identino raspodijeljenih sluajnih veliina. U tom sluaju funkcija kovarijanse je'2 12 122 1 xxt t 0t t ) t , t ( K . (1.29)1. Osnove stohastikog modeliranja 25Proces sa takvom autokovarijansom naziva se diskretni bijeli um, odnosno diskretni bijeli um je stacionarni stohastiki proces sa oekivanim vrijednou jednakom nula i kovarijansom definisanom na prethodni nain.Ovaj model stohastikog procesa posebno ima znaaj u modernoj analizi vremenskih serija i ekonometrijskoj analizi.1.6.5.2. ARIMA modeliOvu metodologiju su razvili Box i Jenkins. ARIMA je skraenica od engleskog naziva AutoRegressiv Intergrated Moving Average koji se moe prevesti kao model autoregresionih integrisanih pokretnih prosjeka.Model ARMA (p,q)Stacionarne vremenske serije mogu se predstaviti kombinacijom sheme pokretnih prosjeka reda q ili MA(q) i autoregresije AR(p). Ako je vremenska serija definisana nizom {xt,tT} onda se ARIMA model za ovu seriju moe napisati kaoxt=1xt-1+2xt-2 + ...+pxt-p+ t -1t-1 -2t-2 - ... -qt-q, (1.30) AR(p) MA(q)gdje su:i - koeficijenti autoregresije,j - koeficijenti pokretnih sredina,t - bijeli um sa osobinama da je E{t}=0 i Var{t}=2,p - broj obuhvaenih realizacija procesa iq - broj obuhvaenih bijelih umova.Model ARIMA (p,d,q)Ovaj model se koristi za nestacionarne vremenske serije. Npr., ako vremenska serija {xt,tT} nije stacionarna, nego su stacionarne prve razlike zt=xtxt-1 i ako se model serije zt moe predstaviti sa ARMA (p,q) procesom, onda se takav proces oznaava sa ARIMA (p,1,q), gdje broj 1 oznaava broj diferencija koje smo izvrili sa originalnom vremenskom serijom, u ovom sluaju jednu. Prema tome, d predstavlja broj diferencija izvrenih na originalnoj vremenskoj seriji u cilju njene stacionarizacije.Postoje postupci za identifikaciju reda p, d i q ARIMA procesa, kao metode za ocjenu nepoznatih koeficijenata p , 1 i ,i i q , 1 j ,j . Na bazi tako specificiranog modela moe se izvriti prognoziranje buduih vrijednosti vremenskih serija. Istraivanja su pokazala da se dobivaju bolje ocjene vrijednosti serije ARIMA modelima nego klasinim statistikim tehnikama.26 Stohastiki modeli u poslovnom odluivanju 1.6.5.3. Kalmanov filtarPoto e Markovljev proces kasnije biti poseban predmet razmatranja, od modela u prostoru stanja razmotrit emo Kalmanov filtar. Neka su x(t) i z(t) dva stohastika procesa. Pod pojmom filtriranje, u generikom smislu, podrazumjeva se dobivanje informacija o stanju procesa x(t) na osnovu realizacija procesa z(1), z(2), ..., z(t) zakljuno sa periodom t. Kalmanov filtar se sumarno moe predstaviti u obliku slijedee sheme:I Minimalna matematika reprezentacija stohastikog procesa1. Model dinamikex(t+1)=Ax(t)+Bu(t)+w(t) 2. Opservacioni modelz(t+1)=Cx(t+1)+v(t+1) 3. Apriorna statistikaE{w(t)}=E{v(t)}=0 E{w(t)wT(k)}=Qt k E{v(t)vT(k)}=Rt k E{w(t)vT(k)}=0II Sadrina algoritma Kalmanovog filtra1. Prediktivna strukturax(t+1/t)=Ax(t)+Bu(t) V(t+1/t)=AV(t)AT+Q 2. Korektivna strukturax(t+1)=x(t+1/t)+K(t+1)[z(t+1)-Cx(t+1/t)] K(t+1)=V(t+1/t)CT[CV(t+1)CT+R] -1 V(t+1)=[I-K(t+1)C]V(t+1/t) gdje su:x(t+1/t) - apriona ocjena procesa x(t) u vremenu (t+1) na osnovu opservacija z(1),z(2),...,z(t),x(t) - aposteriorna ocjena procesa x(t) u vremenu t na osnovu opservacija z(1),z(2),...,z(t),V(t+1/t) - matrica apriori kovarijansi greke ocjene,1. Osnove stohastikog modeliranja 27V(t+1) - matrica aposteriori kovarijansi greke ocjene.III Prognoziranje buduih opservacija1. Prediktivna struktura vektora stanja s perioda unaprijed sa nivoa tx(t+s/t)=Ax(t+s-1/t)+Bu(t+s-1) s=1,2,...V(t+s/t)=AV(t+s-1/t)AT+Q 2. Prediktivna struktura vektora opservacija s perioda unaprijed sa nivoa tz(t+s/t)=Cx(t+s/t) Var[ z(t+s/t)]=CV(t+s/t)CT+R. Numeriki algoritam Kalmanovog filtra zahtijeva poznavanje odgovarajuih karakteristika koje se uslovno mogu klasifikovati u tri grupe:- informacione karakteristike,- karakteristike filtar procesora i- predhistorija procesa.Informacione karakteristike filtra sastoje se iz identifikacija modela dinamike procesa, opservacionog modela, apriorne statistike i inicijalne strukture filtra.Karakteristike filtar procesora mogu da stvore ponekad probleme u numerikom procesiranju filtra. To se odnosi najvie na mogunost pojave nestabilnosti i divergencije filtra, kao i negativno definitnih matrica.Generisani numeriki algoritam filtra vezan je za poznavanje opservacionog procesa {z(t);t=1,2,...,T} za cjelokupno vrijeme procesiranja filtra. Ovaj uslov numerikog algoritma oznaava se kao predhistorija procesa.