1. ÚPRAVA ALGEBRICKÝCH VÝRAZOV

Mgr. Mariana Sahajdová

Obsah tematického celku : Lomený výraz. Krátenie a rozširovanie lomených výrazov.

Sčitovanie a odčitovanie lomených výrazov. Násobenie a

delenie lomených výrazov celistvým a lomeným výrazom.

Zložené lomené výrazy.

1.1 Lomený výraz

Základné

pojmy Téma : lomený výraz

číselný výraz

celistvý výraz

s premennou

jednočlen,

dvojčlen...

lomený výraz

podmienky

riešiteľnosti

vzorce

úprava na

súčin

celistvý číselný výraz ............................................ – 2 + 10 + 3 . 4 : 11

celistvý výraz s premennou ................................ a + 3 b – – a + 3 + 2b

a , b – premenné

jednočlen dvojčlen trojčlen .....

2x 3 + a –a + 2x + 4

3x+1 2a – 34a+2 –5 + x – 4xx2+1

lomený výraz s premennou.............................................................ba

ba

22

Lomený výraz je podiel dvoch výrazov , pričom menovateľ je výraz rôzny

od nuly.

V lomených výrazoch musíme z oboru premennej vylúčiť tie čísla, pre

ktoré má výraz v menovateli číselnú hodnotu nula, pretože delenie nulou

nie je definované.

Hovoríme, že určujeme podmienky, pre ktoré má daný výraz zmysel.

Platí : a . b 0 , ak a 0 a zároveň b 0

a . b = 0 , ak a = 0 alebo b = 0 !!!!!!

Pri všetkých úpravách lomených výrazov budeme používať úpravu

výrazov na súčin vynímaním pred zátvorku a pomocou vzorcov :

a + b 2 = a

2 + 2ab + b

2

a – b 2

= a2 – 2ab + b

2

a + b a – b = a2 – b

2

Úprava výrazu na súčin :

3x2 – 6xy + 3y

2 ..........trojčlen

3x2– 6xy + 3y

2 = 3 x – y

2

trojčlen jednočlen

Vzorové príklady :

Príklad 1

Určte, pre ktoré hodnoty premenných majú zmysel výrazy :

a / 8

2yx b /

a

ba 6 c /

4

7

b

b d /

mmn

3

Riešenie :

a / Vo výraze 8

2yx je menovateľ rôzny od nuly, preto má výraz zmysel pre každé reálne

číslo x,y.............x,y R

b / Výraz a

ba 6 má zmysel , ak a 0.

c / Výraz 4

7

b

b má zmysel , ak b– 4 0

b 4

d / Výraznmn

3 má zmysel , ak mn – n 0............dvojčlen

nm – 1 0............jednočlen

n 0 m – 1 0

m 1

a zároveň

Príklad 2

Určte , pre ktoré hodnoty premenných nemajú zmysel výrazy :

a / 12

xx

x b /

41 aa

a c /

22 2

6

yxyx d /

22

2

yx

x

Riešenie :

a / Výraz 12

xx

x nemá zmysel , ak x x+1 = 0

x = 0 x + 1 = 0

alebo x = – 1

b / Výraz 41 aa

a nemá zmysel , ak a+1a–4 = 0

a + 1 = 0 a – 4 = 0

a = – 1 a = 4

c / Výraz 22 2

6

yxyx nemá zmysel , ak x

2 + 2xy + y

2 = 0

x + y 2 = 0

x + y x + y = 0

x + y = 0 x + y = 0

x = y x = y .....píšeme iba raz

d / Výraz 22

2

yx

x

nemá zmysel , ak x

2 – y

2 = 0

x+ y x – y = 0 ........... x = – y x = y

CVIČENIA

Kategória A Kategória B

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Rozložte na súčin : a / 12a

3 – 6a

2 + 3a e / 4a

4 – 8a

3 + 6a

2

b / – 21c4d3 + 14c2d4 f / x4y2 + 2xy3 – 3y2

c / – 81r2s – 27s3 g / x5–3x3–x2y

d / – 16uv2 – 12uv3 – 36u3v

Rozložte na súčin : a / ax+y + bx+y d / pr+2s – q2s–r

b / ra+3 + sa+3 e / x4–p –yp–4

c / xm–n +5m–n f / 2 u–v – m v–u

Rozložte na súčin : a /2a–3 + b3–a d /2u – 5v + 3r5v – 2u

b /3a7–2c + 4b2c–7 e /4x – 5cy–4x –y

c /v + 5uv–3 –3 f /y–36x–y – 6x

Rozložte na súčin : a /5a + 5b + ax+ bx c /2a + 6ab + 3x + 9bx

b /3m – 3 + mn –n d / y4 + y3 – y –1

Rozložte na súčin použitím vhodného

vzorca : a / p2 – 4p + 4 d/ 4 – a2

b/ x2 + 6xy + 9y2 e/ –y2 +10y – 25

c/ s2 – u2v2 f/– 49p2 + 126pq – 81q2

Rozložte na súčin použitím vhodného

vzorca : a/ 3x – 22 –y2 c/36d2 – 3c – 4d2

b/ 3 –4p2 –81p2 d/2y+m2 – –3y –5m2

Určte , pre ktoré hodnoty x majú dané

výrazy zmysel :

a / 22 55 qp

x

e /

babca

ba22

2

84

20

b / aa

a

369

93

f / 12

323 xx

x

c / 241 x

b

g /

36

72 y

y

d / 9124 2

bb

ba h /

byaybxa

x

2

Určte , pre ktoré x nemajú dané výrazy

zmysel :

a / 2491 x

x

d /

baabab

x

b / 2

6

ppq c /

babbaa

8

c / abba 69

622

1.

2.

3.

4.

5.

Rozložte na súčin : a / 2a + 2b b / 4x – 8y

c / 5k – 5 d / 3p + pq

e / v3 + v2 f / s7 – s5

g / a2b + ab2 h / mn3 – m

Rozložte na súčin : a / bx+y + ax+y d / ax+y + by+x

b / ma–b + na–b e / m3+x + nx+3

c / x2–s + y2–s f / k5+o +mo+5

Rozložte na súčin : a / mk+1 + k + 1 c / a + b + pa+b

b / sx+y + x + y d / x + y + kx+y

c / xya–b +a –b f / mn2x–y + 2x –y

Rozložte na súčin použitím vhodného

vzorca : a/ p2 – 2pq + q2 a´/ x2 – y2

b/ 9 + 6a + a2 b´/ m2 – n2 c/ 16s2 – 8s + 1 c´/ 4x2 – y2

d/ a2 – 10a + 25 d´/ x2 – 25y2

e/ m2 + 2mn + n2 e´/ 16a2 – 25b2

f/ 4x2 + 4xy + y2 f´/ 100x2 – 49y2

g/r2 – 20r + 100 g´/ 9a2 – 4b2

h/ p2 – 14p + 49 h´/ 121x2 – 81y2

i/ 4r2 –12rs + 9s2 i´/ 64a2b2 – 1

j/ 36a2 – 12ab + b2 j´/ 1 – 100a2

k/ 25x2 + 10xy + y2 k´/ x2y2 – z2

l/ m2 – 8mn + 16n2 l´/ 16a4 – 25b4

Určte , kedy majú výrazy zmysel :

a / x

x

2

3 a´ /

31

14

xx

x

b /2

94

x

x b´ /

26

8

xx

c / cab

a2

2 c´ /

22 2

2

yxyx

x

d / yx

8 d´ /

22 2

6

baba

a

e / yx

yx

e´ /

2nm

m

f / yx

x

3

2 f´ /

22 2 yxyx

x

g / yx

x

42

5

g´ /

28

ba

a

h / yx

x

7

14

h´ /

9124 2 bb

x

i / 52

43

x

x i´ /

5423

4

xx

x

1.2 Rozširovanie a krátenie lomených výrazov

Základné

pojmy Téma : Rozširovanie a krátenie lomených výrazov

vlastnosť

rozširovanie

lomeného

výrazu

krátenie

lomeného

výrazu

kedy môžeme

krátiť výrazy

Pre lomené výrazy platí

cb

ca

b

a

, b 0, c 0

Táto rovnosť ukazuje , že lomené výrazy môžeme rozširovať číslom

alebo výrazom rôznym od nuly.

Rozširovať lomený výraz znamená násobiť jeho čitateľa i menovateľa

tým istým číslom alebo výrazom rôznym od nuly.

Rovnosť môžeme tiež čítať aj v opačnom smere :

b

a

cb

ca

, b 0, c 0

Uvedená rovnosť ukazuje, že lomené výrazy môžeme aj krátiť.

Krátiť lomený výraz znamená deliť jeho čitateľa aj menovateľa tým

istým číslom alebo výrazom rôznym od nuly.

Lomený výraz cb

ca

môžeme krátiťc, pretože výrazy a .c aj b .c sú

súčinmi / jednočleny /

Lomený výraz cb

ca

nemôžeme krátiť c, pretože výrazy a+c aj b+c sú

súčty / dvojčleny /

platí : 5

3

25

23

, ale

5

3

25

23

Vzorové príklady

Príklad 1

Rozšírte lomený výraz tak, aby sa menovateľ rovnal výrazu , ktorý je uvedený v zátvorke :

a / y

x

2

3 6y y 0 b /

ba

ba

32 a

2 – b

2 a b, a – b

Riešenie : Riešenie :

a /yy

x

y

x

6

...

?2

?3

2

3

b /

22

...

?

?3232

baba

ba

ba

ba

? 6y : 2y = 3 baba

y

x

y

x

6

9

32

33

22

22 3523232

ba

baba

baba

baba

ba

ba

Príklad 2

Kráťte lomené výrazy :

a / xy

yx

3

6 2

b / x

xxy

5

1520 2

c /

122

23

aa

aa

Riešenie :

a / xx

xy

xyx

xy

yx2

1

2

3

32

3

6 2

b /

xyx

xyx

x

xxy34

5

345

5

1520 2

x 0, y 0 x 0

c /

111

1

1

1

12

22

2

2

2

23

a

a

aa

aa

a

aa

aa

aa

a 1

CVIČENIA

Kategória A Kategória B 1.

2.

3.

Doplňte :

a / 1

1

1

z

z b /

332

2

baba

c

c / 102

5

2

u

u d /

22 nmnm

m

e /yxxy

yx

f /

2222 ba

ba

ba

Napíšte a / číslo 2 ako zlomok s menovateľom 1, 3, 5, a,

x-y

b / súčin 5ab ako zlomok s menovateľom 2, a,

b, a2b

c /rozdiel u-v ako zlomok s menovateľom 4, u,

u+v, u-v

Rozšírte zlomky tak, aby mali rovnakého

menovateľa :

a / 32

1/

1/

1

xxx b /

310

3/

6 y

a

y

a

c / ab

c

c

b

b

a// d /

ba

y

a

x

3/

2

e / ax

ab

b

a

32/

80

5 f /

1

1/

1

2

u

u

u

u

g /1

1/

1/

3

1

zz h /

22/

np

n

np

n

i / 5

/3 s

r

s

s

j / xyx

x

y

x

yy

x

2/

21/

2 2

1.

2.

3.

Dané zlomky rozšírte uvedeným číslom . potom dosaďte do pôvodného aj do rozšíreného

zlomku dané čísla a presvedčte sa , že

rozširovaním zlomku sa jeho veľkosť nezmení :

a / 5

x rozšírte dvoma, dosaďte x = 1

b / d

c rozšírte číslom a, dosaďte a =5, c=4, d=2

c /q

p

2 rozšírte číslom 3y, dosaďte p=2, q=3,

y=1

d / n

1 rozšírte výrazom u+v, dosaďte n=2, u=3,

v=7

e / ba

ba

rozšírte výrazom a–b, dosaďte

a=6,b=4

Rozšírte každý zlomok výrazom v zátvorke :

a / xxy

x

4 b / pq

q

p4

2 c / a

y

x

d / bb

72

1 e / 12

12

x

x

x

f / baba

a

g / 1

uv

vu

Doplňte :

a / rr 279

7 b /

22 2 qpqpqp

qp

4.

5.

6.

7.

8.

Výrazy zjednodušte a určte, pre ktoré hodnoty

premenných majú výrazy zmysel: 4.

5.

6.

Napíšte, kedy má zlomok zmysel a zjednodušte

a / b

a

3

3

e/4

2

36

9

uv

vu

b /318

6

q

p

f/x

x

10

5 3

c /r

r

10

5 2

g/s

s

5

2 3

d / ybx

axy2

h/m

m

2

10 2

a/

a

aaa

3

1863 32

c/yx

xyx

33

23

e/

xbxa

baba22

22

44

242

g/

zyx

zyx

22

b/

b

bbb

5

5212 244

d/66

4128 22

k

kk

f/

2yxx

aybxbyax

h/273

962

2

x

xx

Napíšte, kedy má zlomok zmysel :

a / 432

32

nmk

mnk

d / 3

2

2

2

u

u

b /

2

2

rs

rs

e / 3

2

21

7

bd

bc

c / 2

3

3

2

ab

a

f /

rqp

pqr42

2

Zjednodušením uveďte lomené výrazy na

základný tvar a napíšte, kedy majú zmysel :

i/882

42

3

dd

dd j/

2218

2226

e

eee

k/

16

4622

x

xxl/ 22

2

2

46

baba

abb

a / 1

1

xv

xu

c / 105

2

x

x

e / 82

4

a

a

g / nm

nm

63

105

i / 1

12

x

x

k /168

42

mm

m

m / x

x

2

4 2

o / kk

k

2

1

r / xxy

xx

22

44 2

t / 22 4

2

yx

yx

v / 2

2

1

21

a

aa

x / aba

baa

210

7

q /xy

yx

24

2

b / qpr

qp

3

34

d / ba

ba

77

33

f / x

xx

2

42 2

h / xyx

yx

2

22

j / 12

12

aa

a

l / 5

252

a

a

n / 12

222

aa

a

p / aba

bab

4

42

2

s / 2

32 33

rr

rr

u / 22 44

2

yxyx

yx

z 22

22

44

242

yx

yxyx

y /a

bab

36

63

w / x

xx

2

42 2

Zjednodušte. Určte , pre ktoré hodnoty

premenných nemajú dané výrazy zmysel. Určte

hodnoty výrazov.

a / 9

622

2

m

mm; m = 2

b / tt

t

422

205 2

; t = –1

c / 22

42

aac

a ; a =3, c = –

4

3

d /

2232

1 xy

xyyxxy

; x = 1, y = 2

Daný je výraz : xx

x

839

28 2

a / zjednodušte ho

b / určte pre ktoré x má zmysel

c / overte pre x = –1

d / zistite, pre ktoré x má výraz hodnotu 3

e / zistite, pre ktoré x je výraz kladný

Do výrazu bb

5,02

36 dosaďte za b

výraz 2 – x a po dosadení zjednodušte.

Určte, pre aké x zlomok x

x

7654

32

a / nemá zmysel

b / sa rovná nule

c / je záporný

d / sa rovná 1

1.3 Sčitovanie a odčitovanie lomených výrazov

Základné

pojmy

Téma : sčitovanie a odčitovanie lomených výrazov

lomené výrazy

s rovnakým

menovateľom

lomené výrazy

s rôznym

menovateľom

spoločný

menovateľ

1. Ak majú lomené výrazy rovnakého menovateľa :

c

ba

c

b

c

a c 0

c

ba

c

b

c

a c 0

2. Ak nemajú lomené výrazy rovnakého menovateľa :

V tomto prípade lomené výrazy upravíme na spoločného menovateľa

vhodným rozšírením a potom sčítame alebo odčítame .

bd

bcad

d

c

b

a b 0 d 0

bd

bcad

d

c

b

a b 0 d 0

Spoločný menovateľ lomených výrazov je obdobou najmenšieho

spoločného násobku prirodzených čísel.

Vzorové príklady :

Príklad 1

Vypočítajte : c

ab

c

ab

c

ba 32

Riešenie :

c

ba

c

ababba

c

ababba

c

ab

c

ab

c

ba 23323232

c 0

Zlomková čiara zastupuje zátvorky !

Príklad 2

Určte najmenší spoločný násobok výrazov :

a / x , y f / a + b , a – b

b / 2a , 3a g / x + y , 3x + 3y

c / 4x , 12x h/ r2

– rs , r – s

d / ab , a i / m2 – 9 , m + 3

e / a2b , ab

3 j / a

2 – 2a + 1 , a

3 – 2a

2 + a , a + 1

( Riešenie zapíšeme prehľadne v tabuľke aj s odpovedajúcimi konkrétnymi číselnými

príkladmi. )

Riešenie :

Výrazy rozklad na súčin prvočiniteľov najmenší spoločný násobok

a/

x , y x

y

=

=

x

y x . y = xy

3 , 5 3

5

=

=

3

5 3 . 5 = 15

b/

2a , 3a 2a

3a

=

=

2 . a

3 . a 2 . 3 . a = 6a

10 , 15 10

15

=

=

2 . 5

3 . 5 2 . 3 . 5 = 30

c/

4x , 12x 4x

12x

=

=

22 . x

22 . 3 . x

22 . 3 . x = 12x

20 , 60 20

60

=

=

22 . 5

22 . 3 . 5

22 . 3 . 5 = 60

d/

ab , a ab

a

=

=

a . b

a a . b = ab

6 , 2 6

2

=

=

2 . 3

2 2 . 3 = 6

e/

a2b , ab

3

a2b

ab3

=

=

a2 . b

a . b3

a2 . b

3 = a

2b

3

12 , 54 12

54

=

=

22 . 3

2 . 33

22 . 3

3 = 108

f/

a+b , a-b a+b

a-b

=

=

a+b

a-b a+b . a–b = a+ba-b

3 , 2 3

2

=

=

3

2 3 . 2 = 6

g/

x+y , 3x+3y x+y

3x+3y

=

=

x+y

3 . x+y 3 . x+y = 3x+y

3 , 15 3

15

=

=

3 .

3 . 5 3 . 5 = 15

h/

r2–rs , r–s

r2–rs

r–s

=

=

r . r–s

r–s r . r–s = rr–s

21 , 7 21

7

=

=

3 . 7

7 3 . 7 = 21

i/

m2–9 , m+3

m2–9

m+3

=

=

m+3 .m–3

m+3 m+3 . m–3 = m+3m–3

10 , 5 10

5

=

=

5 . 2

5 5 . 2 = 10

j/ a

2–2a+1,a

3–2a

2+a,

a–1

a2–2a+1

a3–2a

2+a

a–1

=

=

=

a–12

a . a–12

a–1

a . a–12

= a a–12

4,12,2 4

12

2

=

=

=

22

3 . 22

2 2

2 . 3 = 36

Príklad 3

Riešte a overte pre hodnotu premennej :

1

6

1

2322

2

uu

u

uu

uoverte pre u = 2

Riešenie :

Rozložíme všetky menovatele na súčin :

1

6

1

2322

2

uu

u

uu

u =

11

6

1

2

1

3 2

uuu

u

uu

u

spoločný menovateľ : uu+1u–1

Každý zlomok rozšírime .

11

13

1

3 22

uuu

uu

uu

u

11

12

1

2

uuu

uuu

u

u

11

6

11

6

uuu

u

uu

Riešenie :

11

61213

11

6

1

2

1

3

1

6

1

23 22

22

2

uuu

uuuuuu

uuu

u

uu

u

uu

u

uu

u=

41

14

1

44

1

623332

2

2

3

2

2323

uu

uu

uu

uu

uu

uuuuuu u 0, u 1, u –1

Overme pre u = 2

42423

6

1

4

6

12

12

6

12

22

22

23

1

6

1

2322

2

22

2

uu

u

uu

u

CVIČENIA

Kategória A Kategória B

1.

2.

Vypočítajte :

1.

2.

Vypočítajte :

a/

cbacab

b

32

c/44

9

22

3

xx

b/xx

bx

x

a

22 32

d/ba

a

bcac

ca

22

1

a/42

aa

d/4

3

6

ss

b/32

nn

e/86

ba

c/6

4

3

7 xx

f/5

2

2

22 zz

Vypočítajte :

Vypočítajte :

a/

yxyx

11

c/yx

yx

yx

yx

22

22

b/1

2

1 2

y

y

y

y

d/2255

2

ba

ba

ba

a/ba

52 b/

nm

11 c/

rr 2

13

3.

Vypočítajte :

a/62

1

9

2

3

52

x

x

x

x

x

b/4

12

2

3

42

72

yyy

d/xxy

34

g/vv

u

6

1

4

3

j/y

x

4

3

e/y

b

x

a

h /aa

112

k/h

2

5

1

f/q

p

q

p

23

2

i/z

z 1

3

l/x

b

x

a

42

4.

5.

6.

7.

8.

Vypočítajte : 3.

4.

5.

6.

7.

8.

Vypočítajte :

a/

33

5

9

82

a

a

aa

aa

b/

2111 x

m

x

m

x

m

a / 5610

3 mnm

c/ 4

2

32

21

r

s

r

s

r

e/ xxx 4

2

2

52

b/ ab

c

ac

b

bc

a

d/ s

r

s

r

s

r

4

3

3

2

2

f/ zyx

111

Vypočítajte :

a/ 222 2

12

ba

a

baba

a

c/

22 2

23

baba

ab

ba

e/121

12

yy

yx

y

x

g/11

22

m

m

m

b/ 2

22

vu

v

vu

d/srsrsr

sr

4

2

5522

f/yxyxyx

yx

2

2

2322

h/aa

a

a

a

2

31

1

3

Upravte :

a/abab 5

2

6

1

d/q

p

q

p

30

7

6

5

b/t

v

s

u

86

e/y

y

y

x

1812

c/b

a

b

a

4

3

5

4

f/ac

b

ab

c

Vypočítajte .

Vypočítajte :

a /xy

y

yx

yx

49132

c/cb

a

acab

2

e/aba

b

ba

a

a

ba

2

2

Vypočítajte :

b/ sr

s

sr

s

4

3

33

2

d/21

3

1

3

xx

n

f/22

2

ba

ab

ba

a

ba

b

a/ 22

y

xy

c/ a

a

a

113

b/ ab

a1

d/ 12

2

2

y

x

y

x

Upravte :

a/

24

13 xx

c/2

1

3

32

xx

e/8

3

12

32

aba

b/8

6

4

3

vv

d/5

2

3

1

nn

f/6

3

4

27 srsr

a/249

1

32

2

32

5

n

n

nn

b/294

53

32

4

23

1

p

p

pp

c/242

1

12

2

2

12

aaa

a

a

a

d/222222 2

12

2

1

bababababa

Vypočítajte :

Vypočítajte :

a/ac

x

ab

x

c/ab

ba

a

ba 22 432

e/bx

b

ax

a 11

b/p

r

p

r 52

2

10

d/x

yx

y

yx

23

f/v

u

v

vu

2

4

7

25

a/242

2122

xx

x

xx

x b/

233

ba

b

ba

Vypočítajte :

c/ 22

2

3

4

3

a

a

a

a

e/ 22

3

2

9

2

x

x

x

x

g/

aaa

11

1

i/ 2

a

ba

ba

a

d/4

23

2

1222

x

x

xx

x

f/ nm

nm

nm

nm

222

22

h/

1

1

11

1

1

xx

j/n

n

n

1

1

11

a/

4334

21

yxyx

c/32 c

d

d

c

e/2432

43

baba

g/22

5432

ab

ba

ba

ba

b/

baab

a

ba

a222 8

2

2

5

4

3

d /

baab

x

ba

x222 6

1

2

5

4

3

f/222 6

7

3

25

vuvu

z

uv

t

9.

10.

11.

Vypočítajte :

a/22

22 3232

ba

ba

ba

b

ba

a

b/21

1

1

1

1

1

mmm

c/1

1

1

1

1

222

u

u

u

u

u

u

d/22

2222

yx

x

xy

yx

yx

yx

e/5

4

4

3

3

2

2

11111

a

a

a

a

a

a

a

a

a

f/

21

4

1

1

1

1

x

xx

x

x

x

x

g/ 2211

1

1

2

1

3

z

z

zzz

h/bababababa

111

2

12222

i/22 223366 sr

rs

sr

s

sr

r

j/ 4

1

44

1

2

1222

aaaa

k/294

3

23

3

32

2

x

x

xx

l/12

23

1

6

12

23222

xx

x

xxx

x

Päť veľkých syrov je za m korún, tri malé syry

sú za n korún. Koľko zaplatil chlapec, ktorý

kúpil jeden veľký a jeden malý syr ?

Betónový stĺp vyčnieva nad zemou r metrov. Do zeme je zapustená šesťkrát menšia časť.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

Vypočítajte :

a/ xyx

yyx

22

c/ baba

3

b/ 2

1

3

2

mm

m

d/ 4

vuvu

Vypočítajte :

a/

ba

x

ba

x

11

c/n

m

n

m

2

3

2

4

b/yx

a

yx

a

3

d/rs

r

sr

r

52

Vypočítajte :

a/

ab

x

ba

x

2

c/b

a

b

a

2

2

2

5 22

b/rr

3

8

3

9

d/y

v

y

u

11

Vypočítajte :

a / ba

c

ab

c

ba

c

121

b/yx

c

xy

b

yx

a

Vypočítajte :

a/ yxyx

2

3

5

c/ yx

y

y

x

11

2

e/ ba

a

ba

a

3

7

2

5

b/ 12

3

1

3

m

m

m

m

d/ 2

1

24

9

aa

a

f/ 3235

14

p

r

p

r

Vypočítajte :

12.

13.

14.

15.

Aký dlhý je celý stĺp ?

Za a kg hladkej múky zaplatíme n korún, za

a kg hrubej múky zaplatíme m korún. koľko

zaplatíme, ak kúpime z každého druhu 1kg ?

Do nádrže sa zmestí v hektolitrov vody. Nádrž

má dva otvory pre odtok, prvým otvorom by sa

plná nádrž vyprázdnila za 4 hodiny, druhým za 6 hodín. Koľko vody by ostalo v nádrži, keby

boli obidva otvory otvorené 1 hodinu ?

Žiak si vzal na výlet a korún. Prvý deň minul

pätinu, druhý deň o 10 Sk menej. Koľko korún

mu ostalo na ďalšie dni ?

Na a hektároch sa urodilo m kilogramov

zemiakov. Na inom poli o veľkosti b ha sa

urodilo n kg. O koľko kg bol hektárový výnos

väčší na druhom poli ?

15.

a/baa

35

c/qpp

41

e/35

2 x

x

x

b/nnm

12

d/rr

r 3

2

f/ 4

1

12

y

y

Vypočítajte :

a/1

2

22

5

aa

c/yx

y

yx

x

33

b/aa

a

a

2

33

d/rrsr

sr 12

1.4 Násobenie a delenie lomených výrazov

Základné

pojmy Téma : Násobenie a delenie lomených výrazov

Násobenie

lomených

výrazov

Delenie

lomených

výrazov

Prevrátený

lomený výraz

Pre násobenie lomených výrazov platí :

db

ca

d

c

b

a

, b 0, d 0

Lomené výrazy násobíme tak, že súčin čitateľov delíme /lomíme/

súčinom menovateľov.

Pre delenie lomených výrazov platí :

cb

da

c

d

b

a

d

c

b

a

: , b 0, c 0, d 0

Lomeným výrazom delíme, ak násobíme výrazom prevráteným k

tomuto výrazu. Prevrátený výraz k výrazu c je výraz d .

d c

Vzorové príklady :

Príklad 1

Vynásobte :

a/ ba

c

c

ab22

3

4

25

5

6

b/ xyy

xyx

xyy

xyx

22 2

2

2

2

Riešenie :

a/ ac

b

ac

b

bca

cab

ba

c

c

ab

2

15

2

53

45

256

4

25

5

6 22

22

3

22

3

, a 0, b 0, c 0

Pri výpočte sme krátili výrazom 2 . 5 . abc.

b/

2

2

2

2

2

2

22222 y

x

y

yxx

yxy

x

xyy

yxx

xyy

yxx

xyy

xyx

xyy

xyx

, y0, x y

Krátili sme výrazy x + y a x – y.

Príklad 2

Vypočítajte : bc

baab

63 2

Riešenie :

Výraz 3ab2 si môžeme predstaviť ako lomený výraz s menovateľom 1.

c

baab

bc

baab

bc

baab

261

3

63

22

, b 0 , c 0

Krátili sme výrazom 3b.

Príklad 3

Vypočítajte :

a/ 3

22

25

8:

5

4

z

yx

z

xy b/

22

2

2:

yx

zy

yxy

xzxy

Riešenie :

a/ x

yz

yx

z

z

xy

z

yx

z

xy

2

5

8

25

5

4

25

8:

5

4 2

2

32

3

22

, x 0 , y 0, z0

Pri výpočte sme krátili výrazy 4xy a z.

b/

zyy

yxx

zy

yxyx

xyy

zyx

zy

yx

xyy

xzxy

yx

zy

xyy

xzxy

22

22

222

2

2: ,

y0, y – z, x y

Pri výpočte sme krátili výrazy y + z, x – y.

CVIČENIA

Kategória A Kategória B

1.

2.

Vypočítajte :

a/ 22

22

5

44

na

na

na

na

c/bab

a

a

b

a

a

2

1

2

2

1

4 22

e/aba

ba

baa

ba

2

4223

22

Vypočítajte :

a/

211

3

m

m

m

c/

cbaabc

111

e/yx

xy

x

y

y

x

g/

2

11

1 xx

xx

b/ 24

4

2

882 22

x

x

x

xx

d/44

33

12

12

2

z

z

zz

z

f/

2

3

2

5

102

a

a

b/ baab

11

d/

s

rsr 1

f/

mnnm

m 11

33

2

h/22

11

bab

a

1.

2.

3.

Vynásobte :

a/x

y

y

x 32

c/q

pp

5

43

2

Vypočítajte :

b/4

32

8

25

5

12

u

uv

v

u

d/p

qp

2

36 2

a/y

b

x

a

d/23

10

5

9

m

m

g/p

ap

155

Vypočítajte :

b/c

b

b

a

4

3

7

2

e/3

3 a

a

h/ 3

24

6q

q

p

c/sr

s

s

r 23

f/3

2

3

4

x

y

y

x

i/5

2

2

43

c

b

a

c

b

a

a/2

2

21

10

4

3

ab

yx

xy

ab

b/

45

232

20

316

ba

axba

3.

4.

Vypočítajte :

a/yx

x

x

y

x

y

x

3

3

2

2

21

b/

1

1

1

1

112

zzz

c/

32

12

23

23

15

32

x

x

x

x

x

x

d/

22

21

vu

uv

vu

v

vu

u

e/

2222

21055

ba

ab

ba

b

ba

a

ba

ab

ba

b

ba

a

f/

1

1111

111

baabbaab

g/

112

42

2

2

c

c

c

c

c

c

c

cc

Vypočítajte :

4.

5.

Vypočítajte :

a/

2

2 12

13 xy

x

x

yx

c/c

d

d

cc

62

e/63

222

q

qp

qp

q

g/2

2

bab

b

a

aba

Vypočítajte :

b/ba

a

b

ba

22

3

3

d/mm

m

4

5

55

2

f/sr

rsr

sr

r

2

h/4

82 2

3

x

xyx

x

x

a/331

1515 3

2

n

nn

n

n

c/

22

2

yx

yx

yx

yx

e/1

4

124

2

z

z

z

zz

g/

ba

yx

yx

ba

44

9

33

2222

22

b/ba

ab

ba

ba

22

d/dc

dc

dc

dc

2020

1212

44

55

f/

1

1

1

122

r

r

r

r

h/2

2

2

2

bab

aba

bab

aba

a/182

3:

3

32

2

r

rr

r

r

c/2

:63

22

y

yx

y

yx

b/

x

x

x

x

13

110:

1

55 2

2

d/22

22

2:

qpqp

qp

qp

qp

5.

6.

e/ aba

ba

ba

ba

2

66:

33

2

g/aa

a

aa

a

5

357:

2510

2522

2

f/

yx

yxa

yx

yxa

3:

2

2

22

h/yx

xyx

xyx

yx

2:

4 2

2

22

6.

7.

8.

Vypočítajte :

a/4

:3

ba

e/ 2:n

m

b/p

s

s

r:

f/a

a1

:

c/uv

u 1:

3

2

g/ ts

r:

d/c

a

d

a:

2

h/2

:2

1 b

b

Vypočítajte:

a/uv

vu

u

v

v

u

:

c/

1

2:1

4

2 xx

e/

pp

pp

1:

12

2

b/ abaab

2:

11

d/x

x

x

x

2

2:

2

2

f/2

33:

11

m

nm

mn

Vypočítajte :

a/

b

a

b

a 3:

4

9

c/y

x

y

x

7

6:

21

8 2

2

Vypočítajte :

a/

a

x

a

bax 2

:2

c/6

:3

22 ttt

e/ba

b

ba

b

22

63:

2

g/

y

y

y

yy

4

17:

124

2

i/

2

2

3

2 1:

1

v

v

v

v

b/s

rp

p

rs

2

3:

5

2

d/

cbacba 2332

1:

1

b/d

c

d

c 1:

222

d/xy

yx

y

xyx :

2

f/ 22

:15

22

x

xy

x

yx

h/182

3:

3

32

2

r

rr

r

r

j/ vu

vu

vu

vu

44

55:

2

22

Vypočítajte :

a/x

x

x

x

x

x

23

15:

32

12

23

23

b/

a

b

b

a

ba

ab

ba

ba

22:

22

c/2

3

2

2:

3

4 22

y

yyy

y

y

d/3

1:

1

77:

1

2422

2

a

a

a

a

aa

e/ qpqp

q

qp

q

qp

qp

qp

qp

222

2 2:

2

2222

1.5 Zložené lomené výrazy

Základné

pojmy Téma : zložené lomené výrazy

zložený lomený

výraz

hlavná

zlomková čiara

úprava

zloženého

výrazu

Výraz tvaru

d

cb

a

nazývame zložený lomený výraz. Tento výraz má

zmysel, ak b 0, d 0 a menovateľ d

c 0, čiže c 0.

hlavná zlomková čiara ...

d

cb

a

vnútorné členy vonkajšie členy

Zložený lomený výraz upravujeme tak, že hlavnú zlomkovú čiaru

nahradíme delením.

Príklad 1

Upravte : a/ z

y

x

; b/

z

y

x ; Riešenie : a/

yz

x

zy

xz

y

x

z

y

x

1

: , y 0, z 0

b/ y

xz

y

zx

z

yx

z

y

x : , y 0, z 0

CVIČENIA

Kategŕia A Kategória B

1.

2.

a/

d

c

b

ad

c

b

a

b/

11

1

11

1

z

z c/

22

11

11

qp

qp

1.

a/

3

5

ba

e/y

x

x

5

3

53

2

i/2

1

12

a

a

b/

b

a

b

a

3

10

3

5

3

3

f/

2

3

3

2

1

s

r

j/

pq

qp

qp

qp

c/

5

4

2

15

8

q

p

q

p

g/2

3

3

2

1

s

r

k/

23

2

1

1

aa

aa

d/

y

x

x

5

3

53

2

h/

3

1

2

x

x

l/

24

212

3

r

rr

r

Upravte a overte pre dané hodnoty

premenných :

a/

2

2

2

2

2

32

r

s

s

r

r

s

r

ssr

r = 2, s = 3

b/

p

q

q

p

qp

qp

qp

qp

p = – 5, q = – 3