1Investigacin Operativa II

Programacin No Lineal

Felipe T. Muoz Valds

Introduccin A diferencia de la Programacin Lineal, la

Programacin No Lineal (PNL) aborda una gran cantidad de problemas cuyas formulaciones quedan representadas por expresiones que contienen trminos no lineales.

2 Lamentablemente, no se dispone de un algoritmo que resuelva todos los problemas especficos que se ajustan a este formato.

Sin embargo, se han realizado grandes logros en algunos casos especiales.

La investigacin en esta rea sigue muy activa.

De lo anterior se desprende que cada problema de PNL tiene su propio mtodo de solucin cuando es posible.

Introduccincont.

Teora de optimizacin clsica

Sea:

una funcin continua, que denota a la funcin objetivo.

funciones que denotan lasrestricciones de igualdad de la forma =0.

funciones que denotan las restricciones de desigualdad 0.

( )f X

1 2( ), ( ),..., ( )mh X h X h X

1 2( ), ( ),..., ( )m m pg X g X g X+ +

3Teora de optimizacin clsica

es un vector columna en el espacio Euclidiano de n-dimensiones (En). X

1

1

n

xx

X

x

= #

cont.

Teora de optimizacin clsica

De lo anterior, un problema de PNL puede ser caracterizado de la siguiente manera.

( )

/ ( ) 0; 1,

( ) 0; 1,

j

kn

Opt f X

s a h X j m

g X k m pX E

= = = +

en donde la palabra optimizacin puede significar maximizacin o minimizacin.

cont.

4Teora de optimizacin clsica

Otra forma equivalente de representar un problema de optimizacin no lineal es:

Donde R se define como:

Como se aprecia, los modelos de PNLengloban problemas de carcter ms general (lineal, entero).

{ } ( ) \Opt f X X R

{ }\ ( ) 0, ( ) 0, ,j kR X h X g X j k= =

cont.

Teora de optimizacin clsica

Restringidos: Cuando se tienen restricciones (lineales o no lineales).

No restringidos: Cuando no se tienen restricciones y slo se optimiza la funcin objetivo que desde luego, no es lineal.

Continuos: Cuando todas las variables y funciones son continuas.

Discretos: Cuando algunas de las variables (o funciones) son discretas.

Diferenciable: Cuando todas las funciones del problema son doblemente diferenciables.

Con restricciones de igualdad y/o desigualdad. Convexos, cuadrticos, separables. Con slo una variable independiente o con varias variables

independientes.

cont.

Los problemas no lineales pueden ser:

5Antes de abordar formalmente los problemas presentados en el programa del curso, revisaremos algunas definiciones previas.

Forma Cuadrtica Definicin, sean:

1

1

1n n

xx

X

x

= #

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn n n

a a aa a a

A

a a a

=

""

# # % #"

Una forma cuadrtica se define de la siguiente manera:

( ) tQ X X A X= o bien1 1

( )n n

ij i ji j

Q X a x x= =

=

6 Observacin:Toda matriz cuadrada A que no es simtrica, se puede llevar a una forma simtrica, en donde cada elemento de la matriz se obtiene promediando los elementos no-diagonales correspondientes de la matriz original.

Forma Cuadrticacont.

( ) / 2ij jia a+Ejemplos:

2 21 2 1 1 2 2

2 2 21 1 2 1 3 2 3

1. ( , ) 3 2

2. ( ) 2 2 3 2

Q x x x x x xQ X x x x x x x x

= += + +

Nota:La funcin general de 2o grado (cuadrtica) de varias variables se escribe de la siguiente manera:

Forma Cuadrticacont.

( ) + t tf X c X X A X=

c es un vector constante de n componentes.

parte lineal parte cuadrtica

7 Estos conceptos nos permitirn determinar el carcter de una funcin Q(X).

Con ello podremos saber si la funcin Q(X) es o no optimizable.

Sea Q(X)=Xt A X, una forma cuadrtica donde Anxn est en forma simtrica. Observemos como se define el carcter de una funcin.

Forma Cuadrticacont.

Ninguno de los casos anteriores

Indefinida

-Q(X) es semi-definida positiva

-Q(X)0, para todo XSemi-definida negativa

-Q(X) es definida positiva

-Q(X)>0, para todo XDefinida negativa

Existe un X0 tal que Q(X)=0

Q(X)0, para todo XSemi-definida positiva

Q(X)>0, para todo XDefinida positiva

ComentarioComentarioQ(Q(XX))CarCarctercter

Forma Cuadrticacont.

definiciones

8 Observemos que aplicar las definiciones dadas para determinar el carcter de una funcin cuadrtica, resulta ser un procedimiento muy complejo.

Existen teoremas que proporcionan las condiciones necesarias y suficientes para determinar el carcter de una forma cuadrtica.

Estos resultados se basan en los determinantes.

Forma Cuadrticacont.

DefinicinSea A una matriz cuadrada de orden n, se define el determinante menor principal dominante determinante menor principal dominante (DMPD)(DMPD) de orden p como aquel que se obtiene de la submatriz de la matriz dada, cuando se eliminan las ltimas (n-p) filas y las ltimas (n-p) columnas.

NotacinMp , p=1,...,n

Forma Cuadrticacont.

9 Ejemplo

Forma Cuadrticacont.

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

a a a aa a a a

Aa a a aa a a a

=

M1 M2 M3 M4

En base a la definicin anterior podemos reformular un procedimiento que nos permita determinar el carcter de una forma cuadrtica Q(X), en donde la matriz A se debe poner en forma simtrica.

Forma Cuadrticacont.

Si no se cumple ninguna de las condiciones anteriores

Indefinida

Si (Asim) es semidefinida positiva Semi-definida negativa

Si los signos de cada DMPD de Asim estn en correspondencia con los signos de referencia (-1)k, k=1,...,n

Definida negativa

Si los DMPD de la matriz Asim son no negativos (0)

Semi-definida positiva

Si los DMPD de la matriz Asim son positivos (>0)

Definida positiva

Q(Q(XX))CarCarctercter

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Ejercicios

Forma Cuadrticacont.

2 2 21 1 2 2 3 2 3

2 2 21 2 1 3 1 2 32 2 21 2 3 1 2 2 3

2 21 2 1 2 1 2

1. ( ) 4 2 3 2

2. ( ) 2 3 4 3 2

3. ( ) 2 2 3 2 2

4. ( ) 6 3 4 2 3

Q X x x x x x x xQ X x x x x x x xQ X x x x x x x xQ X x x x x x x

= + + = + = + + + += +

Figura ejercicio 4