1

RICHIAMI ELEMENTARI DI ALGEBRA MATRICIALE

MATRICE → INSIEME ORDINATO DI NUMERI DISPOSTI IN RIGHE E COLONNE

ELEMENTO GENERICO i = 1, 2, …, M (righe);

j = 1,2, …, N (colonne).

MATRICE RETTANGOLARE DI DIMENSIONE M*N

SCALARE

VETTORE COLONNA

VETTORE RIGA

11 12 1

21 22 2

1 2

........

........

.. .

.. .

.. .

N

N

MNM M

a a a

a a a

aa a

A=

j

i

ija

MNA

11A

1MA 1NA

2

SE M=N È UNA MATRICE QUADRATA:

LA TRACCIA DI UNA MATRICE QUADRATA È DATA DALLA SOMMA DEGLI ELEMENTI DIAGONALI.

LA MATRICE DIAGONALE È UNA MATRICE QUADRATA FORMATA DA TUTTI ZERI AD ECCEZIONE DEI VALORI SULLA DIAGONALE PRINCIPALE:

MA

11 1

1

.........

. .

. .

. .

.......

M

M

M MM

a a

A

a a

11

22

0........ 0

0 ........ 0

.. .

.. .

.. .

0 0 MM

a

a

a

3

LA MATRICE IDENTITÀ È UNA MATRICE DIAGONALE CON ELEMENTI DIAGONALI

UNITARI:

OPERAZIONI CON LE MATRICI

UGUAGLIANZA

SE

SOMMA

È DEFINITA SE SONO DELLO STESSO ORDINE E

1 0........ 0

0 1........ 0

. . .

. . .

. . .

0 0 1

A B ij ija b ,i j

A B C , ,A B C,i j

ij ij ija b c

11 12 1

21 22 2

1 2

........

........

. . .

. . .

. . .

M

M

M M MM

a a a

a a a

a a a

+ =

11 12 1

21 22 2

1 2

........

........

. . .

. . .

. . .

M

M

M M MM

b b b

b b b

b b b

4

11 11 11 12 12 12 1 1 1

21 21 21 22 22 22 2 2 2

1 1 1 2 2 2

........

........

. . .

. . .

. . .

M M M

M M M

M M M M M M MM MM MM

c a b c a b c a b

c a b c a b c a b

c a b c a b c a b

=

ESEMPIO

PRODOTTO SCALARE

SE K È UNO SCALARE, ALLORA

ESEMPIO

5 0 1 3 4 5 1 3 0 3

2 4 3 5 5 3 2 1 5 4

11 1

1

.......

..

..

..

.......

N

MNM

a a

aa

11 1

1

.......

..

..

..

.......

N

MNM

Ka Ka

KaKa

=

MN ijK A Ka

K

5

PRODOTTO TRA MATRICI

CON ELEMENTO

ESEMPIO:

ESEMPIO NUMERICO:

MNA NPB

1

N

ij ik kjK

c a b

(3*2) (2*2)

7 101 2 3

*8 114 5 6

9 12

1*7 2*8 3*9 1*10 2*11 3*12

4*7 5*8 6*9 4*10 5*11 6*12

(2*3) (3*2)

(3*2)

(2*2)

ATTENZIONE

MN NPMPC A B

AB BA

11 1211 12

21 2221 22

31 32

11 11 11 12 21 12 11 12 12 22

21 21 11 22 21 22 21 12 22 22

31 31 11 32 21 32 31 12 32 22

*

a ab b

a ab b

a a

c a b a b c a b a b

c a b a b c a b a b

c a b a b c a b a b

6

TRASPOSIZIONE

LA TRASPOSTA DELLA MATRICE È

ESEMPIO

TEOREMI

MNA 'MNA

11 12 1

1 2

.........

.

.

.

.........

N

M M MN

a a a

A

a a a

11 21 1

12 22 2

'

1 2

......

......

.

.

.

......

M

M

N N MN

a a a

a a a

A

a a a

2 5

3 6

4 7

A ' 2 3 4

5 6 7A

''A A

' ' 'A B A B

(AB)’=B’A’

7

MATRICE SIMMETRICA

SE È UNA MATRICE QUADRATA ED

ALLORA È UNA MATRICE SIMMETRICA.

FORME QUADRATICHE

SE È UNA MATRICE QUADRATA E SIMMETRICA DI ORDINE M*M, È UN VETTORE DI ORDINE M*1, IL PRODOTTO

PRENDE IL NOME DI FORMA QUADRATICA.

ESEMPIO:

A'A A

A

AX'X AX

1

2

XX

X 11 12

21 22

a aA

a a

' 11 12 11 2

21 22 2

a a XX AX X X

a a X

11 1 12 21 2

21 1 22 2

a X a XX X

a X a X

8

2 211 1 12 1 2 21 1 2 22 2

2 211 1 12 1 2 22 22

a X a X X a X X a X

a X a X X a X

Se per ogni X diverso da 0

→ È DEFINITA POSITIVA

→ È SEMIDEFINITA POSITIVA

Scambiando il segno delle disuguaglianze si ottiene A DEFINITA NEGATIVA e A SEMIDEFINITA NEGATIVA

DETERMINANTE

AD OGNI MATRICE QUADRATA SI ASSOCIA UNO SCALARE DETTO DETERMINANTE, INDICATO GENERICAMENTE

CALCOLO DEL DETERMINANTE

IN UNA MATRICE QUADRATA SI DEFINISCE MINORE IL DETERMINANTE DELLA MATRICE DA CUI È STATA TOLTA LA i-esima RIGA E LA j-esima COLONNA.

SI DEFINISCE COFATTORE di ordine ij il prodotto

A

A

det A

A

1i jijA

*ija

*ija

0' AXX0' AXX

=

9

IL DETERMINANTE DI SI OTTIENE COME SEGUE:

SE È 2*2, CIOÈ:

SE LA MATRICE È 3*3, CIOÈ:

In cui i minori sono

A

11 11 12 12 1 1det ... M MA a A a A a A A

11 12

21 22

a aA

a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

11 11 12 12 13 13det A a A a A a A

11 11 12 12 11 22 12 21

11 22 12 21

det A a A a A a a a a

a a a a

22 23*11 22 33 32 23

32 33

21 23*12 21 33 31 23

31 33

21 22*13 21 32 31 22

31 32

det

det

det

a aa a a a a

a a

a aa a a a a

a a

a aa a a a a

a a

10

11 22 33 32 23 12 21 33 31 23

13 21 32 31 22

11 22 33 11 32 23 12 21 33

12 31 23 13 21 32 13 31 22

det A a a a a a a a a a a

a a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

In generale

*)1( ijji

ij aA

...MiAaAaAaA iMiMiiii 1 ogniper ...)det( 2211

O equivalentemente

...MjAaAaAaA MjMjjjjj 1 ogniper ...)det( 2211

11

SE DUE RIGHE/COLONNE DI SONO UGUALI ALLORA ;

SE SI SCAMBIANO DUE RIGHE/COLONNE IN CAMBIA IL SEGNO DEL ;

SE OGNI ELEMENTO IN È MOLTIPLICATO PER UNO SCALARE, È ANCH’ESSO MOLTIPLICATO PER TALE SCALARE;

SE IN OGNI RIGA/COLONNA OGNI ELEMENTO È SOMMATO AD UN MULTIPLO DI UN’ALTRA RIGA/COLONNA, NON CAMBIA.

SE LE RIGHE/COLONNE DI SONO LINEARMENTE DIPENDENTI IL

IlL DETERMINANTE DI UNA MATRICE TRIANGOLARE E’ PARI AL PRODOTTO DEGLI ELEMENTI DELLA DIAGONALE

'det detA A

det det detAB A BA

det 0AA

det A

Adet A

det A

anche se A non è simmetrica

Adet 0A

ALCUNE PROPRIETA’ DEI DETERMINANTI

12

INVERSIONE DI UNA MATRICE

L’INVERSA DI UNA MATRICE QUADRATA È UNA MATRICE CHE PRE O POST MOLTIPLICATA PER PRODUCE LA MATRICE IDENTITÀ, CIOÈ:

IN ALTRI TERMINI, È L’INVERSA DI SE E SOLO SE:

E

CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE PERCHÈ POSSEGGA L’INVERSA È CHE ,CIOÈ SE È NON SINGOLARE. PER OTTENERE BISOGNA DEFINIRE LA MATRICE AGGIUNTA DI (INDICATA CON ) CHE È LA TRASPOSTA DELLA MATRICE DEI COFATTORI, CIOÈ:

A1A A

1 1AA A A I B A

1B A BA AB I A

det 0A A1A

AadjA

11 12 1 11 21 1

21 22 2 12 22 2

1 2 1 2

...... ......

...... ......

. . . .

. . . .

. . . .

...... ......

M M

M M

M M MM M M MM

A A A A A A

A A A A A A

adjA

A A A A A A

'

13

L’INVERSA DI SI OTTIENE DA:

ESEMPIO:

QUINDI:

A

1 1

detA adjA

A

11 12

21 22

a aA

a a 11 12

21 22

A AadjA

A A

11 22

12 21

21 12

22 11

A a

A a

A a

A a

22 21 22 12

12 11 21 11

a a a aadjA

a a a a

'

1 22 12

21 1111 22 21 12

1 a aA

a aa a a a

‘

14

ESEMPIO NUMERICO

Alcune proprietà delle matrici inverse

1 2

3 4A

11

12

21

22

4

3

2

1

A

A

A

A

4 3 4 2

2 1 3 1adjA

1 4 2 4 2 2 110,5

3 1 3 1 1,5 0,54 6A

111 ABAB

1) Se A e B sono entrambe matrici non singolari

2) AA 11

3) '11' AA

4) )det(

1det 1

AA

15

RANGO DI UNA MATRICE

In una matrice A di dimensione m x n il numero massimo di righe linearmente dipendenti è uguale al numero massimo di colonne linearmente indipendenti. Tale numero è detto rango della matrice e si indica con r(A).

Alcune definizioni/proprietà),min()( NMAr

)()( 'ArAr

Se A è una matrice quadrata di ordine N e rango pari a N, A è detta matrice nonsingolare ed esiste una matrice inversa unica. Quando il A è detta matrice singolare e non esiste la matrice inversa.

NAr )(

)(),(min)( BrArABr

16

DERIVAZIONE IN FORMA MATRICIALE

SE È UNO SCALARE ED È UN VETTORE COLONNA

LA DERIVATA PRIMA DI y RISPETTO AD OGNI ELEMENTO DI È DEFINITA DA:

1 2, ,......, My f x x x X

1

2

.

.

.

M

x

x

X

x

X

Se X è una matrice di dimensioni (n,k) con k<n e tra le colonne della matrice non vi sono relazioni lineari esatte si dice che X ha pieno rango pari a k e si ha kXXrXXrXrXr )()()()( '''

17

1

2

.

.

.

M

y

x

y

xy

X

y

x

VALGONO POI LE SEGUENTI REGOLE DI DERIVAZIONE

-SE È UN VETTORE COLONNA DI M COMPONENTI COSTANTI

-SE È UNA MATRICE SIMMETRICA DI ORDINE M*M CON ELEMENTO TIPICO COSTANTE

a ia

'a Xa

X

Aija

'

2X AX

AXX

18

- SE E SONO MATRICI SIMMETRICHE DI ORDINE M*M CON ELEMENTI GENERICI COSTANTI

A B

'

' ''

2'

2 2X AX

AX X BX X AX BXX BX

X X BX