1 Slawa Belousow, [email protected] Seminar über Algorithmen Load Balancing Slawa Belousow Freie Universität Berlin, Institut für Informatik

Slawa Belousow, [email protected] 1

Seminar über Algorithmen

Load Balancing

Slawa BelousowFreie Universität Berlin, Institut für Informatik


1. Übersicht

• was ist Load Balancing?• Load Balancing im Server-Bereich• diskrete (atomare) Load Balancing Spiele• nicht diskrete (nicht atomare) Load Balancing Spiele• die Minimierung der maximalen Antwortzeiten in nicht

diskreten Spielen• Algorithmus zum Finden einer besseren Antwortzeit• Algorithmus zu Nash Gleichgewicht Lösung


1.1 was ist Load Balancing?

• Load Balancing (Lastverteilung) – Verfahren um bei der Speicherung, dem Transport und der Verarbeitung von Objekten vorgegebene Kapazitätsgrenzen einzuhalten.

Informationsverarbeitung – Entitäten auf unterschiedliche Speichercluster verteilen

Logistik – Beladung von Kraftfahrzeugen, Schiffen und anderen Transportmitteln zur Anwendung. Berechnung der Lagerhaltung

Computertechnik – Verteilung von Aufgaben auf vorhandene Ressourcen


1.2 Load Balancing von Netzwerkverkehr

DNS-Variante Round-Robin-Verfahren

NAT mit Feedback


1.2 Load Balancing von Netzwerkverkehr (2)

URL-basiertes Verfahren

Dienst-basiertes Verfahren


2 Load Balancing in der Spieltheorie

• Verteilung von N Elementen auf M Elemente• Optimierung der Verteilung• Die Menge N enthält Spieler (die bestimmte Ressourcen

haben)• Die Menge M enthält die Spielmaschinen• diskrete (atomare) Load Balancing Spiele

die Spieler oder ihre Ressourcen sind als ein unzertrennbares Element anzusehen

• Nicht diskrete (nicht atomare) Load Balancing Spiele die Ressourcen der Spieler können beliebig aufgeteilt

werden


• – Spieler• – Maschinen• – Lastgröße von User• Eine Arbeit kann nur auf einer bestimmten Menge von

Maschinen ausgeführt werden:

• – Eine Menge mit Zuweisungen von Arbeit zu einer Maschine die eine mögliche Lösungen repräsentiert

2.1 Diskrete Load Balancing Spiele

ipmn

},...,1{ mSj i A

iiSjAji ),(

i


2.1 Diskrete Load Balancing Spiele (2)

• Belastung einer Maschine

• Antwortzeit einer Maschine für jede Arbeit

• Nash Gleichgewicht im diskreten Load Balancing Spiel

j

j

Ajiiij pL

),(:

:

)(jr

jkSk i ,

)()( ikkjj pLrLr


2)(1 LrLLr )(2

Nash Gleichgewicht

kein Nash Gleichgewicht


2.2 Nash Existenz

• Hat jedes Load Balancing Spiel ein Nash Gleichgewicht? Spiel mit beliebigen Parametern starten Spieler wechseln, einer zu einer Zeit, die Maschine, falls sie

mit dem Ergebnis nicht zufrieden sind Wenn es eine Funktion gibt, mit als Parameter, die mit

jedem Wechsel abnimmt, dann wird der Prozess irgendwann enden und Kreise werden vermieden

Wenn kein Spieler mehr wechseln kann, ist das Nash Gleichgewicht erreicht

A


2.3 Nash Kosten in diskreten Load Balancing

• Nash Kosten

worst case

average/totale Antwortzeit

)(max0: jjLjLr

j

Ajii

jj Lr),(:

)(


2.4 Nicht diskrete Load Balancing Spiele

• – Menge von Maschinen• – Antwortzeitfunktion• – Arbeitstypen• – Gesamtlast für jeden Typ von Arbeit • – Maschinenanforderung für jeden Typ von

jp

)(LriM},...,1{ mi

jMS j j

},...,1{ nj

• Wir suchen Paare (Arbeit, Maschine), so das die Belastung von Arbeit auf Maschine ausdrückt.

ijx ijxj i),...},(),,(),,{( ijijij


2.4 Nicht diskrete Load Balancing Spiele (2)

• Folgende Regeln gelten für Die Summe aller eines Arbeitstyps ist gleich der

Belastung durch den Arbeitstyp

ist immer positiv

wenn nicht zu der Menge der Maschinenanforderung des Typs gehört, dann ist = 0

ijx

jSi

ij pxjj

ijx jj

ijxij, 0ijx

jSi 0ijxijx

ij



(j1, m1) = 0,7(j1, m2) = 0,3(j2, m1) = 1,0(j3, m3) = 1,0(j4, m1) = 0,4(j4, m4) = 0,6

j1j2j3j4

m1m2m3m4

(j1, m3) = 0(j1, m4) = 0(j2, m2) = 0(j2, m3) = 0(j2, m4) = 0...



• Belastung einer Maschine

j

iji xL

i



• Nash Gleichgewicht in einem diskretem Load Balancing Spiel

• Nash Gleichgewicht in einem nicht diskretem Load Balancing Spiel

)()( jkkii pLrLr

)()( kkii LrLr

ji,

)(0 jij Skx


3 Minimierung der maximalen Antwortzeit

• Existiert ein Nash Gleichgewicht?• Wie gut ist es?

Theorem: Ein Nash Gleichgewicht im nicht atomaren Load Balancing Spiel minimiert die maximale Antwortzeit über alle Lösungen

Beweis (Teil 1): • worst case:

• – ist eine konkrete Lösung

• – Die Menge aller Maschinen, die die maximale Antwortzeit haben

• – die Menge der Arbeiten, die Maschinen aus A verwenden

)(max0:max iiLiLrr

i

)(xAx

})(|{:)( maxrLrixA ii )(xB

)}(,0|{:)( xAixjxB ij


3 Minimierung der maximalen Antwortzeit (2)

)(xA)(xB

})(|{:)( maxrLrixA ii

)}(,0|{:)( xAixjxB ij

)(max0:max iiLiLrr

i



• Lemma: In einem Nash Gleichgewicht, laufen alle Arbeiten aus auf den Maschinen aus

folgt aus der Definition Annahme, es gibt eine Arbeit die auch auf Maschine

außerhalb von ausgeführt wird.

das wiederspricht dem Nash Gleichgewicht, den es gäbe:

Folgerung:

)(xB )(xA

)()( iikk LrLr

)()( xASxBj j

j k)(xA

rLr kk )(

jSk



• Wie gut ist es? Theorem: Ein Nash Gleichgewicht im nicht atomaren Load

Balancing Spiel minimiert die maximale Antwortzeit über alle Lösungen

Beweis (Teil 2): Now let's compare a Nash to any other solution. Our Nash

has assignments xij and loads Li, whereas the other solution has assignments xij

* and loads Li*. But x* still has all of the

load assigned within the group A(x). Since the sum of the loads in A in this solution must be at least as great as the sum of the loads in the Nash, there must be some machine i in A such that Li

* Li. In this case, we know that ri(Li

*) ri(Li) and thus that this other solution is at least as bad as the Nash.

)(xBj jp


4 Nash Gleichgewicht finden

• das Spiel startet• die Spieler verteilen ihre Aufgaben irgendwie auf die

Maschinen oder das Spiel ist schon fortgeschritten• Wir haben irgendeine maximale Antwortzeit r• Aus dem Spiel wir ein Netzwerk-Fluss Graph konstruiert mit

welchem beweisen wird, ob es eine bessere Zeit als r gibt


4 Das finden einer besseren Lösung

• Algorithmus: Das finden von: – Maschinen – Arbeiten – die erhoffte maximale Antwortzeit aus den Arbeiten und Maschinen wird ein Netzwerk-Fluss

konstruiert mit zwei zusätzlichen Knoten, den Ausgang aller Arbeiten und den Empfang der Ergebnisse der Maschinen

rr max

rnm


4 Das finden einer besseren Lösung (2)

*S *T

• 2 neue Knoten hinzufügen S* und T*. Der Fluss geht von S* zu T*

• Jeweils einen Knoten für eine Arbeit und eine Maschine• Kanten von S* zu den Arbeiten haben die Kapazität von • Kanten von Arbeiten zu Maschinen haben die Kapazität • Kanten von den Maschinen zu T* haben die Kapazität von

• Den Flusswert den wir suchen, ist die Summe

jp

rLri )(j

jp


4 Das finden einer besseren Lösung (3)

• Mit dem Max-Flow-Min-Cut Theorem können wir beweisen ob eine bessere Lösung existiert, als die vorher erhoffte maximale Antwortzeit r

• Nun wenden wir den Binärsuche-Algorithmus an und finden das kleinste mögliche r, dass immer noch die Lösung des Netzwerk-Fluss ergibt.

• Das Ergebnis muss kein Nash Gleichgewicht sein, Beispiel1

1

r(L) = 2r(L) = L


5 Eine Lösung in ein Nash Gleichgewicht bringen

• Algorithmus: Ein Load Balancing Ergebnis aus dem Netzwerk-Fluss in ein Nash Gleichgewicht umwandeln.

Gibt es eine Arbeit die auf einer Maschine aus

ausgeführt wird, aber auch auf einer nicht in ?

• Wenn so ein Fall existiert, bewegen wir einen Teil der Last von i auf k, nur soweit, dass i aus dem A rausfällt und k nicht ins A kommt.

Wir wiederholen diesen Vorgang bis folgendes gilt

})(|{:)( maxrLrixA ii

0ijx jSk)(xAi )(xAk

)()( xASxBj j

)(xA)(xA


5 Eine Lösung in ein Nash Gleichgewicht bringen

• Jetzt sind und im Nash Gleichgewicht• Der Rest wird als Untermenge Betrachtet und mit dem gleiche

Algorithmus ins Gleichgewicht gebracht• Mit Wiederholung des Prozesses, werden alle verbliebenen

Arbeiten und Maschinen in das Nash Gleichgewicht gebracht.

)(xA )(xB


6 Zusammenfassung

• Load Balancing kann mit der Spieltheorie betrachtet werden• diskrete / nicht diskrete Spiele• das Nash Gleichgewicht minimiert die maximale Antwortzeit• in einem Load Balancing Spiel können wir überprüfen ob ein

kleineres Maximum der Auslastung vorhanden ist• eine konkrete Lösung des Spiels kann in ein Nash

Gleichgewicht gebracht werden.


6 Quellen

• Script http://www.cs.cornell.edu/courses/cs684/2005fa/

• Load Balancing http://de.wikipedia.org/wiki/Load_Balancing http://www.elektronik-kompendium.de/sites/net

/0906201.htm• Algorithmen

http://de.wikipedia.org/wiki/Fluss_(Graphentheorie) http://de.wikipedia.org/wiki/Binäre_Suche

• Spieltheorie http://de.wikipedia.org/wiki/Spieltheorie http://www.gametheory.net/

• „Optimal Load Balancing in Distributed Computer Systems“, 1997, Springer Verlag London

http://www.cs.cornell.edu/courses/cs684/2005fa/











http://de.wikipedia.org/wiki/Load_Balancing







http://www.elektronik-kompendium.de/sites/net/0906201.htm









http://de.wikipedia.org/wiki/Fluss_(Graphentheorie)







http://de.wikipedia.org/wiki/Bin%C3%A4re_Suche







http://de.wikipedia.org/wiki/Spieltheorie

http://www.gametheory.net/








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