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1. Teoremas válidos para triángulos rectángulos
Sea ABC triángulo rectángulo en C, entonces:
hipotenusa
cateto
cate
to
El lado opuesto al ángulo recto, AB, es llamado “HIPOTENUSA” , y los lados AC y BC, “CATETOS”.
1.1 Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos, es igual al cuadrado de la hipotenusa.
a2 + b2 = c2
(cateto1)2 +(cateto2 )2 =(Hipotenusa)2
ó
De acuerdo a los datos de la figura, el trazo QR mide
Ejemplo:
(Aplicando teorema de Pitágoras)
(Desarrollando)
(Restando)
(Aplicando raíz)
152 + (QR)2 = 252
225 + (QR)2 = 625
(QR)2 = 625 - 225
(QR)2 = 400
QR = 20
(Despejando (QR)2 )
• Números pitagóricos:
Son aquellos tríos de números que cumplen el teorema de Pitágoras.
Los más utilizados son: 3, 4 y 5 5, 12 y 13
Estos tríos, además de satisfacer el teorema de Pitágoras, generan “familias” de números pitagóricos, que corresponden a todos los tríos formados al multiplicar el trío inicial por cada número natural. Por ejemplo:
3, 4 y 5
6, 8 y 10
9, 12 y 15
12, 16 y 20. . . .
5, 12 y 13
10, 24 y 26
15, 36 y 39 20, 48 y 52
. . . .
8, 15 y 17
Todos los tríos proporcionales a: 3, 4 y 5, satisfacen el Teorema de Pitágoras.
32 + 42 = 52
62 + 82 = (10)2
92 + 122 = (15)2
Consideremos los siguientes casos:
1. Cuando un cateto es el doble del otro
2. Cuando un cateto es el triple del otro
Ejemplo:
Ejemplo:
1.2 Teorema de Euclides
Sea ABC un triángulo rectángulo en C, y CD = hc, la altura sobre la hipotenusa, entonces se cumple que:
Además, se cumple que:
∙hc2 = p q
a2 = c q ∙
b2 = c p ∙
hc = a·b c
∙p: proyección del cateto AC sobre la hipotenusa
q: proyección del cateto BC sobre la hipotenusa
De acuerdo a la figura, los segmentos CD y AC miden:
Ejemplo:
Aplicando Teorema de Euclides:
CD2 = AD DB∙ (Reemplazando)
CD2 = 4 3∙ (Aplicando raíz)
CD = 4 3∙
CD = 2 3
Además, por Euclides se cumple que:
AC2 = AB AD ∙ (Reemplazando)
(Aplicando raíz)
AC = 2 7
AC2 = 7 4 ∙
2 7
2 3
2. Relaciones Métricas en el triángulo rectángulo
2.1 Triángulo de ángulos interiores: 30°, 60° y 90°
En el triángulo rectángulo, con ángulos agudos de 30° y 60° se cumple que:
Ejemplo:
Determinar el área del triángulo ABC de la figura.
∠ BAC = 30° ⇒
El área del triángulo ABC es:
CB = 5 y AB = 5 3
= 25 3
2
5
5 3
Área = 5 5 3
2
∙
30°
Los triángulos con ángulos interiores de 30°, 60° y 90°, corresponden a la “mitad” de un triángulo equilátero.
2.2 Triángulo rectángulo isósceles
A
C
B
En el triángulo rectángulo isósceles de lado “a” de la figura, se cumple que:
Ejemplo:
∠ CBA = 45°
A
C
BBC = 4 2⇒
Solución:
45°
4 24⇒ AC = 4 y
En la figura, determinar la medida del lado BC (hipotenusa).
AM = MB = CM
2.3 Triángulo rectángulo y transversal de gravedad
Si M es punto medio de AB, entonces:
tc : transversal
Ejemplo:
Completando los ángulos, ∠ CBA = 40°
Solución:
⇒ AD = DB = CD
⇒ D es punto medio
⇒ ∠ CBA = ∠ DCB
Por lo tanto, ∠ DCB = 40°
40°
40°
Si en la figura, CD es transversal de gravedad, determine el ∠ DCB.
Si CD es transversal de gravedad,
⇒ El triángulo CDB es isósceles de base BC
2.4 Área de un triángulo rectángulo
A = a ∙ b2
A = cateto 1 ∙ cateto 2 2
En la figura:
3. Triángulo Equilátero3.1 Definición
Polígono regular, ya que tiene sus tres lados y sus tres ángulos congruentes.
AB = BC = CA
3.2 Propiedades
• Las alturas, transversales, bisectrices y simetrales, son iguales.
ha = hb= hc ba = bb= bcta = tb= tc Sa = Sb= Sc
Además:
ha = ta= ba = Sa hb = tb= bb = Sb hc = tc= bc = Sc
Por lo tanto, el ortocentro, centro de gravedad, incentro y circuncentro coinciden.
Determine el área de un triángulo equilátero, cuya altura mide 3 3.
• Área y altura de un triángulo equilátero:
Sea ABC un triángulo equilátero de lado “a”, entonces su área y altura se expresan como:
A = a2 34
h = a 32
Ejemplo:
Para determinar el área, basta conocer el lado del triángulo.
A partir de la altura determinaremos el lado.
Sea x la medida del lado, entonces:
h = x 32
3 3 = x 32
3 = x2
6 = x
Como el lado del triángulo mide 6 cm, su área será:
A = 36 34
⇒ A = 9 3⇒ cm2A = 62 34
• Relación entre el triángulo equilátero y la circunferencia circunscrita:
h = r + r2
⇒ h = 3r2
• Relación entre el triángulo equilátero y la circunferencia inscrita:
h = 3r
4. Triángulo Isósceles4.1 Definición
Es aquel que tiene dos lados congruentes y un lado distinto llamado “base”.
Los ángulos basales son congruentes.
4.2 Propiedades
a) La altura, transversal, bisectriz y simetral que cae en la base, coinciden.
Ejemplo:
⇒ x= 50°
⇒ ∠DBA = 40° y ∠ADB = 90°
40°
90°
= 50°
En la figura, el triángulo ABC isósceles en B y D punto medio de AC. Determine la medida del ángulo x.
Si el triángulo es isósceles en B, entonces la base es AC.
Si D: punto medio, entonces BD es transversal.
⇒ BD es altura, bisectriz y simetral.
b) Las alturas, transversales y bisectrices que se trazan desde los vértices congruentes, miden lo mismo.
ha = hb
ta = tb
ba = bb
Sa = Sb
Además: