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7/25/2019 1 Teoria Dos Conjuntos
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MATEMTICA DISCRETA
TEORIA DOS CONJUNTOS
PROFESSOR
WALTER PAULETTE
FATEC SP
2009 02
TEORIA DOS CONJUNTOS
1. CONCEITO DE CONJUNTOS
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A teoria dos conjuntos tem inicio com o matemtico Georg Cantor ( 1845-1918).
Como na Geometria Euclidiana adota-se onto! reta e lano como conceitos rimiti"os es#o aceitas sem de$ini%#o! assim tam&'m s#o conceitos rimiti"os
Conjunto! elemento e a rela%#o de ertinncia.
*odemos descre"er um conjunto! citando um a um seus elementos! ou aresentando
uma roriedade caracter+stica dos mesmos.
*ara dar nome aos conjuntos usamos as letras mai,sculas A!B! C! etc. e colocamosseus elementos entre ca"es. s o&jetos /ue com0em os conjuntos s#o denominados
elementos.
Eemlo 1
Camamos de A o conjunto dos n,meros ares e indicamos or A 3!2!4!!8!...6 e
reresentamos elo diagrama de 7enn (on 7enn!(184: 192)! matemtico e l;gico
ingls)! como
A
0 2 4
6 8 ...
*ara indicarmos /ue um elemento a ertence a um conjuntoAescre"emos
a A ( leia a ertence aA) caso contrrio a A ( leia a n#o ertence aA)
Eemlo 2e$ini%#o 1
>i?emos /ue um conjunto A ' su&conjunto de um conjunto @ se! e somente se! todoelemento de A ' tam&'m um elemento de @.
=ota%#o A @ ( A ' su&conjunto de @ )! caso contrrio A@ .
Eemlo
a)
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>ois conjuntos A e @ s#o iguais se! e somente se! tm os mesmos elementos.
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a) A
&) A3a6c) A 3a! &6
d) A 3a! &! c6
esolu%#o
(a) A ! *(A) 36 ! logo n(*(A)) 1 2F
(&) A 3a6! *(A) 3! 3a66! logo n(*(A)) 2 2
(c) A 3a! &6! *(A) 33a6!3&6!3a! &6!6. logo n(*(A)) 4 2H
(d) A3a!&!c6!*(A)33a6!3&6!3c6!3a!&6!3a!c6!3&!c6!A! 6! logo n(*(A))8 2I.>essa maneira odemos escre"er
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Eemlo 9
istri&uti"a)
6.3 - DI,ERENA #-$
>e$ini%#o D
>ados os conjuntos A e @! denominamos conjunto di$eren%a de A em rela%#o a @! ao
conjunto dos elementos @ /ue n#o s#o elementos de A.
Em s+m&olos{ }CB A x x B e x A =
5
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Eemlos 11)
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D
4. A A U=U
5. A B A B =
6.5 - DI,ERENA SIMTRICA
>e$ini%#o 9>e$inimos di$eren%a sim'trica e indicamos or A B ao conjunto
A B=( AB ) ( BA)=( AB )(A B)*roriedades
1. A A=2. A B=B A. A =A
6.6 N/MERO DE ELEMENTOS DE CONJUNTOS ,INITO
=,mero de elementos de dois conjuntos ( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B= + U I
=,mero de elementos ara trs conjuntos
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n A B C n A n B n C n A B n A C n B C n A B C = + + +U U I I I I I
Eemlo 1
Prs Cursos uni"ersitrios s#o os mais rocurados! ara o "esti&ular! elos alunosde em uma Escola de Ensino O'dio! s#o eles Administra%#o (A)! @iologia (@) e Cont&eis
(C). A;s a es/uisa $oram aresentados os seguintes resultados.
Cursos A @ C A e @ A e C @ e C A e @ e C*re$erncia 9 1 1D 2 4 1
>eterminar
a) Quantos alunos consultados re$erem s; o Curso de Administra%#o (A)R
&) Quantos alunos consultados re$erem s; dois CursosRc) Quantos alunos consultados re$erem Administra%#o (A) ou Cont&eis (C) R
d) Quantos alunos consultados re$erem Administra%#o (A) e n#o Cont&eis (C)R
esolu%#o sando a reresenta%#o de 7enn odemos escre"er o n,mero de alunoscom suas re$erncias.
41192 1 1
AB
C*ortanto!
a) s alunos consultados /ue re$erem s; o Curso de Administra%#o s#o 4.&) s alunos consultados /ue re$erem s; dois Cursos s#o .
D
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c) s alunos consultados /ue re$erem Administra%#o (A) ou @iologia(@) s#o 2.
d) s alunos consultados /ue re$erem Administra%#o e n#o Cont&eis s#o 5.
Exerccios de aplicao 2:
1. eterminara) Quantas essoas consultadas consomem s; o roduto AR
&) Quantas essoas consultadas consomem s; dois rodutosR
c) Quantas essoas consultadas consomem A ou @ R
d) Quantas essoas consultadas consomem A e n#o consomem C R
4. >e um torneio de atletismo! tem-se as in$orma%0es no /uadro so&re as ro"enincias e
seos dos articiantes. >etermine o n,mero de muleres de io *ardo.
Cidades V a &
L @A=C 8 &
PPAN 2& 1D
5. /uadro indica o resultado de uma es/uisa $eita so&re as essoas /ue $re/Xentam
cinema (C)! teatro (P)! e soYs musicais ao "i"o (
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Exerccios de aplicao 3:
1)) (E) 4
5) /uadro indica o resultado de uma es/uisa com essoas /ue lem os jornais A! @ eC
ornais A @ C A!@
A!C @!C A!@!C
Neitores 1
9 11
15 2 5
=estas condi%0es odemos di?er /ue lem
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(A) s; A D5 essoas. (@) s; @ 5D essoas (C) s; C 4 essoas (>) dois jornais
5 essoas (E) os trs jornais 1 essoas
) se a no%#o de ertence e a de$ini%#o de su&conjunto e colo/ue (7) se as senten%as$orem "erdadeiras e (B) se as senten%as $orem $alsas.
i)
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AB
C
AB
C
Exerccios de aplicao 4:
1.
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12
5.
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esanol. ) 11 (E) 2D5
2) Em um gruo 4 omens e 4 muleres. Z dos omens $umam e muleres
$umam. A orcentagem de $umantes no gruo '
(A) 2Z. (@) 24Z. (C) 2!25Z. (>) 22!5Z. (E) 28!5Z.
) Em um gruo de gatos! gatos &rancos e gatos retos.=esse gruo! eistem 2
gatos macos! 15 gatos retos! e sa&e-se /ue 4 $meas s#o &rancas. n,mero de macosretos '
(A) D. (@) 9. (C) 8. (>) 11. (E) 1.
4) s elementos dos dois conjuntos a seguir s#o n,meros naturais A 31!2!!...!486
@ 315!1!1D!...!6 . n,mero de elementos do conjunto A B '
(A) 48. (@)4. (C) . (>) . (E) 5.
5) >urante uma "iagem! co"eu cinco "e?es. A cu"a ca+a ela man# ou ] tarde! nunca
durante a man# e ] tarde no mesmo dia. Wou"e seis man#s e trs tardes sem cu"adurante a "iagem. Quantos dias duraram a "iagemR
(A) 1 (@) 9 (C) 8 (>) (E) D
) A;s uma es/uisa reali?ada numa cidade! constatou-se /ue as $am+lias /ue consomem
arro? n#o consomem macarr#o.
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consomem $eij#o. Calcule a ercentagem corresondente ]s $am+lias /ue n#o consomemnenum desses trs rodutos.
(A) 4Z (@) 5Z (C) Z (>) DZ (E) 8Z
D) m &anco de sangue catalogou doadores assim distri&u+dos 29 com sangue do tio
\ com $ator negati"o\ 14 com $ator ositi"o e tio sangu+neo di$erente de .Quantos doadores ossuem tio sangu+neo di$erente de e $ator negati"oR
(A) 19 (@) 18 (C) 2 (>) 21 (E)1D
Exerccios de aplicao 6:
1. Colo/ue (7) nas "erdadeiras e (B) nas $alsas. (usti$icando)
( ) a) ( ) ( )A B B B A A B A B =U U U U I
( ) &)( )A B A B A=U I U
( ) c) ( )B B A A B =U I
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2.( )A A BU
' igual a
a) A BI &) A BU c) A B
.Oostre /ue( ) ( )A B A B A B = =I U I
4. Oostre /ue( ) ( )A B A B A B U= =I U U
5. *ro"e /ue ara /uais/uer A e @! A B B A = U
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. Colo/ue (7) nas "erdadeiras e (B) nas $alsas. (usti$icando)
a) AB=AB
&)( ) ( ) ( )A B C A B A C = I U
c) A ( BC)=(A B )(A C)
d) A ( AB )=A B
D.
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1D
8. e Oorgan generali?ada.
1D
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A1 A2A n=A1 A2 An
4)Oostre /ue a senten%a ' "erdadeira
[A(BC)] (AC)=A
Respostas dos exerccios de aplicao 1.
1$ V0V0V0,0V0, 2$ V0V0,0V0V0V 2$ ! ! .
Respostas dos exerccios de aplicao 2.
1$ &&&n%"( 2$ ,0V0, 3$ $ 5 $ 6 )$ 22 7$ 6
4$ 6 89&'&( 5$ )"n((%&n%&
Respostas dos exerccios de aplicao 3.
1$ : 2$ D 3$ D 4$ D 5$ D 6$ $V0V0,0V0V $ ! ! !
;$ $