1 THE REAL NUMBERS

1 The Real Numbers

1

1 THE REAL NUMBERS

Determine whether the given integer is prime or composite.

1a) 34

1b) 47 1c) 111 1d) 351

2a) 61

2b) 51 2c) 411 2d) 911

Determine whether or not the given numbers are relatively prime. 3a) 4 and 18

3b) 6 and 25 3c) 18 and 35 3d) 49 and 77

4a) 16 and 45

4b) 9 and 30

4c) 45 and 50

4d) 34 and 51

List the positive factors of the given whole number. 5) 98 6) 108

Write the prime factorization. 7) 84

8) 240

1 The Real Numbers

2

Given the set of numbers, identify which numbers in the set are whole numbers, integers, rational, and irrational.

9) 3

1.2, 3.3, 0, , 4, 19, 19, 313

− −

a) whole numbers

b) integers

c) rational numbers

d) irrational numbers

10) 54

210 , , 2, 0, 2.1, 3 , 16, 14,21 5

7π

− − −

a) whole numbers

b) integers

c) rational numbers

d) irrational numbers

Complete the statement and state what property of real numbers is used.

11) − + = +5 4 4 ___

12) ( )( ) ( )− − = −3 7 7 ____

13) ( )+ + − = + +2 5 ( 3) 2 (5 __)

14) ( ) ( )12 13 ____ 12− + − = + −

15) ( )25 10 ____ 25⋅ − = ⋅

16) ( ) ( )8 6 3 ___ 6 3− + + = + +

Identify the property being used in the statement.

17) ⋅ = ⋅3 3y y

18) + = ⋅ + ⋅8( 5) 8 8 5x x

19) ( )+ + = +0 3 3b b

20) ⋅ =16

6 1

21) + + = + +(11 ) 8 11 ( 8)r r 22) ( ) ( )− ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅6 2 6 2y y

23) ( )2 2 2a b a b+ = +

24) ( ) ( )2 5 3 3 2 5+ ⋅ = ⋅ +

25) ( )8 10 10 8− + = + −

26) 15 0 15a a− + = −

27) ( )( )3 5 5 3 1− − =

28) 12 12 0− + =

29) ( )1 2 5 2 5a b a b⋅ + = +

30) ( ) ( )( ) ( )( )2 5 4 2 5 4− − = − ⋅ −

31) 4 4 0x x− + = 32) 1

6 6

a a⋅ =

33) ( ) ( )6 8 9 8 9 6⋅ + = + ⋅

34) ( ) ( )2 5 7 2 7 5+ = +

1 The Real Numbers

3

Use the distributive property to write each expression without parentheses.

35) ( )+7 a b 36) ( )+12 4y

37) ( )+ −8 3 6y z 38) − − +4( 2 3)x y

39) ( )− − − +2 5 2q w z p 40) − + −6(2 1) 1x

41) − +4(4 5) 5x 42) ( )3 2 3 15a b c− − − + −

True or False

43) A natural number is rational. 44) A rational number is an integer.

45) A number added to its reciprocal gives 0. 46) The product of a nonzero number and its reciprocal is 1.

47) The set of natural numbers is closed under the operation of division.

48) The set of integers is closed under the operation of subtraction.

49) The division operation is commutative. 50) The subtraction operation is associative.

2.1 Evaluating an Algebraic Expression

4

2 ALGEBRAIC EXPRESSIONS 2.1 Definitions; Evaluating an Algebraic Expression Identify the numerical coefficient and the variable part of each algebraic expression.

Algebraic Expression

Numerical Coefficient

Variable Part

Algebraic Expression

Numerical Coefficient

Variable Part

1) x 9)

7

y

2) ab 10)

3

25

w

3) −4xy 11) 2 37.32p q−

4) 3

4abc

12) 4 212.007w z y

5) 25a b 13)

1

y

6) 20.25mn 14)

2

1

x−

7) 32

5

wp

15)

3

4

a

b−

8) 27

9

n p−

16)

2

12

7

x

y

Evaluate each algebraic expression for the given values of the variables.

17) + = = − for 3 and 4m n m n 18) for 3 and 7x y x y+ = − = −

19) for 7 and 5a b a b− = = −

20) for 4 and 2z w z w− = − = −

21) − − = − = − = − for 3, 2, 1x y z x y z

22) for 10, 9, 7, 2a b c d a b c d− − + − = − = = − =

23) 8 5 for 4, 12, 6p q r p q r− − − − − = − = = − 24) 5 for 6, 3, 2m n p m n p− − + = − = − = −

25) = = − = for 5, 1, 2abc a b c 26) for 4, 3, 5xyz x y z= − = = −


5

27) 6 for 2, 3xy x y= − = − 28) 4 for 6, 2ab a b− = − = −

29) 4 for 5, 2, 1, 3pqrs p q r s− = − = = − = − 30) 8 for 1, 2, 3, 4xyzw x y z w− = − = − = = −

31) for 2, 5, 3bc d b c d⋅ = − = = −

32) for 8, 2, 3a bc a b c⋅ = − = − = −

33) for 1, 3, 4x y z x y z⋅ ⋅ = − = − = − 34) for 7, 4, 2r s t r s t⋅ ⋅ = − = − = −

35) for 1, 2a b a b− ⋅ − = − = − 36) for 3, 4x y x y− − ⋅ − = − = −

37) for 8, 9m n m n− ⋅ − = − = −

38) for 12, 3a b a b− ⋅ − = − = −

39) for 32, 4x

x yy

= = − 40) for 56, 7a

a bb

= − =

41) for 72, 8y

y zz

− = =

42) for 45, 9c

c bb

− = =

43) for 24, 6x

x ww

−= = − 44) for 49; 7

nn m

m= = −

−

45) for 8, 4a

a bb

− = − = −

46) for 64, 8x

x yy

− = − = −

47) ( ) for 20, 5p q p q÷ − = − = 48) for 45, 15z y z y− ÷ = − =


6

49) for 18, 9x y x y− ÷ = − = −

50) for 50, 5a b a b− ÷ = − = −

51) ( ) for 48, 8b c b c− − ÷ − = = −

52) ( ) for 60, 12n p n p− − ÷ − = − = −

53) for 28, 7m

m pp

= − = −−

54) for 39, 13y

y xx

−= = −

−

55) for 16, 4r

r ss

− −= − = − 56)

( ) for 56, 7

cc d

d

− −= = −

− −

57) 3 for 5x x = 58) 5 for 3y y =

59) 2 for 4a a = 60) 4 for 2c c =

61) 2 for 2n n = − 62) 2 for 2h h− =

63) 2 for 3w w− = 64) 2 for 3p p = −

65) 2 for 4y y = − 66) 2 for 4x x− =

67) 2 for 5a a− = −

68) ( )2 for 5b b− − = −

69) 3 for 2w w− = 70) 3 for 2r r = −

71) 3 for 3p p = − 72) 3 for 3s s− =

73) ( )3

for 4a a− − = −

74) ( )3 for 4c c− − = −


7

75) for 32, 4, 3x yz x y z− = = =

76) for 18, 6, 6c ab c a b− = = =

77) for 4, 2, 5m nx m n x+ = − = − = −

78) for 8, 3, 2y xw y x w− + = = − = −

79) 2 3 for 4, 6a b a b+ = − = − 80) 3 7 for 5, 3m n m n+ = − = −

81) 2 for 5, 4, 6x yz x y z− + = − = = −

82) 5 for 3, 3, 8bc d b c d+ = − = − = −

83) 3 2 for 8, 4m p m p− = − = − 84) 2 4 for 9, 5d e d e− = − = −

85) 2 for 1, 3, 2z xy z x y− − = − = − = − 86) 4 for 2, 2, 3x yz x y z− − = − = − = −

87) for 22, 352 5

a ba b

− + − = − = −

88) for 36, 649 8

x yx y− − = − = −

89) 12 9

for 3, 9p qp q

− + = − = −

90) 18 25

for 6, 5m nm n

− − + = − = −

91) for 32, 8, 54, 6x z

x y z wy w

− = − = = = − 92) for 48, 12, 96, 3a c

a b c db d

− = − = = = −

93) ( )( )3 2 5 for 2, 4, 1, 2a b c d a b c d− + = = = = 94) ( )( )2 2 4 4 for 5, 2, 3, 2x y z w x y z w+ − = = = =


8

95) ( )2 2 7 for 5, 11x y x y− − = − = 96) ( )2 4 for 3, 6, 9c b a c b a− − = − = =

97) ( )4 2 for 2y y y y− − − = − 98) ( )2 3 for 3a a a a− − + = −

99) 4 3 2 for 1a a a a− − − = − 100) 2 3 for 2x x x x− − + = −

101) − = − =2 for 1, 3y x x y 102) 2 for 0, 4gh h g h− = = −

103) for 5, 3, 2x y z x y z− − = = − = − 104) for 1, 5, 4m n p m n p− − − − = − = = −

105) ( ) for 2, 1a b a b a b− − − − = − = − 106) ( )1 1 for 1, 2x y x y x y− − − − − − = − =

107) 2

2

5 3 for 2

9

x xx

x

+=

+ 108)

2 3

5 for 2, 3

a ba b

b a

−= − =

−

109) 3

5

6 3 for 2

yy

y y

+= −

− 110)

( )

2 2

22

5 for 2

x xx

x x

− −= −

− − −

2.2 Evaluating an Algebraic Expression II

9


Evaluate each algebraic expression for the given values of the variables.

1) 1 2

for ,3 5

ab a b= = 2) 2 3

for ,7 11

rs r s= − =

3) 6 5

for ,5 8

xy x y= − = − 4) 3 14

for ,8 9

pq p q= = −

5) 4 5 3

for , ,9 12 10

rst r s t− = = − = 6) 8 1 5

3 for , ,15 10 9

abc a b c− = = = −

7) 1 2 24

for ,2 9 25

cd c d− = − = − 8) 1 6 26

for ,6 13 30

xy x y− = − = −

9) 4 10

for ,3 9

yy z

z= − = 10)

8 4 for ,

15 21

mm n

n= = −

11) 5 7

for ,8 4

ss t

t− = = − 12)

5 15 for ,

12 9

ba b

a− = = −

13) 5 5 5

for ,49 21

aa b

b− = − = − 14)

4 6 16 for ,

35 7

xx y

y− = − = −


10

15) 9 3

for ,3 40 14

xx y

y− = − = 16)

10 5 for ,

8 27 81

aa b

b= − = −

17) 3 4 for

3a a = 18) 3 2

for 5

y y =

19) 2 3 for

5x x = − 20) 2 7

for 4

c c = −

21) 2 6 for

7w w− = − 22) 2 5

for 8

x x− = −

23) 3 1 for

4y y− =

24) ( )3 5

for 6

x x− − = −

25) 2 4 16

for , ,35 35 35

a b c a b c− + = = = 26) 5 17 9

for , ,42 42 42

x y z x y z− − = = =

27) 19 23 27

for , ,80 80 80

d e f d e f− − = = − = 28) 13 25 22

for , ,96 96 96

r s t r s t− − − = = = −

29) 1 4

for and 2 5

p q p q+ = − = − 30) 2 11

for and 7 21

b c b c+ = = −

31) 3 2

for and 5 3

x y x y− = = − 32) 1 7

for and 15 25

m n m n− = − = −


11

33) 1 1 1

3 2 for , ,3 4 5

x y z x y z+ − = = = 34) 1 1 1

5 2 for , ,2 3 10

a b c a b c− − = = =

35) 1 3 1

5 4 for , ,6 5 7

p q r p q r− + − = = − = − 36) 1 1 1

2 5 4 for , ,3 8 5

m n p m n p− + = − = − = −

37) 7 1 8

for , ,15 3 9

c a b a b c− − − = = = − 38) 7 3 9

for , ,20 4 10

b e d b e d− − − = − = − =

39) 1 1 1

for , ,16 20 12

x y z x y z− + = − = − = − 40) 1 1 1

for , ,18 15 9

p q r p q r− − = − = = −

41) 1 1 1 1

for ,3 2 3 2

b a a b− = − = − 42) 1 1 1 1

for ,2 3 5 5

x y x y+ = = −

43) 2 1 9 8

for ,3 4 10 3

x y x y− − = − = − 44) 1 2 3

10 for ,6 5 2

a b a b− − = = −


12

45) ( )( )1 1 1 1

for , , ,2 4 3 6

m n y z m n y z− + = − = = = 46) ( )( )1 1

3 2 for ,2 3

x y y x x y+ − = − = −

47) ( )( )3 1

4 1 for ,5 2

x y x y− − = = −

48) ( )( )4 1

5 2 for ,7 4

a b a b− − = =

49) ( ) ( )5 2

for 2, ,8 7

a x a y a x y+ + = − = − = −

50) ( ) ( )1 1

3 3 for 1, ,2 5

x y x z x y z− − = − = = −

51) 2 2 1 1 for ,

2 3a b a b− = = 52) 2 2 1 1

for ,3 6

x y x y− = =


13

53) 2 3 1 for

2y y y− = − 54) 2 3 1

for 3

c c c− − = −

55) 2 4 19 for

2x x x− = 56) 3 2 1

4 for 5

a a a− =

57) 2 2 for

3a a a− − =

58) 2 3 for

4n n n− − =

59) 2 2 1 19 4 for ,

3 2x y x y+ = − = 60) 2 2 1 1

16 25 for ,4 5

a b a b− = = −

61) 2 2 1 125 27 for ,

5 3p q p q− = − = − 62) 2 2 1 1

8 9 for ,2 3

m n m n− = − = −


14

63) 2 21 1 2 3 for ,

2 3 5 2a b a b+ = − = 64) 2 21 1 2 3

for ,4 9 3 2

x y x y− = − = −

65) ( )2 1 1

for ,3 4

x y x y+ = = 66) ( )2 1 1

for ,3 2

a b a b− = =

67) ( )2 1 1

for ,2 5

m n m n− = − = − 68) ( )2 1 1

for ,3 6

x y x y− = − = −

69) 2 2 1 1 for ,

2 3a ab b a b− + = = 70) 2 2 1 1

2 for ,2 4

y yz z y z− + = − =


15

71) 1 1

for 3 , 42 3

x y x y− = = 72) 1 1

for 1 , 26 9

a b a b+ = = −

73) 1 1

for 2 , 34 2

x y x y− = = −

74) 2 2

for 1 , 15 3

a b a b− = − = −

75) 3 3

for 1 , 34 8

x y x y+ = = − 76) 1 1

for 2 , 13 6

a b a b− = − =

77) 1 1

2 6 for 3 , 24 3

x y x y− = − = 78) 2 2

3 5 for 4 , 13 5

a b a y− + = − =


16

79) 1 1

2 4 for 1 , 24 2

x y x y− = = 80) 1 5

5 3 for 2 , 15 6

a b a b− = =

81) ( )1 for 0.2n n n− =

82) ( )2 for 0.3p p p− = −

83) ( )1 for 0.01s s s− = 84) ( )2 for 0.02t t t− =

85) ( )( )1 1 for 0.1y y y+ − = 86) ( )( )2 2 for 2.02x x x− + =


17

87) ( )( )1 2 for 0.5a a a− + = − 88) ( )( )1 2 for 0.6c c c+ − = −

89) 3 3 for 0.1, 0.2x y x y+ = = 90) 3 3 for 0.1, 0.2a b a b− = =

91) 3 3 for 0.1, 0.2y z y z− = − = 92) 3 3 for 0.1, 0.2r s r s+ = − = −

93) ( )3

for 0.1, 0.2a b a b+ = = 94) ( )3

for 0.1, 0.2a b a b− = =


18

95) ( )3

for 0.2, 0.1x y x y− = − = 96) ( )3

for 0.1, 0.2x y x y+ = = −

97) 2

for 0.41

xx

x

+=

−

98) 6

for 0.32 1

xx

x

+=

−

99) 2

2

1 for 0.1

x xx

x x

+ +=

+

100) 2

2

2 for 0.2

x xx

x x

− += −

−

101) 2

2 for 0.1

yy

y y=

+ 102)

2 for 0.1

yy

y y=

+

2.3 Adding or Subtracting Algebraic Expressions

19


Simplify each expression by combining like terms.

1) + −4 5 11x x x 2) − + − + −15 8 6 11 13x x

3) 3 5 7y y y y− − − + 4) 9 4 4y y y− + − −

5) 2 3 4a a a a− − + 6) 2a a a a a− + − + −

7) 8 9 3 4n n n n n− + + − 8) 3 2 3n n n n n n+ − − + −

9) 1 2 3 5x x x x− − − − + 10) 6 2 4 3x x x x x− − + − +

11) 2 5 4a b a b− − − 12) 2 2a b a b− − +

13) 3 7 9n m n m− − + 14) 3 5 6n m n m− + + −

15) 5 2 6 2 8x y x y x y− − − + − +

16) 3 2 3 5 9x y x y x y− − + + + − −

17) 6 2 2x y y x y+ − − − − 18) 4 2 3 2x x y y x y− − + − + + − −

19) 2 3 4 5 8a b c a b c− − − − + − 20) 3 2 2 12a b c a b c− − − + + − −

21) 1 2 3 2a b c a b c− − − − + − 22) 3 2 4 8 6 9 2a b c a b c− − − + + − − −

23) ( )2 2x y x x z z− − − − − + 24) ( )2 4 3x y x y z− − − − − +

25) ( ) ( )2 2 3 2x y z x y z− − − − − − + −

26) ( ) ( ) ( )6 2 3 4x y z x y z− − − − − − + + +


20

27) ( ) ( )2 3 2 3 2 4a b c a b c− − + − − − − − − 28) ( ) ( ) ( )5 4 8 3 2 6a b c a b c− − − − − − − − − − −

29) ( ) ( ) ( ) 10a b c a b c− − − − − − − − − + 30) ( ) ( )2 5 3 6 1a b c a b c− − − − − − − −

31) − + −2 3 4 12y y y 32) 2 6 9y y y− − +

33) 2 24 2 5x x x x− − − + + 34) 2 22 4 7 9x x x x− + − − −

35) 2 23 6 5a a a a− + − − − 36) 2 22 3 4 2 1a a a a+ − − + +

37) 2 25 7 4 8 1y y y y− + − + − −

38) 2 24 1 5 2 2y y y y− − − + − −

39) 2 26 5 3 2 5z z z z− + − − − 40) 2 212 8 9 14 11 2z z z z+ − − − −

41) 3 2 3 23 3 1 3 3 1x x x x x x+ + + − + − + 42) 3 2 3 28 12 6 1 27 27 9 1x x x x x x− + − − − − −

43) 3 2 33 4 5 2 2 7y y y y y− − − − − − + 44) 3 2 2 315 8 14 9 2 16y y y y y− − + − −

45) 2 2 2 24 4x xy y x xy y− + − + − 46) 2 2 2 28 16 9 6x xy y x xy y+ + − − −

47) 2 2 2 24 12 9 2a ab b a ba b− + − − − 48) 2 2 2 28 16 9 6a ab b a ba b− + − + −

49) 2 2 2 22 2 5 6 2x y xy xy yx y x xy− − + − + − − 50) 2 2 2 24 5 3 5xy xy x y y x yx yx− − − − − −

51) 1 3 1

2 4 3x x− − 52)

1 1 1

3 6 9x x− − −


21

53) 2 1 1 1

3 5 2 8x x y y+ − + 54)

3 3 4 1

4 2 3 9x x y y− − −

55) 2 1 1 1

5 6 2 8a b a b− − − + 56)

1 1 1 1

4 8 6 12a b a b+ − −

57) 3 5 11

8 9 10 12

a b a b− + + 58)

5 7

3 10 12 15

a b a b− − + +

59) 5 7 5

8 6 10 4

x y x y− − − + 60)

12 9 16 15

x y x y− − − +

61) 2 21 1 1 1 1 1

2 3 4 4 6 2x x x x− − − − + − 62) 2 21 1 1 1 1 1

3 2 5 2 8 4x x x x− − − + − +

63) 2 21 1 1 1 1 5

4 6 12 6 10 4a a a a+ − + − − 64) 2 21 1 1 1 1 1

18 16 12 9 12 8a a a a− − + + − +

65) 2 23 5 7 7 5 7

8 16 4 12 12 8y y y y+ − − − + 66) 2 28 15 10 5 1 5

15 16 9 12 4 18y y y y− − − − −


22

67) 2 2 2 2 2 25 4 7 7 1

4 5 2 10 6a b ab a b ab a b− − − − 68) 2 2 2 29 5 17 7 5

8 9 20 6 2a b ab a b ab ab− − − + −

69) 2 3 3 2 2 3 3 22 4 1 7

9 5 3 3x yz xy z x yz xy z− − + 70) 3 2 3 2 3 2 3 25 1 1 1

24 15 25 18x y z xy z xy z x y z− + − +

71) 0.1 0.2 0.01 0.02a b a b− − + 72) 0.5 0.8 0.05 0.08a b a b− + − −

73) 0.04 0.09 0.044 0.099x y x y+ − − 74) 0.004 0.009 0.04 0.09x y x y+ − −

75) 2 21.2 1 0.8 0.3a a a a− − − + − 76) 2 22.5 0.7 1.1 2a a a a+ + − − −

77) 2 20.01 0.1 0.1 1x x x x+ + − − − 78) 2 20.2 0.02 0.02 1x x x x− − + − −

79) 2 2 2 22 0.4 0.1a b a b+ − − 80) 2 2 2 23 2 1.8 3.2a b a b− + + −

2.4 Simplifying Algebraic Expressions Involving Symbols of Grouping

23

2.4 Simplifying Algebraic Expressions Involving Symbols of Grouping Simplify each expression by removing symbols of grouping and combining like terms.

1) − +5(1 3 ) 9x x 2) 4(3 6) 7x x− −

3) − +9(2 1) 8n 4) ( )5 3 2 20n− −

5) + −8( 8)v v 6) ( )7 7 7v v+ −

7) ( ) ( )2 3 3 2y y+ + + 8) ( )6 1 5( 3)y y+ + +

9) ( ) ( )4 3 2 2 3 4a a− + − 10) ( ) ( )8 5 3 6 2 7a a− + +

11) ( ) ( )5 5 6 4 7x x− + − 12) ( ) ( )3 6 2 8 9x x+ + −

13) − +5 5( 1)x x 14) ( )2 3 2x x− +

15) − −8 4( 2)a 16) ( )7 9 3a− −

17) ( )4 4 4y y− − − 18) ( )9 9 9y y− − −

19) ( )3 3n n− − 20) ( )6 6n n− −

21) ( )1x x− − 22) ( )21x x− −

23) ( )4a a− + 24) ( )44a a− +


24

25) ( )2 3c c− + 26) ( )4 10c c− − +

27) ( ) ( )3 4 4 3x x− − − 28) ( ) ( )5 2 2 5x x− − − −

29) ( ) ( )1 2 3y y− + − − 30) ( ) ( )5 6 8y y− − − +

31) ( ) ( )5 2 4a b a b+ − − 32) ( ) ( )4 3 6 2a b a b+ − +

33) ( ) ( )4 7 6 3x y− − − 34) ( ) ( )7 8 9 2x y− − +

35) ( ) ( )2 6 3 3a a+ − − 36) ( ) ( )3 1 4 5a a− − − −

37) ( ) ( ) ( )9 2 2 3 8 1x y z+ + − − −

38) ( ) ( ) ( )4 3 5 1 2 4x y z− − − − +

39) ( ) ( ) ( )2 3 6 2 5 1a a a− − + − − − 40) ( ) ( ) ( )4 3 5 2 6a a a− + − − + −

41) ( ) ( ) ( )5 2 2 4 5 7 8x y x y x y− − − − + 42) ( ) ( ) ( )2 4 3 9 4 3 6 5x y x y x y+ − − − +


25

43) ( ) ( )9 2 3 2 8 3 7x y x y− + − − − 44) ( ) ( )5 4 2 6 4 9 6 10x y x y− + − + − +

45) ( ) ( )12 3 2 1 8 2 5 4a b a b− − − + + 46) ( ) ( )5 13 2 3 7 3 4 6a b a b− − − − −

47) ( ) ( ) ( )2 7 5 6 3 1 9 4 3x x x− − + − − 48) ( ) ( ) ( )6 6 11 2 9 10 8 9x x x+ − − − −

49) ( ) ( ) ( )2 3 5 5 8 4 15a a a− − + − − − − − + 50) ( ) ( ) ( )12 6 2 3 7 8 2 9a a a− − − − − − − − +

51) ( ) ( )2 22 3 5 5 2 4x x x x− − + − + 52) ( ) ( )2 23 2 7 4 3 2 4x x x x+ + + − −

53) ( ) ( )2 23 3 5 8 2 3y y y y− + − − − 54) ( ) ( )2 27 2 3 6 5 4 6 9y y y y+ − − + −

55) ( ) ( )3 2 3 25 2 1 2a a a a a a− + − − + − − 56) ( ) ( )3 2 3 23 4 3 2 5 2 3a a a a a a+ − − − − + −

57) ( ) ( )2 2 2 23 2 5 2 3 6x xy y x xy y+ − + − − 58) ( ) ( )2 2 2 26 7 2 5 2 4 9x xy y x xy y− + + − + −


26

59) ( ) ( )2 2 2 22 5 3 9 4 3 6a ab b a ab b+ − − − − + 60) ( ) ( )2 2 2 24 2 6 5 3 6 4 5a ab b a ab b− − + + − + −

61) ( ) ( )1 1

2 4 5 102 5

x x− + − 62) ( ) ( )1 1

6 3 8 243 8

x x− + +

63) ( ) ( )1 1

24 6 18 276 9

a a− − − 64) ( ) ( )1 1

12 8 5 204 5

a a+ − +

65) ( ) ( )1 1

8 16 40 12 6 308 6

x y x y− − − + − 66) ( ) ( )1 1

18 27 9 30 10 509 10

x y x y+ + − − −


27

67) ( ) ( )2 3

15 5 30 8 12 45 4

a b a b− − − + + 68) ( ) ( )5 2

18 12 36 14 7 76 7

a b a b+ − − − −

69) ( ) ( )3 5

6 8 14 3 9 122 3

x y x y− + − − − − − 70) ( ) ( )7 6

4 16 20 10 15 54 5

x y x y− − + + − + −

71) ( ) ( )1 1

1 52 3

a a+ + − 72) ( ) ( )1 1

3 24 5

a a− + +

73) ( ) ( )1 1

2 33 4

x x+ − + 74) ( ) ( )1 1

5 12 9

x x− − −


28

75) ( ) ( )2 3

5 103 5

y y− − + 76) ( ) ( )3 4

4 12 3

y y+ − +

77) ( ) ( )2 3

2 3 3 15 4

a b a b− + + + − 78) ( ) ( )5 3

3 2 3 5 3 24 2

a b a b+ − + − +

79) ( ) ( )4 3

2 5 5 33 4

x y x y− + − − + − 80) ( ) ( )5 7

3 5 10 2 6 12 3

x y x y− − + − − − −

81) 1 2 1 1 1 2

2 3 5 3 2 5x y x y

− − −

82)

1 1 1 1 1 4

5 2 3 4 5 5x y x y

+ − −


29

83) 2 1 3 5 1 4

3 4 4 2 5 3a b a b

+ + −

84)

3 4 1 3 5 1

4 5 3 5 6 6a b a b

− − +

85) 1 2 1 4 1 3 3

12 5 2 3 3 10 2

x y x y

+ − − − +

86) 1 6 1 1 1 4 1

43 5 4 2 2 5 3

x y x y

− + + − −

87) 2 22 1 3 1 1 2

3 4 2 2 3 3x x x x

+ − + − −

88) 2 23 1 1 1 1 2

2 6 3 4 2 5x x x x

− + + − +

89) 2 24 1 5 1 3 2

5 4 2 6 2 3a a a a

− + − − +

90) 2 25 1 1 5 5 24 5 5 2 4

a a a a

+ − − + −


30

91) ( ) ( )0.5 0.4 0.2 0.3x x+ + − 92) ( ) ( )0.3 0.2 0.4 0.5x x+ + +

93) ( ) ( )0.2 0.3 0.2 0.1 0.4 0.1x x− + + 94) ( ) ( )0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 0.4x x+ − −

95) ( ) ( )1.5 2 0.1 0.75 0.2 4a b a b− + − 96) ( ) ( )0.25 4 0.2 1.25 0.4 5a b a b+ + −

97) ( ) ( )0.4 5 0.5 1.4 0.5 5a b a b+ − − 98) ( ) ( )0.75 10 0.5 0.25 4 0.8a b a b− + −

99) ( ) ( )2 21.2 0.1 3 2.5 0.2 2x x x x− − − + + 100) ( ) ( )2 21.4 0.5 1 1.2 0.1 1x x x x+ − − − +

2.5 Multiplying Algebraic Expressions

31

2.5 Multiplying Algebraic Expressions Simplify the following.

1) ⋅2 32 2 2) ⋅

23 3

3) ⋅4 6x x 4) 3 12x x⋅

5) 8 3y y y⋅ ⋅ 6) 2 13y y y⋅ ⋅

7) 2 3 4z z z z⋅ ⋅ ⋅ 8) 9 4 4 6z z z z⋅ ⋅ ⋅

9) ⋅ ⋅ ⋅2 3 4y y z z 10) 7 3 9y y z z⋅ ⋅ ⋅

11) 5 2aabb c c 12) 3 2 5 6a ab b cc

13) ( )( )2 3 4 2 3 4p q t t q p 14) ( )( )4 6 5 7p qt t q p

15) 4 8 3 25w w y y y 16) 4 73wwwy yyy−

17) ( )( )− −22 3x x 18) ( )( )2 54 5x x−

19) ( )( )( )3 45 2y y y− − − 20) ( )( ) ( )3 88 6y y y− −

21) ( )5

2a 22) ( )3

6a

23) ( )3

12n 24) ( )12

4n

25) ( )7

6y 26) ( )8

9y

27) ( )10

10b 28) ( )10

100b

29) ( )8

8z 30) ( )12

12z

31) ( )3

2 5a b 32) ( )5

4 3a b

33) ( )4

2 4x yz 34) ( )3

3 6xy z


32

35) ( )6

2 8 5m n p q 36) ( )9

4 7 3m np q

37) ( )2

4 102ab c 38) ( )3

3 124a bc

39) ( )3

3 23x yz− 40) ( )4

5 32x y z−

41) ( )2

7 5 84a b c d− 42) ( )3

2 95ab cd−

43)

321

2x y

44)

241

5xy

45)

43 21

3ab c

−

46)

56 51

2a bc

−

47)

22 72

3m n

48)

34 24

5m n

−

49)

34 55

2p q

−

50)

48 132

3p q

−

51) ( )2

5 20.1a b 52) ( )3

20.1a b

53) ( )3

80.2xy z 54) ( )2

90.2x yz

55) ( )3

5 110.1y zw− 56) ( )4

2 80.3yz w−


33

57) ( )2

8 15 210.4a b c− 58) ( )3

12 15 300.5a b c−

59) ( )3

9 20 120.01x y z− 60) ( )4

7 11 80.02x y z−

61) ( ) ( )− −2 3

3 2x x 62) ( ) ( )3 2

4 3x x− −

63) ( ) ( ) ( )2 2 3

3 2a a a a− − 64) ( ) ( ) ( )2 32 2 2 2a a a a− − −

65) ( ) ( )2 3

2 4 3x yz x xyz⋅ ⋅ 66) ( ) ( )3 2

2 3 2 42x z x y z y⋅ −

67) ( ) ( ) ( )2 32 32 3 2ab a b− 68) ( ) ( ) ( )

3 22 2 42 2 3a b a a b−

69) ( ) ( )3 2

2 4 33 2yz y z yz− − 70) ( ) ( ) ( )2 3 4

2 2 2 3 22y z y z y z− − − −

2.6 Dividing Algebraic Expressions

34

2.6 Dividing Algebraic Expressions Simplify the following. Assume all variables are nonzero.

1) 10

8

w

w 2)

21

11

k

k

3) 17

7

a

a 4)

21

14

z

z

5) 43

43

b

b 6)

52

52

t

t

7) 5 12

3 6

x y

x y

8) 9 15

4 11

a b

a b

9) 4 2 7

2

m n p

mnp 10)

12 9 7

10 8 6

k c d

k c d

11) 3 10 4

6 2

8

2

a b c

ab c 12)

12 8 2

8 4

81

9

x y z

x y z

−

13) 4 7 15

5 15

25

5

g h k

gh k− 14)

14 27 11

9 27 2

36

9

m n p

m n p

15) 5

9

b

b 16)

2

11

c

c

17) 12

20

m

m 18)

16

22

n

n

19) 4

18 3

x y

x y 20)

15

5 30

ab

a b

21) 3 9

7 2 12

16

2

a bc

a b c 22)

5 13 10

6 20 15

45

5

x y z

x y z

−

23) 6 10 5

6 22 25

4

36

m n p

m n p 24)

16 8 4

16 16 16

12

48

p q r

p q r−


35

25) 4 11 6

16 20 10

15

12

x y z

x y z− 26)

9 4 16

10 8 21

8

20

a b c

a b c

27) 4 3 6

2 9 6

18

15

a b c

a b c 28)

7 6 9

12 2 9

21

12

x y z

x y z

29) 10 2 17

10 10 10

40

24

p q r

p q r

− 30)

12 12 12

21 2 12

55

35

m n p

m n p−

31) 03 32) 08

33)

03

4

−

34)

05

17

−

35) 0x 36) 0y

37) ( )

0xy 38) ( )

02 3x y

39) ( )0

2xy 40) ( )0

2 33x y−

41) 0xy 42) ( )0

2 3x y

43) ( )0

2 xy 44) ( )0

2 33 x y−

45) 02xy 46) ( )0

2 33x y−

47) ( )0

2 32 3xy x y− 48) ( )0

2 32 3xy x y−

49) ( ) ( )00 2 32 3xy x y− 50) ( ) ( )

00 2 32 3xy x y−

51) ( )0

0 2 32 3xy x y− 52) ( )0

0 2 32 3x y x y−

53) 24− 54) 42−

55) 32− 56) 23−

57) 15− 58) 51−

59) 3x− 60) 9m−


36

61) 22w − 62) 65p−

63) 2

1

3− 64)

3

1

2−

65) 4

1

2− 66)

2

1

4−

67) 3

1

x− 68)

10

1

y −

69) 11

1

a− 70)

12

1

k−

71)

51

2

−

72)

21

5

−

73)

31

4

−

74)

41

3

−

75)

21

2

−

−

76)

21

3

−

−

77)

31

2

−

−

78)

31

3

−

−

79)

41

2

−

−

80)

41

3

−

−

81)

51

2

−

−

82)

51

3

−

−

83) ( )2

3−

− 84) ( )2

2−

−

85) ( )3

3−

− 86) ( )3

2−

−

87) ( )4

3−

− 88) ( )4

2−

−

89) ( )5

3−

− 90) ( )5

2−

−


37

91)

12

3

−

92)

13

2

−

93)

12

x

−

94)

1

2

x−

95)

1

3

y−

96)

13

y

−

97)

1x

y

−

98)

1y

x

−

99)

12

3

x

y

−

100)

13

2

y

x

−

101) 2

3

4

5

−

−

102) 2

3

5

4

−

−

103) 2

3

a

b

−

−

104) 2

3

b

a

−

−

105) 2 2

3 3

4

5

b

a

− −

− − 106)

2 2

3 3

5

4

a

b

− −

− −

107) 2

3

4

5− 108)

2

3

5

4−

109) 2

3

4

5

−

110) 2

3

5

4

−

111)

22

3

a b

c

112)

35

4

x

yz

113)

42

3

2

3

x y

z

114)

33

6

5

4

a b

c


38

115)

22 0 1

0 2 3

4

3

a b c

a b c

−

−

116)

34 3 0

2 0 1

3

2

x y z

x y z

−

− −

117)

34 5 2

0 1 3

5

2

x y z

x y z

−− −

−

118)

20 2 4 0

1 2 4 5

6

3

a b c

a b c

−−

− −

119)

35 3 1

3 3 0 0

2

5

a b c

a b cd e

−− −

−

−

120) ( )

41 2 6 5

03 6 5

2

2

x y z

x y z ts

−− − − −

− −

−


39

121) ( )

( )

22 1

22

2 2

2

x x

x

−− −

122) ( )

( )

33 1

31 3

3 3

3

x x

x

− −

−− −

123) ( ) ( )

( )

1 22 1

21 2

2 2

2

x x

x

− −− −

−

124) ( ) ( )

( )

1 33 1

31 3

3 3

3

x x

x

−− −

−−

125) ( ) ( )

( )

2 22 1 2

22 2 2

2 2

2

xy x y

x y

−− − −

−− − −

− 126)

( ) ( )

( )

1 32 3 3 1 1 1

33 1

3 3

3

x y x y

x y

−− − − − − −

−−


40

127) ( ) ( )

( )

2 21 2 1 2

22 2 2 1

2 2

2 2

xy x y

x y xy

−− − −

−− − −

−

−

128) ( ) ( )

( )

1 31 3 3 1 1

33 3 3 1

3 3

3 3

x y xy

x y x y

− −− − − −

−− − −

−

−

129) ( ) ( )

( ) ( )

2 21 1 2 2 2

1 22 2 2 1

2 2

2 2

x y x y

x y x y

−− − −

− −− − −

−

−

130) ( ) ( )

( ) ( )

1 33 3 1 1

1 31 3 3 3

3 3

3 3

x y xy

x y x y

− −− − −

−− − −

−

2.7 English Phrases and Algebraic Expressions

41

2.7 English Phrases and Algebraic Expressions Translate the following algebraic expressions to English. Answers may vary.

1) + 5a 2) 21 y+

3) − 9b 4) 8 n−

5) −6x 6) 4t

7) 14

y 8)

32

x

9) 2n

10) 3g

11) 2n 12) 3g

13) 2n 14) 3g

15) +9 7y 16) 4 3n+

17) 4 5x − 18) 20 5a−

19) 2 4a + 20) 21 y−

21) ( )2

2a + 22) ( )2

1 y−

23) −8( 1)x 24) ( )10 3a +


42

25) 27

2p + 26)

1

5

m −

27) 1

a 28)

3

x

29) 5

y 30)

2

w

31) 1

2x 32)

5

3y

33) 1

2x + 34)

5

3 y−

35) 2

1

x 36)

3

5

y

37) 1 1

x y+ 38)

1 1

x y−

39) 2 3

x y+ 40)

5 2

x y−


43

Translate the following English phrases to algebraic expressions. There is only one answer but you may use any variable (the answers will be given in terms of x (and y, if there is a second number). 41) The sum of a number and 12 42) The difference of a number and 8

43) The product of a number and 25 44) The quotient of a number and 20

45) The square of a number 46) The cube of a number

47) A number raised to the 4th power 48) The 5

th power of a number

49) The reciprocal of a number 50) The opposite of a number

51) A number decreased by 7

52) A number increased by 11

53) A number divided by 6 54) A number multiplied by 2−

55) 3 added to a number 56) 18 subtracted from a number

57) Twice a number

58) A number halved

59) Four times a number 60) A number quartered

61) The sum of five times a number and 9 62) The difference of 10 and three times a number

63) 16 subtracted from twice a number 64) 25 added to six times a number

65) The square of a number increased by 3 66) 100 decreased by the cube of a number

67) Twice a number less 5 68) 5 less than twice a number

69) The square of the sum of a number and 1

70) The square of the difference of 1 and number


44

71) The cube of the quantity 4 less than a number

72) The cube of the quantity 4 less a number

73) The sum of the squares of two numbers 74) The difference of the squares of two numbers

75) The difference of the cubes of two numbers 76) The sum of the cubes of two numbers

77) The square of the sum of two numbers 78) The square of the difference of two numbers

79) The cube of the difference of two numbers 80) The cube of the sum of two numbers

81) The product of the sum of a number and 1, and the difference of the number and 2

82) The product of the difference of a number and 4, and the sum of the number and 7

83) The product of the sum of two times a number and 3, and the sum of three times the number and 2

84) The product of the difference of four times a number and 5, and the difference of seven times the number and 1

85) The product of the sum of twice a number and 1 and the quantity 1 less twice the number

86) The product of the difference of 4 and the square of a number and the quantity 4 more than the square of the number


45

87) The product of the sum of the square of a number and 9, and the difference of the square of the number and 9

88) The product of the difference of twice a number and 1, and the sum of twice the number and 1

89) Twice the square of the product of a number and 3

90) The product of twice the square of a number and 3

91) The quotient of the square of a number and 5

92) The square of the quotient of a number and 5

93) The square of the quotient of 13 and a number

94) The quotient of the square of 13 and a number

95) The quotient of a number and the sum of the number and 2

96) The quotient of twice a number and the difference of the number and 3

2.8 Chapter Review

46

97) The ratio of the difference of a number and 1 and three times the number

98) The ratio of the quantity 2 more than four times a number and the number

99) The ratio of the sum of a number and 5 and the difference of the number and 1

100) The ratio of the difference of 1 and twice a number and the sum of 4 and the number

2.8 Chapter Review Evaluate the following algebraic expressions for the given values of the variables.

1) 2 3 for 2, 1, 3a b c a b c+ − = − = − = − 2) for 2, 1, 3ab bc ac a b c− + = − = − =

3) 2 2 2 42 for ,

3 5x xy y x y− + = − = −

4) 2 2 1 1 for ,

2 3xy xy x y x y− + = − =

2.8 Chapter Review

47

5) ( )( ) for 0.5, 0.02a b a b a b− + = = − 6)

2 2

for 0.03, 0.1a b

a ba b

−= − = −

+

7) 2 2

for 3 and 2x y

x yx y

+= − = −

− 8) for 3, 2

x xy yx y

x xy y

− += − = −

+ +

9) 2

1 for 3

21

aa

a= −

− 10)

2 4 4 for

2 3

cc

c

−= −

+

11) 3

2

1 for 0.1

1

yy

y y

−= −

+ +

12) 3 3

2 2 for 0.3, 0.2

x yx y

x xy y

−= − = −

+ +

2.8 Chapter Review

48

13) 2 2| |

for 3, 2, 4x y x

x y zy z

− −= − = = −

− 14)

2 2

for 3, 2, 4x y x

x y zy z

− −= − = = −

−

Simplify the following algebraic expressions.

15) + − − − + −15 12 11 ( 4 ) 9 8x y x y y 16) ( ) ( ) ( )8 5 3 4 7 3 2x x y y y− − − − − − − − − −

17) − − + +2 3 2 3 2 213 5 12 7x y xy x y xy x y 18) − − + − + −

2 3 3 28 4 5 12 2 4 5x xy x xy x x

19)

− − − − +

1 1 71

6 2 8w w w 20)

2 3 7

3 5 10v v v v

− − − −

21) ( ) ( )2 21.2 0.12 1 2 0.2a a a a− − − − − − − 22) ( ) ( )2 22.3 0.23 3 3 2.3a a a a− − − − − − − +

23) − + + − − − +(6 2) 4 4(2 1) 2 5x x x 24) ( ) ( ) ( )3 7 2 8 2 6 11x x x x− − − − + − −

25) 4( 2 3 ) 7( 3 )a b c a b c+ − − − − − 26) − − − − + − +5 ( 4 3 ) 2(6 4 ) 5a a b c a b c b

27) ( ) ( )7 4 2 5 2 3 7x y x y− − − + + 28) ( ) ( )2 3 4 2 5 6 2x x y x y+ − − − +

2.8 Chapter Review

49

29) ( ) ( )1 1 1

3 6 8 34 3 4

x x− − − + − 30) ( ) ( )3 1 1

10 25 6 32 5 2

x x− − + − −

31) ( ) ( )1 1

3 3 22 4 6

aa a− + − − − − 32) ( ) ( )

1 15 2 1

3 2 3

aa a− − + − −

33) ( ) ( )0.8 0.4 0.1 0.2 0.2x x− − + + 34) ( ) ( )0.6 0.3 0.2 0.1 0.3x x− + − − −

35) ( ) ( )1.1 0.01 0.1 10 0.1 0.01y y y− − − + 36) ( ) ( )0.12 0.02 0.1 0.1 0.1 0.2y y y− − − −

37) ( )

( )

−5

23

3 4

2

a a

a

38) ( )

( )( )

22

3 2

3

6 6

a

a a−

39)

−−

− − −

−

27 4

3 4 2

8

6

x yz

x y z 40)

33 1 2

4 3 1

12

9

x y z

x y z

−−

− −

−

2.8 Chapter Review

50

41) + − −0 2 3 0 04 (2 ) ( 3 )x x y a 42) ( ) ( )

0 00 05 5 5 5y y y y− + − − −

Translate the following algebraic expressions to English. Answers may vary.

43) 8 9x + 44) 4 2x−

45) ( )5x x + 46)

1

x

x −

47) 2 1x + 48) ( )2

1x +

49) 1

3x 50)

1

3 x−

51) x− 52) 2x−

53) x 54) 1x +

55) x y+ 56) x y+

57) 2 3x x+ 58) 2 3x x⋅

2.8 Chapter Review

51

59) ( )2 3x y+ 60) ( )

23x y

Translate the following English phrases to algebraic expressions.

61) The sum of three times a number and 4 62) Three times the sum of a number and 4

63) The difference of 5 and twice a number 64) Twice the difference of 5 and a number

65) The product of six times a number and 2 66) Six times the product of a number and 2

67) The quotient of four times a number and 9 68) Four times the quotient of a number and 9

69) The square of twice a number 70) Twice the square of a number

71) The opposite of five times a number 72) Five times the opposite of a number

73) The reciprocal of twice a number 74) Twice the reciprocal of a number

75) The opposite of the absolute value of a number

76) The absolute value of the opposite of a number

77) The opposite of the square of a number

78) The square of the opposite of a number

79) The reciprocal of the square of a number 80) The square of the reciprocal of a number

81) The square of the sum of a number and 1 82) The sum of the squares of a number and 1

2.8 Chapter Review

52

83) The reciprocal of the sum of 1 and a number

84) The sum of the reciprocals of 1 and a number

85) The reciprocal of the difference of two numbers

86) The difference of the reciprocals of two numbers

87) The absolute value of the difference of two numbers

88) The difference of the absolute values of two numbers

89) The square of the difference of two numbers

90) The difference of the squares of two numbers

Translate the following English phrases to algebraic expressions and simplify.

91) The sum of a number, twice the number, and four times the number

92) The difference of the opposite of a number and six times the number

93) Three times a number, subtracted from the sum of the number and twice the number

94) Twice a number, added to the difference of the number and five times the number

95) The opposite of twice a number, added to six times the number

96) The opposite of the opposite of a number, added to the number

97) The product of a number and its square

98) The product of a number and its cube

99) The product of the square of a number and the cube of the number

100) The quotient of the cube of a number and the square of the number

3.1 Definitions and Examples

53

3 POLYNOMIAL EXPRESSIONS

3.1 Definitions and Examples Which of the following algebraic expressions is a polynomial?

For each polynomial identified, do the following:

a. Classify as monomial, binomial, trinomial, or multinomial.

b. Give the degree of each term.

c. Give the degree of the polynomial.

1) − +27 6x x

2) +

−

1

2

x

x

3) +2 3 23 4xy x y 4) 4 72a b

5) +22 3m m 6) − −

+ +3 14 5 9y y y

7) + − +2 44 7 47 25abc a b ab 8) − −

212 p p

9) −2 24w z 10) +

327 8t

3.2 Adding or Subtracting Polynomials

54

3.2 Adding or Subtracting Polynomials Add or subtract as indicated and simplify your answer. You may use either format.

1) ( ) ( )5 4 3 2 5 4 3 25 6 8 5 4 3 9 9 10x x x x x x x x x x+ − − + − + − − + + − +

2) ( ) ( )5 4 3 2 5 4 3 23 2 2 4 1 2 2 4 5 3x x x x x x x x x x− + − + − − + − + − − + −

3) ( ) ( )− + + − −3 3 23 7 5 4 5 5z z z z

4) ( ) ( )2 3 24 5 2 3 1z z z z z− + + − − −

5) ( ) ( )+ + − − + −6 5 23 4 9 6 3 5 9t t t t t

6) ( ) ( )5 4 2 6 5 33 8 2 2 1t t t t t t t− − + − − + − + −

7) ( ) ( )+ − − + +2 32 2 4 7 2 4a a a a


55

8) ( ) ( )4 3 4 3 25 3 6 6 5 2 5a a a a a a− − + − − − −

9) ( ) ( )− − − + + + −3 3 2 22 4 3 3 5 2x x x x x x

10) ( ) ( ) ( )+ + + + − − +2 27 1 7 5 4 2 2x x x x x

11) ( ) ( ) ( )− + − − − − + + −3 3 2 3 22 7 2 6 19 5 2 7x x x x x x

12) ( ) ( ) ( )3 2 2 3 22 3 9 5 6 8 6 3 2x x x x x x x+ − + − − − − − + −

13) ( ) ( )− + + − + − +2 2 2 2 2 2 23 7 6 7 11 10x y xy xy x y x y xy x y

14) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 25 2 8 10 3 7 3x y x y xy xy x y x y xy xy− + + − + − − − − +


56

15) ( ) ( )− − + − − + − −3 2 3 29 6 3 18 2 5 9ab ab a b ab ab a b

16) ( ) ( )3 2 2 3 3 2 33 7 9 4 2a ab a b ab b a ab ab b− + − + − − + −

17) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2p p q pq pq p q q p q qp qp q+ − − + − − − − − −

18) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 3 2 2p p q p q q p pq p p q pq qp q− − − + − − − + − −

19) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 23 2 2 4 12 9x xy y x xy y x xy y+ + + − − − − +

20) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 29 6 2 5 4x xy y x xy y x xy y− + − + − + + +

21)

+ − + − +

2 21 3 1 7 26

2 5 4 15 3x x x x


57

22) 2 21 1 1 1 1 1

3 4 2 2 3 3x x x x

− + − + −

23) ( ) ( )2 22.8 1.1 0.8 3 2.1y y y y+ − − − −

24) ( ) ( )− − − + −2 23.6 2.4 1.2 4 3.8y y y y

Translate and then simplify.

25) The sum of 2 1, 3 4, and 5 6x x x+ − −

26) The sum of 4 2 and 6 7 increased by 9 2 x x x− − −

27) The difference of 2 27 3 and 2 4 6y y y y− + + −

28) 2 23 3 2 subtracted from 2 3y y y y+ − − −

29) 2 2 2The sum of 2 and 2 3, decreased by 4a a a a a a+ + − − − +


58

30) 2 2 23 1 subtracted from the sum of 2 4 6 and 1a a a a a a− − − − + +

31) 2 2 2The difference of 3 2 5 and 4 2 2 increased by 6 4 5x x x x x x+ − + + − +

32) 2 2 22 9 3 added to the difference of 6 5 6 and 3 3 1x x x x x x+ + − − − −

33) 2 2 23 2 6 less than the difference of 2 3 and 5 4y y y y y y− − − − + +

34) 2 2 2The difference of 5 2 2 and 3 7 less 6 3 8y y y y y y+ + − − + +

35) Twice 2 1, added to three times 4x x− −

36) The sum of three times 5 2 and four times 2x x− −

37) Two times 4 11, decreased by three times 2 1x x− −

3.3 Multiplying Polynomials

59

38) The difference of eight times 5 7 and six times 3 5x x+ −

39) 2 2Three times 1, added to twice the sum of 4 and 3 5x x x x− − − +

40) 2 2Twice 1, subtracted from three times the sum of 9 and 4x x x x+ + − −


Multiply.

1) ( )( )− −4 6 52 8x z x z 2) ( )( )2 3 3 23 5ab c a b c−

3) ( )( )( )3 2 4 23 2n m mn nm− 4) ( )( )( )2 3 4 5 34 5x y xy x y− −

5) ( )2 22 115

5 2c cd d

− −

6) 2 3 2 33 4 1

2 3 2a bc a b c abc

− − −

7) ( )( )( )2 2 20.1 0.2 0.2xyz xy z x yz 8) ( )( )( )3 2 3 2 2 30.2 0.1 0.3x y z xy z x yz

9) ( )− + −6 3 22y y y y 10) ( )24 6 2 9p p p− −

11) ( )2 3 25 3 6ab a b a b b− − 12) ( )2 3 4 2 2 47 2 3 2a b ab a b a b− − +


60

13) ( )2 3 3 2 42 5 3xy z x y y z xz− + − 14) ( )2 3 3 2 2 34 3 5 7x yz x y z x y yz xyz− + − −

15) ( )3 2112 6 30 36

6n n n n− + − 16) ( )2 23

4 8 124

y z yz z y− + −

17) 2 2 23 1 2 1

2 3 9 6a b a ab b

− + −

18) 3 2 3 32 1 5 1

15 2 3 4

s t s st st

− + −

19) ( )3 2 20.4 0.2 0.1 0.3 0.01xy x x y xy xy− + − 20) ( )2 2 3 2 20.2 0.1 0.2 0.3 0.1 2x xy x y x y y+ − − +

21) ( )( )5 7a a+ + 22) ( )( )2 6y y− +

23) ( )( )5 9x x− − 24) ( ) ( )4 8t t+ −

25) ( )( )6 6n n− + 26) ( )( )3 3z z+ −

27) ( )( )4 4y y− − 28) ( )( )5 5x x− −

29) ( )( )1 1b b+ − 30) ( )( )7 7x x− +

31) ( ) ( )2 1 3 2x x− − 32) ( )( )5 2 2 5x x+ +


61

33) ( )( )3 7 4 1a a− − 34) ( )( )6 5 2 5a a+ −

35) ( )( )9 2 8 3y y+ − 36) ( ) ( )7 4 9 10y y+ −

37) ( )( )9 5 6w w− − 38) ( )( )10 3 2w w+ +

39) ( )( )5 7 5 9a a− − 40) ( ) ( )8 5 8 1a a+ +

41) ( )( )a b a b+ − 42) ( ) ( )c d c d+ +

43) ( )( )x y x y− − 44) ( ) ( )s t s t− +

45) ( )( )2 2 3a b a b+ − 46) ( )( )3 2 4 5x y x y+ −

47) ( )( )5 3 5y z y z− − 48) ( )( )6 5 6 7a b a b− +

49) ( )( )4 9 6x y x y− − 50) ( )( )5 3 4 9n p n p− −

51) ( ) ( )− +23 2 2 5y y 52) ( ) ( )32 5 4 7m m+ −


62

53) ( )( )− + − −2 3 2 2 1x x x 54) ( )( )2 2 3a ab b+ − +

55) ( ) ( )− + +2 2a b a ab b 56) ( )( )23 3 9x x x+ − +

57) ( ) ( )− + + −1 2 3y x y x 58) ( )( )2 3 3 4 2a b c a b c+ − − −

59) ( )( ) ( )2 2a b a b a b− − + 60) ( )( )( )2 2 3x y x y x y+ − +

61) ( )( )( )2 1 3 3 2x x x− − − 62) ( )( ) ( )3 2 2 3 1y y y+ + +


63

63) 1 1 2 3

2 3 5 4x y x y

+ +

64)

1 2 2 1

4 3 3 2x y x y

− −

65) x 5 3

5 3 2 2

y x y − +

66)

2 4

6 4 3 5

x y x y + −

67) ( )( )0.2 0.1 0.1 0.2a b a b− − 68) ( ) ( )0.1 0.3 0.1 0.4a b a b+ −

69) ( )( )1.2 2 0.23a b a b+ −

70) ( )( )3 1.5 2 0.1a b a b− −

Expand the following:

71) ( )2

4n + 72) ( )2

6 y−

73) ( )+2

2x y 74) ( )2

3 2x −


64

75) ( ) 32c + 76) ( )3

4m −

77) ( )−3

3 1y 78) ( )−3

2 4t y

79)

2

2 5

x y −

80)

2

4 3

x y +

Translate and then perform the operation.

81) The product of 4 1 and 6 5x x− − 82) 22 9 multiplied by 3x x− +

83) The square of 2a − 84) The polynomial 5y + , squared


65

85) The cube of 1x + 86) The polynomial 3a − , cubed

87) Twice the square of 6y − 88) The square of twice 1x −

89) Five times the cube of 2a + 90) Three times the cube of 1 x−

91) The square of 2x + multiplied by 1x − 92) The product of 3y − and the square of

2y −

93) Twice the product of 4 and 4a a+ − 94) Three times the product of 2 and 2x x− +

3.4 Multiplying Binomials Using Special Products

66

95) Half the product of 2 and 6x x+ + 96) One-third the product of 3 and 6y y− +

97) The product of and 4x x + , added to the

product of 2 and 3x x −

98) The sum of the product of and 5y y − ,

and the product of and 4y y− +

99) The product of 3 and 3x x + , subtracted

from the product of 5 and 2 1x x −

100) The difference of the product of

2 and 3 2y y− + , and the product of

8 and 9y y −

3.4 Multiplying Binomials Using Special Product Formulas Multiply using special product formulas.

1) ( )( )− +7 5x x 2) ( )( )10 3a a+ −

3) ( ) ( )+ +3 9y y 4) ( )( )− −6 5z z

5) ( )( )2 8a a− − 6) ( )( )7 6x x+ +


67

7) ( )( )6 4z z+ − 8) ( ) ( )4 8t t+ −

9) ( )( )7 1n n− − 10) ( )( )2 9y y− −

11) ( )( )+ +2 1 4 3y y 12) ( )( )3 1 4 3z z− −

13) ( )( )5 4 2 7a a+ − 14) ( )( )6 5 3 7x x− +

15) ( )( )3 8 6 1z z− − 16) ( ) ( )3 2 5 4a a+ +

17) ( )( )2 5 8 9x x− + 18) ( )( )8 3 4 1n n− +

19) ( )( )4 9 5 6t t+ − 20) ( )( )7 3 2 5s s− +

21) ( )( )+ −5 2x y x y 22) ( )( )3 5m n m n− +

23) ( )( )− −5 3 7 4t y t y 24) ( )( )2 5 8a b a b+ −

25) ( )( )6 7 8 7n m n m− − 26) ( ) ( )4 9 6x y x y+ −


68

27) ( )( )3 5 2a b a b+ + 28) ( ) ( )6 8 3y z y z+ +

29) ( )( )2 11 3 7k k− +

30) ( )( )5 3 7 6w w− −

31) ( )( )+ +2 2 2 23 4 5 2a b a b

32) ( )( )2 2 2 22 5 3 2x y x y− −

33) ( ) ( )2 2 2 28 6p n p n− + 34) ( )( )2 2 2 25 6 4 3a b a b+ −

35) ( )( )2 2 2 26 7 2 5x y x y− − 36) ( )( )2 2 2 25 4 3z w z w+ +

37) ( )( )2 2 2 22 9 7 8u v u v+ − 38) ( )( )2 2 2 26 5 8 9p n p n− +

39) ( )( )2 2 2 24 7 8 7y z y z+ − 40) ( )( )2 2 2 29 4 7 2x z x z− +

41) ( )+2

2x 42) ( )−2

5w

43) ( )+2

6a 44) ( )−2

9z

45) ( )2

4y − 46) ( )2

7a +


69

47) ( )2

3z − 48) ( )2

8x +

49) ( )2

10t + 50) ( )2

12y −

51) ( )2

3 4x − 52) ( )2

2 5a +

53) ( )2

8 5z + 54) ( )2

4 9y −

55) ( )2

7 10a − 56) ( )2

2 7x +

57) ( )2

9 2t+ 58) ( )2

8 3w−

59) ( )2

5 11a− 60) ( )2

6 5z−

61) ( )+2

2x y 62) ( )−2

2x y

63) ( )+2

2 3a b

64) ( )2

5 7b c−

65) ( )2

4 5p q− 66) ( )2

3 4z t+


70

67) ( )2

7 6n y− 68) ( )2

8 9y w+

69) ( )2

3 11y x+ 70) ( )2

12 5a b−

71)

21 1

2 3x y

−

72)

21 1

5 6x y

−

73)

22 1

3 4a b

+

74)

23 4

2 3a b

+

75)

2

6 8

x y −

76)

22 3

5 2

x y −

77) ( )2

0.1 0.2a b+ 78) ( )2

0.3 0.4a b+

79) ( )2

3 2.4x y−

80) ( )2

5 1.2y x−

81) ( )2

2 22 3a bc+

82) ( )2

2 23 4a b c−


71

83) ( )2

2 24 5x y zw− 84) ( )2

2 22 7xy z w+

85) ( )2

2 2 2 23 4a b c d+

86) ( )2

3 3 3 35 2a b c d−

87) ( )2

2 3 36 7x y w z− 88) ( )2

3 2 38 9x y wz+

89) ( )2

2 3 55 4a b c d+ 90) ( )2

2 4 73 10ab c d−

91) ( )( )− +8 8a a 92) ( ) ( )+ −7 7y y

93) ( ) ( )3 3z z+ − 94) ( ) ( )+ −5 5x x

95) ( )( )4 4x x− + 96) ( )( )6 6a a− +

97) ( )( )9 9y y+ − 98) ( )( )10 10n n− +

99) ( )( )11 11b b− + 100) ( )( )12 12t t+ −

101) ( ) ( )− +6 9 6 9a a 102) ( )( )+ −3 2 3 2m m

103) ( )( )− +12 7 12 7x x 104) ( )( )9 5 9 5y y− +

105) ( )( )11 8 11 8y y+ − 106) ( )( )2 13 2 13w w− +


72

107) ( )( )5 6 5 6n n− +

108) ( )( )11 2 11 2c c+ −

109) ( )( )3 10 3 10g g+ − 110) ( )( )4 13 4 13r r− +

111) ( )( )+ −4 5 4 5x y x y 112) ( )( )− +11 8 11 8t w t w

113) ( )( )7 3 7 3a b a b− +

114) ( )( )8 9 8 9t z t z− +

115) ( )( )6 11 6 11n m n m+ − 116) ( ) ( )10 3 10 3x y x y+ −

117) ( )( )2 23 2 3 2x y x y+ − 118) ( )( )2 25 6 5 6a b a b− +

119) ( )( )4 3 4 36 7 6 7y r y r− + 120) ( )( )4 5 4 58 5 8 5x y x y+ −

121)

+ − 5 6 5 6

m n m n 122)

− +

2 1 2 1

3 4 3 4x y x y

123) 3 5 3 5

4 6 4 6a b a b

− +

124)

2 5 2 5

5 8 5 8

y w y w − +

125) 2 4 2 46 4 6 4

7 3 7 3

x y x y − +

126) 2 6 2 69 5 9 5

2 3 2 3a b a b

+ −

127) ( )( )1.1 0.8 1.1 0.8a b a b− + 128) ( )( )1.2 0.7 1.2 0.7a b a b+ −


73

129) ( ) ( )0.5 0.04 0.5 0.04x y x y+ −

130) ( )( )0.02 0.9 0.02 0.9x y x y− +

Translate and then perform the operation.

131) The square of the binomial 5x + 132) The square of 2 6a −

133) The product of 8 and 8y y− + 134) 7 multiplied by 7x x− +

135) The square of the sum of a number x and 4

136) The square of the difference of a number x and 9

137) The product of the sum of x and 3 and the difference of x and 3

138) The difference of x and 1, multiplied by the sum of x and 1

139) The square of the quantity 3 less than a number x

140) The square of the quantity 2 more than a number x

3.5 Dividing Polynomials

74

3.5 Dividing Polynomials Perform the division.

1) 32x

x 2)

4

2

9

3

x

x

−

3) 26

2

a b

ab

− 4)

435

5

ab

ab

5) 2 3x x

x

+ 6)

22 4

2

x x

x

−

7) 2 1a a

a

+ + 8)

24 8 2

2

b b

b

− +

9) 3 225 30 20

5

x x x

x

+ − 10)

5 3 2 4

2

49 35 63 42

7

n n n n

n

+ − −

11) −

−

3 312 6

3

ab a b

ab 12)

− +6 7 5 12

2 3

24 12 36

48

x y x y xy

x y

13) 2 4 3 3 4 2

2

64 40 72

8

m n m n m n

m n

− − 14)

4 5 3 3 3 4 2 2

2 2

36 60 2

6

w x y w x y wx y

w xy

− + −

15) ( )+ − + ÷3 28 36 20 16 4a a a a 16) ( )7 5 3 29 3 6 12 3m m m m m− − − ÷


75

17) ( )− + − + ÷3 2 2 3 230 10 15 5 5x y x y xy xy xy 18) ( )3 4 4 3 5 5 3 314 18 12 2c d c d c d c d− − ÷

19) 2

1

x

x + 20)

23

3

y

y −

21) 2

2 4

a

a + 22)

2

2

2

1

n

n −

23) 1

2

y

y

−

− 24)

5

3

x

x

+

+


76

25) ( )2 24 2 1z z÷ −

26) ( )2 26 3 2a a÷ +

27) ( ) ( )3 1 3 1n n− ÷ + 28) ( ) ( )8 3 2 1z z− ÷ +

29) − +

−

2 3 2

1

b b

b 30)

2 6 8

2

a a

a

+ +

+


77

31) 2 5 6

2

x x

x

− +

− 32)

2 2 15

3

p p

p

+ −

−

33) ( ) ( )22 9 4 4t t t− + ÷ − 34) ( ) ( )24 11 6 2y y y+ + ÷ +

35) ( ) ( )26 19 10 3 2n n n+ + ÷ + 36) ( ) ( )215 29 12 3 4x x x− + ÷ −


78

37) + −

−

23 4 7

3

w w

w 38)

− −

−

210 5 7

2 5

y y

y

39) ( ) ( )− − + ÷ −3 23 5 3 5 2x x x x 40) ( ) ( )− + − ÷ −

3 28 8 10 20 2 3x x x x

41) − + −

−

2 36 12 8 1

2 1

x x x

x 42)

224 6 25

3 1

x x

x

+ +

−


79

43) ( ) ( )− + + ÷ +2 32 5 1a a a a 44) ( ) ( )− − + − ÷ +

3 2 42 5 9 2b b b b b

45) ( ) ( )4 3 22 7 5 9 3y y y y y− + + − ÷ − 46) ( ) ( )2 32 3 1 2x x x x− + + ÷ −

47) 2 310 8 6 4

3 2

a a a

a

− − +

+ 48)

2 319 24 4 6

5 2

y y y

y

− − +

+


80

49) 32 3 1

1

x x

x

− +

− 50)

33 3

2

n n

n

+ −

+

51) ( ) ( )3 22 2 2 1y y y− − ÷ − 52) ( ) ( )3 29 15 2 3 5t t t+ + ÷ +

53) 5 2

2

1 3

1

a a a

a

− + +

+ 54)

3 5

2

4 5

2

x x x

x

+ +

+


81

55) ( ) ( )5 3 22 7 9 2 3n n n n+ − ÷ − 56) ( ) ( )2 3 5 26 4 3 2 1 3y y y y+ + + ÷ +

Translate and then perform the operation(s). Use x to denote “a number”.

57) The quotient of 5 24 and 2a a 58) 6 315 divided by 5y y−

59) 2 3 divided by 1x x− − 60) The quotient of 3 4 and 2n n+ +


82

61) The quotient of a number and the sum of the number and 3

62) The quotient of a number and the difference of the number and 2

63) Twice a number, divided by the sum of the number and 1

64) Three times a number, divided by the difference of the number and 2


83

65) The sum of a number and 4, divided by the sum of the number and 2

66) The sum of a number and 1, divided by the difference of the number and 4

67) The difference of a number and 2, divided by the sum of the number and 1

68) The difference of a number and 5, divided by the difference of the number and 6


84

69) The quotient of the sum of a number and 1 and the difference of the number and 2

70) The quotient of the difference of a number and 3 and the sum of the number and 4

71) The quotient of twice a number and the sum of twice the number and 1

72) The quotient of three times a number and the difference of three times the number and 2


85

73) The quotient of twice the square of a number and the sum of twice the square of the number and 1

74) The quotient of four times the square of a number and the difference of twice the square of the number and 1

75) Twice the sum of a number and 1, divided by the sum of twice the number and 1

76) Three times the sum of a number and 1, divided by the difference of three times the number and 1

3.6 Chapter Review

86

77) Four times the difference of a number and 1, divided by the sum of four times the number and 1

78) Five times the difference of a number and 1, divided by the difference of five times the number and 1

3.6 Chapter Review For each of the following polynomials, determine:

a. the degree of each term b. the degree of the polynomial

1) 4x + 2) 2 5y −

3) 23 4 1x x− − 4) 26 4y y− −

5) 31 a− 6) 3 2 5 4b b b− + −

7) abc 8) 2 3x yz

3.6 Chapter Review

87

9) 2 22a ab b+ + 10) 2 22x xy y− −

11) − + +3 2 25 3 30x y xy 12) 3 2 2 312 4ab a b a b− −

Perform the operation(s) and simplify.

13) Add: ( ) ( )+ − + + − + −3 2 3 215 8 9 12 7 10 11 14x x x x x x

14) Add ( ) ( )3 2 34 5 3 7 to 2 6 3a a a a a− + − − + − .

15) Subtract: ( ) ( )− + + − − + + −4 3 2 38 9 10 6 15 3 12a a a a a a

16) Subtract 4 3 4 3 22 9 6 from 8 6 5 4 6x x x x x x x− + − − − + + + .

17) Subtract + − + −4 3 2(6 5 4 3)x x x x from the sum of − + +

4 3 2(5 2 3 6 )x x x x and

− + −4 2(7 3 8 3)x x x .

3.6 Chapter Review

88

18) Add 4 3 2 4 3 2 4 35 4 2 to the difference of 2 6 5 1 of 3 2 3 4x x x x x x x x x x x− + − − − + − − + − + + .

Multiply or expand:

19) ( )( )3 84 5x x− 20) ( )( )3 3 22 3ab a b−

21) − + − +2 4 3 23 (7 3 4 2)x x x x x 22) ( )2 2 2 3 3 42 5 4 7 1a b ab a b a b− − + +

23) ( )( )+ − + −22 3 8 7 2y y y 24) + − −

2 2(4 3 2)(3 5)x x x

25) ( )3

23x y 26) ( )4

2 45a b c−

27) ( )−3

3 4a b 28) ( )3

2 3x y+

29) ( )( )( )1 3 2x x x− + − 30) ( )( )( )4 2 5a a a− − −

3.6 Chapter Review

89

Use special products to multiply:

31) ( )( )− +8 5x x 32) ( )( )6 9a a+ −

33) ( )( )4 7b b− − 34) ( ) ( )5 8y y+ +

35) ( )( )− +9 9w w 36) ( )( )8 8x x− +

37) ( )( )4 4y y− + 38) ( )( )7 7w w+ −

39) ( )+2

4z 40) ( )2

6a +

41) ( )2

10x − 42) ( )2

12y −

43) ( )( )2 5 3 7a a− + 44) ( ) ( )3 8 4 3a a+ −

45) ( )( )5 2 2 5x x− − 46) ( )( )6 5 5 6x x+ +

47) ( )( )3 2 3 2y y+ − 48) ( )( )5 7 5 7y y− +

49) ( )( )8 9 8 9w w− + 50) ( )( )12 11 12 11w w+ −

51) ( )2

4 5n + 52) ( )2

7 9n −

53) ( )2

6 4x− 54) ( )2

3 10x+

3.6 Chapter Review

90

55) − +(5 4 )(3 2 )a b a b 56) ( )( )2 3 6a b a b+ −

57) ( )( )4 5 3 4x y x y− − 58) ( )( )6 7 6 5x y x y+ +

59) − +2 2( 2 )( 2 )x y x y 60) ( )( )2 22 5 2 5x y x y+ −

61) ( )( )2 2 2 23 7 3 7a b a b+ − 62) ( ) ( )2 2 2 24 9 4 9a b a b− +

63) 2(2 3 )a b+ 64) ( )2

8 5a b+

65) ( )−2

5 4x y 66) ( )2

2 7x y−

67)

+ −

1 1 1 1

2 3 2 3x y x y

68)

+ − 4 5 4 5

a b a b

69) ( )( )0.5 0.4 0.5 0.4a b a b− + 70) ( )( )1.1 1.3 1.1 1.3a b a b+ −

Divide:

71) 3 24 6 8

2

x x x

x

+ − 72)

3 215 10 20 5

5

x x x

x

− + −

−

73) ( )2 3 4 2 24 20 2a b ab a b ab− − ÷ 74) ( )6 4 2 3 4 5 2 324 30 12 6 6a b a b a b a b+ − + ÷

3.6 Chapter Review

91

75) − + −3 2(6 23 24 10)x x x ÷ −(2 5)x 76) ( ) ( )+ + + ÷ +

3 29 3 13 20 3 2y y y y

77) 3 28 16 16 5

2 3

a a a

a

− + +

− 78)

3 215 19 40 12

5 2

x x x

x

− − −

+

79) 2 39 4 4 4

2 1

y y y

y

− + −

− 80)

3 24 5 6 13

2 3

a a a

a

+ + +

+

3.6 Chapter Review

92

Translate and then perform the operation(s). Use x to denote “a number”.

81) The sum of 23 4 5x x− − and 22 7 6x x− + −

82) 2 24 6 6 added to 5 8 4x x x x− − − + −

83) The difference of 22 8 7x x+ + and 22 3 7x x− + −

84) 2 24 5 subtracted from 9 6x x x x+ + − +

85) The product of 4 8 and 6 2x x− + 86) 5 1 multiplied by 9 5x x− −

87) The square of 6 5x − 88) The cube of 2x −

89) The quotient of 23 2 1 and 4x x x+ + − 90) 2 5 divided by 2x x− −

3.6 Chapter Review

93

91) The sum of twice a number and 7, added to the difference of three times the number and 5

92) The difference of six times a number and 3, subtracted from the sum of the number and 12

93) The sum of five times a number and 1, multiplied by the difference of twice the number and 3

94) The product of the sum of twice a number and 5 and the difference of twice the number and 5

95) The quotient of the sum of a number and 4 and the difference of the number and 2

3.6 Chapter Review

94

96) The difference of a twice a number and 1, divided by the sum of the number and 1

97) The square of the sum of three times a number and 2

98) The square of the difference of four times a number and 5

99) The sum of the product of a number and the quantity 1 more than the number, and the product of the number and the quantity 3 less than twice the number

100) The difference of the product of a number and the quantity 3 less than the number, and the product of the number and the quantity 2 more than three times the number

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1 THE REAL NUMBERS