2 Ambiente Spazio affine coordinate omogenee Matrici
traslazione, scala, rotazione, shear prodotto matrice vettore
colonna (il punto)
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3 Trasformazioni affini rappresentate con matrici pi
trasformazioni possono essere combinate moltiplicando le matrici
tra loro, creando una sola trasformazione una trasformazione si
ottiene in generale combinando trasformazioni lineari (rotazioni,
scala e shear) seguite da una traslazione
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4 Lo spazio affine lo spazio pu essere orientato in due modi:
mano destra: avvolgete la mano allasse z e puntate il pollice verso
di voi, x viene a destra e y va verso lalto mano sinistra:
avvolgete la mano allasse z e puntate il pollice verso di voi, x
viene a sinistra e y va verso lalto questo definisce il world
coordinate system in cui sono definiti gli oggetti
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5 Definizione degli oggetti gli oggetti possono essere definiti
in un proprio sistema di riferimento locale: i vertici delloggetto
sono definiti rispetto a un orientamento proprio e naturale un
oggetto complesso pu essere decomposto in elementi pi semplici col
proprio riferimento locale e in seguito assemblato aggragando
oggetti elementari un oggetto pu essere istanziato pi volte per
assemblare istanziare un oggetto si applicano le trasformazioni
affini, che cambiano il riferimento locale
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6 Trasformare gli oggetti i vertici delloggetto vengono
trasformati denotiamo i vertici (punti) come vettore colonna V R, D
e S sono rotazione, traslazione e scala il punto trasformato si
denota: V=V+D traslazione, D un vettore di traslazione V=SV scala,
S una matrice di scala V=RV rotazione, R una matrice di
rotazione
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7 Richiami di geometria affine Spazio vettoriale lineare:
operazioni di somma tra vettori Campo scalare e operazioni prodotto
vettore x scalare Spazio affine: addizione vettore - punto;
loperazione di Sottrazione punto-punto produce un vettore
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10 Matrici
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11 Coordinate omogenee Spazio delle classi di equivalenza: ogni
punto in coordinate carteziane 3D corrisponde a infiniti punti
nello spazio omogeneo 4D che differiscono solo per un fattore
moltiplicativo w: Il passaggio tra lo spazio omogeneo e lo spazio
3D: solitamente si sceglie w=1
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12 Traslazione, Rotazione e Scala espresse come trasformazioni
nello spazio di coordinate omogenee 4D come prodotto tra matrici
coord. omogenee coord. cartesiane
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13 Scala coord. omogenee coord. cartesiane
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14 (x,y) (x,y) (x,y) (x,y) x= cos y= sin y= sin( cos sin sin
cos x sin y cos x= cos( cos cos sin sin x cos y sin La rotazione
attorno a z
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15 Matrici di rotazione occorre specificare un asse di
rotazione: attorno a x:
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16 coord. omogenee coord. cartesiane
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17 Trasformazioni inverse Denotiamo le inverse come: T -1, S
-1, R -1. La traslazione inversa si ottiene negando i coefficienti
di traslazione La scala inversa si ottiene prendendo il reciproco
dei coefficienti La rotazione inversa si ottiene negando langolo di
rotazione.
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18 Composizione di trasformazioni Si possono applicare
trasformazioni in successione, moltiplicando in ordine opportuno le
matrici. V=M 2 M 1 V = M 2 (M 1 V) =M 2 V la trasf. M 1 viene
applicata per prima! ricordiamo che il prodotto di rotazioni non
commutativo: R 2 R 1 R 1 R 2
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19 Rotazione attorno a un punto e parallela a un asse traslare
loggetto nellorigine, i coefficienti della traslazione T sono
riferiti al punto p ruotare attorno allorigine di un angolo
traslare inversamente nel punto p M=T -1 RT
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20 combinando le tre trasformazioni in ununica matrice:
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21 Rotazione attorno a un punto e a un asse generico: In
generale una trasformazione composta organizzata:
traslazionerotazione
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22 Cambiamento di riferimento Le trasf. si possono considerare
applicate agli oggetti (punti in un s.d.r.) o come cambiamento di
riferimento In questo caso si esprimono i punti in un nuovo s.d.r.;
es. traslazione:
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23 Vettori valgono le propriet dello spazio affine versori: i,
j, k sono i vettori di lunghezzza unitaria che individuano gli assi
cartesiani, sono ortogonali, e formano una terna di vettori
ortonormali, una base dello spazio cartesiano
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24 Vettore normale e prodotto vettore il prodotto vettore
(cross product) si pu esprimere con i versori (ricordiamo che la
somma di due vettori un vettore):
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25 Vettore normale il risultato del prodotto vettore d il
vettore normale al piano individuato dai due vettori il verso
coerente con lorientamento scelto (mano destra: indice e medio
diretti come i due vettori, pollice come la normale)
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26 Prodotto scalare X=V.W =v 1 w 1 +v 2 w 2 +v 3 w 3 uno
scalare se i due vettori formano un angolo , la differenza si pu
esprimere come:
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27 Proiezione di un vettore su un altro il prodotto scalare
permette di scrivere la proiezione di un vettore su un altro; sia V
unitario, sia W il vettore dato, la sua proiezione X ha modulo: V W
X
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28 Propriet del segno se V.W > 0 langolo < 90 se V.W = 0
langolo = 90 se V.W 90 il prodotto scalare si pu quindi usare per
valutare lorientamento
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29 Parametrizzare le rotazioni
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30 Problema 1: gimbal lock blocco del giroscopio esprimiamo le
rotazioni con gli angoli di Eulero, tre angoli di rotazione attorno
agli assi coordinati (si pensi a un velivolo, yaw, pitch, roll)
implementiamo gli angoli di Eulero con le matrici appena
esaminate
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31 ricordiamo che le rotazioni non sono commutative! eseguiamo
una rotazione di yaw di 90 eseguiamo una rotazione di pitch o roll
di 90 cosa succede? abbiamo applicato la sequenza di rotazioni
R(0,0,0),... R( t,0,0),..., R( ,0,0) con 0