1

1 UVOD

Fizika se bavi proučavanjem osobina materije i njenih promena. Postoje dva oblika

materije: supstanca i fizičko polje. Supstanca je zgusnuti oblik materije drugim rečima

to je sve ono od čega se sastoje tela. Fizičko polje je oblik materije koji prenosi

interakciju sa jednog tela na drugo1. Materija se kreće i menja. Primeri ovih procesa

su: povećanje zapremine pri zagrevanju, pretvaranje tečnosti u gas, vazdušne i morske

struje, kosmičko zračenje, izbijanje elektrona sa površine materijala elektromagnetnim

talasima itd. Materija i njene promene se opisuju fizičkim veličinama. Primera radi

masa je fizička veličina koja predstavlja meru inertnosti tela.

Ustanovljeno je da se prirodne pojave i procesi odvijaju na isti odnosno približno isti

način pri istim odnosno približno istim uslovima. Relacija između fizičkih veličina koje

opisuju pojavu i uslove pri kojima se ona odvija predstavlja fizički zakon. Zakonitost se

utvrđuje na osnovu rezultata posmatranja i merenja. Ustanovljena zakonitost služi za

predviđanje ponašanja sistema u sličnim uslovima. Na primer, jedan od osnovnih

zakona dinamike poznat kao II Njutnov zakon glasi – ubrzanje koje telo dobija

delovanjem spoljašnje sile srazmerno je sili a obrnuto srazmerno masi tela. Ovaj zakon

se, kao i ostale fizičke zakonitosti, može prikazati kvantitativno formulom.

Matematička formulacija II Njutnovog zakona, koja se odnosi na intenzitete, ima oblik:

𝑎 =

𝐹

𝑚 , (1.1)

u kom 𝑎 predstavlja ubrzanje, 𝐹 silu a 𝑚 masu.

Većina fizičkih zakona važi samo pri određenim uslovima. Prethodno pomenuti II

Njutnov zakon važi pri brzinama mnogo manjim od brzine svetlosti. Primer opšteg

zakona je zakon održanja energije. Shodno ovom zakonu ukupna energija nekog

1 Fizičko polje je uvedeno da bi se objasnilo kako se interakcije prenosi bez direktnog međusobnog kontakta

tela.

2

sistema je konstantna odnosno ne može se menjati ali se može se pretvarati iz jednog

oblika energije u drugi.

Među fizičkim veličinama postoje relacije te je stoga potrebno, nezavisno od ostalih,

definisati samo mali broj fizičkih veličina. Ove fizičke veličine se nazivaju osnovnim jer

se preko njih mogu definisati sve ostale koje stoga nazivamo izvedenim. Dogovorom je

izabrano sedam osnovnih fizičkih veličina: dužina, masa, vreme, temperatura, jačina

električne struje, jačina svetlosti i količina supstance. One čine okosnicu

Internacionalnog Sistema Jedinica (Système International d'Unités – skraćeno SI)

ustanovljenog na jedanaestom zasedanju Generalne Konferencije za Tegove i Mere

1960. godine. Pored osnovnih i izvedenih fizičkih jedinica u SI sistemu postoje i dve

dopunske jedinice i to radijan (rad)2 kao jedinica mere za ugao u ravni i sterradijan

(sr)3 kao jedinica mere za prostorni ugao.

Tabela 1.1 Osnovne fizičke veličine i jedinice SI sistema

fizička veličina oznaka fizičke

veličine

naziv

jedinice

oznaka

jedinice

dužina 𝑙 metar m

masa 𝑚 kilogram kg

vreme 𝑡 sekunda s

temperatura 𝑇 kelvin K

jačina električne struje 𝐼 amper A

Jačina svetlosti 𝐽 kandela cd

količina supstance 𝑛 mol mol

2 Centralni ugao kruga koji na kružnici odseca luk čija je dužina jednaka poluprečniku kruga je jedinica mere ugla u ravni i iznosi 1 rad. 3 Prostorni ugao se definiše tako što se na sferi populpečnika 𝑟 odabere površina 𝑆. Deo prostora koji ograničavaju izvodnice koje polaze iz centra sfere i obilaze konturu površine 𝑆 predstavlja prostorni ugao. Mera prostornog ugla je količnik površine 𝑆 i kvardata poluprečnika sfere. Jedinični prostorni ugao (ugao od 1 sr ) na proizvoljnoj sferi odseca površinu jednaku kvadratu poluprečnika sfere.

3

Tabela 1.2 Prefiksi SI sistema

Naziv

prefiksa

oznaka

prefiksa

Numerička

vrednost

prefiksa

Naziv

prefiksa

oznaka

prefiksa

Numerička

vrednost

prefiksa

deci d 10−1 deka da 101

centi c 10−2 hekto h 102

mili m 10−3 kilo k 103

mikro μ 10−6 mega M 106

nano n 10−9 giga G 109

piko p 10−12 tera T 1012

fempto f 10−15 peta P 1015

ato a 10−18 eksa E 1018

Fizika proučava procese u prirodi kako kvalitativno tako i kvantitativno.

Eksperimentalno merenje ima važnu ulogu u opisivanju procesa bilo da su rezultati

merenja polazna osnova za utvrđivanje zakonitosti bilo da predstavljaju potvrdu

teorijskih predviđanja. Merenje fizičkih veličina u osnovi predstavlja postupak

kvantitativnog upoređivanja fizičkih veličina iste vrste. Da bi se rezultati merenja mogli

međusobno porediti potrebno je definisati jedinicu mere. Rezultat merenja je brojna

vrednost koja pokazuje koliko puta se jedinica mere sadrži u veličini koju merimo.

Rezultat merenja se uvek iskazuje zajedno sa jedinicom mere koja se piše iza brojne

vrednosti. U tabeli 1.1 su date jedinice mere za osnovne fizičke veličine. Jedinice mere

za izvedene fizičke veličine dobijaju se polazeci od relacija koje povezuju izvedenu

fizičku veličinu sa osnovnim veličinama. Na primer, jedinica za brzinu (v) u SI sistemu je

metar u sekundi (m

s) shodno relaciji:

4

v=𝑠

𝑡 , (1.2)

gde je 𝑠 pređeni put a 𝑡 vreme. Izvedene jedinice često imaj naziv koji je nezavisan od

naziva osnovnih jedinica preko kojih su izražene. Primera radi jedinica za silu u SI

sistemu je njutn (N) koji je sa osnovnim jedinicama povezan relacijom:

N = kgm

s2 . (1.3)

U cilju jednostavnijeg prikazivanja brojnih vrednosti fizičkih veličina uvedene su njihove

manje ili veće jedinice koje predstavljaju umnoške jedinica SI sistema. Ovi tzv. prefiksi

se mogu primenjivati na sve jedinice kako osnovne tako izvedene. U tabeli 1.2 dati su

prefiksi, simboli i numeričke vrednosti prefiksa.

1.1 Skalari i vektori

Fizičke veličine potpuno određene brojnom vrednošću i jedinicom nazivaju se skalarne

veličine, skraćeno skalari. U skalarne veličine spadaju; masa, vreme, dužina

temperatura, površina, zapremina, energija, rad, itd.

Veličine, koje nisu potpuno određene brojnom vrednošću i jedinicom, kod kojih je

potrebno znati pravac i smer nazivaju se vektorske veličine, skraćeno vektori. Takve

veličine su: brzina, ubrzanje, sila, impuls itd. Vektorske veličine se obeležavaju

horizontalnom strelicom iznad oznake veličine, kao primer je navedena oznaka za

vektor ubrzanja . Ukoliko je kod vektorske veličine izostavljena strelica, npr. 𝑎, oznaka

podrazumeva intenzitet vektora koji se još označava i na sledeći način ||.

Vektorske veličine su jednake ako imaju paralelne pravce, jednake intenzitete i isti

smer. Dva vektora koji imaju iste intenzitete, paralelne pravce i suprotne smerove

nazivamo suprotnim vektorima i označavamo sa i - 𝑎 . Takvi su vektori sila akcije i

reakcije o kojima će još biti reči pri definiciji pojma sile.

Matematičke operacije sa vektorskim veličinama razlikuju se od operacija sa skalarima.

Vektori se sabiraju tako što se na kraj prvog vektora u vektorskom zbiru nadovezuje

početak drugog. Rezultat sabiranja je vektor čiji je početak na početku prvog a kraj na

kraju drugog vektora u vektorskom zbiru. Pri sabiranju više od dva vektora koristi se isti

5

princip nadovezivanja. Rezultantni vektor počinje na početku prvog vektora u zbiru a

završava na kraju poslednjeg vektora u zbiru.

Oduzimanje vektora se svodi na

sabiranje ako se ima u vidu definicija

suprotnog vektora:

− = + (−). (1.4)

Grafički prikaz sabiranja i oduzimanja

vektora dat je na slici 1.1.

Rezultat množenja vektora sklarom je vektor istog pravca i smera čiji je intenzitet

pomnožen skalarnom vrednošću. Vektori pre i posle množenja skalarnom veličinom

mogu imati različitu prirodu. Primera radi prema II Njutnovom zakonu sila je jednaka

proizvodu mase i ubrzanja, što matematički zapisano:

= 𝑚 , (1.5)

predstavlja množenje vektora skalarnom veličinom pri čemu je rezultat vektor druge

prirode (vektorska veličina sa drugom jedinicom).

Pored množenja vektora skalarom postoje još i skalarni i vektorski proizvod vektora.

Skalarni proizvod se označava tačkom između vektora koji se množe. Skalarni proizvod

dva vektora je skalarna veličina jednaka proizvodu intenziteta vektora i kosinusa ugla

koji zaklapaju vektori:

∙ = |||| cos ∡( , ) . (1.6)

Primera radi, rad predstavlja skalarni proizvod sile i pređenog puta. Ukoliko je duž

pravolinijskog puta 𝑠 delovala konstantna sila izvršeni rad jednak je:

𝐴 = · 𝑠 . (1.7)

Vektorsk proizvod se obeležava oznakom „×” između vektora koji se vektorski množe.

Vektorski proizvod dva vektora × je vektor 𝑐 koji je normalan na ravan u kojoj leže

oba vektora vektorskog proizvoda kao što je prikazano na slici 1.2. Smer vektorskog

Slika 1.1 Sabiranje i oduzimanje vektora

6

proizvoda definiše se pravilom koje je poznato kao pravilo desnog zavrtnja ili desne

ruke. Prsti desne ruke se orijentišu od prvog

vektora u vektorskom proizvodu ka drugom

vektoru, i to najkraćim putem. Ispružen palac

desne ruke pokazuje pravac vektorskog

proizvoda. Intenzitet vektorskog proizvoda

jednak je proizvodu intenziteta dva vektora i

sinusa ugla koji zaklapaju vektori:

|𝑐| = |||| sin ∡( , ). (1.8)

Primera radi sila koja deluje na naelektrisanu česticu koja se kreće brzinom v kroz

homogeno magnetno polje indukcije definisana je vektorskim proizvodom:

𝐹𝐿 = 𝑞v × 𝐵 , (1.9)

gde je 𝑞 naelektrisanje čestice.

Pri rešavanju pojedinih problema potrebno je umesto datog vektora posmatrati

njegove komponente. Postupak određivanja tih komponenata naziva se razlaganje

vektora. Razlaganje se svodi na konstrukciju

paralelograma čija je dijagonala dati vektor što

generalno ima bezbroj rešenja. Stoga se unapred

zadaju pravci komponenata. Na slici 1.3 je

prikazano razlaganje vektora na komponenta čiji

su pravci unapred zadati tako da međusodno

zaklapaju ugao od 90°.

1.2 Sila

Objekti u prirodi međusobno deluju jedni na druge. Usled međusobnog dejstva dolazi

do promene u načinu kretanja tela ili pak dolazi do njihove deformacije. Međudejstvo

se javlja pri direktnom kontaktu (primer sudar dva tela) ili pak dejstvom na daljinu

(kao pri dejstvu magneta na predmete od gvožđa). Mera uzajamnog delovanja je sila.

Sila je vektorska veličina.

Slika 1.3 Razlaganje vektora

Slika 1.2 Vektorski proizvod

7

Za međudejstvo tela koja se kreću brzinama mnogo manjim od brzine svetlosti i

ukoliko su mase tela mnogo veće od masa atoma važe Njutnovi zakoni dinamike.

I Njutnov zakon

Telo zadržava stanje mirovanja ili ravnomernog pravolinijskog kretanja sve dok ga

druga tela svojim dejstvom ne primoraju da to stanje promeni. Na ovom mestu treba

pomenuti da je masa mera inertnosti kojom se opisuje svojstvo tela da se suprotstavlja

promeni kretanja. Na osnovu ove zakonitosti sledi da koliko je rezultujuća sila koja

deluje na telo jednaka nuli ( = 0), telo miruje (v = 0) ili se kreće konstantnom

brzinom (v = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡).

II Njutnov zakon

Pod dejstvom rezultujuće sile koja je različita od nule telo se kreće ubrzano. Ubrzanje

tela je srazmerno sili koja na njega deluje a obrnuto srazmerno masi tela:

=

𝑚 . (1.10)

Pravac i smer ubrzanja se poklapa sa pravcem i smerom rezultujuće sile.

III Njutnov zakon

Međudejstvo je uzajamno, tela međusobno deluju jedno na drugo silama istog

intenziteta i pravca a suprotnog smera. Prethodna tvrdnja je poznaka kao princip akcije

i reakcije4 koji se matematički može zapisati kao:

𝐹12 = −𝐹21

, (1.11)

sa 𝐹12 je označena sila kojojm prvo telo deluje na drugo a sa 𝐹21

sila kojojm drugo telo

deluje na prvo5.

4 Princip akcije i reakcije se lako uočava pri međudejstvu tela približnih masa. Ukoliko je masa jednog tela

mnogo veća ovaj princip nije uočljiv jer je ubrzanje, koje to telo ima usled međudejstva sa telom mnogo manje mase, zanemarljivo malo.

5 Pri rešavanju konkretnih problema, tj. pri proučavanju uzajamnog delovanja, najčešće se posmatraju

promene kod jednog tela koje nam je od interesa. Tada se kaže da je na posmatrano telo delovala sila ne

naglašavajući drugo telo koje je uzvor sile i ne vodeći računa o principu akcije i reakcije.

8

Gravitaciona sila

Iz iskustva znamo da bačen predmet uvek pada na Zemlju. Uzrok ovome je destvo

gravitacione sile kojom Zemlja deluje na druga tela. Gravitacionim silama međusobno

deluju sva tela u prirodi bez obzira na njihovu veličinu. Intenzitet gravitacione sile

između dva tela svernog oblika kao i između tela čije su dimenzije zamenarljive u

odnosu na njihovo međusobno rastojanje, te se tela mogu smatrati materijalnim

tačkama, dat je izrazom:6

𝐹𝑔 = 𝛾𝑚1 · 𝑚2

𝑟2 , (1.12)

gde su 𝑚1 i 𝑚2 mase tela, 𝑟 rastojanje između njihovih centara masa,

a 𝛾 = 6,67 · 10−11 Nm2

kg2 univerzalna gravitaciona konstanta. Intenziteg gravitacione sile

ne zavisi od vrste sredine u kojoj se nalaze tela. Gravitaciona sila je uvek privlačna i ne

postoji ništa što bi sprečilo njeno delovanje.

Gtavitaciona sila kojom Zemlja deluje na druga tela naziva se sila Zemljine teže. Pod

pretpostavkom da je Zemlja sfernog oblika intenzitet gravitaciona sile koja deluje na

telo mase 𝑚 na površini Zemlje dat je izrazom:

𝐹𝑔 = 𝛾

𝑚 · 𝑀𝑧

𝑅𝑧2 = 𝑚𝑔, (1.13)

gde je 𝑀𝑧 masa Zemlje, 𝑅𝑧2 njen srednji

poluprečnik, a 𝑔 = 𝛾𝑀𝑧

𝑅𝑧2 = 9,81

m

s2 vrednost

ubrzanja Zemljine teže na površini Zemlje. Zbor

različite nadmorske visine kao i zbog činjenice da

Zemljin odlik odstupa od idealne sfere vrednost

ubrzanja Zemljine teže (gravitacionog ubrzanja) nije

identična u svim tačkama na površini Zemlje.

Prethodno data brojna vrednost daje

zadovoljavajuće rezultate ukoliko se ne zahteva

velika tačnost u proračunu.

6 Za tela drugog oblika koja se ne mogu smatrati tačkastim izraz za intenzitet gravitacione sile nema tako

jednostavan oblik. U ovim slučajevima se intenzitet gravitacione sile dobija vektorskim zbrajanjem sila uzajamnjog delovanja svih tačkastih elemenata jednog tela sa svim tačkastim elementima drugog tela.

Slika 1.4 Težina tela

i sila Zemljine teže

9

Težina tela

Pod težinom tela podrazumeva se sila kojom ono deluje na horizontalnu podlogu na

koju je postavljeno ili pak zateže vertikalan konac o kog je okačeno (slika 1.4). Drugim

rečima težina je sila kojom telo deluje na merni instrument. Za težinu se uobičajeno

koristi oznaka . Težina je prvenstveno posledica dejstva gravitacione sile ali treba

imati na umu da pored ove sile u realnim uslovima merenja deluju i druge sile te strogo

govoreći težina nije jednaka gravitacionoj sili. Razlika je posledica nekoliko činjenica od

kojih su najbitnije: dejstvo sile potiska vazduha ili nekog drugog fluida koji okružuje

telo, rotacija Zemlje oko sopstvene ose i ubrzano kretanje podloge (mernog

instrumenta) na kojoj se telo nalazi. Dejstvo sile potiska ima za posledicu smanjenje

težine u odnosu na gravitacionu silu. Primera radi za tela koja se nalaze u vazduhu i

koja su napravljena od materijala čija je gustina veća od 60 kg

m3 ova razlika je manja od

2 % , dok za tela napravljena od materijala gustine veće od 1300 kg

m3 ova razlika

postaje manja od 0,1 % . Stoga se uticaj sile potiska na težinu tela u vazduhu u većini

slučajeva može zanemariti. Ukoliko se tela nalaze u tečnosti uticaj sile potiska nije

zanemarljiv te se i težina tela u tečnostima naziva prividnom težinom.

Usled rotacije Zemlje oko sopstvene ose na tela na njenoj površini deluje inercijalna

centrifugalna sila koja ima za posledicu smanjenje težine tela idući od polova ka

ekvatoru. Težina tela na ekvatoru je ≈ 3% manja od težine na polovima te se i ovaj

faktor u većini konkretnih problema zanemaruje.

Osobe koje nisu vezane za sedišta lebde u vazduhu u avionu koji slobodno pada. Isto se

dešava sa astronautima u veštačkim Zemljinim satelitima. U oba slučaja se govori o

bestežinskom stanju. Navedeni primeri demonstriraju uticaj ubrzanog kretanja: ukoliko

se merni uređaj i telo kreću ubrzano u vertikalnom pravcu težina zavisi od vrednosti

ubrzanja i od smera kretanja. Ukoliko se telo i merni uređaj kreću ubrzano vertikalno

nagore težina je veća, a ukoliko se kreću vertikalno nadole težina je manja u odnosu na

težinu u slučaju da telo i merni uređaj miruju

u odnosu na Zemljinu površinu.

Normalna sila

Na telo koje pritiska neku površinu sama

površina deluje silom koja je normalna sa nju

(princip akcije i reakcije). Ta sila se naziva

Slika 1.5 Normalna sila

10

normalnom silom i obeležava sa . Ako se telo nalazi na horizontalnoj podlozi

intenzitet normalne sile jednak je intenzitetu težine tela. Pošto je težina tela u većini

slučajeva aproksimativno jednaka gravitacionoj sili često se kaže da je normalna sila po

intenzitetu jednaka gravitacionoj sili (sili Zemljine teže). Ukoliko se telo nalazi na

podlozi koja nije horizontalna, intenzitet normalne sile jednak je vrednosti projekcije

težine na pravac normalan na površinu kao što je prikazano na slici 1.5.

Sila zatezanja

Zategnut konopac deluje na tela koja ga zatežu silom koja

se naziva sila zatezanja i obeležava sa . Sila zatezanja

deluje duž konopca u smeru od tela pri čemu je napadna

tačka na mestu vezivanja kao što je prikazano na slici 1.6.

Intenzitet sile zatezanja kojom vertikalni konopac deluje

na telo približno je jednak težini tela ukoliko je masa

konopca zanemarljiva7 u odnosu na masu tela.

Sila trenja

Sva tela koja se kreću po nekoj podlozi, koja su nakon početnog impulsa prepuštena

sama sebi, zaustavljaju se nakon izvesnog vremena. Do zaustavljanja dolazi usled

delovanja sile trenja koja deluje između tela koje se kreće i tela sa kojima je ono u

dodiru. Ova sila deluje u tangentnoj ravni dodira pri čemu je smer dejstva sile suprotan

od smera kretanja tela. Zahvaljujuću sili trenja hodamo, vozimo rolere i bicikl, itd.

Pored spoljašnjeg trenja koje se javlja pri dodiru čvrstih tela postoji i unutrašnje trenje,

tzv. viskoznost, koje postoji između slojeva fluida pri proticanju kao i pri kretanju

čvrstog tela kroz fluid. Spoljašnje trenje se javlja u više oblika: trenje mirovanja, trenje

klizanja i trenje kotrljanja.

U osnovi se sila trenja svodi na međumolekulske (međuatomske) interakcije između

molekula (atoma) na površini tela koja su u međusobnom konkaktu, odnosno atoma

dva susedna sloja fluida. No, priroda sile trenja je veoma složena i ne postoji opšti izraz

7 Aproksimacija u kojoj se masa konopca zanemaruje podrazumeva da za njegovo ubrzano kretanje nije

potrebna sila kao i da je sila zatezanja ista na oba kraja konopca. U većini konkretnih problema se zanemaruje istezanje konopca tj. on se smatra neistegljivim. Na taj način se dobija da su brzine i ubrzanja tela koja se nalaze na suprotnim krajevima zategnutog konopca u svakom trenutnu jednaki.

Slika 1.6 Sila zatezanja

11

koji bi dao zadovoljavajuće rezultate u svim slučajemima. U praksi se koriste emirijski

izrazi.

Slika 1.7 Sila trenja mirovanja

Posmatrajmo telo na horizontalnoj podlozi, prikazano na slici 1.7 a). Na telo deluju

dve8 sile: sila Zemljine teže i normalna sila. Sila trenja jednaka je nuli sve dok nema

pokušaja da telo pokrenemo (slika 1.7 a). Na slici 1.7 b) je prikazan slučaj kad na

pomenuto telo delujemo silom u horizontalnoj ravni koja nije dovoljna za pokretanje

tela. Iako na telo delujemo silom ono se ne pomera jer smeru suprotnom od smera

dejstva sile kojom pokušavamo pokrenuti telo deluje sila trenja 𝐹𝑠 . Ova sila se naziva

stila trenja mirovanja, i ustanovljeno je da raste sa porastom sile (slike 1.7 b) i 1.7

c)) sve do trenutka kad dolazi do pokretanja tela. Neposredno pred pokretanje

intenzitet sile trenja mirovanja dostiže svoju maksimalnu vrednost 𝐹𝑠𝑚𝑎𝑥 za koju je

eksperimentalno utvrđeno da praktično ne zavisi od veličine dodirne površine i da je

proporcionalna normalnoj sili:

𝐹𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝜇𝑠𝑁 . (1.14)

Koeficijent proporcionalnosti u prethodnom izrazu, označen sa 𝜇𝑠, predstavlja

koeficijent statičkog trenja koji je bezdimenziona veličina9. Koeficijent statičkog trenja

zavisi od vrste materijala od kog su tela napravljena, stepena uglačanosti i čistoće

dodirnih površina, temperature itd. Primera radi prislonimo dva šmirg papira jednake

granulacije hrapavima stranama jedan prema drugom. Lakše je pokrenuti papire, da

klize jedan preko drugog, ukoliko je njihova granulacija manja to jest stepen

uglačanosti veći. Sa druge strane, u sličnom eksperimentu, teže je pokrenuti dve glatka

8 Sila potiska vazduha je zanemarena.

9 Koeficijent statičkog trenja je neimenovan broj, nema jedinicu, pošto je definisan količnikom sile trenja

mirovanja i normalne sile.

12

staklene pločice u odnosu na pločice koje su peskirane. Ovi primeri ukazuju da

zavisnost koeficijenta statičkog trenja od stepena uglačanosti nije jednoznačna. U

tabeli 1.3 date su približne vrednosti za koeficijent statičkog trenja za različite

materijale u kontaktu.

Tabela 1.3 Približne vrednosti koeficijenta statičkog trenja i koeficijenta trenja klizanja

materijali u kontaktu koeficijent statičkog

trenja

koeficijent trenja

klizanja

aluminijum- aluminijum 1,9 1,4

staklo-staklo 0,94 0,35

guma- suv beton 1,2 0,85

guma- vlažan beton 0,8 0,6

čelik-čelik 0,75 0,48

čelik-led 0,1 0,05

drvo-drvo 0,58 0,4

Na telo koje klizi po podlozi deluje sila trenja klizanja. Eksperimentalno je ustanovljeno

da je sila trenja klizanja uvek manja od maksimalne sile trenja mirovanja10

. Sila trenja

klizanja proporcionalna je normalnoj sili:

𝐹𝑘 = 𝜇𝑘𝑁 , (1.15)

gde je 𝜇𝑘 koeficijent trenja klizanja koji je manji od koeficijenta trenja mirovanja pod

istim uslovima ( 𝜇𝑘 < 𝜇𝑠). Koeficijent trenja klizanja prvenstveno zavisi od vrste

materijala od kojih su tela napravljena kao i od stepena uglačanosti podloge.

10

Svi smo iskusili da je za pokretanje nameštaja potrebno delovati većom silom nego kasnije kad je

nameštaj već počeo da se pomera.

13

Eksperimentalno je ustanovljeno da koeficijent trenja klizanja neznatno varira sa

promenom relativne brzine tela u odnosu na podlogu. Pri brzinama od nekoliko metara

u sekundi može se uzeti da je koeficijent trenja klizanja približno konstantan. U tabeli

1.3 date su približne vrednosti za koeficijent trenja klizanja za različite materijale u

kontaktu. Vrednosti date u tabeli odnose se na slučaj suvog trenja bez sredstva za

podmazivanje

Na telo cilindričnog ili sfernog oblika koje se kotrlja po podlozi deluje sila trenja

kotrljanja. Eksperimentalno je ustanovljeno da je, za isto telo pri istim uslovima, trenje

pri kotrljanju manje od trenja pri klizanju. Intenzitet sile trenja kotrljanja srazmeran je

normalnoj sili a obrnuto srazmeran poluprečniku cilindra (sfere):

𝐹𝐾 = 𝜇𝐾

𝑁

𝑟 . (1.16)

1.3 Pitanja i zadaci za samostalan rad

1. Navesti jednu skalarnu i jednu vektorsku fizičku veličinu.

2. Da li brzina spada u osnovne fizičke veličine SI sistema i koja je njena jedinica

u ovom sistemu?

3. Koja fizička veličina je mera interakcije između tela?

4. Izračunati težinu tela mase 850 g na površini Zemlje.

5. Kolikom normalnom silom deluje horizontalna podloga na telo težine 120 N

koje se nalazi na njoj? Kakav je smer delovanja ove sile?

6. Kako se odnose sila trenja klizanja i maksimalna sila trenja mirovanja za

određeno telo na određenoj podlozi?

7. Koja je jedinica za koeficijent statičkog trenja u SI sistemu?

14

2 MEHANIKA FLUIDA

Postoje tri agregatna stanja11

supstance sa kojima se srećemo u svakodnevnom životu:

čvrsto, tečno i gasovito. Supstanca u čvrstom agregatnom stanju ima određen oblik i

zapreminu, dok gasovi zauzimaju oblik i zapreminu suda u kom se nalaze. Tečnosti su

po nekim osobinama slične gasovima, a po nekim čvrstim telima. Tečnosti imaju

određenu zapreminu, koja se može neznatno menjati, ali poprimaju oblik suda u

kom se nalaze. Unutrašnja građa tečnosti slična je unutrašnjoj građi čvrstog

agregatnog stanja u odnosu na koju ima veći stepen neuređenosti. Molekuli tečnosti

imaju veću slobodu kretanja u odnosu na čvrsto agregatno stanje ali mnogo manju

nego u gasovitom. Pošto su fizičke osobine tečnosti identične u svim pravcima za njih

kažemo da su izotropne.

2.1 Gustina

Gustina homogenog tela se definiše kao količnik mase i zapremine tela, drugim rečima

to je masa jedinice zapremine:

𝜌 =𝑚

𝑉 . (2.1)

Jedinica za gustinu u Internacionalnom Sistemu Jedinica (SI sistem) je kg

m3. Gustina zavisi

od vrste materijala i od temperature. Sa porastom temperature gustina većine

materijala opada, jer se sa porastom temperature materijali šire (povećavaju

zapreminu). Kod većine materijala je gustina u čvrstom agregatnom stanju najveća, u

tečnom znatno manja a najmanja u gasovitom agregatnom stanju. Voda pokazuje

odstupanje od ponašanja većine materijala i ova pojava je poznata kao anomalija vode.

11

Plazma i Boze-Ajnštajnov kondenzat se takođe smatraju agregatnim stanjima supstance. Na visokim

temperaturama su atomi razloženi na elektrone i jone i to stanje predstavlja plazmu. Zvezde su u stanju plazme te se može reći da je ona najrasprostranjenije agregatno stanje u univerzumu. Na temperaturama bliskim apsolutnoj nuli atomi supstance se ne ponašaju kao individualne čestice i to stanje je poznato kao Boze-Ajnštajnov kondenzat.

15

Led ima veću specifičnu zapreminu12

od vode u tečnom agregatnom stanju, odnosno

manju gustinu, te stoga pluta po vodi. Kod vode u tečnom agregatnom stanju gustina

raste sa porastom temperature u uzanom temperaturskom intervalu od 0 do 4 a

zatim opada kao kod većine materijala. Ovakvo ponašanje vode omogućilo je opstanak

živog sveta na Zemlji. U tabeli 2.1 su date vrednosti gustine vode na različitim

temparaturama. Uočava se da je promena gustine vode sa promenom temperature

relativno mala. Većina proračuna daje zadovoljavajuće rezultate ako se za gustinu vode

koristi brojna vrednost od 103 kg

m3.

Tabela 2.1 Gustina vode na različitim temperaturama

𝑡 [] 𝜌 [

kg

m3]

𝑡 [] 𝜌 [

kg

m3]

0 999,87 12 999,52

2 999,97 14 999,27

4 1000,00 16 998,97

8 999,88 18 998,66

10 999,73 20 998,23

2.2 Pritisak

Na telo u čvrstom agregatnom stanju možemo delovati silom i to preko neke površine

ili pak u jednoj tački. Na fluide (tečnosti i gasova) se ne može delovati silom u jednoj

tački već samo preko određene površine. Sila koja deluje po jedinici površine

predstavlja pritisak:

𝑝 =

𝐹

𝑆 . (2.2)

12

Specifična zapremina je zapremina jednog kilograma materijala (zapremina jedinice mase).

16

Jedinica za pritisak u SI sistemu je paskal (Pa). Kod tečnosti je pritisak isti u

horizontalnoj ravni ali raste sa dubinom. Pritisak na određenoj dubini tečnosti

predstavlja zbir atmosferskog pritiska 𝑝0 i pritiska koji je posledica težine tečnosti iznad

posmatrane dubine:

𝑝 = 𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ . (2.3)

Drugi član u prethodnom izrazu naziva se hidrostatički pritisak.

Kako se pritisak prenosi kroz tečnosti? Da li samo u pravcu delovanja sile? Francuski

matematičar i fizičar Blez Paskal je u XVII veku dao odgovor na ovo pitanje: pritisak

primenjen na tečnost u zatvorenom sudu prenosi se jednako u svim pravcima kroz

tečnost kao i na same zidove suda. Na ovom principu radi hidraulična dizalica koja

predstavlja zatvoren sistem unutar kog je tečnost u kom postoje dva pokretna klipa

različitih površina (slika 2.1). Ako na površinu manjeg klipa 𝑆1 delujemo silom 𝐹1 ,

hidraulični (spoljašnji) pritisak kojim delujemo na tečnost je 𝑝 =𝐹1

𝑆1. Taj pritisak se

prenosi jednako u svim pravcima, deluje na zidove suda kao i na pokretni klip veće

površine 𝑆2. Intenzitet sile kojom tečnost deluje na ovaj klip iznosi:

𝐹2 = 𝑝𝑆2 = 𝐹1

𝑆2

𝑆1

, (2.4)

i veći je onoliko puta koliki je odnos površine dva klipa. Drugim rečima, hidrauličnom

dizalicom moguće je podići telo delujući silom koja je manja od njegove težine.

Slika 2.1 Hidraulična dizalica

17

2.3 Sila potiska

Sila potiska13

predstavlja silu kojom fluid deluje na telo koje je delimično ili potpuno

potopljeno u njega. Ova sila je po intenzitetu jednaka težini telom istisnute tečnosti i

deluje vertikalno naviše. Izraz za silu potiska je oblika:

𝐹𝑝 = 𝑉𝜌𝑡𝑔 , (2.5)

gde je 𝑉 zapremina telom istisnute tečnosti, 𝜌𝑡 gustina tečnosti a 𝑔 = 9,81 m

s2

gravitaciono ubrzanje na površini Zemlje. Sila potiska dakle zavisi od vrste tečnosti,

preciznije od njene gustine, i od zapremine koju zaronjeni deo tela zauzima u tečnosti.

Usled delovanja sile potiska telo gubi od svoje težine 𝑄 onoliko kolika je težina njime

istisnute tečnosti odnosno sila potiska:

𝑄´ = 𝑄 − 𝑉𝜌𝑡𝑔 . (2.6)

Težina tela u tečnosti se naziva prividnom

težinom. Prethodna tvrdnja je slikovito

prikazana na slici 2.2. Upoređujući

pokazivanje dinamometara na slikama 2.2

a) i 2.2 b) uočava se da je težina tela

potopljenog u tečnost 𝑄´ (prividna težina)

manja u odnosu na težinu tela u vazduhu.

U zavisnosti od odnosa gustine tela i

tečnosti telo može biti delimično ili

potpuno zaronjeno u tečnost a da pri tom

sila potiska bude jednaka sili Zemljine teže.

Ukoliko je gustina tela 𝜌 manja od gustine

13

Dejstvo sile potiska je otkrio najveći matematičar i fizičar antičkog sveta Arhimed. Do većine otkrića

Arhimed je došao rešavajući konkretne probleme. U ovom slučaju trebalo je utvrditi da li je kruna kralja Hijerona napravljena od samog zlata ili su ga zlatari prevarili dodavši i srebro. Prema priči, Arhimed je do rešenja došao tokom kupanja osetivši se „lakšim” kad se potopio u vodu. Sav oduševljen istrčao je na ulicu vičući „EUREKA! EUREKA! ” („PRONAŠAO SAM! PRONAŠAO SAM!”). Arhimed je naime došao na ideju da krunu i istu masu zlata okači o terazije i zaroni u tečnost. Potapanjem je ravnoteža terazija bila narušena pošto su predmeti bili različite zapremine. Zapremina krune je bila veća a samim tim i sila potiska koja je delovala na nju. Arhimed je utvrdio da je zlatar prevario kralja.

Slika 2.2 Demonstracija sile potiska

18

tečnosti 𝜌𝑡 (𝜌 < 𝜌𝑡) telo je delimično potopljeno odnosno pluta. Ako je 𝜌 = 𝜌𝑡 telo je

potpuno potopljeno u tečnost i lebdi u njoj. Ukoliko je 𝜌 > 𝜌𝑡 telo tone, pošto sila

potiska ne može da kompenzuje silu Zemljine teže ni kada je telo potpuno potopljeno.

2.4 Viskoznost

Viskoznost je osobina koju poseduju svi realni fluidi (tečnosti i gasovi). To je unutrašnje

trenje između slojeva fluida koje se javlja pri proticanju zbog čega različiti slojevi imaju

različite brzine. Isticanje tečnosti iz boce slikovito i jednostavno demonstrira

postojanje unutrašnjeg trenja. Iz iskustva je poznato da različite tečnosti ističu

različitim brzinama kao i da tečnost neposredno uz zidove boce uvek poslednja ističe.

Posmatrajmo ploču koja se kreće po površini tečnosti

konstantnom brzinom v0 , prikazanu na slici 2.4.

Ustanovljeno je da se sloj tečnosti koji neposredno

dodiruje ploču kreće zajedno sa pločom brzinom v0 .

I slojevi tečnosti ispod ploče se kreću, ali različitim

brzinama. Sa porastom dubine brzina slojeva tečnosti

opada što je objašnjeno interakcijom između slojeva

unutar tečnosti. Ukoliko molekuli ne prelaze iz jednog

sloja u drugi, kretanje tj. tok fluida se naziva

laminarnim i tada je sila viskoznog trenja

proporcionalna brzini kretanja. Postoji još i

turbulentan tok kod kog dolazi do mešanja slojeva i to

se dešava pri većim brzinama toka fluida. Tada je sila

viskoznog trenja proporcionalna ili kvadratu ili trećem

stepenu brzine.

Unutrašnje trenje se opisuje koeficijentom viskoznosti

koji zavisi od vrste tečnosti i od temperature. Sa

porastom temperature koeficijent viskoznosti tečnosti

opada. Primera radi, koeficijent viskoznosti glicerina

na temperaturi 100 je oko 1000 puta manji nego

na 0 . Jedinica za koeficijent viskoznosti u SI sistemu

je paskalsekunda (Pa s). Viskoznost tečnosti se

objašnjava kratkodometnim kohezionim silama koje deluju između molekula. Pod

dejstvom ovih međumolekulskih privlačnih sila, molekuli tečnosti iz bržeg sloja „vuku”

Slika 2.4 Dijagram brzina

Slika 2.3 Stoksov metod

Fg

19

molekule iz sporijeg sloja. Što su međumolekulske sile jače veći je i koeficijent

viskoznosti.

Postoje različite metode i uređaji za merenje viskoznosti, jedna od njih je Stoksova

metoda. Stoks je pokazao da za telo sfernog oblika koje se kreće kroz fluid brzinom v

sila otpora usled viskoznog trenja iznosi:

𝐹v = 6𝜋𝜂𝑟v , (2.7)

gde je 𝑟 poluprečnik kuglice, a 𝜂 koeficijent viskoznosti.

Kada se kuglica pusti da slobodno pada kroz viskozni fluid (slika 2.3), na nju deluju tri

sile. Sila Zemljine teže 𝐹𝑔 = 𝑚𝑔=4

3𝑟3𝜋𝜌𝑘𝑔 deluje vertikalno naniže, dok sila trenja

𝐹v = 6𝜋𝜂𝑟𝑣 i sila potiska 𝐹𝑝 =4

3𝑟3𝜋𝜌𝑡𝑔 deluju u suprotnom smeru. Ovde je 𝑟

poluprečnik, 𝜌𝑘 gustina kuglice, dok je 𝜌𝑡 gustina tečnosti. Kretanje kuglice kroz fluid je

u početku ubrzano, a kako sa porastom njene brzine raste i sila trenja 𝐹𝑣, u jednom

trenutku dolazi do izjednačavanja sila koje deluju naviše i naniže. Kretanje kuglice tada

postaje ravnomerno pravolinijsko (v = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡) i važi:

𝐹𝑔 = 𝐹v + 𝐹𝑝 , (2.8)

odnosno:

4

3𝑟3𝜋𝜌𝑘𝑔 = 6𝜋𝜂𝑟v +

4

3𝑟3𝜋𝜌𝑡𝑔 . (2.9)

Nakon sređivanja dobija se da je:

𝜂 =

2

9 (𝜌𝑘 − 𝜌𝑡)

v𝑔𝑟2 . (2.10)

Kako je brzina kod ravnomernog pravolinijskog kretanja v =𝐿

𝜏 , gde je 𝐿 put koji kuglica

pređe tokom vremenskog intervala 𝜏, prethodni izraz se može napisati u obliku:

𝜂 =

2

9 (𝜌𝑘 − 𝜌𝑡)𝜏

𝐿𝑔𝑟2 . (2.11)

Ukoliko su poznati gustina tečnosti (𝜌𝑡), gustina materijala od kog je napravljena

kuglica (𝜌𝑘) kao i njen poluprečnik (𝑟) potrebno je izmeriti pređeni put i vreme

20

kretanja kuglice da bi se pomoću prethodnog izraza odredio koeficijent viskoznosti.

U praksi se put i vreme mere pošto kuglica pređe nekoliko centimetara u tečnosti.

Na ovaj način se obezbeđuje da merenje počne po uspostavljanju ravnomernog

kretanja.

2.5 Pitanja i zadaci za samostalan rad

3. Posuda zapremine 750 ml je do vrha napunjena bojom tako da masa posude

i boje iznosi 1,5 kg. Izračunati gustinu boje ako je poznato da masa same

posude iznosi 250 g.

4. Koliko iznosi gustina smeše dobijene mešanjem dve tečnosti u istom

zapreminskom odnosu? Pomešano je 800 cm3 boje gustine 1245 kg

m3 sa

bojom čija je gustina 1,29 g

cm3 .

3. Na kojoj dubini u vodi hidrostatički pritisak iznosi 124500 Pa?

4. Kolika sila deluje na dno bazena, dimenzija 25m × 50m × 4m, koji je do vrha

napunjen vodom?

5. Da li telo čija je gustina jednaka gustini tečnosti pliva, tone ili lebdi u njoj?

6. Kuglica poluprečnika 3 mm kreće se konstantnom brzinom 1,2 cm

𝑠 kroz

tečnost koeficijenta viskoznosti 0,07 Pas. Odrediti silu viskoznog trenja koja deluje

na kuglicu.

7. Kako se koeficijent viskoznosti tečnosti menja sa porastom temperature?

8. Odrediti silu potiska koja deluje na telo oblika kocke koje je do polovine

zaronjeno u tečnost gustine 1110 kg

m3 . Stranica kocke iznosi 125 mm.

21

3 TERMODINAMIKA

Termodinamika se kao nauka razvila iz potrebe da se teorijski objasni pretvaranje

energije zagrejane pare u mehanički rad. Pored toga što proučava transformaciju

toplotne energije u druge vidove energije, ona utvrđuje uticaj spoljašnjih uslova na

procese u kojima se odvija pomenuta transformacije. Termodinamika se bavi i

unutrašnjom energijom tela kao izvorom toplote, prenošenjem toplote sa jednog tela

na drugo, faznim prelazima itd. Jedna od osnovnih termodinamičkih veličina je

temperatura koju većina ljudi opisuje kao merilo zagrejanosti tela. Da li je nešto toplo

ili hladno u svakodnevnom životu često određujemo dodirom. Naše čulo dodira nije

savršeno i u njega se ne možemo pouzdati čak ni pri proceni da li su dva tela jednako

zagrejana. Primera radi, ako zimi dodirnete metalni oluk i koru drveta učiniće vam se

da je metal hladniji. Ova zabluda je posledica činjenice da metal brže odvodi toplotu iz

naših ruku. Tačno je to da su oba tela na istoj temperaturi.

3.1 Temperatura

Temperatura, jedna od osnovnih termodinamičkih veličina14

, predstavlja meru

unutrašnje energije tela. Unutrašnja energija tela predstavlja zbir kinetičkih i

potencijalnih energija molekula, atoma i drugih mikroskopskih čestica (elektrona,

nukleona itd.) od kojih je telo izdrađeno. Telo veće unutrašnje energije nalazi se na

višoj temperaturi. Temperatura kojoj odgovara minimalna unutrašnja energija

proglašena je apsolutnom nulom ili nulom Kelvinove skale15

. Na temperaturama

bliskim apsolutnoj nuli dešavaju se zanimljive pojave, npr. superprovodljivost (kretanje

elektrona u provodnicima bez električnog otpora), superfluidnost (proticanje fluida bez

unutrašnjeg otpora – viskoznosti) ili već spomenuta Boze-Ajnštajnova kondenzacija.

14

Jedna od osnovnih jedinica u SI sistemu je kelvin (K) - jedinica za temperaturu. 15

Najniža vrednost temperature od 10−4 K dostignuta je pri ispitivanju ponašanja gasova na niskim

temperaturama.

22

Merni instrumenti za merenje temperature nazivaju se termometri. Jedan od osnovnih

principa na kojima počiva termodinamika je tzv. nulti princip koji odražava činjenicu

da će temperature dva tela biti jednake ukoliko su tela u neposrednom kontaktu

dovoljno dugo. Stoga se merenje temperature može izvršiti ukoliko se termometar

dovede u neposredni kontakt sa telom čiju temperaturu želimo izmeriti. Promene

fizičkih osobina tela pri zagrevanju, odnosno hlađenju, mogu poslužiti za merenje

temperature. Sa porastom temperature se zapremina tela generalno povećava, dolazi

do topljenja tela u čvrstom agregatnom stanju, raste električni otpor metala, menja se

spektar emitovanih elektromagnetnih talasa, itd. Shodno tome, postoje različite vrste

termometara: gasni termometri, termometri sa tečnošću16

, bimetalni termometri,

termistori (otpornički termometri), infracrveni termometri itd. Za kalibraciju

termometara je potrebno izabrati dve referentne tačke, npr. topljenje leda i ključanje

vode. Ovakav odabir referentnih tačaka je veoma jednostavan ali se pokazao

nepouzdanim iz razloga što obe tačke zavise od spoljašnjeg pritiska što je posebno

izraženo kod ključanja vode. Dogovorom je za referentnu tačku koja služi za

određivanje nule uzeta trojna tačka vode. Naime, sva tri agregatna stanja vode su u

ravnoteži samo pri tačno određenom pritisku koji iznosi 611,7 Pa i to na samo jednoj

određenoj temperaturi. Ta temperatura je proglašena za 273,16 K .

Tri najpoznatije temperaturske skale su Celzijusova, Kelvinova i Farenhajtova.

U svakodnevnom životu najviše se koristi Celzijusova skala na kojoj su temperature

zamrzavanja i ključanja vode pri normalnom pritisku od 101325 Pa proglašene za

0 i 100 , dok se Kelvinova sklala najviše koristi u nauci. Uobičajeno je da se za

temperaturu koristi oznaka 𝑡 ukoliko se izražava u stepenima Celzijusa a 𝑇 ukoliko je

data u Kelvinima. Temperaturu izraženu u Kelvinima možemo pretvoriti u stepene

Celzijusa na jednostavan način koristeći relaciju:

𝑡 [] = 𝑇[K] − 273,15 . (3.1)

Treba napomenuti da je promena temperature izražena u ove dve skale jednaka, iako

početne i krajnje brojne vrednosti temperature nisu:

∆𝑡 = ∆𝑇 . (3.2)

16

Donedavno su najčešće korišteni termometri sa živom. Danas se umesto žive koriste druge netoksične

tečnosti. Tečnost se nalazi u staklenom balončiću koji se završava dugom uskom cevi. Povećanje temperature dovodi do širenja tečnosti koja se penje uz staklenu cev.

23

3.2 Količina toplote i toplotni kapacitet

Temperatura mleka koje iznesete iz frižidera i ostavite na stolu dovoljno dugo

postepeno raste sve dok ne dostigne temperaturu na kojoj se nalaze okolni predmeti,

odnosno sobnu temperaturu. Slično se dešava sa šoljom vrućeg čaja, s tom razlikom

što temperatura čaja opada. Promena temperature je u oba slučaja posledica razmene

(prenosa) unutrašnje energije između tela i njegove okoline. Pri hlađenju se unutrašnja

energija tela smanjuje (temperatura opada), dok je pri zagrevanju obrnuto.

Razmenjena energija naziva se količinom toplote i najčešće se označava sa 𝑄. Tela

mogu da gube (oslobađaju) količinu toplote ili da je primaju (apsorbuju). Jedinica za

količinu toplote u SI sistemu je naravno jedinica za energiju, tj. džul (J). Na ovom mestu

treba naglasiti da se pojmovi temperatura i toplota u svakodnevnom govoru brkaju.

Termin toplota se često koristi kada se misli na temperaturu, što je pogrešno.

Odnos dovedene (emitovane) količine toplote 𝑄 i nastale promene temperature ∆𝑡

predstavlja karakteristiku tela koja je nazvana toplotni kapacitet:

𝐶 =

𝑄

∆𝑡 . (3.3)

Ovako definisan toplotni kapacitet predstavlja količinu toplote koju je potrebno

dovesti telu da bi mu se temperatura povisila za 1 (1 K). Jedinica za toplotni

kapacitet u SI sistemu je J

(

J

K). Ispitujući toplotne kapacitete tela različitih masa

napravljenih od istog materijala, ustanovljeno je da se deljenjem toplotnog kapaciteta

masom tela dobija vrednost koja je karakteristična za materijal. Ova veličina je nazvana

specifični toplotni kapacitet i predstavlja količinu toplote koja jednom kilogramu

posmatrane supstance promeni temperaturu za 1 (1 K). Drugim rečima, specifični

toplotni kapacitet predstavlja toplotni kapacitet obračunat po jedinici mase i definisan

je relacijom:

𝑐 =

𝐶

𝑚 . (3.4)

Jedinica za specifični toplotni kapacitet u Si sistemu je J

kg K. Specifični toplotni kapacitet

je kao što je pomenuto karakteristika materijala. Toplotni kapacitet tela pak zavisi i od

njegove mase i od materijala od kog je napravljeno. Ne ulazeći u detalje treba

24

napomenuti da vrednosti specifičnog toplotnog kapaciteta materijala u čvrstom i

tečnom agregatnom stanju zavise i od temperature, dok za materijale u gasovitom

agregatnom stanju zavise i od toga da li se proces prenošenja toplote odvijao pri

konstantnom pritisku ili pri konstantnoj zapremini.

Tabela 3.1 Specifični toplotni kapacitet

materijal 𝑐 [

J

kg K]

bakar 385

papir 1340

voda 4185

pesak 835

etanol 2410

parafinsko ulje 2130

U tabeli 3.1 su date vrednosti specifičnog toplotnog kapaciteta za neke materijale na

temperaturi od ≈ 300 K. Uočava se da najveću vrednost u tabeli 3.1 ima voda17

, svi

ostali materijali imaju znatno manje vrednosti specifičnog toplotnog kapaciteta. Zbog

velikog specifičnog toplotnog kapaciteta voda može da apsorbuje (oslobađa) veliku

količinu toplote a da joj se pri tom temperatura ne promeni značajno. Stoga je voda

životna sredina sa znatno manjim temperaturskim fluktuacijama u poređenju sa

vazduhom i zemljištem. Ova osobina vode takođe sprečava brzu i veliku promenu

telesne18

temperature životinja pri nagloj i velikoj promeni temperature vazduha.

Kada se tela različitih temperatura dovedu u direktan kontakt između njih dolazi do

razmene količine toplote. Ovaj proces prestaje kada se temperature tela izjednače,

17 Od svih materijala u tečnom i čvrstom agregatnom stanju najveću vrednost specifičnog toplotnog kapaciteta ima tečni amonijak, zatim sledi voda. 18 U telu životinja, voda je najzastupljenija supstanca.

25

odnosno kada dođe do uspostavljanja termodinamičke ravnoteže. Posmatrajmo

sistem, koji čine dva tela početnih temperatura 𝑡1 i 𝑡2 (𝑡1 < 𝑡2 ), koji je dobro termički

izolovan od okoline te se razmena toplotne energije tela sa okolinom može zanemariti.

Količina toplote koju telo početne temperature 𝑡2 otpušta hladeći se do temperature

termodinamičke ravnoteže 𝑡𝑟 predaje se drugom telu koje se na račun ove primljene

količine toplote zagreva od 𝑡1 do 𝑡𝑟 . Dogovom je usvojeno da je količina toplote

pozitivna ako se toplota dovodi telu a negativna ako je telo oslobađa. Ukoliko se i

uzrazu za količinu toplote 𝑄 = 𝑚𝑐∆𝑡 = 𝐶∆𝑡 razlika temperature napiše kao krajnja

minus početna temperatura dobija se odgovarajući predznak (pri zagrevanju je ∆𝑡

pozitivno, dok je pri hlađenju ∆𝑡 negativno). Algebarski zbir primljene i oslobođene

količine toplote, kod termički izolovanih sistema koji čine tela različite početne

temperature, jednak je nuli. Shodno tome za razmatrani sistem dva tela važi relacija:

𝑄1 + 𝑄2 = 0 , (3.5)

𝑚1𝑐1(𝑡𝑟 − 𝑡1) + 𝑚2𝑐2(𝑡𝑟 − 𝑡2) = 0 , (3.6)

gde su 𝑚1, 𝑚2, 𝑐1 i 𝑐2 mase i odgovarajući specifični toplotni kapaciteti tela početnih

temperatura 𝑡1 i 𝑡2 , respektivno, a 𝑡𝑟 temperatura oba tela po uspostavljanju

termodinamičke ravnoteže.

3.3 Fazni prelazi

Iz iskustva je poznato da materijali mogu

menjati agregatna stanja. Najjednostavniji

primeri su zamrzavanje i ključanje vode19

.

Prelazi iz jednog u drugo agregatno stanje

nazivaju se fazni prelazi. Često se pojam

agregatnog stanja poistovećuje sa

pojmom faze, no treba imati na umu da i

u okviru jednog agregatnog stanja neke

supstance može postojati nekoliko faza

(npr. nekoliko različitih kristalnih

modifikacija). Striktno govoreći faza je

19

U oba slučaja voda u tečnom agregatnom stanju razmenjuje toplotu sa okolinom.

Slika 3.1 Fazni prelazi između agregatnih stanja

26

deo sistema, homogen po hemijskom sastavu i fizičkim osobinama, koji je graničnom

površinom odvojen od drugih delova sistema. Fazni prelaz je transformacija jedne faze

u drugu pri čemu se skokovito menja neka od fizičkih karakteristika: zapremina,

gustina, električna provodljivost i slično. Postoje fazni prelazi prve i druge vrste. Pri

faznim prelazima prve vrste se toplota oslobađa ili apsorbuje. Fazni prelazi druge vrste

odvijaju se bez razmene količine toplote sa okolinom. Fazni prelazi koji predstavljaju

promenu agregatnog stanja su fazni prelazi prve vrste.

Na dijagramu prikazanom na slici 3.1 navedeni su fazni prelazi između čvrstog, tečnog i

gasovitog agregatnog stanja. Iz iskustva nam je poznato da do topljenja leda dolazi

samo ako se on nalazi u sredini čija je temperatura veća od njegove. U tim uslovima led

apsorbuje (prima) količinu toplote od okoline. Znamo da će voda proključati ako od

grejnog tela prima količinu toplote. Fazni prelazi u obrnutom smeru iz tečnog u čvrsto

agregatno stanje (očvršćavanje) i iz gasovitog u tečno (kondenzacija) odvijaju se uz

oslobađanje količine toplote koja se predaje okolini.

Razmotrimo kako se odvija proces topljenja leda pri normalnom atmosferskom

pritisku. Na račun dovedene količine toplote temperatura leda prvo postepeno raste,

kao što je prikazano na slici 2.2. Na 0 se u posudi sa ledom primećuje i tečna faza a

temperatura prestaje da raste. Pomenuta temperatura predstavlja temperaturu faznog

prelaza na kojoj postoje obe faze istovremeno. Iznad ili ispod temperature faznog

prelaza postoji samo jednofazni sistem. Da bi se proces topljenja odigrao do kraja nije

dovoljno samo zagrejati led do 0 , već

je potrebno i dalje dovoditi toplotu, kao

što je prikazano na slici 3.2. Značajno je

napomenuti da dovedena količina

toplote, na slici označena sa 𝑄𝑡, ne

izaziva promenu temperature leda i

vode. Do daljeg porasta temperature

dolazi tek pošto se sav led otopi, kada

ustvari dolazi do zagrevanja tečnosti.

Količina toplote koju je neophodno

dovesti jednom kilogramu date

supstance da bi se ona, na temperaturi faznog prelaza, u potpunosti prevela iz čvrstog

u tečno agregatno stanje naziva se latentna20

toplota topljenja:

20

latentna - skrivena

Slika 3.2 Promena temperature pri zagrevanju i topljenju kristala

27

𝑞𝑡 =

𝑄𝑡

𝑚 . (3.7)

Jedinica za latentnu toplotu topljenja u SI sistemu je J

kg. Pri očvršćavanju jednog

kilograma supstance oslobađa se količina toplote koja je jednaka latentnoj toploti

topljenja. Latentna toplota topljenja leda (očvršćavanja vode) iznosi 3,34 ∙ 105 J

kg.

Prelazak supstance iz tečnog u gasovito agregatno stanje (paru) može se odvijati na

dva načina: isparavanjem i ključanjem. Isparavanje je proces koji se odigrava na svim

temperaturama većim od apsolutne nule, kada molekuli iz površinskog sloja steknu

dovoljno veliku energiju da raskinu međumolekulske veze i pređu u prostor iznad

slobodne površine tečnosti. Ključanje je, sa druge strane, proces burnog isparavanja iz

celokupne zapremine tečnosti, praćen stvaranjem mehurića pare. Ono što ključanje

suštinski razlikuje od isparavanja jeste to da se ovaj proces odvija na strogo određenoj

temperaturi (tačka ključanja). Da bi se proces ključanja odvijao, tečnosti se neprekidno

mora dovoditi toplota. Količina toplote 𝑞𝑖 koju je neophodno dovesti jednom

kilogramu date supstance da bi se ona u potpunosti prevela iz tečnog u gasovito

agregatno stanje naziva se latentna toplota isparavanja. Latentna toplota isparavanja

zavisi od vrste tečnosti i opada sa povećanjem temperature.

Prelazak supstance iz jednog u drugo agregatno stanje pri zadanom pritisku odvija se

na strogo određenoj temperaturi 21

22

. Na primer, pri normalnom pritisku, voda ključa

na 100 , a led se topi na 0 . Temperature ovih faznih prelaza, pri nekom drugom

pritisku, imaće drugačije vrednosti. Voda koju alpinisti kuvaju za čaj ne ključa na

100 zbog činjenice da atmosferski pritisak opada sa porastom nadmorske visine.

Primera radi, na nadmorskoj visini od ≈ 4000 m voda ključa na temperaturi koja

iznosi ≈ 86 . Na slici 3.3 je principijelno prikazana zavisnost temperature faznih

prelaza od pritiska, odnosno mogući izgled faznog dijagrama. Krive na faznom

dijagramu prikazuju ravnotežu dve faze (dva agregatna stanja). Krive faznih prelaza se

spajaju u tački koja predstavlja ravnotežu sva tri agregatna stanja i naziva se trojna

tačka koja je na slici 3.3 označena sa TT. Eksperimentalno je utvrđeno da sa porastom

21

Treba napomenuti da se čvrsto agregatno stanje u pogledu uređenosti unutrašnje građe deli na kristalno i

amorfno stanje. Kod kristala postoji dugodometna uređenost unutrašnje građe, drugim rečima atomi, joni i molekuli periodično zauzimaju tačno određene položaje u prostoru. Za razliku od kristalnog, kod amorfnog stanja ne postoji dugodometna uređenost strukture. Prelazak iz kristalnog u tečno agregatno stanje se odvija na tačno određenoj temperaturi, dok topljenje amorfnih materijala otpočinje na jednoj a završava na drugoj

višoj temperaturi. 22

Razlika između ključanja i isparavanja je objašnjena u prethodnom tekstu.

28

pritiska temperatura faznog prelaza između tečne i gasovite faze, kao i između čvrste i

gasovite faze, raste. Drugim rečima nagib krive ključanja (kondenzacije) i krive

sublimacije je uvek pozitivan, kao što je prikazano na slici 3.3. Kriva ravnoteže između

tečne i gasovite faze se završava u kritičnoj tački koja je na slici 3.3 označena sa KT.

Iznad kritične temperature supstanca postoji samo u gasovitom agregatnom stanju.

Uticaj pritiska na temperaturu faznog prelaza između čvrstog i tečnog agregatnog

stanja, manje je izražen u odnosu na prethodno pomenute fazne prelaze ali može biti

dvojak. Porast pritiska može imati za posledicu kako porast tako i sniženje temperature

ovog faznog prelaza. Principijelna razlika između dijagrama prikazanih na slikama 3.3 a)

i b) je u različitom nagibu krive topljenja (očvršćavanja). Na slici 3.3 a) je nagib

pozitivan, a na slici 3.3 b) negativan. Iako pozitivan nagib postoji kod većine materijala,

jedna supstanca sa negativnim nagibom krive topljenja ima veliki značaj za život na

Zemlji. To je voda.

3.4 Pitanja i zadaci za

samostalan rad

1. Odrediti početnu i

krajnju temperaturu u

stepenima Celzijusa ako je

poznato da se telo

zagrevalo od temperature

298 K do temperature 340 K. Koliko iznosi promena temperature u obe

pomenute temperaturske skale?

2. Toplotni kapacitet tela iznosi 5 ∙ 104 mJ

. Izračunati promenu temperature u

Kelvinovoj skali ako se telu dovede količina toplote od 850 J.

3. Temperatura tela, mase 520 g, poraste za 18 na račun dovedene količine

toplote od 8600 J. Izračunati specifični toplotni kapacitet materijala od kog je telo

napravljeno.

4. Od čega zavisi toplotni kapacitet tela?

5. Da li se pri faznom prelazu iz tečnog u čvrsto agregatno stanje toplota

oslobađa ili apsorbuje?

Slika 3.3 Zavisnost temperature faznih prelaza od pritiska

29

6. Da li i kako porast pritiska utiče na temperaturu faznog prelaza iz čvrstog u

gasovito agregatno stanje?

7. Odrediti količinu toplote koja se oslobodi pri zamrzavanju 45 cm3 vode na

0 . Latentna toplota očvršćavanja vode iznosi 3,34 ∙ 105 J

kg.

30

4 IDEALAN GAS I PRVI PRINCIP TERMODINAMIKE

Ponašanje i osobine gasova ćemo proučavati razmatrajući parametre koji opisuju

svojstva gasa kao celine a to su: količina gasa, pritisak, zapremina, temperatura i

unutrašnja energija. Ovakav pristup koji ne ulazi u strukturu i međusobne interakcije

između molekula gasa se naziva termodinamički.

4.1 Jednačina stanja idealnog gasa

Eksperimentalno je ustanovljeno da se različiti gasovi pod određenim uslovima

ponašaju veoma slično. Ovo se dešava pri malim gustinama i na relativno visokim

temperaturama. Za opisivanja ovog gotovo identičnog ponašanje različitih vrsta gasa

koristi se model idealnog gasa. Pod idealnim gasom se podrazumeva gas čiji se

molekuli nalaze na velikom međusobnom rastojanju tako da ne interaguju

međumolekulskim silama. Interakcije postoje kratkotrajno pri sudarima. Sudare

molekula idealnog gasa sa zidovima suda i drugim molekulima smatramo idealno

elastičnim dok se zapremina samih molekula zanemaruje u odnosnu na ukupnu

zapreminu gasa23

.

Pojam pritiska je definisan u poglavlju mehanika fluida izrazom 2.2. Molekuli gasa koji

se nalaze u nekom zatvorenom sudu se kreću i pri tome sudaraju međusobno kao i sa

zidovima suda. Pri svakom sudaru molekuli deluju na zidove suda silom. Pritisak gasa je

određen srednjom silom kojom molekuli zbirno deluju na zidove.

Eksperimentalno je ustanovljeno da su makroskopski parametri stanja: pritisak,

temperatura i zapremina određene količine gasa međusobno zavisni. Ako se na primer

pri konstantnoj zapremini poveća temperatura gasa i pritisak gasa raste. Utvrđeno je

da pri malim koncentracijama gasa, odnosno za idealne gasove, relacija koja povezuje

parametre stanja ima oblik:

23

Vazduh (Zemljina atmosfera) ispunjava ovaj uslov. Gustina vazduha je reda veličine 1 kg

m3. Zapremina

samih molekula gasa procenjuje se na osnovu činjenice da 1 kg kondenzovanog vazduha zauzima zapreminu od 1 dm3, što je za tri reda veličine manje od njegove zapremine u gasovitom agregatnom stanju.

31

𝑝𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 , (4.1)

gde 𝑝 pritisak, 𝑉 zapremina, 𝑇 apsolutna temperatura, 𝑛 broj molova gasa a 𝑅

univerzalna gasna konstanta. Brojna vrednost univerzalne gasne konstante iznosi

𝑅 = 8,314 J

mol K. Prethodni izraz je poznat kao jednačina stanja idealnog gasa.

Mera količine gasa je broj molova. Pod molom se podrazumeva količina supstance koja

sadrži isti broj osnovnih elemenata koliko ima atoma u 12 g ugljenikovog izotopa C12

.

Osnovni elementi supstance mogu biti različiti: za inertne (atomske) gasove to su

atomi, dok su za molekulske gasove to molekuli. Broj osnovnih elemenata u molu

supstance iznosi 𝑁𝐴 = 6,022 · 1023 1

mol. Ovaj broj se naziva Avogadrov broj

24. Broj

molova gasa se može izraziti preko mase gasa 𝑚 i molarne mase 𝑀:

𝑛 =𝑚

𝑀 , (4.2)

kao i preko broja atoma (molekula) 𝑁 i Avogadrovog broja:

𝑛 =

𝑁

𝑁𝐴

. (4.3)

Uvrštavanjem prethodnih izraza jednačina stanja idealnog gasa dobija oblik:

𝑝𝑉 =𝑚

𝑀𝑅𝑇 , (4.4)

odnosno:

𝑝𝑉 =

𝑁

𝑁𝐴

𝑅𝑇 = 𝑁𝑘𝐵𝑇 , (4.5)

gde je 𝑘𝐵 =𝑅

𝑁𝐴= 1,38 · 10−23 J

K Bolcmanova konstanta.

Ponašanje realnih gasova odstupa od jednačine stanja idealnog gasa pri velikim

gustinama i niskim temperaturama. Što je gustina gasa veća manje je rastojanje

između molekula i međumolekulske interakcije su jače. Sa druge strane veća gustina

24

Za idealne gasove važi Avogadrov zakon koji glasi: pri istim pritiscima i temperaturama jednake zapremine

idelalnih gasove sadrže jednak broj molekula.

32

podrazumeva i veći broj molekula gasa po jedinici zapremine te se zapremina samih

molekula ne može zanemariti. Pritisak kojim na zidove suda deluje realan gas manji je

od pritiska koji bi imao u idealnom slučaju. Naime, međumolekulske interakcije imaju

za posledicu smanjenje pritiska.

Realan gas se može opisati Van der Valsovom jednačinom:

(𝑝 + 𝑎

𝑛2

𝑉2) (𝑉 − 𝑛𝑏) = 𝑛𝑅𝑇 . (4.6)

Koeficijenti 𝑎 i 𝑏 u jednačini se zovu Van der Valsove konstante i one zavise od vrste

gasa.

4.2 Termodinamički procesi

Makroskopski parametri stanja gasa mogu se menjati u tzv. termodinamičkim

procesima. Pri promeni stanja gasa menjaju se istovremeno najmanje dva parametra.

Termodinamički procesi mogu biti ravnotežni (povratni) i neravnotežni (nepovratni).

Proces je ravnotežan ukoliko se odvija sporo i tad gas prolazi kroz niz stanja u kojima se

parametri menjaju kontinualno. U procesima koji se odvijaju brzo nema dovoljno

vremena da se u svakom trenutku uspostavi termodinamička ravnoteža. Ovakvi procesi

su nepovratni. Razmotrimo procese u kojima je pored određene količine gasa

konstantan i jedan od parametara stanja (𝑝, 𝑉 ili 𝑇).

Izotermski proces

Ukoliko je temperatura sistema konstantna proces se naziva izotermskim. U

aproksimaciji idealnog gasa jednačina izotermskog procesa (𝑇 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡) za određenu

količinu gasa (𝑛 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡) glasi:

𝑝𝑉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 . (4.7)

Proizvod pritiska i zapremine određene količine idealnog gasa pri konstantnoj

temperaturi je konstantan. Ovaj zakon je poznat kao Bojl-Mariotov zakon. Grafički

prikaz ovog zakona u 𝑝 − 𝑉 dijagramu je dat na slici 4.1. Kriva koja prikazuje zavisnost

pritiska od zapremine pri konstantnoj temperaturi je ravnostrana hiperbola (𝑝 =𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

𝑉)

33

i naziva se izoterma. Tačke 1 i 2 na izotermi prikazanoj na slici 4.1 povezane su

relacijom:

𝑝1𝑉1 = 𝑝2𝑉2. (4.8)

Na slici 4.2 prikazane su tri izoterme idealnog gasa na različitim temperaturama.

Izoterma najbliža koordinantom početku ima najnižu temperaturu, udaljavanjem od

koordinatnog početka temperatura izotermi raste.

Izobarski proces

Proces koji se odvija pri konstantnom pritisku naziva se izobarski. Za određenu količinu

idealnog gasa pri kontantnom pritisku važi relacija:

𝑉

𝑇= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 , (4.9)

koja se dobija uvrštavajići 𝑛 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 i 𝑝 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 u jednačinu stanja idealnog gasa. Ova

relacija je poznata kao Gej-Lisakov zakon prema kom je odnos zapremine i apsolutne

temperature određene količine gasa gasa pri konstantnom pritisku konstantan.

Grafički prikaz izobarskog procesa u 𝑉 − 𝑇 dijagramu je prikazan na slici 4.3. Kriva koja

prikazuje zavisnost zapremine gasa od temperature pri konstantnom pritisku naziva se

izobara. Tačke 1 i 2 na izobari prikazanoj na slici 4.3 povezane su relacijom:

Slika 4.1 Izoterma u p-V dijagramu

Slika 4.2 Izoterme različitih temperatura

34

𝑉1

𝑇1

=𝑉2

𝑇2

. (4.10)

Gej-Lisakov zakon izražen preko temperature u stepenima Celzijusa je oblika:

𝑉 = 𝑉0(1 + 𝛾𝑡) , (4.11)

gde je 𝑉 zapremina gasa na temperaturi 𝑡, 𝑉0 zapremina iste količine gasa pri istom

pritisku na 0 °C a 𝛾 temperaturski koeficijent zapreminskog širenja. Gej-Lisakov zakon

se može formulisati i na sledeći način: zapremina određene količine gasa pri

konstantnom pritisku raste linearno sa porastom temperature. Temperaturski

koeficijent zapreminskog širenja idealnog gasa iznosi 𝛾 =1

273,15

1

°C . Na slici 4.4 su

prikazane izobare za nekoliko različitih pritisaka idealnog gasa. Uočava se da sa

porastom pritiska nagib izobare opada.

Izohorski proces

Kod izohorskog procesa je zapremina konstantna. Za izohorski proces važi Šarlov zakon

koji glasi: odnos pritiska i apsolutne temperature određene količine idealnog gasa je

konstantan pri konstantnoj zapremini. Relacija koja važi u ovom slučaju je oblika:

𝑝

𝑇= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 . (4.12)

Slika 4.3 Izobara u V-T dijagramu

Slika 4.4 Izobare pri različitim pritiscima

35

i dobija se uvrštavajići 𝑛 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 i 𝑉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 u jednačinu stanja idealnog gasa.

Grafički prikaz izhorskog procesa u 𝑝 − 𝑇 dijagramu je dat na slici 4.5. Kriva koja

prikazuje zavisnost pritiska od temperature pri konstantnoj zapremini naziva se

izohora. Tačke 1 i 2 na izhori prikazanoj na slici 4.5 povezane su relacijom:

𝑝1

𝑇1

=𝑝2

𝑇2

. (4.13)

Šarlov zakon u kom fuguriše temperatura u stepenima Celzijusa je oblika:

𝑝 = 𝑝0(1 + 𝛿𝑡) , (4.14)

gde je 𝑝 pritisak gasa na temperaturi 𝑡, 𝑝0 pritisak iste količine gasa u istoj zapremini

na 0 °C a 𝛿 = 1

273,15

1

°C temperaturski koeficijent porasta pritiska. Na slici 4.6 su

prikazane izohore za tri različite zapremine idealnog gasa. Uočava se da sa porastom

zapremine koeficijent pravca izohore opada.

4.3 Prvi princip termodinamike

Neka se gas nalazi u cilindru koji je zatvoren pokretnim klipom. Ovom sistemu se preda

određena količina toplote, npr. tako što ga postavimo iznad gorionika. Doći će do

promene unutrašnje energije, koja se ogleda u promeni temperature, kao i do

pomeranja klipa. Pomeranje klipa se vrši pod dejstvom sile pritiska pri čemu

pomenuta sila vrši rad. Pošto pritisak unutar cilindra generalno nije konstantan,

Slika 4.5 Izohora u p-T dijagramu

Slika 4.6 Izohore različitih zapremina

36

ukupan rad u procesu se dobija polazeći od elementarnog rada koje gas vrši pri

pomeranju klipa za 𝑑𝑥:

𝑑𝐴 = 𝐹𝑑𝑥 . (4.15)

Intenzitet sile 𝐹 se može izraziti preko pritiska i površine klipa:

𝐹 = 𝑝𝑆, (4.16)

tako da prethodni izraz postaje:

𝑑𝐴 = 𝑝𝑆𝑑𝑥 = 𝑝𝑑𝑉 , (4.17)

𝑑𝑉 = 𝑆𝑑𝑥 predstavlja promenu zapremine gasa pri pomeranju klipa za 𝑑𝑥. Sabiranjem

elementarnih radova (integraljenjem) dobija se ukupan rad:

𝐴 = ∫ 𝑝𝑑𝑉

𝑉2

𝑉1

. (4.18)

Iz prethodnog izraza sledi da površina ispod krive, na grafiku koji prikazuje zavisnost

pritiska gasa od njegove zapremine, predstavlja rad (slika 4.7).

Slika 4.7 Rad kod termodinamičkih procesa

Polazeći od razmatranog primera jasno je da se, generalno, količina toplote predata

nekom sistemu koristi kako za promenu unutrašnje energije sistema tako i za vršenje

rada, što se može zapisati na sledeći način:

𝑄 = 𝛥𝑈 + 𝐴 . (4.19)

37

Ova jednačina predstavlja prvi princip termodinamike. Količina toplote se smatra

pozitivnom ukoliko je okolina predaje posmatranom sistemu. Sistem tada apsorbuje

količinu toplote. U suprotnom, ako se toplota prenosi sa posmatranog sistema na

okolinu, količina toplote se smatra negativnom. Posmatrani sistem tada oslobađa

količinu toplote. Rad koji vrši gas je pozitivan ukoliko se zapremina gasa povećava,

negativan ukoliko se zapremina smanjuje. Ukoliko nema promene zapremine rad je

jednak nuli.

Ustanovljeno je da količina toplote i rad pri promeni parametara stanja gasa od

(𝑝1, 𝑉1, 𝑇1) do (𝑝2, 𝑉2, 𝑇2) zavise od konkretnog procesa tj. od načina kako je gas

menjao stanje. Sa druge strane promena unutrašnje energije ne zavisi od procesa

(putanje) kojom je sistem prešao iz jednog u drugo stanje već samo od početne i

krajnje temperature. U sistemu sa idealnim gasom mogu se odvijati različiti procesi.

Neki od njih su prethodno pomenuti. Razmotrimo njihove karakteristike sa stanovišta

prvog principa termodinamike.

Izohorski proces

Pri izohorskom procesu se ne vrši rad pošto je zapremina konstantna. Stoga se

celokupna količina toplote dovedena gasu pri izohorskom procesu troši na povećanje

unutrašnje energije:

𝑉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 → 𝐴 = 0 → 𝑄 = 𝛥𝑈 . (4.20)

Promena unutrašnje energije gasa je srazmerna razlici temperatura krajnjeg i početnog

stanja:

𝑄 = 𝛥𝑈 = 𝑛𝐶𝑉∆𝑇 , (4.21)

gde je 𝑛 broj molova gasa a 𝐶𝑉 molarna količina toplote pri konstantnoj zapremini.

Izotermski proces

Pošto je pri izotermskom procesu temperatura konstantna ne menja se ni unutrašnja

energija gasa. Količina toplote dovedena idealnom gasu pri izotermskom procesu se u

potpunosti troši na vršenje rada pri širenju gasa. Iz prvog principa termodinamike sledi

da za izotermski proces važi relacija:

38

𝑇 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 → ∆𝑈 = 0 → 𝑄 = 𝐴 . (4.22)

Pri izotermskom širenju gasa sistem dakle prima određenu količinu toplote i na njen

račun gas vrši rad. Količinu toplote i rad tad uzimamo sa pozitivnim predznakom. Pri

izotermskom sabijanju gas otpušta količinu toplote koju predaje okolini. Ta otpuštena

količina toplote jednaka je radu spoljašnjih sila. Količinu toplote i rad tad uzimamo sa

negativnim predznakom. Rad koji se vrši pri izotermskom procesu računa se pomoću

izraza:

𝐴 = 𝑛𝑅𝑇 ln

𝑉2

𝑉1

, (4.23)

gde je 𝑉1 početna a 𝑉2 krajnja zapremina gasa temperature 𝑇.

Izobarski proces

Pri izobarskom procesu se dovedena količina toplote troši i na promenu unutrašnje

energija i na vršenje rada.

𝑝 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 → 𝑄 = ∆𝑈 + 𝐴 . (4.24)

Rad koji se vrši pri izobarskom procesu dat je relacijom:

𝐴 = 𝑝𝛥𝑉 . (4.25)

Pri širenju gasa se zapremina povećava i rad je pozitivan. Pri sabijanju je obrnuto.

Uvrštavajući izraze 4.21 i 4.25 u izraz 4.24 dobija se da dovedenu količinu toplote pri

izobarskom procesu možemo izraziti:

𝑄 = 𝑛𝐶𝑉∆𝑇 + 𝑝𝛥𝑉 = 𝑛𝐶𝑝∆𝑇 , (4.26)

gde je 𝐶𝑝 molarna količina toplote pri konstantnom pritisku. Na osnovu prethodno

pomenutog sledi da je za izobarsko zagrevanje gasa od temperature 𝑇1 do

temperature 𝑇2 potrebna veća količina toplote u poređenju sa izohorskim zagrevanjem

koje će izazvati istu promenu temperature (𝐶𝑝 > 𝐶𝑉) .

39

Adijabatski proces

Ukoliko je posuda sa gasom dobro termički izolovana od okoline može se smatrati da

nema prenosa toplote između gasa i okoline, odnosno:

𝑄 = 0 . (4.27)

Proces koji se odvija pri ovakvim uslovima naziva sa adijabatski. Sa stanovišta prvog

principa termodinamike za adijabatske procese važi relacija:

𝐴 = −𝛥𝑈 . (4.28)

Drugim rečima pri adijabatskom procesu se vrši rad na račun promene unutrašnje

energije. Pri povećanju zapremine gas vrši rad koji je pozitivan. Promena unutrašnje

energije gasa tokom adijabatskog procesa je tada negativna tj. temperature gasa

opada. Ako se tokom adijabatskog procesa zapremina gasa smanjuje nad gasom se vrši

rad koji je negativan. Temperatura gasa tada raste jer dolazi do pozitivne promene

unutrašnje energije.

Pri adijabatskom procesu se istovremeno menjaju pritisak, zapremina i temperatura.

Grafički prikaz adijabatskog procesa u p-V dijagramu je dat na slici 4.8. Uočava se da

povećanje zapremine ima za posledicu smanjenje pritiska, slično kao kod izotermskog

procesa s tim da je adijabata strmija od izoterme.

Kao što je prethodno pomenuto dobra

termička izolacija gasa obezbeđuje da se

proces odvija adijabatski. Razmena toplote je

svedena na minimum i ukoliko se proces odvija

brzo te nema vremena za prenos toplote.

Termodinamički procesi koji se odvijaju brzo se

smatraju adijabatskim.

Kružni proces

Slika 4.8 Izotermski i adijabatski procesi u 𝒑 − 𝑽 dijagramu

40

Procesi kod kojih se sistem nakon razmene energije sa okolinom i vršenja rada vraća u

početno stanje25

nazivaju se kružni (ciklični) procesi. Unutrašnja energija gasa po

završetku kružnog procesa ima početnu vrednost te važi da je:

𝛥𝑈 = 0 , (4.29)

odnosno sa stanovišta prvog principa termodinamike:

𝑄 = 𝐴 . (4.30)

Drugim rečima ukupan rad koji se vrši tokom

kružnog procesa jednak je razmenjenoj količini

toplote.

Na slici 4.9 je prikazan proizvoljan kružni proces.

Ukupan rad u toku jednog ciklusa odgovara

površini procesa u 𝑝 − 𝑉 dijagramu. Za prikazan

smer26

odvijanja procesa rad je pozitivan. Ukoliko

bi se proces odvijao u suprotnom smeru rad bi bio

negativan.

4.4 Toplotne pumpe i rasladni uređaji

Toplotne pumpe i uređaji za hlađenje prenose količinu toplote iz sredine niže

temperature u sredinu više temperature. Ovaj proces se ne odvija spontano već uz

vršenje rada koji se dobija na račun utroška nekog drugog oblika energija (električne

energije). Na slici 4.10 je shematski, veoma uprošćeno, prikazan princip rada ovih

uređaja. Sa 𝑇𝐻 je označena temperatura hladnijeg rezervoara (sredine niže

temperature) a sa 𝑇𝑇 temperatura toplijeg rezervoara (sredine više temperature).

Radno telo ovih uređaja su lakoisparljive tečnosti koje tokom rada prolaze kroz niz

termodinamičkih kružnih procesa koji se odvijaju sukcesivno. Količina toplote koju

radno telo primi, tokom ciklusa, od hladnijeg rezervoara označena je na slici 4.10 sa

𝑄𝐻 , rad izvršen nad radnim telom u ciklusu je označen sa A a količina toplote koju

radno telo (tokom ciklusa) preda toplijem rezervoaru označena je sa 𝑄𝑇 .

25

Parametri stanja (pritisak, zapremina i temperatura) imaju početne vrednosti. 26

Strelice označavaju smer odvijanja procesa.

Slika 4.9 Rad kružnog procesa

41

Slika 4.10 Princip rada toplotne pumpe / rashladnog uređaja

Toplotne pumpe i uređaji za hlađenje su u osnovi isti uređaji koji služe u različite svrhe.

Kod uređaja za hlađenje je krajnji cilj održavanje određenog prostora na temperaturi

koja je niža od okoline što se ostvaruje odvodeći količinu toplote iz njega u okolinu.

Svrha rada toplotnih pumpi je održavanje određenog prostora na temperaturi koja je

viša od okoline što se ostvaruje prenosom toplote iz okoline u njega. Svrsishodnost

uređaja opisuje se koeficijentom korisnog dejstva koji je različito definisan za rashladne

uređaje i toplotne pumpe. Kod uređaja za hlađenje je poželjno odvesti što veću

količinu toplote iz sredine niže temperature a da pri tome rad izvršen nad radnim

telom bude što manji. Stoga je koeficijent korisnog dejstva rashladnog uređaja

definisan izrazom:

𝜂𝑟𝑢 =

|𝑄𝐻|

|𝐴|=

|𝑄𝐻|

|𝑄𝑇| − |𝑄𝐻| . (4.31)

27

Kod toplotnih pumpi je cilj preneti što veću količinu toplote sredini više temperature a

da pri tome rad izvršen nad radnim telom bude što manji te se koeficijent korisnog

dejstva računa pomoću izraza:

𝜂𝑡𝑝 =

|𝑄𝑇|

|𝐴|=

|𝑄𝑇|

|𝑄𝑇| − |𝑄𝐻| . (4.32)

27 Pošto je za kružne procese ukupan rad jednak ukupnoj razmenjenoj količini toplote (nema promene unutrašnje energije pošto je u kružnom procesu ∆𝑈 = 0 ) važi sledeća relacija: |𝐴| = |𝑄𝑇| − |𝑄𝐻|.

topliji

rezervoar

hladniji

rezervoar

radno

telo

QT

QH

A

TT

TH

42

Koeficijenti korisnog dejstva su, u oba slučaja, pozitivne vrednosti i poželjno je da budu

što veće (koeficinetni korisnog dejstva obično imaju vrednosti koje se kreću u interval

2-5 ).28

Slika 4.11 Struktura toplotne pumpe/rashladnog uređaja

Struktura ovih uređaja sa označenim osnovnim komponentama i termodinamičkim

procesima kroz koje prolazi radno telo prikazana je na slici 4.11 Osnovne komponente

uređaja su: kompresor, ekspanzioni ventil i zatvoren sistem cevi kroz kroz koji

cirkuliše radno telo. Radno telo29

prolazi kroz niz termodinamičkih kružnih procesa. U

toku jednog cikusa menjaju se pritisak, zapremina i temperature radnog tela a kao

posledica toga dolazi do promene agregatnog stanja ( radno telo prelati iz tečnog u

gasovito agregatno stanje i obrnuto tj. dolazi do isparavanja i kondenzacije). Sastavni

deo ovih uređaja je kompresor , koji je prikazan na slici i označen brojem. Na ulasku u

kompresor i na izlasku iz njega je radno telo u gasovitom agregatnom stanju. U

kompresoru se nad radnim telom vrši rad (kompresor sabija gas) na račun električne

energije potrebne za njegovo funkcionisanje. Kompresija gasa se odvija brzo i ovaj

process se može smatrati adijabatskim. U adijabatskom procesu se pritisak povećava

ukoliko se zapremina smanji a temperatura poveća. Znači pri kompresiji gasa

temperatura gasa raste i upravo je ovo deo kružnog procesa u kom dolazi do najvećeg

28 Ukoliko se prostorija zagreva pomoću toplotne pumpe količina toplote koje se predaje toplijem rezervoaru je veća u odnosu na slučaj kad bi se električne energije potreban za pokretanje pumpe pretvarala, u električnim grejačima, direktno u toplotu. Najmanji koeficinet korisnog dejstva pri kom toplotna pumpa radi efikasno, ali bez otplate uloženih sredstava, jednak je jedinici pri čemu radno telo predaje grejaču količinu toplote koja je jednaka uloženom radu (uloženoj električnoj energiji). Ukoliko koeficijent korisnog dejstva padne ispod jedan, to se dešava kada je temperatura hladnjaka veoma niska, sistem grejanja se prebacuje na drugi režim (npr. direktno pretvaranje električne energije u toplotu). 29 Freon je uobičajeni naziv za sva jedinjenja koja se koriste kao radno telo u ovim uređajima iako mnoga od njih nisu hlorofluorougljenici, primera radi danas se u ovim uređajima između ostalog koristi i ugljen-dioksid.

43

porasta temperature radnog tela. Zatim sledi deo ciklusa tokom kog je radno telo u

kontaktu sa toplijim rezervoarom.30

Topliji rezervoar može biti voda u sistemu etažnog

grejanja ili vazduh unutar objekta. Temperatura radnog tela na ulasku u topliji

rezervoar je veća od temperature rezervoara i stoga radno telo predaje rezervoaru

toplotu na račun koje temperatura rezervoara raste dok temperature radnog tela

opada i u jednom trenutku dostiže temperature faznog prelaza iz gasovitog u tečno

agregatno stanje. Tada dolazi do kondenzacije. Tokom kondenzacije radno telo i dalje

predaje31

toplotu rezrvoaru s tim da se temperatura radnog tela ne menja (izotermski

deo ciklusa). Nakon kondenzacije se radno telo odvaja od toplijeg rezervoara. Pritisak

pod kojim se nalazi radno telo, koje je u ovom delu ciklusa u tečnom agregatnom

stanju, je velik i približno jednak pritisku koji stvara kompresor. Temperatura radnog

tela u ovom delu ciklusa je, iako niža od njegove temperature po izlasku iz kompresora,

još uvek značajno iznad temperature hladnijeg rezervoara. Hladniji rezervoar toplote

može biti zemljište, podzemna vode ili spoljašnji vazduh i on je na ovoj slici prikazan

pravougaonikom. Temperaturu radnog tela treba brzo sniziti ispod temperature

hladnijeg rezervoara a to se postiže prolaskom radnog tela kroz ekspanzioni ventil.

Pritisak sa druge strane ekspanzionog ventila je znatno manji i posledično dolazi do

smanjenja temperature i do istovremene pojave gasovite faze. U delu ciklusa koji

sledi, kada je radno telo u kontaktu sa hladnijim rezervoarom, radno telo ima manju

temperautu od rezervoara te od njega prima toplotu. Na račun primljene količine

toplote temperature radnog tela raste a istovremeno se povećava i količina gasovite

faze. U jednom trenutku temperatura radnog tela može dostići temperaturu ključanja

koja je, s obzirom na nizak pritisak koji vlada u cevima, značajno niža od temperature

pri kojoj dolazi do kondenzacije dok je radno telo u kontaktu sa toplijim rezervoarom.

Tada radno telo i dalje prima količinu toplote od hladnijeg rezervoara s tim da se

njegova temperature ne menja već dolazi do potpunog prelaska tečne u gasovitu fazu.

Nakon što je radno telo u potpunosti pešlo u gasovito agregatno stanje dolazi do

njegovog odvajanja od hladnijeg rezervoara i prolaska kroz kompresor čime počinje

novi ciklus.

U zavisnosti od toga šta je to što predstavlja topliji odnosno hladniji rezervoar, ovi

uređaju se dele na tzv. sisteme: voda-voda, vazduh-vazduh, zemlja-voda i

zemlja/vazduh.

30 Termini topliji i hladniji rezervoar ukazuju na međusobni odnos temperatura dva rezervoara a ne na međusobni odnos temperature radnog rela i rezervoara. 31 Pri faznim prelazima resublimacije, kondenzacije i očvršćavanja se oslobađa količina toplote.

44

4.5 Pitanja i zadaci za samostalan rad

1. U boci koja je projektovana da izdrži maksimalan pritisak 𝑝𝑚𝑎𝑥 = 3 MPa

zatvorena je određena količina vazduha na temperaturi 𝑡1 = 0 i pritisku

𝑝1 = 2 MPa . Da li će boca izdržati pritisak koji će se uspostaviti pri zagrevanju do

temperature 𝑡2 = 100? Zanemariti promenu zapremine posude usled promene

temperature.

2. Gas se nalazi na temperaturi 𝑡1 = 27 . Za koliko je potrebno povećati

temperaturu da bi se njegov pritisak povećao 100% pri izohorskom procesu?

3. Meteorološki balon ima zapreminu 𝑉1 = 500 cm3 na temperaturi 𝑡1 = 27

i pritisku 𝑝1 = 1000 mbar. Kolika je zapremina gasa na visini gde je pritisak

𝑝2 = 10 mbar, a temperatura 𝑡2 = −23 ? (1 bar = 105 Pa)

4. Koliko molekula kiseonika se nalazi u sudu zapremine 𝑉 = 5 𝑙 pod pritiskom

𝑝 = 0,2 MPa na temperaturi 𝑡 = 22 ?

5. Nad radnim telom rashladnog uređaja se izvrši rad od 150 J da bi se iz

rashladne komore odstranio 560 J toplote. Koliki je koeficijent korisnog dejstva

ovog uređaja?

6. Kako se menja zapremina određene količine idealnog gasa pri konstantnom

pritisku?

7. Opisati adijabatski proces.

8. Kako se menja zapremina idealnog gasa ako se pritisak poveća za 80% pri

izotermskom procesu?

9. Prikazati izobarski proces u 𝑝 − 𝑇 i 𝑝 − 𝑉 dijagramu.

10. Prikazati izotermski proces u 𝑝 − 𝑇 i 𝑇 − 𝑉 dijagramu.

11. Pri kojim uslovima realne gasove opisujemo modelom idealnog gasa?

45

5 TRANSPORT TOPLOTE

Poznato je da se toplota spontano prenosi sa tela (mesta) više na telo (mesto) niže

temperature. Postoje tri načina prenošenja toplote: strujanje (konvekcija), zračenje

(radijacija) i provođenje (kondukcija). Pomenuti procesi se često javljaju istovremeno,

ali je skoro uvek jedan od njih dominantan.

5.1 Konvekcija

Prenošenje toplote strujanjem (konvekcijom) karakteristično je za fluide32

i

podrazumeva istovremen prenos mase i toplote (fluid se kreće i prenosi toplotu, kao

što je slučaj kod centralnog grejanja). Postoje dva oblika konvekcije toplote: spontana i

prinudna. Kod spontane konvekcije se slojevi fluida različitih temperatura, budući da

imaju različite gustine, kreću pod uticajem gravitacione sile i sile potiska. Slojevi veće

temperature imaju manju gustinu te se stoga podižu uvis. Slojevi manje temperature,

budući da im je gustina veća, kreću se u suprotnom smeru.33

Prinudna konvekcija

podrazumeva da je kretanje fluida uslovljeno dejstvom neke spoljašnje sile koju stvara

npr. ventilator ili pumpa.

Inženjere građevinarstva prvenstveno interesuje prenošenje toplote između zida i

okolnog vazduha, koje se odvija strujanjem. Najjednostavnije je da granicu zida i

vazduha postavimo u koordinatni početak (𝑥 = 0). Temperaturu zida označimo sa 𝑇𝑧 a

temperaturu vazduha na dovoljnoj udaljenosti od zida sa 𝑇v. Razmotrimo slučaj kada je

𝑇𝑧 > 𝑇v odnosno kada se toplota spontano prenosi sa toplijeg zida na hladniji vazduh.

Konvektivni toplotni fluks se definiše kao količina toplote koja se usled razlike

temperatura transportuje konvekcijom u jedinici vremena:

𝜙𝑠 =

𝑑𝑄

𝑑𝜏 . (5.1)

32

tečnosti i gasove 33

Morske i vazdušne struje su primeri konvekcije nastali dejstvom gravitacione sile i sile potiska na slojeve

fluida različitih gustina (različitih temperatura).

46

Jedinica za konvektivni fluks u SI sistemu je J

s= W. Gustina konvektivnog toplotnog

fluksa predstavlja količinu toplote koja se konvekcijom prenese kroz jedinicu površine

(postavljene normalno na pravac prenosa toplote) u jedinici vremena:

𝑗𝑠 =

𝑑𝜙

𝑑𝑆=

𝑑2𝑄

𝑑𝑆𝑑𝜏 . (5.2)

Jedinica za gustinu toplotnog fluksa u SI sistemu je W

m2. Razmatrani proces konvekcije

opisuje se Njutnovim zakonom hlađenja prema kom je gustina konvektivnog toplotnog

fluksa proporcionalna razlici temperatura zida i okolnog vazduha:

𝑗𝑠 = 𝛼(𝑇𝑧 − 𝑇v) , (5.3)

gde je 𝛼 koeficijent prelaza toplote strujanjem čija je jedinica W

m2K. Prethodni izraz se

može napisati i u obliku:

𝑗𝑠 =

∆𝑇

𝑅𝑠

, (5.4)

gde je 𝑅𝑠 =1

𝛼 otpornost prelazu toplote strujanjem čija je jedinica

m2K

W. Koeficijent

prelaza toplote (𝛼) samim tim i otpornost prelazu toplote strujanjem (𝑅𝑠) zavise od

oblika površine čvrstog tela i njene hrapavosti, brzine kretanja fluida kao i od

karakteristika samog fluida kao što su gustina i specifični toplotni kapacitet. Tipične

vrednosti koeficijenta prelaza toplote strujanjem su date u tabeli 5.1.

Tabela 5.1 Vrednosti koeficijenta prelaza toplote strujanjem

tip konvekcije 𝛼 [

W

m2K]

spontana konvekcija gasova 2-25

spontana konvekcija tečnosti 10-1000

prinudna konvekcija gasova 25-250

prinudna konvekcija tečnosti 50-20000

47

5.2 Kondukcija

Provođenje toplote je proces prenošenja energije bez prenošenja supstance.

Kondukcija je glavni mehanizm transporta toplote kroz tela u čvrstom agregatnom

stanju. Do kondukcije dolazi ukoliko se temperature različitih delova tela razlikuju i tad

dolazi do prenosa toplote iz oblasti više temperature ka delovima tela niže

temperature.

Kretanje atoma (molekula) u čvrstom agregatnom stanju je ograničeno na oscilacije

oko tzv. ravnotežnih položaja pri čemu su brzina i amplituda oscilovanja srazmerne

temperaturi. Atomi međusobno interaguju što za posledicu ima transfer energije.

Ukoliko su pojedini delovi tela na različitim temperaturama, energija se prenosi iz

slojeva veće u slojeve manje unutrašnje energije. Prenos toplote sa mesta više na

mesta niže temperature ima za cilj izjednačavanje temperatura tj. uspostavljanje

termodinamičke ravnoteže.

Provođenje toplote kroz homogeno telo konstantnog poprečnog preseka

Ukoliko se temperature pojedinih delova tela menjaju tokom vremena provođenje se

naziva nestacionarnim i teško ga je matematički opisati. Pri stacionarnom provođenju

toplote temperature pojedinih delova tela se ne menjaju tokom vremena. U daljem

tekstu ćemo razmatrati stacionarno provođenje toplote pri kom se temperatura menja

duž jednog pravca. Provođenje toplote kroz zidove zgrada, ukoliko se temperature

vazduha sa obe strane zida neznatno menjaju, je primer ovakvog provođenja.

Unutrašnju i spoljašnju temperaturu zida označimo sa 𝑇𝑢 i 𝑇𝑠, površinu zida sa 𝑆, a

njedovu debljinu sa 𝑑. Toplota se prenosi u pravcu normalnom na površine zida, stoga

duž tog pravca postavljamo 𝑥 osu. Količina toplote koja se u toku kratkog vremenskog

intervala 𝑑𝜏 prenese provođenjem kroz tanak sloj zida debljine 𝑑𝑥 data je tzv.

Furijeovim zakonom:

𝑑𝑄 = −𝐾𝑆

𝑑𝑇

𝑑𝑥𝑑𝜏 , (5.5)

gde je 𝐾 toplotna provodljivost dok 𝑑𝑇

𝑑𝑥 predstavlja gradijent temperature koji opisuje

kako se temperatura menja duž 𝑥 ose. Pošto se toplota prenosi sa mesta više ka

mestima niže temperature u prethodnom izrazu postoji znak minus. Toplotna

48

provodljivost prvenstveno zavisi od vrste materijala a njena jedinica u SI sistemu je W

m·K.

U tabeli 5.2 su date vrednosti toplotne provodljivosti za neke materijale koji se koriste

u građevinarstvu.

Tabela 5.2 Toplotna provodljivost pojedinih materijala

materijal 𝐾 [

W

m · K]

materijal 𝐾 [

W

m · K]

gipsani malter 0,51 poliuretan 0,025

malter sa krečnim cementom 1,00 mineralna vuna 0,035

slama 0,045 drvena vuna 0,04

penasto staklo 0,04 beton 0,1-1,8

trska 0,045 aluminijum 237

nerđajući čelik 15,6 bakar 401

staklo 0,7-1,4 vazduh 0,026

cigla 1-1,8 tvrdo drvo 0,16

Polazeći od prethodnog izraza dobija se da je konduktivni toplotni fluks, koji

predstavlja količinu toplote koja se provede kroz telo u jedinici vremena, jednak:

𝜙𝑝 =

𝑑𝑄

𝑑𝜏= −𝐾𝑆

𝑑𝑇

𝑑𝑥 , (5.6)

dok je njegova gustina data izrazom:

𝑗𝑝 =

𝑑𝑄

𝑆𝑑𝜏= −𝐾

𝑑𝑇

𝑑𝑥 . (5.7)

49

Pri stacionarnom provođenju je toplotni fluks konstantan te je temperatura 𝑇 na

rastojanju 𝑥 od unutrašnje strane zida34

:

𝑇 = 𝑇𝑢 −

𝜙𝑝𝑥

𝐾𝑆 . (5.8)

Slika 5.1 Zavisnost temperature od koordinate 𝒙 u pravcu provođenja toplote za stacionarno provođenje kroz jednoslojni zid

Na osnovu prethodnog izraza sledi zaključak da temperatura unutrašnjosti zida

linearno opada sa porastom rastojanja 𝑥, kao što je prikazano na slici 5.1. Za 𝑥 = 𝑑 je

𝑇 = 𝑇𝑠 te prethodni izraz postaje:

𝑇𝑠 = 𝑇𝑢 −

𝜙𝑝𝑑

𝐾𝑆 , (5.9)

odakle se može izračunati konduktivni toplotni fluks znajući unutrašnju i spoljašnju

temperaturu zida, njegovu površinu i debljinu kao i toplotnu provodljivost materijala

od kog je napravljen:

𝜙𝑝 =

𝐾𝑆

𝑑 (𝑇𝑢 − 𝑇𝑠) . (5.10)

Da bi se opisalo provođenje toplote kroz sloj homogenog materijala često se umesto

toplotne provodljivosti koristi otpor provođenju toplote (toplotna otpornost). Toplotna

otpornost predstavlja količnik debljine materijala i toplotne provodljivosti:

34

Jednačina je dobijena razdvajanjem promenljivih u izrazu 5.6 i integraljenjem tako dobijenog izraza u

odgovarajućim granicama( ∫ 𝜙𝑑𝑥𝑥

0= − ∫ 𝐾𝑆𝑑𝑇

𝑇

𝑇𝑢).

50

𝑅𝑝 =

𝑑

𝐾 . (5.11)

U praksi su zidovi višeslojni, sačinjeni od slojeva različitih materijala debljine

𝑑1, 𝑑2, … , 𝑑𝑛 toplotne provodljivosti 𝐾1, 𝐾2, … , 𝐾𝑛. I tada je pri stacionarnom

provođenju toplotni fluks konstantan i može se izračunati na osnovu izraza:

𝜙𝑝 = 𝑆

𝑇𝑢 − 𝑇𝑠

∑𝑑𝑖

𝐾𝑖

𝑛𝑖=1

. (5.12)

Ukupna toplotna otpornost višeslojnog zida jednaka je zbiru toplotnih otpornosti svih

slojeva:

𝑅𝑝𝑢 = ∑

𝑑𝑖

𝐾𝑖

𝑛

𝑖=1

. (5.13)

Provođenje toplote kroz omotač cilindra

Gubitke energije pri proticanju zagrejanog fluida kroz cevi koje povezuju toplanu sa

zgradama je potrebno svesti na minimum te se cevi oblažu izolatorom. Da bi razmotrili

ovaj slučaj posmatrajmo provođenje toplote kroz omotač cilindra prikazan na slici 5.2.

Slika 5.2 Provođenje toplote kroz omotač cilindra

Temperature unutrašnje i spoljašnje površine omotača su označene sa 𝑇𝑢 i 𝑇𝑠 , dok su

unutrašnji i spoljašnji poluprečnici označeni sa 𝑟𝑢 i 𝑟𝑠, respektivno. Razmotrimo slučaj

stacionarnog provođenja kada je 𝑇𝑢 > 𝑇𝑠. Konduktivni toplotni fluks kroz cilindar

poluprečnika 𝑟 debljine 𝑑𝑟 je tada konstantan i iznosi:

51

𝜙𝑝 = −𝐾𝑆

𝑑𝑇

𝑑𝑟 , (5.14)

Toplota se prenosi kroz površinu omotača cilindra koja na rastojanju 𝑟 od ose cilindra

iznosi:

𝑆 = 2𝜋𝑟𝑙 , (5.15)

gde je 𝑙 dužina cilindra. Pošto se površina omotača cilindra povećava udaljavanjem od

ose cilinda gustina toplotnog fluksa nije konstantna u ovom slučaju. Pri stacionarnom

provođenju temperatura 𝑇 na rastojanju 𝑟 od ose cilindra iznosi35

:

𝑇 = 𝑇𝑢 −

𝜙𝑝

2𝜋𝐾𝑙 ln

𝑟

𝑟𝑢

. (5.16)

Uvrštavanjem 𝑟 = 𝑟𝑠 i 𝑇 = 𝑇𝑠 u prethodni izraz dobija se da toplotni fluks kroz omotač

cilindra iznosi:

𝜙𝑝 = 2𝜋𝐾𝑙

𝑇𝑢 − 𝑇𝑠

ln𝑟𝑠

𝑟𝑢

. (5.17)

5.3 Radijacija

Sva tela emituju elektromagnetne talase pošto se jedan deo energije termičkog

kretanja atoma, jona ili molekula pretvara u energiju elektromagnetnog zračenja.

Elektromagnetni talasi prenose energiju kroz prostor i ta energija biva delimično

apsorbovana od strane drugih tela koja se nađu na putu ovih talasa. Deo apsorbovane

energije se može transformisati u unutrašnju energiju što ima za posledicu porast

temperature tela. Na ovaj način se, sumarno gledano, energija prenosi sa tela više na

telo niže temperature. Interesantno je napomenuti da se prenos toplote zračenjem

između dva tela odvija iako ih razdvaja sredina čija je temperatura niža od temperature

35

Jednačina 5.16 je dobijena uvrštavanjem izraza 5.15 u izraz 5.14, razdvajanjem promenljivih i

integraljenjem (∫𝜙

2𝜋𝐾𝑙

𝑟

𝑟1

𝑑𝑟

𝑟= − ∫ 𝑑𝑇

𝑇𝑠

𝑇𝑢).

52

oba tela. 36

Drugi oblici prenošenja toplote mogu se odvijati samo u materijalnim

sredinama dok se elektromagnetni talasi prostiru i kroz vakuum. Stoga je zračenje

dominantan oblik prenošenja energije u vasioni.37

Spektar emitovanih elektromagnetnih talasa zavisi od temperature tela te se ovo

zračenje naziva se termičko, odnosno toplotno. Termičko zračenje obuhvata interval

talasnih dužina 0,1 μm − 100 μm, odnosno infracrvenu, vidljivu oblast kao i deo

ultraljubičaste oblasti. Emisioni spektar termičkog zračenja je polihromatski38

,

kontinualan i širok, pošto promena kinetičke energije atoma i molekula može imati

veoma različite vrednosti. U spektru toplotnog zračenja nisu sve talasne dužine

zastupljene sa jednakim intenzitetom. Na raspodela intenziteta po talasnim dužinama

(frekvencijama) dominantno utiče temperatura tela. Na nižim temperaturama je

najintenzivnije infracrveno zračenje, dok sa porastom temperature raste intenzitet

svetlosti. Na visokim temperaturama, reda veličine 103K, elektromagnetni talasi u

vidljivom delu spektra su najintenzivniji.

Apsolutno crno telo predstavlja ksperimentalni i

teorijski model kojim se aproksimativno opisuje

zračenje termičkih izvora. Eksperimentalni model

apsolutno crnog tela je otvor sferne šupljine čija

je unutrašnjost prekrivena čađu. Čađ ima najveću

apsorpcionu moć u prirodi koja iznosi 99 %39

.

Emisioni spektri apsolutno crnog tela sadrže samo

informacije o termičkom zračenju.40

41

Na slici 5.4 prikazana je spektralna

raspodela zračenja (spektralna emisiona

36 Sunčevo zračenje dospeva do površine Zemlje nakon što prođe kroz slojeve atmosfere koji su na mnogo

nižoj temperaturi od Zemljine površine. 37

Celokupnu energiju koju Zemlja dobija od Sunca prenose elektromagnetni talasi. 38

Polihromatski spektar sadrži više talasnih dužina za razliku od monohromatskog koji sadrži samo jednu

talasnu dužinu. 39

Čađ apsorbuje 99% upadnog intenziteta elektromagnetnih talasa. 40 Pored toga što emituje, svako telo istovremeno i apsorbuje i reflektuje elektromagnetne talase koji na

njega padnu. Stoga spektri, snimljeni pomoću spektrofotometra, ne sadrže samo informacije o termičkom zračenju koje telo emituje. Neminovno se snimi i zračenje čiji izvor ne predstavlja posmatrano telo odnosno snimi se i zračenje reflektovano od površine tela. 41

Elektromagnetni talasi koji, kroz pomenuti mali otvor, uđu u unutrašnjost sfere nakon nekoliko refleksija

bivaju u potpunosti apsorbovani kao što je prikazano na slici 5.3.

Slika 5.3 Apsolutno crno telo

Slika 5.4 Spektralna emisiona moć apsolutno crnog tela na različitim

temperaturama

53

moć - 휀𝜆,𝑇) apsolutno crnog tela na različitim temperaturama. Pod spektralnom

raspodelom zračenja podrazumeva se energija koju telo emituje sa jedinične površine

u jedinici vremena u veoma uzanom intervalu talasnih dužina. Talasna dužina na kojoj

se emituje najviše energije na određenoj temperaturi označava se sa 𝜆𝑚 i na grafiku

odgovara maksimumu funkcije. Utvrđeno je da se sa porastom temperature

maksimum emisione moći apsolutno crnog tela pomera ka kraćim talasnim dužinama,

kao što se može uočiti na slici 5.4. Ova eksperimentalno ustanovljena činjenica

poznata je kao Vinov zakon pomeranja. Analitički oblik ovog zakona, određen za

apsolutno crno telo, je oblika:

𝜆𝑚 =

𝑏

𝑇 , (5.18)

gde je 𝑏 = 2,9 ∙ 10−3m · K Vinova konstanta. U spektrima toplotnog zračenja drugih

tela je takođe ustanovljeno da je talasna dužina na kojoj se emituje najviše energije

obrnuto srazmerna temperature, te izraz (5.18) aproksimativno važi i za druge

termičke izvore. Pomenuti izraz omogućava da se na osnovu emisionog spektra

proceni temperatura tela. Iz snimljenog emisionog spektra tela odredi se 𝜆𝑚 a potom

se pomoću Vinovog zakona izračuna temperatura:

𝑇 =

𝑏

𝜆𝑚

. (5.19)

Ukupna energija koju emituju tela sa jedinične površine u jedinici vremena naziva se

intenzitet zračenja ili gustina emitovanog radijacionog fluksa. Intenzitet zračenja

apsolutno crnog tela grafički predstavlja površinu ispod krive koja prikazuje emisionu

moć u zavisnosti od temperature (slika 5.4) i srazmeran je četvrtom stepenu

temperature:

𝐼 = 𝜎𝑇4 , (5.20)

gde je 𝜎 = 5,67 ∙ 10−8 W

m2K4 Štefan-Bolcmanova konstanta. Ova relacija poznata je

kao Štefan-Bolcmanov zakon zračenja.

Intenzitet termičkog zračenja koje emituju druga tela je uvek manji u poređenju sa

zračenjem apsolutno crnog tela na istoj temperaturi. Stoga se gustina emitovanog

radijacionog fluksa (intenzitet zračenja) računa kao:

54

𝑗𝑧 = 휀𝜎𝑇4 , (5.21)

gde je 휀 koeficijent emisije (emisivnost) koja se kreće u intervalu 0 ≤ 휀 ≤ 1 (휀 = 1 za

apsolutno crno telo). Emisivnost prvenstveno zavisi od stanja površine tela kao i od

njegove temperature. U tabeli 5.3 su date brojne vrednosti emisivnosti nekih

materijala.

Tabela 5.3 Emisivnost pojedinih materijala na temperaturi 𝟑𝟎𝟎 𝑲

materijal 휀

staklo 0,9

poliran čelik 0,17

crvena cigla 0,93-0,96

ljudska koža 0,95

drvo 0,82-0,92

zemljište 0,93-0,96

gipsani malter 0,93

beton 0,93

Posmatrajmo telo apsolutne temperature 𝑇 čija je ukupna površina 𝑆. Temperaturu

okoline u kojoj se nalazi posmatrano telo označimo sa 𝑇𝑜𝑘, pri čemu je 𝑇 > 𝑇𝑜𝑘 .

Sumarni radijacioni toplotni fluks između tela i okoline se može proceniti na osnovu

izraza:

𝜙𝑧 = 휀𝑆𝜎(𝑇4 − 𝑇𝑜𝑘4 ) , (5.22)

Pored toga što omogućava da se aproksimativno opiše zračenje termičkih izvora,

model apsolutno crnog tela je obeležio početak razvoja savremene kvantne fizike. Svi

pokušaji da se eksperimentalno dobijena zavisnost emisione moći apsolutno crnog tela

55

od talasne dužine objasni teorijskim zakonitostima klasične fizike bili su bezuspešni.

Problem je rešen 1900. godine kada je nemački fizičar Maks Plank postavio hipotezu da

se elektromagnetno zračenje ne emituje kontinualno, već u tačno određenim paketima

(kvantima) energije:

𝐸 = ℎ𝜈 =

ℎ𝑐

𝜆 , (5.23)

gde je ℎ = 6,626 · 10−34 Js Plankova konstanta, 𝜈 frekvencija, a 𝜆 talasna dužina

zračenja. Prethodni izraz definiše energiju fotona, pošto su kvanti energije

elektromagnetnog zračenja nazvani fotoni.

5.4 Pitanja i zadaci za samostalan rad

1. Nabrojati načine prenošenja toplote.

2. Izračunati konduktivni toplotni fluks kroz omotač cilindra unutrašnjeg

prečnika 15 cm obračunat po jedinici dužine cilindrične cevi. Spoljašnji

poluprečnik cilindra je 10 cm. Temperature unutrašnje i spoljašnje površine

cilindričnog sloja iznose 60 i 300 K, respektivno. Toplotna provodljivost

materijala je 0,5W

Km

3. Od čega zavisi koeficijent prelaza toplote?

4. Kako se toplota prenosi provođenjem?

5. Otpor provođenju toplote dvoslojnog zida od maltera i cigle iznosi

0,127 m2K

W. Poznato je da debljina maltera iznosi 2 cm a njegova toplotna

provodljivost 0,51W

Km , dok je je toplotna provodljivost cigle 1,7

W

m·K. Na osnovu

ovih podataka izračunati debljinu sloja od cigle.

6. Da li je sledeća tvrdnja tačna? Ukupna energija koja se emituje sa jedinične

površine u jedinici vremena naziva se intenzitet zračenja (𝐼) i istovremeno

predstavlja ukupnu snagu koja se emituje sa jedinice površine odnosno gustinu

emitovanog radijacionog fluksa.

7. Sa porastom temperature tela talasna dužina na kojoj se emituje najviše

energije zračenjem: a) raste; b) opada; c) ne menja se; d) kod nekih tela raste dok

kod drugih opada – odnosno nema pravila. Zaokružiti tačno.

56

8. Talasna dužina na kojoj neko telo emituje najviše energije iznosi

0,005 mm. Kolika je temperatura površine tela uz pretpostavku da ono zrači kao

apsolutno crno telo?

9. Kako intenzitet zračenja apsolutno crnog tela zavisi od temperature?

57

6 ELASTIČNOST

Među česticama (atomima, molekulima ili jonima) od kojih su tela izgrađena deluju sile

elektromagnetne prirode koje sistem čine kompaktnim. Ove kohezione elastične sile

imaju osobinu da su jednake nuli kad se čestice nalaze na ravnotežnim rastojanjima.

Ukoliko se rastojanje između česticama npr. smanji, u odnosu na ravnotežno, ove sile

se aktiviraju i postaju odbojne42

u težnji da vrate čestice na ravnotežno rastojanje.

Utvrđeno je da se intenzitet elastičnih sila direktno proporcionalan promeni rastojanja

(𝑥) u odnosu na ravnotežno:

𝐹 = −𝑘𝑥 . (6.1)

Konstanta srazmere 𝑘 je koeficijent elastičnosti koji zavisi od vrste materijala. Jedinica

za koeficijent elastičnosti u SI sistemu je N

m. Do promene međusobnog rastojanja među

česticama dolazi pri deformaciji tela. Pod deformacijom se podrazumeva promena

dimenzija i oblika tela pod dejstvom spoljašnjih sila. Znak minus u izrazu 6.1 označava

da se elastične sile suprotstavljaju delovanju spoljašnjih sila, odnosno teže da vrate

čestice u ravnotežne položaje. Kod deformacije istezanja rastojanje između čestica

raste pa unutrašnje elastične sile imaju privlačni karakter. Nasuprot tome, pri sabijanju

su elastične sile odbojne jer se čestice približavaju na rastojanja koja su manja od

ravnotežnog. Postojanje unutrašnjih elastičnih sila u oba slučaja ima za posledicu da se

telo pri deformaciji nalazi u tzv. napetom stanju. Pri deformaciji telo poprima konačan

oblik i dimenzije kad se unutrašnje elastične sile uravnoteže sa spoljašnjim silama. Ako

se po prestanku dejstva spoljašnjih sila telo vrati u stanje pre deformacije, deformacija

je elastična. Kod plastične deformacije telo po prestanku dejstva spoljašnjih sila ostaje

trajno deformisano.

Deformacije istezanja (sabijanja) i smicanja predstavljaju osnovne deformacije (slika

6.1 ). Istezanje (sabijanje) nastaje ako spoljašnje sile deluju normalno na površinu, a

smicanje u slučaju kada sile deluju tangencijalno. Različite složene deformacije mogu

se prikazati kao kombinacija osnovnih deformacija (slika 6.1 ). Na primer, savijanje je

42

Ukoliko se rastojanje poveća sile su privlačne.

58

kombinacija istezanja i sabijanja, a torzija (uvrtanje) se svodi na osnovnu deformaciju

smicanja.

Slika 6.1 Različite vrste deformacija

6.1 Istezanje i sabijanje

Deformaciju istezanja je najjednostavnije proučavati na primeru žice koja se na jednom

kraju učvrsti, a na drugom optereti tegovima. Težina tegova predstavlja spoljašnju silu

koja uzrokuje deformaciju žice (slika 6.2). Deformisanje traje sve dotle dok unutrašnje

elastične sile po intenzitetu ne izjednače sa težinom tegova.

Na slici 6.2 je prikazano istezanje žice do kog

dolazi ukoliko sila 𝐹 deluje normalno na

površinu poprečnog preseka 𝑆. Apsolutna mera

deformacije je promena dužine žice odnosno

izduženje ∆𝐿. Kao mera deformacije koristi se i

relativna deformacija koja predstavlja odnos

promene dimenzije tela i prvobitne dimenzije, u

slučaju istezanja relativna deformacija je

količnik ∆𝐿

𝐿. Relativna deformacija je

bezdimenziona veličina. Engleski naučnik Robert

Huk eksperimentalno je ustanovio da je

relativno istezanje žice pod dejstvom sile 𝐹

srazmerno količniku sile i površine poprečnog

preseka žice:

Slika 6.2 Apsolutna deformacija pri istezanju

59

∆𝐿

𝐿=

1

𝐸

𝐹

𝑆 , (6.2)

gde je 𝐸 Jangov modul elastičnosti koji pokazuje u kojoj meri se materijal suprotstavlja

deformaciji. Sila koja deluje po jedinici površine poprečnog preseka predstavlja

normalni napon43

i označava se sa 𝜎:

𝜎 =

𝐹

𝑆 . (6.3)

Hukov zakon se shodno tome može napisati u obliku:

𝐹

𝑆= 𝐸

∆𝐿

𝐿 , (6.4)

odnosno:

𝜎 = 𝐸

∆𝐿

𝐿 . (6.5)

Ako se izraz 6.5 napiše u obliku:

𝐸 =𝜎

∆𝐿𝐿

, (6.6)

vidi se da je Jangov modul elastičnosti brojno jednak naponu pri kom bi došlo do

jedinične relativne promene dužine (ako je

∆𝐿

𝐿= 1 𝐸 = 𝜎)

44. Jangov modul ne zavisi od

geometrijskog oblika niti od dimenzija tela,

već samo od vrste materijala. Modul

elastičnosti ima istu jedinicu u SI sistemu kao

i napon čija jedinica je N

m2. U tabeli 6.1 date

su brojne vrednosti Jangovog modula

elastičnosti za neke materijale.

43

Iako je napon definisan preko intenziteta spoljašnje sile on predstavlja odgovor materijala na dejstvo sila

koje izazivaju deformaciju tela. 44

Jangov modul elastičnosti jednak je naponu pri kom se dužina žice udvostruči.

Slika 6.3 Zavisnost normalnog napona od relativne deformacije

60

Pri istezanju (sabijanju) žice dolazi i do promene poprečnih dimenzija s tim da je

relativna promena prečnika žice (∆𝑑

𝑑) manja

45 od relativne promene dužine žice (

∆𝐿

𝐿).

Odnos poprečne (transverzalne) i uzdužne (longituinalne) relative deformacje

predstavlja Poasonov koeficijent:

𝜇 = −

∆𝑑𝑑

∆𝐿𝐿

. (6.7)

Znak minus u prethodnom izrazu obezbeđuje da Poasonov koeficijent ima pozitivnu

vrednost pošto se pri istezanju prečnik žice smanjuje a pri sabijanju prečnik

povećava46

. Recipročna vrednost Poasonovog koeficijenta predstavlja Poasonov broj.

Tabela 6.1 Jangov modul elastičnosti nekih materijala

materijal 𝐸 [

GN

m2]

materijal 𝐸 [

GN

m2]

aluminijum 69 beton 15-40

čelik 180-230 pleksiglas 2,5

bakar 117 kaučuk 7,9· 10−3

srebro 83 tvrdo drvo 15,7

gvožđe 210 najlon 2-4

granit 52 staklo 50-90

Hukov zakon važi samo u određenim granicama pri deformaciji. Napon pri kome se

narušava linearna zavisnost zove se granica proporcionalnosti (tačka A na slici 6.3).

Dalje povećanje napona (od tačke A do tačke B na slici 6.3) takođe ima za posledicu

45

Promena poprečnih dimenzija se često zanemaruje s obzirom da ovu eksperimentalno utvrđenu činjenicu. 46

Ako je transverzalna relativna deformacija pozitivna longitudinalna je negativna i obrnuto.

61

izduženje žice, ali je prisutno veće ili manje odstupanje od Hukovog zakona. Napon koji

odgovara tački B naziva se granicom elastičnosti. Primenom napona većeg od granice

elastičnosti za dati materijal, žica ostaje trajno deformisana. Deo krive od tačke B do

tačke C pokazuje da izduženje raste sa povećanjem napona nešto brže nego ranije.

Posle tačke C počinje horizontalni deo krive gde se žica izdužuje bez povećanja napona.

Ova pojava se objašnjava pregrupisavanjem malih kristala unutar ispitivanog

materijala. Nakon pregrupisavanja kristala žica postaje izdržljivija i kriva opet kreće

naviše sve dok se žica konačno ne prekine. Napon pri kome dolazi do pucanja žice je

granica izdržljivosti (tačka E).

6.2 Koncept ekvivalentnog štapa

Delovi građevinskih konstrukcija su najčešće nehomogeni. Za opisivanje njihovih

elastičnih svojstava često se koristi koncept ekvivalentnog štapa. Pod ekvivalentnim

štapom se podrazumeva homogen štap, iste geometrije kao razmatrani deo

konstrukcije, koji se na isti način ponaša pri deformaciji.

Redna veza

Dvodelni štap se sastoji od homogenih štapova različitih dužina 𝐿1 i 𝐿2 i površina

poprečnog preseka 𝑆1 i 𝑆2, kao što je prikazano na slici 6.4. Štapovi su napravljeni od

različitog materijala i nadovezani su jedan na drugog, kao na slici, tako da se uzdužne

ose štapova poklapaju. Neka na dvodelni štap deluju sile koje izazivaju sabijanje štapa

u mirovanju pri čemu se deformacija odvija u oblasti važenja Hukovog zakona.

Slika 6.4 Dvodelni štap

Iz uslova ravnoteže sledi da je intenzitet sile koja deluje na štapove jednak47

. Isti slučaj

imamo kad je dvodelni štap jednim krajem oslonjen na nepomičan zid a na drugi kraj

štapa se deluje silom 𝐹 na sabijanje48

.

47

Kada bi sile bile različite dvodelni štap bi se kretao pod dejstvom rezultujuće sile.

62

Pod dejstvom sile 𝐹 dolazi do sabijanja delova štapa za ∆𝐿1 i ∆𝐿2, respektivno. Na

osnovu Hukovog zakona (izraz 6.4) ∆𝐿1 i ∆𝐿2 se mogu izraziti na sledeći način:

∆𝐿1 =

𝐹 𝐿1

𝑆1 𝐸1

, (6.8)

∆𝐿2 =

𝐹 𝐿2

𝑆2 𝐸2

, (6.9)

Ukupna promena dužine dvodelnog štapa pod dejstvom sile 𝐹 je:

∆𝐿 = ∆𝐿1 + ∆𝐿2 , (6.10)

∆𝐿 =

𝐹 𝐿1

𝑆1 𝐸1

+𝐹 𝐿2

𝑆1 𝐸2

= 𝐹 ( 𝐿1

𝑆1 𝐸1

+𝐿2

𝑆2 𝐸2

) . (6.11)

Zbog različite površine porečnog preseka naponi u štapovima se razlikuju i iznose:

𝜎1 =

𝐹

𝑆1

, (6.12)

𝜎2 =

𝐹

𝑆2

. (6.13)

Ukoliko su površine 𝑆1 i 𝑆2 jednake ima smisla govoriti o ekvivalentnom štapu i

ekvivalentnom modulu elastičnosti (𝐸𝑒). Pod ekvivalentnim štapom se podrazumeva

homogen štap iste geometrije koji se na isti način ponaša pri deformaciji. Dužina

ekvivalentnog štapa je 𝐿 = 𝐿1 + 𝐿2 a površina poprečnog preseka 𝑆 = 𝑆1 = 𝑆2. Hukov

zakon za ekvivalentni štap ima oblik:

𝐹

𝑆= 𝐸𝑒

∆𝐿

𝐿1 + 𝐿2

, (6.14)

odakle sledi da je aspolutna deformacija homogenog štapa:

48

Zid deluje na štap silom istog intenziteta a suprotnog smera što proizilazi iz III Njutnovog zakona.

63

∆𝐿 =

𝐹(𝐿1 + 𝐿2)

𝑆 𝐸𝑒

. (6.15)

Ukupna promena dužine jednaka je zbiru apsolutnih deformacija delova štapa

(∆𝐿 = ∆𝐿1 + ∆𝐿2) što se uz uslov 𝑆 = 𝑆1 = 𝑆2može zapisati:

𝐹(𝐿1 + 𝐿2)

𝑆 𝐸𝑒

=𝐹

𝑆(

𝐿1

𝐸1

+𝐿2

𝐸2

) , (6.16)

odakle se dobija da ekvivalentni Jangov modul elastičnosti zavisi od elastičnih svojstava

materijala i dužina delova na sledeći način:

𝐸𝑒 =

𝐿1 + 𝐿2

𝐿1

𝐸1+

𝐿2

𝐸2

. (6.17)

Množenjem imenioca i brojioca prethodne relacije površinom poprečnog preseka (𝑆)

dobija se:

𝐸𝑒 =

𝑆𝐿1 + 𝑆𝐿2

𝑆𝐿1

𝐸1+

𝑆𝐿2

𝐸2

=𝑉1 + 𝑉2

𝑉1

𝐸1+

𝑉2

𝐸2

, (6.18)

gde su 𝑉1 i 𝑉2 zapremine pojedinih delova.

Ukoliko se štap sastoji od n delova različitih dužina i jednakih površina poprečnog

preseka ekvivalentni Jangov modul elastičnosti se može izračunati pomoću jedne od

sledećih relacija:

𝐸𝑒 =

∑ 𝐿𝑖𝑛𝑖=1

∑ 𝐿𝑖

𝐸𝑖

𝑛𝑖=1

(6.19)

𝐸𝑒 =

∑ 𝑉𝑖𝑛𝑖=1

∑ 𝑉𝑖

𝐸𝑖

𝑛𝑖=1

(6.20)

Paralelna veza

64

Dav štapa od različitog materijala, istih dužina 𝐿 a različitih površina porečnog

preseka 𝑆1 i 𝑆2, postavljeni su jedan uz drugog (paralelno) kao na slici 6.5 . Krajevi

štapova su čvrsto spojeni. Štapovi su zajedno opterećeni na istezanje pod dejstvom

sile 𝐹 koja izaziva deformaciju u oblasti važenja Hukovog zakona.

Slika 6.5 Paralelno spojeni štapovi

Apsolutne i relativne deformacije oba štapa su u ovom slučaju jednake (∆𝐿 = ∆𝐿1 =

∆𝐿2 i 𝛿 = 𝛿1 = 𝛿2). Istezanje se razmatra pod pretpostavkom da za oba štapa važi

Hukov zakon te, iz jednakosti relativnih deformacija, sledi da je količnik napona i

Jangovog modula elastičnosti isti za oba materijala:

𝜎1

𝐸1

=𝜎2

𝐸2

. (6.21)

Očigledno je da naponi u štapovima nisu jednaki pošto je njihov odnos jednak odnosu

Jangovih modula elastičnosti (𝜎1

𝜎2=

𝐸1

𝐸2). Materijal većeg Jangovog modula elastičnosti

je pod većim naponom.

Na štapove pojedinačno deluju sile 𝐹1 i 𝐹2 čiji zbir je jednak sili koja deluje na dvodelni

štap (𝐹 = 𝐹1 + 𝐹2). Hukov zakon za štapove pojedinačno se može napisati na sledeći

način:

𝐹1

𝑆1

= 𝐸1

∆𝐿

𝐿 ; (6.22)

𝐹2

𝑆2

= 𝐸2

∆𝐿

𝐿 . (6.23)

Polazeći od rethodnih relacija dobijaju se izrazi za intenzitete sila 𝐹1 i 𝐹2:

65

𝐹1 = 𝐸1𝑆1

∆𝐿

𝐿 (6.24)

𝐹2 = 𝐸2𝑆2

∆𝐿

𝐿 (6.25)

Dvodelni štap se može posmatrati kao celina dužine 𝐿 i površine porečnog preseka

𝑆 = 𝑆1 + 𝑆2. Hukov zakon za ovaj ekvivalentni štap ima oblik49

:

𝐹

𝑆1 + 𝑆2

= 𝐸𝑒

∆𝐿

𝐿 . (6.26)

S obzirom da je 𝐹 = 𝐹1 + 𝐹2 prethodna relacija dobija oblik:

𝐸1𝑆1∆𝐿𝐿

+ 𝐸2𝑆2∆𝐿𝐿

𝑆1 + 𝑆2

= 𝐸𝑒

∆𝐿

𝐿 , (6.27)

odakle sledi:

𝐸𝑒 =

𝐸1𝑆1 + 𝐸2𝑆2

𝑆1 + 𝑆2 . (6.28)

Ekvivalentni modul elastičnosti se može izraziti i preko zapremina delova štapa.

Ukoliko se imenilac i brojilac prethodne relacije pomnože sa 𝐿 dobija se:

𝐸𝑒 =

𝐸1𝑆1𝐿 + 𝐸2𝑆2 𝐿

𝑆1𝐿 + 𝑆2𝐿 =

𝑉1𝐸1 + 𝑉2𝐸2

𝑉1 + 𝑉2

, (6.29)

gde su 𝑉1 i 𝑉2 zapremine pojedinih materijala.

Elastična deformacila 𝑛 međusobno paralalenih štapova, iste dužine i različitih

površina poprečnog preseka koji su spojeni na krajevima kao što je prikazano na slici, u

oblasti važenja Hukovog zakona može se opisati ekavivalentnim modulom elastičnosti

koji se računa na sledeći način:

49

Apsolutna deformacija ekvivalentnog štapa pod dejstvom sile 𝐹 je jednaka je apsolutnoj deformaciji

štapova pojedinačno i iznosi ∆𝐿.

66

𝐸𝑒 =

∑ 𝐸𝑖𝑆𝑖𝑛𝑖=1

∑ 𝑆𝑖𝑛𝑖=1

=∑ 𝑉𝑖

𝑛𝑖=1 𝐸𝑖

∑ 𝑉𝑖𝑛𝑖=1

. (6.30)

Kompoziti

Kompozitni materijali (kompoziti), predstavljaju kombinaciju dva ili više materijala sa

različitim svojstvima. Primer kompozitnih materijala koji se koriste u građevinarstvu su

beton, malter, stakloplastika (fiberglas), armirani beton50

, ojačano staklo, šperploča

itd.. Kombinovanje različitih materijala se vrši u cilju dobijanja kompozita željenih

karakteristika, npr. male gustine i velike čvrstoće. Kompoziti mogu biti: ojačani

česticama, ojačani vlaknima, laminatni i kombinovani. Kompozit ojačan česticama je

beton. Primer kompozita ojačanog vlaknima je stakloplastika, kod koje je u polimernu

matricu ubačena staklena vlakna. Šperploča je laminatni kompozit koji se sastoji od

unakrsno lepljenih furnira drveta.

U pogledu fizičkih osobina kompoziti mogu biti izotropni i anizotropni. Ukoliko su

čestice raspoređene ravnomerno, kompoziti ojačani česticama su izotropni. Kompoziti

ojačani vlaknima su najčešće anizotropni, dok su laminatni kompoziti anizotropni.

Elastična svojstva kompozita zavise od elastičnih svojstava materijala koji se

kombinuju, njihovih zapreminskog odnosa ali i od drugih faktora. Na primer, kod

kompozita ojačanih vlaknima modul elastičnosti zavisi od orijentacije vlakana u odnosu

na pravac delovanja sile. Ukoliko su vlakna orijentisana u pravcu delovanja sile modul

elastičnosti dvokomponentnog kompozita se određuje pomoću izraza51

:

𝐸𝑐 =

𝑉𝑣𝐸𝑣 + 𝑉𝑚𝐸𝑚

𝑉𝑣 + 𝑉𝑚

= 𝑣𝑣𝐸𝑣 + 𝑣𝑚𝐸𝑚 , (6.31)

u kom 𝑣𝑣 =𝑉𝑣

𝑉𝑣+𝑉𝑚 i 𝑣𝑚 =

𝑉𝑚

𝑉𝑣+𝑉𝑚 predstavljaju zapreminski udeo vlakana i osnove

(matrice), respektivno, dok su 𝐸𝑣 i 𝐸𝑚 njihovi moduli elastičnosti. Ako je opterećenje

normalno na pravac vlakana, modul elastičnosti kompozita se računa pomoću izraza52

:

50

U poslednje vreme se čelična armatura zamenjuje armaturom od kompozitnog materijala. 51

Pošto izraz istog oblika važi za paralelnu vezu dva štapa iste dužine (relacija 6.29) sledi zaključak da su

vlakna i matrica pod različitim naponima pri deformaciji istezanja u pravcu vlakana. 52

Izraz istog oblika važi za rednu vezu dva štapa iste površine poprečnog preseka (relacija 6.20).

67

1

𝐸𝑐

=

𝑉𝑣

𝐸𝑣+

𝑉𝑚

𝐸𝑚

𝑉𝑣 + 𝑉𝑚

=𝑣𝑣

𝐸𝑣

+𝑣𝑣

𝐸𝑣

. (6.32)

Kompoziti ojačani vlaknima u jednom pravcu su anizotropni, najveći modul elastičnosti

je u pravcu vlakana. U tom pravcu se povećavaju čvrstoća i krutost. U pravcu normale

na vlakna su pomenuta svojstva loša, modul elastičnosti je znatno manji, ponekad

manji i od modula elastičnosti same matrice. Da bi se postigla optimalna svojstva u više

pravaca, kompoziti često sadrže slojeve sa različitom orijentacijom vlakana. Ukoliko je

orijentacija vlakana slučajna kompoziti se pri deformaciji ponašaju izotropno, ali je

ojačanje malo.

6.3 Smicanje

Do smicanja dolazi pod dejstvom sprega53

sila kao što je prikazano na slici 6.6 . Sile koje

izazivaju smicanje deluju tangencijalno na površine te se u materijalu javlja

tangencijalni napon 𝜎𝜏 =𝐹

𝑠, definisan preko količinika intenziteta sile 𝐹 i površine 𝑆.

Kod smicanja dolazi do paralelnog pomeranja tankih slojeva u unutrašnjosti tela.

Slojevi se pomeraju, jedan u odnosu na drugog, paralelno pravcima dejstva spoljašnjih

sila. Deformacija smicanja se prvenstveno ispoljava preko promene oblika tela, kao što

je prikazano na slici 6.6 na kojoj je prikazano nedeformisano telo oblika pravouglog

paralelopipeda i isto telo nakon deformacije smicanja.

Slika 6.6 Deformacija smicanja

U prikazanom primeru smicanja došlo je do pomeranja dve međusobno paralelne

stranice paralelograma za ∆𝑥 koje predstavlja apsolutnu deformaciju pri smicanju.

53

Spreg sila obrazuju dve međusobno paralelne sile, istih intenziteta i suprotnog smera, koje imaju različite

napadne tačke na posmatranom telu.

S

L

68

Relativna deformacija pri smicanju je količnik apsolutne deformacije i međusobnog

rastojanja paralelnih stranica. Sa slike 6.6 se vidi da relativna deformacija pri smicanju

(pomenuti odnos ∆𝑥

𝐿) predstavlja trigonometrijsku funkciju ugla 𝜃:

tg𝜃 =

∆𝑥

𝐿 . (6.33)

Pri smicanju je relativna deformacija srazmerna tangencijalnom naponu:

𝜎𝜏 = 𝐸𝑠

∆𝑥

𝐿 , (6.34)

gde je 𝐸𝑠 modul smicanja. U tabeli 6.2 su date brojne vrednosti modula smicanja za

različite materijale.

Modul smicanja je povezan sa Jangovim modulom elastičnosti preko Poasonovog

koeficijenta (definisanog izrazom 6.7) sledećom relacijom:

𝐸𝑠 =

𝐸

2(1 + 𝜇) . (6.35)

Tabela 6.2 Modul smicanja pojedinih materijala

materijal 𝐸𝑠 [GPa] materijal 𝐸𝑠 [GPa]

aluminijum 25 beton 2,6-3,5

čelik 83 bakar 42

gvožđe 77 olovo 54

6.4 Zapreminska deformacija

Ukoliko je telo potopljeno u tečnost dolazi do zapreminske deformacije odnosno do

smanjenja zapremine za ∆𝑉 u odnosu na zapreminu 𝑉 u vazduhu. Ukoliko se slojevi

tečnosti ne kreću jedan u odnosu na drugog do zapreminske deformacije dolazi pod

69

dejstvom hidrostatičkog pritiska. Pri zapreminskoj deformaciji je relativna deformacija

je srazmerna hidrostatičkom pritisku kojim tečnost deluje na telo:

𝑝 = 𝐵

∆𝑉

𝑉 , (6.36)

gde je 𝐵 zapreminski modul stišljivosti. U tabeli 6.3 su date brojne vrednosti

zapreminskog modula stišljivosti.

Tabela 6.3 Zapreminski modul stišljivosti pojedinih materijala

materijal 𝐵 [GPa] materijal 𝐵 [GPa]

aluminijum 71 dijamant 443

čelik 140 najlon 6,1

gvožđe 160 bakar 130

pireks staklo 26 voda 2,2

6.5 Termičko širenje i naponi

Do promena dimenzija tela može doći ne samo pod dejstvom sila već i usled promene

temperature tela. Pri zagrevanju se dimenzije tela povećavaju, dok je pri hlađenju

obrnuto54

. Posmatrajmo šipku dužine 𝐿 koja se nalazi na temperaturi 𝑇. Ukoliko se

temperatura šipke promeni za ∆𝑇, promena njene dužine iznosi:

∆𝐿 = 𝐿𝛼∆𝑇 , (6.37)

gde je 𝛼 koeficijent linearnog širenja čija je jedinica u SI sistemu 1

. Koeficijent

linearnog širenja zavisi od vrste materijala i od temperature. Promena 𝛼 sa

temperaturom se u proračunima zanemaruje ukoliko promena temperature nije velika.

U tabeli 6.4 su date brojne vrednosti temperaturskog koeficijenta linearnog širenja

54

Izuzetak je klasa materijala sa negativnim koeficijentom linearnog širenja u određenom temperaturskom

intervalu, npr. voda u temperaturskom intervalu 0 − 4.

70

pojedinih materijala. Ako sa 𝐿0 označimo dužinu šipke na temperaturi 0 a sa 𝐿’

dužinu na temperaturi 𝑡 prethodni izraz se može naposati u obliku:

𝐿’ − 𝐿0 = 𝐿0𝛼𝑡 , (6.38)

odakle se dobija:

𝐿’ = 𝐿0(1 + 𝛼𝑡). (6.39)

Tabela 6.4 Koeficijent linearnog širenja pojedinih materijala

materijal 𝛼 [

10−6

]

materijal 𝛼 [

10−6

]

aluminijum 21-24 beton 9-11

čelik 11-12,5 granit 7,9-8,4

bakar 17 staklo 4-9

srebro 19 tvrdo drvo 3-9

gvožđe 12 najlon 80-100

Razmotrimo slučaj zagrevanja šipke koja je postavljena u procep širine 𝐿, npr. između

dva nepomična zida. Neka je rastojanje između zidova neznatno veće u poređenju sa

dužinom šipke. Dužina šipke raste sa porastom temperature i u jednom trenutku

postaje jednaka rastojanju između zidova. Od tog trenutka nadalje šipka se nalazi u

napetom stanju pošto nema prostora za povećanje dužine do kog bi došlo usled

porasta temperature. Polazeći od izraza 6.37 dobija se da relativna promena dužine pri

71

zagrevanju iznosi ∆𝐿

𝐿= 𝛼∆𝑇 , što uvrštavanjem u izraz 6.5 daje izraz za termički

napon55

:

𝜎 = 𝐸

∆𝐿

𝐿= 𝐸𝛼∆𝑇 . (6.40)

Sa porastom temperature sve dimenzije tela rastu te se menja i njegova zapremina. Pri

promeni temperature tela za ∆𝑇 njegova zapremina poraste za:

∆𝑉 = 𝑉𝛽∆𝑇 , (6.41)

gde je 𝛽 koeficijent zapreminskog širenja. Koeficijenti linearnog i zapreminskog širenja

su povezani relacijom:

𝛽 = 3𝛼 . (6.42)

Ukoliko pri zagrevanju telo nema prostora za povećanje zapremine javlja se napon:

σ = 𝐵𝛽∆𝑇 . (6.43)

Termički naponi u nehomogenim štapovima

Kada su dva materijala sa različitim koeficijentima termičkog širenja i različitim

elastičnim svojstvima primorana da se šire zajedno dolazi do termičkih napona. Primeri

su: stakloplastika, višeslojni zidovi, prozorski okvir i staklo, cevi toplovoda koje su

obmotane slojem termičke izolacije a nalaze se ukopane u tlu pa je termička dilatacija

dodatno otežana, armirani beton56

i slično. Termički naponi koji nastaju zavise od

promene temperature koja ih izaziva, geometrije višeslojnog predmeta ili građevinskog

elementa, od veličine dodirne površine i elastičnih svojstava materijala. Razmotrićemo

nekoliko različitih geometrija koje su često prisutne u građevinskim konstrukcijama.

55 Pri primeni izraza 6.40 i 6.43 u zadacima treba voditi računa da je ∆𝑇 promena temperatura od trenutka

kad se javlja napon.

56 Koeficijenti termičkog širenja čelika i betona imaju bliske vrednosti pa su termički naponi koji nastaju mali

ali ipak postoje.

72

Slika 6.7 Dvodelni nehomogeni štap uklješten između nepomičnih zidova

Razmotrimo termičke napone koji nastaju usled zagrevanja dvodelnog štapa,

prikazanog na slici 6.7, koji je uklješten između dva nepomična zida (oslonca). Neka je

na početnoj temperaturi štap u nenapetom stanju. Ukoliko ne bi bilo nikakvih

ograničenja u pogledu termičke dilatacije, porast remperature za ∆𝑡 bi izazvao porast

dužine sastavnih delova za ∆𝐿1 = 𝐿1𝛼1∆𝑡 i ∆𝐿2 = 𝐿2𝛼2∆𝑡. Ukupna pormena dužine

štapa bi iznosila:

∆𝐿 = 𝐿1𝛼1∆𝑡 + 𝐿2𝛼2∆𝑡 = (𝐿1𝛼1 + 𝐿2𝛼2)∆𝑡 . (6.44)

Pošto je termička dilatacija onemogućena, dužina štapa se ne menja. Isti ishod bi

postojao ako bi nakon slobodnog termičkog širenja štap bio podvrgnut sabijanju tako

da sumarno gledano nema promene dužine. Razmatranje ove zamišljene deformacije

sabijanja omogućava da se procene naponi koji se javljaju u delovima štapa. Sabijanje

štapa koji se sastoji od delova različitih dužina i površina poprečnog preseka pod

dejstvom sile 𝐹 je prethodno razmatrano te se može iskoristiti relacija (6.11).

Izjednačavanjem izraza za promenu dužine koja bi nastala termičkom dilatacijom i

apsolutne deformacije koja bi nastala pri sabijanju dobija se:

(𝐿1𝛼1 + 𝐿2𝛼2)∆𝑡 = 𝐹 (

𝐿1

𝑆1 𝐸1

+𝐿2

𝑆2 𝐸2

) , (6.45)

odakle sledi da je intenzitet sile međusobne interakcije štapa i zida:

𝐹 =

𝐿1𝛼1 + 𝐿2𝛼2

𝐿1

𝑆1 𝐸1+

𝐿2

𝑆2 𝐸2

∆𝑡 . (6.46)

Naponi u pojedinim delovima štapa mogu se izraziti preko intenziteta ove sile i

površine porečnog preseka:

73

𝜎1 =

𝐹

𝑆1

=∆𝑡

𝑆1

𝐿1𝛼1 + 𝐿2𝛼2

𝐿1

𝑆1 𝐸1+

𝐿2

𝑆2 𝐸2

, (6.47)

𝜎2 =

𝐹

𝑆2

=∆𝑡

𝑆2

𝐿1𝛼1 + 𝐿2𝛼2

𝐿1

𝑆1 𝐸1+

𝐿2

𝑆2 𝐸2

. (6.48)

Zaključujemo da je termičko naprezanje u delovima štapa različito i zavisi od svojstava

materijala, dimenzija i promene temperature.

Ukoliko je 𝑆1 = 𝑆2 naponi u delovima štapa bi bili jednaki:

𝜎 =

(𝐿1𝛼1 + 𝐿2𝛼2)

𝐿1

𝐸1+

𝐿2

𝐸2

∆𝑡 . (6.49)

Razmotrimo termičku dilataciju nehomogenog cilindričnog stuba koji se sastoji od dva

koaksijalna cilindra iste dužine, koji su smešteni jedan unutar drugog. Omotači

cilindara se ne dodiruju, kao što se vidi na slici 6.8 b) koja prikazuje poprečni presek

stuba, ali su im osnove na oba kraja fiksirane jedna za drugu (slika 6.8 a)). Cilindri su

napravljeni od dva različita materijala koji generalno imaju različite Jangove module

elastičnosti i različite koeficijente linearnog termičkog širenja. Na slici 6.9 a) prikazan

je uzdužni presek stuba dužine 𝐿 u nenapetom stanju. Usled promene temperature

dolazi do promene dužine stuba. Ukoliko bi svaki od delova mogao slobodno da se širi

unutrašnji cilindar bi promenio dužinu za:

∆𝐿1 = 𝐿𝛼1∆𝑡 , (6.50)

a spoljašnji cilindrični omotač za:

∆𝐿2 = 𝐿𝛼2∆𝑡 . (6.51)

Centralni deo stuba i omotač bi imali različite dužine kao što je prikazano na slici 6.9 b)

za slučaj kada je 𝛼1 > 𝛼2.

74

a) b)

Slika 6.8 Uzdužni a) i poprečni b) presek nemogenog stuba sastavljenog od dva koaksijalna cilindra

Slika 6.9 Termička dilatacija nehomogenog stuba sastavljenog od dva koaksijalna cilindra-prikaz uzdužnog preseka

Zbog činjenice da su cilindri međusobno povezani termička dilatacija se ne odvija na

ovaj način. Razmotrimo slučaj kada je veza idelno kruta57

tako da nakon zagrevanja

nema razlike u dužini kao što je prikazano na slici 6.9 c). Jasno je da su u tom slučaju

termički naponi koji se javljaju u materijalima posledice sabijanja unutrašnjeg cilindra

za:

∆𝐿11 =

𝐹𝐿

𝑆1𝐸1

, (6.52)

57

Iako je pri izvođenju razmatran idealizovan slučaj, krajnje formule se mogu koristiti za proračun termičke

dilatacija kompozita ojačanog vlaknima, u pravcu vlakana, i određivanje napona u njemu.

75

i istezanja spoljašnjeg omotača za:

∆𝐿22 =

𝐹𝐿

𝑆2𝐸2

. (6.53)

U prethodnim58

relacijama je površina osnove punog unutrašnjeg cilindra označena sa

𝑆1 površina osnove spoljašnjeg cilindričnog omotača sa 𝑆2 dok je sa 𝐹 označen

intenzitet sila koje izazivaju istezanje i sabijanje. Ove sile su suprotnog smera i jednake

su po intenzitetu. Promena dužine stuba u celini je označena sa ∆𝐿 i na osnovu

uvećanog prikaza dilatacije na slici 6.9 sledi da je:

∆𝐿 = ∆𝐿1 − ∆𝐿11 = ∆𝐿2 + ∆𝐿22 , (6.54)

odnosno:

𝐿𝛼1∆𝑡 −

𝐹𝐿

𝑆1𝐸1

= 𝐿𝛼2∆𝑡 +𝐹𝐿

𝑆2𝐸2

, (6.55)

odakle se konačno dobija intenzitet sile:

𝐹 =

(𝛼1 − 𝛼2)∆𝑡

1𝑆1𝐸1

+1

𝑆2𝐸2

=(𝛼1 − 𝛼2)𝑆1𝑆2𝐸1𝐸2∆𝑡

𝑆1𝐸1 + 𝑆2𝐸2

. (6.56)

Naponi koji se javljaju u pojedinim delovima su različiti i iznose:

𝜎1 =

𝐹

𝑆1

=(𝛼1 − 𝛼2)𝑆2𝐸1𝐸2∆𝑡

𝑆1𝐸1 + 𝑆2𝐸2

, (6.57)

𝜎2 =

𝐹

𝑆2

=(𝛼1 − 𝛼2)𝑆1𝐸1𝐸2∆𝑡

𝑆1𝐸1 + 𝑆2𝐸2

. (6.58)

Promena dužine dvodelnog stuba se dobija uvrštavanjem izraza za intenzitet sile u

relaciju (6.54):

58

Prethodne relacije su dobijene na osnovu Hukovog zakona uz aproksimaciju da su ∆𝐿1 i ∆𝐿2 mnogo manji

u poređenju sa 𝐿.

76

∆𝐿 = ∆𝐿1 − ∆𝐿11 = 𝐿𝛼1∆𝑡 −

𝐹𝐿

𝑆1𝐸1

=

= 𝐿𝛼1∆𝑡 −𝐿

𝑆1𝐸1

(𝛼1 − 𝛼2)𝑆1𝑆2𝐸1𝐸2∆𝑡

𝑆1𝐸1 + 𝑆2𝐸2

.

(6.59)

Konačno se, nakon sređivanja, dobija da promena dužine stuba iznosi:

∆𝐿 =

(𝛼1𝑆1𝐸1 + 𝛼2𝑆2𝐸2)𝐿∆𝑡

𝑆1𝐸1 + 𝑆2𝐸2

. (6.60)

6.6 Pitanja i zadaci za samostalan rad

1. Nabrojati osnovne deformacije.

2. Navesti jedinicu u S sistemu za napon?

3. Pod dejstvom odeđene sile dužina šipke se smanjila za 0,3%. Koliko puta je

primenjeni napon manji od Jangovog modula elastičnosti?

4. Kada dolazi do promena dimenzija tela?

5 Šipka dužine 4 m se istegla pod dejstvom napona od 1 GPa za 0,04 mm.

Koliko bi iznosilo skraćenje dužine šipke da je isti napon primenjen na sabijanje ?

6. Koeficijent linearnog širenja zlata iznosi 14,1 1

MK. Koliki je koeficijent

zapreminskog širenja zlata?

7. Šipka Jangovog modula elastičnosti 90 GPa i koeficijenta linearnog širenja

5 · 10−6 1

K postavljena je između dva nepomična zida na temperaturi 28 . Šipka

se potom zagrevala. Koliko je iznosio napon nakon zagravanja za 180 ako je

poznato da je šipka na tempraturi 92 ispunila ceo prostor između zidova?

8. Na kojoj dubini u moru bi kugla od aluminijuma, prečnika 5 cm, smanjila svoju

zapreminu na 99,95% zapremine u vazduhu? Gustina morske vode iznosi 1020 kg

m3

a zapreminski modul stišljivosti aluminijuma je 75 GPa.

9. Od čega zavisi Jangov modul elatičnosti i koeficijent linearnog širenja?

77

7 OSCILACIJE I TALASI

Kretanje koje se periodično ponavlja, na potpuno ili približno isti način pri čemu neka

veličina raste i opada, naziva se oscilatorno kretanje. Primeri ovakvog kretanja su:

kretanja klatna i kazaljki časovnika, ljuljanje na ljuljaški, klackanje, kretanje klipa u

cilindru motora, obrtanje propelera, otkucaji srca, kretanje Zemlje oko Sunca, itd.

Osnovni element oscilatornog kretanja je oscilacija pod kojom se podrazumeva jedan

ciklus kretanja koji se periodično ponavlja.

Postoje i oscilatorni procesi koji ne podrazumevaju periodično kretanje već periodičnu

promenu fizičkih veličina. Primer takvog oscilovanja je naizmenična električna struja.

Drugi značajan primer je periodična promena električnog i magnetnog polja koja

predstavlja izvor elektromagnetnih talasa.

U osnovi svakog talasnog kretanja su oscilacije. Oscilovanje, bilo ono mehaničko ili

elektromagnetno, se vrši po istim zakonitostima. Stoga ćemo prvo razmatrati

najočigledniji primer oscilovanja a to su mehaničke oscilacije.

7.1 Harmonijske oscilacije

Mehaničke oscilacije je najlakše

razmatrati na primeru tega

okačenog o oprugu, prikazanog na

slici 7.1. Teg se u početku nalazi u

stanju mirovanja, odnosno u stanju

ravnoteže. Iz ravnotežnog stanja se

teg izvodi ako oprugu dodatno

istegnemo ili sabijemo delujući na

nju silom. Ukoliko nakon početnog

uticaja prestanemo sa delovanjem

(pustimo oprugu) dolazi do

oscilatornog kretanja. Tokom

Slika 7.1 Oscilatorno kretanje

78

oscilatornog kretanja teg se kreće po jednoj istoj putanji naizmenično u dva suprotna

smera. Teg će se nakon izvesnog vremena umiriti, no razmatraćemo idealizovan slučaj

kad ne dolazi do zaustavljanja oscilatornog kretanja. Ovaj idealizovan slučaj naziva se

neamortizovano (neprigušeno) oscilovanje.

Oscilacije se, u pomenutom primeru, vrše pod dejstvom sile elastičnosti opruge koja je

uvek usmerena ka ravnotežnom položaju i stoga se naziva još i restituciona sila.

Iz iskustava nam je poznato sledeće: da bismo sabili oprugu moramo savladati silu

kojom se opruga suprotstavlja promeni dužine. Isto se dešava i pri istezanju opruge.

Veće istezanje (sabijanje) zahteva delovanje većom silom. Zaključak koji logički sledi je

da se intenzitet restitucione sile tokom oscilovanja menja. Ova sila:

𝐹 = −𝑘𝑥 , (7.1)

je srazmerna rastojanju 𝑥 u odnosu na ravnotežni položaj. Konstanta srazmere zavisi

od same opruge i predstavlja njenu konstantu elastičnosti 𝑘. Znak minus u

prethodnom izrazu označava da je ova sila uvek usmerena ka ravnotežnom položaju,

kao što je prikazano na slici 7.1. Razmatranjem neamortizovanog oscilovanja tega

okačenog o oprugu zaključeno je da se, za posmatrača koji se nalazi u ravni rotacije, po

istom zakonu kreće telo koje rotira konstantnom ugaonom brzinom ω, kao što je

prikazano na slici 7.2. Neka merenje vremena započne u trenutku kada teg, tokom

oscilovanja, prolazi kroz ravnotežni položaj59

. Rastojanje tega u odnosu na ravnotežni

položaj se tada menja po sledećem zakonu:

𝑥 = 𝑥0 sin 𝜔𝑡 , (7.2)

gde je 𝜔 kružna frekvencija. U slučaju tega mase 𝑚 okačenog o oprugu konstante

elastičnosti 𝑘 kružna frekvencija iznosi:

𝜔 = √𝑘

𝑚 . (7.3)

Rastojanje tela koje osciluje u odnosu na ravnotežni položaj naziva se elongacija (𝑥),

dok se maksimalno rastojanje (maksimalna elongacija) u odnosu na ravnotežni položaj

naziva amplituda (𝑥0). U razmatranom primeru je elongacija sinusna funkcija vremena

59

Merenje vremena može započeti u bilo kom trenutku tokom oscilovanja. Najpraktičnije je odabrati

prolazak tega kroz ravnotežni položaj jer se u suprotnom mora voditi računa o tzv. početnoj fazi oscilovanja.

79

te je stoga oscilovanje harmonijsko. Vreme trajanja jedne pune oscilacije predstavlja

period oscilovanja:

𝑇 =

2𝜋

𝜔= 2𝜋√

𝑚

𝑘 . (7.4)

Broj oscilacija u jedinici vremena je frekvencija:

ν =𝜔

2𝜋=

1

2𝜋√

𝑘

𝑚 . (7.5)

Slika 7.2 Analogija neamortizovanog harmonijskog oscilovanja i kružnog kretanja

Iako smo svi iskustveno osetili promenu brzine tokom ljuljanja na ljuljašci, mnogi će

pogrešno odgovoriti na pitanje kada je brzina tokom oscilovanja najveća, a kad

najmanja i da li se uopšte menja. Promena brzine pri ljuljanju odvija se na sledeći

način: krećući se ka najvišim tačkama putanje (amplitudama) brzina se smanjuje; u

amplitudama je brzina jednaka nuli; tokom kretanja ka ravnotežnom položaju (najnižoj

tački putanje) brzina se povećava; u ravnotežnom položaju je najveća i nakon prolaska

kroz njega se ponovo smanjuje. Isto važi za bilo koji mehanički sistem koji osciluje, pa i

za teg okačen o oprugu. Oscilatorno kretanje, dakle, nije uniformno već ubrzano jer se

brzina menja tokom vremena. Polazeći od definicije brzine po kojoj je ona jednaka

prvom izvodu pređenog puta po vremenu dobija se sledeći izraz:

v =

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑥0𝜔 cos 𝜔𝑡 . (7.6)

Maksimalna brzina tokom oscilovanja iznosi:

80

v0 = 𝑥0𝜔 . (7.7)

Ubrzanje pri oscilatornom kretanju nije konstantno, već se i ono menja tokom

vremena. Sama promena smera kretanja ukazuje da se ubrzanje, koje je vektorska

veličina, menja. Ne menja se samo smer vektora ubrzanja već se menja i njegov

intenzitet. Izraz koji prikazuje kako se intenzitet ubrzanja menja sa vremenom dobija se

polazeći od definicije ubrzanja koje predstavlja prvi izvod brzine po vremenu:

𝑎 =

𝑑v

𝑑𝑡= −𝑥0𝜔2 sin 𝜔𝑡 . (7.8)

Ubrzanje i elongacija dostižu maksimalne vrednosti u istom trenutku ali je vektor

ubrzanja uvek usmeren ka ravnotežnom položaju. Drugim rečima znak minus je

posledica činjenice da sila teži da vrati teg u ravnotežni položaj. Vrednost ubrzanja je

maksimalna u amplitudnom položaju i iznosi 𝑎0 = 𝑥0𝜔2. Minimalno ubrzanje, po

intenzitetu jednako nuli, teg ima pri prolasku kroz ravnotežni položaj.

Kinetička energija tela koje osciluje menja se tokom vremena; najmanja vrednost

kinetičke energije je jednaka nuli, a najveća iznosi 𝐸𝑘 𝑚𝑎𝑥 =𝑚v0

2

2. Minimalnu kinetičku

energiju telo ima u amplitudama, dok je kinetička energija maksimalna pri prolasku

kroz ravnotežni položaj. Pri približavanju tela ravnotežnom položaju kinetička energija

raste, a tokom udaljavanja od njega kinetička energija se smanjuje. Iskustveno je

poznato da sabijena opruga poseduje energiju koja se može iskoristiti, na primer za

izbačaj projektila katapultom. Ova enegija naziva se elastičnom potencijalnom

energijom i poseduje je i sistem telo+opruga čije se oscilatorno kretanje razmatra.

Elastična potencijalna energija zavisi od rastojanja tela u odnosu na ravnotežni položaj:

𝐸𝑝 =

𝑘𝑥2

2 . (7.9)

Tokom oscilovanja menja se elongacija, te se menja i elastična potencijalna energija.

Svi procesi, bez obzira da li se dešavaju spontano ili ne, odvijaju se u skladu sa

zakonom održanja energije. Shodno ovom zakonu ukupna energija sistema je

konstantna, ne može se uništiti ali se može pretvarati iz jednog oblika u drugi.

Promena kinetičke energije tokom oscilovanja, prema zakonu održanja energije, odvija

se tako što se kinetička energija pretvara u potencijalnu. Porast potencijalne energije

praćen je smanjenjem kinetičke i obrnuto. U idealnom slučaju, ako se zanemari

81

smanjenje amplitude tokom oscilovanja, ukupna mehanička energija (zbir kinetičke i

potencijalne energije) se ne menja:

𝐸 = 𝐸𝑘 + 𝐸𝑝 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 . (7.10)

Razmotrimo slučaj harmonijskog oscilovanja u horizontalnoj ravni 60

. Izrazi za kinetičku

i elastičnu potencijalnu energiju u ravnotežnom i amplitudnom položaju, kao i ukupnu

energiju neprigušenog oscilovanja, dati su u tabeli. U amplitudnom položaju je

elastična potencijalna energija maksimalna, dok je kinetička jednaka nuli. Pri prolasku

kroz ravnotežni položaj je obrnuto.

Tabela 7.1 Kinetička, potencijalna i ukupna energija

u ravnotežnom i amplitudnom položaju

𝐸𝑘 𝐸𝑝 𝐸 = 𝐸𝑘 + 𝐸𝑝

𝑥 = 0 𝑚v02

2

0 𝐸 =

𝑚v02

2= 𝐸𝑘 𝑚𝑎𝑥

𝑥 = 𝑥0 0 𝑘𝑥02

2 𝐸 =

𝑘𝑥02

2= 𝐸𝑝 𝑚𝑎𝑥

Iz zakona održanja mehaničke energije za neprigušeno oscilovanja sledi da je ukupna

mehanička energija jednaka maksimalnoj kinetičkoj, odnosno maksimalnoj

potencijalnoj energiji:

𝐸 = 𝐸𝑘 𝑚𝑎𝑥 = 𝐸𝑝 𝑚𝑎𝑥 →

𝑚v02

2=

𝑘𝑥02

2 . (7.11)

Jednakost između maksimalne kinetičke i maksimalne potencijalne energije može se

pokazati ako se u izraz za maksimalnu kinetičku energiju uvrsti izraz za maksimalnu

brzinu (7.7) a zatim u dobijenu jednakost uvrsti 𝜔2 =𝑘

𝑚 :

60

Promena gravitacione potencijalne energije je tada jednaka nuli.

82

𝑚v02

2=

𝑚 𝜔2𝑥02

2=

𝑚 𝑥02

2

𝑘

𝑚=

𝑘 𝑥02

2, (7.12)

Kod svakog realnog oscilovanja amplituda se smanjuje tokom vremena. Smanjenje

amplitude je posledica gubitaka mehaničke energije na trenje i otpor sredine,

pretvaranja u unutrašnju energiju itd. Oscilacije čija se amplituda smanjuje tokom

vremena nazivaju se prigušene odnosno amortizovane oscilacije. Jednačine kojima se

opisuje elongacija, brzina i ubrzanje prigušenog oscilatornog kretanja imaju znatno

složeniji oblik u odnosu na jednačine neprigušenog oscilovanja. Ukoliko se amplituda,

maksimalna brzina i maksimalno ubrzanje sporo menjaju tokom vremena prigušene

oscilacije mogu se sa zadovoljavajućom tačnošću opisati jednačinama harmonijskog

oscilovanja.

7.2 Prigušene oscilacije

Iz iskustva znamo da će se klatno61

koje osciluje umiriti nakon određenog vremena pri

čemu se amplituda oscilovanja stalno smanjuje do zaustavljanja. Ovako oscilovanje se

naziva prigušeno (amortizovano). Do smanjenja amplitude dolazi usled pretvaranja

dela mehaničke energije oscilatornog kretanja u druge vidove energije (npr. toplotu).

Do ovog pretvaranja energije, iz jednog oblika u drugi, i zaustavljanja tela dolazi usled

delovanja sile trenja (npr. sila otpora sredine). Sila otpora sredine je uvek suprotno

orijentisana od smera kretanja i pri relativno malim brzinama kretanja može se uzeti

da je srazmerna intenzitetu brzine tela. Kružna frekvencija amotrizovanog oscilovanja

𝜔1 je manja u poređenju sa kružnom frekvencijom neamortizovanog oscilovanja 𝜔0 i

iznosi:

𝜔1 = √𝜔02 − 𝛼2 , (7.13)

gde je 𝛼 – faktor prigušenja koji između ostalog zavisi od vrste sredine u kojoj telo

osciluje, kao i od mase, oblika i dimenzija samog tela. Amplituda prigušenog

oscilovanja eksponencijalno opada sa vremenom:

61 Klatno predstavlja telo koje se njiše (klati). Postoje različite vrste klatna. Pod matematičkim klatnom se podrazumeva sistem koji čine kuglica mase 𝑚 i nesitegljiva nit o koju je kuglica okačena pri čemu je poluprečnik kuglice zanemarljivo mali u odnosu na dužinu niti. Fizičko klatno predstavlja svako kruto telo koje može da osciluje oko nepokretne horizontalne ose koja ne prolazi kroz centar mase tela.

83

𝑥0(𝑡) = 𝐴𝑒−𝛼𝑡 , (7.14)

gde je 𝐴 početna (maksimalna) amplituda. Period prigušenog oscilovanja iznosi:

𝑇1 =

2𝜋

𝜔1

=2𝜋

√𝜔02 − 𝛼2

, (7.15)

i veći je u poređenju sa periodom neamortizovanog oscilovanja. Stepen prigušenja

(amortizacije) opisuje smanjenje amplitude oscilovanja u toku jednog perioda. Stepen

prigušenja je definisan odnosom:

𝑥0(𝑡)

𝑥0(𝑡 + 𝑇1)=

𝐴𝑒−𝛼𝑡

𝐴𝑒−𝛼(𝑡+𝑇1)= 𝑒𝛼𝑇1 , (7.16)

gde 𝑥0(𝑡) predstavlja amplitudu oscilovanja u trenutku vremena 𝑡 a 𝑥0(𝑡 + 𝑇1)

amplitudu oscilovanja nakon isteka jednog perioda. Na osnovu prethodnog izraza sledi

zaključak da se u toku jednog perioda oscilovanja amplituda prigušenog oscilovanja

smanji 𝑒𝛼𝑇1 puta. Prirodni logaritam stepena prigušenja:

ln 𝑒𝛼𝑇1 = 𝛼𝑇1, (7.17)

predstavlja logaritamski dekrement prigušenog oscilovanja. Logaritamski dekrement se

određuje eksperimantalno merenjem amplitude prigušenog oscilovanja.

7.3 Prinudne oscilacije

Ukoliko se mehanička energija oscilatornog kretanja nekog sistema konstantno

povećava doći će do povećanja amplitude oscilovanja, suprotno od prethodno

razmatranog slučaja. Energija oscilatornog kretanja se može povećavati delujući na

telo silom čiji se smer poklapa sa smerom kretanja tela. Jasno je da ova sila mora biti

periodična pošto se smer kretanja tela tokom oscilovanja periodično menja. Delujući

spolja ovom periodičnom silom vršimo rad na račun kog se povećava mehanička

energija oscilovanja. Kada ne bi bilo trenja amplituda oscilovanja bi stalno rasla.

Oscilovanje koje se odvija pod dejstvom spoljašnje sile naziva se prinudno oscilovanje

za razliku od slobodnog oscilovanja tokom kog na telo ne deluje spoljašnja sila.

Razmotrimo slučaj kada spolja delujući periodičnom silom naizmenično spuštamo i

podižemo telo mase 𝑚 okačeno o oprugu konstante elastičnosti 𝑘 (naizmenično

84

istežemoi i sabijajamo oprugu) i na taj način primoravamo posmatrani sistem da

osciluje. Jasno je da će frekvencija ovog prinudnog oscilovanja biti jednaka frekvenciji

spoljašnje (prinudne) sile. Prethodna tvrdnja važi generalno: frekvencija oscilovanja

tela koje osciluje pod dejstvom spoljašnje prinudne sile jednaka je frekvenciji prinudne

sile. Pri prinudnom oscilovanju može doći do rezonancije koje se ogleda u naglom i

velikom povećanju amplitude oscilovanja do kog dolazi kad se pod dejstvom prinudne

sile velika količina energije predaje sistemu. Kada ne bi postojalo trenje amplituda

oscilovanja pri rezonanciji bi teorijski porasla do beskonačnosti, no usled trenja postoje

i gubici mehaničke energije oscilovanja pa amplituda oscilovanja pri rezonanciji ima

konačnu (veliku) vrednost. Ukoliko je stepen prigušenja zanemarljivo mali do

rezonancije dolazi ukoliko se frekvencija prinudne sile 𝜈 poklopi sa frekvencijom

sopstvenih neprigušenih oscilacija koja u pomenutom primeru tega okačenog o oprugu

iznosi 𝜈0 =𝜔0

2𝜋=

1

2𝜋√

𝑘

𝑚. Tada je:

𝜈 = 𝜈𝑟 = 𝜈0 . (7.18)

Ukoliko postoji značajno prigušenje rezonantna frekvencija zavisi i od faktora

prigušenja 𝛼 i iznosi:

𝜈𝑟 =

√𝜔02 − 2𝛼2

2𝜋 . (7.19)

Praktična primena rezonancije se koristi u radiotehnici, akustici, optici i drugim

oblastima tehnike i nauke. U građevinarstvu se o rezonanciji vodi računa pri

projektovanju mostova i posebna pažnja poklanja projektovanju objekata otpornih na

zemljotrese.

7.4 Talasno kretanje

Talasno kretanje je proces prenošenja oscilacija kroz prostor u toku vremena. Talasi se

dele na mehaničke i elektromagnetne. Kod mehaničkih talasa osciluju delići sredine, a

kod elektromagnetnih talasa se periodično menjaju vektori električnog i magnetnog

polja i ta promena se prenosi kroz prostor. Mehanički talasi se prostiru samo kroz

materijalne sredine, dok se elektromagnetni talasi prostiru i kroz vakuum. Talasi kroz

prostor prenose energiju. Mehanički talasi prenose mehaničku energiju oscilatornog

kretanja, dok elektromagnetni talasi prenose energiju električnog i magnetnog polja.

85

Mehanički talasi nastaju kad se pod dejstvom

izvesne sile delić sredine (grupa atoma) izvede iz

svog ravnotežnog položaja, odnosno ako se naruši

ravnoteža sila u nekom delu prostora. Glavnu

ulogu u prenošenju oscilovanja imaju

međumolekulske sile pošto su elastična svojstva

materijala uslovljena ovim silama. Zamislimo

sistem oscilatora, kuglica međusobno povezanih

oprugama, kao na slici 7.3. Opruge demonstriraju

dejstvo međumolekulskih sila na atome (kuglice). Ukoliko se jedna od kuglica izvede iz

ravnotežnog položaja i pusti, ona će početi da osciluje i pri tome će se oscilacije preneti

i na druge kuglice i to u svim pravcima. Isto se dešava ukoliko se u određenom delu

sredine naruši ravnoteža međumolekulskih sila. Taj deo sredine postaje izvor talasa,

dok se oscilovanje prenosi i na ostale delove sredine u svim pravcima.

Slika 7.4 Elektromagnetni talas

Klasična fizika objašnjava prostiranje elektromagnetnih talasa62

na sledeći način:

vremenski promenljivo magnetno polje stvara u okolnom prostoru promenljivo

62

Postojanje elektromagnetnih talasa predvideo je Maksvel u drugoj polovini XIX veka. On je pretpostavio

da magnetno polje može nastati ne samo usled kretanja naelektrisanih čestica već i usled promene električnog polja. Njegova pretpostavka zasnivala se na uverenju da postoji potpuna analogija između

Slika 7.3 Sistem povezanih oscilatora

86

električno polja, koje u obližnjem prostoru stvara promenljivo magnetno polje itd.

Uzajamno indukovanje promenljivih električnih i magnetnih polja širi se kroz prostor u

svim pravcima. Vektori ovih polja su normalni kako međusobno, tako i na pravac

prostiranja talasa (slika 7.4). Za razliku od mehaničkih talasa koj se prostiru samo kroz

materijalne sredine, elektromagnetni talasi se mogu prostirati i kroz vakuum.

Pored pomenute podele na mehaničke i elektromagnetne talase, talasi se dele i na

osnovu kriterijuma kako delići sredine osciluju u odnosu na pravac prostiranja talasa.

Prema ovom kriterijumu talasi se dele na transverzalne i longitudinalne. Kod

transverzalnih mehaničkih talasa delići sredine osciluju normalno na pravac prostiranja

talasa (slika 7.5 a)), dok se kod

longitudinalnih mehaničkih talasa

oscilacije vrše u pravcu prostiranja talasa

(slika 7.5 b)). Primer transverzalnog

mehaničkog talasa je talas koji nastaje

okidanjem strune žičanih muzičkih

instrumenata. Nastanak longitudinalnih

talasa se jednostavno demonstrira na

primeru opruge. Ukoliko se jedan kraj

zategnute opruge pomera levo desno,

kao na slici 7.5 b), dolazi do naizmeničnog

sabijanja i istezanja pojedinih njenih

delova. U tečnom i gasovitom agregatnom stanju mogu nastati samo longitudinalni

mehanički talasi, dok u čvrstom agregatnom stanju pored longitudinalnih mogu nastati

i transverzalni mehanički talasi. Elektromagnetni talasi su uvek transverzalni.

Za razliku od jednačine oscilovanja koja daje zavisnost elongacije od vremena za jednu

tačku koja osciluje, talasna jednačina opisuje oscilovanje svih tačaka zahvaćenih

talasom. Posmatrajno progresivan talas kod kog sve tačke dostižu istu amplitudu ali u

različitim trenucima vremena. Jedan od oblika talasne jednačine progresivnog talasa

je:

električnih i magnetnih pojava. Verovao je da promene električnog polja stvaraju magnetno polje, shodno otkriću da promenljivo magnetno polje stvara električno. Postojanje elektromagnetnih talasa dokazano je nekoliko godina posle Maksvelove smrti. Nemački fizičar Herc je koristeći jednostavne električne uređaje proizveo elektromagnetne talase. Proučavajući osobine ovih talasa Herc je zaključio da talasi koje je proizveo imaju iste osobine kao svetlost. Kasnije je utvrđeno da svetlost predstavlja samo jedan uski deo spektra elektromagnetnih talasa.

Slika 7.5 a) Transverzalni i b) longitudinalni mehanički talas

87

𝛹 = 𝛹0 sinω (𝑡 −𝑥

v0

) , (7.20)

gde je 𝛹 elongacija a 𝛹0amplituda tačke

koja se nalazi na rastojanju 𝑥 od izvora

talasa. Vreme 𝑡 se meri od trenutka kad

je izvor talasa počeo da osciluje. Da bi se

opisalo oscilovanje ostalih tačaka mora

se uzeti u obzir da sve one kasne sa

osilovanjem za izvorom, drugim rečima

od vremena 𝑡 treba oduzeti vreme

kašnjenja. Vreme kašnjenja je upravo vreme potrebno da talas dospe do posmatrane

tačke i pobudi je na oscilovanje i iznosi 𝑥

v0 gde je v0 brzina prostiranja talasa a

𝑥 udaljenost tačke od izvora talasa. Kao što je već pomenuto, u osnovi talasnog

kretanja je oscilatorno kretanje pa talase opisujemo veličinama kojima se opisuje

oscilatorno kretanje: period, frekvencija, amplituda, brzina i ubrzanje tokom

oscilovanja. Pored pomenutih veličina, za talase se definišu još i talasna dužina i brzina

prostiranja. Put koji talas pređe za vreme od jednog perioda63

:

𝜆 = v0𝑇, (7.21)

naziva se talasna dužina i označava sa 𝜆. Drugim rečima talasna dužina predstavlja

najkraće rastojanje između tačaka koje osciluju u fazi64

. Ovom fizičkom veličinom

opisana je prostorna periodičnost talasnog kretanja kao što je periodom opisana

vremenska periodičnost. Uvrštavanjem 𝜔 =2𝜋

𝑇 u izraz 7.20 dobija se još jedan oblik

talasne jednačine:

𝛹 = 𝛹0 sin2𝜋 (

𝑡

𝑇−

𝑥

v0𝑇) , (7.22)

koji se polazeći od definicije talasne dužine može napisati kao:

63 U toku jednog perioda delić sredine izvrši jednu punu oscilaciju. 64

Delići sredine na rastojanju koje iznosi ceo broj talasnih dužina u određenom trenutnu vremena imaju istu

elongaciju, pravac i smer kretanja i osciluju u fazi, odnosno „sinhrono”.

Slika 7.6 Talasna dužina transverzalnog mehaničkog talasa

88

𝛹 = 𝛹0 sin2𝜋 (

𝑡

𝑇−

𝑥

𝜆). (7.23)

Brzina prostiranja talasa u homogenim sredinama je u svim tačkama ista. Pošto talas za

vreme od jednog perioda oscilovanja pređe put koji iznosi jednu talasnu dužinu, brzina

prostiranja talasa je po definiciji:

v0 =

𝜆

𝑇= 𝜆ν. (7.24)

Prethodni izraz važi generalno, za talase u svim sredinama. Brzina prostiranja talasa,

kako mehaničkih tako i elektromagnetnih, razlikuje se u zavisnosti od sredine kroz koju

se talas kreće. Elektromagnetni talasi se najvećom brzinom prostiru u vakuumu, gde

njihova brzina iznosi 𝑐 ≈ 3 ∙ 108 m

s . Brzina prostiranja mehaničkih talasa zavisi od

elastičnih karakteristika sredine. Brzina prostiranja longitudinalnih mehaničkih talasa u

čvrstom agregatnom stanju data je izrazom:

v0 = √

𝐸

𝜌 , (7.25)

gde je 𝐸 Jangov modul elastičnosti, a 𝜌 gustina. Brzina prostiranja longitudinalnih

mehaničkih talasa u gasovitom agregatnom stanju zavisi od pritiska 𝑝, gustine 𝜌 i

odnosa molarnih količina toplote gasa pri stalnom pritisku i stalnoj zapremini 𝑘 =𝐶𝑝

𝐶𝑉.

Zavisnost je oblika:

v0 = √𝑘

𝑝

𝜌 . (7.26)

Pojave koje su karakteristične za talase i ispoljavaju se i kod mehaničkih i kod

elektromagnetnih talasa su: odbijanje (refleksija), prelamanje (refrakcija),

interferencija i difrakcija talasa. Do odbijanja i prelamanja talasa dolazi na granici koja

razdvaja dve sredine. Difrakcija je skretanje talasa sa prvobitnog pravca prostiranja pri

prolasku pored prepreka ili kroz otvore. Primera radi buku sa ulice čujemo iako ne

stojimo neposredno ispred otvorenog prozora i pri tome nismo svesni da to ne bi bio

slučaj da nema difrakcije.

89

Da li talasi koji se istovremeno prostiru kroz neku sredinu utiču jedni na druge?

Pomislite na to koliko različitih informacija dobijamo pre svega putem

elektromagnetnih talasa. Kada bi talasi uticali jedni na druge, ne bismo mogli da

menjamo radio kanale, da koristimo mobilne telefone, bežični internet itd. Talasi se

prostiru nezavisno jedni od drugih, s tim da dok se prostiru kroz istu oblast dolazi do

slaganja talasa. U slučaju mehaničkih talasa čestice sredine osciluju pod zbirnim

dejstvom svih talasa. Može se reći da talasi „prolaze” jedni kroz druge kao i da

nastavljaju kretanje zadržavajući svoje osobine. Ova osobina slaganja talasa je u fizici

poznata kao princip superpozicije. Princip superpozicije važi i za mehaničke i za

elektromagnetne talase. Ovaj princip je lakše shvatiti na primeru mehaničkih talasa;

talasi koji nastanu kad nekoliko kapi padne na površinu vode šire se jedan kroz drugog

tako da se oblik talasnog fronta65

pojedinih talasa ne menja. Vide se koncentrični

krugovi koji se ne deformišu kad se dva ili više talasa kreću po istom delu vodene

površine.

7.5 Stojeći talasi

Pojava slaganja talasa zove se interferencija. Stojeći talas je specijalan slučaj

interferencije koji se javlja kada se dva talasa jednakih talasnih dužina i amplituda

kreću duž istog pravca, a u suprotnim smerovima. Takav slučaj dešava se prilikom

odbijanja ravnog progresivnog talasa od prepreke. Odbijeni talas može pojačati ili

oslabiti upadni talas u zavisnosti od odnosa njihovih faza. Do maksimalnog pojačanja

dolazi kada je elongacija upadnog talasa u tački odbijanja jednaka nuli jer će tada

odbijeni talas, zbog promene faze za 𝜋, biti u istoj fazi sa upadnim talasom.

Superpozicijom nastaje novi talas koji se ne ponaša kao progresivan, ali ima istu

frekvenciju oscilovanja. Na slici 7.7 je prikazan stojeći talas formiran na žici učvršćenoj

na oba kraja. Slika prikazuje situacuju kada se se na celokupnoj dužini žice formira

jedna talasna dužina stojećeg talasa. Amplituda oscilovanja kod stojećeg talasa menja

se od tačke do tačke. Tačke koje ne osciluju, odnosno u kojima je amplituda oscilovanja

uvek jednaka nuli, zovu se čvorovi stojećeg talasa, dok su tačke u kojima amplituda ima

maksimalnu vrednost trbusi stojećeg talasa. Pošto se trbusi i čvorovi ne pomeraju u

prostoru, ovakav talas se zove stojeći talas. Rastojanje između dva susedna čvora ili

trbuha stojećeg talasa iznosi polovinu talasne dužine, dok rastojanje između susednog

čvora i trbuha stojećeg talasa iznosi četvrtinu talasne dužine ( slika 7.7)

65

Sve tačke do kojih u datom trenutku dospe talas čine talasni front. Talasni front razdvaja deo prostora

obuhvaćen talasom od dela prostora koji talas nije obuhvatio.

90

Slika 7.7 Talasna dužina stojećeg talasa na žici učvršćenoj na oba kraja

Potrebno je ukazati na bitno različit način oscilovanja čestica sredine u slučaju

prostiranja progresivnih i stojećih talasa. Naime, kod progresivnog talasa sve čestice

osciluju sa istom amplitudom koju dostižu u različitim trenucima, sukcesivno jedna

posle druge, dok pri prostiranju stojećeg talasa čestice sredine imaju različite

amplitude, ali svoje amplitudne položaje dostižu u istom trenutku.

Pri oscilovanju šipki i žica učvršćenih na jednom ili oba kraja, kao i kod oscilovanja

vazdušnih stubova nastaju stojeći talasi66

. Razmotrimo neke od ovih slučajeva. Pri

formiranju stojećeg talasa na šipki učvršćenoj na jednom kraju na učvršćenom mestu

se formira čvor, dok se na slobodnom kraju šipke uvek javlja trbuh stojećeg talasa. Neki

od mogućih načina oscilovanja pri formiranju stojećeg talasa su prikazani na slici 7.8.

Prvi prikazani slučaj predstavlja osnovni ton (najjednostavniji način oscilovanja), a za

njim slede prvi i drugi harmonik. Može se doneti opšti zaključak da je veza između

dužine šipke 𝑙 i talasne dužine osnovnog tona i viših harmonika sopstvenih oscilacija

šipke učvršćene na jednom kraju data sledećim izrazom:

𝑙 = (2𝑘 + 1)

𝜆𝑘

4 𝑘 = 0; 1; 2 … (7.27)

Relacija koja povezuje brzinu prostiranja talasa, frekvenciju i talasnu dužinu je oblika:

𝜈𝑘 =v0

𝜆𝑘

, (7.28)

gde je 𝜈𝑘 frekvencija, a 𝜆𝑘 talasna dužina 𝑘-tog harmonika. Kombinujući relacije 7.27, i

7.28 dobija se izraz za frekvencije osnovnog tona i viših harmonika sopstvenih oscilacija

šipke učvršćene na jednom kraju:

𝜈𝑘 =

v0

𝜆𝑘

=2k+1

4𝑙√

𝐸

𝜌 . (7.29)

66 Stojeći talasi mogu nastati i pri oscilovanju učvršćenih ploča, zategnutih opni i sl.

91

Slika 7.8 Osnovni ton i prva dva harmonika sopstvenih oscilacija šipke

učvršćene na jednom kraju

Mogući izgledi stojećeg talasa kod šipke učvršćene na oba kraja prikazani su na slici 7.9

Na učvršćenim krajevima nastaju čvorovi i najjednostavniji slučaj je kad je izmedju njih,

na sredini žice, trbuh. Ovo predstavlja osnovni ton. Viši harmonici nastaju pojavom

novih čvorova i trbuha, kao što je na slici 7.9 prikazano. Veza izmedju dužine šipke i

talasne dužine osnovnog tona, odnosno viših harmonika u ovom slučaju ima oblik:

𝑙 = (𝑘 + 1)

𝜆𝑘

2 𝑘 = 0; 1; 2 … (7.30)

Izraz za frekvencije osnovnog tona i viših harmonika sopstvenih oscilacija šipke

učvršćene na oba kraja je oblika:

𝜈𝑘 =

v0

𝜆𝑘

=k+1

2𝑙√

𝐸

𝜌 . (7.31)

Slika 7.9 Osnovni ton i prva dva harmonika sopstvenih oscilacija šipke

učvršćene na oba kraja

92

Ukoliko je šipka učvršćena na sredini, na učvršćenom mestu nastaje čvor stojećeg

talasa dok na slobodnim krajevima nastaju trbusi. Na slici 7.10 je punom linijom

prikazan osnovni ton, a isprekidanom prvi harmonik sopstvenih oscilacija šipke. Po

analogiji sa prvim, mogli bi se prikazati i ostali viši harmonici. Uslov koji zadovoljavaju

stojeći talasi kod ovakvog sistema je da je veza izmedju dužine šipke i talasne dužine

oblika:

𝑙 = (2𝑘 + 1)

𝜆𝑘

2 𝑘 = 0; 1; 2 . .. (7.32)

Izraz za frekvencije osnovnog tona i viših harmonika sopstvenih oscilacija šipke

učvršćene na sredini je oblika:

𝜈𝑘 =

v0

𝜆𝑘

=2k+1

2𝑙√

𝐸

𝜌 . (7.33)

Slika 7.10 Osnovni ton i prva dva harmonika sopstvenih oscilacija

šipke učvršćene na sredini

7.6 Zvuk

Zvuk je mehanički talas koji smo u stanju da registrujemo čulom sluha. Oblast

frekvencija mehaničkih talasa koje registrujemo kreće se u intervalu od 20 Hz do

20000 Hz67. Mehanički talasi čije su frekvencije manje od 20 Hz nazivaju se

infrazvukom, dok oni sa frekvencijama većim od 20000 Hz spadaju u ultrazvuk. Brzina

zvuka u vazduhu se kreće u intervalu od 330 m

s do 400

m

s. U tečnostima je brzina zvuka

veća, u vodi na primer iznosi oko 1450 m

s. Najvećom brzinom se zvuk prostire kroz

čvrste supstance, primera radi kroz staklo se kreće brzinom od oko 5500 m

s.

67

Pojedinci mogu registrovati frekvencije nešto manje od 20 Hz i neznatno veće od 20000 Hz.

93

Bitna karakteristika zvučnih talasa je jačina (intenzitet) zvuka. Objektivna jačina zvuka

je definisana kao energija koju u jedinici vremena zvučni talasi prenesu kroz jediničnu

površinu postavljenu normalno na pravac kretanja talasa. Ova energija je srazmerna

kvadratu amplitude oscilovanja. Objektivna jačina se meri instrumentima i izražava u

jedinicama W

m2. Jačina zvuka koja se opaža čulom sluha zavisi od objektivne jačine

(intenziteta), s tim da je osetljivost ljudskog uha na različite frekvencije različita. Naše

čulo sluha je dosta nesavršen instrument jer zvuke istog objektivnog intenziteta koji se

razlikuju po frekvenciji detektuje kao zvuke različite jačine. Kao što postoje granice u

pogledu frekvencije mehaničkih talasa koje smo u stanju da registrujemo, postoji i

ograničenje u pogledu intenziteta. Ljudsko uho je najosetljivije za frekvencije od

nekoliko hiljada herca. U oblasti frekvencija gde je ljudsko uho najosetljivije

registrujemo najmanji intenzitet. Najmanji objektivan intenzitet koji smo, bez obzira

na frekvenciju, u stanju da registrujemo čulom sluha naziva se prag čujnosti68

i iznosi

10−12 W

m2. Najveći intenzitet zvuka koji uho nesmetano registruje slabo zavisi od

frekvencije i iznosi oko 1 W

m2. Ovaj intenzitet se naziva granicom bola, iako kod većine

ljudi pri intenzitetu zvuka ovog reda veličine nastaje samo nelagodnost, dok se bol

javlja pri otprilike 10 W

m2.

Ispitivanjem ljudskog čula sluha utvrđeno je da se promena intenziteta ne registruje

linearno već logaritamski. Stoga je uvedena veličina koja se naziva nivo jačine zvuka ili

čujnost, definisana na sledeći način:

𝐿 = 10𝑙𝑜𝑔10

𝐼

𝐼0

, (7.34)

gde je 𝐼 intenzitet zvuka dok 𝐼0 predstavlja intenzitet na pragu čujnosti 𝐼0 = 10−12 W

m2.

Ovako definisana veličina objektivno predstavlja broj, ali joj je pripisana jedinica

decibel (dB). Čujnost zvuka na pragu čujnosti, pri intenzitetu 𝐼 = 10−12 W

m2 , iznosi

0 dB, dok je čujnost na granici bola ( 𝐼 = 1 W

m2 ) 120 dB. Najmanja promena nivoa

intenziteta zvuka (tj. čujnosti) koju će detektovati osobe, koje nemaju problema sa

sluhom, u proseku iznosi 1 dB. Primera radi neka se čujnost poveća sa 𝐿1 = 45 dB na

𝐿2 = 46 dB, proračun koji sledi:

68

Oko 1 % ljudske populacije je u stanju da registruje intenzitet koji je manji od 10−12 W

m2 .

94

∆𝐿 = 𝐿2 − 𝐿1 = 10𝑙𝑜𝑔10

𝐼2

𝐼0

− 10𝑙𝑜𝑔10

𝐼1

𝐼0

(7.35)

∆𝐿 = 10𝑙𝑜𝑔10

𝐼2

𝐼0

𝐼1

𝐼0

= 10𝑙𝑜𝑔10

𝐼2

𝐼1

(7.36)

𝐼2

𝐼1

= 10∆𝐿10, (7.37)

pokazuje da ćemo promenu u jačini zvuka detektovati ukoliko se intenzitet zvuka

najmanje povećao (smanjio) 100,1 = 1,26 puta. Ustanovljeno je da ukoliko čujnost

poraste za 10 dB subjektivna jačina buke (procena glasnoće) poraste dva puta.

Primera radi nivo jačine zvuka od 50 dB se procenjuje duplo glasnijim od nivoa jačine

zvuka od 40 dB.

7.7 Reverberacija

Prostiranje zvuka u otvorenom prostoru se opisuje zakonom koji važi za slobodno

zvučno polje. Pod slobodnim zvučnim poljem se podrazumeva da zvuk na svom putu

nema nikakvih prepreka. Realno to nikad nije slučaj jer je tlo prepreka koja uvek postoji

i koju ne možemo ukloniti69

. Iako u u prirodi nema prostora bez refleksija pomenuti

model omogućava da se na zadovoljavajući način opiše prostiranje zvuka u slučaju da

je prisutan mali broj prepreka. Prema zakonu slobodnog zvučnog polja intenzitet zvuka

𝐼 opada srazmerno kvadratu rastojanja 𝑟 od zvučnog izvora:

𝐼 =

𝑊

4𝜋𝑟2 , (7.38)

gde 𝑊 predstavlja ukupnu snagu koju izvor emituje u svim pravcima. Shodno ovom

zakonu nivo intenziteta zvuka opadne za ≈ 6 dB ako se rastojanje od izvora udvostruči.

U uslovima u kojima je broj prepreka prostiranju zvuka u otvorenom prostoru mali,

69

Slobodan prostor podrazumeva prostor u kom nema refleksija, već u svakoj tački postoji samo direktan

zvuk koji dolazi od samog izvora. Slobodan prostor se može realizovati samo u laboratorijskim uslovima, takva prostorija je poznata kao anehoična ˶gluvaʺ soba. Zidovi ove sobe su obloženi reljefnim konstrukcijama od materijala koji dobro apsorbuju zvuk. Ovakva reljefna struktura i upotreba posebnih materijala obezbeđuje da se refleksija zvuka svede na minimum.

95

zvučno polje se aproksimativno može smatrati slobodnim pa, prethodno pomenuta

zakonitost daje zadovoljavajuće rezultate pri proračunima.

Pri prostoranju zvuka u zatvorenom prostoru zakon slobodnog zvučnog polja ni

aproksimativno ne daje zadovoljavajuće rezultate. Razlog za to leži u činjenici da na

prostiranje zvuka u zatvorenom prostoru jako utiče refleksija zvuka od zidova i

predmeta u prostoriji, kao i apsorpcija zvuka do koje dolazi pri svakoj refleksiji. U

zatvorenim prostorijama postoji složeno zvučno polje nastalo sabiranjem direktnog i

reflektovanog zvuka.

Slika 7.11

Slušalac (prijemnik) zvuka je u zatvorenom prostoru izložen direktnom zvuku i zvuku

koji nakon refleksija o zidove i predmete u prostoriji dospeva do njega, kao što je

slikovito prikazano na slici 7.11. Na slici su prikazani pređeni putevi od izvora zvuka do

prijemnika za direktan zvuk i zvuk koji nakon jedne ili više refleksija dospeva do

prijemnika. Svi ovi zvučni signali su emitovani istovremeno (prenose identičnu

informaciju) ali do prijemnika stižu u različitim trenucima vremena. Direktni zvuk

dospeva prvi do slušaoca, dok ostali zvučni signali kasne pošto je njihov pređeni put do

slušaoca veći (videti sliku). Reflektovani zvuk koji kasni za direktnim zvukom manje od

0,05 s doprinosi razumljivosti jer povećava intenzitet detektovanog zvuka70

. Ukoliko je

vreme kašnjenja reflektovanog zvučnog signala veće od 0,05 s reflektovani zvuk

nepovoljno utiče na razumljivost, pošto će ga naše uho detektovati odvojeno od

direktnog zvuka. U velikim prostorijama zvuk se moze čuti i izvesno vreme, čak i

nekoliko sekundi, nakon isključenja izvora kao rezultat postojanja odbijenih talasa. Kod

prostorija kod kojih je prigušenje slabo, recimo kod većih praznih prostorija, često se

javlja jek i odjek. Ako pretpostavimo da izgovaranje sloga traje približno 0.1 s, a brzina

zvuka je oko 340 m

s, onda se, ukoliko je rastojanje prepreke manje od 17 m, refktovani

70

Uho detektuje zvuk tako što sve informacije detektovane u toku 0,05 predstavljaju jedan signal koji nervni

sistem prenosi mozgu.

96

zvuk vraća do izvora zvuka u toku trajanja sloga. Ova pojava zove se jek. Ukoliko je pak

reflektujuća površina na rastojanju većem od 17 m javlja se odjek71

. U tom slučaju je

svaki novi zvuk delimično prekriven starim koji još nije prigušen. Jasno je da je ovo u

akustičkom smislu nepovoljna karakteristika zatvorenog prostora. S druge strane,

akustički nije povoljno ni kad postoji suviše velika apsorpcija jer se dobija suviše slab

zvuk. Tako da u zavisnosti od namene prostora postoji neka optimalna vrednost

prigušenja.

Kada zvučni signal (mehanički talas) koji prenosi energiju naiđe na neku prepreku deo

upadne energije će se reflektovati od prepreka, deo će proći kroz nju a deo će u njoj

biti apsorbovan. Koeficijent refleksije se definiše kao odnos reflektovanog i upadnog

intenziteta, (reflektovane snage i upadne snage, reflektovane energije i upadne

energije):

𝑟 =

𝐼𝑟

𝐼0

. (7.39)

Za akustiku prostorija je bitna energija koja se nakon refleksije ponovo prenosi kroz

zatvoren prostor te se apsorbovana i propuštena energija pre svega u zidovima

prostorija smatra izgubljenom, a koeficijent apsorpcije definiše preko koeficijenta

refleksije kao:

𝛼 = 1 − 𝑟 . (7.40)

Koeficijent apsorpcije zvuka zavisi od vrste materijala i od frekvencije. Koeficijent

apsorpcije teorijski može imati vrednosti između 0 i 1; sve realne površine imaju

vrednosti koje su unutar ovog intervala72

.

Pojave odbijanja i apsorpcije talasa od velikog su značaja kod prostiranja zvuka u

zatvorenom prostoru. Da bi se neki prostor akustički okarakterisao potrebno je znati

koliko u njemu iznosi vreme reverberacije. To je vreme u toku kog se energija zvuka

smanji na jedan milioniti deo prvobitne vrednosti. Pošto je prigušenje talasa

(koeficijent apsorpcije) različito za različite frekvencije, usvojeno je da se reverberacija

odredjuje za frekvenciju od 512 Hz. Vreme reverberacije se računa pomoću relacije:

71

Vreme kašnjenja veće od 0,1 s izaziva odjek (eho) tada se reflektovani zvuk vraća do izvora nakon

završenog izgovaranja sloga. 72

Koeficijent apsorpcije nikad nije jednak nuli jer uvek postoje procesi koji onemogućavaju da se sva upadna

energija reflektuje npr. usled trenja molekula vazduha o zidove jedan deo mehaničke energije se pretvara u toplotu. Najmanju vrednost koeficijenta apsorpcije, oko 0,02, imaju masivni zidovi.

97

𝑡𝑟 = 0,163

𝑉

𝐴 , (7.41)

gde je 𝑉 zapremina prostorije a 𝐴 ukupna ekvivalentna apsorpciona površina.

Prethodni izraz je poznat kao Sabinov obrazac. Ekvivalentna apsorpciona površina

određenog predmeta se dobija množenjem koeficijenta apsorpcije materijala od kog je

predmet napravljen i njegove površina (𝛼𝑆). Ukupna ekvivalentna apsorpciona

površina se dobija sabiranjem ekvivalentnih apsorpcionih površina predmeta u

prostoriji, zidova, tavanice, poda vrata i prozora, svih predmeta u prostoriji, prisutnih

osoba73

. Za precizne proračune treba uračinati i apsorpciju zvuka u samom vazduhu u

prostoriji:

𝐴 = ∑ 𝛼𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑆𝑖 . (7.42)

U zavisnosti od namene prostorije, optimalno vreme reverberacije je različito. Za

učionice i slične prostore poželjno je da ono iznosi oko 1s.

7.8 Spektar elektromagnetnih talasa

Opseg talasnih dužina svih do sada poznatih elektromagnetnih talasa predstavlja

njihov spektar. Iz celokupnog spektra elektromagnetnih talasa, čije talasne dužine se

kreću u intervalu od nekoliko kilometara do femtometra74

, čulom vida registrujemo

veoma uzan deo, čije talasne dužine se kreću u intervalu 380 nm − 770 nm, koji

predstavlja vidljivu svetlost. Celokupan spektar elektromagnetnih talasa prikazan je na

slici 7.12 na kojoj je osa sa brojnim vrednostima talasnih dužina prikazana u

logaritamskoj skali. Elektromagnetni talasi se prema energiji (talasnoj dužini, odnosno

frekvenciji), načinu nastanka i primeni dele u nekoliko oblasti. Radio-talasi imaju

najmanju energiju; talasna dužina se kreće u opsegu od nekoliko kilometara do

∼ 0, 3 m (od dugih do ultrakratkih). Nešto manju talasnu dužinu (0, 3 m − 1 mm)

imaju mikrotalasi. Radio i mikrotalasi nastaju pri proticanju visokofrekventne

naizmenične električne struje kroz provodnike. Primena ovih talasa je u oblasti

komunikacija i prenosa informacija, medicini itd. Sledi optički spektar koji obuhvata

73

Posebno se računa vreme reverberacij prazne prostorije bez slušalaca a posebno sa maksimalnim brojem

prisutnih. 74 10−15 m

98

infracrveno zračenje (1 mm − 770 nm), vidljivu svetlost (770 nm − 380 nm) i

ultraljubičasto (UV) zračenje (380 nm − 0,6 nm). Rentgenski (X) zraci imaju talasne

dužine u intervalu od 10−9m do 6 ∙ 10−12 m, a najvažniju primenu imaju u medicini i

dijagnostici. Elektromagnetni talasi talasnih dužina u intervalu od 10−10 m do 10−14 m

koje emituju jezgra atoma nazivaju se gama-zraci. Energija gama-zraka je velika te ovo

zračenje koje je prateća pojava nuklearnih reakcija izaziva teška oštećenja ćelija živih

organizama. Još manje talasne dužine detektovane su u zračenju koje dolazi iz svemira,

tzv. kosmičkom zračenju.

Oblast svetlosti grubo je podeljena na šest delova (boja): ljubičasta

380 nm − 450 nm; plava 450 nm − 500 nm; zelena 500 nm − 570 nm; žuta

570 nm − 590 nm; narandžasta 590 nm − 610 nm i crvena 610 nm − 770 nm.

Najmanju talasnu dužinu ima ljubičasta, a najveću crvena. Spektar elektromagnetnih

talasa koji sadrži samo jednu talasnu dužinu (jednu boju) naziva se monohromatski.

Ako je pak prisutno više talasnih dužina, spektar je polihromatski. Sunčeva svetlost je

polihromatska sastavljena od kontinualnog niza talasnih dužina. Sunčevu

polihromatsku svetlost doživljavamo kao belu.

Slika 7.12 Spektar elektromagnetnih talasa

7.9 Pitanja i zadaci za samostalan rad

1. Telo harmonijski osciluje sa amplitudom 𝑥0. Koliki je ukupan pređeni put za

vreme od jednog perioda oscilovanja?

2. Kako se menjaju brzina kada se telo tokom harmonijskog oscilovanja

približava ravnotežnom položaju?

3. Teg mase 250 g harmonijski osciluje obešen o oprugu konstante elastičnosti

0,7 N

cm sa amplitudom od 50 mm. Koliko iznosi period oscilovanja?

99

4. Longitudinalni talas se prostire brzinom od 340 m

s kroz neku sredinu. Kolika je

talasna dužina ako je frekvencija 1200 Hz?

5. Uzimajući da je brzina prostiranja zvuka u vazduhu 345 m

s odrediti najmanju i

najveću talasnu dužinu zvuka.

6. Rastojanje između dve tačke koje su u fazi pri prostiranju talasa jednako je:

a) talasnoj dužini, b) celobrojnom umnošku talasnih dužina b) neparnom broju

polovina talasnih dužina. Izdvojiti netačno.

7. Kolika je čujnost mehaničkih talasa frekvencije 500 Hz čiji intenzitet iznosi

10−8 W

m2 ?

8. Izračunati intenzitet mehaničkih talasa frekvencije 300 Hz ako je poznato da

čujnost iznosi 60 dB.

9. Šta je zvuk?

10. Definisati vreme reverberacije.

100

8 OPTIKA

Optika je grana fizike koja proučava prostiranje elektromagnentih talasa iz optičkog

dela spektra (infracrvena oblast, svetlost i ultraljubičasto zračenje) kroz različite

sredine, pojave koje se dešavaju na granicama između dve sredine i interakciju talasa

sa atomima i molekulima sredine.

Svetlosni zrak, tačkasti svetlosni izvor i snop svetlosti predstavljaju apstraktne pojmove

koji se koriste kao uprošćeni modeli pri definisanju zakona geometrijske optike i

fotometrije. Pod svetlosnim zrakom se podrazumeva pravac prostiranja talasa.

Geometrijski se svetlosni zrak prikazuje orijentisanom polupravom koja polazi od

svetlosnog izvora. Pod pojmom svetlosnog snopa podrazumeva se skup svetlosnih

zraka koji se od izvora svetlosti prostiru pravolinijski. Svetlosni izvor se može smatrati

tačkastim ako se njegove dimenzije mogu zanemariti u odnosu na ostala rastojanja od

značaja.

8.1 Fotometrija

Fotometrija proučava svetlost sa stanovišta energije koju prenose elektromagnetni

talasi u ovoj oblasti spektra. Ona izučava i kakav je odgovor našeg čula vida na

nadražaje izazvane svetlošću različitog intenziteta. Za fizičke veličine koje se

proučavaju u okviru ove oblasti postoje dvostruke jedinice: energijske (objektivne) i

vizuelne (subjektivne). Uvođenje vizuelnih veličina uslovljeno je činjenicom da ljudsko

oko nije jednako osetljivo na svetlost različitih talasnih dužina. Iz praktičnih razloga, a

radi pojednostavljivanja rešavanja konkretnih problema, u fotometriji se koristi pojam

tačkastog izvora svetlosti. Realni izvori nisu tačkasti, ali već na udaljenosti koja je

desetak puta veća od dimenzije izvora ova aproksimacija omogućava da se

jednostavnim metodama dobiju prihvatljiva rešenja.

101

Svetlosni fluks

Izvori svetlosti emituju energiju koju kroz prostor prenose elektromagnetni talasi.

Veličina koja je brojno jednaka svetlosnoj energiji koju u jedinici vremena talasi

prenesu kroz neku površinu naziva se svetlosni fluks:

𝜙 =

𝐸

𝑡 . (8.1)

Ukupan svetlosni fluks izvora predstavlja ukupnu snagu koju izvor emituje u svim

pravcima. Objektivna jedinica za fluks je vat (W). Subjektivna jedinica za fluks je lumen

(lm). Jednaki objektivni fluksevi svetlosti različitih talasnih dužina neće izazvati isti

osećaj osvetljenosti. Prosečno ljudsko oko

je po danu najosetljivije na talasnu dužinu

od 555 nm. Objektivnoj snazi svetlosti od

1 W, talasne dužine 555 nm, odgovara

vizuelni fluks od 683 lm. Za svetlost ostalih

talasnih dužina je ova vrednost manja75

.

Relativna oseljivost oka definisana kao

odnos svetlosnog fluksa za svetlost talasne

dužine 555 𝑛𝑚 i fluksa svetlosti talasne

dužine 𝜆, koji izazivaju isti osećaj

osvetljenosti, prikazana je na slici 8.1.

Jačina svetlosnog izvora

Izvori svetlosti koji emituju jednako u svim pravcima

nazivaju se izotropni. Jačina izotropnog svetlosnog

izvora definisana je kao fluks koji se emituje u

jediničnom prostornom uglu. Da bismo definisali

prostorni ugao potrebno je da izvor svetlosti

postavimo u centar zamišljene lopte. U centar lopte

potrebno je postaviti i vrh konusa kao što je

prikazano na slici 8.2. Prostor u unutrašnjosti konusa

ograničen kalotom koju na lopti odseca konus

75

Za belu polihromatsku svetlost jednom lumenu odgovara objektivni fluks od 0,0048 W (1W ≈ 208 lm).

Slika 8.2 Prostorni ugao

Slika 8.1 Normirana osetljivost ljudskog oka na različite talasne

dužine

102

određuje prostorni ugao. Mera prostornog ugla je odnos površine kalote 𝑆 i kvadrata

poluprečnika lopte:

𝛺 =

𝑆

𝑟2 . (8.2)

Prostorni ugao se izražava u sterradijanima (sr) iako realno gledano nema jedinicu.

Pošto površina lopte iznosi 4𝜋𝑟2, pun prostorni ugao oko neke tačke ima vrednost

4𝜋 sr. Kada se ukupan fluks koji emituje izotropni izvor podeli sa punim prostornim

uglom dobija se njegova jačina (intenzitet):

𝐼 =

𝜙

4𝜋 . (8.3)

Ukoliko izvor setlosti nije izotropan jačina svetlosnog izvora se razlikuje u različitim

pravcima. Ako u određenom pravcu kroz prostorni ugao 𝑑𝛺 prolazi fluks 𝑑𝜙 jačina

svetlosnog izvora u tom pravcu iznosi:

𝐼 =

𝑑𝜙

𝑑𝛺 . (8.4)

Objektivna jedinica za jačinu svetlosnog izvora je W

sr a subjektivna je kandela (cd)

76.

Sjajnost

Izvori svetlosti koji se ni aproksimativno ne

mogu smatrati tačkastim opisuju se veličinom

koja se naziva sjajnost. Sjajnost je definisana

kao fluks koji izvor emituje obračunat po

jedinici površine i jedinici prostornog ugla u

posmatranom pravcu. Objektivna jedinica za

sjajnost je W

m2sr, dok je odgovarajuća vizuelna

jedinica nit (nt =cd

m2). Sjajnost površine može

biti posledica emisije svetlosti, refleksije ili pak transmisije. Ovako definisana veličina

najbliže opisuje ono što u procesu viđenja opisujemo kao sjaj.77

Razmotrimo izotropan

76

Kandela je jedina vizuelna jedinica među sedam osnovnih fizičkih jedinica u Internacionalnom sistemu.

Slika 8.3 Sjajnost svetlosnog izvora

103

izvor svetlosti konačnih dimenzija kao što je prikazano na slici 8.3. Jednostavnosti radi

uzmimo da je površina 𝑆 koja emituje svetlost kružnog oblika. Ovakav izvor za

posmatrača ima različit sjaj iz različitih uglova. Vizuelni doživljaj je različit, pošto se

veličina površine sa koje se emituje svetlost, gledano iz različitih uglova, razlikuje.

Posmatrač vidi projekciju površine 𝑆, na ravan koja je normalna na pravac

posmatranja.

Ova projekcija iznosi:

𝑆𝑛 = 𝑆 cos 𝜃 , (8.5)

gde je 𝜃 ugao koji zaklapaju normala na emitujuću površinu i pravac posmatranja.

Sjajnost izotropnog izvora svetlosti čije se dimenzije ne mogu zanemariti zavisi od ugla

posmatranja i u konkretnom primeru iznosi:

𝐿 =

𝜙

𝑆𝑛𝛺=

𝐼

𝑆 cos 𝜃 . (8.6)

Izvori svetlosti čija sjajnost ne zavisi od pravca posmatranja nazivaju se Lambertovi

izvori. U ovu grupu prvenstveno spadaju sekundarni izvori svetlosti koji reflektuju ili

propuštaju svetlost emitovanu od strane drugih (primarnih) izvora. Ovi izvori nisu

izotropni, što je uočljivo na slici 8.4. Jačina Lambertovog izvora svetlosti najveća je u

pravcu normale na površinu izvora (𝐼0), dok u pravcu koji sa normalom zaklapa ugao 𝜃

iznosi:

Prethodni izraz je poznat kao Lambertov zakon.

Površine koje difuzno reflektuju svetlost ponašaju

se kao Lambertovi izvori, pošto se jačina

(intenzitet) difuzno reflektovane svetlosti menja

saglasno Lambertovom zakonu. Primer ovakvog

izvora su zidovi prostorije od kojih se svetlost

77 Doživljaj sjaja površine je srazmeran sjajnosti, no između njih ne postoji linearna zavisnost. Na doživljaj

sjaja pored sjajnosti posmatrane površine utiče sjajnost neposredne okoline, boja površine i neposrednog

okruženja, dimenzije površine, nivo adaptacije oka uslovima vidljivosti (veličina otvora zenice) itd.

Slika 8.4 Jačina Lambertovog izvora svetlosti

𝐼𝜃 = 𝐼0 cos 𝜃. (8.7)

104

dominantno difuzno reflektuje. Objekti koji difuzno rasejavaju svetlost koja prolazi kroz

njih aproksimativno predstavljaju Lambertove izvore svetlosti. Primer je nebo pri

oblačnom danu.

Osvetljenost

Srednja osvetljenost površine (E) definiše se kao

fluks koji pada po jedinici površine:

=

𝜙

𝑆 . (8.8)

Energijska (objektivna) jedinica za osvetljenost je W

m2, dok je subjektivna jedinica luks (lx).

Neka se izotropni izvor svetlosti nalazi na visini ℎ

iznad ravne površine kao što je prikazano na slici 8.5. Posmatrana površina nije

izotropno osvetljena78

, jer je osvetljenost u različitim tačkama površine različita.

Osvetljenost površine u tački A data je izrazom:

𝐸 =

𝐼 cos α

𝑟2 , (8.9)

gde je 𝐼 jačina svetlosnog izvora, 𝑟 rastojanje posmatrane tačke od izvora, a 𝛼 ugao koji

zaklapaju zrak svetlosti i pravac normale na površinu u posmatranoj tački (slika 8.5).

Prema tome, osvetljenost tačaka površine, opada sa kvadratom rastojanja od

tačkastog izvora i zavisi od pomenutog ugla. Ukoliko je poznata visina ℎ na kojoj se

nalazi izvor, prethodni izraz postaje:

𝐸 =

𝐼 cos3 α

ℎ2 . (8.10)

Osvetljenost je aditivna veličina. Ako postoji više izvora svetlosti ukupna osvetljenost

jednaka je algebarskom zbiru osvetljenosti od pojedinačnih izvora:

𝐸 = 𝐸1 + 𝐸2 + 𝐸3 + ⋯ + 𝐸𝑛 . (8.11)

78

Površina je izotropno osvetljena ukoliko je osvetljenost u svim tačkama površine jednaka.

Slika 8.5 Osvetljenost površine

105

8.2 Pitanja i zadaci za samostalan rad

1. Navesti osnovne fotometrijske veličine njihove objektivne i subjektivne

jedinice.

2. Zašto postoji potreba za subjektivnim jedinicama u fotometriji?

3. Izvor svetlosti emituje ukupan svetlosni fluks od 250 lm izotropno u svim

pravcima. Odrediti jačinu ovog svetlosnog izvora.

4. Izotropan izvor svetlosti jačine 25 cd nalazi se na visini 280 cm iznad površine

koju osvetljava. Odrediti osvetljenost površine neposredno ispod izvora tj.

maksimalnu osvetljenost površine.

5. Definisati tačkast izvor svetlosti.

106

9 JEDNOSMERNA ELEKTRIČNA STRUJA

Električna struja predstavlja usmereno kretanje naelektrisanih čestica. Ukoliko se smer

kretanja naelektrisanih čestica ne menja tokom vremena, električna struja je

jednosmerna. U pogledu sposobnosti da provode električnu struju materijali se dele

na provodnike, izolatore i poluprovodnike. Električnu struju u čvrstim provodnicima

(metalima) čini usmereno kretanje slobodnih elektrona koji se mogu kretati po celoj

zapremini metala. U rastvorima (rastopima) soli, baza i kiselina (tzv. elektrolitima)

električnu struju čini usmereno kretanje pozitivno i negativno naelektrisanih jona.

Za razliku od provodnika, izolatori ne poseduju slobodne nosioce naelektrisanja i

pružaju veliki otpor proticanju električne struje 79

. Tipični predstavnici izolatora su

drvo, plastika, guma itd. Sposobnost poluprovodnika da provode električnu struju se

menja od velike do veoma male, što zavisi od niza faktora kao što su npr. temperatura i

prisustvo drugih materijala (tzv. primesa). Električnu struju u poluprovodnicima čini

usmereno kretanje elektrona i šupljina80

. Tipični čisti poluprovodnici su germanijum i

silicijum.

9.1 Jačina električne struje

Kroz provodnik protiče električna struja ukoliko između krajeva provodnika postoji

razlika potencijala, odnosno napon 𝑈. U provodniku se tada uspostavlja električno

polje pod čijim uticajem dolazi do usmerenog kretanja slobodnih elektrona. Protok

naelektrisanja kroz provodnik se opisuje jačinom električne struje. Ako količinu

naelektrisanja koja protekne kroz poprečni presek provodnika u toku vremena 𝑡

podelimo sa vremenom, dobijeni količnik predstavlja srednju jačinu električne struje:

79

Ukoliko se izolator nađe u veoma jakom električnom polju može doći do proboja tj. do jonizacije atoma

što za posledicu ima proboj dielektrika (provođenje električne struje). 80

Šupljina je upražnjeno mesto koje nastaje kad elektron napusti svoj položaj. Ovo upražnjeno mesto se

ponaša kao nosilac pozitivnog naelektrisanja.

107

𝐼 =𝑞

𝑡 . (9.1)

Drugim rečima, srednja jačina električne struje po definiciji predstavlja količinu

naelektrisanja koja protekne kroz poprečni presek provodnika u jedinici vremena. Ako

se protok naelektrisanja menja u toku vremena, definiše se trenutna jačina električne

struje:

𝑖 =

𝑑𝑞

𝑑𝑡 , (9.2)

koja predstavlja prvi izvod količine naelektrisanja po vremenu81

. Jedinica za jačinu

električne struje u SI sistemu je amper (A)82

.

Jačina električne struje je ista na svim poprečnim presecima provodnika. U protivnom

bi se naelektrisanja nagomilavala u određenim delovima provodnika. Jačina električne

struje je skalarna veličina, ali joj je iz praktičnih razloga pripisan smer. Dogovorom je

utvrđeno da se pod smerom proticanja električne struje podrazumeva smer u kom bi

se pod datim uslovima kretala pozitivna naelektrisanja. Slobodni nosioci naelektrisanja

u provodnicima su elektroni - negativno naelektrisane čestice. Stoga je smer proticanja

električne struje kroz provodnik suprotan od smera kretanja elektrona u njemu.

9.2 Izvor elektromotorne sile

Razmotrimo šta se dešava ako dve metalne kugle naelektrisane različitim količinama

pozitivnog i negativnog naelektrisanja spojimo pomoću dva provodnika. Jasno je da će

se elektroni, kroz oba provodnika, kretati ka kugli višeg potencijala. Ovaj proces se

odvija veoma brzo i prestaje kad se električni potencijali kugli izjednače. Da bi kroz

provodnike struja stalno proticala potrebno je održavati razliku potencijala između

kugli, drugim rečima potrebno je stalno nadoknađivati elektrone na kugli negativnog

potencijala. To znači da u jednom delu ovog zatvorenog kola treba stalno razdvajati

naelektrisanja, a to je moguće samo ako se vrši rad protiv električnih sila. Taj deo

(element) strujnog kola naziva se izvorom elektromotorne sile odnosno izvorom

81

Trenutne vrednosti vremenski promenljivih veličina u kolima električne struje obeležavaju se malim

slovima. 82

Kroz električne instalacije u našim domovima teče električna struja reda veličine desetak ampera.

108

napona ili izvorom struje83

. U svakom izvoru elektromotorne sile postoji neki

mehanizam koji pokreće nosioce naelektrisanja u suprotnom smeru od smera sile

kojom na njih deluje električno polje. Da bi do ovog došlo potrebno je pretvarati neki

drugi vid energije u električnu energiju. Elektromotorna sila ℰ definiše se preko

količine pretvorene energije i brojno je jednaka radu koji se izvrši pri pomeranju

jediničnog pozitivnog naelektrisanja od negativnog do pozitivnog pola izvora unutar

samog izvora:

ℰ =

𝐴

𝑞 . (9.3)

Jedinica za elektromotornu silu u SI sistemu je volt (V). Iako naziv elektromotorna sila

ne odgovara fizičkoj prirodi ove veličine, on se koristi i danas.

Izvor struje (napona) ne stvara naelektrisanja već poput neke pumpe usmereno

pokreće ona koja već postoje u sistemu. Često se pravi paralela između vodene pumpe

i izvora elektromotorne sile. Voda u prirodi teče sa veće nadmorske visine ka manjoj,

pri tome se gravitaciona potencijalna energija vode smanjuje. Pomoću pumpe vodu

možemo podići iznad nivoa mora i povećati njenu

gravitacionu potencijalnu energiju. Energiju za

vršenje ovog rada pumpa npr. dobija na račun

sagorevanja goriva u njoj. Slično tome u

baterijama se na račun hemijske energije

razdvajaju naelektrisanja odnosno hemijska

energija se pretvara u električnu potencijalnu

83 Prvi izvor elektromtorne sile konstruisan je krajem osamnaestog veka. Tada su, kao i danas, Italijani voleli

da jedu žablje batake. Spremajući pomenuto jelo u kući profesora anatomije Galvanija neko je uočio da su se

noge mtrve žabe zgrčile dok su sečene na metalnom služavniku. Galvani je proučavao ovu pojavu verujući da

je pronašao izvor životne snage. U tom pogledu je bio u zabludi, ali ga je sa druge strane samo korak delio od

pronalaska izvora napona. Promaklo mu je da do grčenja dolazi samo ukoliko su služavnik i nož od različitog

metala (npr. bakra i cinka). Prvi izvor elektromotorne sile konstruisao je Alesandro Volta. On je uronio ploče

od cinka i bakra u vodeni rastvor sumporne kiseline. Ploče su se naelektrisale nakon uranjanja, bakarna

pozitivno a cinkova negativno. Ploče je zatim povezao provodnikom. Kroz provodnik je potekla električna

struja koja je tekla satima. Interesantno je bilo to da razlika potencijala između ploča nije zavisila od veličine

samih ploča. Volta je uočio da se napon povećava ako se napravi redna veza nekoliko ovakvih izvora,

odnosno ako se izvori spoje tako da se bakarna elektroda jednog izvora poveže sa cinkovom elektrodom

drugog i tako redom.

Slika 9.1 Strujno kolo

109

energiju. U hidroelektranama se mehanička energija vode pretvara u električnu. U

termoelektranama se toplota pretvara u mehaničku energiju a potom u električnu. U

nuklearnim elektranama se nuklearna energija dobijena u fisionim reakcijama na sličan

način pretvara u električnu energiju. U fotoćelijama se energija elektromagnetnih

talasa, između ostalog i svetlosti, pretvara u električnu. Na slici 9.1 prikazano je

jednostavno strujno kolo koje se sastoji od izvora elektromotorne sile i provodnika

(potrošača). Simbol predstavlja izvor napona dok simbol predstavlja

provodnik. Na slici 9.1 je označen smer struje kao i smer kretanja elektrona.

9.3 Omov zakon

Nemački fizičar Georg Simon Om je početkom XIX

veka eksperimentalno utvrdio da jačina električne

struje kroz provodnik koji se nalazi na konstantnoj

temperaturi linearno raste sa porastom napona na

krajevima provodnika84

, kao što je prikazano na slici

9.2. U to vreme je radi lakšeg poimanja električne

struje pravljena analogija sa proticanjem fluida. Pri

proticanju fluida kroz cev javlja se unutrašnji otpor, te

je fizička veličina definisana preko odnosa napona i

jačine električne struje nazvana električnim otporom:

𝑅 =

𝑈

𝐼 . (9.4)

Iz prethodnog izraza zapisanog u obliku:

𝐼 =

𝑈

𝑅, (9.5)

proizilazi da je jačina električne struje u nekom delu strujnog kola upravo srazmerna

naponu na krajevima tog dela kola a obrnuto srazmerna njegovom električnom otporu.

84

Omov zakon ne važi ako su brzine usmerenog kretanja naelektrisanih čestica u provodniku veoma velike

(uporedive sa brzinom termičkog kretanja) ili pak ukoliko se sam provodnik kreće u magnetnom polju.

Slika 9.2 Grafički prikaz Omovog zakona

110

Ovaj izraz je poznat kao Omov zakon za deo strujnog kola. Električni otpor provodnika

cilindričnog oblika85

zavisi od vrste materijala i njegovih dimenzija:

𝑅 = 𝜌

𝑙

𝑆 , (9.6)

gde je 𝜌 specifični električni otpor materijala na datoj temperaturi, 𝑙 dužina

provodnika, a 𝑆 površina njegovog poprečnog preseka. Jedinica za otpor u SI sistemu je

om (Ω) a za specifični električni otpor je Ωm. Specifični električni otpor materijala zavisi

od temperature 𝑡 i ta zavisnost je oblika:

𝜌 = 𝜌0 (1 + 𝛼𝑡) , (9.7)

gde je 𝜌0 specifični električni otpor na 0 , a 𝛼 temperaturski koeficijent otpora koji

zavisi od vrste materijala. Veličina recipročna električnom otporu nazvana je električna

provodljivost:

𝐺 =

1

𝑅 , (9.8)

njena jedinica u SI sistemu je simens (S).

Često se umesto specifičnog električnog otpora koristi njegova recipročna vrednost

koja se naziva specifična provodljivost:

𝜎 =

1

𝜌 , (9.9)

čija je jedinica u SI sistemu S

m.

Provodnici se najčešće prave od bakra ili aluminijuma. Razlog za to je mali specifični

električni otpor ovih materijala ali i prihvatljiva ekonomska cena86

. Površina poprečnog

preseka provodnika koji se koriste za električne instalacije je reda veličine 1 mm2.

Električni otpor bakarnog provodnika, pomenutog poprečnog preseka, dužine 5 m na

sobnoj temperaturi iznosi:

85

Žica je dugačak cilindar. 86

Zlato i srebro imaju manji specifični električni otpor od gore pomenutih metala ali se ne koriste za

pravljene provodnika zbog visoke ekonomske cene.

111

𝑅 = 𝜌

𝑙

𝑆= 1,7 ∙ 10−8 Ωm

5 m

10−6m2= 8,5 ∙ 10−2 Ω . (9.10)

Za strujno kolo prikazano na slici 9.1 Omov zakon je oblika:

𝐼 =

ℰ

𝑅𝑢

, (9.11)

gde je 𝐼 jačina električne struje u kolu, ℰ elektromotorna sila izvora, a 𝑅𝑢 ukupan

otpor strujnog kola. Ukupan otpor, u ovom jednostavnom strujnom kolu, pored otpora

provodnika u sebi sadrži i otpor izvora elektromotorne sile koji se često naziva

unutrašnji otpor. Unutrašnjem otporu kola doprinosi i električni otpor mernog

instrumenta (npr. ampermetra) ako je on priključen u kolo, kao i otpor prekidača ako

on u kolu postoji. U većini slučajeva je otpor provodnika priključenih na izvor napona

mnogo veći od unutašnjeg otpora u kolu, te se zadovoljavajući rezultati dobijaju ako se

u proračunu ukupan otpor strujnog kola aproksimira ukupnim otporom provodnika

𝑅𝑢 ≈ 𝑅.

9.4 Rad i snaga električne struje

Pri proticanju struje kroz provodnik dolazi do pretvaranja električne energije u toplotu i

do zagrevanja provodnika87

. Razmotrimo od čega zavisi količina transformisane

električne energije ukoliko struja stalne jačine 𝐼 protiče kroz provodnik električnog

otpora 𝑅 između čijih krajeva vlada razlika potencijala ∆𝜑, odnosno napon 𝑈. Neka

kroz poprečni presek provodnika u toku vremena 𝑡 prođe količina naelektrisanja

𝑞 = 𝑁𝑒. Srednja jačina električne struje kroz provodnik je po definiciji:

𝐼 =

𝑞

𝑡=

𝑁𝑒

𝑡 . (9.12)

Naelektrisanja koja se u provodnicima usmereno kreću su elektroni. Oni se pod

dejstvom električnog polja kreću od mesta nižeg ka mestima višeg potencijala88

. Ovo

usmereno kretanje elektrona praćeno je smanjenjem njihove električne potencijalne

energije. Električna potencijalna energija 𝑁 elektrona smanji se za iznos:

87

Ova pojava ima veliku praktičnu primenu u uređajima u kojima se električna energija pretvara u toplotu,

kao što su: električni šporet, bojler, električna grejalica, pegla itd. 88

Smer električne struje je suprotan.

112

∆𝑊 = 𝑁𝑒∆𝜑 = 𝑁𝑒𝑈 . (9.13)

Energija u prirodi ne nestaje već se transformiše u neki drugi vid energije, pri čemu

ukupna energija ostaje nepromenjena89

. Smanjenje električne potencijalne energije u

ovom slučaju dovodi do povećanja kinetičke energija elektrona za isti taj iznos.

Priraštaj kinetičke energije se dalje transformiše u unutrašnju energiju na sledeći način.

Krećući se kroz materijal elektroni se sudaraju sa pozitivnim jonima i u tim sudarima im

predaju svoju kinetičku energiju na račun koje se povećava unutrašnja energija

materijala, odnosno njegova temperatura. Jasno je da do povećanja unutrašnje

energije dolazi na račun smanjenja električne energije kao i da se ova transformacija

energije odvija u skladu sa zakonom održanja energije. Promena električne energije

može se izraziti i na sledeći način:

∆𝑊 = 𝑈𝐼𝑡 . (9.14)

Ova promena električne energije jednaka je radu koji vrši električna sila nad

naelektrisanjima u provodniku ∆𝑊 = 𝐴. U kombinaciji sa Omovim zakonom prethodni

izraz se može napisati na još dva načina:

𝐴 = 𝐼2𝑅𝑡 =

𝑈2

𝑅𝑡 . (9.15)

Električna energija, izražena na jedan od ova tri načina, se pretvara u druge vidove

energije90

. Deljenjem prethodnih izraza sa vremenom dobija se snaga:

𝑃 =

∆𝑊

𝑡=

𝐴

𝑡 , (9.16)

𝑃 = 𝑈𝐼 = 𝐼2𝑅 =

𝑈2

𝑅 . (9.17)

Da li veliki električni otpor91

provodnika znači da se na njemu oslobađa velika snaga?

Sam podatak o električnom otporu provodnika nije dovoljan da bismo doneli zaključak.

89

Zakon održanja energije je jedan od fundamentalnih zakona fizike. 90

Pri proticanju električne struje kroz grejače u bojlerima jedan deo električne energije troši se na

povećanje temperature (zagrevanje) samog grejača a drugi na zagrevanje vode. Klasične električne sijalice sa vlaknom u vidljivu svetlost pretvore manje od 5% električne energije, ostalo se pretvori u infracrveno zračenje i toplotu.

113

Pri proticanju iste jačine električne struje kroz različite otpornike veća snaga se

oslobađa na otporniku većeg električnog otpora. Ukoliko različite otpornike povežemo

na isti izvor napona najveća snaga se oslobađa na otporniku čiji je električni otpor

najmanji.

Elektrodistribucija naplaćuje utrošenu električnu energiju koja je u našim

domaćinstvima pretvorena u druge vidove energije: svetlosnu, toplotnu ili mehaničku.

Na računima koje dobijamo od elektrodistribucije utrošena električna energija je

izražena u kWh (kilovat časovima):

1 kWh = 103

J

s ∙ 3600 s = 3,6 ∙ 106 J . (9.18)

Primera radi, za zagrevanje jednog litra vode od sobne temperature do ključanja

potrebna je količina toplote od:

𝑄 = 𝑚𝑐𝑣 ∆𝑡 = 1 kg ∙ 4190

J

kg°C∙ (100 − 22)°C = 326820 J

Q ≈ 0,09 kWh.

(9.19)

Realno je utrošena veća količina električne energije od proračunate jer se pored vode

zagrevala i posuda, okolni vazduh, sam grejač i radna ploča šporeta.

9.5 Redna veza otpornika

Neka je u kolu povezano nekoliko otpornika redno jedan iza drugog, tako što je na kraj

jednog povezan početak drugog. Ova redna (serijska) veza otpornika spojena je na

izvor napona. Jačina struje kroz sve otpornike je ista. Zbir padova napona na

otpornicima koji su redno vezani jednak je ukupnom padu napona odnosno

elektromotornoj sili izvora. Pomenute tvrdnje koje se odnose na jačinu struje i napon

su eksperimentalne činjenice koje imaju i svoje teorijsko objašnjenje. Napravimo

analogiju sa proticanjem fluida kroz cev različitog poprečnog preseka. Protok fluida na

svakom preseku je isti jer se fluid ne može nagomilavati, nestajati niti stvarati u samoj

cevi. Pri proticanju električne struje kroz provodnike, električno polje ne dozvoljava

91

Električni otpor 𝑅 naziva se još i omski odnosno termogeni otpor.

114

nagomilavanje naelektrisanja u pojedinim delovima provodnika. U električnom kolu ne

može doći do stvaranja novog ili nestanka postojećeg naelektrisanja, shodno zakonu

održanja količine naelektrisanja. Naelektrisane čestice smanjuju električnu energiju

krećući se usmereno kroz provodnike (otpornike), a povećavaju električnu energiju

krećući se kroz izvor napona. Ukupna promena električne energije je nula pa je stoga i

zbir padova napona na redno vezanim otpornicima jednak elektromotornoj sili

(naponu) izvora.

Razmotrimo sistem dva redno vezana otpornika 𝑅1 i 𝑅2 prikazan na slici 9.3. Uređaji za

merenje jačine struje, ampermetri A1 , A2 i A3 povezani u kolu kao na slici pokazuju

istu jačinu struje 𝐼. Uređaji za merenje napona, voltmetri V1, V2 i V povezani su

paralelno sa otpornicima na kojima mere pad napona. Za brojne vrednosti koje

pokazuju voltmetri važi relacija:

𝑈 = 𝑈1 + 𝑈2 . (9.20)

Umesto redne veze otpornika 𝑅1 i 𝑅2 može se u kolo vezati jedan otpornik tako da

jačina struje u kolu ostane nepromenjena. Otpor ovog ekvivalentnog otpornika, na

osnovu Omovog zakona, iznosi 𝑅𝑒 =𝑈

𝐼. Kombinujući prethodne izraze sa Omovim

zakonom koji važi za oba otpornika 𝐼 =𝑈1

𝑅1=

𝑈2

𝑅2 dobija se relacija:

𝐼𝑅𝑒 = 𝐼𝑅1 + 𝐼𝑅2 , (9.21)

odnosno:

𝑅𝑒 = 𝑅1 + 𝑅2 . (9.22)

U prethodnom izrazu 𝑅𝑒 predstavlja ukupan ekvivalentni otpor ove redne veze.

Slika 9.3 Redna veza dva otpornika

115

U slučaju da je u kolu povezano 𝑛 redno vezanih otpornika ukupan (ekvivalentni) otpor

jednak je algebarskoj sumi svih otpornika:

𝑅𝑒 = 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3+. . . 𝑅𝑛 = ∑ 𝑅𝑖

𝑛

𝑖=1

. (9.23)

9.6 Paralelna veza otpornika

Razmotrimo sistem dva paralelno vezana otpornika 𝑅1 i 𝑅2 prikazan na slici 9.4. Napon

na otpornicima je isti i jednak je naponu izvora 𝑈1 = 𝑈2 = 𝑈. Za jačine električne

struje koje pokazuju ampermetri važi relacija:

𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 . (9.24)

Umesto paralelne veze otpornika 𝑅1 i 𝑅2 može se u kolo vezati jedan otpornik tako da

ukupna jačina električne struje u kolu ostane nepromenjena. Otpor ovog ekvivalentnog

otpornika, na osnovu Omovog zakona, iznosi 𝑅𝑒 =𝑈

𝐼. Kombinujući prethodne izraze sa

Omovim zakonom za oba otpornika 𝐼1 =𝑈

𝑅1 i 𝐼2 =

𝑈

𝑅2 dobija se relacija:

1

𝑅𝑒

=1

𝑅1

+1

𝑅2

. (9.25)

U slučaju da je u kolu povezano 𝑛 paralelno vezanih otpornika ukupan (ekvivalentni)

otpor računa se polazeći od izraza:

1

𝑅𝑒

=1

𝑅1

+1

𝑅2

+1

𝑅3

+. . . + 1

𝑅𝑛

= ∑1

𝑅𝑖

.

𝑛

𝑖=1

(9.26)

Slika 9.4 Paralelna veza dva otpornika

116

9.7 Pitanja i zadaci za samostalan rad

1. Od čega zavisi električni otpor cilindričnog provodnika?

2. Koja je jedinica za specifični električni otpor u SI sistemu?

3. Kako se menja električni otpor provodnika sa porastom temperature?

4. Od čega zavisi jačina električne struje kroz određeni deo strujnog kola?

5. Kolika se snaga oslobađa na otporniku od 20 Ω kada je on priključen na izvor

napona od 150 V?

6. Površine poprečnih preseka dva provodnika, iste dužine, načinjena od istog

materijala, razlikuju se deset puta. Kroz oba provodnika protiče električna struja

jačine 2 mA. Na kom otporniku se oslobađa veća snaga i koliko puta?

7. Koliko iznosi ekvivalentni otpor paralelne veze pet otpornika od po 50 Ω?

8. Dopuniti rečenicu. Jačina električne struje kroz redno vezane otpornike je

________________, dok je pad napona na njima generalno _________________.

9. Prikazati sve načine na koje se četiri otpornika od po 20 Ω mogu povezati i za

svaki od načina izračunati ekvivalentni otpor.

10. Kada je jačina električne struje koja protiče kroz paralelno vezane otpornike

jednaka?