1. Uvod u Vjerovatnoću

1. UVOD U VJEROVATNOĆU

VJEROVATNOĆANumerička mjera izglednosti da će se jedan događaj desiti

EKSPERIMENTSvaki proces koji generira dobro definisane ishode

PROSTOR ISHODASkup svih mogućih ishoda jednog eksperimenta

STABLO ISHODAGrafički prikaz koristan za definisanje ishoda jednog eksperimenta

koji se sastoji od više koraka

PRAVILOAko eksperiment može biti opisan kao sekvenca od k koraka, pri čemu prvi korak ima n1 mogućih ishoda, korak dva n2 mogućih ishoda, itd., ukupan broj ishoda tako definisanog eksperimenta iznosit će:

n1 n2... nk

ZADATAK 1. ISHODI EKSPERIMENTA:

-VELIKO OŠTEĆENJE (VO)- MALO OŠTEĆENJE (MO)- NEMA OŠTEĆENJA (NO)

PROSTOR ISHODA : S=VO, MO, NO

ZADATAK 2.

a) STABLO ISHODA

b) PROSTOR ISHODA:

S=(P,P,P), (P,P,NP),(P,NP,P),(P,NP,NP),(NP,P,P),(NP,P,NP),(NP,NP,P),(NP,NP,NP)

BROJ ISHODA: 2x2x2= 8

c)

2x2x2x2=16

ZADATAK 3.

a) BROJ ISHODA: 2x 2 = 4

b) PP- pozitivna preporukaNP – negativna preporukaO - odobravanje dozvoleNO - neodobravanje dozvole

STABLO ISHODA:

ZADATAK 4.a) STABLO ISHODA

MOGUĆI BROJ ISHODA=10x10x10x10x10x10 = 106 = 1000 000 različitih tablica

b)SLOVO – SLOVO – BROJ – BROJ – BROJ - BROJ

(30-2)x(30-2)x10x10x10x10= 7 840 000

c) BROJ – BROJ – BROJ - SLOVO(A,E,J,K,M,T) – BROJ – BROJ - BROJ

10x10x10x6x10x10x10 = 6 000 000BAZNI ZAHTJEVI VJEROVATNOĆE

- 0 ≤ P(E) ≤ 1

- Σ P(E) = 1

KLASIČNI METOD- Metod određivanja vjerovatnoće koji pretpostavlja da su ishodi

eksperimenta jednako mogući.

METOD RELATIVNE FREKVENCIJE- baziran na istorijskim i eksperimentalnim rezultatima

SUBJEKTIVNI METOD- baziran na subjektivnoj procjeni

DOGAĐAJ-skup koji sadrži kolekciju ishoda eksperimenta

UNIJA DOGAĐAJA A I B- Događaj koji sadrži sve ishode koji se nalazi u A, u B i u oba

PRESJEK DOGAĐAJA A I B- Događaj koji sadrži sve ishode koji se nalazi i u A i u B

UZAJAMNO ISKLJUČIVI DOGAĐAJI- Događaji koji nemaju zajedničke ishode, tj. P(A∩B) = 0

KOMPLEMENT DOGAĐAJA A- Događaj koji sadrži sve ishode koji nisu u A

PRAVILO SABIRANJAP(AUB)=P(A) + P(B) - P(A∩B)

za uzajamno isključive događaje vrijedi:P(AUB)=P(A) + P(B)

USLOVNA VJEROVATNOĆA- vjerovatnoća jednog događaja pod uslovom da se desio drugi

događaj , npr. vjerovatnoća od A ako se desio B : P(A | B)= P(A∩B)/ P(B)

PRAVILO MNOŽENJAP(B∩A)= P(B | A) P(A) ili

P(A∩B)= P(A | B) P(B)

NEZAVISNI DOGAĐAJI- događaji A i B su nezavisni ako nemaju uticaja jedan na drugog

tj.važi:P(A | B)= P(A) i P(B | A)= P(B),

tako da važi kod pravila množenja za nezavisne događaje:

P(A∩B)= P(A) P(B)

ZADATAK5. Pretpostaviti eksperiment bacanja dvije kockice i očitanja brojeva koji ispanu kao rezultat bacanja.

a)Koji metod preporučujete za određivanje vjerovatnoće ishoda?b)Koje vjerovatnoće pridružujete ishodima?c)Pokazati da pridružene vjerovatnoće zadovoljavaju dva osnovna

zakona vjerovatnoće.

IZRADAa)Klasični metod

b)Prostor ishoda: S={(1,1), (1,2),...(1,6), (2,1), (2,2), ..(2,6), (3,1), (3,2), ..(3,6),...(6,5),(6,6)} Broj ishoda : 6·6=36 P(S1)= P(S2)=...P(Si)=...=P(S36)= 1/36

c)0≤P(Si)= 1/36≤1 P(S)=Σ P(Si)=1

ZADATAK 6Prodavnica električnih uređaja je sakupila podatke o prodaji frižidera u zadnjih 50 sedmica. Podaci su prikazani u sljedećoj tabeli:

Broj prodanih frižidera

Broj sedmica

0 61 122 153 104 55 2

Σ 50

Pretpostavimo da smo zainteresovani za eksperiment registrovanja broja prodanih frižidera u jednoj sedmici.a)Koliko ishoda ima ovaj eksperiment?b)Pridružiti vjerovatnoće ishodima i provjeriti da li zadovoljavaju

dva osnovna zahtjeva.

RJEŠENJE

a) UKUPAN BROJ ISHODA = 6 PROSTOR ISHODA: S= 0,1,2,3,4,5b)

P(0) = 6/50P(1) = 12/50P(2) = 15/50P(3) = 10/50P(4) = 5/50P(5) = 2/50

1. 0£ P(Si) £12. P(S) = SP(Si) =6/50+12/50+15/50+10/50+5/50+2/50=1

ZADATAK 8.Razmotriti eksperiment bacanja para kockica. Pretpostaviti da nas interesuje suma brojeva na gornjim površinama kockica.

a)Koliko ishoda ima ovaj eksperiment?b)Navesti ishode eksperimentac)Kolika je vjerovatnoća dobijanja vrijednosti sume 7?d)Kolika je vjerovatnoća dobijanja vrijednosti sume 9 i više?e)Kako postoje šest mogućih parnih vrijednosti sume

(2,4,6,8,10,12) i samo pet mogućih neparnih vrijednosti (3,5,7,9,11), kockice pokazuju češće parne vrijednosti sume nego neparne. Da li se slažete sa tom tvrdnjom? Objasniti.

RJEŠENJE

a)UKUPAN BROJ ISHODA = 6 x 6 = 36

b)PROSTOR ISHODA: S= (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3),

(2,4), .......(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)

c)Neka je A-događaj da se dobila suma sedamP(A)= P(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)=6 1/36 = 1/6

d)Neka je B- događaj da se dobije suma 9 i višeP(B)= P(3,6), (4,5), (4,6), (5,4), (5,5), (5,6), (6,3), (6,4), (6,5),

(6,6)= 10 1/36=10/36

e)Neka je C- događaj da se dobije suma parne vrijednosti D - događaj da se dobije suma neparne vrijednosti

Dokazati istinitost tvrdnje da je P(C)> P(D)?!

P(A)= P(1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6)= 18 1/36=

1/2P(B) = P(1,2), (1,4), (1,6), (2,1), (2,3), (2,5), (3,2), (3,4), (3,6),

(4,1), (4,3), (4,5), (5,2), (5,4), (5,6), (6,1), (6,3), (6,5)= 18 1/36=1/2

P(A) = P(B) Þ TVRDNJA NIJE ISTINITA

ZADATAK 10. Direktor prodavnice namještaja prodaje od nula do četiri komada namještaja svake sedmice. Na osnovu prethodnih iskustava, sljedeće vjerovatnoće su pridružene prodaji nijednog, jednog, dva, tri, četiri komada namještaja:P(0)=0,08P(1)=0,18P(2)=0,32P(3)=0,30P(4)=0,12a)Da li je validno pridruživanje vjerovatnoća?b)Neka je događaj A da je prodano dva ili manje komada u

sedmici. Naći P(A)?c)Neka je događaj B da je prodano četiri ili više komada u

sedmici. Naći P(B)?

RJEŠENJEa)

0£P(Si)£ 1S P(Si) = P(S) = 1

Zaključak : Validno je pridruživanje vjerovatnoćab)

P(A) = P(2) + P(1) + P(0) = 0.32+0.18+0.08 = 0.58

c)P(B) = P(4) = 0.12

ZADATAK 12.Pretpostavimo da imamo prostor ishoda S={E1 , E2 ,E3 ,E4 ,E5 ,E6 ,E7 } i sljedeće vjerovatnoće pridružene ishodima:P(E1 )= 0,05P(E2 )= 0,20P(E3 )= 0,20P(E4 )= 0,25

P(E5 )= 0,15 P(E6 )= 0,10 P(E7 )= 0,05

Neka su događaji:A={E1 , E4 ,E6 }B={E2 , E4 ,E7 }C={E2 , E3 ,E5 , E7 }

a)Naći P(A), P(B), P(C)?

b)Navesti ishode u presjeku događaja A i B. Kolika je vjerovatnoća presjeka?

c) Jesu li događaji A i B međusobno isključivi?d)Kolika je vjerovatnoća P(AUB)?e)Kolika je vjerovatnoća P( )?

ZADATAK 13.Pretpostavimo da je P(A) = 0,30, P(B) = 0,25, i P(A∩B) = 0,20.a)Naći P(AUB), P(A|B), i P(B| A).b)Da li su događaji A i B nezavisni događaji? Zašto?

RJEŠENJEP(A)=0,30; P(B)=0,25; P(AÇB)=0,20a)P(AÈB)= P(A) + P(B)- P(AÇB)=0,30+0,25-0,20=0,35

P(AçB) =P(AÇB) / P(B) = 0,20/0,25 =0,8P(BçA)= P(AÇB) / P(A) = 0,20/0,30= 0,67

b)Događaji A i B su nezavisni ako je: P(AçB) = P(A) i P(BçA)= P(B)

ili da važi da je: P(AÇB)= P(A)P(B)

P(AçB) = 0,8 ¹ 0,30 = P(A) P(BçA)= 0,67 ¹ 0,25 = P(B)

P(AÇB)= 0,20 P(A)P(B)= 0,300,25 = 0,075 ¹ 0,20 = P(AÇB)

ZAKLJUČAK : Događaji A i B nisu nezavisni

ZADATAK 14.

Studija uticaja pušenja na srčane bolesti na uzorku od 1000 ljudi starijih od 50 godina dala je sljedeće podatke:

Pušač Nepušač UkupnoIma bolest srca

100 80 180

Nema bolest srca

200 620 820

Ukupno 300 700 1000

a)Prikazati pridružene vjerovatnoće koje sumiraju rezultate studije

b)Kolika je vjerovatnoća da je čovjek iznad 50 godina pušač i da ima bolest srca?

c) Izračunati i interpretirati marginalne vjerovatnoće?

d)Ako je čovjek stariji od 50 godina pušač, kolika je vjerovatnoća da ima bolest srca?

e)Ako je čovjek stariji od 50 godina nepušač, kolika je vjerovatnoća da ima bolest srca?

f) Da li je istraživanje pokazalo da su pušenje i srčane bolesti nezavisni događaji? Koristiti vjerovatnoće za dokazivanje svog odgovora.

g)Kakav zaključak se može dati o vezi pušenja i srčanih bolesti?

IZRADA

A – pušačB- ima bolest srca

a)Tabela pridruženih vjerovatnoća

Pušač Nepušač UkupnoIma bolest

srca100 / 1000 = 0,1 80 / 1000 = 0,08 180 / 1000 = 0,18

Nema bolest srca

200 / 1000 = 0,2 620 / 1000 = 0,62 820 / 1000 = 0,82

Ukupno 300 / 1000 = 0,3 700 / 1000 = 0,70 1000 / 1000 = 1,00Boldirane vrijednosti su vrijednosti parcijalnih vjerovatnoća, a ostale su zajedničke vjerovatnoće.

b)P(A Ç B) = 100 / 1000 = 0,1

c) P(A) = 300 / 1000 = 0,3P( ) = 700 / 1000 = 0,7P(B) = 180 / 1000 = 0,18P( ) = 820 / 1000 = 0,82

d)P(B çA) = P(A Ç B) / P(A) = 0,1 / 0,3 = 0,33

e) P(B ç ) = P( Ç B) / P( ) = 0,08 / 0,7 = 0,11

f)P(B çA) = P(B)0,33 ¹ 0,18 Nisu nezavisni, odnosno pušenje i srčane bolest su zavisni su događaji

g) PUŠENJE JE ŠTETNO PO ZDRAVLJE

ZADATAK 15.

Apriorne vjerovatnoće A1, A2, A3 su P(A1) = 0,20 ; P(A2) = 0,30 ; P(A3) = 0,50. Uslovne vjerovatnoće događaja B pod uslovom dešavanja događaja A1, A2, A3 su: P(B çA1) = 0,50; P(B çA2) = 0,40; P(B çA3) = 0,30.

a) Izračunati P(B Ç A1), P(B Ç A2), P(B Ç A3).

b)Primijeniti Bayas – ovu teoremu za izračunavanje posteriorne vjerovatnoće P(A2 ç B).

c)Primijeniti tabelarni pristup za primjenu Bayas – ove teoreme na računanje P(A1 ç B), P(A2 ç B), P(A3 ç B).

IZRADA

a)P(B Ç A1) = P(B çA1) P(A1) = 0,50 0,20 = 0,10P(B Ç A2) = P(B çA2) P(A2) =0,40 0,30 = 0,12P(B Ç A3) = P(B çA3) P(A3) =0,30 0,50 = 0,15

b)P (A2 ç B)= P(B çA2) P(A2) / P(B çA2) P(A2) + P(B çA1) P(A1) + P(B çA3) P(A3) =

=

c)

Događaj Apriorne vjerovatnoće

P(Ai)

Uslovne vjerovatnoće

P(B çAi)

Zajedničke vjerovatnoće

P (Ai Ç B)

Posteriorne vjerovatnoće

P (Ai ç B)A1 0,20 0,50 0,10 0,10 / 0,37 =

0,27A2 0,30 0,40 0,12 0,12 / 0,37=

0,32A3 0,50 0,30 0,15 0,15 / 0,37 =

0,411,00 P(B)=0,37 1,00

Vjerovatnoće

P(B Ç A1) = P(B çA1) P(A1) = 0,50 0,20 = 0,10

P(B Ç A2) = P(B çA2) P(A2) =0,40 0,30 = 0,12

P(B Ç A3) = P(B çA3) P(A3) =0,30 0,50 = 0,15

ZADATAK 16. Naftna kompanija je zakupila zemljište na Aljasci. Preliminarna geološka ispitivanja su pokazala sljedeće apriorne vjerovatnoće:P(nafta visokog kvaliteta) = 0,50P(nafta srednjeg kvaliteta) = 0,20P(nema nafte) = 0,30

a)Kolika je vjerovatnoća pronalaženja nafte?

b)Nakon 200 m bušenja na prvoj bušotini, uzet je uzorak tla. Vjerovatnoće pronalaženja tragova nafte su sljedeće:

P( trag nafte çnafta visokog kvaliteta) = 0,20

P( trag nafte çnafta srednjeg kvaliteta) = 0,80P( trag nafte çnema nafte) = 0,20.

Kako kompanija treba interpretirati test. Kolike su revidirane vjerovatnoće i kolika je sad vjerovatnoća pronalaženja nafte?

IZRADAA1 – nafta visokog kvaliteta ; P(A1) = 0,50A2 - nafta srednjeg kvaliteta ; P(A2) = 0,20A3 - nema nafte ; P(A3) = 0,30

a)P( pronalaženja nafte) = P(A1) + P(A2) = 0,50 + 0,20 = 0,70

b)B – trag nafteP(B çA1) = 0,20; P(B çA2) = 0,80; P(B çA3) = 0,20

Tabelarni pristup:

DogađajAi

Apriorne vjerovatnoće

P(Ai)


P(B çAi)


P(Ai Ç B)


P(Ai ç B)A1 0,50 0,20 0,10 0,10/0,32 =

0,31A2 0,20 0,80 0,16 0,16/0,32 =

0,50A3 0,30 0,20 0,06 0,06/0,32 =

0,191,00 P(B) = 0,32 1,00

P(B) = 0,32 – vjerovatnoća pronalaženja traga nafte

Revidirane(posteriorne) vjerovatnoće:P(A1 ç B) = 0,31 - vjerovatnoća da je nađena nafta visokog kvaliteta pod uslovom da je pronađen trag nafte

P(A2 ç B) = 0,50 - vjerovatnoća da je nađena nafta srednjeg kvaliteta pod uslovom da je pronađen trag nafte

P(A3 ç B) = 0,19 - vjerovatnoća da nema nafte pod uslovom da je pronađen trag nafte

Vjerovatnoća pronalaženja nafte na bušotini od 200 metara:P(pronalaženja nafte) = P(A1 ç B) + P(A2 ç B) = 0,31 + 0,50 = 0,81

Vizuelni prikaz istraživanja putem stabla ishoda:

P(A1) P(B çA1) = P(Ai Ç B) =0,500,20=0,10

P(A2) P(B çA2) =P(A2 Ç B) =0,200,80=0,16

P(A3) P(B çA3) = P(A3 Ç B) =0,300,20=0,06

Vjerovatnoća pronalaženja traga nafte: P(B) = 0,10+0,16+0,06=0,32

ZADATAK 17.Pri uspostavljanju proizvodnog procesa, neka mašina se može podesiti ispravno ili pogrešno. Vjerovatnoća ispravnog podešavanja je 0,90. Kada je ispravno podešena, mašina radi sa 5% neispravnih proizvoda. U slučaju pogrešnog podešavanja radi sa 75% neispravnih proizvoda.

a)Nakon što je mašina krenula sa radom, kolika je vjerovatnoća da je neispravan proizvod registrovan nakon što je testiran jedan proizvod?

b)Pretpostaviti da je jedan komad testiran od strane kontrolora neispravan. Kolika je vjerovatnoća da je mašina pogrešno podešena? Kakvu aktivnost ćete predložiti?

c)Prije nego je postupljeno po vašoj preporuci iz tačke b), testiran je još jedan dio i pronađen da je ispravan. Koristeći revidirane vjerovatnoće iz tačke b), kao apriorne vjerovatnoće, izračunati revidiranu vjerovatnoću da je mašina pogrešno podešena? Koju bi aktivnost sada predložili?

IZRADAA – ispravno podešena mašina

- pogrešno podešena mašinaB - ispravan proizvod - neispravan proizvod

P(A) = 0,90 ; P( ) = 1-0,90 = 0,10

P( çA) = 0,05 ; P(B çA) = 1-0,05 = 0,95P( ç ) = 0,75 ; P(B ç ) = 1-0,75 = 0,25

a)P( ) =?P( ) = P( ÇA)+ P( Ç )=P( çA) P(A) + P( ç )P( ) = 0,050,90 + 0,750,10 =0,045+0,075 = 0,12

b) Primijenit će se Bayas-ova teorema (tabelarni pristup)

DogađajAi


P(Ai)


P( çAi)


P(Ai Ç )


P(Ai ç )A 0,90 0,05 0,045 0,045/0,12

= 0,3750,10 0,75 0,075 0,075/0,12

= 0,6251,00 P( ) =

0,1201,000

Vjerovatnoća da je mašina pogrešno podešena pod uslovom da je komad neispravan: P( ç ) = 0,625, što nas navodi na slijedeći zaključak:

Uzrok neispravnog dijela može biti pogrešno podešena mašina što pokazuje vjerovatnoća 0,625, koja je znatno veća od apriorne vjerovatnoće koja iznosi 0,10, a takođe mogu biti i drugi uzroci, kao što je naprimjer ljudski faktor, što pokazuje revidirana vjerovatnoća ispravno podešene mašine 0,375, koja je znatno manja od apriorne 0,90. Da bi se utvrdilo šta je stvarni uzrok pojave neispravnog proizvoda predlaže se nastavak kontrole, odnosno kontrola ispravnosti sljedećeg komada, kako bi zaključili da li je stvarno potrebno vršiti ponovno podešavanje mašine.

c)

DogađajAi


P(Ai)


P(BçAi)


P(Ai ÇB )


P(Ai çB)A 0,375 0,95 0,356 0,356/0,512

= 0,6950,625 0,25 0,156 0,156/0,512

= 0,3051,00 P(B) =

0,5121,000

P(A ÇB ) = P(BçA) P(A) = 0,950,375 = 0,356 P( ÇB ) = P(Bç ) P( ) =0,250,625=0,156P(B) = 0,356+0,156= 0,512 – vjerovatnoća da će biti registrovan ispravan komad

II RASPODJELE VJEROVATNOĆE

Slučajna promjenljiva je numerički opis ishoda eksperimenta

Diskretna slučajna promjenljiva –može poprimiti samo konačan ili prebrojiv broj određenih vrijednosti

Kontinualna slučajna promjenljiva – može poprimiti svaku vrijednost u intervalu ili kolekciji intervala

Očekivana vrijednost diskretne slučajne promjenljiveE(x) = = Sx f(x)

Varijansa diskretne slučajne promjenljiveVar (x) = 2 = S (x - )2 f(x)

Standardna devijacija

ZADATAK 2.

Navedeni su primjeri eksperimenata i pridruženih slučajnih promjenljivih. U svakom primjeru odrediti vrijednosti koje može poprimiti slučajna promjenljiva i navesti da li je slučajna promjenljiva diskretna ili kontinualna.

Eksperiment Slučajna promjenljiva (x)Test od 20 pitanja Broj tačno odgovorenih pitanjaRegistrovati pristizanje automobila na parking u toku jednog sata

Broj pristiglih automobila

Pregled 50 pristiglih prijava poreza Broj prijava koje sadrže greškuPosmatranje rada zaposlenika Broj neproduktivnih sati u

8-časovnom radnom danuVagati vrijednosnu pošiljku Broj kilograma

IZRADAEksperiment Slučajna promjenljiva

(x)Moguće vrijednosti

slučajne promjenljive

Vrsta slučajne promjenljive

Test od 20 pitanja Broj tačno odgovorenih pitanja

0,1,2,3,...20 DISKRETNA

Registrovati pristizanje automobila na parking u toku jednog sata

Broj pristiglih automobila0,1,2,3,... DISKRETNA

Pregled 50 pristiglih prijava poreza

Broj prijava koje sadrže grešku

0,1,2,3,...50 DISKRETNA

Posmatranje rada zaposlenika

Broj neproduktivnih sati u 8-časovnom radnom danu

0 £ x £ 8 KONTINUALNA

Vagati vrijednosnu pošiljku

Broj kilograma0 x KONTINUALNA

ZADATAK 3.Jedna gvožđarija naručuje opremu svakog februara. Pretpostavljena je slijedeća raspodjela vjerovatnoće za potražnju:

Potražnja Vjerovatnoća0 0.101 0.152 0.303 0.204 0.155 0.10

a) Ako je gvožđarija naručila tri komada opreme, kolika je vjerovatnoća da će prodati sva tri?b) Kolika je očekivana potražnja za opremom?c) Kolika je varijansa potražnje opreme? Kolika je standardna devijacija?

IZRADAa)x = 3f(x) = f(3) = 0,20b)E(x) = = Sx f(x)

x f(x) xf(x)0 0.10 00,10 =0,001 0.15 10,15 =0,152 0.30 20,30 =0,603 0.20 30,20 =0,604 0.15 40,15 =0,605 0.10 50,10 =0,50

E(x) = = Sx f(x) = 2,45

c)Var (x) = 2 = S (x - )2 f(x)

x x - (x - )2 f(x) (x - )2 f(x)0 0- 2,45 = -2,45 6,00 0.10 0,6001 1- 2,45 = -1,45 2,10 0.15 0,3152 2- 2,45 = -0,45 0,20 0.30 0,0603 3- 2,45 = 0,55 0,30 0.20 0,0604 4- 2,45 = 1,55 2,40 0.15 0,3605 5- 2,45 = 2,55 6,50 0.10 0,650

Var (x) = 2 = S (x - )2 f(x) = 2,045

= 1,43

ZADATAK 7

Broj neispravnih dijelova vraćenih proizvođaču varira od sedmice do sedmice. Uzeti da broj vraćenih komada (x) ima slijedeću raspodjelu vjerovatnoće:

x f(x)0 0,101 0,152 0,303 0,254 0,105 0,10

a) Kolika je srednja vrijednost i varijansa vraćenih komada?b) Ako je trošak zamjene neispravnog dijela 125 KM, koliki je očekivani sedmični trošak

zamjene neispravnih dijelova?

IZRADAa)

x f(x) x f(x)0 0,10 0,001 0,15 0,152 0,30 0,603 0,25 0,754 0,10 0,405 0,10 0,50

E(x) = = Sx f(x) = 2,40

x x - (x - )2 f(x) (x - )2 f(x)

0 0- 2,4 = -2,4 5,76 0.10 0,5761 1- 2,4 = -1,4 1,96 0.15 0,2942 2- 2,4 = -0,4 0,16 0.30 0,0483 3- 2,4 = 0,6 0,36 0.25 0,0904 4- 2,4 = 1,6 2,56 0.10 0,2565 5- 2,4 = 2,6 6,76 0.10 0,676

Var (x) = 2 = S (x - )2 f(x) = 1,940

b)Očekivani sedmični trošak zamjene neispravnih dijelova == E(x) 125 KM = 125 KM = 2,40 125 KM = 300 KM

ZADATAK 8.

Šta od navedenog predstavlja raspodjelu vjerovatnoće, a šta ne? Objasniti?

x f(x) y f(y) z f(z)0 0,20 0 0,25 -1 0,201 0,30 2 0,05 0 0,502 0,25 4 0,10 1 -0,103 0,35 6 0,60 2 0,40

IZRADA

x f(x) y f(y) z f(z)0 0,20 0 0,25 -1 0,201 0,30 2 0,05 0 0,502 0,25 4 0,10 1 -0,103 0,35 6 0,60 2 0,40

S f(x) =1,10 S f(y) =1,00 S f(z) =1,00 Uslovi koji se moraju zadovoljiti da bi raspodjela vjerovatnoće bila validna su slijedeći:

1. 0 £ f(x) £ 1,002. S f(x) =1,00

ZAKLJUČAK: Raspodjelu vjerovatnoće predstavlja samo f(y) jer samo ona zadovoljava dva navedena uslova.

KARAKTERISTIKE BINOMNE RASPODJELE

1. Eksperiment u cjelini može biti opisan kao slijed n identičnih eksperimenata koje nazivamo pokušajima;

2. Dva rezultata su moguća u svakom pokušaju. Jedan od rezultata označavamo kao uspjeh, a drugi neuspjeh;

3. Vjerovatnoće dva ishoda se ne mijenjaju od jednog pokušaja do drugog;

4. Pokušaji su nezavisni (tj. rezultat jednog pokušaja ne utiče na rezultat bilo kojeg drugog pokušaja).

FUNKCIJA VJEROVATNOĆE BINOMNE RASPODJELE

gdje je:n- broj pokušajax – broj uspjeha u n pokušaja(n-x) – broj neuspjeha u n pokušajap – vjerovatnoća uspjeha(1-p) - vjerovatnoća neuspjeha

OČEKIVANA VRIJEDNOST

VARIJANSA

ZADATAK 16.

Kada određena mašina ispravno funkcioniše, samo 1% proizvoda je neispravno. Pretpostaviti da mašina radi ispravno pri odgovaranju na slijedeća pitanja:

a) Ako su kontrolisana dva komada, kolika je vjerovatnoća da ni jedan nije neispravan?b) Ako je kontrolisano pet komada, kolika je vjerovatnoća da ni jedan nije neispravan?c) Kolika je očekivana vrijednost neispravnih komada u uzorku od dvjesto (200) komada?d) Kolika aje standardna devijacija neispravnih komada u uzorku od dvjesto (200) komada?

IZRADA

Radi se binomnoj raspodjeli vjerovatnoćea) p=1% = 0,01 (vjerovatnoća neispravnog dijela)n=2 (broj pokušaja)1-p = 0,99 (vjerovatnoća ispravnih dijelova)x=0 (broj neispravnih dijelova u n pokušaja)

b)p=0,01 ; 1-p=0,99n=5 ; x=0

c)n=200 ; p=0,01

d)n=200 ; p=0,01

ZADATAK 17.

Na određenom univerzitetu je uočeno da 20% studenata napušta studij bez položenog uvodnog kursa iz statistike. Pretpostaviti da je 20 studenata prijavljeno na kurs ovog tromjesečja.

a) Kolika je vjerovatnoća da će dva ili manje napustiti studij?b) Kolika je vjerovatnoća da će tačno četiri napustiti studij?c) Kolika je vjerovatnoća da će više od tri napustiti studij?d) Koliki je očekivani broj napuštanja studija?

IZRADA

p=20% =0,2n=20a)x1=2 ; x2=1 ; x3=0

f(x£2) = f(2) + f(1) + f(0) =11,440,818 = 0,207

b)x=4

c)f(x>3) = 1-f(x£3) = 1-f(3)+f(2)+f(1)+f(0) = 1-(11,40,818 + 11,440,818)=1-22,840,818 = 0,589

=11,40,818 = 0,206

d)

ZADATAK 18.

Pretpostavimo da prodavač ostvari prodaju u 20% poziva. a) Ako prodavač obavi tri poziva dnevno, kolika je vjerovatnoća da ostvari više od tri prodaje u 5 dana

sedmično?b) Ako prodavač radi 50 sedmica godišnje i ostvari proviziju od 100 KM po prodaji, koliko prodaja se može

očekivati godišnje? Koliki je očekivani godišnji dohodak prodavača?

IZRADA

Binomna raspodjelap = 20% = 0,20

a) n= 3 5 =15 poziva (pokušaja)x > 3 prodaje (uspjeha)f(x> 3) =?

f(x> 3) =1- f(0) +f(1)+f(2)+f(3)==1-(0,0352+0,13194+0,2309+0,2501)=0,35186

b) n=50 sedmica 5 dana 3poziva = 750 poziva p = 20% = 0,20

OČEKIVANI BROJ PRODAJA U 50 SEDMICA

OČEKIVANI GODIŠNJI DOHODAK = 150 100 KM = 15000 KM

ZADATAK 19.

Ukupno vrijeme potrebno za popunjavanje određene aplikacije je uniformno raspoređeno između 3 i 7 dana. a) Dati matematički izraz za gustoću raspodjele vjerovatnoće?b) Kolika je vjerovatnoća da će aplikacija biti popunjena za manje od tri dana?c) Izračunati vjerovatnoću da će aplikacija biti popunjena za 5 dana ili prije?

IZRADA

a = 3; b = 7 dana

a) Funkcija gustine vjerovatnoće za uniformnu raspodjelu:

b) P(x<3) = 0

c)

ZADATAK 20.

Potražnja za novim proizvodnom ima normalnu raspodjelu parametara = 200 i = 40. Ako je x broj zahtjevanih jedinica proizvoda, izračunati:

a) P(180 £ x £ 220)b) P(x 250)c) P(x £ 100)d) P(225£ x £ 250)

IZRADA

Grafički prikaz Gausove krive datih parametara = 200 i = 40:

a) z = (x - ) / x = 180 Þ z = - 0,5 x = 220 Þ z = 0,5

Grafički:

P(180 £ x £ 220) = P(-0,5 £ z £ 0,5) = P(0,5) + P(0,5) = 2P(0,5) = 2· 0,1915 = 0,3830

Vrijednost P(0,5) data je tabelarno (tabela...)

b) x = 250 Þ z = 1,25

Grafički:

P(x 250) = P(z 1,25) = 0,5 – P(1,25) = 0,5 – 0,3944 = 0,1056


c) x = 100 Þ z = -2,5

Grafički:

P(x £ 100) = P ( z £ -2,5) = 0,5 – P(2,5) = 0,5 – 0,4938 = 0,0062


d) x = 225 Þ z = 0,625x = 250 Þ z = 1,25

Grafički:

P(225£ x £ 250) = P ( 0,625£ z £ 1,25) = P (1,25) – P(0,625) = 0,3944 – 0,23405= 0,16035

Vrijednosi P(0,625) i P(1,25) date su tabelarno (tabela...)

ZADATAK 21.

Test ponovljivosti mjerača protoka dao je sljedećih 35 izmjerenih vrijednosti pri konstantnom ulaznom protoku od 1,4x10-2 m3/s: 208,6; 208,3; 208,7; 208,5; 208,8; 207,6; 208,9; 209,1; 208,2; 208,4; 208,1; 209,2; 209,6; 208,6; 208,5; 207,4; 210,2; 209,2; 208,7; 208,4; 207,7; 208,9; 208,7; 208,0; 209,0; 208,1; 209,3; 208,2; 208,6, 209,4; 207,6; 208,1, 208,8; 209,2; 209,7 Hz.

a) Koristeći jednake intervale širine 0,5Hz nacrtaj histogram vrijednosti gustine vjerovatnoće.b) Izračunaj srednju vrijednost i standardnu devijaciju podataka.c) Skiciraj Gausovu funkciju gustine vjerovatnoće sa srednjom vrijednosšću i standardnom devijacijom iz

tačke b) na histogramu nacrtanom u tački a).

IZRADAa)

IntervalSredina intervala

Xi

Frekvencijafi

Relativna frekvencija

Gustina vjerovatnoće di fi di fi di2

207,0-207,5 207,25 1 1/35 (1/35)/0,5 = 0,057 -3 -3 9207,6-208,0 207,75 4 4/35 (4/35)/0,5 = 0,229 -2 -8 16208,1-208,5 208,25 10 10/35 (10/35)/0,5 = 0,571 -1 -10 10208,6-209,0 208,75 11 11/35 (11/35)/0,5 = 0,629 0 0 0209,1-209,5 209,25 6 6/35 (6/35)/0,5 = 0,343 1 6 6209,6-210,0 209,75 2 2/35 (2/35)/0,5 = 0,114 2 4 8210,1-210,5 210,25 1 1/35 (1/35)/0,5 = 0,057 3 3 9

35 1 -8 58

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

207,25 207,75 208,25 208,75 209,25 209,75 210,25

x

vrij

edn

ost

i g

ust

ine

vjer

ova

tno

će

b)

Srednja vrijednost (aritmetička sredina): = =208,75+0,5·(-8/35) = 208,64

x – nazivna dužina, vrijednost xi sa najvećom frekvencijom pojavljivanjai – razlika između susjeda (i = xi+1 – xi)= 0.5fi – frekvencija pojavljivanja

di – odstupanje od nazivne dužine

Standardna devijacija uzorka:

c)

III TEORIJA APROKSIMACIJE

ZADATAK 22.

Odrediti polinom minimalnih kvadrata reda 1 i 2 za podatke koji su prikazani u slijedećoj tabeli.

i xi yi

0 0 1,01 0,15 1,0042 0,31 1,0313 0,5 1,1174 0,6 1,2235 0,75 1,422

Koji stepen je bolja aproksimacija, odnosno koja ima manju grešku?

a)Polinom prvog reda oblika: y=ax + b ili y=a1x1 + a0

n=1, broj nepoznatih = n+1 =2 (a=? i b=?)Potrebne dvije normalne jednačine:

(1)

(2)

Formirat ćemo tabelu:i xi yi xi

2 xi yi

0 0 1,0 0 01 0,15 1,004 0,0225 0,15062 0,31 1,031 0,0961 0,31963 0,5 1,117 0,25 0,55854 0,6 1,223 0,36 0,73385 0,75 1,422 0,5625 1,0665

Suma 2,31 6,797 1,2911 2,829

(1) a·1, 2911 + b·2,31=2,829 / ·2,31(2) a·2,31 + b·6 =6,797 /·1,2911 a·2,9 82 + b·5,3361=6,535 a·2,982 + b·7,7466=8,7756 2,41 ·b=2,24 Þ b=0,9295 (2) Þ a=(6,797 -6·b)/2,31 =0,5281

POLINOM PRVOG REDA: Y=0,5281·x + 0,9295

GREŠKA:yi xi Y=0,5281·x + 0,9295 (yi – Y)2

1,0 0 0,9295 0,0049701,004 0,15 1,009 0,0000251,031 0,31 1,093 0,0038441,117 0,5 1,193 0,0057761,223 0,6 1,246 0,0005291,422 0,75 1,326 0,009216

Suma 0,024360

b)Polinom drugog reda oblika: y=a2x2+ a1x1 + a0

n=2, broj nepoznatih = n+1 =3 (a0 =? ; a1 =? i a2 =?)Potrebne tri normalne jednačine:

(1)

(2)

(3)

Zatim ćemo formirati tabelu:

i xi yi xi2 xi

3 xi4 xi yi xi

2 yi

0 0 1,0 0 0 0 0 0

1 0,15 1,004 0,0225 0.003375 0,000506 0,1506 0,02259

2 0,31 1,031 0,0961 0,029791 0,00923 0,3196 0,09908

3 0,5 1,117 0,25 0,125 0,0625 0,5585 0,27925

4 0,6 1,223 0,36 0,216 0,1296 0,7338 0,44028

5 0,75 1,422 0,5625 0,42187 0,3164 1,0665 0,79987

Suma 2,31 6,797 1,2911 0,796041 0,51824 2,829 1,641

6a0 + 2,31a1 + 1,2911a2 = 6,797 /·(-2,31/6) /·(-1,2911/6) 2,31a0 + 1,2911a1 + 0,796041a2 = 2,829 +

1,2911a0 + 0,796041a1 + 0,51824a2 = 1,641+

6a0 + 2,31a1 + 1,2911a2 = 6,797 0,40175a1 + 0,299a2 = 0,2122 /·(-0,29897/0,40175) 0,29897a1 + 0,2404a2 = 0,1784 + 6a0 + 2,31a1 + 1,2911a2 = 6,797 0,40175a1 + 0,299a2 = 0,2122 0,0179a2 = 0,0205a2=1,1473a1 =(0,2122-0,299·1,1473)/0,40175= -0,3257a0=(6,797-1,2911·1,1473+2,31·0,3257)/6=1,01134

POLINOM DRUGOG REDA: Y=1,01134 - 0,3257X +1,1473X2

GREŠKA:

xi xi2 Y=1,01134 - 0,3257X+1,1473X2 yi (yi – Y)2

0 0 1,01134 1,0 0,0001285

0,15 0,0225 0,9883 1,004 0,000246

0,31 0,0961 1,02063 1,031 0,0001075

0,5 0,25 1,135315 1,117 0,0003354

0,6 0,36 1,22895 1,223 0,0000354

0,75 0,5625 1,4124 1,422 0,0000921

Suma 0,0009449

Bolju aproksimaciju daje polinom drugog reda jer ima manju grešku.

Documents

1. Uvod u Vjerovatnoću