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VI.3. Wechselstromtechnik
t
U(t)
U0
Periode T 1/ν
Harmonische Wechselspannung
tωcosUtU 0
Schaltsymbol:
Hz60νV1102U
U.S.A.
Hz50νV2302U
Europa
0
0
VI.3.1. Wechselstrom
U0: Scheitelwert U( t ): Momentanwert
T: Periode Frequenz
Kreisfrequenz Phase
:T
1ν
:T
π2ω :
2
Beispiel: Leistung im ohmschen Verbraucher
I( t )
RU( t ) tωcosItωcos
R
UtU
R
1tI 0
0
IRU 00
tωcosRItωcosR
UtItUtP 22
02
20
Mittlere Leistung für beliebige periodische Wechselspannung:
2eff
2T
0
2
UR
1U
R
1td
R
tU
T
1P Effektivspannung: 2
eff UU
2eff
2T
0
2 IRIRtdtIRT
1P Effektivstrom: 2
eff II
IUP effeff IUP effeff
o.B.d.A.: 0
3
Spezialfall: harmonische Wechselspannung
202
1T
0
T
0
202
T
0
20
2 Utdtω2costdT2
UtdtωcosU
T
1U
tω2cos121
T 0
202
12T
0
20
2 ItdtωcosIT
1I
U2
1UU 0
2eff U
2
1UU 0
2eff
I2
1II 0
2eff I
2
1II 0
2eff
IUIUP 0021
effeff IUIUP 0021
effeff
4
Allgemeine Wechselspannung:
Periode T:
Fundamentalkreisfrequenz:
TtUtU
T
π2ω
U(t)
t
Periode T
Fourierzerlegung:
ebiaReatωnsinbtωncosaatU 1n
tωninn02
1
1nnn02
1
ebiaReatωnsinbtωncosaatU 1n
tωninn02
1
1nnn02
1
t dtωncostUT
2a
T
0
n t dtωncostUT
2a
T
0
n t dtωnsintUT
2b
T
0
n t dtωnsintUT
2b
T
0
n
baa2
1UU
1n
2n
2n
202
12eff
baa2
1UU
1n
2n
2n
202
12eff
Ueff ist gleich der
quadratischen Summe der Effektivspannungen der
Fourierkomponenten
5
Folgerung: Für lineare Netzwerke ( Superpositionsprinzip anwendbar) reicht es aus, das Verhalten für harmonische Wechselströme/Wechselspannungen zu untersuchen.
Allgemeine Wechselspannung:
Periode T:
Fundamentalkreisfrequenz:
TtUtU
T
π2ω
U(t)
t
Periode T
Fourierzerlegung:
ebiaReatωnsinbtωncosaatU 1n
tωninn02
1
1nnn02
1
ebiaReatωnsinbtωncosaatU 1n
tωninn02
1
1nnn02
1
t dtωncostUT
2a
T
0
n t dtωncostUT
2a
T
0
n t dtωnsintUT
2b
T
0
n t dtωnsintUT
2b
T
0
n
6
Beispiel: Rechtecksignale
symmetrisch U0
0
T
0
20eff UtdU
T
1U
einseitig U0
0
2T
0
20eff U
2
1tdU
T
1U
Vergl. Ueff aus Fourierzerl.
8π
0k1k2
1 2
2
7
Allgemeine, nicht-periodische Spannung:
Parsevalsche Formel: ωdωU~
tdtU 2
π212
ωdωU~
tdtU 2
π212
U(t)
t
(Einschaltvorgang, Testpulse etc.)
mit den Fourierkoeffizienten
t detUωU~
tωiπ2
1
Fouriertransformation:
Inverse Fouriertransformation:
ωdeωU~
tU tωi
Harmonische Zerlegung:
Bemerkung: U reell, aber Ũ komplex
ωdtωsinωU~
Im2
ωdtωcosωU~
Re2tU
0
0
8
Allgemeine, nicht-periodische Spannung:
U(t)
t
(Einschaltvorgang, Testpulse etc.)
mit den Fourierkoeffizienten
t detUωU~
tωiπ2
1
Fouriertransformation:
Inverse Fouriertransformation:
ωdeωU~
tU tωi
Harmonische Zerlegung:
Bemerkung: U reell, aber Ũ komplex
ωdtωsinωU~
Im2
ωdtωcosωU~
Re2tU
0
0
Folgerung: Für lineare Netzwerke ( Superpositionsprinzip anwendbar) reicht es aus, das Verhalten für harmonische Wechselströme/Wechselspannungen zu untersuchen.
9
Beispiel: Rechteckpuls
Tiefpass (s.u.)
Filterschaltung, die kleine Frequenzen
überträgt und große Frequenzen dämpft.
Charakteristische Größe: Abschneidefrequenz
c
10
VI.3.2. Wechselstromwiderstände
Lineare Netzwerke: Zeitverhalten lineare Differentialgleichungen
Lineare Komponenten: Ohmsche Widerstände, Kondensatoren, ideale Spulen, Linearverstärker, …
Nichtlineare Komponenten: Spulen mit Kernen nahe der Sättigungs-magnetisierung, nichtlineare Verstärker, Multiplizierer, Dioden, Glimmlampen, hochkonzentrierte Elektrolyte, …
Lineares Netzwerk Ist F(t) eine komplexe Lösung der DGL für Ströme oder Spannungen, so auch Re F(t) und Im F(t).
DGL
11
Neues (eleganteres) Konzept: Komplexe Spannung/Strom
Re
Im
U0 t
I0
tωi
0
tωi0
eItI
eUtU
physikalischer
Anteil
tωcosItIRetωcosUtURe
0
0
Definition: Komplexer Wechselstromwiderstand
e
I
U
tI
tUωZZ i
0
0 e
I
U
tI
tUωZZ i
0
0
Nach Konstruktion Gesetze der Quasistatik (Kirchhoffsche Regeln, ) gelten weiter
Re U
Re I
Lineares Netzwerk (Zweipol)
12
Beispiel: Ohmscher Widerstand
URU R
I
RZtIRtUtU R
Z reell und unabhängig von
Beispiel: Induktivität
ULU L
I
ILtUtUtUeU indLtωi
0
Z imaginär und proportional zu Strom eilt Spannung um 90 nach
tULωi
1e
Lωi
Utde
L
UtI tωi0tωi0
ω,0ω,0
eLωLωiZ 2πi
U
I
13
Beispiel: Kapazität
C
tQtUtUeU C
tωi0
Z imaginär und umgekehrt proportional zu Spannung eilt Strom um 90 nach
tUCωieUCωieUtd
dCtQtI tωi
0tωi
0
0ω,ω,0
eCω
1
Cωi
1Z 2
πi
I
U
UCU C
I
14
Anwendung (1): Reihenschaltung komplexer Widerstände
i
itot ZZ
U
Z1 Z2 Zn
I I
I I I I I
IZU 11 IZU 22 IZU nn
U
Maschenregel:IZU0IZIZIZU
n
1iin21
totZ
15
Z1 Z2 Zn
Anwendung (2): Parallelschaltung komplexer Widerstände
i itot Z
1
Z
1
Knotenregel:
n
1i itotn21 Z
U
Z
U0IIII
U
0
U U U
I
I1 I2 In
16
Beispiel: RLC-Serienschaltung
Cω
1LωiR
Cωi
1LωiRZ
R L C
Cω
1Lω
R
1
ZRe
ZImtan
Konstruktion im Zeigerdiagramm:
Re Z
Im Z
R
L
Cω
1
Cω
1Lω
Z
Dieses Beispiel: Re Z R 0
2π
2π ,
17
Momentane Wechselstromleistung in Z:
eeZZImiZReZ iIUi
0
0 eeZZImiZReZ iIUi
0
0
tωsintωcossinIUtωcoscosIU
tωcostωcosIUIReURetP
002
00
00
tωcostωsinsinIU tωcoscosIUtdtPPP 002
00
T
0T1
W Mittlere Wechselstromleistung in Z: Wirkleistung
½ 0
Wirkleistung: cosIUcosIUP effeff0021
W cosIUcosIUP effeff0021
W
Blindleistung: sinIUsinIUP effeff0021
B sinIUsinIUP effeff0021
B
Blindleistung
Komplexe Leistung: ZUZIPiP
eIUeIeUIUP 202
1202
1BW
i002
1tωi0
tωi02
121
ZUZIPiP
eIUeIeUIUP 202
1202
1BW
i002
1tωi0
tωi02
121
Wirkleistung
Z Scheinwiderstand, Re Z Wirkwiderstand, Im Z
Blindwiderstand
Scheinleistung:
IUPP effeffS IUPP effeffS
VI.3.3. Wechselstromleistung
18
VI.3.4. Wichtige lineare Netzwerke
a) ( Passiver ) Hochpass ( erster Ordnung ): R
C
Ue Ua
Spannungsteilerschaltung RCmit τ τωi1
τωi
R
R
U
U
Cωi1
e
a
Übertragungsfunktion: 2
e
a
τω1
τω
U
U
Phasendrehung: 1τωtan
i
e
a
e
a eU
U
U
U
τω
90
1
45
e
a
U
U
τω
1
1
21
durchlässig für ≳ durchlässig für ≳
19
td
UdτωdeωU
~
td
dτωdeωU
~τωi
ωdeωU~
ωdeωU~
tU
etωie
tωie
tωieτωi1
τωitωiaa
Zeit-Raum: Hochpass als Differenzierer
R
C
Ue(t) Ua(t)
τωi1
τωi
ωU~
ωU~
e
a
Voraussetzung: Ue t enthält nur Frequenzen viel kleiner als
0τωU~
nur wobeiωdeωU~
tU 1e
tωiee
( inverse ) Fouriertransformation:
• Differenziererschaltung für
• Amplitude der differenzierten Spannung
20
Verbesserte, Last-unabhängige Differenziererschaltung:
Ua(t)
R
CUe(t)
ZLastIdealer
Operations-verstärker
RCτmittd
UdτtU e
a
Zur Stabilisierung (real life): Kleiner Serienwiderstnd R vor C
21
b) ( Passiver ) Tiefpass ( erster Ordnung ):
C
R
Ue UaSpannungsteilerschaltung
RCmit τ τωi1
1
RU
U
Cωi1
Cωi1
e
a
Übertragungsfunktion: 2
e
a
τω1
1
U
U
Phasendrehung: τωtan i
e
a
e
a eU
U
U
U
e
a
U
U
τω
1
12
1
durchlässig für ≲ durchlässig für ≲
90
τω1
45
22
Zeit-Raum: Tiefpass als Integrierer
τωi1
1
ωU~
ωU~
e
a
Voraussetzung: Ue t enthält nur Frequenzen viel größer als
t
eτ1tωi
e
t
τ1tωi
eτωi1
tωieτωi1
1tωiaa
tdtUeωU~
ωdtdωdeωU~
ωdeωU~
ωdeωU~
tU
0τωU~
nur wobeiωdeωU~
tU 1e
tωiee
(inverse) Fouriertransformation:
• Integriererschaltung für 0
• Amplitude der integrierten Spannung
C
R
Ue(t) Ua(t)
23
Veranschaulichung der Rechnung
angenäherte Integrator-Wirkung
24
Verbesserte, Last-unabhängige Integriererschaltung:
Ua(t)R
C
Ue(t)
ZLastIdealer
Operations-verstärker
RCτmittdtUtUt
eτ1
a
25
c) (Passives) Bandfilter (erster Ordnung):
Spannungsteilerschaltung
)( 2
2R
ω
ωωΔ
ωCω
1e
a
1i1
1
LωiR
R
U
U
)(
R
C
Ue Ua
L
Resonanzfrequenz:
CL
1ωR
Bandbreite:
L
Rω
Gütefaktor:
C
L
R
1
ωΔ
ωQ R
e
a
U
U
ω
1
21
durchlässig für R durchlässig für R
ω
Rω
i
e
a
e
a eU
U
U
U
ω90
90
Rω
26
d) (Passives) Bandsperrfilter (erster Ordnung):
Spannungsteilerschaltung
1)( 1i1
1
R
R
U
U
2
2R
Lωi1
ω
ωωω
Cωi1
e
a
Resonanzfrequenz:
CL
1ωR
Bandbreite:
CR
1ω
Gütefaktor:
L
CR
ωΔ
ωQ R
RCUe Ua
L
e
a
U
U
ω
1
21
undurchlässig für R undurchlässig für R
ω
Rωi
e
a
e
a eU
U
U
U
ω90
90
Rω
27
VI.3.5. Der Transformator
R VerbraucherLeistung P U I
I
U U
U
Motivation:
Relativer Leistungsverlust in der Leitung:
22
2
U
1
U
RP
U
RI
UI
RI
P
P
• Umwandlung der Eingangsspannung auf Hochspannung
• Übertragung über Hochspannungsleitung
• Umwandlung der Ausgangsspg. auf Verbraucherspannung (z.B. 230 V)
28
Schaltbild mögliche Realisierung
Gleicher Wicklungssinn von Primär- und Sekundärwicklung bezüglich Richtung des
magnetisches Flusses
Primär-Wicklung
Sekundär-Wicklung
EisenjochM
U1 U2
Entgegengesetzter Wicklungssinn von Primär- und Sekundärwicklung bezüglich Richtung des
magnetisches Flusses
U1 U2
29
U1 U2 2indU
I1 I2
Z 1indU
L1 L2
L12Definition: Kopplungsstärke
LL
Lk
21
12 LL
Lk
21
12 0,1
Bemerkung: Idealer Transformator keine Streufeld- etc. Verluste gesamter magnetischer Fluss durchsetzt beide Spulen
k 11222
2ind21211
1ind ILILUILILU Induktionsgesetz
2
2ind2
1ind1 IZUUUU Maschenregel
2211 IωiIIωiI Wechselstrom
k1ωi1
k
U
U
ZL2
LL
1
2
2
1
2
k1ωi1
k
U
U
ZL2
LL
1
2
2
1
2
Tafelrechnung
1
k
I
I
2
2
1
LωiZ
LL
1
2
1
k
I
I
2
2
1
LωiZ
LL
1
2
30
U1 U2 2indU
I1 I2
Z 1indU
L1 L2
L12
k1ωi1
k
U
U
ZL2
LL
1
2
2
1
2
k1ωi1
k
U
U
ZL2
LL
1
2
2
1
2
1
k
I
I
2
2
1
LωiZ
LL
1
2
1
k
I
I
2
2
1
LωiZ
LL
1
2
Phasendrehung:
ZReiZImarge
U
U
U
U2
2
2
Lk1ω
Zi
1
2
1
2)(
31
Spezialfall: Spulen gleichen VolumensWindungszahlen N1, N2
1
2
1
22
22,1
0r2,1 N
N
L
L
zΔ
NVμμL
Idealer Transformator: k
1
2lSpezialfal
1
2
1
2
N
N
L
L
U
U
1
2lSpezialfal
1
2
1
2
N
N
L
L
U
U
11I
I
2
2
1
2
2
1
LωiZ
NNlSpezialfal
LωiZ
LL
1
2
11I
I
2
2
1
2
2
1
LωiZ
NNlSpezialfal
LωiZ
LL
1
2
π π
U1 U2 2indU
I1 I2
Z 1indU
L1 L2
L12
k1ωi1
k
U
U
ZL2
LL
1
2
2
1
2
k1ωi1
k
U
U
ZL2
LL
1
2
2
1
2
1
k
I
I
2
2
1
LωiZ
LL
1
2
1
k
I
I
2
2
1
LωiZ
LL
1
2
ZReiZImarg 2
2
2
Lk1ω
Z
)(
ZReiZImarg
22
2
Lk1ω
Z
)(
32
Unbelasteter Transformator: Z
1
2lSpezialfal
1
2
1
2
N
Nk
L
Lk
U
U
1
2lSpezialfal
1
2
1
2
N
Nk
L
Lk
U
U 0
I
I
1
2 0I
I
1
2 π π
k1ωi1
k
U
U
ZL2
LL
1
2
2
1
2
k1ωi1
k
U
U
ZL2
LL
1
2
2
1
2
1
k
I
I
2
2
1
LωiZ
LL
1
2
1
k
I
I
2
2
1
LωiZ
LL
1
2
ZReiZImarg 2
2
2
Lk1ω
Z
)(
ZReiZImarg
22
2
Lk1ω
Z
)(
U1 U2 2indU
I1 I2
Z 1indU
L1 L2
L12
Spezialfall: Spulen gleichen VolumensWindungszahlen N1, N2
1
2
1
22
22,1
0r2,1 N
N
L
L
zΔ
NVμμL
33
Kurzgeschlossener Transformator: Z0
0U
U
1
2 0U
U
1
2 N
Nk
L
Lk
I
I
2
1lSpezialfal
2
1
1
2 N
Nk
L
Lk
I
I
2
1lSpezialfal
2
1
1
2
k1ωi1
k
U
U
ZL2
LL
1
2
2
1
2
k1ωi1
k
U
U
ZL2
LL
1
2
2
1
2
1
k
I
I
2
2
1
LωiZ
LL
1
2
1
k
I
I
2
2
1
LωiZ
LL
1
2
ZReiZImarg 2
2
2
Lk1ω
Z
)(
ZReiZImarg
22
2
Lk1ω
Z
)(
U1 U2 2indU
I1 I2
Z 1indU
L1 L2
L12
Spezialfall: Spulen gleichen VolumensWindungszahlen N1, N2
1
2
1
22
22,1
0r2,1 N
N
L
L
zΔ
NVμμL
34
Transformator mit ohmscher Last: ZR
R
k1Lωarctanπ
22
R
k1Lωarctanπ
22
k1ωi1
k
U
U
RL2
LL
1
2
2
1
2
k1ωi1
k
U
U
RL2
LL
1
2
2
1
2
U1 U2 2indU
I1 I2
Z 1indU
L1 L2
L12
k1ωi1
k
U
U
ZL2
LL
1
2
2
1
2
k1ωi1
k
U
U
ZL2
LL
1
2
2
1
2
1
k
I
I
2
2
1
LωiZ
LL
1
2
1
k
I
I
2
2
1
LωiZ
LL
1
2
ZReiZImarg 2
2
2
Lk1ω
Z
)(
ZReiZImarg
22
2
Lk1ω
Z
)(
35
Transformator mit induktiver Last: ZiL
π π k11
k
U
U
LL2
LL
1
2
2
1
2
)(
k11
k
U
U
LL2
LL
1
2
2
1
2
)(
1
k
I
I
2
2
1
LL
LL
1
2
1
k
I
I
2
2
1
LL
LL
1
2
U1 U2 2indU
I1 I2
Z 1indU
L1 L2
L12
k1ωi1
k
U
U
ZL2
LL
1
2
2
1
2
k1ωi1
k
U
U
ZL2
LL
1
2
2
1
2
1
k
I
I
2
2
1
LωiZ
LL
1
2
1
k
I
I
2
2
1
LωiZ
LL
1
2
ZReiZImarg 2
2
2
Lk1ω
Z
)(
ZReiZImarg
22
2
Lk1ω
Z
)(
36
Transformator mit kapazitiver Last: Z(iC)
sonst
1LCωk1falls ,π,0
222
sonst1LCωk1falls
,π,0
222
k11
k
U
U
222
LL
1
2
LCω)(1
2
k11
k
U
U
222
LL
1
2
LCω)(1
2
1
k
I
I
22
2
1
LCω1
LL
1
2
1
k
I
I
22
2
1
LCω1
LL
1
2
U2 U1größer als im unbelasteten Fall falls k2 2 C L2
Resonanzfrequenz:
1
2
UU
22R
π0 ngPhasenspru
LCk1
1ω
U1 U2 2indU
I1 I2
Z 1indU
L1 L2
L12
k1ωi1
k
U
U
ZL2
LL
1
2
2
1
2
k1ωi1
k
U
U
ZL2
LL
1
2
2
1
2
1
k
I
I
2
2
1
LωiZ
LL
1
2
1
k
I
I
2
2
1
LωiZ
LL
1
2
ZReiZImarg 2
2
2
Lk1ω
Z
)(
ZReiZImarg
22
2
Lk1ω
Z
)(
37
Anwendungen:
• Transformation auf Hochspannung• Hochstromanwendung: N1 1 , N≫ 2
Aluminium-Schmelzen Edelstahl-Gewinnung• Punktschweißen• Aufheizen von Werkstücken durch Wirbelströme• Betatron-Beschleuniger
2212 IRPII groß
e- Beschleunigunge
N
S
Primärspulen (Helmholtz-Typ)
Elektronenstrahl als Sekundärstromschleife
inhomogenes magnetisches Wechselfeld
Strahlfokussierung
z.B. Rinne mit Metallschmelze
38
VI.3.6. Schwingkreise
VI.3.6.1. Freie Schwingung
0QLQR
0ILRI
CQ
CQ
Maschenregel R
C
L
I
Q
D
γ m
xMechanisches Analogon:
0xmxγxD 0xmxγxD
Übersetzung: Mechanik Elektrodynamikx Qm L
RD C1
39
0QLQR CQ 0QLQR CQ
R
C
L
I
Q
Lösung übersetzt aus Mechanik:
C
L2R
2tωiτt
τ
1
CL
1ω
R
L2τee~Q
Schwingfall:
C
L2R CLτe.constt~Q τt
Aperiodischer Grenzfall:
CL
1
L4
R
L2
R
τ
1e~Q
2
2τt
Kriechfall:
C
L2R
40
VI.3.6.2. Erzwungene Schwingung und Resonanz ( Übersetzung aus Mechanik)
Serienschwingkreis:
U(t)R
C
L
Q
I
Resonanzfrequenz: Z R minimal CL
1ω
R
CL
1ω
R
Bandbreite: L
Rω
L
Rω
D
γ m
xF(t)
xQI
tFtU
DC
γRmL1
41
Parallelschwingkreis:
Bandbreite: L
Rω
L
Rω
m
xm
D
F(t)γ
x
U(t)
QCI
R
C
L
IL
Kleine Dämpfung
Resonanzfrequenz: maximal CL
1ω
R
CL
1ω
R
CR
LZ
DCγRmL
xxQxIxI
tFtU
1
mCmL
42
VI.3.6.3. Gekoppelte Schwingkreise ( gekoppelte mechanische Schwinger )
Induktive Kopplung:R1
C1L1I1Q1
R2
C2L2 I2
Q2
L12
QLQQRQL
QLQQRQL
1122C1
2222
2121C1
1111
2
1
QLQQRQL
QLQQRQL
1122C1
2222
2121C1
1111
2
1
Lösungsweg: Transformation auf Normalkoordinaten
Beispiel: L1L2 L C1C2C R1R2 R
Normalkoordinaten: QQQ 21 QQQ 21
Eigenfrequenzen: αω 241
CLL1
12 αω 241
CLL1
12
0QQRQLL C1
12 0QQRQLL C
112
α 12LL
R α
12LLR
ee~Q tωitα21
ee~Q tωitα2
1
Normalmoden ( Schwingfall ):
43
Analoges Verfahren
R1
C1
L1 R2
C2
L2Ck
Kapazitive Kopplung:
Galvanische Kopplung:
R1
C1
L1 R2
C2
L2Rk
44
Lade-Widerstand
Puffer-Kondensator
npn-Transistor als elektronischer Schalter
Schwingkreis
CL1
0 ω
CL1
0 ω
VI.3.6.4. Erzeugung ungedämpfter Schwingungen
Beispiel: Meißner-Schaltung
L C
R1 C1
TCR τ0
ωπ2
11 TCR τ0
ωπ2
11
L C
R1 C1
sperrt
Schwingphase 1
autarker Schwingkreis
45
TCR τ0
ωπ2
11 TCR τ0
ωπ2
11
Lade-Widerstand
Puffer-Kondensator
npn-Transistor als elektronischer Schalter
Schwingkreis
CL1
0 ω
CL1
0 ω
L C
R1 C1
L C
R1 C1
leitet
Schwingphase 2
Nachladung
Beispiel: Meißner-Schaltung
VI.3.6.4. Erzeugung ungedämpfter Schwingungen
46
VI.3.7. Hochfrequenzleitung: Der Skineffekt
Elektrischer Leiter ohmscher Widerstand und Induktivität: Z RiL
induktive Effekte dominieren für R L (typisch ≳ O( MHz ))
Elektrischer Leiter
rL
E
j
B jμμBrot 0r
jμμBrot 0r
t
BErot ind
t
BErot ind
indE
r
Stromschwächung
Lenz
Folgerung: Bei hohen Frequenzen können Ströme nur nahe der Leiter-Oberfläche fließen ( Skineffekt ).
47
Quantitative Untersuchung ( Tafelrechnung) Eindringtiefe des Stroms
ωσμμ
2d
el0r
ωσμμ
2d
el0r
rL
rel
j
r
r
j
rL
rLd
e1
expj drr L expj drr L
Beispiel: KupferleiterHz dmm
50 94
103 2
106 0,07
(exakte Lösung: Besselfunktionen)
48
ωσμμ
2d
el0r
ωσμμ
2d
el0r
0ω
2Lrπ
1R
Volumen
ω
Lrπ2
1R
Oberfläche
Übergangsbereich (d rL)
ωdrπ2
1R
L
( effektives ) durchströmtes
Volumen
• HF-Spannungen sind relativ ungefährlich
• Eisendrähte ( großes r ) sind schlechte HF-Leiter
• Gute HF-Leitung bei großer Oberfläche ( Hohlrohre, Litzen, ... )