GRAEVINSKI FAKULTETSVEUILITA U MOSTARUPredmet: MEHANIKA 2Vjebe br. 2Profesor: doc dr sc Mladen Koul Profesor: doc. dr. sc. Mladen KoulAsistent: Ante Dolan, mag. ing. gra.1Mostar, 14. listopada 2013.KINEMATIKAKinematika toke inematika toke( ) r rt = Poloaj tokeuprostorudanjevektorompoloaja:( ) r rtU vremenskom intervalu , toka prelazi iz poloaja A1 u poloaj A2 na putanji, pri emu se t Ap j p j p j , pvektorpromijeni za . r

r A

Omjer prirasta vektora poloaja i prirasta pripadnogj p p j p p p gvremena naziva se srednja brzina toke: srednje v

A

r. =A

srvt2Vezaizmeuvektorapoloajai Decartesovihkoordinatatokedanajeizrazom:. = + +

r xi yj zk yjPa se moe pisati izraz za brzinu toke:dx dy dzvdt dt dt= + +dt dt dtOdnosno komponente brzine u pravcu x, y i z ose Decartesovogkoordinatnog sustava su:, , = = = = = = x y zdx dy dzv x v y v zdt dt dtI t it t b i t k j2 2 2+ + Intenzitet brzine toke je:vv v2 2 2. = + +x y zv v v vPravac vektora brzine odreen je kosinusima pravaca: cos( , ) , cos( , ) , cos( , ) . = = =

y x zvv vvi v j vkv v vAnalognodobivanjubrzinasedobijui izrazi zaubrzanjatoke kaoi njihovi pravci: Analogno dobivanju brzina se dobiju i izrazi za ubrzanja toke, kao i njihovi pravci:, , . = = = = = = y x zx x y y z zdvdv dva v a v a vdt dt dt2 2 2 2 2 2. = + + = + + x y za a a a x y z3cos( , ) , cos( , ) , cos( , ) . = = = yx zaa aa i a j a ka a aZADATAK 1.Vektor poloaja toke M u proizvoljnom vremenskom trenutku dan je izrazom:( ) ( )2r 3 t i 4 t 3 t j = +

RJ EENJ E:J ednadba putanje dobije se eliminacijom parametra t iz konanih jednadbi kretanja:x 3 t =xt =2x 3 ty 4 t 3 t = t32x xy 4 33 3| |= |\ .Pa se moe napisati jednadba putanje u konanom obliku:( )xy 4 x3= 4ZADATAK 2.Toka M se giba u ravni xy po zakonu:4 cos 34 sin 2= += x ty tx y t isu daniucenti metri ma, a usekundama. yTreba odrediti putanju toke i intenzitet brzine u proizvoljnom trenutku t, te zakon gibanja po putanji?RJ EENJ E:J d db t j d bij li i ij t t i k ib j J ednadba putanje se dobije eliminacijom parametra t iz zakona gibanja:223 4 cos /2 4 sin / = +`+ = )x ty t 2 4 sin / +)y tRjeavanjem jednadbe prethodnog izraza dobijemo jednadbu putanje iz koje je vidljivo da imamo gibanje toke po krunici:2 2 2( 3) ( 2) 4 + + = x y5Poetni poloaj toke M dobijemo uvrtavanjem vrijednosti t=0 u izraze za zakone kretanja:4 cos 3 4 1 3 7 + + x t x cm 4 cos 3 4 1 3 74 sin 2 4 0 2 2= + = + == = = x t x cmy t y cmDabismoodredili brzinutokeM najprijeemonai vrijednosti projekcijabrzinanakoordinatneosi:4 sin ; = = = dxv x t 4 sin ;4 cos = = = xyv x tdtdyv y tdtPa je intenzitet brzine:2 2 2 2(4 sin ) (4 cos ) 4 = + = + =cmv v v t t (4 sin ) (4 cos ) 4 = + = + =x yv v v t tsVidimodajebrzinakonstantnogintenziteta, toznai dasetokakreejednoliko.6ZADATAK 3.Prema zadanom zakonu gibanja toke M treba ustanoviti oblik putanje i u trenutku nai poloaj tokenaputanji njezinubrzinu totalnotangencijalnoi normalnoubrzanje tepolumjer zakrivljenosti putanje12= t stoke na putanji, njezinu brzinu, totalno tangencijalno i normalno ubrzanje, te polumjer zakrivljenosti putanje u odgovarajuoj toki. Zakon gibanja toke je:24 = `)x t216 1`= )y tRJ EENJ E:J ednadba putanje se dobije eliminacijom parametra t iz zakona gibanja:4 = x t4= xt216 1 = y t42216 1 14| |= = |\ .xy y x4 |\ .Iz izrazazajednadbuputanjemoemozakljuiti daimamogibanjetokepoparaboli.7Koordinate poloaja toke u trenutkusu:12= t s23==x cmy cmKomponente brzine na x i y os su:4 = = = xdxcmv xsdtd 132 32 162= = = = = ydycmv y tsdtPajevrijednost rezultantebrzine: Pa je vrijednost rezultante brzine:2 2 2 24 16 16,5 = + = + =x ycmv v vsKomponente ubrzanja na x i y os su:22220 = = = = xxdv dxcma xsdt dtdd22232 = = = = yydvdycma ysdt dtP j ij d t lt t b j Pa je vrijednost rezultante ubrzanja:2 2 2 22 0 32 32 = + = + =x ycma a as8Veza izmeu tangencijalnog ubrzanja u prirodnom koordinatnom sustavu i ubrzanja toke u Decartesovomkoordinatnom sustavu dana je sljedeim relacijama:2d d2= =Tdv dsadt dt + + x x y yv a v adv x x y y2 2= =+x x y yy ydt vx y4 0 16 32 + 24 0 16 323116,5+= =TcmasVrijednost normalnekomponenteubrzanjaupromatranomtrenutkuje:2 2 2 22 32 31 7,94 = = =N Tcma a asN TsPolumjer zakrivljenosti putanje u toki M u trenutku je:12= t s2 216,534,37 94= = =vcma97,94Na10ZADATAK 4.Potrebno je izraunati dometna ravnini nagnutoj pod kutomprojektila izbaenog iz toke O poetnom brzinom , pod kutom elevacije . Za koje vrijeme e projektil pogoditi nagnutu = L OA15 =

|0500 =mv40 =

op , p j j j p j p g gravninu? 0500 vsRJ EENJ E: J ednadbe gibanja kosog hitca u parametarskom obliku dobivamo iz:110 00 0cossinxyv vv v g too= `= )i one imaju oblik:0 0 0 02cos cos( i ) ix v dt v tg tdo o = = ` }} 0 0 0 0( sin ) sin2g ty v g t dt v t o o`= = )}Eliminiranjem parametra t iz parametarskih jednadbi dobivamo jednadbu putanje projektila:x0 0 0 020 0 0 0cos cos( sin ) sin2x v dt v tg ty v g t dt v to oo o= = = = }}0 0cosxtv o=20 0 2 20 0 0 0sincos 2 cosx g xy vv voo o= Nakon sreivanja prethodnog izraza dobijemo jednadbu putanje projektila u obliku: 2g xt0 2 20 02 cosgy xtgvoo= 12y xtg| = J ednadba pravca je dana izrazom:OAIzjednaavanjem jednadbe putanje hitca i jednadbe pravca dobijemo koordinatu XA:2 20 0 02 cos ( ) v tg tgxo o | 0 0 0Axg=Pamoemoizraunati vrijednost dometa: Pa moemo izraunati vrijednost dometa:2 20 0 02 cos ( )17,7cos cosAv tg tg xL OA mgo o || | = = = =Vrijeme za koje e projektil pogoditi kosu ravninu iznosi:2 20 0 0 0 0 00 0 0 02 cos ( ) 2 cos ( )44,6cos cosAv tg tg v tg tg xT sv v g go o | o o |o o = = = = 13ZADATAK 5.tap BCD, savijen pod pravim kutom, giba se tako da toka B klizi po pravocrtnoj vodilici, a dio tapa CD tijekomvremenaprolazi kroz nepominutokuA Smatrajui daje odrediti jednadbugibanja BC OA a = = tijekom vremena prolazi kroz nepominu toku A. Smatrajui da je odrediti jednadbu gibanja toke C i njenu putanju, ako se kutmijenja po zakonu BC OA a = ==k t, u granicama 0 < .2t s14RJ EENJ E:Najprijejepotrebnodefinirati zakonekretanjatokeC: Najprije je potrebno definirati zakone kretanja toke C:cx90 GcyGcos cos cosccxx BC a ktBC = = = ( ) 90y( ) 90cytgGA = ( ) cos 1 cosCGA OA x a a kt a kt = = = ( ) ( ) ( ) 90 1 cos 90Cy GAtg a kt tg = = Iz trigonometrijenamjepoznat izraz ( ) 90 tg ctg | | =PauvrtavanjemtrigonometrijskezamijeneujednadbuYC imamo: PauvrtavanjemtrigonometrijskezamijeneujednadbuYC imamo:( ) ( )cos1 cos 1 cossinkty a kt ctgkt a ktkt= = Sada u prethodni izraz uvrtavamo trigonometrijsku zamjenu:1 cos2 itgo o =2 singote dobijemo konani oblik zakona kretanja u pravcu osi y:ktk cos2y a kt tg = Sada imamo zakone kretanja toke C:cos x a kt = 16coscos2x a ktkty a kt tg= = Parametar vremena iz zakona kretanja emo eliminirati na sljedei nain:cos x a kt = cosxkt =cos2kty a kt tg = a1 coscos1 coskty a ktkt= +22, 0 .y a xx ax a x= s s+J ednadba putanje toke predstavlja matematiku krivulju koja se zove strofoida:17ZADATAK 6.Odrediti jednadbu putanje koju opisuje brod odravajui dati stalni kursni kutka nepokretnoj toki O. PoetnorastojanjebrodaodtokeOje Ispitati posebnosluajevekadajeob

= 0i Poetno rastojanje broda od toke O je. Ispitati posebno sluajeve kada je0b= , 0 i .218RJ EENJ E:Za rjeavanje zadatka usvaja se polarni koordinatni sustav, pri emu emo za pol usvojiti toku O, dok polarna os prolazi kroz O i poetni poloaj broda , tako da jei 0B0 0r b =00. =v r -Sa slike vidimo da je:( )crv rtg tgvrt o o- = = =- -Pa dalje moemo pisati:( ) r tg r o - - =Odnosno, razdvajajui promjenljive imamo:( )rctgo --= ( ) grIntegracijom prethodne jednadbe dobijemo oblik: ln ln r C ctg o = Koristei poetne uvjeteodreujemo vrijednost konstante C:0 00 ( ) 0 0 ( ) 00, , 0t tt t r r b = = = = = =0 0 0 0ln ln ln ln b C ctg b C C b o = = =0 0 0 0g Pa sada logaritamsku jednadbu putanje broda moemo zapisati u obliku:ln ln lnrr b ctg ctg o o = = 1900ln ln ln r b ctg ctgb o o = = Rjeavanjem prethodne logaritamske jednadbe dobivamo jednadbu putanje broda u obliku:0ctgr b e o = Linija opisana prethodnim izrazom naziva se logaritamska spirala.Analiza za 00 ctg r b o = =2to =0gU ovome sluaju putanja je kruni luk polumjera0r b =20, o t = Analiza za 0-Poto jea uz pretpostavku za putanju dobijemo:( ) 0 tg t o =0 r =00 0 -= = =Prema tome, u ovom sluaju brod se kree du polarne ose i pribliava se, odnosno udaljava od toke O.20ZADATAK 7.Kretanje toke M u ravnini xy zadano je zakonima kretanja:4 cos 23 sin 3x ty t= += +Odrediti jednadbuputanjetokei njenubrzinuutrenucima i0 t t stOdrediti jednadbu putanje toke i njenu brzinu u trenucima i 00 t s =1.2t s =ZADATAK 8.KutnikOAB rotira oko osi koja prolazi kroz toku O, a okomita je na ravninu crtea, po zakonu. NakrakukutnikaAB narastojanjuxodtokeA nalazi setokaM Odrediti brzinui ubrzanjetokeM u22t t = Na kraku kutnikaAB na rastojanju x od toke A nalazi se toka M. Odrediti brzinu i ubrzanje toke M u trenutku t=1 s.3 OA m 3904OA mOABx m===

21