1 · Web viewChuyên đề này chỉ mang tính chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy sự sáng tạo. Để đạt kết quả cao học sinh

Huongdanvn.com –Có hơn 1000 sáng kiến kinh nghiệm haySKKN: MÔT SÔ BAI TOAN CƯC TRI TRONG HINH HOC GIAI TICH LƠP 12

MỘT SỐ BAI TOAN CƯC TRI TRONG HINH HOC GIAI TICH LƠP 12

I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong chương trình Hình hoc giai tich lơp 12, bên canh cac dang toan quen thuôc như: viêt phương trình măt phăng, phương trình đương thăng,…. Ta con găp cac bai toan tìm vi tri cua điêm, đương thăng hay măt phăng liên quan đên môt điêu kiên cưc tri. Đây la dang Toan kho, chi co trong chương trình nâng cao va đê tuyên sinh Đai hoc cao đăng.

Trong qua trình trưc tiêp giang day va nghiên cưu tôi thây đây la dang toan không chi kho ma con kha hay, lôi cuôn đươc cac em hoc sinh kha gioi. Nêu ta biêt sư dung linh hoat va kheo leo kiên thưc cua hình hoc thuân tuy, vectơ, phương phap toa đô, giai tich thì co thê đưa bai toan trên vê môt bai toan quen thuôc.

Đưng trươc thưc trang trên, vơi tinh thân yêu thich bô môn, nhằm giup cac em hưng thu hơn, tao cho cac em niêm đam mê, yêu thich môn toan, mở ra môt cach nhìn nhận, vận dung, linh hoat, sang tao cac kiên thưc đã hoc, tao nên tang cho cac hoc sinh tư hoc, tư nghiên cưu. Đươc sư đông viên, giup đơ cua cac thây trong hôi đông bô môn Toan cua sở GD, Ban Giam hiêu, đông nghiêp trong tô Toan – Tin hoc trương THPT Trân Phu. Tôi đã manh dan viêt chuyên đê “ Môt sô bai toan cưc tri trong hinh hoc giai tich lơp 12”.

II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI

1. Thuận lợi.

- Kiên thưc đã đươc hoc, cac bai tập đã đươc luyên tập nhiêu- Hoc sinh hưng thu trong tiêt hoc, phat huy đươc kha năng sang tao,

tư hoc va yêu thich môn hoc.- Co sư khich lê từ kêt qua hoc tập cua hoc sinh khi thưc hiên chuyên

đê. - Đươc sư đông viên cua BGH, nhận đươc đông viên va đong gop ý

kiên cua đông nghiêp.

2. Khó khăn.- Giao viên mât nhiêu thơi gian đê chuẩn bi cac dang bai tập

Gia o viên: Nguyên Ngoc Duật - THPT Trân Phu - thi xa Long Khanh Trang 1/32


- Nhiêu hoc sinh bi mât kiên thưc cơ ban trong hình hoc không gian, không năm vưng cac kiên thưc vê hình hoc, vec tơ, phương phap đô trong không gian.

- Đa sô hoc sinh yêu môn hình hoc.3. Sô liệu thông kê

Trong cac năm trươc, khi găp bai toan liên quan đên Cưc tri trong hình hoc sô lương hoc sinh biêt vận dung đươc thê hiên qua bang sau:

Không nhận biêt đươc

Nhận biêt, nhưng không biêt vận dung

Nhận biêt va biêt vận dung ,chưa giai đươc hoan chinh

Nhận biêt va biêt vận dung , giai đươc bai hoan chinh

Sô lương 60 20 9 1Ti lê ( %) 66,7 22,2 9,9 1.1

III. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ1. Cơ sở lý luận.

Cung câp cho hoc sinh không chi kiên thưc ma ca phương phap suy luận, kha năng tư duy. Từ nhưng kiên thưc cơ ban phai dẫn dăt hoc sinh co đươc nhưng kiên thưc nâng cao môt cach tư nhiên (chư không ap đăt ngay kiên thưc nâng cao).

Trong chuyên đê chu yêu dung phương phap toa đô trong không gian đê giai cac bai toan đươc đăt ra.

2. Nôi dung. 2.1. Nhăc lai môt sô dang toan hay được sư dung . a. Tim hinh chiếu vuông góc cua điêm M lên măt phăng (α)

Goi H la hình chiêu vuông goc cua M lên (α).

Viêt phương trình đương thăng MH(qua M va vuông goc vơi (α))

Tìm giao điêm H cua MH va (α). Nêu yêu câu tìm điêm M’ đôi xưng vơi

M qua măt phăng (α) thì ta vẫn tìm hình chiêu H cua M lên (α), dung công thưc trung điêm suy ra toa đô M’.

b.Tìm hình chiêu vuông goc cua điêm M lên đương thăng d:



Viêt phương trình tham sô cua d Goi H co toa đô theo tham sô t H la hình chiêu vuông goc cua điêm M lên d khi Tìm t, suy ra toa đô cua H.

2.2 Ca c bai toan cưc tri liên quan đ ên tim môt điêm thoa điêu kiện cho trươc. Bai toan 1: Cho n điêm A1, A2, ..An, vơi n sô k1, k2,.,kn thoa k1+ k2+ ….+kn = k ≠ 0 va đương thăng d hay măt phăng (α). Tim điêm M trên đương thăng d hay măt phăng (α) sao cho có giá tri nho nhât.

Lơi giai:

Tìm điêm I thoa Biên đôi

Tìm vi tri cua M khi đat gia tri nho nhât

Giai:1) Goi điêm I thoa thì I la trung điêm AB va I(0; 2; 4)Khi đo co gia tri nho nhât

<=> nho nhât <=> M la hình chiêu vuông goc cua I lên đương thăng d.

Đương thăng d co vtcp , phương trình tham sô d:

Toa đô M(t + 4; -1 + t; t), khi M la hình chiêu vuông goc cua I lên đương thăng d thì hay 3t – 3 = 0 <=> t = 1Vậy M( 5; 0; 1).


Vi du 1: Cho đương thăng va hai điêm ,

. Tìm điêm M trên d sao cho

1) co gia tri nho nhât.



2) Goi điêm J(x; y; z) thoa Ta co: (0 –x; 1 –y; 5 – z) – 4(0 – x; 3- y; 3- z) = (0; 0; 0)

=>x = 0; y = , z = , vậy J(0; )

Khi đo co gia tri nho nhât khi M la hình chiêu vuông goc cua J lên đương thăng d.

Toa đô M(4+ t; -1+ t; t), khi M la hình chiêu

vuông goc cua J lên đương thăng d thì hay 3t – 3 = 0 <=> t = 1Vậy M( 5; 0; 1) thì co gia tri nho nhât.

Giai:

1) Goi điêm G thoa thì G la trong tâm cua tam giac ABC va G(0;-2;1)Ta co = = co gia tri nho nhât khi M la hình chiêu vuông goc cua G lên măt phăng (α)MG nhận lam vecto chi phương

Phương trình tham sô MG

Toa đô M ưng vơi t la nghiêm phương trình:4t – 2(-2- 2t) + 3(1+3t)+ 10 = 0

Vậy vơi M(-2; 0; -2) thì co gia tri nho nhât.2) Goi I(x; y; z) la điêm thoa Ta co

, vậy


Vi du 2: Cho măt phăng (α): 2x – 2y + 3z + 10 = 0 va ba điêm , , . Tìm điêm M trên măt phăng (α) sao cho :




Ta co: = = co gia tri nho nhât khi M la hình chiêu vuông goc cua I lên măt phăng (α)

Phương trình tham sô MI:

Toa đô M ưng vơi t la nghiêm phương trình:

Vậy vơi thì đat gia tri nho nhât.

Bai toan 2: Cho đa giác A1 A2 ….An va n sô thưc k1, k2, …., kn thoa k1+ k2+ ….+ kn = k . Tim điêm M thuôc măt phăng ( hay đương thăng) sao cho tông T = đat giá tri nho nhât hoăc giá tri lơn nhât

Lơi giai:

- Tìm điêm I thoa - Biên đôi : T = =

= + + 2= +

Do không đôi, Biêu thưc T nho nhât hoăc lơn nhât khi MI nho nhât hay M la hình chiêu vuông goc cua I lên măt phăng hay đương thăng.Chu y:

- Nếu k1+ k2+ ….+ kn = k > 0, Biêu thưc T đat giá tri nho nhât MI nho nhât

- Nếu k1+ k2+ ….+ kn = k < 0, Biêu thưc T đat giá tri lơn nhât khi MI nho nhât.


Vi du 1: Cho măt phăng (α): x + 2y + 2z + 7 = 0 va ba điêm A(1; 2; -1), B(3; 1; -2), C(1; -2; 1)

1) Tìm M trên măt phăng (α) sao cho MA2 + MB2 co gia tri nho nhât.2) Tìm M trên măt phăng (α) sao cho MA2 - MB2 – MC2 co gia tri lơn

nhât.


Giai:

1) Goi điêm I(x; y; z) thoa thì I la trung điêm AB va

Ta co: MA2 + MB2 = =

Do không đôi nên MA2 + MB2 nho nhât khi MI2 co gia tri nho nhât, hay M la hình chiêu vuông goc cua I lên (α)Đương thăng IM qua điêm I va co vtcp

Phương trình tham sô MI:


Vậy vơi thì MA2 + MB2 co gia tri nho nhât.

Nhân xet:

Vơi I la trung điêm AB thi MA2 + MB2 = 2MI2 + , do AB2 không

đôi nên MA2 + MB2 nho nhât khi MI2 có giá tri nho nhât, hay M la hinh chiếu vuông góc cua I lên (α).2) Goi J(x; y; z) la điêm thoa Hay

Ta co: MA2 - MB2 – MC2 =



Do không đôi nên MA2 - MB2 – MC2 lơn nhât khi MJ nho nhât hay M la hình chiêu cua J trên măt phăng (α).Đương thăng JM qua điêm I va co vtcp

Phương trình tham sô MJ:


Vậy vơi thì MA2 - MB2 – MC2 co gia tri lơn nhât.

Giai:

1) Goi điêm I(x; y; z) la điêm thoa Hay:

Ta co MA2 - 2MB2 =

Do không đôi nên MA2 -2 MB2 lơn nhât khi MI2 co gia tri nho nhât, hay M la hình chiêu vuông goc cua I lên d.

Đương thăng d co vtcp , phương trình tham sô d:


Vi du 2: Cho đương thăng d co phương trình: va cac điêm

A(0; 1; -2), B( 2; -1; 2), C(4; 3; 3). Hãy tìm điêm M trên d sao cho1) MA2 - 2MB2 co gia tri lơn nhât2) MA2 + MB2 + MC2 co gia tri nho nhât.


, khi M la hình chiêu vuông goc cua I lên đương thăng d thì

Vậy vơi thì MA2 - 2MB2 co gia tri lơn nhât

Nhân xet:Ta co thê dung phương phap khao sat ham sô đê tim vi tri cua điêm M

VơiVa MA2 - 2MB2 = (t + 1)2 + (2t + 1)2 +(t + 5)2 – 2[(t - 1)2 + (2t + 3)2+(t +1)2

= - 6t2 – 8t +5Xet ham sô

Co đao ham

Bang biên thiên

t

f’(t) + 0

f(t)

Từ bang biên thiên ta thây f(t) đat gia tri lơn nhât khi

Hay MA2 - 2MB2 co gia tri lơn nhât khi

2) Goi điêm G(x; y; z) la điêm thoa thì G la trong tâm tam giac ABC va G(2; 1; 1).Ta co: MA2 + MB2 + MC2 =

= =

Do không đôi nên MA2 + MB2 + MC2 nho nhât khi MG nho nhât, hay M la hình chiêu vuông goc cua G lên đương thăng d.

, Gia o viên: Nguyên Ngoc Duật - THPT Trân Phu - thi xa Long Khanh Trang 8/32


Khi M la hình chiêu vuông goc cua I lên đương thăng d thì

Vậy vơi thì MA2 + MB2 + MC2 co gia tri nho nhât.

Bai toan 3: Cho măt phăng (α) có phương trinh:ax + by + cz + d = 0 va hai điêm A,B không thuôc (α) . Tim điêm M trên (α) sao cho MA + MB có giá tri nho nhât.

Lơi giai:

1. Nêu (axA+byA+ czA + d)(axB+byB+ czB+ d) < 0 thì A, B nằm vê hai phia vơi (α). Đê MA + MB nho nhât khi M thuôc AB hay M la giao điêm cua (α) va AB.

2. Nêu (axA+byA+ czA + d)(axB+ byB+ czB+ d) >0 thì A, B nằm vê môt phia vơi (α). Khi đo ta tìm điêm A’ đôi xưng vơi A qua (α). Do MA + MB = MA’+ MB ma đat gia tri nho nhât khi M thuôc A’B hay M la giao điêm cua (α) va A’B.

Giai:Thay toa đô cua A va B vao phương trình (α) ta thây hai điêm nằm vê hai phia cua (α).Ta co MA + MB co gia tri nho nhât khi M la giao điêm cua AB va (α).Đương thăng AB qua điêm B, nhận lam vecto chi phương

Phương trình tham sô cua AB:

Toa đô M ưng vơi t la nghiêm phương trình: 2 + t – 2(-t)- 2.2 + 4 = 0

Hay la điêm cân tìm.


Vi du 1: Trong không gian vơi hê toa đô Oxyz, cho măt phăng (α) co phương trình:x – 2y – 2z + 4 = 0 va hai điêm A(1; 1; 2), B(2; 0; 2). Tìm điêm M trên măt phăng (α) sao cho MA + MB co gia tri nho nhât


Giai:1) Thay toa đô cua A va B vao phương trình (α) ta thây hai điêm nằm vê môt phia cua (α).Goi A’ la điêm đôi xưng vơi A qua (α), đê MA + MB co gia tri nho nhât khi M la giao điêm cua A’B vơi (α).Đương thăng AA’ đi qua A va vuông goc vơi (α), AA’ nhận lam vecto chi phương

Phương trình tham sô AA’:

Toa đô hình chiêu vuông goc H cua A trên (α) ưng vơi t cua phương trình

1 + t – (2 – t) + 2(-1 + 2t) = 0 6t – 3 = 0 hay t =

Do H la trung điêm AA’ nên

A’B co vtcp

Phương trình tham sô A’B:


2 + t – 1 + 2(1 – 3t) = 0 hay

Vậy vơi thì MA + MB co gia tri nho nhât.

2) Thay toa đô cua A va C vao phương trình (α) ta thây hai điêm nằm vê hai phia cua (α).Vậy nên A’ va C nằm cung môt phia đôi vơi (α).Ta thây .


Vi du 2: Cho măt phăng (α) co phương trình: x – y + 2z = 0 va ba điêm A(1; 2;-1), B(3; 1; -2), C(1; -2; -2). Hãy tìm điêm M trên d sao cho

1) MA + MB co gia tri nho nhât2) co gia tri lơn nhât.


Nên đat gia tri lơn nhât khi M thuôc A’C nhưng ở phia ngoai đoan A’C, tưc M la giao điêm cua A’C va (α).Đương thăng A’C co vtcp

Phương trình tham sô A’C:


2 - t - (1 – 3t) + 2(1 - 3t) = 0 hay

Vậy vơi thì co gia tri lơn nhât.

Bai toan 4: Cho đương thăng d va hai điêm phân biệt A,B không thuôc d. Tim điêm M trên đương thăng d sao cho MA + MB có giá tri nho nhât.

Lơi giai:

1. Nêu d va AB vuông góc vơi nhau Ta lam như sau:

- Viêt phương trình măt phăng (α) qua AB va vuông goc vơi d- Tìm giao điêm M cua AB va (α)- Kêt luận M la điêm cân tìm.

2. Nêu d va AB không vuông góc vơi nhau Ta lam như sau:

- Đưa phương trình cua d vê dang tham sô, viêt toa đô cua M theo tham sô t

- Tinh biêu thưc MA + MB theo t, xet ham sô f(t) = MA + MB- Tinh gia tri nho nhât cua ham sô f(t), từ đo suy ra t- Tinh toa đô cua M va kêt luận.

Giai:

Đương thăng d co phương trình tham sô


Vi du 1: Cho đương thăng va hai điêm C(-4; 1;

1), D(3; 6; -3). Hãy tìm điêm M trên d sao cho MC + MD đat gia tri nho nhât.


qua điêm N(1; -2; 3), co vtcp va Ta co . = 14 -10 – 4 = 0 Xet măt phăng (P) qua CD va vuông goc vơi d(P) qua điêm C(-4; 1; 1) va nhận lam vecto phap tuyênPhương trình (P): 2(x +4) – 2(y -1) + 1(z -1) = 0 hay 2x – 2y + z + 9 = 0Điêm M thuôc d thoa MC + MD đat gia tri nho nhât khi M la giao điêm cua d va mp(P). Toa đô M ưng vơi t la nghiêm cua phương trình:

2 + 4t + 4 + 4t + 3 + t + 9 = 0Vậy M(-3; 2; 1) thì MC + MD đat gia tri nho nhât bằng:

Giai:Ox co vtcp qua O(0; 0; 0), AB co vtcp va

Ox va AB không vuông goc.Ta co = (0; 2; 1)(3; 0; 2) = 0 + 6 +2 = 8 nên AB va Ox cheo nhau.

Phương trình tham sô cua Ox:

S = MA + MB = =Ta phai tìm t sao cho S đat gia tri nho nhâtTrong măt phăng toa đô vơi hê Oxy xet cac điêm Mt(t; 0) va hai điêm At(3;2), Bt(2; 1) thì S = MtAt + MtBt Ta thây At, Bt nằm cung phia vơi Ox nên ta lây At’(3; -2) đôi xưng vơi At

qua Ox.Phương trình đương thăng At'Bt : 3x + y – 7 = 0 S = MtAt + MtBt nho nhât khi M la giao điêm cua Ox va A t'Bt 3t - 7 = 0

hay . Vậy la điêm cân tìm.

Cach khac: Ta có thê tim điêm M băng phương pháp khao sát ham sô. Từ biêu thưc S =

Ta xet ham sô ( )


Vi du 2: Cho hai điêm A(3; 0; 2), B(2; 1; 0). Hãy tìm điêm M trên truc Ox sao cho MA + MB đat gia tri nho nhât


Co đao ham

(*)

vơi điêu kiên 2 ≤ t ≤ 3 ta co: (*)

Bang biên thiên cua ham sô f(t) :

t

f’(t) - 0 +

f(t)

Từ bang biên thiên suy ra =

Vậy MA + MB đat gia tri nho nhât bằng , đat đươc tai , tưc la

M( ; 0; 0)

Giai:Gia o viên: Nguyên Ngoc Duật - THPT Trân Phu - thi xa Long Khanh Trang 13/32

Vi du 3: Cho đương thăng va hai điêm A(-1; 1; 1), B(1;

4; 0). Hãy tìm điêm M trên d sao cho chu vi tam giac MAB đat gia tri nho nhât


Đương thăng d co phương trình tham sô

qua điêm N(1; 2; 1), co vtcp va Ta co . = 4 + 6 – 1 = 9 ≠ 0 d không vuông goc vơi AB va = (-5; 4; 2)(-2; -1; 0) = 10 – 4 = 6 d va AB cheo nhau- Chu vi tam giac MAB la 2p = 2(MA + MB + AB), do AB không đôi nên 2p đat gia tri nho nhât khi MA + MB đat gia tri nho nhât.Xet điêm , ta phai tìm t đê MA + MB đat gia tri nho nhâtXet

=

Co đao ham

vơi

Bang biên thiên cua ham sô f(t) :

t

f’(t) - 0 +

f(t)



Ta thây f(t) đat gia tri nho nhât bằng khi t =

Hay vơi thì MA + MB đat gia nho nhât bằng

Nhân xet: Trong dang toán nay nếu ta dung phương pháp khao sát ham sô thi việc tim t se đơn gian hơn. Bai toan 5: Cho hai đương thăng d1,d2 cheo nhau. Tim các điêm M d1, N d2 la chân đoan vuông góc chung cua hai đương trên.

Lơi giai:

- Viêt phương trình hai đương thăng dang tham sô

- Lây M va N ( toa đô theo tham sô).

- Giai hê phương trình va

( la cac vectơ chi phương cua d1 va d2 ).

- Tìm toa đô M, N va kêt luận.

Giai:1) d1 qua M1(5; -1; 11), co vtcp d2 qua M2(-4; 3; 4), co vtcp

Ta co [ ] = (8; 4; 16)(-9;4; -7) = -72 +16 – 112 = -168Hay d1 va d2 cheo nhau.2). M va N sao cho đô dai MN ngăn nhât khi va chi khi MN la đô dai đoan vuông goc chung cua d1 va d2.Phương trình tham sô cua hai đương thăng


Vi du 1: Cho hai đương thăng

,

1) Chưng minh d1, d2 cheo nhau2) Tìm điêm M va N sao cho đô dai MN ngăn nhât.


d1: , d2:

M nên M(5 + t; -1 + 2t; 11- t), N nên N(-4 – 7t’;3 +2t’; 4 + 3t’)

- 7t’- t – 9; 2t’ – 2t +4; 3t’ + t – 7)

Ta co

Do đo M(7; 3;9) va N(3; 1; 1)Vậy vơi M(7; 3;9) va N(3; 1; 1) thì đô dai MN ngăn nhât bằng .

Giai:

- Lây điêm M trên d, Goi H la hình chiêu vuông goc cua M lên AB

- Tam giac MAB co diên tich S = đat

gia tri nho nhât khi MH nho nhât, hay MH la đoan vuông goc chung cua AB va d.Ta thây d qua M1(2; 4; -2), co vtcp AB qua A(1; 2; 3) va (0; -2;-2) =

vơi la vec tơ chi phương cua AB

Phương trình tham sô AB

M(2 + t; 4+ t; -2) ,H(1; 2+ t’;3+t’) , -t -1; t’ – t -2; t’ +5)

Ta co

Vậy M(-1; 1; -2), H(1; -1; 0) khi đo MH = , AB =Gia o viên: Nguyên Ngoc Duật - THPT Trân Phu - thi xa Long Khanh Trang 16/32

Vi du 2: Cho đương thăng d: va hai điêm A(1;2; 3),B(1; 0; 1). Tìm

điêm M trên d sao cho tam giac MAB co diên tich nho nhât


Diên tich

Giai:

- Gia sư măt câu (S) co tâm I, ban kinh R tiêp xuc vơi d tai M, tiêp xuc vơi Ox tai N

- Ta thây 2R = IM + IN ≥ MN, do đo măt câu (S) co đương kinh nho nhât la 2R = MN khi va chi khi MN nho nhât hay MN la đoan vuông goc chung cua d va Ox.

Đương thăng d qua M(0; 0; 2), co vtcp Ox qua O(0; 0; 0), co vtcp

[ ] = (0; 0; -1)(0; 0; 2) = -2 nên d va Ox cheo nhau.Vơi M(0; t; 2- t) d, N(t’; 0; 0) Ox va t’; -t; t – 2)

Ta co

Vậy M(0; 1; 1), N(0; 0; 0) ≡ O

Măt câu (S) co tâm I (0 , ban kinh R =

Phương trình măt câu (S):

Cac bai toan cưc tri liên quan đên vi tri cua đương thăng, măt phăng.

Bai toan 1: Cho hai điêm phân biệt A,B. Viết phương trinh măt phăng (α) đi qua A va cách B môt khoang lơn nhât.

Lơi giai:Gia o viên: Nguyên Ngoc Duật - THPT Trân Phu - thi xa Long Khanh Trang 17/32

Vi du 3: Cho đương thăng d: . Trong cac măt câu tiêp xuc

vơi ca hai đương thăng d va truc Ox, hãy viêt phương trình măt câu (S) co ban kinh nho nhât.


Hoi H la hình chiêu vuông goc cua B lên măt phăng (α), khi đo tam giac ABH vuông tai H va khoang cach d(B; (α)) = BH ≤ AB. Vậy d(B; (α)) lơn nhât bằng AB khi A ≡ H, khi đo (α) la măt phăng đi qua A va vuông goc vơi AB.

Giai:

(α) cach điêm I(3; -1; -2) môt khoang lơn nhât khi (α) la măt phăng đi qua D va vuông goc vơi DI.(α) nhận lam vecto phap tuyênPhương trình măt phăng(α): 2(x -1) + 1(y +2) – 5(z -3 ) = 0

2x + y – 5z + 15 = 0

Giai:Măt câu (S) co ban kinh R = d(A; (α)) lơn

nhât khi (α) qua B va vuông goc vơi AB la vectơ phap tuyên cua (α)

Phương trình (α): 1(x -1) + 2(y +1) +2( z – 1) = 0 x + 2y + 2z – 1 = 0

R = d(A; (α))

Phương trình măt câu (S): (x -2)2 + (y -1)2 + (z – 3)2 = 9.

Bai toan 2: Cho điêm A va đương thăng ∆ không đi qua A. Viết phương trinh măt phăng (α) chưa ∆ sao cho khoang cách tư A đến (α) lơn nhât

Lơi giai:Goi H la hình chiêu vuông goc cua A lên

măt phăng (α), K la hình chiêu vuông goc cua A lên ∆

Ta co d(A; (α)) = AH ≤ AK lơn nhât thì H ≡ K, khi đo (α) la măt phăng đi qua ∆ va vuông goc vơi AK. Hay (α) qua ∆ va vuông goc vơi mp(∆, A).


Vi du 1: Viêt phương trình măt phăng (α) đi qua điêm D(1; -2; 3) va cach điêm I(3; -1; -2) môt khoang lơn nhât.

Vi du 1: Cho ba điêm A(2; 1; 3), B(3; 0; 2); C(0; -2; 1). Viêt phương trình măt phăng (α) đi qua hai điêm A, B va cach C môt khoang lơn nhât.

Vi du 2: Cho hai điêm A(2; 1; 3), B(1; -1; 1), goi (α) la măt phăng qua A. Trong cac măt câu tâm A va tiêp xuc vơi (α), hãy viêt phương trình măt câu (S) co ban kinh lơn nhât.


Giai:Măt phăng (α) đi qua hai điêm A, B va cach C môt khoang lơn nhât khi (α) đi qua hai điêm A, B va vuông goc vơi mp(ABC).

,(ABC) co vectơ phap tuyên (α) co vectơ phap tuyên Phương trình (α): 3(x– 2) + 2(y – 1) + 1(z – 3) = 0

3x + 2y + z – 11 = 0

Giai:1) d1 qua M1(2; 1; -1), co vtcp

d2 qua M2(0; 3; 1), co vtcp Ta thây va nên hai đương thăng song song vơi nhau.2) Xet (α1) la măt phăng chưa d1 va d2 thì (α1) co vectơ phap tuyên

Khoang cach giưa d2 va (α) la lơn nhât khi (α) phai vuông goc vơi (α1). Do đo (α) nhận la vectơ phap tuyên, qua M1(2; 1; -1).Phương trình (α): 8(x -2) -11(y -1) -7(z +1) = 0 hay 8x – 11y – 7z – 12 = 0.

Bai toan 3: Cho măt phăng (α) va điêm A thuôc (α), lây B không thuôc (α). Tim đương thăng ∆ năm trong (α) đi qua A va cách B môt khoang lơn nhât, nho nhât.

Lơi giai:Gia o viên: Nguyên Ngoc Duật - THPT Trân Phu - thi xa Long Khanh Trang 19/32

Vi du 2: Cho hai dương thăng ,

1) Chưng minh hai đương thăng trên song song vơi nhau.2) Trong cac măt phăng chưa d1, hãy viêt phương trình măt phăng (α)

sao cho khoang cach giưa d2 va (α) la lơn nhât.


Goi H la hình chiêu cua B lên ∆ ta thây d(B; ∆) = BH ≤ ABVậy khoang cach từ B đên ∆ lơn nhât khi A ≡ H hay ∆ la đương thăng nằm trong (α) va vuông goc vơi AB.

Goi K la hình chiêu vuông goc cua B lên (α) khi đo d(B; (α)) = BH ≥ BKVậy khoang cach từ B đên ∆ nho nhât khi K ≡ H hay ∆ la đương thăng đi qua hai điêm A, K.

Giai:Ta thây (α)co vectơ phap tuyên 1) Goi H la hình chiêu vuông goc cua B lên (α)

Phương trình BH:

Toa đô điêm H ưng vơi t la nghiêm cua phương trình:2(2 + 2t) - 2(3 – 2t) + 5 + t + 15= 0 hay H(-2; 7; 3)

Ta thây d(B; ∆) nho nhât khi ∆ đi qua hai điêm A, H do vậy la vec tơ chi phương cua ∆.

Phương trình cua ∆:

2) Ta thây d(B; ∆) lơn nhât khi ∆ la đương thăng nằm trong (α), qua A va vuông goc vơi AB.∆ co vectơ chi phương

Phương trình cua ∆:


Vi du 1: Cho măt phăng (α): 2x – 2y + z + 15 = 0 va điêm A (-3; 3; -3). Viêt phương trình đương thăng ∆ nằm trên (α), qua điêm A va cach điêm B(2;3; 5) môt khoang :

1) Nho nhât . 2) Lơn nhât.

Vi du 2: Viêt phương trình đương thăng ∆ đi qua điêm C(2; -1; 3), vuông goc

vơi đương thăng d: va cach điêm D(4; -2; 1) môt khoang

lơn nhât.


Giai:Xet măt phăng (α) qua C va vuông goc vơi d, (α) nhận lam vectơ phap tuyên, thì ∆ nằm trong (α).Do vậy d(D; ∆) lơn nhât khi ∆ nằm trong (α), qua C va vuông goc vơi CD.∆ co vectơ chi phương

Phương trình ∆:

Giai:1) Đương thăng d qua điêm M(2; 0; 0) co vtcp , (α) đi qua B nhận lam vectơ phap tuyênPhương trình (α): x + y + z – 1 = 02) Goi H la hình chiêu cua A lên (α), đê d(A, ∆1) nho nhât khi ∆1 đi qua hai điêm B,H.

Phương trình tham sô AH:

Toa đô H ưng vơi t la nghiêm phương trình:

2 + t + 1 + t -1 + t – 1 = 0

∆1 nhận lam vec tơ chi phương

Ta thây va không cung phương nên d va ∆1 căt nhau (do cung thuôc măt phăng (α))


Vi du 3: Cho hai điêm A(2; 1; -1), B(-1; 2; 0) va đương thăng d:

1) Viêt phương trình măt phăng (α) đi qua d va B.2) Viêt phương trình đương thăng ∆1 đi qua B căt d sao cho khoang

cach từ A đên ∆1 lơn nhât.3) Viêt phương trình đương thăng ∆2 đi qua B căt d sao cho khoang

cach từ A đên ∆2 nho nhât.


Vậy phương trình ∆1:

3) Goi K la hình chiêu cua A lên ∆2 ta co d(A, ∆2 ) = AK ≤ AB, đê d(A, ∆2 ) lơn nhât khi K ≡ B hay ∆2 nằm trong (α)va vuông goc vơi AB.Ta co ∆2 nhận lam vec tơ chi phương, măt khac va không cung phương nên d va ∆2 căt nhau (do cung thuôc măt phăng (α))

Phương trình ∆2:

Chu y : Ta có thê dung phương pháp khao sát ham sô đê giai y 2 va y 3 trong

vi du 3.

Goi ∆ la đương thăng tuy ý đi qua B va căt d, gia sư ∆ căt d tai điêm N(1+t, 0;-t), khi đo ∆ co vec tơ chi phương Ta co ,

Va d(A;∆) = =

Xet ham sô co , vơi moi t R

Bang biên thiên cua

t -2 2

f’(t) + 0 - 0 +

f(t) 11 3

3

Từ bang biên thiên ta thây:



d(A;∆) lơn nhât bằng khi t = -2 N(-1; 0;2)

va đương thăng cân tìm co phương trình la:

d(A;∆) nho nhât bằng khi t = 2 N(3; 0;-2)

va đương thăng cân tìm co phương trình la :

Bai toan 4: Cho măt phăng (α) va điêm A thuôc (α), đương thăng d không song song hoăc năm trên (α) va không đi qua A. Tim đương thăng ∆ năm trên (α), đi qua A sao cho khoang cách giưa ∆ va d la lơn nhât.

Lơi giai:

Goi d1 la đương thăng qua A va song song vơi d, B la giao điêm cua d vơi (α).Xet (P) la măt phăng (d1, ∆), H va I la hình chiêu vuông goc cua B lên (P) va d1

.

Ta thây khoang cach giưa ∆ va d la BH va BH ≤ BI nên BH lơn nhât khi I ≡ H, khi đo ∆ co vtcp .

Giai:Đương thăng d co vtcp (1; 2; -1), (α) co vtpt (2; -1; 1)

Phương trình tham sô d:

Goi B la giao điêm cua d va (α), toa đô B ưng vơi t la nghiêm phương trình: 2+ 2t – 2 – 2t – 3+ t + 4 = 0 t = -1 B(0; 0; 4)Xet d1 la đương thăng qua A va song song vơi d


Vi du 1: Cho đương thăng d: , măt phăng (α): 2x – y – z + 4

= 0 va điêm A( -1; 1; 1).Viêt phương trình đương thăng ∆ nằm trên (α), đi qua A sao cho khoang cach giưa ∆ va d la lơn nhât.


Phương trình tham sô đương thăng d1:

Goi I la hình chiêu vuông goc cua B lên d1 I(-1 + t; 1 + 2t; 1 – t), (-1 + t; 1 + 2t;-5– t)

Ta co -1 + t + 2(1 + 2t) –(-5– t) = 0 t = -1 I(-2; -1; 2)Đương thăng ∆ co vtcp = (-5; -10; 4)

Phương trình ∆:

Giai:

Măt phăng (α) qua A va song song vơi (P) co phương trình: x + y – z + 2= 0 => d nằm trên (α).Đương thăng ∆ co vtcp (2;1;-3), (α) co vtpt (1;1;-1)

Phương trình tham sô ∆:

Goi B la giao điêm cua ∆ va (α), toa đô B ưng vơi t la nghiêm phương trình:

-1+ 2t + t – (4- 3t) + 2 = 0 t = B(0; ; )

Xet ∆1 la đương thăng qua A va song song vơi ∆

Phương trình tham sô đương thăng ∆1:

Goi H la hình chiêu vuông goc cua B lên ∆1 H(1 + 2t; -1 + t; 2 – 3t),

(1 + 2t; t - ; -3t)

Ta co 2 + 4t + t - + 9t = 0 t =


Vi du 2: Cho măt phăng (P): x + y – z + 1= 0, điêm A(1; -1; 2) va đương

thăng ∆ . Trong cac đương thăng đi qua A va song song

song vơi (P), hãy viêt phương trình đương thăng d sao cho khoang cach giưa d va ∆ lơn nhât.


=( ; ; ) = (26; -43; 3) =

Đương thăng d co vtcp = (40; 29; 69)

Phương trình d :

Bai toan 5: Cho hai đương thăng ∆1 va ∆2 phân biệt va không song song vơi nhau. Viết phương trinh măt phăng (α) chưa ∆1 va tao vơi ∆2 môt góc lơn nhât.

Lơi giai:Ve môt đương thăng bât ky ∆3 song song vơi ∆2 va căt ∆1 tai M. Goi I la điêm cô đinh trên ∆3 va H la hình chiêu vuông goc cua I lên mp(α), ke IJ ∆1

Goc giưa (α) va ∆2 la goc Trong tam giac vuông HMJ co cos =

không đôi

Suy ra goc lơn nhât khi MJ = MI hay H ≡ J, khi đo =(∆1,∆2) va (α) la măt phăng chưa ∆1 đông thơi vuông goc vơi măt phăng (∆1,∆2)Khi đo (α) nhận lam vectơ phap tuyên.

Giai: Đương thăng d qua điêm M(2; -1; 1) co vtcp , => = Măt phăng (α) qua điêm A va nhận lam vecto phap tuyênPhương trình mp(α): 1(x – 3) - 1(y + 4) = 0 hay x – y – 7 = 0

Khi đo cos((α),d) =


Vi du 1: Cho đương thăng d: va hai điêm A( 3; -4; 2), B( 4; -

3; 4). Viêt phương trình măt phăng (α) chưa AB va tao vơi d môt goc lơn nhât.


Giai:Mp(p) co vecto phap tuyên , Xet đương thăng d qua A va vuông goc vơi (P),d co vectơ chi phương , Oy co vectơ chi phương nên d va Oy không song song. Theo bai toan 4 nêu (α) tao vơi truc Oy goc lơn nhât thì (α) chưa d va vuông goc vơi mp(d,Oy)Do đo (α) nhận = -2( 1; 4; 1) lam vectơ phap tuyênPhương trình (α): 1(x -1) + 4(y -1) +1( z + 1) = 0 hay x + 4y + z – 4 = 0.

Bai toan 6: Cho măt phăng (α) va điêm A thuôc (α), đương thăng d không song song hoăc năm trên (α). Tim đương thăng ∆ năm trên (α), đi qua A va tao vơi d góc lơn nhât, nho nhât.

Lơi giai:Ve đương thăng d1 qua A va song song

vơi d. Trên d1 lây điêm B khac A la điêm cô đinh, goi K, H la hình chiêu vuông goc cua B lên (α) va ∆.

Ta co goc (d, ∆) =

va sin(d, ∆) = sin = ≥ . Do vậy goc

(d, ∆) nho nhât khi K ≡ H hay ∆ la đương thăng AK. Goc (d, ∆) lơn nhât bằng 900 khi ∆ d va ∆ co vtcp

Giai:


Vi du 2: Cho điêm A(1; 1; -1) va măt phăng (P): 2x – y + 2z + 2 = 0. Trong cac măt phăng đi qua A va vuông goc vơi (P), viêt phương trình măt phăng (α) tao vơi truc Oy goc lơn nhât

Vi du 1: Cho măt phăng (α): 2x + 2y – z – 7 = 0, điêm A(1; 2; -2) va đương

thăng d: .

1) Viêt phương trình đương thăng ∆1 nằm trên (α), đi qua A va tao vơi d môt goc lơn nhât.

2) Viêt phương trình đương thăng ∆2 nằm trên (α), đi qua A va tao vơi d môt goc nho nhât.


(α) co vectơ phap tuyên , d co vectơ qua điêm M(-2; 1; 3). Ta thây A (α) măt khac nên d không song song hoăc nằm trên (α).1) ∆1 tao vơi d môt goc lơn nhât khi ∆1 dDo đo ∆1 co vectơ chi phương = (-3; 3; 0 ) = -3(1; -1; 0)

Phương trình tham sô cua ∆1:

2) Xet đương thăng d1 qua A va song song vơi d

Phương trình d1: , lây điêm B(2; 3; -1) d1.

Goi K la hình chiêu vuông goc cua B lên (α)

Phương trình tham sô cua BK , toa đô cua K ưng vơi t la nghiêm

cua phương trình : 2(2 + 2t) + 2(3 + 2t) – (- 1 – t) – 7 = 0

9t + 4 = 0 hay t =

∆2 tao vơi d môt goc nho nhât khi no đi qua hai điêm A va K,

∆2 qua A(1; 2; -2), co vectơ chi phương

Phương trình ∆2 :

Giai:Đương thăng d co vectơ

Xet măt phăng (α) qua A va vuông goc vơi d ∆ nằm trên (α) (α) nhận lam vectơ phap tuyên.Phương trình (α): 2x + y + z – 2 = 0.Goi H la hình chiêu vuông goc cua B lên (α), BH co vectơ


Vi du 2: Cho hai điêm A(1; 0; 0) , B( 0; -2; 0) va đương thăng d:

. Viêt phương trình đương thăng ∆ qua A, vuông

goc vơi d va tao vơi AB môt goc nho nhât.


Phương trình tham sô cua BH , toa đô cua H ưng vơi t la nghiêm

cua phương trình: 4t -2 + t + t – 2 = 0 6t – 4 = 0 hay H( )

∆ tao vơi AB môt goc nho nhât khi no đi qua hai điêm A va H,

∆ qua A(1; 0; 0), co vectơ chi phương

Phương trình ∆ :

Bai tập ap dung.Bai 1: Cho ba điêm A(1; -2; 1), B(-1; 1; 2), C(2; 1; -2) va măt phăng (α) co phương trình x + 2y – 2z + 1 = 0.

1) Tìm điêm M trên (α) sao cho MA + MB co gia tri nho nhât.2) Tìm điêm N trên (α) sao cho NA + NC co gia tri nho nhât.3) Tìm điêm S trên (α) sao cho SA2 + SB2 – 3SC2 co gia tri lơn nhât.4) Tìm điêm P trên (α) sao cho co gia tri nho nhât.

Bai 2: Cho đương thăng va hai điêm A(3; 1; 1),

B(-1; 2; -3). Hãy tìm điêm M trên d sao cho MA + MB đat gia tri nho nhât

Bai 3: Cho đương thăng va hai điêm A(0; 1; 1),

B(1; 2; 3). Tìm điêm M trên d sao cho tam giac MAB co diên tich nho nhât.

Bai 4: Cho đương hai thăng d1: d2: . Trong cac măt

câu tiêp xuc vơi ca hai đương thăng d1 va d2, hãy viêt phương trình măt câu (S) co ban kinh nho nhât.Bai 5: Cho hai điêm C(1; -2; 2) va đương thăng d co phương trình

. Viêt phương trình măt phăng (P) chưa d va khoang cach từ

C đên (P) la lơn nhât.



Bai 6: Cho ho đương thăng dm: , vơi t va m la tham sô.

1) Chưng minh ho dm luôn đi qua môt điêm cô đinh va nằm trong môt măt phăng cô đinh.

2) Tìm m đê khoang cach từ dm đên gôc toa đô lơn nhât, nho nhât3) Tìm m đê khoang cach từ dm va truc Oy lơn nhât.4) Tìm m đê dm tao vơi truc Ox goc lơn nhât, nho nhât.

Bai 7: Cho hai điêm A(1; 3; -1), B( 0; 0; 2) va đương thăng d co phương trình

. Viêt phương trình đương thăng ∆ qua điêm I(-1; 1; 0),

vuông goc vơi truc Oy va tao vơi d môt goc 1. Nho nhât 2. Lơn nhât

Bai 8: Cho điêm B(2; -1; -2), măt phăng (P): x – y + z + 3 = 0 va đương thăng

d: . Trong cac măt phăng đi qua B va vuông goc vơi (P), viêt

phương trình măt phăng (α) tao vơi d môt goc lơn nhât

Bai 9: Cho điêm A(0; -1; 1) va ba đương thăng ∆ ,

d1: , d2: .

1). Viêt phương trình măt phăng (P) qua A đông thơi song song vơi hai đương thăng d1, d2.

2) Trong cac đương thăng đi qua A va nằm trên (P), hãy viêt phương trình đương thăng d sao cho khoang cach giưa d va ∆ lơn nhât.

Bai 10: Cho tư diên ABCD vơi A(1;0;0), B(0; 1; 0),C(0; 0;1) va D(-2;-1;-2).1) Tìm điêm M sao cho co gia tri nho nhât.2) Tìm điêm N trên măt phăng (ABC) sao cho NA2 – NB2 – 2ND2 co gia

tri lơn nhât3) Cho (P) la măt phăng qua D va song song vơi (ABC), trong cac đương

thăng đi qua D trên mp(P). Hãy viêt phương trình đương thăng d sao cho khoang cach giưa d va truc Oz lơn nhât.

Bai 11: Cho hai điêm A(2; 1; -3), B(1; 2; 0) va đương thăng d:

Viêt phương trình đương thăng ∆ đi qua A, căt d sao cho khoang cach từ B đên ∆ la lơn nhât.Gia o viên: Nguyên Ngoc Duật - THPT Trân Phu - thi xa Long Khanh Trang 29/32


Bai 12: Cho hai điêm C(1; 1; -1), D(2; 2; 1) va đương thăng d:

Viêt phương trình đương thăng ∆ đi qua C, nằm trong măt phăng (P): x + y + z -1 = 0 sao cho khoang cach từ D đên ∆ la nho nhât.Bai 13: Cho điêm A(1; 1; -1) va măt phăng (α): 2x – y + z + 2 = 0. Viêt phương trình măt phăng (P) qua A, vuông goc vơi (α) va tao vơi Oz môt goc lơn nhât.

Bai 14: Cho điêm A(2; -1; 0) va hai đương thăng co phương trình

∆1: , ∆2: . Trong cac đương thăng đi qua A va

căt ∆1 hãy viêt phương trình đương thăng ∆ sao cho khoang cach giưa ∆ va ∆2

la lơn nhât.Bai 15: Trong cac măt câu đi qua điêm E(1; 2; -2) va tiêp xuc vơi măt phăng (P) 2x – 2y + z – 3 = 0. Hãy viêt phương trình măt câu co ban kinh nho nhât.

IV KẾT QỦA

Chuyên đê nay đã đươc thưc hiên giang day khi tôi tham gia day 12NC va Luyên thi Đai hoc trong hai năm gân đây. Trong qua trình hoc chuyên đê nay, hoc sinh thưc sư thây tư tin, biêt vận dung khi găp cac bai toan liên quan, tao cho hoc sinh niêm đam mê, yêu thich môn toan, mở ra cho hoc sinh cach nhìn nhận, vận dung, linh hoat, sang tao cac kiên thưc đã hoc, tao nên tang cho hoc sinh tư hoc, tư nghiên cưu.

Kết quả sau khi thực hiện chuyên đề:Không nhận biêt đươc

Nhận biêt, nhưng không biêt vận dung

Nhận biêt va biêt vận dung ,chưa giai đươc hoan chinh

Nhận biêt va biêt vận dung , giai đươc bai hoan chinh

Sô lương 0 3 50 37Ti lê ( %) 0.0 3.3 55.6 41.1

V. GIẢI PHÁP MỚI

Dang toan cưc tri trong hình hoc giai tich không gian noi chung rât đa dang va phong phu. Mỗi bai toan lai co rât nhiêu cach giai khac nhau, viêc lưa chon sư dung linh hoat cac kiên thưc đã hoc se lam cho hoc sinh phat triên tư duy sang tao. Chuyên đê nay chi mang tinh chât gơi mở cung câp cho hoc Gia o viên: Nguyên Ngoc Duật - THPT Trân Phu - thi xa Long Khanh Trang 30/32


sinh cach nhìn mơi, phat huy sư sang tao. Đê đat kêt qua cao hoc sinh cân luyên tập nhiêu, co thêm nhiêu thơi gian đê sưu tâm cac tai liêu tham khao liên quan.

VI THỰC TIỄN GIẢNG DẠY

1. Qua trinh ap dung

Bằng môt chut vôn hiêu biêt va kinh nghiêm giang day môt sô năm, tôi đã hê thông đươc môt sô kiên thưc liên quan, sưu tâm va tich lũy đươc môt sô bai tập phu hơp theo mưc đô từ dễ đên kho đê cho hoc sinh tham khao tư giai.

2. Hiệu qua sau khi sư dung.

Sau khi hoc sinh hoc xong chuyên đê nay hoc sinh thây tư tin hơn, hưng thu hơn, tao cho hoc sinh niêm đam mê, yêu thich môn toan, mở ra môt cach nhìn nhận, vận dung, linh hoat, sang tao cac kiên thưc đã hoc, tao nên tang cho hoc sinh tư hoc va tư nghiên cưu.

3. Bai hoc kinh nghiệm.

Từ thưc tê giang day chuyên đê nay, môt kinh nghiêm đươc rut ra la trươc hêt hoc sinh phai năm chăc cac kiên thưc cơ ban, biêt vận dung linh hoat cac kiên thưc nay, từ đo mơi day cac chuyên đê mở rông, nâng cao, khăc sâu kiên thưc môt cach hơp lý vơi cac đôi tương hoc sinh nhằm bôi dương năng khiêu, rèn kỹ năng cho hoc sinh.

Chuyên đê nay chu yêu đưa ra cac bai tập từ đơn gian đên nâng cao từ đo hình thanh kỹ năng, phương phap giai. Do đo khi giang day phai cung câp nhiêu dang bai tập khac nhau đê phat triên tư duy cua hoc sinh.

4. KẾT LUẬN

Môt bai toan co thê co rât nhiêu cach giai song viêc tìm ra môt lơi giai hơp lý, ngăn gon thu vi va đôc đao la môt viêc không dễ. Do đo đây chi la môt chuyên đê trong rât nhiêu chuyên đê, môt phương phap trong hang van phương phap đê giup phat triên tư duy, sư sang tao cua hoc sinh. Giao viên trươc hêt phai cung câp cho hoc sinh năm chăc cac kiên thưc cơ ban sau đo la cung câp cho hoc sinh cach nhận dang bai toan, thê hiên bai toan từ đo hoc sinh co thê vân dung linh hoat cac kiên thưc cơ ban, phân tich tìm ra hương giai, băt đâu từ đâu va băt đâu như thê nao la rât quan trong đê hoc sinh



không sơ khi đưng trươc môt bai toan kho ma dân dân tao sư tư tin, gây hưng thu say mê môn toan, từ đo tao cho hoc sinh tac phong tư hoc, tư nghiên cưu.

Tuy nôi dung cua chuyên đê kha rông, song trong khuôn khô thơi gian co han ngươi viêt cũng chi ra đươc cac vi du, bai toan điên hình.

Rât mong sư đong gop ý kiên cua cac ban quan tâm va đông nghiêp đê chuyên đê nay đươc đây đu hoan thiên hơn.

VII. TÀI LIỆU THAM KHẢO1. Hình hoc 12, Bai tập hình hoc 12 – nha XBGD năm 20082. Hình hoc 12 nâng cao, Bai tập hình hoc 12 nâng cao – nha XBGD

năm 2008.3. Tap chi Toan hoc va tuôi tre năm 2010.4. Cac dang Toan LT ĐH cua Phan Huy Khai- NXB Ha Nôi năm 2002

Long khanh,ngay 22 thang 05 năm 2011 Ngươi thưc hiên

Nguyên Ngoc Duật


Documents

1 · Web viewChuyên đề này chỉ mang tính chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy sự sáng tạo. Để đạt kết quả cao học sinh