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VECTORES EN R2 Y R3(Clase 01)(Clase 01)
10 de Mayo de 2011
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 1
(Clase 01)(Clase 01)Departamento de Matemática Aplicada
Facultad de Ingeniería
Universidad Central de Venezuela
1. Definición geométrica de un vector
2. Definición algebraica de un vector
3. Magnitud y dirección
4. Suma de vectores
5. Propiedades de la suma de vectores
6. Producto de un vector por un escalar
Puntos a tratar
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 2
6. Producto de un vector por un escalar
7. Espacio tridimensional
8. Vector en R3
9. Operaciones
10.Vectores unitarios
11.Paralelismo
Definamos el vector comoun segmento de rectadirigido.
(Definición geométrica de un vector)
Vectores
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
Sean P y Q dos puntos delespacio. El segmento derecta dirigido PQ, es elsegmento de recta que vadel punto inicial P al puntofinal Q.
1. Definición geométrica de un vector
2. Definición algebraica de un vector
3. Magnitud y dirección
4. Suma de vectores
5. Propiedades de la suma de vectores
6. Producto de un vector por un escalar
Puntos a tratar
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 4
6. Producto de un vector por un escalar
7. Espacio tridimensional
8. Vector en R3
9. Operaciones
10.Vectores unitarios
11.Paralelismo
((Definición algebraica de un vectorDefinición algebraica de un vector))
Un vector v en el plano XY es un par ordenadode números reales (a,b), donde a y b sellaman componentes del vector.
Vectores en el plano
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
(a,b) v = (a,b) se llama vectorde posición, cuyo puntoinicial es el origen (0,0)
θ
y
x
1. Definición geométrica de un vector
2. Definición algebraica de un vector
3. Magnitud y dirección
4. Suma de vectores
5. Propiedades de la suma de vectores
6. Producto de un vector por un escalar
Puntos a tratar
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 6
6. Producto de un vector por un escalar
7. Espacio tridimensional
8. Vector en R3
9. Operaciones
10.Vectores unitarios
11.Paralelismo
Dirección: ángulo medido enθ
22 bav +=�
Magnitud: Se denota por v
v= (a,b)con:
Magnitud y dirección
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
Dirección: ángulo medido enradianes, que forma el vector con elsemieje positivo de las X (abscisas).
θ
0a ,a
btan ≠=θ ππππθθθθ 20 <≤
1. Definición geométrica de un vector
2. Definición algebraica de un vector
3. Magnitud y dirección
4. Suma de vectores
5. Propiedades de la suma de vectores
6. Producto de un vector por un escalar
Puntos a tratar
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 8
6. Producto de un vector por un escalar
7. Espacio tridimensional
8. Vector en R3
9. Operaciones
10.Vectores unitarios
11.Paralelismo
B
R = A+B
Método del triángulo
x
z
y
Suma de vectores
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
A
B
R = A+B
A
Método del triángulo
Método del paralelogramo
Es otro vector que se obtiene de la siguiente forma:
O bien
Suma de vectores
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
A�
B�
C�
Suma de vectores
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
D�
El vector resultante de la suma de todos ellos será:
A�
B�
C�
R�
Suma de vectores
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
D�
DCBAR�����
+++=
R�
1. Definición geométrica de un vector
2. Definición algebraica de un vector
3. Magnitud y dirección
4. Suma de vectores
5. Propiedades de la suma de vectores
6. Producto de un vector por un escalar
Puntos a tratar
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 13
6. Producto de un vector por un escalar
7. Espacio tridimensional
8. Vector en R3
9. Operaciones
10.Vectores unitarios
11.Paralelismo
Ley Conmutativa
ABBAR +=+=Ley
AsociativaDiferencia
Propiedades de la suma de vectores
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
AsociativaC)BA)CBAR�������
++=++= ((B-AR���
=
)B(-AR���
+=A B A
-BR
z(x1,y1,z1)
(x2,y2,z2)A�
Propiedades de la suma de vectores
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
xy
k)z(zj)y(yi)x(xA 121212ˆˆˆ −+−+−=
�
1. Definición geométrica de un vector
2. Definición algebraica de un vector
3. Magnitud y dirección
4. Suma de vectores
5. Propiedades de la suma de vectores
6. Producto de un vector por un escalar
Puntos a tratar
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6. Producto de un vector por un escalar
7. Espacio tridimensional
8. Vector en R3
9. Operaciones
10.Vectores unitarios
11.Paralelismo
= v·2v2
��
��
Es otro vector que se obtiene de la siguienteforma:
Si k >0 ( 2 por ej.)
=− v·2v2
��
��
Si k < 0 ( -2 por ej.)
Producto de un vector por un escalar
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
==
=
vdesentidov2desentido
v.dirv2.dir
v·2v2
��
��
=−=−
=−
vacontrario)v2(sentido
v.dir)v2(.dir
v·2v2
��
��
v·2� v·2
�
−
A�
B�
AB��
21=
Producto de un vector por un escalar
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
B
A�
B�
AB��
41−=
1. Definición geométrica de un vector
2. Definición algebraica de un vector
3. Magnitud y dirección
4. Suma de vectores
5. Propiedades de la suma de vectores
6. Producto de un vector por un escalar
Puntos a tratar
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 19
6. Producto de un vector por un escalar
7. Espacio tridimensional
8. Vector en R3
9. Operaciones
10.Vectores unitarios
11.Paralelismo
El conjunto de todas las ternas ordenadas de númerosreales recibe el nombre de espacio numéricotridimensional, y se denota por R3. Cada ternaordenada (x; y; z) se denomina punto del espacionumérico tridimensional.
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
Espacio tridimensional
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
x y
z
plano xz
plano yzplano xy
origen
1. Definición geométrica de un vector
2. Definición algebraica de un vector
3. Magnitud y dirección
4. Suma de vectores
5. Propiedades de la suma de vectores
6. Producto de un vector por un escalar
Puntos a tratar
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 21
6. Producto de un vector por un escalar
7. Espacio tridimensional
8. Vector en R3
9. Operaciones
10.Vectores unitarios
11.Paralelismo
p(a1,a2,a3)z
y
a�
a
a2
a3
Vector en R3
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero22
23
22
21 aaaa ++=�
xa1
módulo de a :
vector a = (a1,a2,a3) de R3
1. Definición geométrica de un vector
2. Definición algebraica de un vector
3. Magnitud y dirección
4. Suma de vectores
5. Propiedades de la suma de vectores
6. Producto de un vector por un escalar
Puntos a tratar
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 23
6. Producto de un vector por un escalar
7. Espacio tridimensional
8. Vector en R3
9. Operaciones
10.Vectores unitarios
11.Paralelismo
a�
at�
),,( 321 tatataat =�Producto de un escalar con un vector
Suma de dos vectores
Operaciones
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
a�
b�
ba�
� +
),,( 332211 babababa +++=+�
�
Dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, dirección y sentido
332211 ,, babababa ===↔=�
�
1. Definición geométrica de un vector
2. Definición algebraica de un vector
3. Magnitud y dirección
4. Suma de vectores
5. Propiedades de la suma de vectores
6. Producto de un vector por un escalar
Puntos a tratar
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 25
6. Producto de un vector por un escalar
7. Espacio tridimensional
8. Vector en R3
9. Operaciones
10.Vectores unitarios
11.Paralelismo
Son aquellos cuya norma es igual a la unidad.
a
aaa
a
aua ��
�
�),,( 321==1=u�
Vectores unitarios
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
)1,0,0()0,1,0()0,0,1( === kyj,i�
��
Nota: En R3 existen tres vectores que nos permitenrepresentar cualquier otro vector como unacombinación lineal de ellos. Se les llamanvectoresvectores canónicoscanónicos y se representan por
z
Los vectores i, j y k son unitarios y estándirigidos en la dirección de los ejes x, yy z respectivamente.
Vectores unitarios i, j y k
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
x
z
y
i
jk
1. Definición geométrica de un vector
2. Definición algebraica de un vector
3. Magnitud y dirección
4. Suma de vectores
5. Propiedades de la suma de vectores
6. Producto de un vector por un escalar
Puntos a tratar
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 28
6. Producto de un vector por un escalar
7. Espacio tridimensional
8. Vector en R3
9. Operaciones
10.Vectores unitarios
11.Paralelismo
Dos vectores son paralelos entre sí si todas suscomponentes son proporcionales.
Ejemplo:
),,( 321 aaau =� ),,( 321 bbbv =�Dado:
Paralelismo
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
),,( 321 aaau = ),,( 321 bbbv =Dado:
vu �� // kb
a
b
a
b
a ===3
3
2
2
1
1
vku �� =
Pensamiento de hoy
“Todo el mundo desea saber,pero pocos están dispuestos apagar el precio”.
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 30
pagar el precio”.
Juvenal