178

10. KINEMATIKA, KINETIKA Kinematika: Az anyagi pontok s a merev testek mozgsnak lersa

Kinetika: Az anyagi pontokra s a merev testekre hat erk, nyomatkok s a mozgs kapcso-latnak tisztzsa. A mozgs okainak lersa.

10.1. Anyagi pont mozgsa a) A mozgsfggvny, a plyagrbe:

Mozgsfggvny: az anyagi pont helyzett meghatroz ( )r r t= helyvektor-id fggvny. Mrtkegysge: m.

P)( 1tr

)( 0tr

x y

z

)(tr

1P

0Pplyagrbe

O

Plyagrbe: 1. definci: Az a trgrbe melyen az anyagi pont a mozgs

sorn vgighalad. 2. definci: Az ( )r r t= mozgsfggvny ltal meghatro-

zott trgrbe.

Az ( )r r t= mozgsfggvny megadsa: - Vektorilis alak DDKR: ( ) ( ) ( ) ( )x y zr t x t e y t e z t e= + + ,

HKR: ( ) ( ) ( )R zr t R t e z t e= + , ahol cos sinR x ye e e = + .

- Skalris alak DDKR: ( )x x t= , HKR: ( )R R t= , ( )y y t= , ( )t = , ( )z z t= , ( )z z t= .

A mozgsfggvny az , ,e n b termszetes koordinta-rendszerben:

P e

nbsO

+ vkoordinta: a plyagrbn egy O kezdponttl mrt

eljeles s vhossz (eljeles tvolsg). Kisr trider: , ,e n b - a grbe termszetes koordinta-

rendszernek egysgvektorai.

- rint irny egysgvektor: , 1.d re eds

= =

- Fnormlis egysgvektor: 1 , 1.d e n n nds

= = =

( a trgrbe grblete, a trgrbe grbleti sugara)

- Binormlis egysgvektor: , 1.b e n b= =

Simulsk: az ,e n vektorok ltal kifesztett sk.

179

Az anyagi pont helynek megadsi lehetsgei:

- ( )r r t= helyvektor id fggvny, - ( )r r s= helyvektor vkoordinta fggvny, - ( )s s t= vkoordinta (t) id fggvny (ehhez ismerni kell agrbe alakjt).

b) A sebessgfggvny, a sebessgvektor:

Sebessgfggvny: a mozgsfggvny id szerinti els derivltja. ( )( ) ( ) d r tv t r t

dt= = , Mrtkegysge: m/s .

Pillanatnyi sebessgvektor: a sebessgfggvny egy adott 1t idpillanatban felvett rtke.

1 1( )v v t= .

Tulajdonsgai: - vektor mennyisg, - irnya azonos a plyagrbe rintjvel.

Bizonyts: ( )( ) ( ) ( )d r d r ds d s tv t e e v t v t edt ds dt dt

= = = = = .

Plya menti sebessg (plyasebessg): ( )( ) d s tv tdt

= .

Tulajdonsgai: - a sebessgvektor rint irny koordintja, - eljeles skalr mennyisg, - eljelt az s vkoordinta irnytsa hatrozza meg.

Kzepes sebessg: mindig egy megadott idintervallumra vonatkozik.

A < 1 2t t > idintervallumra vonatkoz kzepes sebessg:

2 1 2 1 12

2 1 2 1 12

( ) ( )k

r t r t r r rvt t t t t

= = =

. 2r

1r

12r

O

2P1P

z

x y

Hodogrf: Az a grbe, amit a ( )v t sebessgvektorok vgpontja r le a , ,x y zv v v koordinta-rendszerben

c) A gyorsulsfggvny, a gyorsulsvektor: Gyorsulsfggvny: a sebessgfggvny id szerinti els derivltja.

2

2

( ) ( )( ) d v t d r ta tdt dt

= = , Mrtkegysge: 2m/s .

Pillanatnyi gyorsulsvektor: a gyorsulsfggvny egy adott 1t idpillanatban felvett rtke.

1 1( )a a t=

Tulajdonsgai: - vektor mennyisg, - a plyagrbe simulskjba esik, - rint s fnormlis irny sszetevkbl ll.

180

Bizonyts: [ ]( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )dv t d dv t de ta t v t e t e vdt dt dt dt

= = = + ,

1 ( )d e d e ds vn v t ndt ds dt

= = = ,

2

( ) ( ) ( )e ndv va t e n a t e a t ndt

= + = + .

Plya menti gyorsuls (plyagyorsuls): ( )( )edv ta t

dt= . A sebessg nagysgnak megvlto-

zsbl addik.

Normlis gyorsuls: [ ]2( )

( )nv t

a t

= . A sebessg irnynak megvltozsbl addik.

d) A mozgsjellemzk kztti kapcsolat:

- Ismert: ( )r r t= .

Meghatrozand: ( )( ) ( )d r tv t v t edt

= = ,

( )( ) ( ) ( )e nd v ta t a t e a t n

dt= = + .

- Ismert: ( )a a t= s a 0 0( )v t t v= = , 0 0( )r t t r= = kezdeti felttelek.

Meghatrozand: 0

0( ) ( )t

t

v t v a t dt= + ,

0

0( ) ( )t

t

r t r v t dt= + .

- Ismert: ( )v v t= s az 0 0( )r t r= kezdeti felttel.

Meghatrozand: ( )( ) ( ) ( )e nd v ta t a t e a t n

dt= = + ,

0

0( ) ( )t

t

r t r v t dt= + . 10.2. Merev test mozgsa a) Alapfogalmak:

- Merev test sebessgllapota: A testet alkot pontok egy adott idpillanatbeli sebess-geinek sszessge (halmaza).

- Merev test gyorsulsllapota: A testet alkot pontok egy adott idpillanatbeli gyorsul-sainak sszessge (halmaza).

- Merev test skmozgsa: A test pontjai egy adott alapskkal prhuzamos skokban mozognak.

181

- Merev test halad mozgsa: A test nmagval prhuzamosan mozdul el. A test minden pontjnak azonos az elmozdulsa.

- Merev test forgmozgsa: A test pontjai a test kt nyugalomban lv pontjt sszekt tengely, a forgstengely krl koncentrikus krveken mozdul-nak el.

- Merev test elemi mozgsa: A test vgtelenl rvid id alatt bekvetkez (egy id-pillanatban trtn) mozgsa.

Ttel: Merev test brmely mozgsa elllthat egy halad s egy forg mozgs sszegeknt.

b) Merev test sebessgllapota: sszefggs a merev test kt pontjnak sebessge kztt.

AABr

BAdr

AdrBdr

ABd r

ABd r

d

A merev test vgtelenl kis elmozdulst vizsgljuk: - prhuzamos eltols: Adr , - szgelforduls: d (az elmozdulsoktl ketts

nyllal klnbztetjk meg). A B pont elmozdulsa: eltols + szgelforduls.

B A ABdr dr d r= + .

d az egsz merev testre jellemz mennyisg.

Vegyk az sszefggs id szerinti els derivltjt: B A ABdr dr d rdt dt dt

= + .

Elnevezsek: BB

dr vdt

= - a merev test B pontjnak sebessge,

AA

dr vdt

= - a merev test A pontjnak sebessge

ddt = - a merev test szgsebessge.

Az az egsz merev testre jellemz mennyisg. Mrtkegysge: rad/s .

Av

A

ABr

B

Bv

Az j jells figyelembevtelvel: B A ABv v r= + .

Analgia (Statikbl): B B ABM M F r= + .

Az ,Av ismeretben a merev test brmely pontjnak sebessge meghatrozhat.

Ttel: merev test sebesgllapota egyrtelmen megadhat ,Av reduklt vektorkettssel.

Ttel: merev test kt klnbz pontjnak sebesge ltalban nem egyenl. Kivtel : - 0= ,

- ABr .

c) Elemi skmozgs: rtelmezs: Ha a test brmely pontjnak sebessge merleges -ra, azaz prhuzamos az

-ra merleges skokkal.

182

Sebessgplus: a sknak az a P pontja, amelynek zrus a sebessge - 0Pv = . Sebessgbra: egy adott idpillanatban, egy kzs kezdpontbl felmrjk a test jellemz

pontjainak sebessgvektorait.

d) Merev test gyorsulsllapota: sszefggs a merev test kt pontjnak gyorsulsa kztt:

ABr

Aa

BaA

B

ddt = - a merev test szggyorsulsa.

Az az egsz merev testre jellemz mennyisg. Mrtkegysge: 2rad/s .

A merev test tetszleges B pontjnak gyorsulsa: ( )B A AB ABa a r r = + + . Ttel: a merev test gyorsulsllapota az Aa , s az mennyisgekkel adhat meg egyr-

telmen. Skmozgs esetn: 2B A AB ABa a r r = + .

Ha xy a mozgs skja: ze = , ze = .

Gyorsulsplus: a sknak az a Q pontja melynek zrus a gyorsulsa 0.Qa =

Gyorsulsbra: egy adott idpillanatban, egy kzs kezdpontbl felmrjk a test jellemz pontjainak gyorsulsvektorait.

10.3. Merev test kinetikja a) Merev test tmegeloszlsnak jellemzi:

- Tmeg: a merev test halad mozgssal szembeni tehetetlensgt (ellenllst) jellemzi.

( ) ( )m V

m dm dV= = , Mrtkegysge: kg.

- tmegsrsg, Mrtkegysge: 3kg/m .

- Statikai nyomatk:

m dm dV=

O

ABrA

B yx

z

r

Pontra szmtott statikai nyomatk:

( ) ( )A

m V

S r dm r dV= = .

Mrtkegysge: kgm. Pontra szmtott statikai nyomatk tszmtsa:

B A ABS S mr= .

- Tmegkzppont, slypont: a testnek az a T, illetve S pontja, amelyre szmtott statikai nyomatk zrus.

0T SS S= = .

183

A tmegkzppont helynek kiszmtsa:

0T A ATS S mr=

=

( )

( )

VAAT

V

r dVSrm dV

= =

.

Ttel: A T tmegkzppont s az S slypont egybeesik, ha a g lland.

- Tehetetlensgi (msodrend) nyomatk: A tehetetlensgi (msodrend) nyomatk a merev test forg mozgssal szembeni tehetetlensgt fejezi ki.

dm

Sy

xx

mz

z

y

Az S ponti tehetlensgi tenzor:

Diadikus ellltsa: ( )2( )

( )Sm

J E dm = .

E - egysgtenzor.

Mrtkegysge: 2kgm .

Mtrixos ellltsa : x xy xz

yx y yzS

zx zy z

J J JJ J J J

J J J

=

- szimmetrikus tenzor.

A tengelyre szmtott tehetetlensgi nyomatkok:

2 2

( )

2 2

( )

2 2

( )

( )

( ) 0.

( )

xm

ym

zm

J y z dm

J x z dm

J x y dm

= +

= + >

= +

xJ - a testnek az x tengelyre szmtott tehetetlensgi nyomatka,

yJ - a testnek az y tengelyre szmtott tehetetlensgi nyomatka,

zJ - a testnek az z tengelyre szmtott tehetetlensgi nyomatka.

Skprra szmtott (centrifuglis) tehetetlensgi nyomatkok:

( )

( )

( )

0.

xy yxm

yz zym

xz zxm

J J x y dm

J J y z dm

J J x z dm

= =

> = = =

184

Steiner-ttel:

SA SA x SA y SA zr x e y e z e= + + ,

A kt koordinta-rendszer tengelyei prhuzamosak: , ,x y z .

A ttel tenzor alakja: A S SA

J J J= + .

m

z

x y

SArS

A

A ttel skalr alakja: 2 2( ), ,x SA SA xy SA SAJ J m y z J J mx y = + + = +

2 2( ), ,y SA SA yz SA SAJ J m x z J J m y z = + + = + 2 2( ), .z SA SA xz SA SAJ J m x y J J mx z = + + = +

Ttel: prhuzamos tengelyek kzl az S ponton tmen tengelyre szmtott tehetetlensgi nyomatk a legkisebb.

b) Merev test impulzusa, impulzus nyomatka:

m

x y

z

A

S

r

dm v

- Impulzus:

rtelmezs: ( ) ( )m V

I v dm v dV= = .

Mrtkegysge: mkg Nss= .

Kiszmts: SI mv= .

- Impulzus nyomatk (perdlet):

rtelmezs: ( )

Am

r v dm = . Mrtkegysg: 2mkg Nsm

s= .

Kiszmts: - Specilis esetek: S SJ = , S a merev test slypontja,

P PJ = , P a pillanatnyi forgstengely egy pontja ( 0Pv = ).

- ltalnos eset: A AS AAJ r v m = + .

- sszefggs test kt pontjra szmtott perdlet kztt: B A ABI r = + . Analgia a Statikbl: B A ABM M F r= + .

c) Merev test kinetikai energija:

m

x y

z

Sr

dmv

Sv

rtelmezs: 2( )

12 m

E v dm= .

Mrtkegysge: 2

2

mkg Nm=Js

= .

Kiszmts: 21 1 1( )2 2 2S S S S

E v I mv J = + = + .

185

Kiszmts specilis esetekben:

- S

J egyik tehetetlensgi ftengelyvel.

Ekkor 2sSJ J = 2 21 1

2 2S sE mv J = + .

sJ - az S ponti, -val prhuzamos ftengelyre szmtott tehetetlensgi nyomatk.

- 0Av = s AJ egyik tehetetlensgiftengelyvel.

Ekkor 212 a

E J = .

aJ - az A ponti, -val prhuzamos ftengelyre szmtott tehetetlensgi nyomatk.

d) Merev testre hat errendszer teljestmnye:

- Az errendszer reduklt vektorkettst felhasznlva: S SP F v M = + .

- Az errendszert alkot erkkel s nyomatkokkal: 1 1

n m

i i j ji j

P F v M = =

= + .

iv az iF er tmadspontjnak sebessge,

j annak a merev testnek szgsebessge, amelyre az jM nyomatk hat.

e) Merev testre hat errendszer munkja: 2

1

12

t

t

W P dt= .

A merev testre hat errendszer idtartam alatt vgzett munkja egyenl az errendszer P teljestmnynek 1t , 2t hatrok kztt vett id szerinti integrljval.

A munka nem egy idpillanathoz, hanem egy idtartamhoz kttt mennyisg.

f) Impulzus ttel:

SI ma F= =i

A merev test impulzusnak id szerinti derivltja egyenl a testre hat kls erk eredjvel.

g) Perdlet ttel:

- Specilis eset: az pontra: S SM =i

, S SSJ M + = .

A merev test S pontjra szmtott perdletvektor id szerinti derivltja egyenl a testre hat errendszernek a S slypontra szmtott nyomatkval.

- ltalnos eset: az A pontra: ( ) AS A AA AJ J r ma M + + = , ( ) AS S AS SJ J r ma M + + = .

186

h) Energia ttel, munka ttel: - Differencilis alak energiattel:

E P= . Merev test kinetikai energijnak id szerinti derivltja egyenl a testre hat kls errendszer teljestmnyvel.

- Integrl alak munkattel:

2 1 12E E W = .

Merev test kinetikai energijnak megvltozsa a test vges idtartam alatt bekvetkez) mozgsa sorn egyenl a testre hat kls errendszer ugyanazon mozgs sorn vgzett munkjval.

j) Merev test knyszermozgsa: Knyszermozgs: a merev test mozgst ms testek elrt geometriai feltteleknek

megfelelen korltozzk. Knyszer: az a test, amelyek az ltalunk vizsglt test mozgst elrt geometriai

feltteleknek megfelelen korltozza. Ttel: a knyszerer (tmaszter) a knyszer hatst teljes mrtkben helyettesti.

A knyszerer a testek rintkezsnl lp fel. Sima knyszer: a knyszerer merleges az rintkez felletekre. rdes knyszer: a knyszerer normlis s tangencilis koordintja kztti a Coulomb-

fle srldsi trvny adja meg a kapcsolatot. Coulomb trvny: t nF F= , - a mozgsbeli srldsi tnyez.

Ez az sszefggs akkor ll fent, ha az rintkez felletek (pontok) kztt relatv tangencilis elmozduls lp fel. A knyszerer tF tangencilis koordintja olyan irny, hogy igyekszik megakadlyozni az rintkez felletek kztt ltrejv relatv tangencilis elmozdulst.

10.4. Pldk tmegpontok s merev testek mozgsra 10.4.1. feladat: Tmegpont skmozgsa

Adott: Az 20 1( ) ( )r r t b b c t= = + mozgsfggvny a < 0 1,t t > idintervallumban s 20 1( 2 ) m, (4 4 ) m/s ,x y x yb e e b e e= + =

20 10 , 1,5 s, 2 s .t t c= = =

Feladat: a) A plyagrbe alakjnak meghatrozsa. b) Az 0 0 1 1 1( ) , ( )r r t r r t= = helyvektorok meghatrozsa. c) A ( )v t sebessgfggvny meghatrozsa. d) A < 0 1,t t > idintervallumra vonatkoz kv kzepes sebessg meghatrozsa. e) Az ( )a t gyorsulsfggvny meghatrozsa.

Kidolgozs: a) A plyagrbe alakjnak meghatrozsa:

A plyagrbe 0( ) ( )r t r c f t= + alak egyenes ( 0 0r b= s 1c b= ).

187

b) A tmegpont helynek meghatrozsa a 0t s 1t idpillanatban: A mozgsfggvny: 20 1( ) ( ) ,r r t b b c t= = +

20 0 0 1 0( ) ( ) ( 2 ) (4 4 )(2 0)x y x yr r t b b c t e e e e= = + = + + = (7 6 ) mx ye e ,

2 21 1 0 1 1( ) ( ) ( 2 ) (4 4 )(2 1,5 ) ( 2 3 ) mx y x y x yr r t b b c t e e e e e e= = + = + + = + .

c) A sebessgfggvny meghatrozsa:

1( ) 2 ( 8 8 ) ,x yd rv v t b t e e tdt

= = = = +

0 0( ) 0,v v t= = 1 1( ) ( 12 12 ) m/s.x yv v t e e= = +

d) A kzepes sebessg meghatrozsa: 1 0

1 0

( 2 3 ) (7 6 ) ( 9 9 )( 6 6 ) m/s.

1,5 1,5x y x y x y

k x y

e e e e e er rv e et t

+ += = = = +

e) A gyorsulsfggvny meghatrozsa: 2

1( ) 2 2(4 4 ) ( 8 8 ) m/sx y x yd va a t b e e e edt

= = = = = + .

10.4.2. feladat: Tmegpont skmozgsa

Adott: Az 2( )r r t b t ct= = + mozgsfggvny a < 0 1,t t > id intervallumban s

2( 3 4 ) m/s, (2 1,5 ) m/s ,x y x yb e e c e e= = + 0 10 , 2 s.t t= =

Feladat: a) A < 0 1,t t > id intervallumra vonatkoz kv kzepes sebessg meghatrozsa. b) A ( )v t sebessgfggvny s az ( )a t gyorsulsfggvny meghatrozsa. c) A plyagrbe s a hodogrf megrajzolsa < 0 1,t t > id intervallumra.

Kidolgozs: a) A kzepes sebessg meghatrozsa:

0 0( ) 0,r r t= = 2

1 1 1 1( ) 2( 3 4 ) 4(2 1,5 ) (2 2 ) m,x y x y x yr r t b t c t e e e e e e= = + = + + =

01 1 0

01 1 0

2 2( ) m/s.

2x y

k x y

e er r rv e et t t

= = = =

b) A sebessg- s a gyorsulsfggvny meghatrozsa:

A sebessgfggvny: ( ) 2 ( 3 4 ) 2(2 1,5 ) ,x y x yd rv v t b c t e e e e tdt

= = = + = + +

0 0( ) ( 3 4 ) m/s,x yv v t e e= =

1 1( ) 4 ( 3 4 ) (8 6 ) (5 2 ) m/s.x y x y x yv v t b c e e e e e e= = + = + + = +

A gyorsulsfggvny: 2( ) 2 (4 3 ) m/s , lland.x yd va a t c e e adt

= = = = + =

c) A hodogrf s a plyagrbe megrajzolsa:

Hodogrf: A ( )v v t= fggvny brzolsa a ,x yv v koordinta-rendszerben.

188

Hodogrf

2 2 4

2

4

1v

[ ]m/syv

[ ]m/sxv

0v A hodogrf os agyorsulsvektorral

2

vO

Plyagrbe

0v

1P

0P

1v

[ ]mx

[ ]my

4

22P

2 2

2

4

A plyagrbe szerkesztse: - A 0P s 1P pontokban a sebessgvektorok a parabola rinti. - A 0 1P P szel felezspontjt az rintk metszspontjval sszekt egyenes szakasz fele-

zspontja a parabola harmadik, 2P pontja. - A 2P parabola pontban a parabola rintje prhuzamos a 0 1P P szelvel.

10.4.3. feladat: Tmegpont ferde hajtsa

Adott: A tmegpont kezdeti helyzete s kezdsebessge: 0 (50 10 ) m,x yr e e= + 0 10 m/sv = , 230 , 10 m/s .o g = =

B

A

0x Ax Bx

[ ]mx

[ ]y mAy

0y

0v

By

Feladat: a) Az 0 0t = indtsi helyzet mozgsjellem-

zinek meghatrozsa. b) A plya A ponti helyvektora s az A ponti

sebessgvektor meghatrozsa. c) A hajts idejnek s hossznak meghat-

rozsa. d) A plya grbleti sugarnak meghatroz-

sa a B becsapdsi pontban.

Kidolgozs: a) Az indtsi helyzet ( 0 0t = ) mozgsjellemzinek meghatrozsa:

0 llanda a g= = = ,

0 0 03 1cos sin 10 10 (8,66 5 ) m/s

2 2x y x y x yv v e v e e e e e = + = + = + ,

0 0 0 (50 10 ) m.x y x yr x e y e e e= + = +

b) A plya A ponti helyvektora s az A ponti sebessgvektor meghatrozsa:

189

0 ,A Av v g t= + 2

0 0 .2A

A Atr r v t g= + +

Az A ponti sebessg vzszintes irny koordintja:

0 cos 5 3 8,66 m/s (8,66 ) m/s .A A xv v v e= = = =

Az A ponti sebessg fggleges irny koordintja zrus: 0

0sin 10 0,50 sin 0,5

10A y Ay A Avv e v v g t t s

g

= = = = = = .

Az A pont helyvektora: 0 0 cos 50 8,66 0,5 54,33 m ,A Ax x v t= + = + =

2

0 0 sin 10 5 0,5 5 0,25 11,25 m,2A

A Aty y v t g= + = + =

(54,33 11,25 ) m.A x yr e e= +

c) A hajts idejnek s hossznak meghatrozsa:

0 ,B Bv v g t= + 2

0 0 .2B

B Btr r v t g= + +

A becsapdsi hely fggleges koordintja ismert: 0By = 2

0 00 sin ,2B

B Bty y v t g= = +

20 10 5 5 .B Bt t= +

5 25 200 5 1510 10B

t +

= = =

2 s,Bt =

mert a

11sBt = megolds fizikailag nem rtelmezhet.

A hajts hossza: 0 0 cos 50 8,66 2 67,32 m,B Bx x v t= + = + =

0,By =

(67,32 0 ) m.B B x B y x yr x e y e e e= + = +

Sebessg a B pontban:

0 (8,88 5 ) ( 10 )2 (8,66 15 ) m/s.B B x y y x yv v g t e e e e e= + = + + =

2 2 2 28,66 15 17,32 m/s.B B B x B yv v v v= = + = + =

A becsapds szge: 8,66cos 0,517,32

B x

B

vv

= = = o60 . =

A mozgs hodogrfja:

0v

[ ]m/syv

[ ]m/sxv

Bv

Btg

d) A plya grbleti sugarnak meghatrozsa a becsapdsi pontban:

11sBt =

22 sBt =

190

BB

na

Bvn

e

ea

nna

B

e

eag

2B

nB

va

= cosg = 2 217,32 59,996 m.

cos 10 0,5B

Bv

g

= =

10.4.4. feladat: Merev test skmozgsa, sebessgbra

1 mD C

By

x

A

1 m

1 m

Av

Adott:

Az A, B, C, D pont helye az xy skon. A mozgs skja: x y .

(4 ) m/sA xv e= , ( 1 ) rad/sze = .

Feladat: a) A Bv sebessg meghatrozsa. b) A sebessgplus megszerkesztse . c) A sebessgbra megszerkesztse.

Kidolgozs: a) A B pont sebessgnek meghatrozsa:

(4 ) ( 1 ) (2 ) (4 2 ) m/s,B A AB x z x x yv v r e e e e e= + = + =

(4 2 ) m/s.B x yv e e=

b) A sebessgplus megszerkesztse:

A sebessgplus a sebessgvektorokra me-rleges egyenesek metszspontja.

A P sebessgplust a helyzetbrba (abba az brba, amely a pontok helyzett adja me) szerkesztjk meg.

(sebessgplus)P

Ay

B C x

AvBv

B

Cv

191

c) A sebessgbra megszerkesztse:

A

B

C

DvOP

Dv Av

Cv

Cvxv

[ ]m/s

[ ]m/syv

A helyzetbra s a sebessgbra hasonl. A sebessgbra a helyzetbrhoz kpest 90o -kal el van forgatva irnyban.

,

C D DC

DC

C B BC

BC

v v rr

Cv v r

r

= + = +

.

D A AD

AD

D B BD

BD

v v rr

Dv v r

r

= + = +

10.4.5. feladat: Merev test skmozgsa, sebessgbra

o45 x

BA

C

2 m

y

3 m

Adott:

A merev test A, B, C, D pontja, a Av sebessg-vektor hatsvonala, a Bv sebessgvektor hatsvonala s (3 )ze= rad/s.

Feladat: a) A sebessgplus helynek meghatrozsa szerkesztssel. b) A ,A Bv v sebessgvektorok meghatrozsa.

Kidolgozs: a) A P sebessgplus helynek meghatrozsa szerkesztssel:

x

y 2 mB A

C

P

o451m

3m

Az pontbl az hatsvonalraA pontbl a hatsvonalra

sebessgplus

AB

P

A P sebessg plus helyvektora: (1 ) mP yr e= .

b) A ,A Bv v sebessgvektorok meghatrozsa:

0A Pv v= +

=(3 ) (2 ) ( 6 ) m/s,PA z y xr e e e = =

192

(3 ) (2 2 ) ( 6 6 ) m/s.0

B P PB z x y x yv v r e e e e e= + = + = +=

10.4.6. feladat: Merev test skmozgsa, gyorsulsbra

2 m

3 m

x

yC

A B

Aa

Adott: Az xy skban skmozgst vgz test A, B,C pontja, a test a test szgsebessge, szggyorsulsa s az A pont gyorsulsa.

( 3 ) rad/s,ze= 2(3 ) rad/s ,ze =

2(6 ) m/s .A ya e=

Feladat: a) A B s C pontjnak gyorsulsnak kiszmtsa. b) A Q gyorsulsplus helyvektornak meghatroz-

sa. c) A test gyorsulsbrjnak megrajzolsa.

Kidolgozs: a) A B s C ponti gyorsulsvektorok kiszmtsa:

2 (6 ) (3 ) (2 ) 9(2 )B A AB AB y z x xa a r r e e e e = + = + =2( 18 12 ) m/s ,x ye e +

2 (6 ) (3 ) (3 ) 9(3 )C A AC AC y z y ya a r r e e e e = + = + =2( 9 21 ) m/s .x ye e

b) A Q gyorsulsplus helyvektornak meghatrozsa: 20 ,Q A AQ AQa a r r = = +

0 (6 ) (3 ) ( ) 9( ).y z AQ x AQ y AQ x AQ ye e x e y e x e y e= + + +

0 6 3 3 9 9 , / /y AQ y AQ x AQ x AQ y x ye x e y e x e y e e e= + 0 3 9 ,AQ AQy x= 0 6 3 9 ,AQ AQx y= +

,AQAQ x3y = 0 6 3 9( 3 )AQ AQx x= + = 6 30 ,AQx+ 3( 0,2) 0,6 m.AQy = = 0,2 m.AQx =

( ) ( 0,2 0,6 ) m.AQ AQ x AQ y x yr x e y e e e= + = +

c) A gyorsulsbra megrajzolsa:

o2

8 0,5 26,56 .16

tg

= = = =

A gyorsulsbra a helyzetbrhoz kpest ( ) szggel (180o-26,56o)=153,44o-kal van elforgatva irnyban.

B A

C

Ca

AaBa

aO Q

d) A Q gyorsulsplus a gyorsuls s a helyzetbra hasonlsga alapjn szerkesztssel hat-

rozhat meg.

193

10.4.7. feladat: Merev test skmozgsa

x

yB

A CS

R

D

Adott: Az xy skban skmozgst vgz, lland szgsebes-sggel grdl R sugar merev test szgsebessge.

( 1 ) llandze = = , 1 m.R= Feladat: a) A P sebessgplus helynek, valamint az A, B, C s D

pontok sebessgvektorainak meghatrozsa. b) A Q gyorsulsplus, valamint az A, B, C s D pontok

gyorsulsnak meghatrozsa.

Kidolgozs:

a) A P sebessgplus helynek, valamint az A, B, C s D pontok sebessgvektorainak megha-trozsa: Tiszta grdls: 0Dv = P D .

( ) ( ) ( 1 ) ( ) m/s

0S S x D DS z y z y xv v e v r e Re e e e = = + = = =

=

,

( ) (2 ) ( ) (2 ) (2 ) m/s,

0B D DB z y z y xv v r e Re e e e = + = = =

=

( ) ( )

0A D DA z x y x y

S S

v v r e R e Re R e R ev v

= + = + = == ==

( ) (1 1 ) m/sS x S y x yv e v e e e= + = + , ( ) ( ) ( ) ( ) m/s

0C D DC z x y S x S y x yv v r e R e Re v e v e e e = + = + = =

=

.

b) A Q gyorsulsplus, valamint az A, B, C s D pontok gyorsulsnak meghatrozsa: lland 0 0 0S S Se Snv a a a

S Q= = = =

.

Az S pont a test Q gyorsulsplusa. lland 0. = =

2 2 2( ) (1 ) m/s ,

00A S SA SA x xa a r r Re e = + = =

==

2 2 2( ) ( ) m/s ,

00D S SP SD y ya a r r Re e = + = =

==

2 2 2( ) ( ) m/s ,

00B S SB SB y ya a r r Re e = + = =

==

2 2 2( ) ( 1 ) m/s .

00C S SC SC x xa a r r Re e = + = =

==

194

10.4.8. feladat: Hasb halad mozgsa

x

G

Sv Sa

S

0Fy

Adott: A halad mozgst vgz m tmeg hasb, tovbb 0, , , , SF G v .

Feladat: A hasb Sa gyorsulsnak s a hasbra hat tmaszt errendszer

KF eredjnek meghatrozsa.

a) A feladat megoldsa szerkesztssel: Impulzus ttel: 0S K

e

ma F G F

F

= + + .

Helyzetbra

x

Sv

S

y

Ke

Ge

0eee

ae

Vektorbra

G

0F

eF

Sam

KF

b) A feladat megoldsa szmtssal:

S Sx xa a e= , K N x N yF F e F e= + ,

0 0 0 0 (cos sin )x x y y x yF F e F e F e e = + = + .

Impulzus ttel : 0 , / /S K x yma F G F e e= + + . 0 00 , siny N NF G F F G F = + = .

0Sx x Nma F F= ,

0 01 ( )Sx x ya F G Fm

= .

10.4.9. feladat: Tmegpont mozgsa knyszerplyn

b

SSv

xy

c

0FAdott: Az rdes, hajlsszg felleten Sv pillanat-

nyi sebessggel lefel mozg m tmeg hasb. 0,25 ; ( 10 ) m/sS xv e = = , 40 kgm = ,

210 m/sg = , o30 = , 1 mc = , 2 mb = ,

0 (200 100 Nx yF e e= .

195

Feladat: A hasb slyponti gyorsulsnak s a hasbra hat knyszerer vektornak s hats-vonalnak meghatrozsa a) szmtssal s b) szerkesztssel.

Kidolgozs: a) A hasb slyponti gyorsulsnak s a hasbra hat knyszerer vektornak s hatsvonal-

nak meghatrozsa szmtssal:

b

SSv

xy

c

KF

0F

h

G

Impulzus ttel: 0( ).S Kma G F F= + + ( ) ( sin cos )S x x yma e m g e m g e = +

+ 0 0( ) ( )x x y y N x N yF e F e F e F e+ + + .

Az egyenletet skalrisan beszorozva elszr ye -al, majd xe -el:

00 cos y Nm g F F= + + 346,4 100 446,4 N.NF = + =

0sinS x Nm a m g F F = + + 01 ( sin )S x Na m g F Fm

= + +

21 ( 40 10 0,5 200 0,25 446,4) 2,91 m/s40S

a = + + = .

A slyponti gyorsuls: 2(2,91 ) m/s .S xa e=

A knyszerer: ( ) (111,6 446,4 ) N.K N x N y x yF F e F e e e= + = +

A knyszerer hatsvonala a perdlet- ttelbl: s sM = , 0 00 2 2x y Nc bF F h F= + ,

00 200 1000,5 0,448 m.2 2 446,4 446,4

yx

N N

FFc bhF F

= + = + =

b) A feladat megoldsa szerkesztssel: 0( ).S K

er

ma G F F

F

= + +

Helyzetbra

S xy

Ke

0eh

Ge

ae

Vektorbra

.

0F

GerF KF

Sam

196

10.4.10. feladat: Henger grdlse knyszerplyn Adott: A sk knyszerplyn tiszta grdl mozgst vgz krhenger. 2(8 ) m/s ,S xa e=

210 m/s ,g 2 m,ABl = 0,1 m,R= 30 kg.m=

xB

ABl0KF

0

y m C0F

S Sa

gmR

A

Feladat: a) Az adott gyorsuls fenntartshoz szksges

0 0 xF F e= er meghatrozsa. b) Az KF knyszerer meghatrozsa. c) A csszsmentes grdl mozgs megvalst-

shoz szksges 0min nyugvsbeli srldsi t-nyez meghatrozsa.

d) A hengerre hat errendszernek az ABl hosszon vgzett ABW munkjnak meghatrozsa.

Kidolgozs:

A hengerre hat knyszerer (tmaszter): K T x N yF F e F e= + .

A henger szggyorsulsa: 28 ( 80 ) 1/s .0,1

Sz z z z

ae e e eR

= = = =

a) Az 0F er meghatrozsa:

xB

ABl0KF

0

y m C0F

S Sa

gmR

A

Perdlet ttel az A pontra:

A AM = ,

0, ( )A AA

A

J M

+ =

=

,

,a AJ M = mert a tehetetlensgi ftengely.

0( ) ( 2 ) /a z z zJ e F Re e = 2

0

32

2 2a

mRJFR R

= = =

21,5 30 0,1 80 180 N.2 0,1

=

b)Az KF knyszerer (tmaszter) meghatrozsa:

Impulzus ttel: .Sma F= 0 .S Kma F G F= + +

0( ) / /x y T x N y S x x yF e m g e F e F e ma e e e + + =

0 ,T SF F ma+ = 0,Nm g F + =

0 30 8 180 60 N,T SF ma F= = = 30 10 300 N.NF m g= = =

(60 300 ) N.K T x N y x yF F e F e e e= + = +

197

Ellenrzs: perdlet ttel a henger S ponti tengelyre: ,s SJ M = 0( ) ( ) /s z z S z zJ e F R e F R e e = +

22

0 0

10,5 30 0,1 802 180 60 N.

0,1s

T

mRJF F FR R

= = = =

c) A csszsmentes grdlshez szksges minimlis nyugvsbeli srldsi tnyez:

0min60 0,2.

300T

N

FF

= = =

d) Az ABl szakaszon vgzett munka:

0( )0 0

B B

A A

t t

AB C S K At t

W P dt F v G v F v dt= = + + == =

0 2B

A

t

St

F v dt 02 2 180 2 720 J.ABF l= = =

10.4.11. feladat: Merev testre hat errendszer teljestmnye

x

G

A

1FB

Sy

2MR

Sv

Adott: Az R sugar, G sly homogn henger haj-lsszg lejtn grdl. A henger slypontjnak pillanatnyi sebessge Sv .

100 NG = , (2 ) m/sS xv e= , 2 (20 ) NmzM e= , o30 = , 0,5 mR = , 1 (60 20 ) N.x yF e e= +

Feladat: A G slyer GP , az 1F er 1FP , az 2M nyo-

matk nyomatk 2M

P s az AF tmaszter

AFP teljestmnynek kiszmtsa.

Kidolgozs:

( ) ( )sin cos sin 100 0,5 2 100 WG S x y S x SP G v G e G e v e G v = = = = = ,

( ) ( )1 1 1

2 60 20 4 240 WF B S x y xP F v F v e e e= = = + = ,

( )2 2 2

220 20 4 80 W0,5

SM z z z

vP M M e e eR

= = = = =

,

0.

0AF A A

P F v= =

=

198

10.4.12. feladat: Rgztett tengely krli forgmozgs

x

A

y

Sn e

l

gm

1

2

)(1

)(2

Adott: 1 3 rad/s= , 40 kgm = , 210 m/sg ,

1 ml = , o60 = . Feladat: a) A slypont 1Sa gyor-sulsnak s az 1AF t-

maszternek a meghatrozsa az (1) jel helyzet-ben.

b) A (2) helyzetbeli 2 szgsebessg meghatro-zsa.

c) A slypont 2Sa gyorsulsnak s az 2AF tmaszternek a meghatrozsa a (2) jel helyzetben.

Kidolgozs:

a) A slypont 1Sa gyorsulsnak s az 1AF tmaszternek a meghatrozsa az (1) jel helyzetben: - A slyponti gyorsuls meghatrozsa:

Perdlet ttel az A pontra: ( ) /0

A As A A zAJ J r m a M e

+ + = =

.

A z tengely (a tengely) tehetetlensgi ftengely, ezrt:

1 cos2a alJ M mg = = ,

2 2 2

, ,4 3 12a s sl ml mlJ J m J= + = =

m 21 cos3 2

l l m = g ,

21

3 cos 7,5 1/s2

gl = = ,

2 2 21 1 1 13,75 m/s , 4,5 m/s2 2S e S n

l la a = = = = ,

2 21 1 1 1

3 cos (3,75 4,5 ) m/s2 2S S e S n

g la a e a n e n e nl = + = + + = + .

- A tmaszter meghatrozsa:

Impulzus ttel: 1 1 / /S Ama mg F e n= +

1 1 1cos 50 NS e A e A ema mg F F= + = ,

1 1 1sin 16,64 NS n A n A nma mg F F= + = .

1 ( 50 16,64 ) NAF e n= .

b) A (2) helyzetbeli 2 szgsebessg meghatrozsa:

Munkattel: 2 1 120

S A AE E W F r G r F r = = = + ,

199

2 22 1

1 ( ) sin 02 2a

lJ mg = + , 2

3amlJ = .

2 2 22 1 1

2 3 sinsin2a

mg l gJ l

= + = + ,

2 5,91 1/s = , 2 ( 5,91 ) rad/sze = .

c) A slypont 2Sa gyorsulsnak s az 2AF tmaszternek a meg-hatrozsa a (2) jel helyzetben:

Perdlet ttel az a tengelyre: 2 2alJ mg = ,

23

m = 2 2

l ml

23 15 1/s2ggl

= = .

2 22 2 2( ) (7,5 17,46 ) m/s2 2S

l la e n e n = + = + .

Impulzus ttel: 2 2 / /S Ama mg F e n= + ,

23

2 2 A el gm mg F

l= + , 2

3 100 N4A egF g m = =

.

22 202 A n

lm F = + , 22 2 699,6 N2A nlF m = = .

2 ( 100 699,6 ) NAF e n= + .

10.4.13. feladat: Fizikai inga

A

y

S

n

e

m g

l

m

(1)helyzet

(2)helyzet

x

Adott: Az m tmeg, l hosszsg prizmatikus rd, amely az A pont krl a fggleges skban vgez forg-mozgst. Az szggel meghatrozott (1) jel helyzetben a rd S pontjnak sebessge zrus.

o30 = , 210 m/sg , 2 kgm= , 2 m.l = Feladat: a) A rd S pontja 1Sa gyorsulsnak s az 1AF

tmaszternek a meghatrozsa az (1) jel helyzetben.

b) A rd S pontja 2Sa gyorsuls t s az 2AF tmaszternek , valamint az 2 szgsebes-sgnek a meghatrozsa a (2) jel helyzet-ben.

Kidolgozs: a) A slyponti gyorsuls s a tmaszter meghatrozsa az indtsi, (1) jel helyzetben:

Az A ponti knyszerer: 1 1 1( )A A e A nF F e F n= + , az S pont gyorsulsa 1 1 1( )S S e S na a e a n= + , A rd szggyorsulsa 1 1( )k = , rd szgsebessge 1 1( ) 0.k = =

Az A pontra felrt perdlet ttel: 1 1 .A AM =

1 1 1 1

1 10, mertA AA

A

J M

+ =

=

.

200

A

y

S

1S na

1S ea

m g

m

(1)helyzet

e

1A eF

1A nF

n

1

l

x1 1a AJ M = ,

1 sin /2a z zlJ e m g e e =

1 sin 2alJ m g = .

1 22

sin sin sin 3 sin12 222 32

aS

m g l m g l m g l gJ ll mlJ m

= = = = +

.

2 21 1

3 10 0,5 3,75 rad/s (3,75 ) rad/s .2 2 z

e = = =

A slyponti gyorsuls: 1 1 1( ).S S e S na a e a n= + 2 2

1 1 11 3,75 3,75 m/s (3,75 ) m/s ,2S e S ela a e= = = =

22 21

1 1 12 1 0 0 0,

2S

S n S nv la al

= = = = = 2

1 (3,75 ) m/sSa e= .

Impulzus ttel: 1 1( ) ,S Ama F G= +

1 1( )S e S nma e ma n+ = 1 1( ) ( sin cos ) / /A e A nF e F n m g e m g n e n + +

1 1 0sin ,S e A ema F m g = +

1 1( sin ) 2 (3,75 10 0,5) 2,5 N,A e S eF m a g = = =

1 1 cos ,S n A nma F m g =

1 1( cos ) 2 10 0,866 17,3 N.0

A n S nF m g a= + = ==

1 ( 2,5 17,3 ) N.AF e n= +

b) A slyponti gyorsuls s a tmaszter meghatrozsa a fggleges, (2) jel helyzetben: Munkattel: 2 1 12.E E W =

2 22 1

1 1 (1 cos ),2 2 2

0a a

lJ J m g = =

22

1 (1 cos ),2 2a

lJ m g =

22

2

(1 cos ) 3 3 10(1 0,866)(1 cos ) 2,011 23

m g l glml

= = = = ,

2 2,01 1,417 rad/s. = =

Az A pontra felrt perdlet ttel: 2 2 .A AM =

201

2 22 2 2

2 2

, 0.

00,mert

A AA

A

J M

+ = =

==

A slyponti gyorsuls: 2 2 2( ).S S e S na a e a n= +

2 2 02S ela = = .

22 22

2 2 22 1 1,417 2,01 (2,01 ),

2S

S n S nv la a nl

= = = = =

2

2(2,01 ) m/sSa n=

Impulzus ttel: 2 2( ) ,S Ama F G= +

2 2 2 2( ) ( ) ( ), / /S e S n A e A nma e ma n F e F n m g n e n+ = + +

2 2 ,S e A ema F= 2 2 ,S n A nma F m g=

2 2 0.0

A e S eF m a= ==

2 2( ) 2(10 2,01) 24,02 N.A n S eF m g a= + = + =

2 (24,02 ) N.AF n=