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Prof. Lic. Javier Velásquez Espinoza
PRIMERO UN BREVE REPASO1. ¿Qué es una matriz?2. ¿A qué llamamos orden de una matriz?3. ¿En qué se diferencia un vector fila de
un vector columna?4. ¿En qué caso dos matrices son iguales?5. Si A es una matriz ¿qué significa AT?6. ¿Qué es una matriz nula?7. ¡Cuándo una matriz es cuadrada?8. ¿A qué llamamos matriz diagonal?9. ¿En qué caso es cierto que A + B = 0?10.Si A es una matriz y k un escalar, ¿en
qué caso se cumple que kA = 0?
2
1274
9532
0123
035
4124332 .BA xx
42x
C
3
MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
Dadas las matrices Am x n y Bn x p, entonces el producto AB resulta ser
una matriz C de orden m x p cuyos elementos cij se obtienen de la
siguiente forma:
1.- Se multiplican respectivamente los elementos de la fila i de la matriz A
con los elementos de la columna j de la matriz B. 2.- Se suman todos los productos realizados pues el resultado de esta
suma es el elemento cij buscadoEjemplo:
C14 =
C12 =
C13 =
C21 =2(3) + (1)(2)+4(4) =
C22 =
C23 =
C24 = 27
C11 =
2(2) + (1)(3) + 4(7) =
2(1) + (1)(5) + 4(2) =
2(0) + (1)(9) + 4(1) =
5(3) + (3)(2) + 0(4) =
5(2) + (3)(3) + 0(7) =
5(1) + (3)(5) + 0(2) =
5(0) + (3)(9) + 0(1) =
8
29
11
5
9
19
20
8
29
11
5
9
19
20
27
81
30
20
31B , A
191
60
162
273BA , AB
4
PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES
1. Propiedad asociativa: A(BC) = (AB)C
2. Propiedad distributiva: A(B+C) = AB + BC
3. Transpuesta de un producto: (AB)T = BTAT
OBSERVACIONES
1. El producto de dos matrices no siempre es conmutativo
Ejemplo:
Luego: AB BA
2. AB = 0, no implica A = 0 B = 0
3. AB = AC, no implica B = C
100
010
001
I ,10
01I 32
51
42
10
01
51
42
5
MATRIZ IDENTIDAD
Definición.- La matriz identidad de orden “n” y denotada por In es aquella matriz
diagonal cuyos elementos en la diagonal principal son todos iguales a 1.
Ejemplos:
PROPIEDADES DE LA MATRIZ IDENTIDAD
1. IT = I
2. AI = IA = A
Ejemplo:
51
42
51
42
10
01
6
POTENCIA DE UNA MATRIZ
Si A es una matriz cuadrada y “k” un entero positivo, entonces la k-ésima
potencia de A, denotada por Ak, es el producto de k factores A
Ak = A.A.A . . . A
k factores
Ejemplo: 3 Acalcular , ASi
21
01
Solución:
43
01
21
01
21
012A
87
01
21
01
43
01AAA 23
)(
z
y
x
13
4
132
241
7
ECUACIONES MATRICIALES
Los sistemas de ecuaciones lineales pueden representarse por medio de la multiplicación de matrices. Por ejemplo, consideremos la ecuación matricial:
El producto del lado izquierdo tiene orden 2x1, así que es una matriz columna. Por tanto:
3
4
32
24
zyx
zyx
Por la igualdad de matrices, las entradas correspondientes deben ser iguales, de modo que obtenemos el sistema:
332
424
zyx
zyx
De aquí que este sistema de ecuaciones lineales puede definirse por la ecuación matricial (1), que en forma abreviada la escribiremos:
AX = BDonde A es la matriz obtenida de los coeficientes de las variables, X es una matriz columna constituida por las variables y B es una matriz columna cuyos elementos son las constantes
034
1272
6523
zy
zx
zyx
8
SISTEMAS DE ECUACIONES EN FORMA MATRICIAL
Represente el sistema dado por medio de la multiplicación de matrices
Solución
Primero se ordenan y completan con cero los lugares donde no está presente una variable
0340
12702
6523
zyx
zyx
zyx
La ecuación matricial será:
0
12
6
340
702
523
z
y
x
Matriz de los coeficientes Matriz columna
de las variables
Matriz columna de las constantes
