95

10. MEKANISKA SVÄNGNINGAR 10.1 Den enkla harmoniska oscillatorn. Ett föremål med massan m, som hängs upp i en lätt fjäder, får svänga kring sitt jämviktsläge. Under svängningen påverkas föremålet av en kraft från fjädern. Om kraften är riktad mot jämviktsläget och om dess storlek är proportionell mot fjäderns förlängning x (=avståndet till jämviktsläget) dvs kraften skrivas

F = -kx sägs svängningen vara harmonisk. Proportionalitetskonstanten k kallas fjäderkonstant. Enheten för k är l N/m. En enkel harmonisk svängning innebär en variation mellan två ytterlighetsvärden som inte förändras i tiden. Det svängande systemets energi förändras heller inte. I verkliga mekaniska system förekommer alltid friktionskrafter som medför att systemets energi minskar med tiden. Man talar då om dämpade svängningar. Om någon yttre drivkraft periodiskt tillför energi till systemet (t.ex. gungande barn som får en knuff med jämna mellanrum) talar man om tvungna svängningar. Från gymnasiet vet vi att en harmonisk svängning kan beskrivas med en linjär projektion av en cirkulär rörelse med konstant vinkelhastighet hos en visare, vars längd representerar svängningens maximala avvikelse från jämviktsläget, amplituden A.

Tidsberoendet för avvikelsen från jämviktsläget, elongationen fås som lösning till en differentialekvation. Differentialekvationen erhålles ur nedanstående två samband:

!

F = "k # x vilket är ett uttryck för att kraften alltid är riktad mot jämviktsläget (se figurer ovan och nedan). Dessutom ger kraftlagen:

!

F = m "a = m " d2xdt 2

96

De båda sambanden ger:

!

d2xdt 2

+km" x = 0

Denna ekvation satisfieras av olika uttryck t.ex.

!

x = x(t) = A1 cos"t + A2 sin"t eller

!

x = x(t) = A3 cos("t +# )

där A1, A2, A3 och / är konstanter och där

!

" =km

Säg att man ha en beskrivning av en svängning där man börjar räkna tid just då massan passerar jämviktstillståndet och tex är på väg i positiv riktning. I jämvikt måste man kräva att x = 0 då t = 0. Insättning i de båda uttrycken ger

0 = Al + 0, d.v.s. Al = 0.

0 = A3 cos/ d.v.s.

!

" =#2

(eller någon annan udda multipel

av

!

"2

). Med det angivna s.k. randvillkoret fås dels

!

x = A2 sin"t och dels att

!

x = A3 cos("t +#2) = A3 sin"t . De båda allmänna uttrycken övergår båda i formen

!

x = Asin"t då randvillkoret tillämpas. Det är då tydligt att A = A2 = A3 är svängningens amplitud.

Sinusuttryckets värde vid en viss tidpunkt upprepas efter tiden

!

2"#

. Denna tid är

svängningens period, T.

!

T =2"#

= 2" mk

97

!

" =km

kallas vinkelfrekvensen. Enhet 1 rad/s

!

f =1T

=12"

#km

kallas svängningens frekvens. Enhet 1 s-1 = 1 Hz

10.2 Harmoniska oscillatorns energi. Energin hos en harmonisk svängning växlar periodiskt mellan enbart potentiell energi i vändlägena och enbart kinetisk energi vid passage av jämviktsläget. I lägena däremellan är energin både kinetisk och potentiell. Om x = x (t) = A sin )t får man hastigheten

!

vx = A" cos"t vars maximala värde är A), som antas då partikeln passerar jämviktsläget. På samma sätt fås

!

ax = "A #$2 sin$t = "A #$ # x vars maximala värde är

!

"A #$2 och som antas i vändlägena. Kraften på partikeln är då störst! Kinetiska energin vid en viss elongation är då

!

Ek =12mvx

2 =12m " A2#2 cos2#t

medan den potentiella energin är

!

Ep =12kx2 =

12k " A2 sin2#t

Den totala energin

!

E = Ek +Ep =12A2 (m"2 cos2"t + k sin2"t) =

12kA2

Den totala energin är således konstant och proportionell mot amplitudens kvadrat. Obs! Dessa samband är naturligtvis också giltiga om fjädern hängs vertikalt och vikten oscillerar upp och ner. Obs! Om fjädern massa inte är försumbar kan man visa att ovanstående samband är giltiga om

massan m i uttrycken ersätts med en effektiv massa

!

meff = m+13mfjäder , där m är viktens

massa. Exempel: En vikt med massan 0,2 kg är fäst i fjäder med fjäderkonstanten 5 N/m och kan röra sig horisontellt på ett friktionsfritt underlag, se vidstående figur. Fjädern dras ut och släpps vid t = 0. Vid t = 0,3 s har vikten hastigheten – 40 cm/s och befinner i en punkt med koordinaten x = - 6 cm. a) Bestäm på formen x = A sin ()t + /) den funktion som beskriver viktens rörelse. b) När är viktens hastighet störst första gången? c) Hur stor är accelerationen vid t = 1,0 s ? d) Hur stor är den totalt upplagrade energin?

98

Lösning

a) Vinkelfrekvensen

Med x = A sin ()t + /) får vi att hastigheten kan uttryckas v = = A) cos ()t + /)

dvs - 0,06 = A sin (1,5 + /) (1) - 0,4 = A•5 cos (1,5 + /) (2)

Dividera (1) med (2)

Vilket ger 1) 1,5 + / = arctan 0,75 = 36,9° = 0,644 rad $ / = - 0,856 rad 2) 1,5 + / = 36,9° + 180° = 3,785 rad $ / = 2,285 rad Insättning av / = - 0,856 rad i (1) ger A = - 0,1 men A alltid positivt dvs vi måste förkasta detta värde på / Insättning av / = 2,285 rad i (1) ger A = 0,1 Rörelsen beskrivs av x = 0,1 sin (5t + 2,285) och v = 0,5 cos (5t + 2,285) b) Hastighetens största värde är 0,5 m/s och inträffar vid passage av jämviktsläget. Första gången detta passeras är den på väg i negativ riktning varför hastighetsvärdet är – 0,5. Således skall gälla - 0,5 = 0,5 cos (5t + 2,285) vilket ger t = 0,17 s c) För accelerationen gäller

a =

Vinkelfrekvensen 5 rad/s ger att perioden är 1,26 s. Varje period består ju av 4 kvartsperiod vardera om 0,32 s. Vid t = 1,0 s befinner sig vikten i sista kvartsperioden och på väg att bromsas in till utgångspunkten. Accelerationen är då riktad i negativ led. Den maximala accelerationen antas i vändlägena och i startpunkten är den – 2,5 m/s2!

d) Den i fjädern upplagrade energin är

!

Etot =12kA2 =

12mvmax

2 = 25 mJ

10.3 Matematisk pendel. Ett system som kan utföra harmoniska svängningar är den matematiska pendeln som består av en punktformig massa m som hänger i en viktlös tråd med längden d och svänger kring sitt jämviktsläge. För svängningar med liten utslagsvinkel är svängningstiden

!

T = 2" dg

Två olika härledningar av uttrycket för svängningstiden: l) Utnyttjande av sambandet mellan kraftmoment och ändring per tidsenhet av

rörelsemängdsmomentet:

!

M =dLdt

!

" =km

=5

0,2= 5 rad/s

!

dxdt

!

"0,06"0,4

=15tan(1,5+#)

!

dvdt

= "A#2 (sin#t +$ ) = "0,1%52 % sin(5 %1,0 + 2,285) = "2,11 m/s2

99

De krafter som verkar på m är dels snörspänningen, dels tyngdkraften. Med upphängningspunkten som momentpunkt är det endast tyngdkraftens tangentiella komposant som utövar något moment. Detta strävar efter att återföra partikeln till jämviktsläget d.v.s. det verkar i negativ %-led:

!

M = "(mgsin#) $dL = m $ vt $d = m $ ˙ # d $d = m $d2 $ ˙ #

vt är partikelns tangentialfart. Deriveras det senare uttrycket erhålls

!

dLdt

= md2 " ˙ ̇ #

Man får följande differentialekvation:

!

"mgd # sin$ = md2 ˙ ̇ $ som efter omskrivning ger:

!

d2"dt 2

+gd# sin" = 0 (1)

2) Utnyttjande av energiprincipen: Minskning i potentiell energi (vändläget väljs som referens) är lika med ökningen i kinetisk energi:

!

mgd(1" cos#max )"mgd(1" cos#) =12mvt

2 =12m(d$)2

Derivering med avseende på tiden ger

!

"mgd ˙ # sin# = md2$ ˙ $ . Detta är (som sig bör) samma differentialekvation som (1) För små vinklar gäller att

!

sin" # " (om % uttrycks i radianer) och differentialekvationen får samma form som den som gällde den enkla harmoniska oscillatorn. Jämförelse ger en lösning

!

" ="(t) ="max sin#t med

!

" =gd

och perioden T = 2# dg

Vad menas med en liten vinkel? Exempel: % = 1° motsvarar % = 0,0175 rad, sin l° = 0,0175 Den procentuella skillnaden mellan % och sin %

!

" # sin"sin"

= 5 $10#5 = 0,005%

För % = 5° är motsvarande procentuella skillnad 12,7%. Uttrycket för pendelns svängningstid är således approximativt men är användbart om pendelutslaget endast är någon grad, % < 5°.

100

10.4 Fysisk pendel. Den matematiska pendelns massa är koncentrerad till ett mycket litet område ( till en punkt). En godtyckligt formad fast kropp, rörlig kring en horisontell axel utgör en fysisk pendel. En beskrivning av rörelsen hos denna pendel kan erhållas utgående från uttrycket

!

M = I "# . Avståndet mellan vridningsaxeln, som går genom O, och pendelns tyngdpunkt kallas d. Antag att pendeln i ett visst ögonblick rör sig så att % i figuren ökar. Tyngdkraftens moment gör att vinkelhastigheten och därmed rörelsemängdsmomentet minskar. Kraftmomentet:

!

M = "mg #d sin$

Steiners sats ger tröghetsmomentet med avseende på den aktuella rotationsaxeln: I = ITP + md2 . Dessutom är

!

" = ˙ ̇ # Sammanställning ger:

!

"mgd sin# = (ITp +md2 )˙ ̇ # Efter omskrivning

!

d2"dt 2

+mgd

ITp +md2sin" = 0

För små vinklar är den fysiska pendelns period

!

T = 2"ITp +md2

mgd

10.5 Torsionspendeln. En massiv skiva hängande i en tråd kan utföra s.k. torsionssvängningar runt sin vertikala symmetriaxel. Systemet kallas torsionspendel. Det kraftmoment med vilket tråden påverkar skivan är proportionellt mot den vinkel skivan vridits från sitt jämviktsläge. Momentet strävar efter att återföra skivan till jämviktsläget:

!

M = "k #$ . Proportionalitetskonstanten k är beroen-de av trådmaterialets egenskaper. Sambandet

!

M = I "# = I " ˙ ̇ $ ger ekvationen

!

d2"dt 2

+kI#" = 0

Torsionspendelns period:

!

T = 2" Ik

, där I är skivans

tröghetsmoment m.a.p. den vertikala axeln.

101

10.6 Dämpade svängningar. När den svängande vikten rör sig i ett visköst medium, tex i en vätska, så utsätts vikten förutom av fjäderkraften av en bromsande friktionskraft, f, som om hastigheten är låg är

proportionell mot hastigheten dvs

!

f = bv = b " dxdt

. Denna kraft gör att svängningens amplitud

minskar med tiden då mekanisk energi förs ur systemet av denna icke konservativa kraft. Kraftlagen ger:

!

F = "kx "bv#

Men

!

F = m "a = m# "d2xdt

Sammanställning efetr omskrivning ger då:

!

d2xdt 2

+bm"dxdt

+km" x = 0

Man kan visa att denna andra ordningens differentialekvation har lösningen

!

x = A " e#$t " cos(%bt +&) (1) där

!

" =b2m

(2)

och

!

"b =" 1# $"

%

& '

(

) * 2

(3)

där som tidigare

!

" =km

Exempel En vikt med massan 50 g är upphängd i en fjäder med fjäderkonstanten. Vikten är nedsänkt i ett kärl innehållande en viskös vätska. Vikten dras ut 8 cm från jämviktsläget och släpps. Den friktionskraft, f, som vätskan skapar mot rörelsen kan skrivas f = 0,172v, där v är viktens aktuella hastighet. Beräkna viktens avstånd från jämviktsläget vid tidpunkterna t = T, 2T, 3T, 4T och 5T, där T är svängningens period. Lösning

Ur givna data bestäms

!

" =0,172

2 #0,05=1,72 s-1 och

!

" =20

0,05= 20 s-1

Sammantaget ger detta

!

"b = 20 1# 1, 7220

$

% &

'

( )

2

=19,93 s-1 (0 ))

Härur kan periodtiden bestämmas

!

T =2"#b

=2"

19,93= 0,315 s

Faskonstanten bestäms på följande sätt. Antag att x-axeln är riktad uppåt. Då x = -0,08 vid t = 0 och vi får

!

"0,08 = 0,08 #1# cos$ % $ = & Sammantaget ger (1) för t = T = 0,315 s

!

x = 0,08 " e#1,72"0,315 " cos(19,93 "0,315 +$ ) = #0,0465 m = - 4,65 cm

102

Pss för vi för övriga tider (se tabell nedan). I diagrammet nedan visas också grafen för denna dämpade svängning.

x (cm) t -8,00 0 -4,65 T -2,71 2T -1,58 3T -0.92 4T -0,54 5T

10.7 Tvungna svängningar. En dämpad svängning kan emellertid hållas i gång med hjälp av en yttre påverkan. Ett litet barn som gungar och inte lärt sig tekniken kan få hjälp att hålla “farten” genom att en utomstående i lämpliga ögonblick “knuffar” till gungan. Detta extra energitillskott måste kompensera energiförlusterna för att behålla amplituden. Ofta sker energitillförselngenom en kraft som varierar periodiskt och kan uttryckas

!

F = F0 cos"yt där )y är kraftens vinkelfrekvens denna tillkommande kraft gör att differentialekvationen får följande utseende:

!

d2xdt 2

+bm"dxdt

+km" x =

Fm" cos#yt

Lösningen till denna kan visas bli

!

x = Ae cos("et #$e ) (4) där

!

tan"e =b #$e

m($2 %$e2 )

(5)

och

!

Ae =F

m2 ("2 #"e2 )+b2 $"e

2 (6)

och där

!

" =km

som tidigare är vinkelfrekvensen för den odämpade svängningen.

Ofta inför man Q-faktorn som

!

Q =" #mb

, varvid uttrycket för Ae kan skrivas

103

!

Ae =Fm

("2 #"e2 )+"

2 $"e2

Q2

(7)

Om detta tillämpas på föregående lösta exempel och inför en yttre kraft F som beskrivs av

!

F = 0,344 " cos#e " t erhålls för Q = 2,3 respetive 5,8 grafer som visas i vidstående diagram. Här kan då noteras att störst amplitud, Ae, erhålls då

!

"e #" , dvs då energin matas in ungefär i takt med det odämpade systemets vinkelfrekvens (egenfrekvens). Den vinkelfrekvens,

!

"e , som ger störst amplitud kallas resonansfrekvensen,

!

"r , och den kan skrivas

!

"r = "2 #b2

2m (8)

Om systemet är odämpad (b=0) blir således

!

"r =" och ur (7) framgår att

!

Ae "# . Skälet till detta är naturligtvis att då friktionsförluster saknas kommer den inmatade energin att lagras i systemet varvid amplituden ökar och ökar. 10.8 Övningsuppgifter 1. Rörelsen hos en viss massa, friktionsfritt rörlig i änden av en spiralfjäder, beskrivs av x = 0,40 cos 2(0,35 t - 0,15) (m) Hur stor är svängningens a) amplitud? b) frekvens? c) period? 2. En vikt som väger 0,5 kg utför en harmonisk svängningsrörelse med frekvensen 10 Hz

och amplituden 10 cm. I ett visst ögonblick befinner sig vikten 5 cm från jämviktsläget. Beräkna värdet på följande storheter i detta ögonblick:

a) accelerationen b) den resulterande kraft som verkar på vikten c) den potentiella energin d) den kinetiska energin 3. Ett horisontellt bord svänger harmoniskt fram

och tillbaka med amplituden 1,5 m och frekvensen 0,25 Hz. Vilken är den minsta statiska friktionskoefficient som krävs för att ett föremål placerat på bordet inte skall börja glida?

4. En matematisk pendel är 60 cm och har massan 200 g. Pendeln lyfts så att den bildar 15°

med lodlinjen och släpps därefter. Man startar tidtagning just då kulan släpps. Formulera ett uttryck för utslagsvinkeln, uttryckt i grader, som funktion av tiden.

104

5. En vikt med massan 60 g hänger i vila i en fjäder vars fjäderkonstant är 50 N/m. Vikten dras ner 8,0 cm från sitt jämviktsläge och släpps. a) Ange en sinusfunktion som beskriver den uppkomna svängningen. b) Beräkna hur lång tid det tar för vikten att förflytta sig från startpunkten med x = - 8 cm till punkten med koordinaten x = 6 cm.

6. Antag att det svängande systemet i föregående uppgift befann sig i punkten x = 4 cm och

vikten var på väg ner vid t = 0. Bestäm fasvinkel och viktens acceleration vid t = 0. 7. Vagn B (mB = 2,0 kg) är sammankopplad med låda A (mA

= 1,0 kg) via en fjäder med fjäderkonstanten 20 N/m. Vilofriktionstalet mellan lådan och underlaget är 0,32. Vagnen ges en knuff åt höger. Hur stor får B:s begynnelsefart högst vara för att lådan inte skall börja glida?

8. Beräkna svängningstiden för vidstående koppling. Vikten har

massan m, fjädern har fjäderkonstanten k. Blocket och linorna har försumbar massa.

9. Beräkna frekvensen hos en meterstav som svänger som en

fysisk pendel om axeln går genom a) 90,0 cm-markeringen. b) 50,5 cm-markeringen.

10. En homogen cirkulär skiva med radien 30 cm kan

rotera kring en axel genom en punkt P på skivans periferi. Axeln är vinkelrät mot skivans plan. Skivan släpps från vila i ett läge där diametern genom upphängningspunkten bildar vinkeln 45° med lodlinjen. Beräkna a) svängningstiden b) hastigheten hos skivans nedersta punkt A då skivan passerar det streckade jämviktsläget.

11. En dämpad svängningsrörelse beskrivs av (1) s 10-7 med / = 0. Under den första

fullständiga svängningen minskar amplituden med 5 %. Fjäderkonstanten är 20 N/m och massan 60 g.

a) Hur stor blir proportionalitetstalet i uttrycket för friktionskraften om

!

"b ="? b) Bestäm Q-faktorn c) Hur stor måste kraftens amplitud vara om den skall åstadkomma en

svängningsamplitud på 10 cm vid resonans?

105

Svar: 1) a) 0.40 m. b) 0.11 Hz. c) 9.0 s. 2) a) -197 m/s2 b) -98,7 N c) 2,47 J d) 7,40 J 3)

!

µ > 0,38 4)

!

" ="(t) =15° # sin(4,04 # t ±$ / 2)

5) a) b) s

6)

!

" = 2, 62 rad, a = #28, 5 ms-2

7) 0,50 m/s

8)

9) a) 0,64 Hz, b) 0,12 Hz. 10) a) 0,21 s b) 2,1 m/s 11) Svar: a) b) 61,2 c) 32,7 mN

!

x = 0,08sin(28,87 " t # $2)

!

8,38 "10#2

!

T = "mk

!

1,79 "10#2 kgs#1