10 Rectas y ángulosceahformacion.es/.../E1_MA_U10_Rectas-y-angulos_SOL.pdf · 2015. 11. 11. · 20 Unidad 10 | Rectas y ángulos s r t 10.3. La recta r es perpendicular a la recta

18 Unidad 10 | Rectas y ángulos

10 Rectas y ángulos Este cuadro de Wassily Kandinsky (1866-1944), titulado Composición VIII, está constituido exclusivamente por elementos geométricos. Combinando estos elementos de manera intencionada, el autor ha sido capaz de crear unas sensaciones en el espectador.

10.1. Busca en el cuadro dos rectas y dos ángulos.

10.2. ¿Cuántas rectas has de trazar para poder formar, con su intersección, un triángulo?

Tres.

10.3. En el cuadro hay triángulos y círculos. ¿Todos los triángulos son similares? ¿Y todos los círculos?

No, los triángulos tienen distintas formas. Los círculos son similares, pues solo varían de tamaño.

10.4. ¿Qué instrumentos de dibujo crees que empleó Kandinsky para hacer este cuadro?

Compás, regla, escuadra y cartabón.

DESARROLLA TUS COMPETENCIAS

El fresco La santa cena, que se encuentra en una iglesia de Milán, es una de las obras más conocidas de Leonardo da Vinci (1452-1519).

Unidad 10 | Rectas y ángulos 19

BA M

10.1. Observa, en la sala representada en el fresco, los cuatro tipos de líneas siguientes:

– Las rectas que determinan cada pared lateral con el techo de la sala (en verde).

– Las rectas que siguen las vigas del techo dispuestas longitudinalmente (en naranja).

– Las rectas que definen las partes superiores de los rectángulos de las paredes laterales (en rojo).

Estas rectas, ¿convergen en un mismo punto o en puntos diferentes?

En un mismo punto.

10.2. Traza las diagonales de la pintura. ¿Qué particularidad tiene el punto de corte de estas?

Dicho punto se encuentra en la figura de Jesucristo.

10.3. El punto donde convergen las líneas reales o imaginarias que contribuyen a crear una ilusión de espacio en una pintura se llama punto de fuga. ¿En qué punto de la pintura se encuentra el punto de fuga? ¿Qué figura encontramos en ese punto?

En el punto de corte de las diagonales, en la figura de Jesucristo.

ACTIVIDADES

10.1. Dibuja con regla y escuadra:

a) Dos rectas paralelas a una dada. b) Dos rectas perpendiculares a una dada.

10.2. Dibuja un segmento de 7 cm y traza la mediatriz utilizando regla y compás.


s r

t

10.3. La recta r es perpendicular a la recta s, y la recta t es paralela a la recta r. ¿Cómo son entre ellas s y t? Dibuja esquemáticamente la situación descrita.

Perpendiculares.

10.4. Dibuja la intersección de dos calles perpendiculares y los cuatro pasos de peatones correspondientes. ¿Cómo es la dirección que determina un paso de peatones respecto a las rectas que determinan las aceras opuestas? ¿Por qué?

Perpendicular, para minimizar la distancia al cruzar la calle.

10.5. ¿Cómo son los dos raíles de tren entre ellos? ¿Y los raíles de tren con las traviesas de madera?

Paralelos. Perpendiculares.

10.6. Observa el plano.

a) Indica:

– Dos calles paralelas a la calle Barco.

– Dos calles con direcciones secantes no perpendiculares a la calle Universidad.

– Dos calles perpendiculares a la avenida del Mar.

b) Localiza a Sara. Se encuentra en la intersección de una calle paralela a la calle Universidad y una calle paralela a la avenida del Mar.

c) Jaime se encuentra en el punto rojo de la calle Universidad. ¿Qué dirección debe tomar para cruzar la calle con el mínimo recorrido?

a) Paralelas a calle Barco: calle Vela y avenida del Mar.

Secantes y no perpendiculares a calle Universidad: calle Barco y paseo Imperial.

Perpendiculares a avenida del Mar: calle Diputación y avenida Pío XII.

b) Está en la intersección de la calle Bergara con la calle Barco.

c) Perpendicular a la dirección de la calle.

10.7. Clasifica estos ángulos según su medida.

a) 122º b) 198º c) 88º d) 342º e) 9º

a) Obtuso, convexo b) Obtuso, cóncavo c) Agudo, convexo

d) Obtuso, cóncavo e) Agudo, convexo

Pl. Cor tes

Avenida Pío XI I

C. B

arco

C. V

ela

C. Uni ver sidad

C. BergaraC. Taller

C. Fontana

Pase

oIm

peria

l

Ave

nida

del

Mar

C. Ín

dico

C. Diputació

C. Pelayo


80�

25�

C

DE

A

B

80º

25º

80º

25º

10.8. Observa estos ángulos.

– Dibújalos con el transportador en tu cuaderno.

– Cópialos después con regla y compás.

– Dibuja + A B y - A B .

10.9. (TIC) Haz lo siguiente:

– Dibuja un ángulo recto y traza la bisectriz.

– Dibuja la bisectriz de uno de los dos ángulos en que ha quedado dividido el ángulo recto. ¿Qué amplitud tiene cada uno de los ángulos resultantes?

Las primeras bisectrices originan ángulos de 45º, y la segunda, de 22,5º.

10.10. ¿Son ciertas o falsas estas afirmaciones? Razónalo.

a) Los ángulos que resultan de dividir un ángulo obtuso con la bisectriz son agudos.

b) Los ángulos que resultan de dividir un ángulo cóncavo con la bisectriz son convexos.

c) Si A y B son ángulos agudos, su suma será también un ángulo agudo.

d) La diferencia entre dos ángulos obtusos es necesariamente un ángulo agudo.

e) Si sumamos un ángulo recto y uno obtuso, el resultado será un ángulo cóncavo.

a) No necesariamente. Por ejemplo, la bisectriz de uno de 300º da lugar a dos de 150º, que siguen siendo obtusos.

b) Verdadero.

c) No necesariamente. Por ejemplo, 80º + 70º = 150º, que no es agudo.

d) No. Por ejemplo, 350º – 100º = 250º, que es obtuso.

e) Verdadero.

10.11. Di, para cada uno de los ángulos indicados, si

es agudo, recto u obtuso.

Obtusos: A , B y C

Recto: E

Agudo: D


A BC

D F

E

34�

G

BA

CF

ED

10.12. Según la ley de reflexión, el ángulo con que incide un rayo de luz en una superficie pulida es igual al ángulo de reflexión. El dibujo muestra el ángulo de incidencia de un rayo de luz.

Con el método para copiar ángulos, copia este dibujo en tu cuaderno y dibuja la dirección que seguirá el rayo de luz reflejada.

10.13. (TIC) Determina el complementario de estos ángulos.

a) 43º b) 15º c) 65º d) 3º

e) 84º f) 27º g) 75º h) 9º

a) 47º b) 75º c) 25º d) 87º

e) 6º f) 63º g) 15º h) 81º

10.14. (TIC) Determina el suplementario de estos ángulos.

a) 112º b) 135º c) 25º d) 42º

e) 43º f) 162º g) 73º h) 90º

a) 68º b) 45º c) 155º d) 138º

e) 137º f) 18º g) 107º h) 90º

10.15. Identifica los pares de ángulos que sean complementarios y suplementarios.

Suplementarios: A y B

Complementarios: E y F

10.16. (TIC) Halla el valor de los ángulos que faltan.

A = 146º, B = 34º, C = 146º, D = 34º, E = 146º, F = 34º, G = 146º

Ángulode incidencia

Ángulode reflexión

Ángulode incidencia


C

r

s24�

111�

70° 70°20° 20° 50°50°40° 40°55° 55°35° 35°

ARayo incidente

B

Rayo refractante

Aire

Aire

Vidrio

10.17. Observa el dibujo. La recta discontinua r es paralela al segmento s. Calcula el ángulo C .

C = 45º

10.18. Un carpintero ha preparado distintas molduras para hacer 3 marcos de cuadros.

a) Ayúdalo a agrupar las piezas. Fíjate en los ángulos indicados. Razona las elecciones.

b) Quieres que los cuatro listones de un marco tengan todos la misma anchura. ¿Qué ángulo deberán tener los ingletes?

a) Dos de 70º con dos de 20º, dos de 35º con dos de 55º y dos de 40º con dos de 50º.

b) 45º

10.19. Un rayo de luz cambia de dirección al pasar de un medio de propagación a otro. Este fenómeno se conoce como refracción de la luz. Un rayo de luz ha pasado del aire al vidrio y, de nuevo, del vidrio al aire. El rayo que incide en el vidrio y el que sale del vidrio son paralelos.

¿Es cierto que si los rayos de luz son paralelos, los ángulos A y B deben ser iguales? Explícalo.

Sí, porque las dos caras del vidrio son paralelas y, por tanto, dos rectas paralelas secantes a dichas

caras forman los mismos ángulos con ellas. Es decir, el lado de A formado por el vidrio es paralelo al

lado de B formado por el cristal, y el lado oblicuo, formado por el rayo incidente, de A es paralelo al

lado de B formado por el rayo refractante.

10.20. (TIC) Completa en tu cuaderno.

a) 8º = ❏' b) 5º = ❏'' c) 2 h = ❏ min d) 3 h = ❏ s

e) 2 min = ❏ s f) 360 s = ❏ min g) 540 min = ❏ h h) 3.600 s = ❏ h

a) 480 b) 18.000 c) 120 d) 10.800

e) 120 f) 6 g) 9 h) 1


Track 1 ........................... 3:55

Track 2 ........................... 3:27

Track 3 ........................... 2:48

Track 4 ........................... 3:40

Track 5 ........................... 5:03

Track 6 ........................... 4:26

Track 7 ........................... 3:20

Track 8 ........................... 4:09

10.21. (TIC) Expresa en segundos.

a) 3º 45' b) 4º 17' 36'' c) 1 h 20 min d) 3 h 45 min 24 s

a) 13.500'' b) 15.456'' c) 4.800 s d) 13.524 s

10.22. (TIC) Expresa en grados o en horas.

a) 2º 25' 35'' b) 12º 50' 12'' c) 1 h 30 min 45 s d) 8 h 45 min 36 s

a) 2,426º b) 12,837º c) 1,5125 h d) 8,76 h

10.23. (TIC) Expresa en forma compleja.

a) 5,24º b) 85,835º c) 1,725 h d) 4,0275 h

a) 5º 14' 24'' b) 85º 50' 6'' c) 1 h 43 min 30 s d) 4 h 1 min 39 s

10.24. (TIC) Calcula estas sumas y restas.

a) 12º 22' 35'' + 23º 45' 32'' b) 2 h 15 min 45 s + 45 min 11 s

c) 45º 23' 19'' – 32º 20' 40'' d) 55 h 14 min 18 s – 22 h 14 min 25 s

a) 36º 8' 7'' b) 3 h 56 s c) 13º 2' 39'' d) 32 h 59 min 53 s

10.25. (TIC) Calcula estas operaciones.

a) 2,25º · 6 b) 3º 14' 15'' : 3 c) 12 h 34 min · 3 d) 28 min 9 s : 6

a) 13,5º b) 1º 4' 45'' c) 37 h 42 min d) 4 min 41,5 s

10.26. La tabla muestra los tiempos que un piloto ha hecho en 5 vueltas en un circuito. Una periodista ha escrito que la media por vuelta ha sido de 2,20 min. ¿Es correcto?

Vuelta 1 2 3 4 5

Tiempo 2' 14'' 2' 14'' 2' 12'' 2' 12'' 2' 13''

2,20 min = 2 min 12 s, que no es la media, pues es el valor inferior.

10.27. En un disco compacto podemos leer esta información.

a) ¿Qué expresan los números en negrita?

b) ¿Qué función tienen los dos puntos en la expresión 3:40? ¿De qué otra manera suele escribirse?

c) Mental y rápidamente, determina si la duración de las ocho canciones es superior a media hora. ¿Cómo lo has hecho?

a) La duración de cada tema.

b) Separar los minutos de los segundos. 3 min 40 s.

c) Redondeando cada una de ellas, se ve que la duración total es superior a media hora.


10.28. Actividad interactiva.

10.29. (TIC) Aquí tienes las funciones de los botones de GeoGebra. Investiga la función de cada uno.

Busca en cuál de los menús desplegables está cada una de estas herramientas.

● Punto medio o centro ● Bisectriz ● Recta paralela

● Recta perpendicular ● Intersección de dos objetos

Las funciones son, de izquierda a derecha, las siguientes.

Elige y Mueve: arrastrar y seleccionar objetos.

Nuevo Punto: dibujar un punto.

Recta que pasa por Dos Puntos: dados dos puntos, dibujar la recta que pasa por ellos.

Recta Perpendicular: trazar la recta perpendicular a una recta dada que pasa por un punto dado.

Polígono: trazar un polígono dados sus vértices.

Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos: dibujar una circunferencia dados su centro y uno de sus puntos.

Elipse: trazar una elipse dados sus dos focos y uno de sus puntos.

Ángulo: dibujar un ángulo dados el vértice y un punto de cada lado, o dadas dos rectas.

Refleja Objeto en Recta: obtiene la figura simétrica a una dada respecto a una recta dada.

Deslizador: inserta un deslizador, que es un número representado con un segmento o un ángulo.

Desplazar Vista Gráfica: permite desplazar los ejes, elegir la escala, etc.

● Punto medio o centro: Nuevo Punto. ● Bisectriz: Recta Perpendicular. ● Recta paralela: Recta Perpendicular. ● Recta perpendicular: Recta Perpendicular. ● Intersección de dos objetos: Nuevo Punto.

10.30. (TIC) Despliega el menú del botón del puntero.

a) Con la ayuda de GeoGebra, averigua qué te permite hacer cada una de las opciones que aparecen.

b) Dibuja un segmento cualquiera y experimenta las modificaciones que puedes hacer con las herramientas del menú correspondiente al botón del puntero.

a) Elige y Mueve: permite seleccionar y mover objetos.

Rota en torno a un Punto: permite girar un objeto libre alrededor de un punto dado.

Registra Cambios en la Hoja de Cálculo: anota en la hoja de cálculo los valores que va tomando un objeto como, por ejemplo, un segmento, un ángulo, etc.

b) Actividad práctica.

10.31. (TIC) Dibuja con GeoGebra tres segmentos y llámalos AB, CD y EF, respectivamente. A continuación, guarda esta hoja de trabajo con el nombre Segmentos 1.


10.32. (TIC) Recupera el archivo que has guardado con el nombre Segmentos 1 en la actividad anterior y mueve los segmentos para conseguir que AB sea paralelo a CD y perpendicular a EF.

10.33. (TIC) *Reproduce un dibujo como el siguiente y guárdalo con el nombre Dibujo 1.

Nota: Las rectas s y t son paralelas, y las rectas u y v, perpendiculares a las anteriores.

Actividad práctica.

10.34. (TIC) *Recupera Dibujo 1 de la actividad anterior y usa las herramientas de GeoGebra para hallar la medida de los dos ángulos que forma la semirrecta r con la recta s. Comprueba que su amplitud es de 180º.

135º y 45º, respectivamente

135 + 45 = 180º

10.35. (TIC) Dibuja un ángulo cualquiera y, usando la herramienta "Bisectriz" del menú del botón , divide el ángulo en dos partes iguales.

10.36. (TIC) Dibuja dos rectas paralelas y llámalas paralela 1 y paralela 2 respectivamente. A continuación, sigue estos pasos:

a) Dibuja una recta que sea secante a las anteriores y llámala secante.

b) Dibuja los 8 ángulos que quedan determinados al dibujar las rectas pedidas en los apartados anteriores.


c) Comprueba que se cumple lo que hemos explicado en el apartado 3 de esta unidad para los ángulos determinados por una secante a dos paralelas.

10.37. (TIC) Dibuja dos rectas secantes. Después, dibuja los 4 ángulos que quedan definidos por estas rectas. ¿Cómo son las medidas que corresponden a ángulos opuestos por el vértice?

Los ángulos opuestos por el vértice que se forman al intersecarse dos rectas secantes tienen la misma amplitud.

10.38. (TIC) Dibuja un ángulo haciendo que aparezca su medida en la pantalla. A continuación, mueve uno de sus lados hasta conseguir un ángulo de 45º.

10.39. (TIC) Reproduce estos dibujos con GeoGebra.

Actividad práctica.


c)b)a)

c)

b)a)

lado – lado – ángulo – vértice

45º – 60º – 25º – 128º – 170º – 240º

BA M

45º

60º

25º

128º

170º

240º

ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN Y APLICACIÓN

10.40. Paralelas y secantes

Indica cómo son las rectas entre ellas.

a) Paralelas b) Secantes c) Secantes

10.41. Rectas, semirrectas y segmentos

Indica en cada caso si es una recta, una semirrecta o un segmento.

Copia el segmento y halla la mediatriz con regla y compás.

a) Segmento b) Semirrecta c) Recta

10.42. El ángulo

Completa el esquema en tu cuaderno.

10.43. Dibujo de ángulos

Dibuja estos ángulos con el transportador.

Vértice

Lado

Ángulo

Lado


AB

D

C

>, <, =

10.44. Clasificación de ángulos

Observa los ángulos.

a) Clasifícalos en agudos y obtusos. b) Clasifícalos en cóncavos y convexos.

a) Agudos: A y C . Obtusos: B y D b) Cóncavos: D . Convexos: A , B y C

10.45. Comparación de ángulos

Completa en tu cuaderno con los signos indicados.

a) Ángulo agudo ❏ 90º b) Ángulo llano ❏ 180º c) Ángulo convexo ❏ 180º

d) Ángulo obtuso ❏ 90º e) Ángulo cóncavo ❏ 180º

a) < b) = c) < d) > e) >

10.46. Rectas secantes y tipos de ángulos

Dibuja cuatro puntos no alineados en tu cuaderno (no los hagas muy próximos). Después, dibuja todas las rectas que contengan dos de estos puntos.

a) ¿Cuántas rectas obtienes?

b) Pinta los ángulos que forman según este criterio:

agudos rectos obtusos

¿Cuántos hay de cada tipo?

a) 6 rectas

b)


35C70A 50B

45°

90° 45°90°

60°

30°

A B C

D

E

A B C D

A = 70º

A + B A – B A – CB – CA + B + C

A + A + B

B = 50º C = 35º

10.47. Suma y resta de ángulos

Dibuja los ángulos en tu cuaderno con un transportador. Después, representa con regla y compás los ángulos correspondientes a estas operaciones.

a) A + B b) A + B + C c) A + A + B

d) A – B e) A – C f) B – C

10.48. Ángulos complementarios y suplementarios

a) Dibuja con un transportador un ángulo de 28º y su complementario. Indica cuál es la medida del complementario.

b) Dibuja con un transportador un ángulo de 98º y su suplementario. Indica cuál es la medida del suplementario.

c) Completa la tabla en tu cuaderno.

Ángulo Ángulo

complementario

Ángulo

suplementario

30º 60º 150º

45º 45º 135º

60º 30º 120º

90º 0º 90º

a) 62º b) 82º

10.49. Escuadra y cartabón

Observa los ángulos de una escuadra y un cartabón.

a) Calcula los ángulos formados.

28º

62º98º82º


15º 30º 45º 60º 75º 90º

98°39°

B

D

C

A

A

B

C

42°

a) b)

A

135°

H

AB

MJ

EF

K L

N

C D

GI

90º75º60º

45º30º15º

b) Dibuja, con escuadra y cartabón, estos ángulos.

a) A = 135º, B = 150º, C = 120º, D = 225º, E = 105º

b)

10.50. Ángulos opuestos por el vértice

Determina, sin medir, los ángulos que faltan.

a) A = 138º, B = 42º, C = 138º b) A = 39º, B = 43º, C = 98º, D = 43º

10.51. Paralelas a una secante

Determina, sin transportador, cuánto mide el ángulo A .

A = 45º

10.52. Ángulos iguales

Agrupa los ángulos que son iguales.

A = H = D = G = J = N = L ; B = F ; C = K = M = E ; I

10.53. (TIC) Expresión decimal

Expresa en horas.

a) 15 min b) 30 min c) 45 min

d) 90 min e) 180 s f) 33 min y 15 s

a) 0,25 h b) 0,5 h c) 0,75 h

d) 1,5 h e) 0,05 h f) 0,55416 h


A = 103º 21' 44'' B = 59º 55' 29'' C = 33º 1' 8''

110�C

105�B

90�A

120�D 135�E

10.54. (TIC) Operaciones numéricas con ángulos

Dados los ángulos siguientes, calcula:

a) A + B + C b) A + C – B c) Complementario de C

d) B · 4 e) Suplementario de A + B f) A : 5

a) 196º 18' 21'' b) 76º 27' 23'' c) 56º 58' 52''

d) 239º 41' 56'' e) 16º 42' 47'' f) 20º 40' 20,8''

10.55. (TIC) Paso de horas a minutos

Convierte las horas en minutos.

a) 0,50 h = ❏ min b) 0,25 h = ❏ min

c) 0,05 h = ❏ min d) 0,75 h = ❏ min

e) 0,90 h = ❏ min f) 0,20 h = ❏ min

g) 0,10 h = ❏ min h) 0,30 h = ❏ min

i) 0,60 h = ❏ min j) 0,15 h = ❏ min

a) 30 b) 15 c) 3 d) 45 e) 54

f) 12 g) 6 h) 18 i) 36 j) 9

10.56. Expresión compleja y decimal

En las conversiones se han cometido dos errores. Identifícalos y corrígelos.

a) 3 h 36 min = 3,60 h b) 1 h 18 min = 1,18 h c) 3 h 3 min = 3,05 h

d) 3 h 51 min = 3,85 h e) 1 h 48 min = 1,8 h f) 1 h 39 min = 1,49 h

Nota: Para hallar los errores, no calcules; fíjate en la expresión decimal en horas de 15 min, 30 min, 45 min...

Los errores son b (1 h 18 min = 1,30 h) y f (1 h 39 min = 1,65 h).

10.57. Suma de ángulos

Con tres de los cinco sectores circulares dibujados se puede formar un círculo. ¿Cuáles son?

B, D y E

10.58. Duración de la ESO

Durante los 4 cursos de ESO, un alumno pasa en la escuela una media de 6 h al día, durante 5 días cada una de las 36 semanas que tiene aproximadamente un curso. ¿Cuántos minutos pasa en el colegio este alumno?

4 · 36 · 5 · 6 · 60 = 259.200 minutos


10.59. (TIC) Segundos

¿Cuántos segundos tiene una hora? ¿Y una semana? ¿Y un año?

3.600 s; 604.800 s; 31.536.000 s un año no bisiesto y 31.622.400 s uno bisiesto

10.60. Salida de una contrarreloj

En una contrarreloj, los corredores salen individualmente separados por pequeños intervalos de tiempo. En la carrera participan 136 corredores, y se quiere que el primero salga a las 12 h 15 min y el último, a las 16 h. ¿Cuánto tiempo separará la salida de un corredor y el siguiente?

3 h 45 min : 135 = 1 min 40 s

10.61. Tiempo por kilómetro

En las Olimpiadas de Pekín 2008, el atleta Alex Schwazer hizo los 50 km marcha en un tiempo de 3 h 37 min 09 s. Suponiendo que su velocidad fuera uniforme, ¿cuántos minutos y segundos necesitó para recorrer cada kilómetro?

3 h 37 min 09 s : 50 = 4 min 20,58 s

10.62. Tiempo de viaje

Un barco salió del puerto de Barcelona a las 21 h 45 min del martes y llegó a Menorca a las 6 h 40 min del miércoles. ¿Cuánto duró el viaje?

6 h 40 min + 2 h 15 min = 8 h 55 min

10.63. Reflexiona

Carlota dice que ha dibujado dos rectas perpendiculares, pero que no son secantes. ¿Es posible? Razona la respuesta.

No, si son perpendiculares, necesariamente se cortan, luego son secantes.

10.64. Puntos y rectas

a) Dibuja un punto sobre una hoja de papel. A continuación traza rectas que pasen por este punto. ¿Cuántas puedes hacer?

b) Marca ahora dos puntos. ¿Cuántas rectas puedes dibujar que pasen por ambos?

c) Dibuja en tu cuaderno una recta r cualquiera. A continuación traza dos rectas paralelas p y p', separadas cada una 4 cm de la recta r.

a) Infinitas rectas b) Solo una recta

c)

rp p'


10.65. Dibujo de la bisectriz

Dibuja con el transportador un ángulo de 75º.

a) Si trazamos la bisectriz, ¿cuánto medirá cada uno de los ángulos resultantes?

b) ¿Tendremos dificultad para trazar la bisectriz con el transportador de manera precisa? Explícalo.

a)

37,5º cada uno.

b) Sí, al tener que precisar medios grados, que es una medida muy pequeña.

10.66. Bisectrices de un triángulo

Dibuja un triángulo cualquiera en tu cuaderno. Con regla y compás, dibuja la bisectriz de cada uno de los ángulos interiores del triángulo. Si has hecho correctamente el dibujo, las tres bisectrices se cortarán en un mismo punto. Este punto se llama incentro.

10.67. Atraso de un reloj

Un reloj se atrasa 2 s cada 5 días.

a) ¿Cuántos segundos se atrasará en un año? ¿Cuántos minutos son?

b) Si en dos años este reloj funciona sin que nadie ajuste la hora, ¿qué hora será en realidad cuando, transcurridos los dos años, este reloj indique que son las 11 h?

a) El reloj se atrasa 2

5 = 0,4 segundos cada día, por lo que en un año no bisiesto se atrasará

365 · 0,4 = 146 s = 2 min 26 s = 2,43 min.

b) En dos años no bisiestos se habrá atrasado 2 · (2 min 26 s) = 4 min 52 s.

Es decir, marcará las 11 h cuando realmente sean las 11 h 4 min 52 s.

75º


60 dientes32 dientes

10.68. *Engranajes

Observa este engranaje.

La rueda pequeña da una vuelta en 1 min y 22 s.

a) ¿Cuántas vueltas debe dar la rueda pequeña para conseguir que la grande dé una?

b) Calcula cuánto tarda la rueda grande en dar una vuelta.

c) Calcula qué ángulo ha girado la rueda de 32 dientes cuando la pequeña ha dado una vuelta.

a) 60 : 12 = 5 vueltas

b) (1 min 22 s) · 5 = 6 min 50 s

c) 12 · 360

32= 135º

10.69. Planos, rectas y segmentos

Observa este edificio de Mies van der Rohe.

a) Indica elementos que correspondan a trozos de plano y a segmentos.

b) Identifica rectas paralelas y perpendiculares.

c) ¿Por qué crees que son importantes las rectas perpendiculares en arquitectura?

a) Trozos de plano: paredes, techos, paneles laterales, etc.

Segmentos: vigas, peldaños de escalera, marcos de ventanas o de paneles, etc.

b) Rectas paralelas: los peldaños de las escaleras, las columnas (unas respecto a otras), las bases de suelo y techo.

Rectas perpendiculares: las columnas forman ángulos perpendiculares con el suelo y el techo, al igual que los marcos laterales de los paneles.

c) Sirven para asentar o sostener el edificio, evitando construcciones inestables, pues si las columnas fueran oblicuas respecto al suelo y al techo, no tendrían suficiente resistencia para soportar la carga del edificio.


10.70. Geometría y arte

Este cuadro de Piet Mondrian (1872-1944) se llama Composición con rojo.

a) Describe verbalmente la obra.

b) Busca en internet otras obras de la época abstracta de Piet Mondrian. ¿Qué tienen en común?

c) Haz una composición copiando el estilo de Mondrian.

d) Compara esta obra con esta otra de Kandinsky (1866-1944).

a) Colección, sobre fondo blanco, de rectas y segmentos paralelos y perpendiculares de color negro a distintas distancias. Uno de los cuadrados formados entre ellas se ha coloreado de rojo, y otro, de amarillo. También hay un segmento de color gris.

b) Todos se basan en líneas rectas paralelas y perpendiculares.

c)

d) La obra de Mondrian destaca por su simplicidad geométrica y por la ausencia de curvas. La obra de Kandinsky está realizada principalmente con líneas curvas y es mucho más compleja, aunque también disponga de elementos geométricos.


�

10.71. La pendiente

La figura muestra la pendiente que actualmente tiene un tramo de una carretera. Para facilitar la circulación, se ha decidido hacer obras y rebajar la pendiente a la mitad.

a) Copia este ángulo en tu cuaderno y dibuja el trazado de la nueva carretera.

b) ¿Qué ángulo forma la dirección de la nueva carretera con la horizontal?

a) b) 2

α

10.72. El Arco de L’Étoile

El plano muestra la plaza de L’Étoile de París, donde se encuentra el conocido Arco del Triunfo.

a) ¿Cuántas avenidas convergen radialmente?

b) Indica dos avenidas perpendiculares.

c) Si la división angular del círculo de la plaza se hubiera hecho en partes iguales, ¿qué ángulo haría una avenida con la siguiente?

d) En la realidad, ¿qué par de avenidas forman un ángulo mayor? ¿Y cuáles un ángulo menor? Indica una avenida que forme un ángulo obtuso con la avenida de la Grande Armée.

a) 12

b) Mac Mahon y Friedland

c) 360 : 12 = 30º

d) Ángulo mayor: Friedland y Champs-Elysées; ángulo menor: Carnot y Mac Mahon; ángulo obtuso con la avenida de la Grande Armée: Friedland.

10.73. Media

En la prueba de 5 km, un atleta hace en cada kilómetro el tiempo parcial que indica la tabla.

Espacio (km) 1 2 3 4 5

Tiempo 3' 05'' 3' 10'' 3' 08'' 3' 02'' 2' 57''

a) Expresa en minutos y también en horas el tiempo en que ha hecho la prueba.

b) Calcula su velocidad en kilómetros por hora.

a) 15 min 22 s = 15,36 min = 0,2561 h b) 5 : 0,2561 = 19,52 km/h

αα2

Av . des Cham ps-Elysées

Pl. deL’ Étoile

Av . de la Grande Armée

Av. Foch

Av. de Fri edland

Av. V

i ctor H

ugo

Av. K

lebe

r Av. d

’Iena

Av . Marceau

Av. d

e W

agra

m

Av. Hoch

e

Av . Carnot

Av. M

ac Mahon


a) b) c) d)

a) b)

N N

65°

240°

Rumbo 65° Rumbo 240°

Trayectoriaque seguimos

Trayectoriaque seguimos

PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS

10.74. El reloj y los ángulos

1. Indica, sin utilizar el transportador, el ángulo que forman las agujas del reloj. Considera siempre el ángulo que seguiría la aguja grande al desplazarse hacia la pequeña.

a) 300º b) 120º c) 150º d) 30º

2. Calcula en un reloj estos ángulos.

a) ¿Qué ángulo se desplaza la aguja horaria en una hora? ¿Y en un minuto?

b) ¿Qué ángulo se desplaza la aguja minutera en un minuto?

a) 30º en una hora y 0,5º en un minuto b) 6º

3. Al hacer los ejercicios de los apartados anteriores, has hallado el ángulo que forman las agujas del reloj a las 4 h en punto, y el ángulo que se desplaza cada una de las agujas en un minuto. Utiliza estos resultados para calcular el ángulo que formarán las agujas a las siguientes horas.

a) 4 h 1 min b) 4 h 5 min

a) 120 – 6 + 0,5 = 114,5º b) 120 – 30 + 2,5 = 92,5º

4. Indica, sin utilizar el transportador, el ángulo que forman las agujas del reloj. Para hacer el cálculo te serán útiles los resultados del apartado 2.

a) 300 + 0,5 · 15 = 307,5º

b) 120 + 0,5 · 45 = 142,5º

5. Te dicen que las agujas forman un ángulo determinado; por ejemplo, 60º.

a) ¿Puedes saber qué hora es? Razónalo.

b) Si además de decirte el ángulo, te dicen la posición de una de las agujas, ¿es más fácil saber la hora?

c) Calcula qué hora es cuando la aguja que indica los minutos se encuentra señalando las 3, es decir, 15 min, y el ángulo que forma con la otra aguja es de 97º 30'.

a) No. Pueden formar el mismo ángulo y estar colocadas en cualquier zona del reloj.

b) Sí, y es única si determinamos el sentido de giro, por ejemplo, de la aguja minutera hacia la horaria.

c) La aguja horaria está 90º más avanzada de las 3, es decir, en las 6 horas, y además 7º 30', es decir, que corresponden a los 15 minutos (0,5º es 1 min) de la aguja minutera. Esto es, son las 6 h 15 min.

10.75. Navegación

En navegación, se llama rumbo al ángulo que forman la dirección norte-sur y la semirrecta que indica nuestra trayectoria. Este ángulo se mide en el sentido en que giran las agujas del reloj. Para obtener la dirección norte-sur se utilizan la brújula y las indicaciones del mapa.


N

Salida

P

Eran las 12 del mediodía y nos encontrábamos en la isla de la Calma. Subimos al pequeño barco y decidimos recorrer las islas que teníamos alrededor.

Después de hacer 25 km rumbo 50°, llegamos a la isla del Viento. A continuación avanzamos 15 km rumbo 160° y llegamos a la isla del Águila. Finalmente hicimos 30 km rumbo 210° y llegamos a la isla de la Serpiente. Eran las 5 de la tarde.

1. Calca este dibujo en tu cuaderno.

Utiliza el transportador e indica el rumbo que en cada etapa ha seguido un barco que ha hecho la trayectoria que se indica en el mapa.

Nota: Te será de ayuda dibujar un segmento que siga la dirección N-S en el punto donde empieza cada etapa.

30º y 45º, respectivamente

2. ¿Qué rumbo deberá seguir para volver directamente al puerto de salida desde el punto P?

245º aproximadamente

3. Si la escala del mapa es 1 : 400.000, ¿qué distancia ha recorrido el barco para ir a P?

En el mapa ha recorrido 7,4 cm, que representan 7,4 · 400.000 = 2.960.000 cm = 29,6 km en la realidad.

4. Lee este texto.

a) Dibuja las islas y el recorrido a escala 1 : 400.000.

b) Mide en el plano y calcula la distancia real entre la isla de la Serpiente y la de la Calma.

a) b) 25,75 km

Isla de la Serpiente

Isla del Viento

Isla del Águila

Isla de la Calma

50º

210º

160º

30 km

25 km15 km


Coordenadas geográficas

Para identificar un punto de la Tierra se utilizan dos dimensiones o coordenadas; a la primera la llamamos longitud, y a la segunda, latitud.

– La longitud de un punto es la distancia en grados que separa el punto del meridiano 0 o de Greenwich. Se mide en dos sentidos: este (E) y oeste (W).

– La latitud de un punto es la distancia en grados que separa el punto del Ecuador. Se mide en dos sentidos: norte (N) y sur (S).

10.76. Las coordenadas geográficas

1. El punto A del plano de la derecha tiene las coordenadas geográficas siguientes:

(0º 55' E, 42º 31' N)

Explica el significado de estas coordenadas. Te será de utilidad el texto siguiente.

Se sitúa en el meridiano que se encuentra a 0º 55' al este del meridiano de Greenwich y en el paralelo situado a 42º 31' al norte del Ecuador.

2. Observa los planos.

a) Determina las coordenadas de los puntos A y B.

b) Los dos puntos tienen la misma longitud. ¿Qué quiere decir eso?

Planos

Estos planos, a escala 1 : 25.000, corresponden a dos parajes de la misma longitud.

0º 54’ 0º 55’

B

0º 54’ 0º 55’

41º16’

41º15’

42º31’

42º30’

A

Oeste

Norte

Sur

Longitud

Latitud

Ecuador

Meridiano de Greenwich

Este


La longitud de un meridiano terrestre es de 40.000 km

c)b)a)

s

r

s

r sr

BA M

9,5 cm

c) ¿Cuántos grados varía la latitud entre los dos puntos? Exprésalo en forma incompleja.

a) A(0º 55' E, 42º 31' N), B(0º 55' E, 41º 15' N)

b) Que ambos están en el mismo meridiano.

c) 1º 16' = 1,27º

3. Lee esta información.

a) ¿A cuántos kilómetros equivale un grado sobre la circunferencia de un meridiano?

b) Calcula, sobre los planos, la distancia en kilómetros entre los puntos señalados.

c) Calcula la latitud de un punto que se halla a mitad de camino entre estos dos puntos.

d) Imagina que nos desplazamos, desde el Ecuador, 4.000 km en dirección norte. ¿Cuántos grados aumentará la latitud de nuestra posición? ¿Cuál será entonces nuestra latitud?

a) 40.000 : 360 = 111,11 km b) 1,27 · 111,11 = 141,1097 km

c) 1º 16' : 2 = 38', luego latitud 41º 53' N d) 36º aumentará la latitud, y será 36º N.

4. *Nos encontramos en un punto donde la latitud es de 42º 25' 53'' N. ¿Cuál es la latitud de un punto situado 1.000 km al norte?

9º aumentará la latitud, luego será 51º 25' 53''.

5. Sabemos que dos puntos están sobre un mismo meridiano, pero el primero tiene una latitud de 48º 4' 15'' N, y la latitud del otro es 19º 50' 20''S. ¿Cuántos km hay que recorrer sobre la superficie de la Tierra para ir del uno al otro?

La diferencia entre ambos es de 67º 54' 35'', que equivale a 7.545,52 km.

AUTOEVALUACIÓN

10.1. Indica cómo son estas rectas entre ellas.

Las de a y c son secantes, y las de b son paralelas.

10.2. Dibuja un segmento de 9,5 cm y traza la mediatriz.


DAC

B

41� 10�

225º

18º

110º55º

75º

10.3. Dibuja estos ángulos con un transportador.

a) 55º b) 110º c) 18º d) 225º

10.4. Define estos ángulos.

a) Ángulo agudo b) Ángulo llano

c) Ángulo cóncavo d) Ángulos adyacentes

a) Menor de 90º b) De 180º

c) Mayor de 180º d) Consecutivos que suman 180º.

10.5. Dibuja un ángulo de amplitud comprendida entre 45º y 90º, y traza la bisectriz.

10.6. ¿Cómo son estos ángulos entre ellos?

a) b) c)

a) Suplementarios b) Opuestos por el vértice c) Complementarios

10.7. Encuentra el complementario y el suplementario de un ángulo de 24º 40' 5''.

Complementario: 65º 19' 55'. Suplementario: 155º 19' 55'

10.8. Determina, sin utilizar el transportador, el valor de los ángulos que faltan.

A = 41º 10', B = C = D = 138º 50'

10.9. Expresa 40,25' en segundos.

2.415''

BA

A

B

A

B


10.10. Expresa 29.900 s en horas.

8,3056 h

10.11. Expresa 38,0575º en grados, minutos y segundos.

38º 3' 27''

10.12. Calcula:

a) 2º 45' 58'' + 3º 9' 16'' + 7º 11' 46'' b) 19º 32' 41'' · 5 c) 109º 18' 17'' : 4

a) 13º 7' b) 97º 43' 25'' c) 27º 19' 34,25''

10.13. Un grupo de expedicionarios está a una latitud de 22° 41' 30'' S, y quiere llegar a un punto sobre el trópico de Capricornio cuya latitud es de 23° 28' S. ¿Qué ángulo deberán recorrer hacia el sur?

Restando, 46' 30''.

APRENDE A PENSAR… CON MATEMÁTICAS

¿Rectas paralelas secantes?

¿Son paralelas las rectas de las imágenes? Compruébalo.

Sí, son paralelas.

¿Segmentos iguales o diferentes?

Los segmentos de las imágenes, ¿tienen o no la misma longitud? Compruébalo.

Sí, tienen la misma longitud.

Proyecto editorial: Equipo de Educación Secundaria del Grupo SM Autoría: Miguel Ángel Ingelmo, Yolanda Zárate, M.ª Ángeles Anaya, Rafaela Arévalo, José Luis González, Rafael A. Martínez Edición: Pedro Machín, Eva Béjar Corrección: Ricardo Ramírez Ilustración: R. Aranda, Modesto Arregui, IDEM, Félix Moreno, A. Muñoz, José Santos Fotografía: Javier Calbet, Sonsoles Prada, Fidel Puerta, Sergio Cuesta, Yolanda Álvarez, José Manuel Navia / Archivo SM; Olimpia Torres; Norbert Tomàs; Luis Castelo; Javier Jaime; Montse Fontich; Oliver Boé; Peter Rey; Almudena Esteban; Pedro Carrión; Kevin Peterson; Andrew Ward; Doug Menuez; Nick Koudis; Ryan McVay; Nancy R. Cohen; John Wang; Robert Glusic. Martial Colomb, Russell Illig, Edmond van Hoorick, Hisham F. Ibrahim, PHOTOLINK, STOCK-TREK / PHOTODISC; Gerard Launet / PHOTOALTO; SUPERSTOCK / AGE PHOTOSTOCK; CORBIS / CORDON PRESS; LAIF / LATINSTOCK; CONTACTO; ÍNDEX; PAISAJES ESPAÑOLES; PRISMA; cmcd; DIGITAL VISION; SPAINSTOCK; BARRES FOTONATURA; JOHN FOX IMAGES; GETTY IMAGES; ITSTOCK; CARTESIA; PHOVOIR; Editorial Alpina; Instituto Geogáfico Nacional Diseño: Pablo Canelas, Alfonso Ruano Maquetación: SAFEKAT S. L. Coordinación de diseño: José Luis Rodríguez Coordinación editorial: Josefina Arévalo Dirección del proyecto: Aída Moya (*) Una pequeña cantidad de ejercicios o apartados de ejercicios han sido marcados porque contienen alguna corrección en su enunciado respecto al que aparece en el libro del alumno. Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra, a excepción de las páginas que incluyen la leyenda de “Página fotocopiable”. © Ediciones SM Impreso en España – Printed in Spain

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10 Rectas y ángulosceahformacion.es/.../E1_MA_U10_Rectas-y-angulos_SOL.pdf · 2015. 11. 11. · 20 Unidad 10 | Rectas y ángulos s r t 10.3. La recta r es perpendicular a la recta